SYMETRIA ŚRODKOWA NA PŁASZCZYŹNIE

Symetrią środkową względem punktu S nazywamy takie przekształcenie płaszczyzny na płaszczyznę, w którym obrazem punktu A jest punkt A` taki, że punkt S jest środkiem odcinka AA`.

Symetrię środkową względem punktu S oznaczamy

Przykłady:

1. Punkt B jest symetryczny do punktu A względem punktu C

2. Punkt B nie jest symetryczny do punktu A względem punktu C

2. Przykłady trójkątów symetrycznych względem punktu

• Trójkąt GEF jest symetryczny do trójkąta ABC względem punktu D leżącego poza trójkątem ABC

• Trójkąt EDG jest symetryczny do trójkąta ADC względem punktu D będącego wierzchołkiem trójkąta ADC

• Trójkąt EFG jest symetryczny do trójkąta ABC względem punktu D leżącego na boku trójkąta ABC

• Trójkąt EFG jest symetryczny do trójkąta względem punktu D leżącego wewnątrz trójkąta ABC

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadanie 12, 13 str. 124 oraz 14, 18 str. 125 z podręcznika.

SYMETRIA ŚRODKOWA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Twierdzenie: Jeżeli punkt A` = (x`, y`) jest symetryczny do punktu A = (x, y), względem początku układu współrzędnych, tzn. punktu (0, 0), to x` = -x i y` = -y (obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne).

Punkty G = (-2, 3) i H = (2, -3) są symetryczne względem początku układu współrzędnych, ponieważ mają przeciwne współrzędne.

Przykład:

Trójkąty EFG i HKL oraz trójkąty PQR i OMN są symetryczne względem osi rzędnych.

Trójkąty EFG i PQR oraz trójkąty HKL i OMN są symetryczne względem osi odciętych.

Trójkąty EFG i OMN oraz trójkąty HKL i PQR są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Dwa punkty są symetryczne do siebie względem punktu S, jeżeli punkt S jest środkiem odcinka, którego końcami są te punkty. Do znajdowania obrazów punktów w symetrii środkowej możemy wykorzystać własność , która mówi, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych jego końców.

A=(x₁,y₁) S=(x_s, y_s) B=(x_2, y₂)

x_s =
y_s =

Zadanie 1

Znajdź współrzędne punktu, który jest obrazem punktu A = (-10,2) w symetrii o środku S = (1,0).

Rozwiązanie

A = (-10,2) S = (1,0) S_S(A) = A'

A' = (x, y)

Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AA', więc otrzymujemy następujące równania po podstawieniu do powyższych wzorów

1=
0 =

Po przekształceniach otrzymujemy

x₂ = 2+10 y₂ =-2

x₂ = 12 y₂ =-2

Zatem obrazem punktu a jest punkt o współrzędnych A' = (12, -2).

Zadanie 2

Znajdź środek symetrii, w której punkt A' = (-4, -3) jest obrazem punktu A= (-2,5).

Rozwiązanie

Podstawiając współrzędne punktów A i A' będących końcami odcinka AA', otrzymuję

x_s =
y_s =

x_s =
y_s =

x_s = -3 y_s = 1

Zatem środek symetrii ma współrzędne S = (-3, 1).

Zadanie 3

Punkty A = (-4, -5), B = (5, -1) i C = (2, 7) to wierzchołki równoległoboku ABCD. Znajdź współrzędne środka symetrii tego równoległoboku oraz wierzchołka D.

Rozwiązanie

Niech S = (s₁, s₂) będzie środkiem symetrii równoległoboku. Zatem Jest to również środek odcinka AC. Wyznaczamy współrzędne punktu S, korzystając ze wzorów na współrzędne środka odcinka

s₁ =
s₂=

s₁=
s₂ =

s₁=
s₂ =

s₁=-1 s₂ = 1

Środek symetrii równoległoboku ABCD ma współrzędne S = (-1, 1).

Niech D = (x, y).

Wówczas korzystając z tego, że punkt ten jest obrazem wierzchołka B w symetrii środkowej względem punktu S wyznaczamy jego współrzędne.

s₁ =
s₂=

-1 =
/⋅2 1=
/⋅2

-2 = 5 + x 2 = -1 + y

x = - 2 - 5 y = 2 + 1

x = - 7 y = 3

Punkt D ma współrzędne (-7, 3) .

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadanie 5,6 str. 134 z podręcznika.