TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
Testy zgodności
służą weryfikacji
hipotez dotyczących typu rozkładu (bez
określania jego parametrów).
Test
2
pozwala zweryfikować hipotezę,
że dystrybuanta F(x) rozkładu (np.
uzyskanych wyników) należy do klasy
dystrybuant będących przedmiotem
weryfikacji.
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
Zasady postępowania:
1.
Funkcją testową jest statystyka
2
2. Minimalna liczba przedziałów
klasowych c = 5
(tzn. rozstęp, czyli obszar zmienności w
próbie,
dzielony jest na min. 5 przedziałów).
Szerokości przedziałów prawostronnie
domkniętych
nie muszą być równe.
3. Minimalna liczebność przedziału m = 8
(oznacza to, że próba musi wynosić min.
n = 40)
4. Porównać wyznaczoną wartość
2
z
wartością
krytyczną
2
(z tablic dla
prawostronnego obszaru
krytycznego);
jeśli
2
<
2
nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy,
natomiast jeśli
2
2
hipotezę należy
odrzucić.
Funkcja testowa
m
i
- liczba wyników w i-tym przedziale
klasowym
n – całkowita liczba wyników
p
i
– prawdopodobieństwo teoretyczne
uzyskania wyniku z
i-tego przedziału klasowego
c – liczba przedziałów klasowych
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
i=1
(m
i
- np
i
)
2
np
i
c
2
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
Prawdopodobieństwa teoretyczne p
i
dla
poszczególnych przedziałów klasowych (np.
dla rozkładu normalnego) oblicza się z
różnic dystrybuanty dla prawej i lewej
granicy przedziału klasowego wg.
zależności:
P
i
= F(u
i
) – F(
i-1
)
gdzie u
i
są wartościami zmiennej losowej
standaryzowanej.
Ostatni przedział klasowy (odpowiadający
największym wartościom u
i
) nie jest
prawostronnie domknięty
(rozszerzamy go do x
c
= , czyli dla F(x
c
) =
1).
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
Kolejność postępowania:
1. Sformułować hipotezę
2. Dobrać poziom istotności
3. Podzielić próbę na przedziały
klasowe
4. Obliczyć parametry rozkładu
5. Obliczyć prawdopodobieństwa p
i
6. Obliczyć funkcje testową
2
7. Odczytać wartości krytyczne
2
8. Zweryfikować hipotezę i podać
wniosek końcowy.
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
Przykład:
W tabeli podane są uporządkowane
wyniki pomiaru w przedziałach
klasowych.
Na poziomie istotności 0,05
zweryfikować hipotezę, że próba
pochodzi z rozkładu normalnego.
Wyznaczone parametry rozkładu
wynoszą:
x = 10,1; Sx=0,78
x
i
n
i
(x
i-1
,x
i
>
n
i
u
i
F(u
i
)
p
i
np
i
(m
i
-
np
i
)
2
/np
i
8,0-8.6
3
- - 9.2
9
-
1,1
5
0,12
5
0,12
5
16,25
3,23
8,6-9,2
6
9,2-9,8
36
9,2- 9,8
36
-
0,3
8
0,35
2
0,22
7
29,51
1,43
9,8-10,4
44
9,8-
10,4
44
0,3
8
0,64
8
0,29
6
38,48
0,79
10,4-11,0
21
10,4-
11,0
21
1,1
5
0,87
5
0,22
7
29,51
2,45
11,0-11,6
15
11,0-
11,6
15
1,9
2
0,97
3
0,09
8
12,74
0,40
11,6-12,2
4
11,6-
5
1,00
0
0,02
7
3,52
0,63
12,2-12,8
1
130
130
130,0
0
8,94
Liczba stopni swobody wynosi k=6-2=4
Wartość krytyczna odczytana z tablic wynosi
2
=9,49
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
Wynik:
2
= 8,94
Ponieważ
2
=9,49>8,94=
2
, nie ma
podstaw do odrzucenia hipotezy, że
próba pochodzi z rozkładu normalnego.
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
POWTÓRZENIE
Sprawdzenie,
czy uzyskany rozkład jest
zgodny z rozkładem teoretycznym
(oczekiwanym)?
Procedura:
Załóżmy, że uzyskane wyniki pomiaru
pewnej wielkości fizycznej wynoszą: x
1
,
x
2
,...x
n
.
Hipoteza:
zakładamy, że wyniki powinny podlegać
rozkładowi naturalnemu.
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
1. Z uzyskanych wyników
obliczamy
x i
.
2.
Dzielimy rozstęp zmierzonych wartości na
przedziały
(liczba przedziałów k )
3.
Wyznaczamy liczbę stopni swobody d.
Liczba stopni swobody odpowiada liczbie
danych pochodzących z pomiaru
pomniejszonej o liczbę parametrów (liczba
więzów) c oszacowanych na ich podstawie
i wykorzystywanych w obliczeniach
(danymi są liczby pomiarów w każdym
przedziale, stąd liczba danych pomiarowych
wynosi k):
d = k - c
W rozkładzie Gaussa musimy obliczyć x
oraz
,
a więc ogółem mamy 2 więzy.
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
4.
Budujemy tabelę
zawierającą:
numer przedziału i,
jego zakres od... do..., przypadającą
każdemu
przedziałowi liczbę zdarzeń O
i
oraz
wyznaczoną z
założonego rozkładu oczekiwaną
liczbę zdarzeń E
i
.
5.
Obliczamy wartość
2
lub wartość zredukowaną
r
2
2
=
[(m
i
- n p
i
)
2
/n p
i
] ,
2
=
[(O
i
-
E
i
)
2
/E
i
]
,
r
2
=
2
/d
TESTY ZGODNOŚCI - TEST
2
6. Wartość zredukowana
r
2
r
2
=
2
/d
Zredukowany test uwzględnia liczbę stopni
swobody
i pozwala na oszacowanie zgrubne,
a więc jeśli wynik będzie wynosił 1 lub mniej
niż 1,
to nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy,
jeśli przewyższa 1 to prawdopodobieństwo,
że założony rozkład jest prawdziwy
staje się coraz mniejsze.