1

WYKŁAD 5

RZUT ŚRODKOWY I JEGO NIEZMIENNIKI

Wiązka prostych i płaszczyzn rzutujących

W przestrzeni przyjmujemy dowolny punkt
właściwy

O

i bierzemy pod uwagę wiązkę

[O]

prostych

i płaszczyzn o wierzchołku

O

, tzn. zbiór wszystkich

prostych i płaszczyzn przestrzeni przechodzących
przez punkt

O

. Punkt

O

nazywać będziemy

środkiem

rzutowania

(inaczej okiem), a proste i płaszczyzny

należące do wiązki

[O]

nazywać będziemy

prostymi i

płaszczyznami rzutującymi.

Prostą rzutującą

k

A

(O, A)

przechodzącą przez punkt

A

nazywamy

prostą rzutującą punkt A

, a płaszczyznę

rzutującą

ρ

l

(O, l)

przechodzącą przez prostą

l

nazywamy

płaszczyzną rzutującą prostą l

.

Płaszczyzna rzutująca zawiera proste rzutujące: tworzą
one na tej płaszczyźnie

pęk prostych (O)

o

wierzchołku w środku rzutowania

O

.

Przyjmujemy następnie (zwykle w położeniu pionowym) dowolną płaszczyznę

τ

nie

należącą do wiązki

[O],

tzn. nie przechodzącą przez punkt

O

; płaszczyznę

τ

nazywać

będziemy

rzutnią

(lub

płaszczyzną tła

).

Rzutem środkowym

(albo

perspektywą)

z punktu

O

na rzutnię

τ

punktu A ≠ O

jest

punkt

A

S

= k τ

, tzn. punkt przebicia rzutni

τ

przez prostą

k

A

rzutującą punkt

A

.

Rzutem środkowym (perspektywą)

z punktu O na rzutnię

τ

prostej

nierzutującej

jest prosta

l

s

= ρ

l

τ

, tzn. krawędź płaszczyzny

ρ

l

rzutującej prostą

l

z rzutnią

τ

.





2

Rzutem środkowym (perspektywą) figury F

nie zawierającej środka rzutowania

O

jest figura

F

S

złożona z rzutów środkowych wszystkich punktów figury

F

.

Rzutem środkowym np. prostej rzutującej

k

A

(pozbawionej punktu

O

) jest punkt

A

S

= k

A

τ;

na punkt

A

S

rzutują się bowiem wszystkie, różne od

O

, punkty prostej

k

A

.

Rzutem środkowym płaszczyzny rzutującej ρ

l

(pomijając punkt O) jest prosta

l

S

= ρ

l

τ

; wszystkie bowiem punkty, różne od

O

, płaszczyzny

ρ

l

rzutują się punkty

prostej

l

S

za pomocą prostych rzutujących zawartych w płaszczyźnie

ρ

l

.

Przykładem rzutu środkowego jest cień rzucony przez dowolną figurę na płaszczyznę
przy oświetleniu środkowym. Innym przykładem jest obraz przedmiotu widziany jednym
okiem na tle szyby okiennej. Środek optyczny oka jest tu środkiem rzutowania;
promienie świetlne biegnące do oka przez poszczególne punkty oglądanego przedmiotu
są prostymi rzutującymi, a płaszczyzna szyby płaszczyzną tła.
Przyporządkowanie punktom i figurom przestrzeni ich rzutów środków nazywamy

rzutowaniem środkowym.

Operacja rzutowania środkowego jest (pomijając środek rzutowania

O

)

jednoznaczna

, ale

nieodwracalna

, ponieważ każdy punkt rzutni jest rzutem

środkowym wszystkich punktów całej prostej rzutującej.
Odwracalność rzutowania środkowego, a tym samym określenie figur przez ich rzuty
środkowe uzyskujemy dla prostych i płaszczyzn za pośrednictwem ich śladów na
płaszczyźnie tła; punkty traktować przy tym będziemy jako elementy określonych
prostych lub płaszczyzn.

Głębokość tłowa i płaszczyzna zniknienia

Przy kreśleniu rzutów środkowych ustalamy najpierw położenie oka względem
płaszczyzny tła. Wyznaczamy w tym celu rzut prostokątny

O

τ

oka

O

na płaszczyznę tła

τ

i bierzemy pod uwagę odległość

δ

oka od płaszczyzny tła:

δ = |O, r| = |O, O

τ

|.

Odległość tę nazywamy

głębokością tłową

.





3

Przystępując do kreślenia rzutów środkowych ustalamy
położenie oka względem płaszczyzny tła w następujący
sposób: na płaszczyźnie rysunku kreślimy dowolny okrąg,
który nazywamy

okręgiem głębokości tłowej

i przyjmujemy

umownie, że:
1) środek

O

τ

okręgu głębokości tłowej jest rzutem

prostokątnym oka na płaszczyznę tła (utożsamioną z
płaszczyzną rysunku),
2) głębokość tłowa

δ

jest równa promieniowi tego okręgu.

Po przyjęciu okręgu głębokości tłowej o środku

O

τ

i

promieniu

δ

środek rzutowania

O

znajduje się na prostopadłej

do płaszczyzny rysunku przechodzącej przez

O

τ

w odległości

od

O

τ

równej promieniowi

δ

tego okręgu. Ustalamy ponadto,

że oko

O

położone jest po tej samej stronie płaszczyzny

rysunku, po której znajduje się osoba kreśląca rzuty.

Niech przy ustalonym położeniu środka rzutowania

O

względem płaszczyzny ej t dany będzie dowolny punkt

A ≠ O

.

Jego rzut środkowy

A

S

jest określony jednoznacznie jako punkt

przebicia tła

τ

przez promień rzutujący

k

A

(O, A)

punktu

A

.

Niech na płaszczyźnie tła z przyjętym okręgiem głębokości o
środku

O

τ

i promieniu

δ

dany będzie rzut środkowy

A

S

punktu

A

, Odtwarzamy położenie oka na prostopadłej do tła

przechodzącej przez

O

τ

w odległości

δ

od

O

τ

i prowadzimy

prostą rzutującą

k

A

(O, A

S

);

punkt

A

o rzucie

A

S

może być

dowolnym - różnym od środka rzutów

O

— punktem tej

prostej.

4

W szczególności punkt niewłaściwy

Z

∞

prostej

k

A

(O, A)

ma rzut środkowy

A

S

. Punkty

niewłaściwe mają więc (ogólnie biorąc) jako rzuty środkowe punkty właściwe.
Rzutowanie środkowe nie zachowuje na ogół równoległości prostych; proste równoległe
o kierunku

Z

∞

mają rzuty środkowe przecinające się we właściwym rzucie

Z

S

punktu

Z

∞

.

Z drugiej strony punkty właściwe mogą mieć jako rzuty środkowe punkty niewłaściwe.
Dla wyznaczenia takich punktów weźmy pod uwagę płaszczyznę

ε

przechodzącą przez

środek rzutowania

O

równolegle do płaszczyzny tła

τ

; jest to tak zwana

płaszczyzna

zniknienia

: każdy jej punkt ma rzut w nieskończoności. Jeśli bowiem punkt

N ≠ O

leży

na płaszczyźnie

ε

, to jego prosta rzutująca

k

N

(O, N)

jest równoległa do płaszczyzny tła

τ

i rzutuje punkt

N

na punkt niewłaściwy

N

S∞

= k

N

τ

. Proste przecinające się w

punkcie leżącym na płaszczyźnie zniknienia mają zatem rzuty równoległe.



Niezmienniki rzutowania środkowego:

Mamy następujące niezmienniki rzutowania środkowego:

(1) współliniowość punktów,

(2) dwustosunek,

(3) stosunek podziału na prostych równoległych do tła,

(4) rozwartość kąta o obu ramionach równoległych do tła.

5

Ad (2). Niech prosta

l

rzutuje się — za pośrednictwem płaszczyzny rzutującej

ρ

l

(O,

l)

— na prostą

l

S

Niech punkty

A, B, C i D

będą dowolnymi punktami prostej

l

, a

A

S

,

B

S

, C

S

i

D

S

— ich rzutami leżącymi na prostej

l

s

.

Rozważmy dwustosunki czwórek punktów

A, B, C

i

D

oraz

A

S

, B

S

, C

S

i

D

S

.

Na mocy twierdzenia Pappusa o przecięciu ramionami kąta czterech prostych
równoległych dwustosunki te są sobie równe; tworzące je czwórki punktów leżą bowiem
w przecięciach prostych

k

A

, k

B

, k

C

i

k

D

należących do pęku prostych o wierzchołku

O

dwiema prostymi

l

i

l

S

.

S

S

S

S

S

S

S

S

D

B

C

A

D

C

B

A

i

BD

AD

BC

AC

ABCD





)

(

:

)

(

6

Rzuty środkowe prostych
Rzuty i ślady prostych. Restytucja prostej.

Jeśli prosta

l

jest dowolną prostą nierzutującą, tzn. nie przechodzącą przez oko, to jej

perspektywa

l

S

jest krawędzią płaszczyzny

ρ

l

(O, l)

rzutującej prostą

l

z płaszczyzną tła:

l

S

= ρ

l

τ

.



Zauważmy, że prosta

l

S

jest także perspektywą każdej innej prostej leżącej na

płaszczyźnie

ρ

l

(O, l).

W celu uzyskania odwracalności rzutowania środkowego prostych bierzemy na każdej
prostej pod uwagę dwa jej punkty: punkt przebicia tła przez tę prostą oraz punkt
niewłaściwy tej prostej.
Punkt przebicia tła przez prostą nazywamy

śladem tłowym prostej

; ślad tłowy

prostej oznaczamy przez

T

l

.

Rzut punktu niewłaściwego prostej nazywamy

śladem

(albo

punktem

)

zbiegu

prostej

; ślad zbiegu prostej

l

oznaczamy przez

Z

l

.

7

Prostą rzutującą punkt niewłaściwy prostej

l

, tzn. prostą przechodzącą przez środek

rzutowania

O

i równoległą do prostej

l

, nazywamy

prostą (promieniem) zbiegu

prostej l

i oznaczamy przez

z

.

Ślad tłowy

T

l

prostej

l

jest więc punktem przebicia tła przez prostą

l

, a jej ślad zbiegu

Z

l

jest punktem przebicia tła przez prostą zbiegu

z

prostej

l

. Ślady prostej są albo oba

punktami właściwymi (pokrywającymi się dla prostych rzutujących), albo oba są jednym
i tym samym punktem niewłaściwym.

Właściwe ślady T

l

i Z

l

prostej l wyznaczają rzut prostej l oraz położenie prostej

l w odniesieniu do tła i oka.

Jeśli więc dany jest rzut

l

S

prostej l i jej ślady

T

l

≠ Z

l

, to restytucji prostej

l

, tzn.

odtworzenia jej położenia w przestrzeni, dokonujemy następująco:
1° odtwarzamy położenie oka

O

na prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej

przez

O

τ

w odległości od

O

τ

równej promieniowi okręgu głębokości tłowej

δ

;

2° przez oko

O

i przez

Z

l

prowadzimy promień zbiegu z prostej

l

;

3° prostą

l

prowadzimy przez

T

l

równolegle do promienia

z

.

U w a g a l.

Punkty są w rzucie środkowym jednoznacznie określone jako elementy prostych lub
płaszczyzn. Punkt

A l

o danym rzucie

A

S

l

S

jest punktem przecięcia się prostej

l

(określonej jednoznacznie przez swe ślady) z prostą rzutującą przechodzącą przez
punkty

O

i

A

S

.

U w a g a 2

.

Pokrywające się niewłaściwe ślady prostej nie określają położenia prostej. Prosta

p

o

śladach

T

p

∞

= Z

p

∞

jest określona jednoznacznie, gdy dany jest punkt

A = p l

jej

przecięcia się z określoną przez właściwe ślady prostą

l

; prosta

p

przechodzi przez

punkt

A l

i ma kierunek punktu niewłaściwego

T

p

∞

= Z

p

∞

.









8

Rzuty środkowe płaszczyzn
Ślady płaszczyzn. Restytucja płaszczyzny.

Przy ustalonym położeniu oka

O

i tła weźmy pod

uwagę dowolną płaszczyznę nierzutującą

α

, tzn.

płaszczyznę nie przechodzącą przez oko

O

.

Weźmy następnie płaszczyznę

ζ

przechodzącą przez

oko

O

równolegle do płaszczyzny

α

. Płaszczyzna

ζ

jest

płaszczyzną promieni zbiegu płaszczyzny

α

; na

płaszczyźnie

ζ

leżą promienie zbiegu wszystkich

prostych płaszczyzny

α

.

Krawędzie płaszczyzn

α

i

ζ

z tłem nazywamy

śladami płaszczyzny α

; krawędź

t

α

= α τ

jest

śladem tłowym płaszczyzny α,

a krawędź

z

α

= ζ τ

jest

śladem zbiegu płaszczyzny α.





Ślady: tłowy

t

α

i zbiegu

z

α

płaszczyzny

α

są prostymi równoległymi, są to bowiem

krawędzie równoległych płaszczyzn z płaszczyzną tła.
Ślady płaszczyzny są albo prostymi właściwymi (pokrywającymi się dla płaszczyzn
rzutujących), albo obydwa jednoczą się z prostą niewłaściwą płaszczyzny tła.
Ślady,

t

α

i

z

α

płaszczyzny

α

, które są prostymi właściwymi, wyznaczają położenie

płaszczyzny

α

w odniesieniu do tła i oka.

Istotnie, jeśli

t

α

≠ z

α

, to płaszczyzna

α

przechodzi przez

t

α

i

jest równoległa do płaszczyzny zbiegu

ζ

przechodzącej przez

z

α

i przez oko

O

. Jeśli

t

ρ

= z

ρ

to płaszczyzna

ρ

pokrywa się ze swą

płaszczyzną promieni zbiegu i jest płaszczyzną rzutującą
przechodzącą przez

t

ρ

= z

ρ

i oko

O

; prosta

t

ρ

= z

ρ

jest jej

rzutem

p

S

.

9

Jeśli więc dane są ślady

t

α

i

z

α

, płaszczyzny α, to restytucji płaszczyzny

α

dokonujemy

następująco:
1° odtwarzamy położenie oka

O

na prostopadłej do płaszczyzny rysunku przechodzącej

przez

O

τ

w odległości od

O

τ

równej głębokości tłowej

δ

,

2° przez oko

O

i przez prostą

z

α

prowadzimy płaszczyznę promieni zbiegu

ζ

płaszczyzny

α

,

3° płaszczyznę

α

prowadzimy przez tα równolegle do płaszczyzny

ζ

.

Uwaga:

Pokrywające się niewłaściwe ślady płaszczyzny nie określają płaszczyzny
jednoznacznie. Płaszczyzna

α

o pokrywających się śladach

t

α

∞

=z

α

∞

jest płaszczyzną

równoległą do płaszczyzny tła; płaszczyznę taką wyznacza jeden jej punkt właściwy
przyjęty na prostej określonej przez rzut i ślady.

10

GEOMETRIA DACHÓW

Dach jednospadowy posiada jedną połać dachową. W tym typie
dachu boczne ściany szczytowe oraz tylna ściana, zwana pulpitową,
mogą być przykryte lub wystawać nad pokrycie dachowe tworząc
ściany przeciwpożarowe (ogniomurki). Dach ten odznacza się dużą
funkcjonalnością i walorami użytkowymi. Często ta forma dachu
służy jako przybudówka, daszek ochronny, magazyn jak też i zwykły
budynek mieszkalny.

Dach dwuspadowy ma dwie połacie dachowe i dwie boczne ściany
szczytowe, które mogą być przykryte pokryciem dachowym lub
wystawać ponad nie. Konstrukcja tego dachu jest prosta, najmniej
materiałochłonna oraz łatwa do wykonania. Dach dwuspadowy
doczekał się szeregu swoich wariantów.

Podstawowymi elementami dachu są:

- więźba dachowa stanowiącą zespół elementów
konstrukcji nośnej,
- połać dachowa z jej pokryciem,

-system zbierania i odprowadzania wody
opadowej,

- urządzenia naświetlające przestrzeń poddasza.

Więźba dachowa

jest to przestrzenny ustrój

szkieletowy, kształtujący dach i poddasze.
Zasadniczymi elementami płaskimi więźby w
przekroju poprzecznym są wiązary dachowe.

11

Dach czterospadowy ma cztery połacie dachowe, najczęściej o
jednakowym nachyleniu. Konstrukcja ta, wraz z dachami jedno- i
dwuspadowymi należy do najstarszych form dachów. Akcentuje ona
formę ochronną dachu i nadaje budynkom reprezentacyjny wygląd.
Odmianą dachów dwuspadowych i czterospadowych są dachy
naczółkowe tj. dachy dwupołaciowe ze ściętymi narożami.

Dach naczółkowy stanowi wyraz regionalnej architektury, ponieważ
ma on zastosowanie głównie na terenach, gdzie szczyt dachu jest
szczególnie

narażony

na

działanie

surowych

warunków

atmosferycznych. Szczyt dachu musi wtedy być zabezpieczony na
najbardziej wyeksponowanej wysokości, czyli kalenicy.

Następną kombinacją dachów dwu- i czterospadowych są dachy
półszczytowe. Dachy te składają się z półszczytów, czy też
przyczółków. Należą one, obok dachu naczółkowego do dachów
stanowiących wyraz regionalnej architektury.

Architektura dachów obfituje bogactwem różnorodnych form i
kształtów. Kolejnym przykładem urzeczywistnienia ludzkiego
pomysłu jest dach dwukondygnacyjny. Dach ten określany jest
również jako dach mansardowy. Posiada on dwie lub cztery połacie
dachowe, które mogą być oddzielone gzymsem, uskokiem lub
murem. Każda połać dachowa składa się z dwóch płaszczyzn o
różnym nachyleniu. Konstrukcja dachu mansardowego umożliwia
rozbudowę pomieszczenia znajdującego się bezpośrednio pod jego
powierzchnią, czyli poddasza.

12

Istnieją, także dachy namiotowe, które budowane są na poziomym
rzucie kwadratu. Dachy te składają się z trójkątnych połaci,
zbiegających się w jednym punkcie. Ten punkt szczytowy posiadają
też dachy wieżowe (hełm i iglica), stożkowe oraz dachy kopulaste i
baniaste (tzw. dachy wygięte). Dach pilasty (szedowy) to zespół
dachów jedno- lub dwuspadowych. Stosowany jest najczęściej do
przykrywania dużych powierzchni budynków. Dach ten umożliwia
jednocześnie górne oświetlenie pomieszczenia.

Wraz z rozwojem ludzkich potrzeb oraz możliwości architektonicznych
zaczęły powstawać różnego rodzaju elementy uzupełniające dach,
takie jak: wykusze, okna i wnęki dachowe. Jako pierwsze w literaturze
branżowej wymienia się proste w swej konstrukcji i ekonomicznie
rozwiązane okna połaciowe. Pozwalają one z jednej strony na
oświetlenie poddasza, lecz z drugiej strony nie dają możliwości jego
dodatkowego zagospodarowania. Innym elementem dachu są wnęki
dachowe: np. loggie, jako pewien rodzaj wnęk dachowych, umożliwiają
swobodne wyjście na dach i są źródłem światła.

Znane od średniowiecza lukarny, zachowały się do czasów
współczesnych. Wyróżnia się lukarny pochyłe i lukarny szczytowe. Na
niektórych budynkach można spotkać wieloboczne lub krzywoliniowe
występy w elewacji, często wypełnione oknami. Są to tzw. wykusze.
Wykusze wzbogacają wygląd nie tylko ścian budynków, lecz też i
dachów.

13

Dachy wieżowe

a), b)

namiotowe;

c), d)

stożkowe;

e)

kopulasty (żebrowy) z

łubniem;

f)

kopulasty (czasza) z

iglicą;

g), h), i)

hełmowe

14

Obiekty halowe i użyteczności publicznej

fałdowo-łukowy

łupinowy

łupinowy

strukturalno-przestrzenny

strukturalno-przestrzenny

walcowy

beczkowy

15

b)

wierzchołek
podstawy

okap

Dach i jego elementy:

a) w rzucie prostokątnym, b) w izometrii wojskowej,

b) c) linia grzbietowa dachu w rzucie prostokątnym

16

W literaturze z zakresu klasycznej geometrii wykreślnej nie ma pełnej geometrycznej
definicji dachu, która mogłaby stanowić bezpośredni punkt wyjścia do sformułowania
algorytmu komputerowego. Wprowadzane założenia wystarczają w zupełności do
geometrycznego wyznaczenia szkieletu dachu w ujęciu klasycznych konstrukcji p-o i
jego analizy metrycznej. Nie znajdujemy tam natomiast ogólnej zasady konstrukcji
geometrycznej, tj. ogólnego algorytmu rozwiązania dachu przy danej podstawie, mimo
że w wielu monografiach geometrii wykreślnej geometria dachów jest omawiana.
Konstrukcja p-o (prosta-okrąg) jest klasyczną konstrukcją geometryczną realizowaną za
pomocą cyrkla i linijki.

Konstrukcja klasyczna

polega na tym, że mając dany pewien

zbiór punktów i ewentualnie odcinków znajdujemy nowe punkty otrzymane przez
przecięcie prostych i okręgów wyznaczonych przez dane punkty.

Elementy geometrii dachów

Pod względem geometrycznym dachy są wielościanami zbudowanymi na wielokącie

wyznaczonym przez ściany nośne. Ściany tych wielościanów są zbiorem wielokątów
płaskich pokrywających budynki lub inne wydzielone przestrzenie, zwane

połaciami

dachu

. Wielokąt, na którym opiera się dach, nazywamy

wielokątem okapu

, a boki

tego wielokąta —

okapami

.

Krawędzie

między przyległymi połaciami dachu dzielimy na trzy grupy:

1) krawędzie poziome zwane

krawędziami grzbietowymi

lub

kalenicami

;

2) krawędzie kątów wypukłych (ale nie poziome) zwane

krawędziami narożnymi

;

3) krawędzie kątów wklęsłych zwane

krawędziami koszowymi

.

Punkty wspólne krawędzi dachu nazywamy

punktami węzłowymi

.

17

W sensie geometrycznym wyznaczenie dachu polega na:

1) wyznaczeniu w rzutach prostokątnych

rzutów wszystkich krawędzi

, jakie tworzą

poszczególne połacie dachu rozpięte nad zadanym wielokątem okapu;

2) wyznaczeniu

kształtów i rozmiarów tych połaci

;

3) wyznaczeniu

rozwartości (miar) kątów dwuściennych

między przyległymi

połaciami dachu.

Wielokąt okapu stanowiący podstawę dachu jest zwykle pewnym wielokątem leżącym
w płaszczyźnie poziomej. Połacie są nachylone zwykle do poziomu pod zadanym
stałym kątem. Jeżeli dwie płaszczyzny wsparte są na dwóch okapach tworzą z
płaszczyzną poziomą jednakowe kąty, to

rzut poziomy krawędzi

tych płaszczyzn jest

dwusieczną kąta między tymi okapami

lub jest

prostą równoległą do

równoległych okapów

i dzieli obszar między tymi okapami na dwie równe części.

Wniosek ten wynika bezpośrednio z faktu, że płaszczyzna poziomo rzutująca krawędź
dwu płaszczyzn, tworzących z płaszczyzną poziomą jednakowe kąty, jest płaszczyzną
symetrii prostokątnej dla tych płaszczyzn, a więc jej rzut poziomy jest osią symetrii
prostokątnej dla okapów tych płaszczyzn.
Oprócz podanej własności podczas wyznaczania rzutów prostokątnych poszczególnych
krawędzi połaci dachowych korzystamy z

twierdzenia o punkcie węzłowym

(trzy

płaszczyzny nie należące do jednego pęku mają jeden punkt wspólny (punkt węzłowy),
przez który przechodzą trzy krawędzie tych płaszczyzn).

18

Rzuty poziome dachów oparty na czworokątach. Punkt
węzłowy

W

1

w rzucie poziomym jest jednakowo

odległy od okapu 1, 2 i 4,

d

1

= d

2

= d

4.

Wynikiem przyjętych założeń są następujące konstrukcje w rzucie poziomym:
1. Krawędzie przecięcia się sąsiadujących połaci w rzucie poziomym odwzorowują się

jako dwusieczne kątów, jakie tworzą okapy danych połaci. Gdy krawędź łączy
połacie o okapach równoległych, jest ona pozioma, równoległa do okapów i
jednakowo odległa od tych okapów. Rzut poziomy takiej krawędzi (kalenicy) jest
równoległy do okapów i dzieli obszar między tymi okapami na dwie równe części.

2. Punkt, w którym spotykają się dwie

krawędzie

(1/2 i 1/4),

przy czym żadna z nich

nie napotyka wcześniej — wychodząc od załamania linii okapu — żadnej innej
krawędzi, jest węzłem, który kończy przebieg tych krawędzi (1/2 i 1/4) i rozpoczyna
bieg kolejnych krawędzi — 2/4. Węzeł jest więc punktem wspólnym trzech połaci.
Ponieważ każda z nich jest nachylona do

π

1

pod takim samym kątem, rzuty

krawędzi są konstruowane jako dwusieczne kątów, a więc węzeł

W

1

jest w rzucie

poziomym jednakowo odległy od rzutu okapu 1, 2 i 4,

d1 = d2 = d4.

Własność ta

pozwala na natychmiastowe wychwycenie błędów lub niedokładności rozwiązania.

19

3. Aby zachować warunek stawiany dachom przyległym dotyczący odprowadzania
wody opadowej, należy ustalić kierunek spływu na danej płaszczyźnie. Jest to prosta
nazywana prostą największego spadu płaszczyzny, czyli prostopadła do prostej
poziomej danej płaszczyzny. W przypadku połaci dachowej jest to z reguły linia okapu.

Kąt prosty pomiędzy kierunkiem spływu a linią okapu będzie zachowany w
rzucie poziomym

.

4. Wprowadzenie dodatkowych połaci następuje wówczas, gdy połacie przechodzące
przez istniejące linie okapu nie spełniają warunku dotyczącego spływu wody. Kierunek
spływu wody na dodatkowej połaci jest równoległy do granicy (dachu przyległego).

Okap takiej połaci jest prostopadły do założonego kierunku spływu wody.

Stosowanie powyższych zasad pozwala na rozwiązanie w sposób jednoznaczny
dowolnego dachu w rzucie poziomym w myśl przyjętych na początku założeń.

Wyznaczanie rzutu pionowego dachu

Metoda l.

Rzut pionowy dachu konstruujemy

korzystając z przyjętej wartości kąta

φ

nachylenia połaci do poziomu. Jeżeli na dachu
występują

połacie

rzutujące

(o

okapach

prostopadłych do osi

x

), to odwzorowujemy je w

rzucie pionowym jako proste nachylone do osi

x

pod kątem

φ

. Węzły

W

1

i

W

2

w rzucie pionowym

znajdują się na prostych będących obrazem
połaci l i 3. Połączone węzły

W

1

i

W

2

w rzucie

pionowym dadzą rzut pionowy krawędzi 2/4. Jest
to krawędź pozioma (kalenica), bo okapy 2 i 4 są
równoległe.

20

Gdy na dachu nie występują połacie rzutujące lub są one niewystarczające do
wyznaczenia rzutu pionowego całego dachu, możemy znajdować wysokości
poszczególnych węzłów innymi sposobami.

Metoda

2.

Przez

punkt

W

1

prowadzimy

płaszczyznę

ε

prostopadła do

π

1

i prostopadłą do

jednej z połaci przechodzącej przez
punkt

W

1

(prostopadle do połaci l).

Przecinając rzutnię poziomą i połać l
płaszczyzną

ε

, otrzymamy krawędzie

k

ε1

i

k

επ

, które są ramionami kąta

φ

.

Na poziomym ramieniu kąta od jego
wierzchołka

odkładamy

odcinek

długości

d

. Z końca odcinka długości

d

prostopadle do poziomego ramienia
kąta prowadzimy prostą, na której
odmierzamy wysokość

h

punktu

węzłowego

W

1.

Łącząc początek odcinka

d

z końcem odcinka

h

otrzymamy drugie ramię kąta

φ

.

W celu wyznaczenia wysokości węzła

W

2

zastosowano metodę 3.

Metoda 3.

Metoda ta polega na wprowadzeniu dodatkowej rzutni (metodą

transformacji). W tym celu wprowadzamy nową oś

x

1/3

prostopadle do okapu 2, zatem

połać 2 jest prostopadła do

π

3

— odwzorowuje się w trzecim rzucie w postaci prostej, na

którą odnosimy

W

2

, otrzymując w trzecim rzucie wysokość węzła

W

2

(h)

. Punkt

węzłowy

W

2

wyznaczono dwoma sposobami, stosując również metodę 4.

21

Metoda 4.

W celu wyznaczenia rzutu pionowego krawędzi 1/3 korzystamy ze

znalezionego wcześniej punktu

W

1

oraz z pomocniczego punktu konstrukcyjnego

P

1

.

Punkt ten jest przecięciem okapów połaci l i 3, czyli wierzchołkiem kąta, którego
dwusieczna jest krawędzią 1/3. Jako punkt leżący na przecięciu okapów ma on
wysokość równą pozostałym punktom okapów, w tym przypadku

h

P

=0

, stąd jego rzut

pionowy

P

1

’’

leży na osi

x

. Krawędź 1/3 w rzucie pionowym łączy punkty

P

1

’’

i

W

1

’

i na

nią odnosimy punkt

W

2

’’.