1. MODELOWANIE ZALEŻNOŚCI EKONOMICZNYCH

1. OCENA JAKOŚCI MODELU

Weryfikacja statystyczna pozwala na ocenę jakości modelu, skonstruowanego na podstawie posiadanej próby. Przy wyciąganiu wniosków odnośnie badanej zależności należy pamiętać, że na każde badane zjawisko ekonomiczne, obok czynników systematycznych (zmiennych objaśniających), działają czynniki losowe (przypadkowe), określane mianem składnika losowego modelu. Przez składnik losowy rozumieć będziemy:

• nieuwzględnione w modelu zmienne objaśniające

• złą postać analityczną modelu

• błędy pomiaru wartości zmiennych

• czynniki czysto przypadkowe.

Działanie składnika losowego ma bardzo istotne znaczenie dla badania zjawisk ekonomicznych, pociąga bowiem za sobą dwie ważne konsekwencje:

• Obserwowane wartości zmiennej Y zawsze odbiegają od wartości wynikających z modelu hipotetycznego (model hipotetyczny to pewien "ideał").

• Szacując model opisujący badaną zależność na podstawie różnych prób otrzymujemy za każdym razem inne oceny parametrów tego modelu. Oznacza to dalej, że dla każdego parametru istnieje zbiór możliwych ocen, nazywany estymatorem.

A. Dobroć dopasowania modelu do obserwacji

Współczynnik determinacji:
.

Określa, jaka część zmienności Y zaobserwowanej w próbie została wyjaśniona za pomocą oszacowanego modelu, czyli za pomocą przyjętych zmiennych objaśniających.

1. Ocena odchylenia standardowego składnika losowego:

Ocena ta obliczana jest na podstawie wzoru:

gdzie T - K to tzw. liczba stopni swobody modelu.

Wartość s wyrażona jest w taki samych jednostkach, w jakich mierzona jest zmienna objaśniana. Mierzy przeciętne odchylenie obserwowanych wartości zmiennej Y od jej wartości wynikających z modelu. Postuluje się, by wartość s była "jak najmniejsza" w stosunku do obserwowanych wartości Y.

2. Szacunkowe błędy średnie parametrów:

Dla parametru
błąd ten opisuje formuła:
,

gdzie
oznacza k-ty element diagonalny w macierzy
.

Błąd ten informuje, o ile przeciętnie oceny parametru (uzyskiwane dla różnych zbiorów obserwacji) odchylają się od jego nieznanej rzeczywistej wartości.

Parametr jest tym precyzyjniej oszacowany im jego błąd jest mniejszy w stosunku do uzyskanej oceny, czyli im większą wartość przyjmuje relacja:

.

3. Badanie istotności zmiennych objaśniających w modelu

Po zbudowaniu modelu ekonometrycznego, do którego zmienne objaśniające dobraliśmy na podstawie posiadanej wiedzy o badanym zjawisku, pojawia się pytanie, czy zmienne te okazały się (w świetle uzyskanych wyników) istotne w sensie statystycznym.

Procedura weryfikacyjna:

1. Stawiamy dwie, wzajemnie się wykluczające hipotezy:

Ho:
(zmienna X_k nie ma istotnego wpływu na kształtowanie Y)

H1:
(zmienna X_k istotnie wpływa na kształtowanie Y)

2. Obliczamy tzw. sprawdzian hipotezy
   .
   Wartość tego sprawdzianu zależy od precyzji oszacowania parametru(!)

3. W rozkładzie t - Studenta wyszukujemy tzw. wartość krytyczną
   .

4. Porównujemy wartość sprawdzianu hipotezy z wartością krytyczną.

1. Jeżeli zachodzi:
   , to nie ma podstaw do odrzucenia Ho.

2. Jeżeli zachodzi:
   , to odrzucamy Ho na rzecz H1.

2. Przedział ufności dla parametru

Jest to oszacowany na podstawie obserwacji przedział liczbowy, który z odpowiednio dużym prawdopodobieństwem (tzw. poziomem ufności u = 1 - α ) pokrywa rzeczywistą wartość danego parametru
. Przedział ten szacowany jest na podstawie wzoru:

.

Uwaga: Przedział ufności może być wykorzystany do zweryfikowania istotności zmiennej objaśniającej w modelu.

Szacowanie parametrów modelu -

EXCEL/ NARZĘDZIA/ ANALIZA DANYCH/ REGRESJA

Kolumna z wartościami zmiennej objaśnianej

Kolumny z wartościami zmiennych

objaśniających (zwarty obszar!)

tytuły - tę opcję znaznaczamy, gdy chcemy,

by na wyrduku pojawiły się nasze nazwy zmiennych

2. Przykłady

Oszacować poniższe przykłady (dane z tabelek przenieść do Excela). Przy deklaracji regresji w zakresach danych podawać także „tytuły” (nazwy zmiennych). Zastanowić się na odpowiedziami na pytania. Przynieść wydruki na wykład. Będziemy je szczegółowo omawiać na zajęciach.

Przykład 1. Sieć sklepów Deuce Hardware chce prognozować wielkość miesięcznej sprzedaży poszczególnych placówek handlowych (w $) na podstawie informacji o ich powierzchni (stopy²) oraz miesięcznych wydatków na reklamę (w $). Zebrano dane dla 10 sklepów:

Sklep	Miesięczna sprzedaż	Powierzchnia sklepu	Miesięczne wydatki na reklamę
1	20100	3050	350
2	14900	1300	980
3	16800	1890	830
4	9100	1750	760
5	15500	1010	930
6	26700	2690	770
7	34600	4210	440
8	7200	1950	570
9	21800	2830	310
10	23400	2030	920

1. Na podstawie powyższych danych w arkuszu kalkulacyjnym Excel oszacowano parametry modelu liniowego, opisującego powiązanie sprzedaży poszczególnych sklepów z rozważanymi dwoma czynnikami i otrzymano:

Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,893
R kwadrat	0,798
Dopasowany R kwadrat	0,740
Błąd standardowy	4168,371
Obserwacje	10
ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F	Istotność F
Regresja	2	4,81E+08	2,4E+08	13,82944	0,0037025
Resztkowy	7	1,22E+08	17375318
Razem	9	6,02E+08
	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%	Górne 95%
Przecięcie	-22978,615	10546,497	-2,179	0,066	-47917,117	1959,886
Powierzchnia sklepu	11,416	2,294	4,976	0,002	5,991	16,842
Miesięczne wydatki na reklamę	23,414	8,636	2,711	0,030	2,994	43,835

2. Podaj równanie modelu teoretycznego i oceń jego jakość.

3. Jaka informacja na temat czynników kształtujących wielkość sprzedaży wynika z powyższego modelu dla właścicieli sieci.

4. W jaki sposób można by spróbować „ulepszyć” otrzymany model? (dodatkowe czynniki: liczba mieszkańców miasta, przeciętny dochód mieszkańców, liczba konkurencyjnych sieci, stopa bezrobocia, koszt składania zamówień, struktura demograficzna sąsiedztwa, udział ludności miejskiej).

Przykład 2. Jakościowa zmienna objaśniająca (zero-jedynkowa)

Postawiono hipotezę, ze dochód brutto z filmu (w mln $) zależy od trzech zmiennych: całkowitego kosztu produkcji (w mln $), całkowitego kosztu działalności promocyjnej (w mln $) oraz od zmiennej, która uwzględnia wpływ faktu, czy film został oparty na znanej powieści, czy też nie.

DOCHÓD	KOSZT PROD	KOSZT PROMOCJI	POWIEŚĆ
28	4,2	1	NIE
35	6	3	TAK
50	5,5	6	TAK
20	3,3	1	NIE
75	12,5	11	TAK
60	9,6	8	TAK
15	2,5	0,5	NIE
45	10,8	5	NIE
50	8,4	3	TAK
34	6,6	2	NIE
48	10,7	1	TAK
82	11	15	TAK
24	3,5	4	NIE
50	6,9	10	NIE
58	7,8	9	TAK
63	10,1	10	NIE
30	5	1	TAK
37	7,5	5	NIE
45	6,4	8	TAK
72	10	12	TAK

Na podstawie powyższych obserwacji oszacuj parametry modelu liniowego, uwzględniającego wpływ scenariusza na dochody z filmu.

1. Podaj interpretację uzyskanych ocen parametrów. Czy uzyskane wyniki są rozsądne merytorycznie?

2. Oceń wpływ czynników losowych na kształtowanie dochodu z filmów.

3. Czy przyjmując poziom istotności α = 0.01 mamy podstawy, by uznać, że uwzględnione w modelu zmienne mają istotnie wpływ na kształtowanie dochodu (brutto) z filmu? Czy dla dochodu z filmu ma istotne znaczenie, na jakiej powieści został on oparty?

Wielokrotność R	0,983
R kwadrat	0,967
Dopasowany R kwadrat	0,960
Błąd standardowy	3,690
Obserwacje	20

ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F	Istotność F
Regresja	3	6325,15	2108,38	154,887	4,96E-12
Resztkowy	16	217,798	13,6124
Razem	19	6542,95
	Współczynniki	Błąd standard	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%	Górne 95%
Przecięcie	7,836	2,333	3,358	0,004	2,890	12,783
KOSZT PROD	2,848	0,392	7,258	0,000	2,016	3,679
KOSZT REKL	2,278	0,253	8,989	0,000	1,741	2,815
POWIEŚĆ	7,166	1,818	3,942	0,001	3,312	11,020

Przykład 3. W pewnym zakładzie badano zależność czasu wytwarzania przez robotników pewnego wyrobu (w godz.) od ich stażu pracy (w latach) i czasu szkolenia (w tygodniach). Otrzymano następujące dane:

Czas wytwarzania	13	11	10	8	7	8
Czas szkolenia	0	0	1	1	2	2
Staż pracy	0	1	0	2	1	0

Przyjęto hipotezę, że rozpatrywaną zależność opisuje model liniowy


.

Szacując parametry tego modelu otrzymano następujące wyniki:

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,991137
R kwadrat	0,982353
Dopasowany R kwadrat	0,970588
Błąd standardowy	0,387298
Obserwacje	6
ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F	Istotność F
Regresja	2	25,05	12,525	83,5	0,0023443
Resztkowy	3	0,45	0,15
Razem	5	25,5
	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%	Górne 95%
Przecięcie	12,55	0,287228	43,69349	2,64E-05	11,635911	13,464089
Czas szkolenia	-2,25	0,193649	-11,619	0,001369	-2,8662787	-1,6337213
Staż pracy	-1,2	0,212132	-5,65685	0,010938	-1,8750994	-0,5249006

1. Podaj otrzymane równanie modelu teoretycznego i interpretację uzyskanych ocen parametrów.

2. Oceń dobroć dopasowania modelu do danych empirycznych.

3. Ile wynosi odchylenie standardowe składnika losowego. O czym wielkość ta nas informuje?

4. Przyjmując poziom istotności  = 0.01 sprawdź, czy czas wytwarzania wyrobu zależy od czasu szkolenia robotników i ich stażu pracy.

5. Podaćj przedział ufności dla parametru mierzącego wpływ czasu szkolenia na wydajność pracy robotników (dla poziomu ufności u = 0.95). Co na podstawie tego przedziału powiedzieć można o istotności odpowiedniej zmiennej objaśniającej?

6. Jakiego czasu wytwarzania należy się spodziewać u robotnika, który ma już trzyletni staż pracy, lecz nie przeszedł jeszcze żadnego szkolenia?

7. Wiedząc, że dla tego modelu
   

ustal, jaki jest błąd ustalonej prognozy i jak go należy interpretować?

8. Ustal, czy postawiona prognoza jest dopuszczalna?

9. Ustal prognozę przedziałową dla u = 0,99, przyjmując t_α = 5,841.

10. Podaj interpretację ustalonej prognozy przedziałowej

Przykład 4. Dobór zmiennych objaśniających do modelu

Przypuszcza się, że liczba osób zwiedzających Międzynarodowe Targi Poznańskie zależy od: powierzchni wystawowej (X₁ w tys. m²), liczby wystawców i producentów (X₂ w tys.), indeksu zmiany przeciętnego miesięcznego wynagrodzenia realnego netto (X₃, rok 1991 = 100) oraz liczby miejsc noclegowych w Poznaniu i obszarze w promieniu 20 km (X₄).

Poniższa tabela przedstawia odpowiednie dane dla lat 1989-2000.

Rok	1989	1990	1991	1992	1993	1994
Y	311	385,7	334,6	357,4	285,3	203,9
X1	127,8	125,9	16,7	134,2	125,4	126,5
X2	3,76	4,23	4,26	4,32	4,29	4,15
X3	102,6	96,5	100	109	75,6	99,7
X4	5137,4	5079,1	5015,7	4761,7	4058,2	3609,4

Rok	1995	1996	1997	1998	1999	2000
Y	149,4	117,8	104,1	88,6	79	42,3
X1	125,2	124	116,5	116	109,8	92
X2	4,01	3,57	3,14	2,33	2,5	2,28
X3	97,3	97,1	100,5	103	105,7	107,3
X4	3401,2	3317,4	3740,8	3750,4	3755,8	3762,3

Na podstawie danych dla lat 1989-2000 oszacowano model przyczynowo-skutkowy ze wszystkimi potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi opisujący kształtowanie się liczby zwiedzających MTP i otrzymano następujące wyniki:

Statystyki regresji
R kwadrat			0,982
Dopasowany R kwadrat			0,972
Błąd standardowy			20,531
Obserwacje			12
ANALIZA WARIANCJI
	df	SS			MS		F			Istotność F
Regresja	4	164181,4			41045,34		97,378307			3,24E-06
Resztkowy	7	2950,528			421,504
Razem	11	167131,9
	Współczynniki			Błąd standardowy				t Stat	Wartość-p			Dolne 95%		Górne 95%
Przecięcie	-507,606			103,395				-4,909	0,002			-752,096		-263,117
POW	0,323			0,205				1,576	0,159			-0,162		0,807
WYST	79,125			10,381				7,622	0,000			54,576		103,673
WYNAGR	-0,824			0,862				-0,956	0,371			-2,863		1,215
NOCLEGI	0,116			0,011				10,180	0,000			0,089		0,143

Statystyki regresji
R kwadrat				0,980
Dopasowany R kwadrat				0,973
Błąd standardowy				20,420
Obserwacje				12
ANALIZA WARIANCJI
	df		SS			MS		F	Istotność F
Regresja	3		163796,2			54598,75		130,9454	3,87E-07
Resztkowy	8		3335,664			416,958
Razem	11		167131,9
		Współczynniki			Błąd standard		t Stat			Wartość-p		Dolne 95%		Górne 95%
Przecięcie		-593,864			50,200		-11,830			0,000		-709,625		-478,104
POW		0,325			0,204		1,593			0,150		-0,145		0,795
WYST		84,401			8,745		9,652			0,000		64,235		104,567
NOCLEGI		0,112			0,011		10,510			0,000		0,087		0,137

Statystyki regresji
R kwadrat					0,974
Dopasowany R kwadrat					0,968
Błąd standardowy					22,095
Obserwacje					12
ANALIZA WARIANCJI
		df		SS			MS			F		Istotność F
Regresja		2		162738,3			81369,15			166,6793		7,74E-08
Resztkowy		9		4393,602			488,178
Razem		11		167131,9
	Współczynniki					Błąd standardowy			t Stat		Wartość-p		Dolne 95%		Górne 95%
Przecięcie			-544,251			42,598			-12,776		0,000		-640,615		-447,887
WYST			86,854			9,314			9,325		0,000		65,783		107,925
NOCLEGI			0,107			0,011			9,748		0,000		0,082		0,131

Rozkład t-Studenta




6

---