1
WYKŁAD 5
RZUT ŚRODKOWY I JEGO NIEZMIENNIKI
Wiązka prostych i płaszczyzn rzutujących
W przestrzeni przyjmujemy dowolny punkt
właściwy
O
i bierzemy pod uwagę wiązkę
[O]
prostych
i płaszczyzn o wierzchołku
O
, tzn. zbiór wszystkich
prostych i płaszczyzn przestrzeni przechodzących
przez punkt
O
. Punkt
O
nazywać będziemy
środkiem
rzutowania
(inaczej okiem), a proste i płaszczyzny
należące do wiązki
[O]
nazywać będziemy
prostymi i
płaszczyznami rzutującymi.
Prostą rzutującą
k
A
(O, A)
przechodzącą przez punkt
A
nazywamy
prostą rzutującą punkt A
, a płaszczyznę
rzutującą
ρ
l
(O, l)
przechodzącą przez prostą
l
nazywamy
płaszczyzną rzutującą prostą l
.
Płaszczyzna rzutująca zawiera proste rzutujące: tworzą
one na tej płaszczyźnie
pęk prostych (O)
o
wierzchołku w środku rzutowania
O
.
Przyjmujemy następnie (zwykle w położeniu pionowym) dowolną płaszczyznę
τ
nie
należącą do wiązki
[O],
tzn. nie przechodzącą przez punkt
O
; płaszczyznę
τ
nazywać
będziemy
rzutnią
(lub
płaszczyzną tła
).
Rzutem środkowym
(albo
perspektywą)
z punktu
O
na rzutnię
τ
punktu A ≠ O
jest
punkt
A
S
= k τ
, tzn. punkt przebicia rzutni
τ
przez prostą
k
A
rzutującą punkt
A
.
Rzutem środkowym (perspektywą)
z punktu O na rzutnię
τ
prostej
nierzutującej
jest prosta
l
s
= ρ
l
τ
, tzn. krawędź płaszczyzny
ρ
l
rzutującej prostą
l
z rzutnią
τ
.
2
Rzutem środkowym (perspektywą) figury F
nie zawierającej środka rzutowania
O
jest figura
F
S
złożona z rzutów środkowych wszystkich punktów figury
F
.
Rzutem środkowym np. prostej rzutującej
k
A
(pozbawionej punktu
O
) jest punkt
A
S
= k
A
τ;
na punkt
A
S
rzutują się bowiem wszystkie, różne od
O
, punkty prostej
k
A
.
Rzutem środkowym płaszczyzny rzutującej ρ
l
(pomijając punkt O) jest prosta
l
S
= ρ
l
τ
; wszystkie bowiem punkty, różne od
O
, płaszczyzny
ρ
l
rzutują się punkty
prostej
l
S
za pomocą prostych rzutujących zawartych w płaszczyźnie
ρ
l
.
Przykładem rzutu środkowego jest cień rzucony przez dowolną figurę na płaszczyznę
przy oświetleniu środkowym. Innym przykładem jest obraz przedmiotu widziany jednym
okiem na tle szyby okiennej. Środek optyczny oka jest tu środkiem rzutowania;
promienie świetlne biegnące do oka przez poszczególne punkty oglądanego przedmiotu
są prostymi rzutującymi, a płaszczyzna szyby płaszczyzną tła.
Przyporządkowanie punktom i figurom przestrzeni ich rzutów środków nazywamy
rzutowaniem środkowym.
Operacja rzutowania środkowego jest (pomijając środek rzutowania
O
)
jednoznaczna
, ale
nieodwracalna
, ponieważ każdy punkt rzutni jest rzutem
środkowym wszystkich punktów całej prostej rzutującej.
Odwracalność rzutowania środkowego, a tym samym określenie figur przez ich rzuty
środkowe uzyskujemy dla prostych i płaszczyzn za pośrednictwem ich śladów na
płaszczyźnie tła; punkty traktować przy tym będziemy jako elementy określonych
prostych lub płaszczyzn.
Głębokość tłowa i płaszczyzna zniknienia
Przy kreśleniu rzutów środkowych ustalamy najpierw położenie oka względem
płaszczyzny tła. Wyznaczamy w tym celu rzut prostokątny
O
τ
oka
O
na płaszczyznę tła
τ
i bierzemy pod uwagę odległość
δ
oka od płaszczyzny tła:
δ = |O, r| = |O, O
τ
|.
Odległość tę nazywamy
głębokością tłową
.
3
Przystępując do kreślenia rzutów środkowych ustalamy
położenie oka względem płaszczyzny tła w następujący
sposób: na płaszczyźnie rysunku kreślimy dowolny okrąg,
który nazywamy
okręgiem głębokości tłowej
i przyjmujemy
umownie, że:
1) środek
O
τ
okręgu głębokości tłowej jest rzutem
prostokątnym oka na płaszczyznę tła (utożsamioną z
płaszczyzną rysunku),
2) głębokość tłowa
δ
jest równa promieniowi tego okręgu.
Po przyjęciu okręgu głębokości tłowej o środku
O
τ
i
promieniu
δ
środek rzutowania
O
znajduje się na prostopadłej
do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez
O
τ
w odległości
od
O
τ
równej promieniowi
δ
tego okręgu. Ustalamy ponadto,
że oko
O
położone jest po tej samej stronie płaszczyzny
rysunku, po której znajduje się osoba kreśląca rzuty.
Niech przy ustalonym położeniu środka rzutowania
O
względem płaszczyzny ej t dany będzie dowolny punkt
A ≠ O
.
Jego rzut środkowy
A
S
jest określony jednoznacznie jako punkt
przebicia tła
τ
przez promień rzutujący
k
A
(O, A)
punktu
A
.
Niech na płaszczyźnie tła z przyjętym okręgiem głębokości o
środku
O
τ
i promieniu
δ
dany będzie rzut środkowy
A
S
punktu
A
, Odtwarzamy położenie oka na prostopadłej do tła
przechodzącej przez
O
τ
w odległości
δ
od
O
τ
i prowadzimy
prostą rzutującą
k
A
(O, A
S
);
punkt
A
o rzucie
A
S
może być
dowolnym - różnym od środka rzutów
O
— punktem tej
prostej.
4
W szczególności punkt niewłaściwy
Z
∞
prostej
k
A
(O, A)
ma rzut środkowy
A
S
. Punkty
niewłaściwe mają więc (ogólnie biorąc) jako rzuty środkowe punkty właściwe.
Rzutowanie środkowe nie zachowuje na ogół równoległości prostych; proste równoległe
o kierunku
Z
∞
mają rzuty środkowe przecinające się we właściwym rzucie
Z
S
punktu
Z
∞
.
Z drugiej strony punkty właściwe mogą mieć jako rzuty środkowe punkty niewłaściwe.
Dla wyznaczenia takich punktów weźmy pod uwagę płaszczyznę
ε
przechodzącą przez
środek rzutowania
O
równolegle do płaszczyzny tła
τ
; jest to tak zwana
płaszczyzna
zniknienia
: każdy jej punkt ma rzut w nieskończoności. Jeśli bowiem punkt
N ≠ O
leży
na płaszczyźnie
ε
, to jego prosta rzutująca
k
N
(O, N)
jest równoległa do płaszczyzny tła
τ
i rzutuje punkt
N
na punkt niewłaściwy
N
S∞
= k
N
τ
. Proste przecinające się w
punkcie leżącym na płaszczyźnie zniknienia mają zatem rzuty równoległe.
Niezmienniki rzutowania środkowego:
Mamy następujące niezmienniki rzutowania środkowego:
(1) współliniowość punktów,
(2) dwustosunek,
(3) stosunek podziału na prostych równoległych do tła,
(4) rozwartość kąta o obu ramionach równoległych do tła.
5
Ad (2). Niech prosta
l
rzutuje się — za pośrednictwem płaszczyzny rzutującej
ρ
l
(O,
l)
— na prostą
l
S
Niech punkty
A, B, C i D
będą dowolnymi punktami prostej
l
, a
A
S
,
B
S
, C
S
i
D
S
— ich rzutami leżącymi na prostej
l
s
.
Rozważmy dwustosunki czwórek punktów
A, B, C
i
D
oraz
A
S
, B
S
, C
S
i
D
S
.
Na mocy twierdzenia Pappusa o przecięciu ramionami kąta czterech prostych
równoległych dwustosunki te są sobie równe; tworzące je czwórki punktów leżą bowiem
w przecięciach prostych
k
A
, k
B
, k
C
i
k
D
należących do pęku prostych o wierzchołku
O
dwiema prostymi
l
i
l
S
.
S
S
S
S
S
S
S
S
D
B
C
A
D
C
B
A
i
BD
AD
BC
AC
ABCD
)
(
:
)
(
6
Rzuty środkowe prostych
Rzuty i ślady prostych. Restytucja prostej.
Jeśli prosta
l
jest dowolną prostą nierzutującą, tzn. nie przechodzącą przez oko, to jej
perspektywa
l
S
jest krawędzią płaszczyzny
ρ
l
(O, l)
rzutującej prostą
l
z płaszczyzną tła:
l
S
= ρ
l
τ
.
Zauważmy, że prosta
l
S
jest także perspektywą każdej innej prostej leżącej na
płaszczyźnie
ρ
l
(O, l).
W celu uzyskania odwracalności rzutowania środkowego prostych bierzemy na każdej
prostej pod uwagę dwa jej punkty: punkt przebicia tła przez tę prostą oraz punkt
niewłaściwy tej prostej.
Punkt przebicia tła przez prostą nazywamy
śladem tłowym prostej
; ślad tłowy
prostej oznaczamy przez
T
l
.
Rzut punktu niewłaściwego prostej nazywamy
śladem
(albo
punktem
)
zbiegu
prostej
; ślad zbiegu prostej
l
oznaczamy przez
Z
l
.
7
Prostą rzutującą punkt niewłaściwy prostej
l
, tzn. prostą przechodzącą przez środek
rzutowania
O
i równoległą do prostej
l
, nazywamy
prostą (promieniem) zbiegu
prostej l
i oznaczamy przez
z
.
Ślad tłowy
T
l
prostej
l
jest więc punktem przebicia tła przez prostą
l
, a jej ślad zbiegu
Z
l
jest punktem przebicia tła przez prostą zbiegu
z
prostej
l
. Ślady prostej są albo oba
punktami właściwymi (pokrywającymi się dla prostych rzutujących), albo oba są jednym
i tym samym punktem niewłaściwym.
Właściwe ślady T
l
i Z
l
prostej l wyznaczają rzut prostej l oraz położenie prostej
l w odniesieniu do tła i oka.
Jeśli więc dany jest rzut
l
S
prostej l i jej ślady
T
l
≠ Z
l
, to restytucji prostej
l
, tzn.
odtworzenia jej położenia w przestrzeni, dokonujemy następująco:
1° odtwarzamy położenie oka
O
na prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej
przez
O
τ
w odległości od
O
τ
równej promieniowi okręgu głębokości tłowej
δ
;
2° przez oko
O
i przez
Z
l
prowadzimy promień zbiegu z prostej
l
;
3° prostą
l
prowadzimy przez
T
l
równolegle do promienia
z
.
U w a g a l.
Punkty są w rzucie środkowym jednoznacznie określone jako elementy prostych lub
płaszczyzn. Punkt
A l
o danym rzucie
A
S
l
S
jest punktem przecięcia się prostej
l
(określonej jednoznacznie przez swe ślady) z prostą rzutującą przechodzącą przez
punkty
O
i
A
S
.
U w a g a 2
.
Pokrywające się niewłaściwe ślady prostej nie określają położenia prostej. Prosta
p
o
śladach
T
p
∞
= Z
p
∞
jest określona jednoznacznie, gdy dany jest punkt
A = p l
jej
przecięcia się z określoną przez właściwe ślady prostą
l
; prosta
p
przechodzi przez
punkt
A l
i ma kierunek punktu niewłaściwego
T
p
∞
= Z
p
∞
.
8
Rzuty środkowe płaszczyzn
Ślady płaszczyzn. Restytucja płaszczyzny.
Przy ustalonym położeniu oka
O
i tła weźmy pod
uwagę dowolną płaszczyznę nierzutującą
α
, tzn.
płaszczyznę nie przechodzącą przez oko
O
.
Weźmy następnie płaszczyznę
ζ
przechodzącą przez
oko
O
równolegle do płaszczyzny
α
. Płaszczyzna
ζ
jest
płaszczyzną promieni zbiegu płaszczyzny
α
; na
płaszczyźnie
ζ
leżą promienie zbiegu wszystkich
prostych płaszczyzny
α
.
Krawędzie płaszczyzn
α
i
ζ
z tłem nazywamy
śladami płaszczyzny α
; krawędź
t
α
= α τ
jest
śladem tłowym płaszczyzny α,
a krawędź
z
α
= ζ τ
jest
śladem zbiegu płaszczyzny α.
Ślady: tłowy
t
α
i zbiegu
z
α
płaszczyzny
α
są prostymi równoległymi, są to bowiem
krawędzie równoległych płaszczyzn z płaszczyzną tła.
Ślady płaszczyzny są albo prostymi właściwymi (pokrywającymi się dla płaszczyzn
rzutujących), albo obydwa jednoczą się z prostą niewłaściwą płaszczyzny tła.
Ślady,
t
α
i
z
α
płaszczyzny
α
, które są prostymi właściwymi, wyznaczają położenie
płaszczyzny
α
w odniesieniu do tła i oka.
Istotnie, jeśli
t
α
≠ z
α
, to płaszczyzna
α
przechodzi przez
t
α
i
jest równoległa do płaszczyzny zbiegu
ζ
przechodzącej przez
z
α
i przez oko
O
. Jeśli
t
ρ
= z
ρ
to płaszczyzna
ρ
pokrywa się ze swą
płaszczyzną promieni zbiegu i jest płaszczyzną rzutującą
przechodzącą przez
t
ρ
= z
ρ
i oko
O
; prosta
t
ρ
= z
ρ
jest jej
rzutem
p
S
.
9
Jeśli więc dane są ślady
t
α
i
z
α
, płaszczyzny α, to restytucji płaszczyzny
α
dokonujemy
następująco:
1° odtwarzamy położenie oka
O
na prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej
przez
O
τ
w odległości od
O
τ
równej głębokości tłowej
δ
,
2° przez oko
O
i przez prostą
z
α
prowadzimy płaszczyznę promieni zbiegu
ζ
płaszczyzny
α
,
3° płaszczyznę
α
prowadzimy przez tα równolegle do płaszczyzny
ζ
.
Uwaga:
Pokrywające się niewłaściwe ślady płaszczyzny nie określają płaszczyzny
jednoznacznie. Płaszczyzna
α
o pokrywających się śladach
t
α
∞
=z
α
∞
jest płaszczyzną
równoległą do płaszczyzny tła; płaszczyznę taką wyznacza jeden jej punkt właściwy
przyjęty na prostej określonej przez rzut i ślady.
10
GEOMETRIA DACHÓW
Dach jednospadowy posiada jedną połać dachową. W tym typie
dachu boczne ściany szczytowe oraz tylna ściana, zwana pulpitową,
mogą być przykryte lub wystawać nad pokrycie dachowe tworząc
ściany przeciwpożarowe (ogniomurki). Dach ten odznacza się dużą
funkcjonalnością i walorami użytkowymi. Często ta forma dachu
służy jako przybudówka, daszek ochronny, magazyn jak też i zwykły
budynek mieszkalny.
Dach dwuspadowy ma dwie połacie dachowe i dwie boczne ściany
szczytowe, które mogą być przykryte pokryciem dachowym lub
wystawać ponad nie. Konstrukcja tego dachu jest prosta, najmniej
materiałochłonna oraz łatwa do wykonania. Dach dwuspadowy
doczekał się szeregu swoich wariantów.
Podstawowymi elementami dachu są:
- więźba dachowa stanowiącą zespół elementów
konstrukcji nośnej,
- połać dachowa z jej pokryciem,
-system zbierania i odprowadzania wody
opadowej,
- urządzenia naświetlające przestrzeń poddasza.
Więźba dachowa
jest to przestrzenny ustrój
szkieletowy, kształtujący dach i poddasze.
Zasadniczymi elementami płaskimi więźby w
przekroju poprzecznym są wiązary dachowe.
11
Dach czterospadowy ma cztery połacie dachowe, najczęściej o
jednakowym nachyleniu. Konstrukcja ta, wraz z dachami jedno- i
dwuspadowymi należy do najstarszych form dachów. Akcentuje ona
formę ochronną dachu i nadaje budynkom reprezentacyjny wygląd.
Odmianą dachów dwuspadowych i czterospadowych są dachy
naczółkowe tj. dachy dwupołaciowe ze ściętymi narożami.
Dach naczółkowy stanowi wyraz regionalnej architektury, ponieważ
ma on zastosowanie głównie na terenach, gdzie szczyt dachu jest
szczególnie
narażony
na
działanie
surowych
warunków
atmosferycznych. Szczyt dachu musi wtedy być zabezpieczony na
najbardziej wyeksponowanej wysokości, czyli kalenicy.
Następną kombinacją dachów dwu- i czterospadowych są dachy
półszczytowe. Dachy te składają się z półszczytów, czy też
przyczółków. Należą one, obok dachu naczółkowego do dachów
stanowiących wyraz regionalnej architektury.
Architektura dachów obfituje bogactwem różnorodnych form i
kształtów. Kolejnym przykładem urzeczywistnienia ludzkiego
pomysłu jest dach dwukondygnacyjny. Dach ten określany jest
również jako dach mansardowy. Posiada on dwie lub cztery połacie
dachowe, które mogą być oddzielone gzymsem, uskokiem lub
murem. Każda połać dachowa składa się z dwóch płaszczyzn o
różnym nachyleniu. Konstrukcja dachu mansardowego umożliwia
rozbudowę pomieszczenia znajdującego się bezpośrednio pod jego
powierzchnią, czyli poddasza.
12
Istnieją, także dachy namiotowe, które budowane są na poziomym
rzucie kwadratu. Dachy te składają się z trójkątnych połaci,
zbiegających się w jednym punkcie. Ten punkt szczytowy posiadają
też dachy wieżowe (hełm i iglica), stożkowe oraz dachy kopulaste i
baniaste (tzw. dachy wygięte). Dach pilasty (szedowy) to zespół
dachów jedno- lub dwuspadowych. Stosowany jest najczęściej do
przykrywania dużych powierzchni budynków. Dach ten umożliwia
jednocześnie górne oświetlenie pomieszczenia.
Wraz z rozwojem ludzkich potrzeb oraz możliwości architektonicznych
zaczęły powstawać różnego rodzaju elementy uzupełniające dach,
takie jak: wykusze, okna i wnęki dachowe. Jako pierwsze w literaturze
branżowej wymienia się proste w swej konstrukcji i ekonomicznie
rozwiązane okna połaciowe. Pozwalają one z jednej strony na
oświetlenie poddasza, lecz z drugiej strony nie dają możliwości jego
dodatkowego zagospodarowania. Innym elementem dachu są wnęki
dachowe: np. loggie, jako pewien rodzaj wnęk dachowych, umożliwiają
swobodne wyjście na dach i są źródłem światła.
Znane od średniowiecza lukarny, zachowały się do czasów
współczesnych. Wyróżnia się lukarny pochyłe i lukarny szczytowe. Na
niektórych budynkach można spotkać wieloboczne lub krzywoliniowe
występy w elewacji, często wypełnione oknami. Są to tzw. wykusze.
Wykusze wzbogacają wygląd nie tylko ścian budynków, lecz też i
dachów.
13
Dachy wieżowe
a), b)
namiotowe;
c), d)
stożkowe;
e)
kopulasty (żebrowy) z
łubniem;
f)
kopulasty (czasza) z
iglicą;
g), h), i)
hełmowe
14
Obiekty halowe i użyteczności publicznej
fałdowo-łukowy
łupinowy
łupinowy
strukturalno-przestrzenny
strukturalno-przestrzenny
walcowy
beczkowy
15
b)
wierzchołek
podstawy
okap
Dach i jego elementy:
a) w rzucie prostokątnym, b) w izometrii wojskowej,
b) c) linia grzbietowa dachu w rzucie prostokątnym
16
W literaturze z zakresu klasycznej geometrii wykreślnej nie ma pełnej geometrycznej
definicji dachu, która mogłaby stanowić bezpośredni punkt wyjścia do sformułowania
algorytmu komputerowego. Wprowadzane założenia wystarczają w zupełności do
geometrycznego wyznaczenia szkieletu dachu w ujęciu klasycznych konstrukcji p-o i
jego analizy metrycznej. Nie znajdujemy tam natomiast ogólnej zasady konstrukcji
geometrycznej, tj. ogólnego algorytmu rozwiązania dachu przy danej podstawie, mimo
że w wielu monografiach geometrii wykreślnej geometria dachów jest omawiana.
Konstrukcja p-o (prosta-okrąg) jest klasyczną konstrukcją geometryczną realizowaną za
pomocą cyrkla i linijki.
Konstrukcja klasyczna
polega na tym, że mając dany pewien
zbiór punktów i ewentualnie odcinków znajdujemy nowe punkty otrzymane przez
przecięcie prostych i okręgów wyznaczonych przez dane punkty.
Elementy geometrii dachów
Pod względem geometrycznym dachy są wielościanami zbudowanymi na wielokącie
wyznaczonym przez ściany nośne. Ściany tych wielościanów są zbiorem wielokątów
płaskich pokrywających budynki lub inne wydzielone przestrzenie, zwane
połaciami
dachu
. Wielokąt, na którym opiera się dach, nazywamy
wielokątem okapu
, a boki
tego wielokąta —
okapami
.
Krawędzie
między przyległymi połaciami dachu dzielimy na trzy grupy:
1) krawędzie poziome zwane
krawędziami grzbietowymi
lub
kalenicami
;
2) krawędzie kątów wypukłych (ale nie poziome) zwane
krawędziami narożnymi
;
3) krawędzie kątów wklęsłych zwane
krawędziami koszowymi
.
Punkty wspólne krawędzi dachu nazywamy
punktami węzłowymi
.
17
W sensie geometrycznym wyznaczenie dachu polega na:
1) wyznaczeniu w rzutach prostokątnych
rzutów wszystkich krawędzi
, jakie tworzą
poszczególne połacie dachu rozpięte nad zadanym wielokątem okapu;
2) wyznaczeniu
kształtów i rozmiarów tych połaci
;
3) wyznaczeniu
rozwartości (miar) kątów dwuściennych
między przyległymi
połaciami dachu.
Wielokąt okapu stanowiący podstawę dachu jest zwykle pewnym wielokątem leżącym
w płaszczyźnie poziomej. Połacie są nachylone zwykle do poziomu pod zadanym
stałym kątem. Jeżeli dwie płaszczyzny wsparte są na dwóch okapach tworzą z
płaszczyzną poziomą jednakowe kąty, to
rzut poziomy krawędzi
tych płaszczyzn jest
dwusieczną kąta między tymi okapami
lub jest
prostą równoległą do
równoległych okapów
i dzieli obszar między tymi okapami na dwie równe części.
Wniosek ten wynika bezpośrednio z faktu, że płaszczyzna poziomo rzutująca krawędź
dwu płaszczyzn, tworzących z płaszczyzną poziomą jednakowe kąty, jest płaszczyzną
symetrii prostokątnej dla tych płaszczyzn, a więc jej rzut poziomy jest osią symetrii
prostokątnej dla okapów tych płaszczyzn.
Oprócz podanej własności podczas wyznaczania rzutów prostokątnych poszczególnych
krawędzi połaci dachowych korzystamy z
twierdzenia o punkcie węzłowym
(trzy
płaszczyzny nie należące do jednego pęku mają jeden punkt wspólny (punkt węzłowy),
przez który przechodzą trzy krawędzie tych płaszczyzn).
18
Rzuty poziome dachów oparty na czworokątach. Punkt
węzłowy
W
1
w rzucie poziomym jest jednakowo
odległy od okapu 1, 2 i 4,
d
1
= d
2
= d
4.
Wynikiem przyjętych założeń są następujące konstrukcje w rzucie poziomym:
1. Krawędzie przecięcia się sąsiadujących połaci w rzucie poziomym odwzorowują się
jako dwusieczne kątów, jakie tworzą okapy danych połaci. Gdy krawędź łączy
połacie o okapach równoległych, jest ona pozioma, równoległa do okapów i
jednakowo odległa od tych okapów. Rzut poziomy takiej krawędzi (kalenicy) jest
równoległy do okapów i dzieli obszar między tymi okapami na dwie równe części.
2. Punkt, w którym spotykają się dwie
krawędzie
(1/2 i 1/4),
przy czym żadna z nich
nie napotyka wcześniej — wychodząc od załamania linii okapu — żadnej innej
krawędzi, jest węzłem, który kończy przebieg tych krawędzi (1/2 i 1/4) i rozpoczyna
bieg kolejnych krawędzi — 2/4. Węzeł jest więc punktem wspólnym trzech połaci.
Ponieważ każda z nich jest nachylona do
π
1
pod takim samym kątem, rzuty
krawędzi są konstruowane jako dwusieczne kątów, a więc węzeł
W
1
jest w rzucie
poziomym jednakowo odległy od rzutu okapu 1, 2 i 4,
d1 = d2 = d4.
Własność ta
pozwala na natychmiastowe wychwycenie błędów lub niedokładności rozwiązania.
19
3. Aby zachować warunek stawiany dachom przyległym dotyczący odprowadzania
wody opadowej, należy ustalić kierunek spływu na danej płaszczyźnie. Jest to prosta
nazywana prostą największego spadu płaszczyzny, czyli prostopadła do prostej
poziomej danej płaszczyzny. W przypadku połaci dachowej jest to z reguły linia okapu.
Kąt prosty pomiędzy kierunkiem spływu a linią okapu będzie zachowany w
rzucie poziomym
.
4. Wprowadzenie dodatkowych połaci następuje wówczas, gdy połacie przechodzące
przez istniejące linie okapu nie spełniają warunku dotyczącego spływu wody. Kierunek
spływu wody na dodatkowej połaci jest równoległy do granicy (dachu przyległego).
Okap takiej połaci jest prostopadły do założonego kierunku spływu wody.
Stosowanie powyższych zasad pozwala na rozwiązanie w sposób jednoznaczny
dowolnego dachu w rzucie poziomym w myśl przyjętych na początku założeń.
Wyznaczanie rzutu pionowego dachu
Metoda l.
Rzut pionowy dachu konstruujemy
korzystając z przyjętej wartości kąta
φ
nachylenia połaci do poziomu. Jeżeli na dachu
występują
połacie
rzutujące
(o
okapach
prostopadłych do osi
x
), to odwzorowujemy je w
rzucie pionowym jako proste nachylone do osi
x
pod kątem
φ
. Węzły
W
1
i
W
2
w rzucie pionowym
znajdują się na prostych będących obrazem
połaci l i 3. Połączone węzły
W
1
i
W
2
w rzucie
pionowym dadzą rzut pionowy krawędzi 2/4. Jest
to krawędź pozioma (kalenica), bo okapy 2 i 4 są
równoległe.
20
Gdy na dachu nie występują połacie rzutujące lub są one niewystarczające do
wyznaczenia rzutu pionowego całego dachu, możemy znajdować wysokości
poszczególnych węzłów innymi sposobami.
Metoda
2.
Przez
punkt
W
1
prowadzimy
płaszczyznę
ε
prostopadła do
π
1
i prostopadłą do
jednej z połaci przechodzącej przez
punkt
W
1
(prostopadle do połaci l).
Przecinając rzutnię poziomą i połać l
płaszczyzną
ε
, otrzymamy krawędzie
k
ε1
i
k
επ
, które są ramionami kąta
φ
.
Na poziomym ramieniu kąta od jego
wierzchołka
odkładamy
odcinek
długości
d
. Z końca odcinka długości
d
prostopadle do poziomego ramienia
kąta prowadzimy prostą, na której
odmierzamy wysokość
h
punktu
węzłowego
W
1.
Łącząc początek odcinka
d
z końcem odcinka
h
otrzymamy drugie ramię kąta
φ
.
W celu wyznaczenia wysokości węzła
W
2
zastosowano metodę 3.
Metoda 3.
Metoda ta polega na wprowadzeniu dodatkowej rzutni (metodą
transformacji). W tym celu wprowadzamy nową oś
x
1/3
prostopadle do okapu 2, zatem
połać 2 jest prostopadła do
π
3
— odwzorowuje się w trzecim rzucie w postaci prostej, na
którą odnosimy
W
2
, otrzymując w trzecim rzucie wysokość węzła
W
2
(h)
. Punkt
węzłowy
W
2
wyznaczono dwoma sposobami, stosując również metodę 4.
21
Metoda 4.
W celu wyznaczenia rzutu pionowego krawędzi 1/3 korzystamy ze
znalezionego wcześniej punktu
W
1
oraz z pomocniczego punktu konstrukcyjnego
P
1
.
Punkt ten jest przecięciem okapów połaci l i 3, czyli wierzchołkiem kąta, którego
dwusieczna jest krawędzią 1/3. Jako punkt leżący na przecięciu okapów ma on
wysokość równą pozostałym punktom okapów, w tym przypadku
h
P
=0
, stąd jego rzut
pionowy
P
1
’’
leży na osi
x
. Krawędź 1/3 w rzucie pionowym łączy punkty
P
1
’’
i
W
1
’
i na
nią odnosimy punkt
W
2
’’.
Document Outline