Tematy realizowane w I części:

1. Podstawowe pojęcia i określenia.

1. Wiadomości wstępne

2. Uproszczony model ciała stałego

3. Siły spójności i mechanicznych odkształceń w ciele stałym.

4. Siły zewnętrzne, wewnętrzne; ujawniane sił wewnętrznych - metoda przekrojów myślowych; elementy wysiłku przekroju.

5. Definicja naprężenia

6. Naprężenie styczne i normalne

7. Klasyfikacja obciążeń oraz podstawowych elementów konstrukcyjnych

8. Zasada de Saint - Venanta

9. Zasada superpozycji

10. Podstawowe hipotezy i założenia wytrzymałości materiałów

11. Układy jednostek w obliczeniach wytrzymałościowych.

1. Proste przyp. obciążenia - rozciąganie i ściskanie

2.1 Miara definicji liniowej

2.2 Prawo Hooke'a

2.3 Własności materiałów. Statyczna próba rozciągania. Wykresy rozciągania.

2.4 Naprężania dopuszczalne, współczynnik bezpieczeństwa.

2.5 Przypadki statycznie niewyznaczalne przy ściskaniu i rozciąganiu.

2.6 Naprężenia cieplne (termiczne)

2.7 Naprężenia w cięgnach o małym zwisie - analiza uproszczona.

1. Analiza stanu naprężeń i odkształceń.

3.1 jednowymiarowy ( jednoosiowy , jednokierunkowy ) stan naprężeń.

3.2 Dwuwymiarowy stan naprężenia ( dwukierunkowy, dwuosiowy, płaski )

3.3 Metoda wykreślna wyznaczenia naprężeń - koło Mohra

3.4 Ścinanie czyste

3.5 Zmiana wymiarów poprzecznych - liczba Poissona

3.6 Uogólnione prawo Hooke'a

1. Ścinanie techniczne.

1. Skręcanie.

5.1 Wały drążone

5.2 Naprężęnia w sprężynach śrubowych

5.3 Skręcanie swobodne prętów o dowolnych przekrojach

5.4 Skręcanie profili cienkościennych o przekroju zamkniętym ( wzory Bredta )

1. Zginanie.

6.1 Rodzaje zginania

6.2 Związek pomiędzy siłą tnącą, momentem gnącym i obciążeniem ciągłym !

6.3 Zginanie czyste. Analiza naprężeń i odkształceń

6.4 Belki o równej wytrzymałości na zginanie.

6.5 Zginanie ukośne

2. Zbiorniki cienkościenne osiowo-symetryczne.

7.1 Koło Mohra dla zbiornika walcowego:

3. Energia odkształcenia sprężystego.

8.1 Energia odkształcenia sprężystego procesie rozciągania.

8.2 Energia odkształcenia sprężystego w przestrzennym stanie odkształcenia.

8.3 Energia odkształcenia sprężystego w procesie skręcania.

8.4 Energia sprężysta w prętach zginanych.

1.1 WIADOMOŚCI WSTĘPNE

Wytwarzanie Materiałów - to nauka stosowana zajmująca się badaniem praw i zjawisk fizycznych jakim podlegają ciała odkszt. Jest to dział fiz. ciała stałego jak mechanika ogólna, teoria sprężystości, teoria plastyczności.

Mech. ogólna zajmuje się uproszczonym modelem ciała zwanym ciałem sztywnym, w którym odległości między poszczególnymi punktami ciała nie ulegają zmianom pod wpływem działającego obciążenia.

W przyrodzie idealne sztywne ciała nie istnieją. W każdym elemencie dowolnej konstrukcji pod wpływem działania sił zewnętrznych następuje zmiana początkowych wymiarów i kształtów, tzn. element ulega deformacji.

Podstawy do prawidłowego projektowania elementów konstrukcji stwarza wytrzymałość materiałów - gałąź nauki obejmująca techniczne metody obl. elementów urządzeń i części maszyn ze względu na ich wytrzymałość, sztywność i stateczność.

Wytrzymałość Materiałów zajmuje się więc ustaleniem zależności pomiędzy obciążeniom działającym z zewnątrz na ciała (przyczyna) a odkształceniem (skutkiem). Przez pojęcie Wytrzymałość rozumie się zdolność do przenoszenia (bez zniszczeń)obciążenie zewnętrznych wszystkich elementów konstrukcji.

Sztywność - zdolność konstrukcji jak i jej poszczególnych elementów do zachowania początkowego kształtu przy możliwie jak najmniejszych zmianach wymiarów początkowych.

Obliczenia na wytrzymałość i sztywność są podstawowymi obliczeniami, którymi zajmuje się wytrzymałość materiałów.

Występuje wiele ważnych technicznych zagadnień, w którym główną rolę odgrywają obliczenia ze względu na stateczność tj. zdolność konstrukcji lub jej części do zachowania początkowego stanu równowagi.

Podstawowym zadaniem Wytrzymałości Materiałów jest wypracowanie takich wiarygodnych i ekonom. met. obliczeń aby ciężar, kształt i wymiar zaprojektowanych konstrukcji były optymalne, przy czym przez pojęcie optymalizacji należy rozumieć właściwy dobór materiałów i jego oszczędności przy równoczesnym zapewnieniu odpowiedniej trwałości, niezawodności i bezpieczeństwa konstrukcji.

1.2 UPROSZCZONY MODEL CIAŁA STAŁEGO

Średnie położenia atomów względem siebie wypełniają przestrzeń ciała stałego, znajdują się w pewnych założonych odległościach dla żelaza

R_o= 2,9 * 10 ^-7 mm.

Zmianę wartości sił wzajemnego oddziaływania występujących w wyizolowanym modelu 2 atomów.

Pojedyncze ziarno lub kryształ (grupa atomów ułożona w sieć krystaliczną) wykazuje na ogół różne własności fizyczne w różnych kierunkach(anizotropia materiałowa). Niektóre materiały, beton zbrojony, drewno, kompozyty, walcowana na zimno stal mają właściwości anizotropowe.

Podczas większości wielkoseryjnych procesów metalurgii tworzy się losowy nieregularny rozkład ziaren o różnej orientacji kierunkowej, wówczas taki materiał wykazuje uśrednione właściwości fizyczne jednakowe w każdym kierunku. Zjawisko nosi nazwę izotropii materiałowej. Do grupy tej należą większość używanych konstrukcji maszyn, stopu metali, tworzyw sztucznych, szkło, beton, guma, itp.

1.3 SIŁY SPÓJNOŚCI I MECHANICZNYCH ODKSZTAŁCEŃ W CIELE STAŁYM.

Opierając się na analizie sił występujących w modelu dwuatomowym można zinterpretować zachowanie modelu wieloatomowego pod działaniem sił zewnętrznych. Różne przypadki odkształceń ciała stałego występuje w konstrukcjach mechanicznych, przedstawione są na poniższym rysunku.

1.4 SIŁY ZEWNĘTRZNE, WEWNĘTRZNE; UJAWNIANE SIŁ WEWNĘTRZNYCH - METODA PRZEKROJÓW MYŚLOWYCH; ELEMENTY WYSIŁKU PRZEKROJU.

Siły zewnętrzne - podział:

- czynne - obciążenia skupione lub ciągłe, statyczne lub dynamiczne siły pochodzące od pól siłowych, grawitacji odśrodkowych.

- bierne - reakcje

Siły wewnętrzne - siły wzajemnego oddziaływania cząstek jednych na drugie. Po przyłożeniu do danego ciała sił zewnętrznych wywołuje w nim wzrost wzajemnego oddziaływania cząstek przeciwstawiającego się działaniu sił zewnętrznych.

Siły wewnętrzne zapewniają zachowanie odpowiedniego kształtu i objętości ciała w trakcie obciążania.

Ujawnienie sił wewnętrznych - element wysiłku przekroju.

F_x - siła normalna (siła osiowa N_x) - powoduje rozciąganie lub ściskanie belki

F_y - siła styczna (tnąca, T_y) - powoduje ścinanie

F_z - siła styczna (tnąca, T_z) - powoduje ścinanie

M_x - moment skręcający

(M_s) - powoduje skręcanie belki, osi, wału

M_y - moment gnący (M_gy) - powoduje zginanie w pXZ

M_z - moment gnący (M_gz) - powoduje zginanie w pXZ

1.5 DEFINICJA NAPRĘŻENIA

Omówienie wcześniej własności ciał stałych wynikające z budowy atomowej wykorzystywane teraz do omówienia i zdefiniowania sił wewnętrznych jakie występują w dowolnym punkcie traktowanego jako kontinuum materialne.

Rozpatrzmy w tym celu ciało poddane działaniu zewnętrznych sił czynnych, obciążeń P₁, P₂, P₃ oraz zewnętrznych sił biernych reakcji zapewniających równowagę ciała.

ΔW₁, ΔW₂, ΔW_i - elementarne siły wewnętrzne w płaszczyźnie przekroju myślowego.

ΔA₁, ΔA₂, ΔA_i - elementarne pola powierzchni wokół sił.

Naprężeniem p w danym punkcie przekroju danego ciała stałego nazywamy granicę, do której dąży iloraz wewnętrznych sił ΔW_i oraz elementarnego pola ΔA_i tego przekroju, gdy pole to dąży do zera.

Kiedy we wszystkich punktach przekroju istnieje takie samo naprężenie np. jednoosiowe rozciąganie możemy zdefiniować naprężenie średnie przekroju

P_śr= W/A

W - suma sił przekrojowych

A - całe pole przekroju

1.6 NAPRĘŻENIE STYCZNE I NORMALNE:

Wektor naprężeń wyznacza w danym punkcie B przekroju ciała na ogół tworzy z płaszczyzną tego przekroju dowolny kąt a. Poprowadźmy przez B płaszczyznę P prostopadłą do przekroju abcd i zawierającą wektor p naprężenia, a następnie rozłóżmy ten wektor na 2 składowe.

d =p*sina

t =p*cosa

Składową normalną do przekroju oznaczamy literą
d i nazywamy naprężeniem normalnym.

1.7 KLASYFIKACJA OBCIĄŻEŃ ORAZ PODSTAWOWYCH ELEMENTÓW KONSTRUKCYJNYCH.

W zależności od sposobu przyłożenia sił zewnętrznych rozróżniamy proste przypadki obciążeń:

a) Rozciąganie lub ściskanie.

b) zginanie - powstaje gdy siły obciążające lub ich składowe są prostopadłe do osi belki.

c) skręcanie - wywołują 2 pary sił działające w 2 różnych płaszczyznach prostopadłych do osi wału.

Pręty, belki, wały - to elementy konstrukcji, w którym jeden z wymiarów jest znacznie większy od wymiarów pozostałych (poprzecznych).

Pręty - obciążenie przyłożone jest wyłącznie osiowo.

Wały - obciążane są momentami wywołującymi skręcanie.

Belką - nazywamy ciało, gdzie obciążenie przyłożone jest w dowolny sposób i powoduje powstanie głównie momentu zginającego.

Ramą - nazywamy belki zakrzywione lub rozgałęzione (płaskie lub przestrzenne).

Przykłady ilustrują przypadki obciążeń prostych. Jeżeli kilka obciążeń działa równocześnie, mówimy o wytrzymałości złożonej.

1.8 ZASADA DE SAINT - VENANTA (1797 - 1866)

Dotychczas omawiane były ciała obciążone siłami skupionymi. Przyjrzyjmy się co dzieje się w pręcie w pobliżu przyłożenia siły skupionej (obciążonej).

Ponieważ skończona wartość siły działa na mały obszar w otoczeniu punktu A dlatego powstają tu bardzo duże naprężenia i odkształcenia miejscowe.

Przyjmuje się, że w odległości większej od około 1,5 średnicy od końca pręta - rozkład naprężeń jest równomierny na całej powierzchni przekroju poprzecznego.

1.9 ZASADA SUPERPOZYCJI

W przypadku skomplikowanego układu obciążeń można znacznie uprościć obciążenia wytrzymałościowe po zastosowaniu zasady superpozycji.

Głosi ona, że:

- przemieszczenie (lub siła) w dowolnym miejscu rozpatrywanego ciała sprężystego, wywołane dowolnymi przyczynami (siłami, odkształcenia) może być obliczona jako suma składników spowodowanych działaniem każdej przyczyny z osobna.

Powyższa zasada dotyczy układów liniowo sprężystych.

Warunkiem stosowania zasady superpozycji jest niezależność działania sił.

Warunek nie jest spełniony na poniższym rysunku.

1.10 PODSTAWOWE HIPOTEZY I ZAŁOŻENIA WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW.

Podczas analizowania stanu naprężeń i odkształceń konstrukcji przyjmowane są (dla ułatwienia matematycznej strony rozważań) założenia upraszczające przebieg obliczeń. Uwzględniając fizyczne własności ciał oraz charakter ich odkształceń pod wpływem zadanych obciążeń przyjmowane są założenia:

a) - materiał ciała posiada ciągłą strukturę czyli całkowicie wypełnia jego objętość.

b) - materiał jest jednorodny tzn. we wszystkich punktach ma jednakowe własności fizyczne.

c) - materiał jest izotropowy - we wszystkich kierunkach ma jednakowe własności. Założenie to może być stosowane tylko do niektórych materiałów. W przypadku materiałów anizotropowych jak drewno lub kompozyt musimy uwzględnić własności zarówno wzdłuż jak i w poprzek włókien.

d) - odkształcenia sprężyste są bardzo małe w stosunku do wymiarów ciała.

e) - w ciele do chwili przyłożenia obciążenia nie ma sił wewnętrznych.

f) - zasada superpozycji (niezależność działania obciążeń)

g) - zasada de Saint - Venanta.

1.11 UKŁADY JEDNOSTEK W OBLICZENIACH WYTRZYMAŁOŚCIOWYCH.

W wielu krajach między innymi w Polsce stosowany jest powszechnie układ jednostek SI. Niektóre kraje (USA, Kanada, Anglia, Australia) stosują anglosaski układ jednostek stosowany w obliczaniu oraz do opisu dokumentacji technicznej.

Wygodny do stosowania w zadaniach jest następujący układ

siła [N]

przemieszczenie - [mm]

naprężenie - [MPa]

1MPa = 1*10⁶ Pa = 1*10⁶

= 1MPa

Przy obliczaniu kątów skręcenia wałów będziemy używać podstawowe jednostki układu SI:

siła - [N]; naprężenie - [Pa]; przemieszczenie - [m]; kąt obrotu w [rad]

2. PROSTE PRZYPADKI OBCIĄŻENIA - ROZCIĄGANIE I ŚCISKANIE.

2.1Miara odkształcenia - wszystkie ciała pod działaniem sił zewnętrznych w większym lub mniejszym stopniu deformują się tzn. zmieniają kształt. Zmiana wymiarów liniowych nazywa się def. Liniową a zmiana formy.

Miara def. Liniowej

Rozważmy dowolne ciało z wyznaczeniem pkt. A i B na jego powierzchni lub w jego wnętrzu.

Liniowa deformacja średniego wydłużenia E_śr w punkcie A definiowana jest następująco:

Δl - przyrost długości

l_o - długość początkowa

E_śr =
=

Rzeczywista deformacja w punkcie A odkształcenie E lub wydłużenie względne określona jest jako granica ilorazu
przy l_o
0

E =

=
(
)

Miara deformacji postaciowej:

g- kąt odkształcenia postaciowego

Zmiana pierwotnie prostego kata między krawędziami rozpatrywanego prostokąta będzie charakteryzować deformację postaciową w danym punkcie ciała.

2.2 PRAWO HOOKE'A

W wyniku obserwacji rozciągania wykonanych z różnych materiałów stwierdził, że:

Wydłużenie Δl pręta jest wprost proporcjonalne do siły rozciągającej P i długości początkowej l pęta a odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta.

Δl =
E - moduł Younga (moduł sprężystości podłużnej)

Stwierdzenie ujęte powyższym wzorem nazywane jest prawem Hooke'a.

Δl =
/ : l

=
d =
- naprężenie średnie

=

e =
- druga postać prawa Hooke'a

d = e*E

Dla większości materiałów stosowanej w budowie maszyn prawo Hooke'a stosowane jest w przypadku rozciągania i ściskania.

2.3 WŁASNOŚCI MATERIAŁÓW. STATYCZNA PRÓBA ROZCIĄGANIA. WYKRESY ROZCIĄGANIA.

W celu ustalenia wielkości charakteryzujących materiały takich jak E, granica stosowalności prawa Hooke'a, czy też naprężenia przy, którym materiał ulega zniszczeniu przeprowadza się z użyciem wycinka materiałów w postaci próbki o znormalizowanych kształtach i wymiarach.

PN - 80 / H - 04310

Wykres rozciągania dla stali niskowęglowej

Dla stali wysokowęglowej (stopów miedzi i Al)

Umowna granica plastyczności R_oz to taka wartość naprężenia, która wywołuje w próbce wydłużenie trwałe = 0,2% długości początkowe próbki.

Umowna granica sprężystości R_oos to taka wartość naprężenia, która wywołuje w próbce wydłużenie trwałe = 0,05% długości początkowej próbki.

2.4 NAPRĘŻANIA DOPUSZCZALNE, WSPÓŁCZYNNIK BEZPIECZEŃSTWA.

Naprężanie bezpieczeństwa dopuszczalne dla danego materiału w konstrukcji muszą być nie tylko mniejsze od niszczących lecz od naprężone powierzchni odkształcenia trwałego. W przypadku materiałów sprężysto plastycznych (bez wyraźnej granicy plastyczności i materiału sprężysto kruchych. Za naprężenie niszczące przyjmowana jest granica wytrzymałości R_m, wówczas naprężenie dopuszczalne na rozciąganie możemy sformułować następująco

k_r =
n
1

Dla materiałów sprężysto plastycznych z wyraźną granicą plastyczności należy się zabezpieczyć przed powstawaniem odkształceń trwałych konstrukcji. Z tego względu naprężenie dopuszczalne odniesione jest do granicy plastyczności R_e.

k_r =
n_e
1

Dobór współczynnika bezpieczeństwa zależy od:

- sposób przykładania obciążeń (dynamiczne, statyczne, zmęczenie),

- jednorodność materiału (odlew, odkówka, walcowanie),

- naprężenia wstępne (zawyża się współczynniki),

- niedokładność metod obliczeniowych,

- czas i warunki pracy konstrukcji (tymczasowa, długotrwała),

- w przypadku braku bliższych danych dla obciążeń statycznych można przyjmować:

k_r (k_c) = 0,48 R_e

k_g - zginanie k_g = 0,53 R_e

k_s - ścinanie lub skręcanie k_s = 0,27 R_e

Warunek wytrzymałościowy (rozciąganie lub ściskanie).

Obliczenie wytrzymałości elementu rozciąganego sprowadza się do sprawdzenia czy spełniony jest tzw. warunek wytrzymałości. Zakłada, że naprężenia w żadnym punkcie konstrukcyjnym nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych.

(1) d = P/A <= k_r (k_c)

| \

rozciąganie ściskanie

Warunek sztywnościowy - często oprócz zapewnienia odpowiedniej wytrzymałości istnieje potrzeba ograniczenia maksymalnej deformacji konstrukcji. Aby spełnić założenia konieczne jest sformułowanie warunków sztywnościowych. W warunkach tych porównywane są rzeczywiste deformacje konstrukcji z definicjami dopuszczalnymi.

2. Δl =
   
   

Oprócz w/w obliczeń należy także sprawdzić pręt ściskany na wyboczenie. Ze względu na to, że zjawisko wybaczenia będzie omawiane później - warunek w zadaniu został pominięty.

2.5 PRZYPADKI STATYCZNIE NIEWYZNACZALNE PRZY ŚCISKANIU I ROZCIĄGANIU.

W rozpatrywanych dotychczas przypadkach rozciągania lub ściskania prętów reakcje można było policzyć z równowagi statyki (były układy statycznie wyznaczalne). Jeżeli liczba reakcji jest od możliwych do sformułowania warunku równowagi wówczas układ taki nazywamy statycznie niewyznaczalnym.

1) N₁ + N₂ + N₃ - p =0 r=2 - l. Równań

2) -N₁*3a - N₂*2a - p*2a =0 n=3 - l. Niewiadomych

3)
k = n - r = 3 - 2 = 1

k - krotność statycznie niewyznaczalna.

Zatem powyższy układ jest jednokrotnie zewnętrznie statycznie niewyznaczalna.

Brakujące równanie możemy uzyskać na podstawie porównania odkształceń prętów wskutek hipotetycznej deformacji układu.

2.6 NAPRĘŻENIA CIEPLNE (TERMICZNE)

Wydłużenia prętów mogą nie tylko powstawać na skutek działania siły lecz również wskutek przyrostu temperatury. Przyrost temperatury Δl_t przy podgrzaniu o Δt można wyznaczyć ze wzoru

Δl_t = l * a*Δt

a - liniowy współczynnik rozszerzalności termicznej

W konstrukcji statycznie wyznaczane przyrosty temperatury nie mają istotnego wpływu na stan naprężeń w układzie. W układzie statycznym niewyznaczalności zmiany temperatury mogą wywołać dość znaczne naprężenie (termicznymi lub cieplnymi). Często pojawiają się także w układach obciążonych niejednorodnym polem temperatury (np. silnik samochodowy).

2.7 NAPRĘŻENIA W CIĘGNACH O MAŁYM ZWISIE - ANALIZA UPROSZCZONA.

Cięgnami nazywamy ciało mające wymiary poprzeczne bardzo małe w porównaniu z długością ( druty liny łańcuchy, taśmy i pasy ). Cięgna mogą przenosić tylko siły rozciągające.

3. ANALIZA STANU NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

3.1 JEDNOWYMIAROWY ( JEDNOOSIOWY , JEDNOKIERUNKOWY ) STAN NAPRĘŻEŃ.

Naprężenia w przekrojach obróconych o kąt > 90^o

Konwencja związków naprężeń stycznych.

Znak ujemny naprężenia stycznego t oznacza, że naprężenie to usiłuje obrócić element w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

3.2 DWUWYMIAROWY STAN NAPRĘŻENIA ( DWUKIERUNKOWY, DWUOSIOWY, PŁASKI )

stosujemy zasadę superpozycji

1) d_a^', t_a^'  działa naprężenie d₁ , d₂ =0

2) d_a^'', t_a^''  działa naprężenie d₂ , d₁ =0

3.3 METODA WYKREŚLNA WYZNACZENIA NAPRĘŻEŃ - KOŁO MOHRA

Składowe naprężeń we wnętrzu elementu płaskiego ( dwu wymiarowego ) daje się łatwo wyznaczyć w oparciu o metodę wykreślna tzw. koło Mohra. W tym celu rozważmy płaską płytę obciążoną na brzegach obciążeniami d₁ i d₂ (d₁>d₂)

Dane: d₁, d_2, a

Szukane: d_x, d_y, t_x, t_y

Przypadki szczególne koła Mohra

3.4 ŚCINANIE CZYSTE

Stosując wzór na tg różnicy kątów

Dla małych kątów

zatem

Porównując wzory

=

E=

W stanie czystego ścinania naprężenie styczne t jest równe co do wartości naprężeniom głównym d₁ i d₂

Stosując metodę superpozycji możemy wyznaczyć wydłużenie płyty na kierunku 1

1) działa tylko naprężenie rozciągające

2) działa naprężenie ściskające

mi - liczba Poissona

w przypadku działania tylko d₂ odkształcenie na kierunku 1 ( E'' ) będzie równe -qE

Odkształcenie sumaryczne będzie równe

Zamieniając w powyższym wzorze dna t oraz ε na g/2 otrzymujemy

g/2=t/E(1+q)

oraz po przekształceniu

3.5 ZMIANA WYMIARÓW POPRZECZNYCH - LICZBA POISSONA

Odkształcenie na kierunku x wynosi:

zaś na kierunku y i z

Wymiary kostki sześciennej poddanej działaniu naprężenia d_x na kierunku osi x,y,z wynoszą odpowiednio:

Wzdłuż x: 1+ε_x=1+d_x/E

Wzdłuż y: 1+ε_y=1-q*ε_x=1-q*d_x/E

Wzdłuż z: 1+ε_z=1-q*ε_x=1-q*d_x/E

Zakładamy że kostka w stanie rozciągania może zwiększyć swoją objętość. Na tej podstawie możemy sformułować następującą nierówność:

(1+ε_x)*(1+ε_y)*(1+ε_z)≥1

(1+ε_x)* (1-ε_x)²≥1

1-2qε_x+(qε_x)²+ε_x-2qε_x²+q²ε_x³≥1

Stosując uproszczenia powyższe wyrażenie ma postać:

ε_x -2qε_x≥0

ε_x(1-2q)≥0

1-2q≥0

-2q≥-1

2q≤1

q≤1/2

dla korka q = 0

stal q = 0,3

guma q = 0,5

liczba Poissona znajduje się między 0 a 0,5

3.6 UOGÓLNIONE PRAWO HOOKE'A

Odkształcenie elementarnej kostki sześciennej poddanej działaniu naprężeń d_x, d_y, d_z wyznaczymy stosując metodę superpozycji

Stosujemy prawo Hooke'a dla poszczególnych osi

Gdyby działało tylko naprężenia d_x wówczas odkształcenia kostki będą równe

Gdyby działało tylko naprężenia d_y wówczas odkształcenia kostki będą równe

Gdyby działało tylko naprężenia d_z wówczas odkształcenia kostki będą równe

Po zsumowaniu mamy:

- uogólnione prawo Hooke'a

Prawo Hooke'a dla ścinania dla dwuwymiarowego stanu naprężeń można zastosować dla stanu trójwymiarowego

4. ŚCINANIE TECHNICZNE

Przypadek ścinania występuje bardzo rzadko. Znacznie częstsze są przypadki gdy w badanym przekroju ciała występuje zarówno naprężenie styczne jak i normalne. Z tym że styczne jest dominujące. Przez ścinanie techniczne rozumiemy stan naprężeń często bardzo złożony, których w obliczeniach praktycznych sprowadza się do prostego równomiernego ścinania.

Jednocięte dwucięte

Obliczenia wytrzymałościowe elementów pracujących głównie na ścinanie ( nity, śruby ) można sprowadzić do warunku gdy średnie naprężenia tnące nie przekroczyły naprężeń dopuszczalnych na ścinanie.

t - średnie naprężenie tnące

P - całkowita siła powodująca ścinanie nitów

A* - pole powierzchni wszystkich przekrojów ścinanych nitów

k_tn - naprężenia dopuszczalne na ścinanie Nita

A* = A * n * m

n - liczba nitów

m - liczba przekrojów ścian w 1 nicie

Oprócz ścinania nita lub śruby w połaczeniu mogą wystąpić również inne formy zniszczenia:

1. ścinanie średnika lub nakładki

1. rozciąganie średnika lub nakładki ( zerwanie )

1. efekt łożyskowania - wycierania ( nadmierny docisk powierzchniowy )

5. SKRĘCANIE

Czyste skręcanie spowodowane jest działaniem minimum dwóch par leżących w dwóch różnych płaszczyznach prostopadłych do osi pręta skręcanego. Siły te powodują w konsekwencji powstanie momentu skręcającego w płaszczyźnie prostopadłej do osi pręta. Nasze rozważania ograniczymy do przypadku, w którym pręt skręcany ma przekrój kołowo symetryczny.

gamma - kąt deformacji postaciowej ( kąt odkształcenia postaciowego )

fi - kąt skręcenia wału ( prętu )

Założenia stosowane w teorii skręcania prętów o przekroju kołowym:

1. tworząca AB przyjmuje kształt linii śrubowej o kącie nachylenia jednakowym na całej długości pręta

1. przekroje końcowe pręta pozostają płaskie przy czy m długość pręta i jego średnica nie zmieniają się.

1. Linie obwodowe pozostaja płaskie

1. Promień pręta w końcowym przekroju obróci się o kąt f i pozostanie odcinkiem prostym

Z powyższego wynika że każdy przekrój poprzeczny pręta w trakcie skręcania pozostaje płaski i występują tylko naprężenia styczne prostopadłe do promienia - aksjomat Botzmana.

tgg=|L₁L| / dx

L₁L = dx*tgg

tgg = g

g - bardzo mały kąt

L₁L = g*dx

L₁L = r*df

gdx=R*df

g(r)*dx = r*df

g(r) = r*(df/dx)

Związki fizyczne - prawo Hooke'a dla ścinania

;

t(f)*dA - elementarna siła działająca na pole dA

dM_s = t(F)*Da*F - elementarny moment skręcający

Jednostkowy kąt skręcania

Po scałkowaniu otrzymujemy całkowite kąt skręcania.

- liniowy rozkład naprężeń

W₀ - wskaźnik wytrzymałości na skręcanie

Zatem maksymalne naprężenie w skrajnych włóknach skręcanego pręta wynosi:

Bierzemy pod uwagę największą odległość R

Dla pełnego przekroju mamy:

Aby skręcany pręt mógł pracować bezpiecznie maksymalne naprężenia tnące nie mogą przekroczyć naprężeń dopuszczalnych na skręcanie.

- warunek wytrzymałościowy na skręcanie

Oprócz warunku wytrzymałościowego na skręcanie każdy wał musi spełniać warunek sztywnościowy.

- warunek wytrzymałościowy

- warunek sztywnościowy

Ponieważ w warunku wytrzymałościowym średnica występuje w potędze 3 zaś w warunku sztywności w potędze 4 przeto wały cienkie ( dla stali poniżej około 80 mm ) obliczane są z warunku sztywności a grube z warunku wytrzymałości.

5.1 WAŁY DRĄŻONE

Rozkład naprężeń w wale drążonym

W trakcie skręcania wałów pełnych jedynie zewnętrza część wału może przenosić naprężenia zbliżone do dopuszczalnych. Materiał położony w pobliżu osi wału wykorzystywany jest tylko w niewielkim stopniu. W celu lepszego wykorzystania materiału i tym samym podniesieniu wskaźnika W / m stosowane są wały drążone.

Dla wałów drążonych:

5.2 NAPRĘŻĘNIA W SPRĘŻYNACH ŚRUBOWYCH

Siły wewnętrzne w sprężynie śrubowej

W przypadku sprężyn o małym kącie nachylenia a=0 => sina=0 , cosa=1

Po uproszczeniach na rozpatrywany przekrój działają jedynie dwa naprężenia

1. siła tnąca T=P

1. moment skręcający M=P*R

Rozkład naprężeń stycznych w przekroju sprężyny śrubowej

Jak wynika z rysunku

Zakładając, że 2R / r >>1

ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYN ŚRUBOWYCH

l - ugięcie całkowite sprężyny

lub

*P c - stała sprężyny

- stała sprężyny o średnicy D i średnicy drutu d

n - liczba zwojów

5.3 SKRĘCANIE SWOBODNE PRĘTÓW O DOWOLNYCH PRZEKROJACH

Skręcanie pręta o przekroju prostokątnym.

Zgodnie z analogia hydrodynamiczną podaną przez Kelvina rozkład naprężeń tnących jest podobny do rozkładu prędkości cieczy krążącej w wewnątrz naczynia o kształcie identycznym z przekrojem poprzecznym pręta skręcanego.

W przypadku przekroju jak na rysunku naprężenia styczne w narożach wypukłych = 0 ( ze względu na zerowe prędkości cieczy krążącym w naczyniu o takim samym kształcie ). W narożach wklęsłych naprężenia styczne mają wartość różną od 0.

Dla pręta prostokątnego największe naprężenia styczne występują w środku dłuższych boków prostokąta. Zgodnie z teorią de Saint - Venanta

W_s= a*a*b²

a,b - wymiary prostokąta

a - parametr zależny od proporcji boków przekroju prostokąta.

Jednostkowy kąt skręcania Φ przekroju prostokątnego można wyznaczyć z następującego wzoru:

I_s= b*a*b³

b - parametr zależny od proporcji boków przekroju prostokąta.

5.4 SKRĘCANIE PROFILI CIENKOŚCIENNYCH O PRZEKROJU ZAMKNIĘTYM ( WZORY BREDTA )

Założenie:

Rozkład naprężeń stycznych t jest równomierny wzdłuż grubości ścianki.

Zgodnie z prawami hydrodynamiki wydatek objętościowy cieczy krążący w kanale o różnrj szerokości jest stały

Wprowadzimy teraz nowe pojęcie - wydatek naprężeń stycznych q (wydatek styczny ) jest on wg. analogii hydrodynamicznej odpowiednikiem wydatku objętościowego cieczy.

[ N / m ]

Stosując analogię hydrodynamiczną dla naprężeń stycznych możemy zapisać:

Względnie dowolnie obranego punktu Moment pochodzący od naprężeń t zebranych na elementarnym polu powierzchni d*ds. wynosi:

dM_s = t*dds*h

Pole powierzchni trójkąta dF wynosi:

dF = ˝ ds*h => ds*h = 2dF

dM_s = t*d*2dF

Suma elementarnych momentów dM_s zebranej z całej powierzchni F rowan jest całkowitemu momentowi skręcającego dM_a.

Wydatek q jest stały wzdłuż obwodu profilu więc:

I wzór Bredta

F - pole przekroju poprzecznego pręta ograniczone linią środkową konturu.

Uwzględniając zależność q=t*d możemy przekształcić powyższy wzór do postaci:

M_s = 2*q*F

M_s = 2*t*d*F

Analizując wzór
możemy stwierdzić że maksymalne naprężenia powstają w miejscu gdzie grubość ścianki d profilu jest najmniejsza. Warunek wytrzymałościowy cienkościennych prętów skręcanych ma postać:

Kąt skręcania profilu o długości l obciążonego momentem skręcającym M_s wynosi:

II wzór Bredta

- całka obliczona po zamkniętej linii średniej konturu.

Dla rury, które ścianka składa się z odcinków o stałej grubości:

S_i - długość odcinka profilu o grubości d_i

6. ZGINANIE

6.1 RODZAJE ZGINANIA

M_g - moment gnący

M_s - moment skręcający

Zginanie czyste występuje wówczas jeżeli w danym przekroju działa wyłącznie moment gnący. Jeżeli oprócz momentu gnącego (M_g ) działa dodatkowo siła tnąca ( T ) mówimy o zginaniu z udziałem sił poprzecznych. Keżeli siły czynne ( obciążenia) i bierne ( reakcje ) leżą w jednej płaszczyźnie zawierające osie główne centralne przekrojów poprzecznych belki to zginanie takie nazywamy płaskim. Jeżeli powyższy przypadek nie jest spełniony występuje zginanie ukośne.

Umowa znaków momentów gnących i sił tnących:

Moment gnący uważamy za dodatni jeżeli dąży on do ugięcia belki wypukłością skierowaną zgodnie ze zwrotem osi Y ( w dół ).

6.2 ZWIĄZEK POMIĘDZY SIŁĄ TNĄCĄ, MOMENTEM GNĄCYM I OBCIĄŻENIEM CIĄGŁYM !

Analiza sił wewnętrznych w belce zginanej.

S P_iy = 0 => -T + q*dx + ( T + dT ) = 0

S M_ic = 0

- M_g - q_x*dx*dx/2 - ( T + dT )*dx + M_g + dM_g = 0

- q_x*dx²*1/2 - Tdx - dTdx + dM_g = 0

Pomijamy wielkości małe wyższego ( drugiego ) rzędu

- Tdx + dM_g = 0

T = dM_g / dx /: dx

Siła tnąca w danym przekroju belki jest równa pochodnej momentu gnącego ( M_g ) występującego w tym przekroju.

6.3 ZGINANIE CZYSTE. ANALIZA NAPRĘŻEŃ I ODKSZTAŁCEŃ

Założenia:

1. Porzeczne przekroje pręta poddanego czystemu zginaniu, płaskie przed deformacja pozostają płaskie po odkształceniu ( hipoteza płaskich przekrojów ).

1. Sąsiednie podłużne włókna nie wywierają na siebie nacisku (d_y = 0 ).

2. Rozważania ograniczamy do zakresu sprężystego materiału ( obowiązuje prawo Hooke'a ).

l₀ = cc₁ = teta *r

ro - promień krzywizny warstwy obojętnej

Warstwa obojętna to powierzchnia utworzona z włókien, gdzie naprężenia podczas zginania są równe zero ( gdzie włókna nie ulegają rozciąganiu ani ściskaniu ) .

Wyznaczamy wydłużenie ( skrócenie ) względne włókna.

prawo Hooke'a

Z warunku równowagi wynika, że suma sił dP zebranych na całym przekroju poprzecznym pręta jest równa 0.

Warstwa obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekrojów poprzecznych pręta.

dM_g=dP*y

Podstawiamy równanie (3) do (1)

Maksymalna wartość naprężeń s_(y)= s_max występuje w warstwie przekroju najdalej wysuniętej od osi obojętnej.

Obliczenia wytrzymałości na zginanie sprowadzają się do sprawdzenia poniższego warunku:

k_g - naprężenie dopuszczalne na zginanie

W przypadku materiału o różnej wytrzymałości na ściskanie i rozciąganie należy powyższy warunek sformułować niezależnie dla włókien ściskanych oraz rozciąganych.

6.4 BELKI O RÓWNEJ WYTRZYMAŁOŚCI NA ZGINANIE.

Belki o równej wytrzymałości to belki , którym każdym przekroju panuje takie same naprężenie.

Dla przykładu rozważmy warunek o przekroju prostokątnym obciążony poprzeczna siłą P.

Zakładamy że w każdym przekroju belki naprężenia gnące osiągną wartości k_g=.

Przekształcając równanie:

Wskaźnik W_z dla przekroju prostokątnego w ogólnym przypadku jest określony wzorem:

Przypadek 1.

Zakładamy że belka ma mieć stałą wysokość h zaś zmienna szerokość b(x). Po uwzględnieniu powyższych założeń mamy:

Zależność tą podstawiamy do wzoru 1)

Powyższa funkcja jest liniowa względem x, więc szerokość belki b(x) będzie się zmieniać także liniowo.

Przypadek 2)

Zakładamy że belka ma mieć stałą szerokość zaś zmienna wysokość h:

Przypadek 3)

Wałek o równomiernej wytrzymałości na zginanie.

Postępujemy analogicznie jak poprzednio podstawiając W_z(x) dla przekroju kołowego i następnie wyznaczmy d(x):

Wykonanie tak skomplikowanych belek jest kosztowne i pracochłonne, dlatego w praktyce inżynierskiej stosuje się pewne uproszczenia technologiczne kształtu wykonanych elementów maszyn, które pracują na zginanie.

6.5 ZGINANIE UKOŚNE

Zginanie ukośne powstaje wówczas gdy wektor momentu gnącego M_g nie pokrywa się z kierunkiem osi głównych przekrojów poprzecznych.

Moment gnący M_g możemy podzielić na dwie składowe:

M_y = M_gcosa

M_z = M_gsina

a - pochylenie wektora momentu gnącego

Zginanie ukośne można potraktować jako superpozycja dwóch przypadków prostego zginania belki momentami M_y i M_z w dwóch różnych płaszczyznach.

W płaszczyźnie X - Z .

W płaszczyźnie X - Y.

(*)

Podstawiając do powyższego równania s_A = 0 uzyskamy równanie osi obojętnej

Równocześnie dla osi obojętnej przechodzącej przez punkt A możemy zapisać:

Przy porównaniu wzorów otrzymujemy

Powyższego wzoru wynika że kąt pochylenia momentu gnącego a pokrywa się z kierunkiem osi obojętnej b jedynie w przypadku gdy I_y = I_z . Maksymalne naprężenie od zginania występuje w punktach położonych najdalej od osi obojętnej a określić je można ze wzoru (*) podstawiając współrzędne tych punktów.

Oś pręta prostemu poddanemu zginaniu ukośnym staje się krzywą przestrzenną

7. ZBIORNIKI CIENKOŚCIENNE OSIOWO SYMETRYCZNE

W wielu technologicznych zagadnieniach występuje konieczność projektowania zbiorników na ciecze lub na gazy , których ścianki są elementami pracującymi. Ścianki te nazywamy powłokami. Posiadają one dwa wymiary duże zaś trzeci ( grubość ) bardzo mały. Powierzchnie te są z reguły zakrzywione. Jeżeli grubośc powłoki jest bardzo mała w porównaniu do wymiarów gabarytowych mówimy wówczas o zbiornikach cienkościennych. Przyjmujemy założenie że wskutek obciążenia powierzchni powstaje stan naprężenia błonowych tzw. równomiernie rozłożonych wzdłuż grubości. Rozważania nasze ograniczymy do analizy powłok osiowosymetrycznych względem jednej osi.

P - ciśnienie wewnątrz zbiornika ( stałe lub zmienne wzdłuż wysokości zbiornika )

d - grubość ścianki zbiornika

r₁ - promień krzywizny głównej ( równoleżnikowej )

r₂ - promień krzywizny głównej (południkowej )

- krzywizny główne

Ciśnienie p działa na pole dA

SP_i=0

p*ds₁*ds₂-2s₁*sin(ds₁/2r₁)*ds₂*d-2*s₂*sin(ds_2/2r₂)*ds₁=0 /:ds₁ds₂

Równanie Laplace'a

W celu znalezienia II związku rozpatrzymy równowagę skończonego fragmentu zbiornika.

SP_y=0

p*A^*-
*Acosa+Q=0

p*ΠR²-
*2ΠR*dcosa+Q=0

s₂*2ΠRcosa*d=pΠR²-Q

Gdy Q=0 ( gaz ) wówczas powyższe równanie upraszcza się do postaci

Przypadki szczególne:

a) zbiornik kulisty wypełniony gazem:

a=0 =>cosa=1

r₁=r₂=R

s₂=PR/2d

Zatem dla zbiornika kulistego wypełnionego gazem s₁=s₂=PR/2d

b) Zbiornik walcowy wypełniony gazem.

r₁=R

r₂=oo

7.1 KOŁO MOHRA DLA ZBIORNIKA WALCOWEGO:

Prawo zmiany objętości w trójkierunkowym stanie naprężenia:

Przyrost jednostkowy objętości dv elementarnej kostki o jednakowym boku można wyrazić wzorem:

Przy przekształceniach odrzucamy małe drugiego rzędu

Uogólnione prawo Hooke'a

Z powyższego wzoru wynika że jeżeli v=1/2 to materiał jest nieściśliwy czyli nie zmienia objętości ( założenie stosowane w przeróbce plastycznej ) . W przypadku szczególnym gdy ciało jest poddane wszechstronnemu ściskaniu ciśnieniem p ( stan hydrostatyczny s₁=s₂=s₃= -p ) zmiana elementarnej kostki wynosi:

1-2v>=0

2v<=1

v<=1/2

Z powyższego wzoru wynika że v_max = 0,5 bowiem nie można otrzymać dodatniego przyrostu objętości przy wszechstronnym ściskaniu.

8. ENERGIA ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYSTEGO W RÓZNYCH PRZYPADKACH OBCIĄŻENIA CIAŁA.

8.1 ENERGIA ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYSTEGO PROCESIE ROZCIĄGANIA.

Praca L wykonana przez statyczną działającą siłę na wydłużenie Dl pręta w zakresie stosowalności prawa Hooke'a równa jest polu trójkąta o podstawie równej Dl i wysokości P.

L= ½ P*Δl

V=L

Praca ta jest równa energii odkształcenia sprężystego V ( energii sprężystej ) zmagazynowana w odkształconym procesie.

W przypadku zmiennego przekroju pręta bądź zmiennego obciążenia powyższy wzór może być zapisany w postaci ogólnej :

W kostce sześciennej o krawędzi jednostkowej poddanej jednoosiowemu rozciąganiu naprężeniem sigma energia sprężysta V wynosi:

8.2 ENERGIA ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYSTEGO W PRZESTRZENNYM STANIE ODKSZTAŁCENIA.

Energia sprężysta w trójkierunkowym stanie naprężenia można wyznaczyć stosując powyższy wzór:

Po podstawieniu do powyższego wzoru

s₁=s s₂=-s s₃=0

otrzymamy wzór dla energii sprężystej nagromadzonej w kostce sześciennej o krawędzi jednostkowej poddanemu czystemu ścinaniu

Energia sprężysta przy ścinaniu może być wyrażona następująco:

8.3 ENERGIA ODKSZTAŁCENIA SPRĘŻYSTEGO W PROCESIE SKRĘCANIA.

Praca L wykonana przez moment skręcający M_s który powoduje skręcenie pręta o kąt f równa jest polu trójkąta o podstawie f (duże) i wysokości M_s . Praca ta jest równa energii sprężystej V zmagazynowanym w odkształconym pręcie w zakresie stosowalności prawa Hooke'a.

8.4 ENERGIA SPRĘŻYSTA W PRĘTACH ZGINANYCH.

Energia sprężysta nagromadzona w odcinku belki o długości dx zginanym momentem M_g od x wyraża się wzorem:

Po scałkowaniu powyższego wyrażenia uzyskujemy wzór na energię sprężystą w całej belce:

5

---