DIAMENTY MATEMATYKI

Niezwykłe związki między liczbami mogą skłaniać do ogólniejszych refleksji; do zastanawiania się nad znaczeniem pojęcia liczby, nad naturą i potęgą matematyki. Wśród znanych wzorów, opisujących zależności wiążące ze sobą różne liczby, wybija się jeden, krótki, prosty, choć na pierwszy rzut oka wyglądający może trochę odstraszająco. Tym niemniej wielu matematyków uważa go za jedno z najpiękniejszych twierdzeń matematyki. Mowa o wzorze

e^{i π} +1=0

.


Cóż w nim takiego szczególnego? Dlaczego wielu matematyków sądzi, że jest on "ładniejszy " od, na przykład, niewątpliwie prawdziwego związku "2+2=4"? Jeden z podstawowych argumentów, jakie się wysuwa, stwierdza, że wzór e^{i π} +1=0 w zadziwiająco prosty sposób łączy w sobie pięć najsłynniejszych stałych matematycznych. Stałe te pojawiły się w matematyce zupełnie niezależnie, dla potrzeb różnych gałęzi tej nauki. Także i dziś, w matematyce współczesnej, definiuje się je całkiem odmiennymi sposobami - z wyjątkiem liczb 0 i 1, które w oczywisty sposób wydają się "podobne", różne od pozostałych trzech.

"Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, a całą resztę wymyślili ludzie" - powiedział wybitny matematyk niemiecki XIX wieku, Leopold Kronecker. Liczby naturalne (czyli: 1, 2, 3, 4,... itd.) znano od niepamiętnych czasów, jako że mają one związek z praktyczną działalnością człowieka, czyli liczeniem przedmiotów. Wielu matematyków zalicza do liczb naturalnych również 0.

Zero pojawiło się w historii zaskakująco późno. Starożytni Grecy, którzy ogromnie przyczynili się do rozwoju matematyki, nie znali pojęcia zera, co bardzo poważnie komplikowało ich sposób zapisywania liczb. Żmudną i niełatwą pracę stanowiło wykonywanie działań. Podobnie było przy użyciu rzymskiego systemu zapisu liczb. Jeśli ktoś ma wątpliwości, niech pomnoży przez siebie dwie liczby: CCCLX i DXXIII - ale bez tłumaczenia na układ dziesiętny. Zero wprowadzono, wraz z liczbami ujemnymi, w Indiach (VI-VIII wiek n. e., choć podobno Chińczycy znali je wcześniej). Hindusi rozpowszechnili też system pozycyjny zapisywania liczb, choć przypuszcza się, że początkowo korzystali jedynie z dziewięciu cyfr odpowiadających naszym cyfrom od 1 do 9, zera zaś zaczęli używać znacznie później; nazywali je sunya, co miało znaczyć "pusty" lub "próżny". Dziesiętny system pozycyjny wraz z zerem przejęli od Hindusów Arabowie. Zwrot "pusty" przetłumaczyli mniej więcej na as-sifr, co z kolei przełożono na łacinę jako zephyrum. Od tego wyrazu wywodzi się słowo "zero", a także "cyfra".

Bardzo długo jednak zera nie traktowano jako liczby równouprawnionej z innymi. Zero oznaczało "nic", a "nic" nie może przecież być liczbą. Służyło ono do zapełniania dziur i pustych miejsc, co często prowadziło do nieporozumień, pomyłek i nadużyć. Jeszcze w XV wieku zero traktowano z dużą rezerwą. Na przykład równanie

x²-3x=0

przy użyciu ówczesnej symboliki zapisywano w wersji

x²=3x,

gdyż 0, jako nic nie oznaczające, nie powinno występować w równaniu. Systematycznie pomijano też rozwiązania zerowe. Opór związany ze stosowaniem zera został przełamany w XVI
i XVII wieku, gdy rozwinęły się techniki rachunkowe istotnie wykorzystujące system pozycyjny.

Zaliczenie zera do liczb naturalnych jest oczywiście kwestią umowy, ale ma swoje niebanalne uzasadnienie. Otóż jeśli liczby naturalne zdefiniuje się na gruncie teorii mnogości (czyli teorii zbiorów, w pewnym sensie najbardziej podstawowej), to korzystnie będzie uznać zero za liczbę naturalną; liczby naturalne określone są przy wykorzystaniu cech zbiorów skończonych, a 0 jest liczbą elementów zbioru pustego.

Warto dodać, że jedynka odgrywała wyjątkową rolę w arytmetyce starożytnych Greków. Nie uważali oni jedynki za liczbę, ale za coś w rodzaju "praliczby", czyli obiektu, który jedynie służył do tworzenia prawdziwych liczb. Według Greków pierwszą prawdziwą liczbą była dopiero dwójka.

Czym liczby 0 i 1 wyróżniają się spośród pozostałych liczb naturalnych, na czym polega ich wyjątkowość? Odpowiedź na to pytanie wiąże się z dwoma podstawowymi działaniami arytmetycznymi - dodawaniem i mnożeniem. Działanie (w jakimś zbiorze) to przyporządkowanie dwóm dowolnym elementom z tego zbioru elementu trzeciego. Na przykład w zbiorze liczb naturalnych działaniami są: dodawanie, mnożenie, przyporządkowanie dwóm liczbom ich najmniejszej wspólnej wielokrotności. Oczywiście działania nie muszą być określone na zbiorach liczbowych, na przykład działaniem jest przyporządkowanie dwóm uczniom z jednej szkoły starszego z nich albo dwóm zbiorom ich części wspólnej. Licznych przykładów dostarcza geometria, działaniem jest składanie przekształceń. Zauważmy, że odejmowanie nie jest działaniem w zbiorze liczb naturalnych! Żadnej liczby naturalnej nie otrzymamy bowiem w wyniku operacji 3-5 (albo 7-11). Odejmowanie jest natomiast działaniem w zbiorze liczb całkowitych (..., -3, -2, -1,0,1,2,...).

Przyporządkowywać dwóm elementom trzeci można oczywiście na całkowicie dowolne sposoby, przy czym działania mogą być bardzo różne. Jednakże te, nad którymi badania mają znaczenie, winny spełniać rozmaite dodatkowe warunki. Warunki te nie są zbyt wysublimowane, raczej naturalne, ale bez nich po prostu działania stają się mało interesujące. Jednym z takich ograniczeń jest żądanie, by w zbiorze istniał element neutralny - czyli taki, że działanie nim na dowolny inny element niczego nie zmienia, pozostawia ten drugi w tej samej postaci (i to niezależnie od kolejności działania). Tę własność ma jedynka przy mnożeniu, zero zaś przy dodawaniu. Istotnie:

1 × a = a × 1 = a
0 + a = a + 0 = a

Dzieje się tak dla dowolnej liczby a - zarówno naturalnej, jak i całkowitej, wymiernej czy rzeczywistej. Liczby 0 oraz 1 są zatem elementami neutralnymi dwóch podstawowych działań.

Liczby
i e są daleko mniej "porządne" od zera i jedynki.

Jedną z pierwszych wielkich niespodzianek dotyczących liczb było odkrycie liczb niewymiernych. Przygoda ta przytrafiła się starożytnym Grekom, próbującym wyliczyć długość przekątnej kwadratu o danym boku. Okazało się wtedy, że stosunek długości przekątnej do boku nie jest liczbą wymierną, to znaczy nie da się przedstawić w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych. Dla Greków był to swego rodzaju szok, waliła się ich koncepcja filozoficzna świata, którym miały rządzić liczby naturalne oraz ich proporcje; nie przypuszczali, że takie obiekty (czyż można je nazwać liczbami?) mogą istnieć. My dziś w liczbie
nie widzimy nic dziwnego...

Liczba
ma podobny rodowód, choć przez tysiąclecia nikt nie zastanawiał się nad jej naturą. Ale już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się p) jest wielkością stałą i, co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur. Tym niemniej dokładnej jego wartości nie udało się wyliczyć (a rozważali ten problem już Babilończycy dwa tysiące lat przed naszą erą; przyjmowali oni, że stosunek ten wynosi w przybliżeniu 3). Ciekawe, że w piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie
z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nie znanych nam z imienia uczonych. Ponad dwa tysiące lat później, w III wieku przed Chrystusem, Archimedes, jeden z najwybitniejszych umysłów w historii, oszacował
jako 22/7 (czyli z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), a do wyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz.

Używany dzisiaj symbol
nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Matheseos (
pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia"), a rozpowszechnił później Leonhard Euler (1707-1783). Liczba ta nazywana jest też ludolfiną, od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością do 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było wyczynem nie lada. Stopniowo wyliczano w 1974 roku Jean Guillod i Martine Bouyer rozwinęli
do... milionowego miejsca po przecinku, oczywiście przy użyciu komputera. i na tym się nie skończyło, bo ambitnych nie brakuje. Jesienią 1995 ogłoszony został rekord wynoszący 6 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi, sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego z komputerów wynosił około 5 dni.

Jak zapamiętać początkowe cyfry rozwinięcia
? Jedną z metod są wiersze i powiedzonka składające się ze słów o odpowiedniej liczbie liter. Najstarszy jest chyba tekst, którego autorem jest Clemens Brentano (1778-1842), wybitny poeta niemiecki okresu Romantyzmu, brat przyjaciółki Goethego:

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.
Co oznacza (w przekładzie Witolda Rybczyńskiego):

Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach.

Rybczyński sam napisał (w 1949 roku), wzorując się właśnie na Brentano, jedno z najlepiej znanych polskich powiedzonek tego rodzaju; jego tekst zawierał 36 słów, gdyż właśnie tyle cyfr rozwinięcia
obliczył van Ceulen. Starszym (najprawdopodobniej najstarszym polskim) jest wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego:

Kuć i orać w dzień zawzięcie,
Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie,
Kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu.
Robota to potęga ludu!

Ten utwór został opublikowany w przedwojennym czasopiśmie "Parametr", poświęconym nauczaniu matematyki, w październiku 1930 roku. Autor zaproponował jednocześnie redakcji ogłoszenie konkursu na napisanie lepszego wiersza. Cwojdziński, który sam chciał być jurorem w konkursie, ufundował za najlepszy wiersz nagrodę w wysokości 50 złotych, jednocześnie oznajmiając, że "twórcy zbyt lichych wierszyków zapłacą karę do 10 złotych". Redakcja "Parametru", zamieszczając wiersz Cwojdzińskiego i informując o jego propozycji konkursu, dodała przypisek: "Redakcja niezwłocznie zwróciła się do Autora z żądaniem zapłacenia 10 złotych kary".

Wśród autorów powiedzonek służących do zapamiętania
jest wiele bardzo sławnych osób. Obok Brentano można wymienić na przykład znakomitego polskiego uczonego, długoletniego prezesa Polskiej Akademii Nauk, Janusza Groszkowskiego (1898-1984), oraz wybitnego astronoma i fizyka, sir Jamesa Jeansa (1877-1946). Właśnie Jeans sformułował jedno z najbardziej znanych mnemotechnicznych zdań:

How i want a drink, alcoholic of course,
after the heavy chapters involving quantum mechanics.

Dodajmy jeszcze, że w roku 1986 pismo "The Mathematical Intelligencer" opublikowało opowiadanie Michaela Keitha odpowiednio prezentujące rozwinięcie liczby
aż do 402 miejsca po przecinku. Zapewne jest to najdłuższy taki utwór.

Bardzo szybko okazało się, że liczba
ma istotne znaczenie w wielu fundamentalnych zagadnieniach. Stwierdzono, że za jej pomocą można dokładnie podać, w zależności od promienia, także i pole koła, objętość i pole powierzchni kuli, wielkości związane ze stożkami i innymi bryłami obrotowymi... Wzory zapisane za pomocą
są zaskakująco proste. Niezwykle pomysłowe metody liczenia objętości brył przedstawił Archimedes, który wyniki badań nad kulą i walcem uważał za swoje największe osiągnięcie; zażyczył sobie nawet, aby na jego grobie umieszczono kulę i opisany na niej walec. Archimedes, przy swej ogromnej wszechstronności, był przede wszystkim matematykiem, dziś jednak wielu uważa go głównie za fizyka.

Jednym z najsłynniejszych problemów starożytności było zagadnienie kwadratury koła; chodziło o to, by skonstruować - używając jedynie cyrkla i linijki - kwadrat o powierzchni równej polu danego koła. Szybko okazało się, że zadanie sprowadza się do konstrukcji odcinka o długości p; w V wieku p.n.e. Hippokrates z Chios doszedł do wniosku, że powierzchnia koła jest proporcjonalna do kwadratu jego promienia. Problem kwadratury koła atakowany był wielokrotnie, przez 2 tysiące lat jednakże bezskutecznie; uzyskano jedynie wiele ciekawych konstrukcji przybliżonych. Autorem jednej z najelegantszych (a przy tym bardzo dokładnej) był Polak, Adam Adamandy Kochański, nadworny zegarmistrz Jana III Sobieskiego. Problem ten rozstrzygnięto dopiero w XIX wieku, ale z nad wyraz zaskakującym efektem.

Przez wiele wieków badacze
prawdopodobnie nie podejrzewali, że liczba ta może nie być wymierna. To, że nic nie wiadomo o wymierności lub niewymierności
, pierwszy zauważył w XVII wieku Christiaan Huygens (1629-1695). Matematycy wieku XVIII byli w zasadzie przekonani o niewymierności
, nie potrafili jednak tego wykazać. Pierwszą próbę dowodu przedstawił w 1767 roku Szwajcar Johann Lambert. Natomiast w roku 1882 Niemiec Ferdinand Lindemann rozstrzygnął ostatecznie podstawowy problem dotyczący liczby
, a tym samym odpowiedział na pytanie o kwadraturę koła. Lindemann wykazał mianowicie, że
jest liczbą przestępną. Co to znaczy?
Otóż wśród liczb niewymiernych istnieją mniej lub bardziej "przyzwoite". Ważne znaczenie mają liczby nazywane algebraicznymi, czyli takie, które są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach całkowitych. Każda liczba wymierna ma tę własność; istotnie, jeśli można ją przedstawić w postaci p/q , gdzie p i q są całkowite, to odpowiednim wielomianem będzie qx - p. Nie tylko liczby wymierne mogą być algebraiczne; na przykład
jest pierwiastkiem równania x²-2=0. Okazuje się jednak, że nie wszystkie liczby rzeczywiste są pierwiastkami wielomianów o współczynnikach całkowitych; co więcej, tych pozostałych jest bardzo dużo. Nazwano je liczbami przestępnymi i taka właśnie jest w szczególności
.

Fakt, że
nie jest liczbą algebraiczną, rozstrzygnął w sposób definitywny problem kwadratury koła; z rezultatu Lindemanna wynikało, że odpowiedniej konstrukcji, nad którą tyle osób długo się męczyło, żądanymi metodami przeprowadzić po prostu się nie da. Dowód Lindemanna opierał się między innymi na tym, że przestępna jest liczba e (co wykazał 11 lat wcześniej Francuz Charles Hermite) oraz na... znanym już wtedy wzorze eⁱ
+1=0.

Pokazuje to, że wzór, o którym mowa, miał dla matematyki niezwykle znaczące następstwa!
w ten sposób doszliśmy do liczby e. Zanim jednak bliżej się nią zajmiemy, wspomnijmy jeszcze, że od 1593 roku datuje się inna metoda wyrażania
- za pomocą działań nieskończonych, a zapoczątkowana przez François Vieète'a. Szczególnie ładnie wygląda wzór Leibniza i Gregory'ego z 1674 roku:

p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Nie ma zeń jednak praktycznego pożytku; chcąc za jego
pomocą obliczyć
z dokładnością do dziesiątego miejsca po przecinku, należy dodać do siebie około... 5 miliardów wyrazów.

Rodowód
;jest geometryczny, a liczba e pojawiła się w matematyce w zupełnie innych okolicznościach. w starożytności jej nie znano. Zetknięto się z nią dopiero na przełomie XVI i XVII wieku. w tym czasie szkocki matematyk John Napier (w Polsce używa się często nazwiska Neper) ułożył tablice logarytmów, bardzo pomocne przy skomplikowanych obliczeniach astronomicznych. Logarytmy pozwalały zamieniać mnożenie na dodawanie, a dzielenie na odejmowanie - i to na znacznie mniejszych liczbach! Dzięki logarytmom astronomowie zaoszczędzili wiele czasu, który musieliby poświęcić na niezwykle żmudne rachunki.

Logarytmy wymyślone przez Napiera były podobne do współczesnych logarytmów naturalnych (tj. logarytmów o podstawie e). Liczba e nazywana jest także liczbą Napiera, oznaczenie "e" zaś wprowadził w 1736 roku Leonhard Euler. Najczęściej liczbę e definiuje się jako granicę ciągu (1+1/n)ⁿ, gdy n zmierza do nieskończoności. w przybliżeniu e = 2,718281... Można ją otrzymać także jako wynik sumy nieskończonej:

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...

Ten wzór bardzo szybko daje dobre przybliżenia. Jak już powiedzieliśmy, liczba e także jest liczbą przestępną.

Liczba Napiera ma w matematyce (i to w różnych jej działach) ogromne znaczenie i liczne zastosowania. Szczególnie istotną rolę odgrywa w analizie matematycznej. Dzieje się tak przede wszystkim dlatego, że funkcja wykładnicza o podstawie równej e (przypisująca liczbie x wartość e^x) nie zmienia się po zróżniczkowaniu, jej pochodna równa jest jej samej: (e^x)' = e^x. Dodajmy, że jest to (z dokładnością do stałej) jedyne odwzorowanie o tej własności; mają ją tylko funkcje postaci: x -> Ce^x, gdzie C jest pewną stałą.

Liczba e pojawia się niejednokrotnie w sytuacjach, w których najmniej byśmy się jej spodziewali. Oto dwa przykłady.

Często poruszanym, ważnym tematem jest lokowanie pieniędzy w bankach, a w szczególności odsetki i procenty. Wyobraźmy sobie, że pojawił się bank, który płaci 100% odsetek. a więc, gdybyśmy złożyli w tym banku złotówkę, to po roku mielibyśmy dwa złote? Niekoniecznie, ponieważ istnieje coś takiego, jak okres kapitalizacji - czas, po jakim doliczane są odsetki. Gdyby ten okres wynosił rok, to rzeczywiście otrzymalibyśmy dwa złote. w niektórych bankach jednak okres ten jest krótszy (trzy miesiące, miesiąc). Przypuśćmy, że w naszym banku okres kapitalizacji wynosi 1/n część roku; wtedy po roku wypłacą nam (1 + 1/n )ⁿ złotych. Okresy te mogą być bardzo krótkie, w sytuacji idealnej bank powinien prowadzić kapitalizację ciągłą. Wtedy po roku ze złotówki uzyskalibyśmy e złotych.

Drugi przykład ma sugestywny model w sferach, powiedzmy, urzędniczych. Wyobraźmy sobie, że sekretarka w pewnym urzędzie miała wysłać kilkanaście listów. w pośpiechu listy wkładała do zaadresowanych kopert w sposób zupełnie przypadkowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że każdy list trafi do niewłaściwej koperty? Okazuje się, że im większa jest liczba kopert, tym bardziej prawdopodobieństwo to zbliża się do 1/e. w ogóle w rachunku prawdopodobieństwa e pojawia się niemal na każdym kroku.

Natomiast i... Osobom, które mają z matematyką sporadyczne kontakty liczba i często kojarzy się z czymś tajemniczym, jeżeli nie podejrzanym. Liczba i znana jest jako "jednostka urojona", a także jako "pierwiastek z -1". w rzeczy samej, sformułowanie takie brzmi bardzo dziwnie; wiadomo przecież, że pierwiastki drugiego stopnia można wyciągać jedynie z liczb dodatnich.

Pierwszymi liczbami, jakie poznaje dziecko, są liczby naturalne. Możemy je dodawać, mnożyć, możemy też układać równania (w pierwszej klasie w miejsce zmiennej wstawia się puste okienko: 3+ _ =5). Nie wszystkie równania udaje się w zbiorze liczb naturalnych rozwiązać, jak na przykład 5+x=1. Pomocą służą liczby ujemne, w pełni uznane przez matematyków dopiero w XVIII wieku, a dziś dla nas nie stanowiące niczego szczególnego. Podobnie liczby wymierne pomagają rozwiązać równania takie jak 5*x = 1.

Jak już wspominaliśmy, ogromnym zaskoczeniem dla pitagorejczyków było odkrycie, iż istnieje liczba, której nie da się wymierzyć, czyli że używając znanych sobie liczb, nie są w stanie rozwiązać równania: x²=2. i na tej samej zasadzie można w sposób naturalny dojść do liczby i; podobnie jak
określamy jako liczbę dodatnią spełniającą równanie x²=2, tak i definiuje się obecnie jako liczbę taką, że i² = -1, pierwiastek równania x²=-1. Nie jest to wymysł podyktowany chęcią wprowadzenia jakiegoś nowego symbolu, lecz pojęcie bardzo potrzebne z przyczyn praktycznych.

Liczby zespolone pojawiły się w XVI wieku, gdy zaczęto badać ogólne rozwiązania równań trzeciego stopnia, to jest równań postaci ax³+bx²+cx+d=0. Okazało się, że w jednym z przypadków, koniecznych do przeprowadzenia pełnego rozumowania, równanie trzeciego stopnia ma trzy pierwiastki rzeczywiste, do których wyliczenia niezbędne jest wprowadzenie pewnej nowej wielkości. Wielkość ta, podniesiona do kwadratu, ma dać -1, ale pełni ona przy rozwiązaniu rolę jedynie pomocniczą. w dalszych rachunkach twory te redukują się i, co zaskoczyło ówczesnych matematyków, otrzymuje się prawidłowe rozwiązanie. Dlatego w początkowym okresie istnienia liczby zespolone (czyli takie, które w swej definicji zawierały i) traktowano jako symbole, które same w sobie nic nie znaczą, ułatwiają jednak rachunki. Przez dwa wieki liczby zespolone miały zarówno gorących zwolenników, jak i przeciwników. Nabrały one większego znaczenia w XVIII wieku, gdy Euler zaczął je stosować w analizie matematycznej, otrzymując wiele znaczących rezultatów. Formalne, ścisłe konstrukcje przeprowadzono dopiero w XIX wieku; zrobili to niezależnie Carl F. Gauss (geometrycznie) i William R. Hamilton (algebraicznie), przy czym obie konstrukcje prowadziły do tego samego.

Liczby zespolone możemy sobie wyobrazić jako punkty płaszczyzny - jest to naturalne uogólnienie liczb rzeczywistych, które interpretujemy jako punkty prostej (w tym przypadku poziomej). Liczbę zespoloną z możemy zapisać jako parę (a, b) luba+bi, gdzie i definiujemy jako liczbę taką, że i²=-1. Gdy b=0, to liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą.

Ktoś mógłby powiedzieć, że interpretowanie liczb jako punktów płaszczyzny jest nad wyraz sztuczne. Lecz w czym płaszczyzna jest gorsza od prostej? Pod wieloma względami jest nawet lepsza! To tylko my przyzwyczailiśmy się wyobrażać sobie liczby jako punkty prostej i interpretować je jako długości odcinków. Oczywiście nie można kupić kawałka tasiemki długości i, ale to dlatego, że mierzenie długości zarezerwowane jest dla liczb rzeczywistych nieujemnych, tak samo jak nie kupuje się tasiemki o długości -1.

Dowolne dwie liczby naturalne możemy dodać lub pomnożyć. Mając do dyspozycji liczby całkowite, wolno nam także odejmować, liczby wymierne zaś - dzielić. Liczby rzeczywiste pozwalają nam dodatkowo rozwiązywać pewne równania, dzięki liczbom zespolonym możemy rozwiązywać jeszcze inne równania. Ale, co istotne - w strukturze "szerszej" prawdziwe pozostają prawa i wzory znane nam ze struktury "węższej", a rozszerzenie stwarza wiele innych możliwości. Liczby zespolone okazały się rozszerzeniem najlepszym z możliwych; w tym zbiorze można zdziałać znacznie więcej. Dla przykładu - tu każdy wielomian można rozłożyć na czynniki będące dwumianami (wyrażeniami typu "ax + b"). Ponadto dzięki liczbom zespolonym można (czasem w wyjątkowo prosty sposób) rozwiązać bardzo wiele problemów, niejednokrotnie wcale z tymi liczbami nie związanych.

Liczba i, na pierwszy rzut oka może "sztuczna" (i do tego nieszczęśliwie nazwana, zgodnie z tradycją historyczną, "jednostką urojoną"), jest w matematyce niezwykle przydatna i odgrywa w niej istotną rolę.

w ten sposób przyjrzeliśmy się dokładniej pięciu najsłynniejszym stałym matematycznym, które, zainspirowane w skrajnie różne sposoby, zostały ze sobą powiązane w zadziwiająco elegancki i prosty sposób za pomocą jednego wzoru. Czy rzeczywiście prosty? Przecież liczba i występuje tu w wykładniku potęgi!
Podnoszenie do potęgi o wykładniku zespolonym niewątpliwie może wyglądać odstraszająco. Potęgowanie kojarzy się nam przede wszystkim z "mnożeniem przez siebie odpowiednią ilość razy", a tu nagle pojawia się "i
". Ale przecież już w szkole potęga (o podstawie dodatniej) zostaje określona dla dowolnego wykładnika rzeczywistego i z tym jakoś udaje się nam oswoić. Czy na przykład wyrażenie =­2 =­2 nie wygląda na pierwszy rzut oka dziwnie? Na marginesie: =­2 =­2 jest liczbą przestępną, a dowód tego jest trudny. w sposób naturalny - i praktycznie elementarnie - uogólnia się funkcję potęgową, definiując potęgę liczby dodatniej o wykładniku zespolonym.

Pamiętamy, że liczby zespolone można przedstawić jako punkty płaszczyzny. Leonhard Euler udowodnił, że:

e^iφ = cosφ + isinφ,

gdzie φ jest liczbą rzeczywistą (nb. dowód wzoru Eulera nie jest zbyt skomplikowany). Liczba e^iφ jest zatem punktem płaszczyzny; jego pierwszą współrzędną jest cosφ, drugą zaś sinφ. Ot, i cała filozofia. Mamy więc

e^iπ  = cos
 + isin
 = -1 + 0 = -1,

czyli

e^{i π} + 1 = 0.

Kilka fundamentalnych wielkości, które pojawiły się w matematyce zupełnie niezależnie, w bardzo różnych okresach, związanych zostało ze sobą piękną i nadzwyczaj zwięzłą formułą. Dziś wzór e^{i π} +1=0 należy do abecadła wyższej mate- matyki; niemal każdy matematyk nie tylko go pamięta, ale nawet potrafi udowodnić. Przyniósł on dla rozwoju matematyki znaczące następstwa, a jego prostota - jak blask oszlifowanego diamentu - przyciąga uwagę i budzi zachwyt.

Elementy przestępne

Liczba
z dokładnością do 10 000 miejsc po przecinku

= 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 27855 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 24012 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 55379 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 52104 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 73263 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 15030 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 02955 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 07426 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 49192 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 49468 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 22184 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 84383 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 84896 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 94945 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 32645 99581 33904 78027 59009 94657 64078 95126 94683 98352 59570 98258 22620 52248 94077 26719 47826 84826 01476 99090 26401 36394 43745 53050 68203 49625 24517 49399 65143 14298 09190 65925 09372 21696 46151 57098 58387 41059 78859 59772 97549 89301 61753 92846 81382 68683 86894 27741 55991 85592 52459 53959 43104 99725 24680 84598 72736 44695 84865 38367 36222 62609 91246 08051 24388 43904 51244 13654 97627 80797 71569 14359 97700 12961 60894 41694 86855 58484 06353 42207 22258 28488 64815 84560 28506 01684 27394 52267 46767 88952 52138 52254 99546 66727 82398 64565 96116 35488 62305 77456 49803 55936 34568 17432 41125 15076 06947 94510 96596 09402 52288 79710 89314 56691 36867 22874 89405 60101 50330 86179 28680 92087 47609 17824 93858 90097 14909 67598 52613 65549 78189 31297 84821 68299 89487 22658 80485 75640 14270 47755 51323 79641 45152 37462 34364 54285 84447 95265 86782 10511 41354 73573 95231 13427 16610 21359 69536 23144 29524 84937 18711 01457 65403 59027 99344 03742 00731 05785 39062 19838 74478 08478 48968 33214 45713 86875 19435 06430 21845 31910 48481 00537 06146 80674 91927 81911 97939 95206 14196 63428 75444 06437 45123 71819 21799 98391 01591 95618 14675 14269 12397 48940 90718 64942 31961 56794 52080 95146 55022 52316 03881 93014 20937 62137 85595 66389 37787 08303 90697 92077 34672 21825 62599 66150 14215 03068 03844 77345 49202 60541 46659 25201 49744 28507 32518 66600 21324 34088 19071 04863 31734 64965 14539 05796 26856 10055 08106 65879 69981 63574 73638 40525 71459 10289 70641 40110 97120 62804 39039 75951 56771 57700 42033 78699 36007 23055 87631 76359 42187 31251 47120 53292 81918 26186 12586 73215 79198 41484 88291 64470 60957 52706 95722 09175 67116 72291 09816 90915 28017 35067 12748 58322 28718 35209 35396 57251 21083 57915 13698 82091 44421 00675 10334 67110 31412 67111 36990 86585 16398 31501 97016 51511 68517 14376 57618 35155 65088 49099 89859 98238 73455 28331 63550 76479 18535 89322 61854 89632 13293 30898 57064 20467 52590 70915 48141 65498 59461 63718 02709 81994 30992 44889 57571 28289 05923 23326 09729 97120 84433 57326 54893 82391 19325 97463 66730 58360 41428 13883 03203 82490 37589 85243 74417 02913 27656 18093 77344 40307 07469 21120 19130 20330 38019 76211 01100 44929 32151 60842 44485 96376 69838 95228 68478 31235 52658 21314 49576 85726 24334 41893 03968 64262 43410 77322 69780 28073 18915 44110 10446 82325 27162 01052 65227 21116 60396 66557 30925 47110 55785 37634 66820 65310 98965 26918 62056 47693 12570 58635 66201 85581 00729 36065 98764 86117 91045 33488 50346 11365 76867 53249 44166 80396 26579 78771 85560 84552 96541 26654 08530 61434 44318 58676 97514 56614 06800 70023 78776 59134 40171 27494 70420 56223 05389 94561 31407 11270 00407 85473 32699 39081 45466 46458 80797 27082 66830 63432 85878 56983 05235 80893 30657 57406 79545 71637 75254 20211 49557 61581 40025 01262 28594 13021 64715 50979 25923 09907 96547 37612 55176 56751 35751 78296 66454 77917 45011 29961 48903 04639 94713 29621 07340 43751 89573 59614 58901 93897 13111 79042 97828 56475 03203 19869 15140 28708 08599 04801 09412 14722 13179 47647 77262 24142 54854 54033 21571 85306 14228 81375 85043 06332 17518 29798 66223 71721 59160 77166 92547 48738 98665 49494 50114 65406 28433 66393 79003 97692 65672 14638 53067 36096 57120 91807 63832 71664 16274 88880 07869 25602 90228 47210 40317 21186 08204 19000 42296 61711 96377 92133 75751 14959 50156 60496 31862 94726 54736 42523 08177 03675 15906 73502 35072 83540 56704 03867 43513 62222 47715 89150 49530 98444 89333 09634 08780 76932 59939 78054 19341 44737 74418 42631 29860 80998 88687 41326 04721 56951 62396 58645 73021 63159 81931 95167 35381 29741 67729 47867 24229 24654 36680 09806 76928 23828 06899 64004 82435 40370 14163 14965 89794 09243 23789 69070 69779 42236 25082 21688 95738 37986 23001 59377 64716 51228 93578 60158 81617 55782 97352 33446 04281 51262 72037 34314 65319 77774 16031 99066 55418 76397 92933 44195 21541 34189 94854 44734 56738 31624 99341 91318 14809 27777 10386 38773 43177 20754 56545 32207 77092 12019 05166 09628 04909 26360 19759 88281 61332 31666 36528 61932 66863 36062 73567 63035 44776 28035 04507 77235 54710 58595 48702 79081 43562 40145 17180 62464 36267 94561 27531 81340 78330 33625 42327 83944 97538 24372 05835 31147 71199 26063 81334 67768 79695 97030 98339 13077 10987 04085 91337 46414 42822 77263 46594 70474 58784 77872 01927 71528 07317 67907 70715 72134 44730 60570 07334 92436 93113 83504 93163 12840 42512 19256 51798 06941 13528 01314 70130 47816 43788 51852 90928 54520 11658 39341 96562 13491 43415 95625 86586 55705 52690 49652 09858 03385 07224 26482 93972 85847 83163 05777 75606 88876 44624 82468 57926 03953 52773 48030 48029 00587 60758 25104 74709 16439 61362 67604 49256 27420 42083 20856 61190 62545 43372 13153 59584 50687 72460 29016 18766 79524 06163 42522 57719 54291 62991 93064 55377 99140 37340 43287 52628 88963 99587 94757 29174 64263 57455 25407 90914 51357 11136 94109 11939 32519 10760 20825 20261 87985 31887 70584 29725 91677 81314 96990 09019 21169 71737 27847 68472 68608 49003 37702 42429 16513 00500 51683 23364 35038 95170 29893 92233 45172 20138 12806 96501 17844 08745 19601 21228 59937 16231 30171 14448 46409 03890 64495 44400 61986 90754 85160 26327 50529 83491 87407 86680 88183 38510 22833 45085 04860 82503 93021 33219 71551 84306 35455 00766 82829 49304 13776 55279 39751 75461 39539 84683 39363 83047 46119 96653 85815 38420 56853 38621 86725 23340 28308 71123 28278 92125 07712 62946 32295 63989 89893 58211 67456 27010 21835 64622 01349 67151 88190 97303 81198 00497 34072 39610 36854 06643 19395 09790 19069 96395 52453 00545 05806 85501 95673 02292 19139 33918 56803 44903 98205 95510 02263 53536 19204 19947 45538 59381 02343 95544 95977 83779 02374 21617 27111 72364 34354 39478 22181 85286 24085 14006 66044 33258 88569 86705 43154 70696 57474 58550 33232 33421 07301 54594 05165 53790 68662 73337 99585 11562 57843 22988 27372 31989 87571 41595 78111 96358 33005 94087 30681 21602 87649 62867 44604 77464 91599 50549 73742 56269 01049 03778 19868 35938 14657 41268 04925 64879 85561 45372 34786 73303 90468 83834 36346 55379 49864 19270 56387 29317 48723 32083 76011 23029 91136 79386 27089 43879 93620 16295 15413 37142 48928 30722 01269 01475 46684 76535 76164 77379 46752 00490 75715 55278 19653 62132 39264 06160 13635 81559 07422 02020 31872 77605 27721 90055 61484 25551 87925 30343 51398 44253 22341 57623 36106 42506 39049 75008 65627 10953 59194 65897 51413 10348 22769 30624 74353 63256 91607 81547 81811 52843 66795 70611 08615 33150 44521 27473 92454 49454 23682 88606 13408 41486 37767 00961 20715 12491 40430 27253 86076 48236 34143 34623 51897 57664 52164 13767 96903 14950 19108 57598 44239 19862 91642 19399 49072 36234 64684 41173 94032 65918 40443 78051 33389 45257 42399 50829 65912 28508 55582 15725 03107 12570 12668 30240 29295 25220 11872 67675 62204 15420 51618 41634 84756 51699 98116 14101 00299 60783 86909 29160 30288 40026 91041 40792 88621 50784 24516 70908 70006 99282 12066 04183 71806 53556 72525 32567 53286 12910 42487 76182 58297 65157 95984 70356 22262 93486 00341 58722 98053 49896 50226 29174 87882 02734 20922 22453 39856 26476 69149 05562 84250 39127 57710 28402 79980 66365 82548 89264 88025 45661 01729 67026 64076 55904 29099 45681 50652 65305 37182 94127 03369 31378 51786 09040 70866 71149 65583 43434 76933 85781 71138 64558 73678 12301 45876 87126 60348 91390 95620 09939 36103 10291 61615 28813 84379 09904 23174 73363 94804 57593 14931 40529 76347 57481 19356 70911 01377 51721 00803 15590 24853 09066 92037 67192 20332 29094 33467 68514 22144 77379 39375 17034 43661 99104 03375 11173 54719 18550 46449 02636 55128 16228 82446 25759 16333 03910 72253 83742 18214 08835 08657 39177 15096 82887 47826 56995 99574 49066 17583 44137 52239 70968 34080 05355 98491 75417 38188 39994 46974 86762 65516 58276 58483 58845 31427 75687 90029 09517 02835 29716 34456 21296 40435 23117 60066 51012 41200 65975 58512 76178 58382 92041 97484 42360 80071 93045 76189 32349 22927 96501 98751 87212 72675 07981 25547 09589 04556 35792 12210 33346 69749 92356 30254 94780 24901 14195 21238 28153 09114 07907 38602 51522 74299 58180 72471 62591 66854 51333 12394 80494 70791 19153 26734 30282 44186 04142 63639 54800 04480 02670 49624 82017 92896 47669 75831 83271 31425 17029 69234 88962 76684 40323 26092 75249 60357 99646 92565 04936 81836 09003 23809 29345 95889 70695 36534 94060 34021 66544 37558 90045 63288 22505 45255 64056 44824 65151 87547 11962 18443 96582 53375 43885 69094 11303 15095 26179 37800 29741 20766 51479 39425 90298 96959 46995 56576 12186 56196 73378 62362 56125 21632 08628 69222 10327 48892 18654 36480 22967 80705 76561 51446 32046 92790 68212 07388 37781 42335 62823 60896 32080 68222 46801 22482 61177 18589 63814 09183 90367 36722 20888 32151 37556 00372 79839 40041 52970 02878 30766 70944 47456 01345 56417 25437 09069 79396 12257 14298 94671 54357 84687 88614 44581 23145 93571 98492 25284 71605 04922 12424 70141 21478 05734 55105 00801 90869 96033 02763 47870 81081 75450 11930 71412 23390 86639 38339 52942 57869 05076 43100 63835 19834 38934 15961 31854 34754 64955 69781 03829 30971 64651 43840 70070 73604 11237 35998 43452 25161 05070 27056 23526 60127 64848 30840 76118 30130 52793 20542 74628 65403 60367 45328 65105 70658 74882 25698 15793 67897 66974 22057 50596 83440 86973 50201 41020 67235 85020 07245 22563 26513 41055 92401 90274 21624 84391 40359 98953 53945 90944 07046 91209 14093 87001 26456 00162 37428 80210 92764 57931 06579 22955 24988 72758 46101 26483 69998 92256 95968 81592 05600 10165 52563 75678 56672 27966 19885 78279 48488 55834 39751 87445 45512 96563 44348 03966 42055 79829 36804 35220 27709 84294 23253 30225 76341 80703 94769 94159 79159 45300 69752 14829

Liczba
z dokładnością do 100 000 miejsc po przecinku

= 3, 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 38095 25720 10654 85863 27886 59361 53381 82796 82303 01952 03530 18529 68995 77362 25994 13891 24972 17752 83479 13151 55748 57242 45415 06959 50829 53311 68617 27855 88907 50983 81754 63746 49393 19255 06040 09277 01671 13900 98488 24012 85836 16035 63707 66010 47101 81942 95559 61989 46767 83744 94482 55379 77472 68471 04047 53464 62080 46684 25906 94912 93313 67702 89891 52104 75216 20569 66024 05803 81501 93511 25338 24300 35587 64024 74964 73263 91419 92726 04269 92279 67823 54781 63600 93417 21641 21992 45863 15030 28618 29745 55706 74983 85054 94588 58692 69956 90927 21079 75093 02955 32116 53449 87202 75596 02364 80665 49911 98818 34797 75356 63698 07426 54252 78625 51818 41757 46728 90977 77279 38000 81647 06001 61452 49192 17321 72147 72350 14144 19735 68548 16136 11573 52552 13347 57418 49468 43852 33239 07394 14333 45477 62416 86251 89835 69485 56209 92192 22184 27255 02542 56887 67179 04946 01653 46680 49886 27232 79178 60857 84383 82796 79766 81454 10095 38837 86360 95068 00642 25125 20511 73929 84896 08412 84886 26945 60424 19652 85022 21066 11863 06744 27862 20391 94945 04712 37137 86960 95636 43719 17287 46776 46575 73962 41389 08658 32645 99581 33904 78027 59009 94657 64078 95126 94683 98352 59570 98258 22620 52248 94077 26719 47826 84826 01476 99090 26401 36394 43745 53050 68203 49625 24517 49399 65143 14298 09190 65925 09372 21696 46151 57098 58387 41059 78859 59772 97549 89301 61753 92846 81382 68683 86894 27741 55991 85592 52459 53959 43104 99725 24680 84598 72736 44695 84865 38367 36222 62609 91246 08051 24388 43904 51244 13654 97627 80797 71569 14359 97700 12961 60894 41694 86855 58484 06353 42207 22258 28488 64815 84560 28506 01684 27394 52267 46767 88952 52138 52254 99546 66727 82398 64565 96116 35488 62305 77456 49803 55936 34568 17432 41125 15076 06947 94510 96596 09402 52288 79710 89314 56691 36867 22874 89405 60101 50330 86179 28680 92087 47609 17824 93858 90097 14909 67598 52613 65549 78189 31297 84821 68299 89487 22658 80485 75640 14270 47755 51323 79641 45152 37462 34364 54285 84447 95265 86782 10511 41354 73573 95231 13427 16610 21359 69536 23144 29524 84937 18711 01457 65403 59027 99344 03742 00731 05785 39062 19838 74478 08478 48968 33214 45713 86875 19435 06430 21845 31910 48481 00537 06146 80674 91927 81911 97939 95206 14196 63428 75444 06437 45123 71819 21799 98391 01591 95618 14675 14269 12397 48940 90718 64942 31961 56794 52080 95146 55022 52316 03881 93014 20937 62137 85595 66389 37787 08303 90697 92077 34672 21825 62599 66150 14215 03068 03844 77345 49202 60541 46659 25201 49744 28507 32518 66600 21324 34088 19071 04863 31734 64965 14539 05796 26856 10055 08106 65879 69981 63574 73638 40525 71459 10289 70641 40110 97120 62804 39039 75951 56771 57700 42033 78699 36007 23055 87631 76359 42187 31251 47120 53292 81918 26186 12586 73215 79198 41484 88291 64470 60957 52706 95722 09175 67116 72291 09816 90915 28017 35067 12748 58322 28718 35209 35396 57251 21083 57915 13698 82091 44421 00675 10334 67110 31412 67111 36990 86585 16398 31501 97016 51511 68517 14376 57618 35155 65088 49099 89859 98238 73455 28331 63550 76479 18535 89322 61854 89632 13293 30898 57064 20467 52590 70915 48141 65498 59461 63718 02709 81994 30992 44889 57571 28289 05923 23326 09729 97120 84433 57326 54893 82391 19325 97463 66730 58360 41428 13883 03203 82490 37589 85243 74417 02913 27656 18093 77344 40307 07469 21120 19130 20330 38019 76211 01100 44929 32151 60842 44485 96376 69838 95228 68478 31235 52658 21314 49576 85726 24334 41893 03968 64262 43410 77322 69780 28073 18915 44110 10446 82325 27162 01052 65227 21116 60396 66557 30925 47110 55785 37634 66820 65310 98965 26918 62056 47693 12570 58635 66201 85581 00729 36065 98764 86117 91045 33488 50346 11365 76867 53249 44166 80396 26579 78771 85560 84552 96541 26654 08530 61434 44318 58676 97514 56614 06800 70023 78776 59134 40171 27494 70420 56223 05389 94561 31407 11270 00407 85473 32699 39081 45466 46458 80797 27082 66830 63432 85878 56983 05235 80893 30657 57406 79545 71637 75254 20211 49557 61581 40025 01262 28594 13021 64715 50979 25923 09907 96547 37612 55176 56751 35751 78296 66454 77917 45011 29961 48903 04639 94713 29621 07340 43751 89573 59614 58901 93897 13111 79042 97828 56475 03203 19869 15140 28708 08599 04801 09412 14722 13179 47647 77262 24142 54854 54033 21571 85306 14228 81375 85043 06332 17518 29798 66223 71721 59160 77166 92547 48738 98665 49494 50114 65406 28433 66393 79003 97692 65672 14638 53067 36096 57120 91807 63832 71664 16274 88880 07869 25602 90228 47210 40317 21186 08204 19000 42296 61711 96377 92133 75751 14959 50156 60496 31862 94726 54736 42523 08177 03675 15906 73502 35072 83540 56704 03867 43513 62222 47715 89150 49530 98444 89333 09634 08780 76932 59939 78054 19341 44737 74418 42631 29860 80998 88687 41326 04721 56951 62396 58645 73021 63159 81931 95167 35381 29741 67729 47867 24229 24654 36680 09806 76928 23828 06899 64004 82435 40370 14163 14965 89794 09243 23789 69070 69779 42236 25082 21688 95738 37986 23001 59377 64716 51228 93578 60158 81617 55782 97352 33446 04281 51262 72037 34314 65319 77774 16031 99066 55418 76397 92933 44195 21541 34189 94854 44734 56738 31624 99341 91318 14809 27777 10386 38773 43177 20754 56545 32207 77092 12019 05166 09628 04909 26360 19759 88281 61332 31666 36528 61932 66863 36062 73567 63035 44776 28035 04507 77235 54710 58595 48702 79081 43562 40145 17180 62464 36267 94561 27531 81340 78330 33625 42327 83944 97538 24372 05835 31147 71199 26063 81334 67768 79695 97030 98339 13077 10987 04085 91337 46414 42822 77263 46594 70474 58784 77872 01927 71528 07317 67907 70715 72134 44730 60570 07334 92436 93113 83504 93163 12840 42512 19256 51798 06941 13528 01314 70130 47816 43788 51852 90928 54520 11658 39341 96562 13491 43415 95625 86586 55705 52690 49652 09858 03385 07224 26482 93972 85847 83163 05777 75606 88876 44624 82468 57926 03953 52773 48030 48029 00587 60758 25104 74709 16439 61362 67604 49256 27420 42083 20856 61190 62545 43372 13153 59584 50687 72460 29016 18766 79524 06163 42522 57719 54291 62991 93064 55377 99140 37340 43287 52628 88963 99587 94757 29174 64263 57455 25407 90914 51357 11136 94109 11939 32519 10760 20825 20261 87985 31887 70584 29725 91677 81314 96990 09019 21169 71737 27847 68472 68608 49003 37702 42429 16513 00500 51683 23364 35038 95170 29893 92233 45172 20138 12806 96501 17844 08745 19601 21228 59937 16231 30171 14448 46409 03890 64495 44400 61986 90754 85160 26327 50529 83491 87407 86680 88183 38510 22833 45085 04860 82503 93021 33219 71551 84306 35455 00766 82829 49304 13776 55279 39751 75461 39539 84683 39363 83047 46119 96653 85815 38420 56853 38621 86725 23340 28308 71123 28278 92125 07712 62946 32295 63989 89893 58211 67456 27010 21835 64622 01349 67151 88190 97303 81198 00497 34072 39610 36854 06643 19395 09790 19069 96395 52453 00545 05806 85501 95673 02292 19139 33918 56803 44903 98205 95510 02263 53536 19204 19947 45538 59381 02343 95544 95977 83779 02374 21617 27111 72364 34354 39478 22181 85286 24085 14006 66044 33258 88569 86705 43154 70696 57474 58550 33232 33421 07301 54594 05165 53790 68662 73337 99585 11562 57843 22988 27372 31989 87571 41595 78111 96358 33005 94087 30681 21602 87649 62867 44604 77464 91599 50549 73742 56269 01049 03778 19868 35938 14657 41268 04925 64879 85561 45372 34786 73303 90468 83834 36346 55379 49864 19270 56387 29317 48723 32083 76011 23029 91136 79386 27089 43879 93620 16295 15413 37142 48928 30722 01269 01475 46684 76535 76164 77379 46752 00490 75715 55278 19653 62132 39264 06160 13635 81559 07422 02020 31872 77605 27721 90055 61484 25551 87925 30343 51398 44253 22341 57623 36106 42506 39049 75008 65627 10953 59194 65897 51413 10348 22769 30624 74353 63256 91607 81547 81811 52843 66795 70611 08615 33150 44521 27473 92454 49454 23682 88606 13408 41486 37767 00961 20715 12491 40430 27253 86076 48236 34143 34623 51897 57664 52164 13767 96903 14950 19108 57598 44239 19862 91642 19399 49072 36234 64684 41173 94032 65918 40443 78051 33389 45257 42399 50829 65912 28508 55582 15725 03107 12570 12668 30240 29295 25220 11872 67675 62204 15420 51618 41634 84756 51699 98116 14101 00299 60783 86909 29160 30288 40026 91041 40792 88621 50784 24516 70908 70006 99282 12066 04183 71806 53556 72525 32567 53286 12910 42487 76182 58297 65157 95984 70356 22262 93486 00341 58722 98053 49896 50226 29174 87882 02734 20922 22453 39856 26476 69149 05562 84250 39127 57710 28402 79980 66365 82548 89264 88025 45661 01729 67026 64076 55904 29099 45681 50652 65305 37182 94127 03369 31378 51786 09040 70866 71149 65583 43434 76933 85781 71138 64558 73678 12301 45876 87126 60348 91390 95620 09939 36103 10291 61615 28813 84379 09904 23174 73363 94804 57593 14931 40529 76347 57481 19356 70911 01377 51721 00803 15590 24853 09066 92037 67192 20332 29094 33467 68514 22144 77379 39375 17034 43661 99104 03375 11173 54719 18550 46449 02636 55128 16228 82446 25759 16333 03910 72253 83742 18214 08835 08657 39177 15096 82887 47826 56995 99574 49066 17583 44137 52239 70968 34080 05355 98491 75417 38188 39994 46974 86762 65516 58276 58483 58845 31427 75687 90029 09517 02835 29716 34456 21296 40435 23117 60066 51012 41200 65975 58512 76178 58382 92041 97484 42360 80071 93045 76189 32349 22927 96501 98751 87212 72675 07981 25547 09589 04556 35792 12210 33346 69749 92356 30254 94780 24901 14195 21238 28153 09114 07907 38602 51522 74299 58180 72471 62591 66854 51333 12394 80494 70791 19153 26734 30282 44186 04142 63639 54800 04480 02670 49624 82017 92896 47669 75831 83271 31425 17029 69234 88962 76684 40323 26092 75249 60357 99646 92565 04936 81836 09003 23809 29345 95889 70695 36534 94060 34021 66544 37558 90045 63288 22505 45255 64056 44824 65151 87547 11962 18443 96582 53375 43885 69094 11303 15095 26179 37800 29741 20766 51479 39425 90298 96959 46995 56576 12186 56196 73378 62362 56125 21632 08628 69222 10327 48892 18654 36480 22967 80705 76561 51446 32046 92790 68212 07388 37781 42335 62823 60896 32080 68222 46801 22482 61177 18589 63814 09183 90367 36722 20888 32151 37556 00372 79839 40041 52970 02878 30766 70944 47456 01345 56417 25437 09069 79396 12257 14298 94671 54357 84687 88614 44581 23145 93571 98492 25284 71605 04922 12424 70141 21478 05734 55105 00801 90869 96033 02763 47870 81081 75450 11930 71412 23390 86639 38339 52942 57869 05076 43100 63835 19834 38934 15961 31854 34754 64955 69781 03829 30971 64651 43840 70070 73604 11237 35998 43452 25161 05070 27056 23526 60127 64848 30840 76118 30130 52793 20542 74628 65403 60367 45328 65105 70658 74882 25698 15793 67897 66974 22057 50596 83440 86973 50201 41020 67235 85020 07245 22563 26513 41055 92401 90274 21624 84391 40359 98953 53945 90944 07046 91209 14093 87001 26456 00162 37428 80210 92764 57931 06579 22955 24988 72758 46101 26483 69998 92256 95968 81592 05600 10165 52563 75678 56672 27966 19885 78279 48488 55834 39751 87445 45512 96563 44348 03966 42055 79829 36804 35220 27709 84294 23253 30225 76341 80703 94769 94159 79159 45300 69752 14829 33665 55661 56787 36400 53666 56416 54732 17043 90352 13295 43529 16941 45990 41608 75320 18683 79370 23488 86894 79151 07163 78529 02345 29244 07736 59495 63051 00742 10871 42613 49745 95615 13849 87137 57047 10178 79573 10422 96906 66702 14498 63746 45952 80824 36944 57897 72330 04876 47652 41339 07592 04340 19634 03911 47320 23380 71509 52220 10682 56342 74716 46024 33544 00515 21266 93249 34196 73977 04159 56837 53555 16673 02739 00749 72973 63549 64533 28886 98440 61196 49616 27734 49518 27369 55882 20757 35517 66515 89855 19098 66653 93549 48106 88732 06859 90754 07923 42402 30092 59007 01731 96036 22547 56478 94064 75483 46647 76041 14632 33905 65134 33068 44953 97907 09030 23460 46147 09616 96886 88501 40834 70405 46074 29586 99138 29668 24681 85710 31887 90652 87036 65083 24319 74404 77185 56789 34823 08943 10682 87027 22809 73624 80939 96270 60747 26455 39925 39944 28081 13736 94338 87294 06307 92615 95995 46262 46297 07062 59484 55690 34711 97299 64090 89418 05953 43932 51236 23550 81349 49004 36427 85271 38315 91256 89892 95196 42728 75739 46914 27253 43669 41532 36100 45373 04881 98551 70659 41217 35246 25895 48730 16760 02988 65925 78662 85612 49665 52353 38294 28785 42534 04830 83307 01653 72285 63559 15253 47844 59818 31341 12900 19992 05981 35220 51173 36585 64078 26484 94276 44113 76393 86692 48031 18364 45369 85891 75442 64739 98822 84621 84490 08777 69776 31279 57226 72655 56259 62825 42765 31830 01340 70922 33436 57791 60128 09317 94017 18598 59993 38492 35495 64005 70995 58561 13498 02524 99066 98423 30173 50358 04408 11685 52653 11709 95708 99427 32870 92584 87894 43646 00504 10892 26691 78352 58707 85951 29834 41729 53519 53788 55345 73742 60859 02908 17651 55780 39059 46408 73506 12322 61120 09373 10804 85485 26357 22825 76820 34160 50484 66277 50450 03126 20080 07998 04925 48534 69414 69775 16493 27095 04934 63938 24322 27188 51597 40547 02148 28971 11777 92376 12257 88734 77188 19682 54629 81268 68581 70507 40272 55026 33290 44976 27789 44236 21674 11918 62694 39650 67151 57795 86756 48239 93917 60426 01763 38704 54990 17614 36412 04692 18237 07648 87834 19689 68611 81558 15873 60629 38603 81017 12158 55272 66830 08238 34046 56475 88040 51380 80163 36388 74216 37140 64354 95561 86896 41122 82140 75330 26551 00424 10489 67835 28588 29024 36709 04887 11819 09094 94533 14421 82876 61810 31007 35477 05498 15968 07720 09474 69613 43609 28614 84941 78501 71807 79306 81085 46900 09445 89952 79424 39813 92135 05586 42219 64834 91512 63901 28038 32001 09773 86806 62877 92397 18014 61343 24457 26400 97374 25700 73592 10031 54150 89367 93008 16998 05365 20276 00727 74967 45840 02836 24053 46037 26341 65542 59027 60183 48403 06811 38185 51059 79705 66400 75094 26087 88573 57960 37324 51414 67867 03688 09880 60971 64258 49759 51380 69309 44940 15154 22221 94329 13021 73912 53835 59150 31003 33032 51117 49156 96917 45027 14943 31515 58854 03922 16409 72291 01129 03552 18157 62823 28318 23425 48326 11191 28009 28252 56190 20526 30163 91147 72473 31485 73910 77758 74425 38761 17465 78671 16941 47764 21441 11126 35835 53871 36101 10232 67987 75641 02468 24032 26483 46417 66369 80663 78576 81349 20453 02240 81972 78564 71983 96308 78154 32211 66912 24641 59117 76732 25326 43356 86146 18654 52226 81268 87268 44596 84424 16107 85401 67681 42080 88502 80054 14361 31462 30821 02594 17375 62389 94207 57136 27516 74573 18918 94562 83525 70441 33543 75857 53426 98699 47254 70316 56613 99199 96826 28247 27064 13362 22178 92390 31760 85428 94373 39356 18891 65125 04244 04008 95271 98378 73864 80584 72689 54624 38823 43751 78852 01439 56005 71048 11949 88423 90606 13695 73423 15590 79670 34614 91434 47886 36041 03182 35073 65027 78590 89757 82727 31305 04889 39890 09923 91350 33732 50855 98265 58670 89242 61242 94736 70193 90772 71307 06869 17092 64625 48423 24074 85503 66080 13604 66895 11840 09366 86095 46325 00214 58529 30950 00090 71510 58236 26729 32645 37382 10493 87249 96699 33942 46855 16483 26113 41461 10680 26744 66373 34375 34076 42940 26682 97386 52209 35701 62638 46485 28514 90362 93201 99199 68828 51718 39536 69134 52224 44708 04592 39660 28171 56551 56566 61113 59823 11225 06289 05854 91450 97157 55390 02439 31535 19090 21071 19457 30024 38801 76615 03527 08626 02537 88179 75194 78061 01371 50044 89917 21002 22013 35013 10601 63915 41589 57803 71177 92775 22597 87428 91917 91552 24171 89585 36168 05947 41234 19339 84202 18745 64925 64434 62392 53195 31351 03311 47639 49119 95072 85843 06583 61935 36932 96992 89837 91494 19394 06085 72486 39688 36903 26556 43642 16644 25760 79147 10869 98431 57337 49648 83529 27693 28220 76294 72823 81537 40996 15455 98798 25989 10937 17126 21828 30258 48112 38901 19682 21429 45766 75807 18653 80650 64870 26133 89282 29949 72574 53033 28389 63818 43944 77077 94022 84359 88341 00358 38542 38973 54243 95647 55568 40952 24844 55413 92394 10001 62076 93636 84677 64130 17819 65937 99715 57468 54194 63348 93748 43912 97423 91433 65936 04100 35234 37770 65888 67781 13949 86164 78747 14079 32638 58738 62473 28896 45643 59877 46676 38479 46650 40741 11825 65837 88784 54858 14896 29612 73998 41344 27260 86061 87245 54523 60643 15371 01127 46809 77870 44640 94758 28034 87697 58948 32824 12392 92960 58294 86191 96670 91895 80898 33201 21031 84303 40128 49511 62035 34280 14412 76172 85830 24355 98300 32042 02451 20728 72535 58119 58401 49180 96925 33950 75778 40006 74655 26031 44616 70508 27682 77222 35341 91102 63416 31571 47406 12385 04258 45988 41990 76112 87258 05911 39356 89601 43166 82831 76323 56732 54170 73420 81733 22304 62987 99280 49085 14094 79036 88786 87894 93054 69557 03072 61900 95020 76433 49335 91060 24545 08645 36289 35456 86295 85313 15337 18386 82656 17862 27363 71697 57741 83023 98600 65914 81616 40494 49650 11732 13138 95747 06208 84748 02365 37103 11508 98427 99275 44268 53277 97431 13951 43574 17221 97597 99359 68525 22857 45263 79628 96126 91572 35798 66205 73408 37576 68740 83335 90079 09054 70828 98187 23048 05758 32734 18115 19028 39984 42065 21374 08977 38502 08666 04959 02724 05610 03060 96601 43700 35444 51633 57874 19237 20174 78026 85216 03189 96209 96355 89007 97483 94136 36593 67846 52449 84852 50490 70876 39949 06868 29398 86900 51392 50197 17579 66357 71218 84199 38124 19081 34343 42315 96788 97570 45223 90702 52667 99459 47750 92761 62932 20123 52445 92024 19099 87142 75080 95227 33119 22791 88522 96470 53663 79429 39552 71842 64904 32662 78116 71457 85070 46042 40884 68393 60823 87273 12058 12625 30638 92243 48489 71551 11119 63993 62700 06119 16808 00889 21390 90317 19187 57922 54209 84361 17649 11593 81459 57921 92844 84856 38181 70941 17717 99469 88152 83685 24952 31376 22176 96198 77806 94749 87770 39573 32628 14815 71898 80246 71668 86775 16665 44418 75619 63302 12907 39667 49562 68969 59658 44239 11951 90360 58603 06401 51384 79434 03866 05970 39449 23539 61161 54506 21421 36991 04744 51271 93944 25480 60778 88210 87594 37062 60489 86048 50470 20476 18770 52360 32593 13242 37282 92141 94537 34918 55823 21768 55234 28441 72901 56971 09829 07670 91071 01962 52021 54934 96114 86365 00077 77225 44430 19720 22355 63529 80137 75512 47345 72844 63044 75450 03065 43714 26658 19106 17635 89237 36540 79731 04732 03413 43474 51211 43266 49576 29714 31050 06374 76882 35569 72649 31726 09867 70111 22657 40280 68814 55341 13752 01952 99539 25387 46362 54918 64225 23062 13430 20137 75167 80265 76811 73864 90649 36818 64312 18026 46343 31038 96238 88612 79073 17969 27303 77364 32244 92999 24765 80514 07224 93977 68554 62929 51615 00792 17576 99828 80469 83514 44368 35735 04986 62810 88555 22992 72014 36563 29912 38776 09961 54581 31375 24285 15033 15006 99146 28047 70089 42455 66601 84250 95086 10654 57827 59593 89731 88632 57749 79353 04833 22471 93919 45038 04757 61368 66113 11065 77837 34022 09502 98501 69408 19017 22751 45369 03673 14251 94078 08715 72302 38525 19970 15235 19375 87098 16087 35677 33550 26120 56617 20606 74937 38726 08017 26797 17677 25388 88631 54276 16452 16042 41450 00056 15452 93071 01738 78401 20210 68909 80026 57965 36240 15850 97566 78461 55967 58554 95053 12803 32688 00491 60945 48739 88159 86239 02165 65377 75411 46614 20492 75157 15644 95986 99924 94498 64449 04567 97869 82648 35035 93454 36427 83309 83224 87512 10843 56561 96285 56047 80253 93140 76169 89009 19960 97507 20405 84211 28117 68596 84892 37672 96633 89196 24171 66070 08228 49687 76861 13386 86949 08114 47337 99460 71276 98783 73414 26573 09823 73652 82489 44968 72025 95219 63355 17789 97386 62493 49462 49585 26385 27574 65161 23615 20599 11764 59643 23641 04087 26857 89395 30170 53706 19386 80959 72977 80547 16917 00893 50339 64622 88018 27349 43881 71403 66273 08052 08128 46310 29386 35656 24653 12684 31663 06720 71076 60720 35866 35020 93602 27406 95441 27207 94593 47803 65724 86477 53884 43026 21808 41855 70763 02377 28367 37070 28193 42686 20108 61505 93737 86991 71269 86122 07120 43862 10264 11745 67168 99560 35601 75368 56679 18718 04381 89865 99169 07283 15577 85871 34957 48886 97084 02397 38454 28613 94127 60953 06264 13717 94118 44608 13189 64263 30475 50924 70517 09415 83468 33273 45711 46059 49259 77712 64218 61406 03794 97431 24452 12363 89134 48859 25621 86705 76869 75348 42002 74257 92735 13362 07915 69851 03667 15814 99736 94689 84470 86281 13953 15487 19872 53085 24143 86861 42085 48355 77479 79088 38010 51677 20426 11489 12375 37617 91203 07023 45822 54586 27068 46112 13170 74935 23055 05512 50003 49752 20887 39890 69628 08948 14194 77430 40766 55638 68813 24296 15989 97972 44013 20478 62284 87335 71688 90471 21735 43828 20279 27551 33740 41173 75134 61782 21314 10783 94313 67194 84844 62930 79018 95862 94904 06176 81209 75553 23866 25374 31098 88074 43904 38548 03137 83962 36443 36785 65902 09235 84833 63984 22102 12754 83393 42631 06650 47042 85359 98182 63304 17573 55027 06293 62476 67342 35137 60749 80118 27273 05616 56343 79015 96967 85396 54600 51892 46332 79891 09432 91188 58351 42193 56269 71062 90578 77775 79551 49638 04110 38472 99233 43266 61499 24665 38642 76288 53036 81252 67590 58186 43462 58933 97863 30707 24450 04731 04962 56140 50334 73611 92905 82501 38735 59952 81553 61818 55610 02947 09727 10036 78111 98202 57922 64113 60227 81517 51427 20079 89796 47860 41265 30686 62995 07264 69504 92243 48324 46495 91233 01654 44225 67920 12163 31026 87974 40204 18628 77610 44142 43026 99508 97947 37484 83362 45289 27359 05180 53705 31221 95281 48481 93412 19075 65641 67179 39195 64614 29266 05494 29189 40562 74962 01365 84243 13707 93324 06269 82347 15611 64856 57999 15035 93543 00079 05687 09785 39126 51245 90429 61628 30359 80246 84782 11486 35561 92950 78585 85081 38717 91584 10278 35204 61883 74999 44903 29065 20828 46449 99684 26389 21747 79498 21700 30602 79252 55762 16865 17184 50788 14842 45426 04712 64594 06107 42667 11674 35902 14463 07127 94269 45608 25946 86443 37613 91238 46983 75263 67333 07240 42421 40745 97705 36567 73996 81420 31549 42109 35121 96237 19151 80689 12581 62672 01862 45514 89252 99562 10518 12567 42928 84514 97286 72975 06694 14903 89101 79483 02689 59272 94694 21176 64763 53872 16908 77487 43846 84293 27482 62839 33385 59697 76849 17362 36055 59857 22591 75762 83324 52324 27467 80790 91483 65787 89187 94851 92030 99908 65839 76113 96243 05590 24849 40055 10743 52761 02557 25242 23116 07011 61530 64038 16075 40537 32105 21122 11410 29882 64161 13404 29845 36231 79806 94251 61828 10664 37146 48758 05716 67751 06209 53995 43181 88432 26429 44545 29364 66414 48559 64231 50716 19368 01906 10099 37329 55916 56586 23387 60360 91805 62179 52633 56388 49594 87031 35030 44896 56024 81627 25886 22008 67360 61278 98921 11408 45775 19683 03511 31909 34784 41016 51357 80910 01735 54691 68928 75377 65506 72844 43200 43816 13218 14520 63580 64826 19543 65036 41359 99719 74828 41391 68647 29144 58814 27602 61967 56828 96215 10900 02129 32023 18038 29601 01309 41183 48631 75803 86299 82131 16414 45273 34794 88370 39967 76530 52454 76453 34489 54718 11951 96061 54728 03407 08910 80407 91565 73406 31500 94950 51542 61967 85461 51691 80874 12036 13548 70502 23551 66882 88300 33471 66369 66725 90764 37384 14883 54952 09734 10586 48198 35150 68093 82268 41149 44841 41979 65235 86334 55470 02928 68054 90755 88176 98973 49578 41201 52015 86019 67648 50132 62422 88024 60585 73177 17108 88759 30473 47757 86071 97563 50681 36379 41296 53917 34365 93486 34086 19718 80594 51651 78578 71750 24909 19165 04185 10250 41218 03742 73482 25304 76455 75080 18946 68269 83801 73083 24647 90693 44846 94787 56162 70516 40304 12334 76785 53428 57626 25715 77344 64841 00486 46796 54566 45216 09823 17652 34607 04259 79705 49449 10067 45824 16398 72401 04644 26496 41094 74052 74555 80998 18397 69572 32766 37648 64775 40219 94099 51534 67657 61712 52513 62719 67145 85488 82628 59726 88448 25636 73994 09949 91252 79106 82582 10834 54198 87455 29032 28819 75414 25788 22156 45076 74579 23772 86946 70644 86128 82289 54852 84063 53158 90875 35669 25713 16712 96495 13218 39174 85358 58900 40960 87993 63390 84043 66337 12498 13575 73734 48849 31057 19402 14265 77260 81044 47714 47797 04291 43040 79601 11796 57677 00670 00876 06260 29380 80673 92165 04666 07828 45423 08370 03906 91479 05498 46564 97093 71079 86396 49137 01426 34065 57047 21457 70765 76701 49744 20282 90982 35340 51050 41995 41507 57996 52763 16576 53961 55491 77414 79685 37889 63016 00606 18177 48021 46556 03243 15030 47665 97853 29090 23742 58778 56864 19613 10401 04737 37169 17700 97377 08521 98395 90545 66642 56676 64512 43638 96479 81646 25151 83147 19348 14676 31755 97748 06565 43933 70948 73603 63169 65628 07631 56980 69900 20920 62823 63415 24221 28733 99619 90014 65284 12066 15043 03240 97792 55426 65791 75535 53240 10780 31917 57828 63987 36194 67049 94701 84522 98314 57206 93478 89175 31411 99593 94573 77127 11798 16811 95864 36868 01641 50728 02932 21009 87678 72513 37941 38903 95373 24370 09852 59160 03291 45427 46693 26706 51239 19182 93473 56182 89964 69389 37459 30650 58578 11543 98626 21890 36295 82329 61697 97355 97494 83945 71924 71016 43824 52216 26288 46002 65688 92778 87668 58133 02645 52508 09865 37666 60028 87902 48728 60966 62672 02748 48574 86298 12411 45362 27511 98683 28769 75609 11059 98016 18015 60787 55993 67563 18613 49756 89554 68853 76755 24256 71310 81678 07171 64760 21234 08058 03141 50960 52910 78631 27731 44164 35584 90888 45345 75133 44596 30431 92352 17127 67005 49155 18803 54008 35104 29341 16331 47481 51520 40604 31309 04746 01391 80235 36555 22290 91877 26125 56043 27821 12513 49318 98534 15885 73988 66345 51706 21113 80853 21855 78029 91965 34205 19574 95962 89487 61028 85054 34077 18827 52885 81362 00424 56519 42012 58985 08639 04606 82814 15210 29790 35744 41379 19996 64840 44371 76070 55788 86946 83449 67069 64276 92706 33048 81946 83928 15825 38686 37286 92644 44185 43328 82205 19020 05872 38855 54247 44345 64800 97221 89375 33846 47545 16857 56513 51991 73705 87868 04962 44213 75832 86274 35136 59962 28252 15844 83558 51621 36132 51291 94489 20464 54078 68814 36053 49887 46263 13199 02643 32125 21977 33242 10062 48484 62937 55487 62973 75925 79094 61960 39213 38770 54608 82509 05688 48841 83718 30813 07806 59905 06592 03458 91392 08043 21864 43294 90620 11229 73474 02634 17590 27642 49549 81179 63535 49975 46239 45219 91573 56313 02618 19798 39287 59120 87802 64699 72318 39669 60484 34284 95898 37847 95547 53920 26398 07206 09464 73577 99171 90517 43525 46023 78950 54632 46599 37053 87167 44524 37103 06332 79457 28206 89965 65738 10749 67005 40784 44983 52998 43367 21449 80971 00431 45167 55453 60862 96745 48330 11557 12787 32554 07306 70214 65265 77491 48234 78960 59208 27483 22900 12566 54266 79950 55012 73905 14729 52172 12084 92063 00900 44785 74248 47693 02439 13886 99913 59735 62420 54881 27016 26823 69311 30049 19087 90534 97032 36098 88025 64035 95325 14771 80451 22546 60479 49890 28444 01797 19382 58746 78111 86915 43920 93508 00684 45152 33387 02539 64749 01070 21433 97796 18127 03528 85892 29397 52244 93371 95554 37670 97557 71579 33345 36203 87239 14247 98516 92787 22752 94688 91139 48474 63928 43051 83056 15344 03695 07317 26764 19908 16417 85744 18340 30995 54126 97796 03243 25037 61122 81105 84556 34134 78901 42779 06357 84579 79394 29843 41144 42696 77516 90327 27713 28488 42365 01962 04740 21811 18742 33851 92446 62226 96214 66686 52777 08299 68713 07548 73859 89772 05038 13570 00309 54491 20354 31997 69188 78079 38458 81473 85188 57613 60766 53686 53183 85062 25308 85804 73501 94412 33109 77241 42002 33097 09003 32719 53274 54646 25910 83376 02710 80912 83733 96600 43967 05613 86974 54987 30603 23241 13871 87592 14570 24160 00308 04795 98832 66167 07909 40337 90162 69815 26491 96532 40608 88747 55429 27095 58167 96471 63891 03258 90685 92980 25828 71778 45718 41664 78859 79589 29441 57923 27137 44297 47969 09313 98089 12221 80071 36723 03018 53020 86490 96670 35097 44343 00541 29404 37480 07014 57134 13104 95014 76677 48192 31078 80316 90636 65573 80076 62062 15809 33093 83192 00481 59639 43135 31341 17170 65181 46176 18389 43089 14821 34657 36186 55906 58660 67137 83536 68487 02646 25943 31041 03170 56461 42244 19099 91118 08336 24055 95889 51535 74062 90508 27280 99569 05654 27984 31654 70113 23037 28896 72156 70734 33827 89351 44280 60731 32882 36729 80851 08440 82496 14254 97324 05678 09840 97492 98992 38771 14132 40334 93634 88697 78147 51489 31940 03394 10087 42278 95819 93876 83355 55721 93293 29239 11382 55436 60484 48768 21672 28637 71450 03092 14841 47427 44422 44151 16381 39302 13749 62516 81082 36112 26978 42478 46690 75111 34587 73408 89338 72971 14496 52346 86857 59161 15388 47896 59053 55930 23285 72695 12611 69264 48908 63081 10667 80612 80219 13996 58486 81097 58382 56978 09617 56213 08023 30446 73646 02141 18092 54595 16279 65494 50858 28147 85993 82276 02930 00611 18327 98993 25309 55300 96388 93525 55802 60212 65589 56878 33491 08171 20631 40615 18022 99117 08375 47593 34522 84646 43329 22015 40189 83719 74804 48822 80966 56498 44152 08397 88339 76611 79720 25450 69440 70931 36795 80706 18289 15713 62366 17169 78818 20833 14112 60505 63291 95294 86068 55486 66638 00235 42378 03371 34802 50966 60382 51264 27850 29278 67660 87820 26065 33976 89029 18418 48235 77736 79476 39721 14669 89897 82952 53011 17619 67130 92575 30620 67716 86277 15901 81028 40565 74262 65749 78223 37718 79851 95845 04166 09148 96191 79125 72167 77481 42342 03618 61231 56563 43304 99537 02888 89290 55474 94561 48016 94770 26730 53398 33453 29518 35849 80098 43254 19235 10339 54386 49183 48360 63518 20248 62588 11461 39863 65888 83775 51199 71116 36207 01519 82455 59704 37731 70723 61778 08886 93151 19116 90177 83463 61630 91740 46263 86758 24740 95825 39339 28847 86179 46084 91222 28500 61988 19341 59110 63771 21534 04957 96396 37230 87495 00288 67451 89609 48299 29696 58354 93273 62511 77586 90778 57962 09517 24301 44574 77015 52425 10407 78434 97687 30471 03821 15360 55998 05094 56832 84583 39643 86327 68473 88753 51831 72782 37127 74060 80635 79370 28539 69206 86038 61219 67800 78650 05070 09809 15551 36034 87842 79812 54882 85416 69891 14399 84460 17322 65200 93875 00752 98274 77787 13614 19765 48992 05647 47396 51393 63100 63406 59621 14021 80866 55701 67896 39083 47870 73639 47678 07940 20275 98710 83284 90814 19884 21806 60463 01368 83128 77094 82259 54602 93266 51114 67636 10130 03356 67949 93232 90930 38805 35316 71315 74323 02845 44991 74309 59162 49739 80415 40814 31493 13012 97936 72426 19643 85413 63914 13847 38519 90145 24576 74479 67021 97105 53331 81858 02278 16481 37329 93228 12868 87100 61292 81492 11220 49282 25522 46985 76692 63524 35862 01341 77808 52606 61918 05854 92859 35992 79969 42363 65702 84663 90128 26753 87189 46371 53502 56381 63696 85747 60789 86197 33167 02093 22926 22193 62280 77088 01064 19312 69531 63417 95406 88150 80811 36886 18003 21047 04369 00987 44373 59948 28182 75277 71101 87707 64974 83308 90362 81193 64357 06727 88057 32924 75024 36962 23353 50706 97713 47241 81461 10221 44525 84157 88331 24420 60117 84209 24524 36348 12901 27150 69477 52712 53543 11928 85755 49299 06690 59699 48180 93129 32467 73300 25647 47850 50542 28363 67364 20085 01044 72063 44809 79220 83328 41935 62814 84549 08756 51980 38820 83183 90705 02216 44269 75932 67183 11752 77899 30829 78000 16878 83650 04952 84141 83742 05447 71929 71769 44619 12402 32729 61867 44018 96481 53236 57353 12014 20972 21741 70999 65618 87705 94815 24200 60325 10362 76433 79793 18254 05914 24758 14303 06935 34008 97807 63230 67126 47284 66477 57413 75009 64967 03662 82114 39663 40308 01188 75678 62714 98613 67815 98838 26177 70224 51984 58176 31887 28813 79479 36959 09684 89219 18751 27679 31062 39430 48479 76680 44328 62802 07727 70989 40452 42193 49248 77532 26200 84734 61002 29575 52910 88209 89304 53629 37852 06154 61925 58106 23600 13194 10072 57104 02972 98567 22017 56546 50049 97256 85164 10611 96860 29957 95037 29956 43395 54230 42841 38877 27620 90342 45082 29638 92967 24188 89935 74603 26378 47302 65174 76915 25185 02884 57482 83680 02666 96169 97042 32906 36012 54120 97055 11055 42055 54977 46332 53273 67515 50058 40313 55695 84594 58655 01980 19546 64335 40468 64487 30427 98055 79543 45372 30923 85244 17232 15976 32494 91808 59343 32543 12181 98931 45377 93613 56612 58148 90982 95094 21236 27567 33800 02783 00138 28089 01298 28694 33595 51491 89906 99665 75717 91856 54675 88229 52180 06447 23301 12727 51256 43627 43844 23019 90293 11990 93909 54606 96748 85135 43544 26666 18930 21321 62011 88150 77097 25166 25996 40056 05241 38244 60274 02279 93227 26373 33002 68269 33602 69174 68048 15399 66066 02852 49399 08473 28844 09349 26990 81048 24686 40492 78499 89821 20452 56668 63002 82602 61374 47463 95758 68146 42412 85537 21956 60432 79622 13974 82390 21172 81319 88457 84991 91831 90119 79774 70625 27131 35552 42838 99564 20634 86903 31536 27796 12494 99263 72792 04109 25242 46491 23419 28481 46248 03339 65306 43276 10822 32952 64938 26080 36057 33074 59676 96918 38646 84404 06109 15351 21683 03914 61299 81025 75922 27159 90147 61324 22433 87341 09210 61714 49344 00241 12494 39289 18961 00824 54368 91122 27045 64306 55979 91361 87801 87466 07970 53505 48439 68984 49721 31117 44601 92983 22573 98842 38564 34807 96937 60292 71780 06952 09009 61682 77203 18814 14572 68471 34262 70720 56481 11036 53263 65576 75551 62033 57501 58430 04121 99692 19653 87256 29891 33727 36651 78685 10144 23485 35113 94293 70341 19226 61714 51781 63682 91944 43357 67786 88188 51508 30397 90051 77377 62188 19961 71475 57172 00115 81081 55388 98383 03324 55321 75335 76023 98093 36800 26957 54228 12445 89836 61669 53138 83739 53130 19280 75620 86115 98857 74091 95232 04013 65302 15458 92035 35704 48923 27803 11281 93043 03012 03139 92425 69091 51013 36368 56384 69478 45865 32636 28092 20146 93351 49487 85555 93724 27435 35135 24007 62845 97773 64273 96133 65594 27318 88132 77691 87160 16994 56930 57702 86667 39770 14462 17888 69736 31321 22242 83732 13584 01386 70471 51296 13135 04064 64245 48063 07472 14143 17061 88404 09020 59762 05367 95717 47916 27843 59733 10630 03808 73921 75901 65223 73755 64719 96349 13875 90479 59888 49105 04041 44926 57250 88640 40905 16042 32479 38851 83808 24889 96773 51797 03806 90995 41250 74065 34821 35993 98386 43860 58559 33907 63011 77710 41225 95952 79070 53088 36027 42091 88688 31644 65386 01327 78942 79207 22336 56557 64564 16287 53627 09475 44813 00705 03777 23478 99766 16953 23044 97402 00976 35001 72662 68216 13091 27379 37466 22863 19957 78739 24928 19245 32045 16583 69213 94914 18514 43366 42797 45941 75105 37547 01126 66594 37465 14070 49362 89029 92647 48243 53678 82100 91675 40839 48650 60914 38620 79988 87051 68327 72631 01625 49622 14522 79012 05989 28736 98112 15944 70604 99429 63509 10958 12654 57621 33171 82917 76284 99317 01759 80360 11615 88866 98864 01419 50893 74984 28180 74538 73978 00131 43683 07451 10849 13533 88870 70724 01082 95712 66015 08732 07008 02458 51941 26239 13984 55045 69537 46866 36701 30344 92714 25430 98242 08909 11553 05249 73819 67014 46399 83900 26040 85531 17611 70696 93161 55377 06431 03565 94709 32122 87910 36363 54552 97372 70945 26828 33134 10927 80548 59466 29155 34936 67502 64116 13829 32529 89084 04061 62622 89062 35266 99193 92937 14003 70927 10943 61603 73399 72326 36809 47985 78102 24999 26380 34829 07688 63725 58117 66721 31753 14931 53970 19302 90538 38577 85050 21450 85625 84776 51835 81018 79602 16658 45437 90476 06543 12683 08473 45430 25536 84744 44840 06746 89639 46824 85122 84193 19415 88034 71419 97607 91126 86691 08732 81895 26012 01023 63393 07649 59628 07156 13326 49538 99128 68402 30867 28422 88282 05325 38393 79340 56465 45874 41335 83659 88664 98314 19550 01427 51960 16581 02799 98022 47783 85765 67553 36914 33967 74145 77951 24695 09942 03664 17246 44321 60416 93332 36132 59763 65883 02770 39181 72592 40990 92337 50534 82728 87854 86198 08049 32752 44235 77765 65604 91792 31164 36201 59579 48875 53107 55262 23005 87680 37750 99413 68132 62486 39082 77135 89485 01168 34479 51381 41346 76452 54168 79261 21662 56093 19861 32103 40869 34134 48364 60805 10273 50814 64479 09894 03850 87668 35642 45891 97551 93514 33009 41922 87515 48401 16591 53708 94477 73816 11145 21794 80906 20408 37204 94356 54645 80438 07301 73326 33956 40209 22249 98916 94751 22328 52642 52257 57383 98930 64688 03030 27204 86393 95842 39891 23776 41840 43738 96158 36781 06139 21948 32883 19660 56102 37231 45183 99393 29025 63314 01552 19780 54273 24532 56510 61370 00365 83645 03668 00839 85397 49965 42668 06136 77881 90194 92879 85407 06208 22474 97255 22210 85505 72127 50156 12058 33520 77699 90996 54233 30622 28166 61779 62752 39632 86684 76830 49394 99666 12178 48236 64371 41281 97084 48317 35141 81385 67890 12224 09699 27792 91216 12559 08931 92070 47499 74370 06706 81228 35447 50493 63348 02280 70687 88768 93649 38760 06909 80436 58279 37876 76281 54996 56542 98153 41560 62251 87507 99055 85220 62699 35335 88428 87850 01353 25488 47626 32250 66359 05775 62713 13564 55773 66307 11413 53959 36438 23535 03831 75772 97114 86858 01752 34787 59124 06144 61065 36852 22412 94383 83292 78075 95400 77983 31685 62899 37325 07779 74481 49605 66890 62277 68391 37481 43616 30264 35928 62917 98385 26283 38294 76696 17233 69387 63824 54655 40332 55222 13488 60536 54953 03452 94749 76210 19067 87039 72587 30970 25604 15989 78769 61500 00837 06323 64710 68662 99694 72302 53645 48671 10838 26172 59431 51245 22079 37203 49787 72493 90261 67706 41653 31180 64294 29730 40721 20090 67027 67657 37363 38682 90370 26477 68633 51172 38295 69792 83264 57204 83202 37950 93543 80783 96641 85511 18729 09288 87489 99944 51645 53973 62420 92625 48925 99980 28369 17350 15492 99838 41141 12937 04135 40661 88247 68424 63930 22208 87401 44304 86077 02136 49399 40310 30241 33531 54646 07009 85557 81181 15899 34005 17088 91819 18093 74324 33863 41724 02836 24566 93974 55040 67456 98888 55571 00168 60748 78635 71100 13080 17934 04645 12771 87197 72575 42439 29310 29859 54720 70800 87738 33672 55816 43089 87038 37591 84622 62480 67626 55114 59748 89738 43109 00423 84999 67765 05398 54751 63204 21140 56292 55172 09418 98096 03519 95934 88184 51122 08138 66547 37542 57345 52145 84021 04028 45225 61675 92189 89479 39441 64864 59522 72090 77860 46514 46577 42786 44835 12168 82430 95746 86847 48949 48223 63245 00190 13810 79176 89362 34965 94791 99872 42823 17220 98806 93422 26181 79184 36284 25097 70492 19497 17479 81545 93579 74054 51565 92888 23645 16640 47519 55817 55984 73551 75662 50196 82114 77313 30673 84029 79844 31651 71941 23866 50084 10103 83509 39440 44903 73974 39533 56802 52448 79013 92363 15859 74993 95505 59792 65279 20059 71337 35987 74311 05790 83625 44555 87569 88777 48069 97703 21884 98494 15179 31950 31487 32983 00541 17114 56705 79594 08596 96466 64346 15386 38155 04266 45975 84587 72613 93447 97096 23030 12380 67960 68715 60689 32908 55807 69461 04944 94204 35115 35440 54894 63432 92994 35938 08150 44697 35672 61790 65162 34283 65277 50875 44656 69476 58868 46294 91917 77039 20926 52349 64492 32119 74675 73953 94860 57612 80354 89307 99580 56938 62727 33578 33142 19590 06445 99104 06797 54211 29570 86946 61905 57003 06932 27383 49758 54106 31208 75573 67506 74227 97876 17856 32677 67481 00088 25720 92532 94232 03768 04685 91655 08094 42277 54425 21762 85778 00472 06896 23401 59102 78682 19897 41036 02019 49858 27720 12562 77612 63610 01624 20683 49733 89932 31076 93822 38287 44550 24165 78362 75071 18780 68569 84742 01618 08523 59358 47593 30115 09786 48714 54176 58714 57155 12996 28871 53275 29905 48211 21651 21007 50645 13432 92155 61139 04376 38152 51730 25337 90556 72722 80212 99862 40865 37420 30614 76130 23140 05618 78550 43907 31921 29864 22851 60665 42376 36897 72963 64874 78985 93820 61872 97850 34512 77093 36259 04656 84597 24547 18943 16018 69247 90149 43596 53674 38463 04686 91120 34305 38318 17713 66746 28376 32086 32944 48833 84536 95694 72094 54932 35352 94090 94359 14451 66821 83393 45298 09439 74178 17656 93349 85947 34145 34621 13422 77872 70461 61280 69956 69771 46200 91562 24296 21803 25296 58144 48416 05938 13441 21692 69910 00628 07156 79018 35952 46469 71618 57673 70427 16833 32810 44169 75217 34906 71443 98140 68889 20492 19375 89035 23598 62253 25533 96135 84746 04076 66091 91413 63176 45895 15765 82271 02910 32388 25320 59421 98490 12648 08643 21132 10308 60024 49197 61282 39718 31746 73150 49523 66434 43374 86468 95469 08673 94367 65752 41028 68916 70361 66736 56928 13009 73298 90863 15419 40466 38466 77042 20486 51839 68157 33690 07042 51115 72794 56587 62450 45254 36388 23247 55400 91632 02986 02601 54126 69265 64209 76935 24514 51858 08169 30882 74244 56309 83277 64144 30382 52108 62636 62676 68837 74264 89068 74586 69514 24392 70151 79523 37785 04753 30155 29610 41424 48770 63085 10288 15977 20350 11479 76396 20401 47390 10838 16383 94045 64677 37345 72003 72770 75056 94941 92330 74194 94290 34683 84057 60762 28355 18014 70457 70192 82423 63177 32791 00755 32598 52883 02119 43720 13282 10051 68465 02137 99656 90887 14122 58164 66410 04429 67548 87284 05079 88424 03898 46923 98440 27336 86889 84685 77522 61798 38986 31335 47185 23196 11509 71284 41561 51920 89372 72297 51549 03157 18361 53307 38893 72088 18852 48809 79685 89257 08716 77296 34080 17397 45975 30055 01765 29894 56137 97188 97569 72579 42857 82622 00599 69438 79078 10092 90204 77447 32526 64830 67981 79834 74907 85561 62782 04847 49592 03569 95603 68797 53680 50617 17931 31320 08123 68412 73436 16744 65844 13985 95924 06770 50200 25476 90080 01196 26619 86528 56308 29534 55086 79982 07123 84263 53610 36469 21586 81134 86805 56442 51801 95270 68613 48050 53865 26998 89447 64303 99218 27159 95737 98230 93148 66962 51088 24820 75766 78079 97028 16198 77570 83006 26898 26925 64428 51072 47301 56528 22964 68654 08062 35290 43659 44114 20490 20921 83859 76258 02085 93001 40162 70772 59333 69707 77661 39241 10079 14788 65666 99411 45497 03380 24047 88923 54801 72730 16104 50391 51101 35142 07631 40661 88346 07415 58580 88723 08682 45013 41140 43979 96222 86811 99629 22842 57809 66297 86930 18948 94803 46657 34099 27274 17519 41967 89999 04456 24419 88317 49262 93719 55250 75347 90840 41566 73367 05158 93782 98054 45942 55713 12812 67297 87769 44385 13049 32954 06190 22260 44479 13077 30511 28631 13592 96401 66997 38306 58749 44360 15379 40989 32364 53546 59011 55503 61777 62964 73101 38982 72192 44148 24036 56699 64598 98573 66865 68434 76320 89504 31354 89883 72004 25171 96103 90321 78000 44175 82148 91553 16653 91752 42956 29290 99257 74233 73611 67213 00229 14775 24346 76699 60408 86673 37413 29155 00668 82972 62602 77629 40119 43785 37740 14137 40778 34803 34057 06812 64698 79787 12824 22274 58206 41737 18775 86546 56798 92963 16666 91959 24358 84912 22286 23613 10346 82888 62029 04737 79759 93596 28776 69179 65458 47547 16836 41030 30129 97837 52231 70151 53231 62992 69086 97149 31194 73226 99720 60099 69475 92024 73516 71350 49329 55187 08867 47695 62646 90703 92380 55524 74170 27156 08963 57645 25082 81663 20402 79087 52045 83898 98266 24854 64572 16888 34969 52902 95351 96220 33474 92243 57268 55003 14176 70643 31780 94745 48527 55948 08719 72114 72845 37309 00281 78206 73342 84889 66671 79562 43017 21315 13726 11020 21346 31086 58215 32132 42365 63553 90533 17697 52880 11198 93600 76061 09754 92232 14859 39224 04534 55561 98854 47699 28063 79080 06127 33522 63557 44080 60693 65911 18725 55470 71452 86701 09343 03857 80096 43156 42821 67202 20751 52594 27074 42256 41878 52701 39652 92679 26242 17046 02081 89065 10162 37713 78361 72628 57340 92839 86236 72395 24029 96638 76049 15873 58120 89905 39507 22727 62610 98923 72532 05435 11928 92186 92900 09313 58158 45778 55227 59211 88010 50953 20351 44842 29284 32064 08930 01739 22290 35811 95272 69596 49359 63303 33939 43382 26617 31173 13860 36652 65896 17670 74013 20658 56371 86942 54577 65065 61075 40730 32550 05779 96121 45162 69398 33690 58787 66839 75143 40638 94287 18700 72386 31722 40418 94503 50869 86395 39580 92445 05126 67279 13182 67020 47857 68207 84227 75027 38331 80063 71223 74471 43146 73885 83932 53512 68063 16980 12326 68200 81940 15340 28437 52778 61432 04025 27016 43333 67076 82219 15657 68965 55139 27712 46234 38031 38069 52920 15846 12046 75021 38264 36381 61283 02251 76157 01317 69373 42130 64338 86050 85907 30435 65806 78611 90665 43860 93983 75679 56352 67359 27971 85211 80150 56456 45021 65502 61017 72922 93058 44748 17380 26361 14451 03099 13285 07880 98766 00417 02405 95887 07510 93948 66519 61898 16385 38797 60955 07662 65339 80810 53498 92529 88893 35777 77687 69556 51797 66265 01373 05491 83034 74486 88398 84525 08925 46580 94490 74187 93019 43999 46358 01076 33299 00559 96139 71022 82079 58003 71491 35208 61665 25265 63563 64006 75117 29387 32046 16489 55360 74077 65652 34704 08408 47352 36011 65409 63417 58212 07477 10786 40564 66111 13100 88540 15987 01802 78007 90294 10815 85551 14732 40861 33932 86661 51782 65952 13419 40913 34533 43018 14000 05007 56883 77950 32863 38323 71301 51964 17920 21286 86303 73880 95694 17151 49663 30805 59188 28202 69788 11322 33457 97734 58653 96075 70267 18215 88308 47615 38534 10859 95082 09415 98743 55131 31676 17120 84335 46185 33528 50904 56303 77015 21628 38998 87829 88170 63661 46807 12672 11364 83300 07316 14082 97004 56011 19994 60415 63184 46165 93226 61111 82854 17620 29703 93377 99232 19767 89424 91568 80390 92602 85824 15676 40932 02123 61821 38588 29152 55093 64617 36910 25639 21972 97514 49804 89594 74347 08234 27062 66136 16737 32931 00803 40624 90614 42430 49910 66703 39501 98172 65157 89483 60966 94395 23165 77884 92548 94962 50104 79158 27254 92972 23754 04777 22409 65478 98052 41007 96719 07319 18649 10528 61653 18758 45418 14316 21488 24952 40049 92699 34904 96049 59424 34511 32272 60003 23374 74850 25939 22085 34939 86570 59799 53480 66440 36643 34928 27675 53321 96010 54297 51792 05243 72173 30792 71708 39020 25259 68127 70578 37661 69335 73661 63379 34062 93308 17992 80300 15703 08781 03800 00720 10585 37833 73837 72588 83618 58195 56252 22700 36793 54541 15229 22797 14630 31621 69487 64812 29026 90683 54059 05453 48916 61349 71424 18009 75836 99594 23541 23296 91229 38403 09264 25634 19074 48834 45165 52541 92210 73009 48650 34109 85576 06637 93042 10889 43180 74891 52618 28092 77302 75386 55599 47808 58603 77019 38148 26257 31675 93785 47200 76000 96689 79228 66711 88741 51668 39242 76193 45456 67010 66895 20713 53619 10782 81387 47399 69533 87385 90988 33676 04123 14104 12569 47642 44172 47975 28692 81953 96981 98105 52911 12690 72381 06657 31631 45752 64244 30335 16151 74428 75105 55867 18812 42608 36791 47251 12799 19999 36798 25144 52302 53006 53840 74763 14669 18541 13372 25966 54467 13280 82928 09319 83263 94798 19597 30875 95619 04425 78681 34339 34532 51223 77573 11280 48849 40285 92140 36739 14141 37009 41154 08220 47613 24932 02155 91265 65203 26918 75491 10083 14056 56945 30996 74684 72755 94913 23034 18410 60880 30531 06454 22599 04074 32769 30459 97852 01117 22995 29285 19556 36066 04907 41099 14604 15170 09007 18964 58351 61435 21274 93764 89535 86592 80902 17149 50618 64111 56055 87104 15897 54606 48670 69924 13055 24520 35831 44995 83273 84017 51362 56506 32218 04249 59549 31765 20313 71161 17435 98160 79562 97408 36108 83611 22727 89843 83041 36121 32327 46757 97756 81675 36736 37739 11511 22777 36371 11493 67226 30159 62260 08140 07576 09003 06237 35510 39342 82776 76492 85270 89513 53419 69724 23183 93060 33947 50803 11503 13249 36042 24811 40548 31686 13004 40338 27221 84051 39261 44743 38276 57515 75763 70559 82769 38473 61280 89332 60346 34211 86685 61013 82376 10517 79591 78087 98155 05827 36715 90886 81838 91810 26508 98388 85884 89424 03860 79092 64976 38900 28989 09609 08216 44341 75508 77599 30227 74776 57728 33560 83842 64084 80851 50455 86082 30722 75496 51602 59349 65485 95030 10840 91610 27465 40047 25426 68712 19934 97612 37768 05528 66679 77263 14824 30908 99145 29617 87430 53021 19209 28769 62365 35833 49390 17358 45325 59766 85816 35492 01135 42604 39497 57227 33076 11551 83046 77224 55465 79827 46194 13716 99461 68249 82707 03074 16579 26581 16658 48646 19815 19747 91744 63949 13721 31281 33194 03770 05915 05047 82486 01543 53109 61504 45846 62207 68351 98516 49944 54159 70970 44555 30365 54760 68324 52319 11265 89037 76037 65126 39188 19751 81918 54826 92186 55850 64603 93037 87980 55080 84476 27231 02257 95718 53905 89204 65900 00376 62532 16703 81700 19966 43399 32905 47999 96725 51156 47489 06280 38888 85939 68354 11214 28298 84283 71116 83320 55661 04898 15197 69810 41846 30815 94820 68095 25778 42364 65951 31578 98250 06332 94233 73270 33248 94390 26456 48041 06003 41558 79170 56616 83187 01643 15896 01982 61816 37591 42265 96869 32331 46997 40299 03416 38173 33057 69604 13863 20584 06675 24754 52411 02992 74754 43336 27327 83039 02801 98942 91853 59228 54876 42573 65504 79266 11702 53070 26137 07575 44573 48416 39581 43146 34035 50450 69569 31864 12436 62854 39860 85480 71565 95576 03480 47284 52811 59647 88868 36963 59359 20381 24044 69119 82435 82493 67396 07568 91159 29352 72809 72038 82542 09869 92402 61792 75185 71982 72246 53986 47914 82127 86384 16571 02876 66530 68281 32005 24191 34332 16489 40274 36976 34377 27527 58178 39975 04126 53204 12316 65475 81750 90610 32870 02012 29983 88296 70979 95811 30837 10401 40176 87857 10413 68398 13528 34648 82997 04103 14877 67292 98600 78861 43259 26602 14690 51662 55298 38986 63092 08773 90399 87285 63339 98696 45014 36885 20800 06941 68223 13102 96626 35903 81414 93587 29929 67027 97501 57921 45275 13267 34691 96975 35858 70160 88510 37611 56453 71837 66567 48624 82112 02370 38502 92598 65937 76414 10892 15652 07979 45653 43317 99265 30040 32199 69958 55630 78707 15737 28736 84229 67633 58916 20267 06331 81361 21925 44299 68298 96532 03186 59606 99386 48703 92079 05870 10018 39654 25520 13946 64292 26622 90626 70916 14219 04998 32676 21448 41515 43333 48702 63092 85889 27265 71886 68965 04135 39555 38164 62132 60437 07390 42434 49472 87523 16927 43031 66901 88618 28404 31848 42341 20003 59824 84646 42521 91733 79428 77837 77007 72938 26680 34150 21241 28893 98500 08667 82113 62992 62500 75343 61749 57785 50595 19066 01928 24293 94002 44740 75382 54487 33795 21537 33277 82688 02142 14312 59375 83023 60741 52305 81466 92956 24023 71235 31346 36088 44525 63142 80538 49919 49706 69646 55881 14898 05113 33427 70620 65401 16294 55631 99039 08072 42500 86219 72262 97159 96782 59059 00548 85924 87636 32731 25085 45516 82728 81294 50429 23173 37273 29286 01155 79585 47356 84581 51449 04271 29831 07526 60646 43130 63506 83376 50411 85898 26891 91692 06883 32715 84160 04099 63760 46990 97778 19368 78951 94289 88340 01112 06903 61844 95508 22622 56496 33151 41682 25756 44644 55970 80278 53528 85134 22097 90464 52236 71525 58178 98568 30240 32430 06474 58170 66396 32850 99479 41864 10436 79481 00217 40381 99296 26182 51951 87268 83617 82816 66803 19589 05886 83763 90377 52077 60840 33112 90140 14393 24184 80812 85042 92860 19375 06462 67342 97460 03972 93012 21211 21853 42244 69477 45938 48239 71364 16802 44483 04151 09347 04688 09743 39810 45625 06145 00764 20642 02149 51205 05911 61370 50140 57231 57110 40049 48263 01953 85349 85782 68055 48460 64229 02327 53238 34935 04592 61572 89602 46246 97040 36171 02102 61307 23789 00335 04376 12272 81538 59918 72357 14255 44814 06696 18872 01476 81080 37357 54944 13554 86973 32053 57449 65191 49727 28635 88385 70967 59060 05935 25600 77591 82427 21012 30962 53126 87256 88472 10509 35555 05683 34354 45766 67280 33557 49453 37306 24464 44899 28240 84594 19107 58904 80327 88603 44571 85456 81334 14456 65187 31317 03440 41874 71233 59505 77779 43826 52172 59118 26620 36279 09531 67830 66279 77849 59099 18351 34666 66968 68406 64735 21681 64537 35660 38992 29997 42907 57170 24898 16989 57412 40321 15059 65513 48919 11248 21000 41681 17198 92648 68800 42636 16568 59908 13512 46997 95255 43856 35381 65155 40308 05037 98547 03471 22107 32712 63298 54210 72692 98886 63487 65437 79835 27932 64692 35591 61754 06492 27121 58147 35937 71867 81867 24072 12946 39197 45484 72358 85352 55080 42423 61183 79582 62610 36977 37104 25970 51573 97191 12162 80515 86531 80507 60008 20764 20362 97660 30296 86435 43388 88622 09614 70801 50757 88281 36734 26689 43156 12470 52061 93540 21311 35998 69402 11891 84844 73964 96805 73543 77441 07986 60641 09110 91597 34552 66195 86322 93716 24796 29021 72436 61067 29006 46091 91743 75024 56859 51177 77970 65862 87245 89352 10799 52322 65202 47052 96388 98620 51345 42151 84915 62109 57301 26229 34764 21234 87013 76186 84722 97555 93434 67610 66171 70580 11413 96466 74223 12273 20675 62806 18216 12084 68892 99564 46305 16016 61590 84820 70096 01247 48197 29023 07052 33023 77794 06997 90733 50785 39682 91665 31880 22859 00520 29267 53523 62587 64203 11008 27987 10895 99752 81245 62922 90018 25185 74701 58574 18051 97206 44313 23077 12367 06776 67052 25421 75422 58854 64285 26510 15669 30067 38548 29082 39014 66992 71382 48665 70109 92919 28480 68926 32111 98438 94521 12343 53441 62401 22517 11150 17286 66722 70718 91065 07874 23788 39077 17105 52809 87734 76951 66025 63186 15912 86711 64882 56157 93751 50163 83827 27101 31762 63040 19960 55031 41222 18789 90609 38070 05955 14867 96286 90301 89258 24586 04695 76885 14106 94459 61457 52956 04062 45157 14203 35807 54871 19370 34823 33302 07744 43500 23806 27494 70053 27245 63829 01666 84609 81080 17920 65612 14923 54671 09544 34701 95901 74542 06783 98998 52446 16617 88342 17056 35423 86482 45689 92065 85552 36051 50104 40271 49638 19738 13458 00035 07678 69658 14623 72728 90475 97519 91392 56428 62311 10844 65656 27035 90921 52685 04665 18904 90301 90047 82699 23288 72664 19552 68092 07219 01493 32399 45079 17347 91863 20796 78569 36240 68682 39451 86724 51781 21788 27947 44891 78303 36163 41713 31172 93612 82894 49535 87074 12242 00530 22691 47602 76996 40822 14961 43843 51433 71980 32382 64691 23867 69261 02480 93460 65519 20656 74110 68444 36489 75383 04871 62429 21532 55849 36580 53053 64541 70184 93883 47769 92692 55803 92044 42742 69301 10090 41583 19238 69499 45865 95952 17090 72584 80500 14958 01718 88703 09282 15569 23776 24983 79729 95603 43536 59420 87352 41808 56784 93068 86019 43556 35568 46191 12820 04228 38229 98270 25443 16080 71359 63472 51610 96498 84023 24575 85412 30395 05476 98428 23977 38681 12176 14539 29479 09847 38170 07635 47620 50173 95264 08975 35326 78453 86600 86222 03533 66467 73970 53439 21032 63596 42382 00828 96935 95207 38623 85573 92062 06146 18201 44241 47074 49352 70393 83681 28882 82883 35931 65136 00428 02382 45487 34704 27507 81233 48788 99268 73154 95764 91765 37704 12123 51557 05031 67770 30617 10756 11135 93440 42318 40045 95841 97747 84643 18209 59457 47404 56048 91275 10465 70880 43077 19285 90917 35927 77071 39577 71071 43268 23925 94081 37320 00807 98669 77148 21790 92715 78690 94387 09526 47951 65396 47515 10917 95147 86010 87676 02889 58427 09943 77830 16080 58569 02757 49209 35532 98094 27330 10000 68525 91135 36343 03078 95437 62054 29283 69149 84669 76965 23345 97655 79740 38342 20686 38196 54519 98141 89757 64194 50216 87567 82604 43164 79010 69323 83020 62493 60864 59896 88158 96638 51622 33264 63364 91779 34842 97115 26905 14513 10738 08324 91604 02578 20503 45693 38888 49380 57843 11371 08839 29092 19280 64600 33357 95814 29773 69649 39225 03491 06235 87480 77513 64008 11223 26112 25046 62665 01407 23559 25142 06864 67851 41622 31115 11857 72762 14032 61639 05808 19297 62727 32802 80839 85772 82497 33597 38564 85896 22131 64681 46875 03181 47343 88292 49172 29728 56233 60171 57671 85240 57043 47189 75805 36059 96907 07741 75892 57822 91451 49078 92324 46505 04906 09054 21501 69322 10765 04810 33316 55631 44129 13296 47064 12532 33632 24746 58913 65150 30129 15856 33822 47852 23743 24888 80217 37262 34117 58874 03495 19026 36664 39007 07578 25945 79529 52058 69137 72791 15501 81296 42556 63623 99733 62101 52019 79150 03874 31405 40878 77513 67804 96248 78433 11737 14755 30286 31414 11219 36724 68034 15204 11737 35155 05233 10876 49044 16607 37386 51155 13606 41813 95701 63502 02207 08677 04581 65934 78698 66236 05957 31003 23237 25100 51476 95433 94305 03855 85610 60559 59195 97985 04244 87546 99340 91267 23877 08701 91415 96987 93669 44814 90179 53849 48865 67370 73235 96874 18609 15537 51276 07237 33718 33909 59569 22099 45039 50559 19527 61645 84851 13527 55241 09798 80623 98557 63679 86865 35392 19415 50693 08440 81681 45517 27717 55180 93739 03907 37650 39343 43918 33113 91933 49554 20981 13878 22062 92750 08064 00690 63730 69572 28768 84720 40550 39070 14898 30346 08734 54527 84205 75618 92599 44240 69014 26927 85361 00023 55530 03363 29844 73065 25116 27229 58302 97374 12967 17061 28843 90775 55894 84102 83611 47907 57545 44194 94442 04966 28987 38649 00488 36969 05860 41519 23508 64857 94443 50913 31776 14186 31209 01640 09392 77681 42801 27255 64010 87330 65259 74122 65418 14293 90056 66134 95439 94640 10445 85142 74770 13476 91121 02014 07569 65320 08242 87604 30383 10981 53782 66172 63444 75019 73404 71284 52527 05245 44132 76845 62603 96112 57045 32480 53536 32007 61483 89814 65306 52865 64186 71325 02633 32769 41343 60932 42302 02597 82134 67400 03357 44047 64146 62999 95520 73648 19299 64437 60811 36960 96209 67116 73632 69515 03664 96590 12216 39045 89742 67813 91999 98279 72933 22979 98818 87029 55362 99863 31054 67948 07242 28733 14690 02757 82022 39411 31807 54342 78720 40457 12207 04838 03097 01279 70312 84341 17274 68678 82780 82953 74146 01572 20646 62013 83625 42929 27896 20691 34039 56173 64414 65844 47114 02208 96466 52229 20364 99217 53166 01248 65129 48785 26917 74523 17456 06189 75518 93871 30824 24089 07481 35144 45671 59287 98730 07939 04794 52118 66616 87202 40862 32432 79434 99142 77599 37010 14253 61161 14643 34568 31232 04701 51587 50499 58869 83715 01810 58395 75088 02843 17270 86723 98154 99749 42128 68673 54688 83165 03855 58723 45546 82650 39929 24208 87916 56483 53498 81168 44527 84971 83186 94389 85953 75923 97700 81863 82901 69490 34510 39601 94201 57865 28184 23881 88075 86505 09264 88553 61147 22973 42289 56866 02871 86681 48686 15474 79743 88553 37664 21702 59185 54492 76983 59326 78290 96647 94300 98360 74788 92782 59665 31035 53392 65813 11898 69169 97345 32836 25974 24863 41367 08155 79175 59148 48677 33941 87127 73400 43097 07208 77106 65316 21685 84924 15438 66770 21835 12682 83429 57957 36887 10844 46088 74085 09148 05692 69570 91686 50208 36163 96950 25510 93574 18374 97351 22123 32047 54158 79931 93346 07837 17459 00159 37710 40685 29941 64299 21388 73872 63872 57566 64630 87042 88194 02677 77246 74881 68411 76469 39317 04366 16313 04219 11230 55849 88347 45240 92858 57906 94578 81110 71728 82477 14259 88292 75134 72877 45888 41466 96618 41834 59528 05426 56671 12147 92927 13581 69571 51544 25304 13666 59093 93048 21608 02148 32055 30345 93765 89129 69906 06770 26599 14216 95424 90247 65534 52979 31375 94470 09076 49803 97187 28708 42778 85466 35719 20186 88088 13772 20331 54480 45314 48897 63717 10364 80679 75161 79658 58506 01603 42186 01463 44426 79748 86516 79351 75498 33870 16022 53153 39534 62823 57861 38524 66306 31081 15257 58015 27203 08780 75441 62078 92073 31239 47021 88534 67118 31112 98803 86248 42270 69630 90832 03019 63535 04690 25574 94196 68452 45324 97784 46707 07320 30551 98731 24776 71934 87631 37532 49716 12983 94342 22381 69399 98692 85539 21699 42090 51601 75401 10580 67506 66440 16364 33236 06295 21682 19744 23108 88028 10674 29930 37180 90445 49971 20154 58697 65137 21321 13982 28141 65006 31118 58437 23301 43279 19620 75036 96959 39274 76215 30622 76053 70826 13741 11630 28599 52215 53547 49092 77017 68532 07281 12932 38148 37720 45608 80656 31633 72737 85396 40138 68812 93306 71847 62128 55694 16961 65182 35259 11003 00154 86110 07806 75370 86952 84911 45823 84397 00957 51552 91306 87274 26517 01985 86875 19198 48852 57615 51846 74148 37154 89192 25104 20823 06928 68533 88087 90112 82841 92679 80177 12888 77973 89332 18712 47906 75538 25775 08330 68923 22756 15589 49514 06729 11522 72893 27958 48898 21713 18534 13947 94200 44434 57434 44320 74211 87353 42072 84094 54812 73927 13308 45630 56426 48576 69119 14576 41506 10251 98082 54703 25966 54815 73010 09118 06770 37170 44509 62255 12909 01909 80403 56815 96250 37788 36233 95921 92436 19151 76103 58591 80413 00524 32925 12458 88971 01866 17009 69822 09913 26506 61489 19494 33975 72184 36015 09997 09104 34831 63945 34632 62417 03793 33346 89219 45632 38563 99827 07999 66839 78174 08523 52929 10632 17173 96392 51542 74519 21428 01887 60231 25001 70403 26389 63547 68609 63159 93020 05950 45001 10264 58677 62124 73781 33292 95155 41383 43837 88303 85986 28452 35436 39453 37961 50238 73525 42244 14189 51711 07613 95979 23853 49801 21676 67936 30044 31081 63553 43492 54332 66588 38299 14243 08495 68863 57305 96199 16718 73416 34284 64431 26698 50729 24509 23199 61190 93593 06087 39007 65347 19759 54839 42127 28193 46966 39209 65212 57534 86047 69089 09982 81526 75930 34365 13699 75473 66707 72585 60626 62971 99255 41789 79418 77188 21535 37253 59507 15131 43455 18008 54960 33290 02817 79944 83326 33294 58279 19838 14567 56902 25968 11764 12580 10032 85330 39273 30739 21789 93886 32299 83329 11643 57103 32088 51462 93902 33968 25215 75342 54249 15267 84843 52663 47368 05582 98697 38683 95923 60244 03588 57549 37192 32081 60241 75500 52086 89607 83107 18852 93150 63581 53318 38809 90854 64744 42669 42393 27462 65567 41100 18944 35658 06883 12055 69376 50335 42546 88160 10649 57062 21552 35956 54173 92079 23443 21578 51251 77658 10437 40257 46666 27487 40698 74235 76085 12400 47491 84733 62691 43667 60160 76322 20080 75602 88138 98539 53703 70433 15518 56003 99413 10017 60113 37553 49751 19537 07235 37246 83352 58425 30411 43529 55179 53640 85678 28702 14328 87095 40950 41119 42012 82603 49316 30784 11326 17655 08221 10069 32937 03426 15505 26025 85388 19183 93836 24059 47495 67952 28889 37925 53706 44801 73712 60356 22109 31698 05760 89983 14357 51052 70552 60175 18853 98048 71124 95449 28186 48131 87202 81262 82259 24382 48209 09432 66092 18622 04248 50559 51445 17656 89476 96306 51855 62815 89867 29688 29027 05834 31495 98785 71571 71512 29619 48120 60533 66543 98157 95674 71881 72730 71369 29010 80146 59228 43665 87594 27037 49484 18443 34696 41433 66580 08287 08269 97938 89283 70324 31824 11664 37687 67712 85905 67896 48447 91857 12580 38556 81558 05119 76502 61255 75833 46052 67562 90259 02781 46496 09611 61482 26322 83405 04866 83921 90689 65337 27009 96704 97734 27040 14023 32607 71218 40899 62885 98453 07245 53529 92556 10279 95132 96684 28388 84359 67802 43001 40401 96536 46025 72718 07209 49972 36656 04350 46277 58176 76816 26128 33802 23886 45357 16265 26046 71666 44508 26998 79963 26554 65820 21979 69908 34735 77815 46836 40129 17966 10229 29936 89495 21015 39313 39099 32527 98512 66683 58688 36738 27256 94570 84435 85711 94478 43102 89948 54390 96502 06092 62421 28311 77759 13803 38322 29353 63834 42795 80805 93127 98684 46267 63741 84281 88707 48836 68233 66184 62804 96098 61646 04068 00041 11220 68897 38720 24577 19632 72491 04696 90812 99109 27816 86218 30718 54261 26600 43756 11229 58501 52455 70680 24495 38214 06337 68053 26369 29014 36044 70735 73748 21069 61171 60811 75828 07871 34248 11869 62105 42785 08818 74188 81774 61115 12841 25576 45981 92173 89439 60657 31457 57841 88225 29397 71094 00344 89012 21217 32491 97387 55887 21380 54238 19767 68368 12443 79317 03496 93526 90876 78817 51615 71611 54352 90630 87522 11587 45865 26796 62296 28156 91498 77494 62225 43224 80733 51198 12647 20213 21634 73924 20668 51492 27575 55844 95387 25938 40370 14538 45925 06860 18002 23372 23660 71133 24193 92463 46902 69939 09499 38382 47760 24583 09960 33576 36346 85150 83255 33518 01341 39708 24869 59923 47954 44786 92199 53361 59253 06980 61846 50619 14620 06854 27540 53903 24216 22296 99541 85023 69954 70955 64448 72059 07772 62502 10150 50457 04932 99190 52785 51658 25583 58371 26914 24741 68655 56401 10779 45876 82150 23342 54864 38553 32624 33110 99922 19981 81860 09251 94300 03066 63498 75408 23267 12165 58863 93883 08658 28746 19075 53784 96454 39243 79639 71441 78492 34751 61127 23729 57004 62906 03063 25426 94827 14344 92311 58792 62581 37959 29565 46130 20742 67471 98587 48483 40792 01087 53835 33244 59837 83720 46752 68664 18910 51477 53516 54134 95479 60189 66919 88182 41324 28090 09261 95950 13968 55849 55116 86117 46969 37288 88389 29510 63811 42934 41890 51899 09506 48498 90621 89196 48850 10375 24290 97386 19870 01116 48842 55521 26951 90190 43076 53019 94185 08133 75040 42459 12982 92551 99687 39680 66971 15647 55825 49681 20856 68793 33878 00759 58601 07053 86691 08463 63122 40485 35266 46479 74676 31900 88054 41956 02472 61786 35417 60266 23226 29979 18605 88728 00224 48681 64001 64994 97430 03347 61169 52979 67749 14952 70093 34505 69182 86682 96237 11488 72770 57904 47175 34154 54478 50979 03165 01292 84557 63916 77845 10500 21412 00447 48159 44563 21571 66029 00596 27735 63220 59625 42355 45619 83667 22877 90405 50779 50592 22199 80212 21646 99838 22192 55680 92198 28062 16687 98201 20532 42985 18541 64862 57505 83389 11378 17901 37356 95661 22600 38586 25398 94118 50573 34354 77831 32442 26046 85692 95688 66577 14148 36762 67552 49155 73434 30216 63578 28239 65819 66907 29380 71518 41344 64613 39233 04981 20806 36018 97066 73912 31009 80395 90740 61937 15465 45262 69317 42670 38668 95477 91989 93328 62669 14074 94071 24716 25331 24619 91680 72743 33643 37110 44685 09042 24426 10722 61237 64434 13527 33383 39330 55512 88558 10769 74181 12659 47165 53872 78679 37554 96092 68084 70136 18037 79810 02223 28996 67556 31459 47022 67703 07215 81667 81526 22101 00488 08755 26104 93980 62426 29662 95624 94375 65779 83739 75898 95531 67225 57851 68111 25993 04990 01550 32516 65575 93186 64118 54273 22382 63987 46283 79149 73543 34856 82810 13585 49183 29653 78882 49180 56551 16349 21621 64673 52037 07565 92233 25721 69979 20282 12851 75824 39041 77576 91486 65345 75398 13286 08217 26132 26757 69336 76413 35951 17419 76145 58973 48987 82335 43035 99144 19934 22994 13193 91391 56603 07225 12962 62599 12895 63289 26582 81605 42849 19843 03831 80312 99260 81641 34525 09011 25994 12715 18940 13861 55497 67298 05785 32721 70279 77276 66336 66672 03219 17566 83168 54616 73462 26242 51534 64321 40136 86205 82229 01731 45415 82378 69566 08600 69558 94195 26852 60668 02736 41105 10164 99696 73448 76451 33545 85512 32038 48602 66877 12948 80305 88275 74968 60109 33261 77062 76890 80794 22943 34417 23033 19450 96292 36243 23157 99650 95598 46157 19357 14775 66728 25547 19094 24275 37430 22909 80672 57784 32492 49885 14531 27944 20979 96307 28888 62071 99124 73460 93033 14942 06286 08984 20385 72188 23831 50313 42072 25424 16584 57748 50459 58682 84887 72477 19556 17010 12718 35941 15578 76830 62864 86391 38717 52122 44753 78916 02151 03050 07879 68592 29686 24669 91815 00524 18000 14758 43565 86789 27033 75395 57844 39860 37624 49498 65333 64818 58045 32413 11969 48134 17191 17872 69961 81068 62717 24238 86647 57785 31738 71097 41420 80316 06979 20486 34230 97111 33007 27680 39510 24505 75654 70672 25324 68204 99916 29906 89224 96428 02968 11078 08414 29460 82896 49232 74981 18688 47245 49769 89348 09477 01983 55288 72599 61447 03448 99255 99812 06414 56820 18910 68731 89457 10123 36074 66502 19764 70938 58451 28949 43325 12991 03635 74953 86694 55359 05283 68279 58649 48350 09258 41680 79409 17255 24597 16351 53108 33641 29428 36119 32336 71659 67283 97692 57645 42813 47865 70255 53074 93391 60434 41339 32768 73960 52520 74620 70908 79268 19023 89052 19909 25453 17525 68850 25643 77382 20868 29987 99247 93188 25918 60180 32872 30071 24854 44079 18540 55048 63654 93294 13216 30211 85743 15407 52062 74507 22198 23444 28334 62845 38202 73401 88740 10998 88244 54868 55199 29123 19486 46542 46626 78871 63179 05511 40659 39776 56488 13071 92831 17886 45740 84081 28448 91599 22340 87519 15789 91412 34048 34620 82968 93407 26516 01681 93202 73473 06201 64489 64270 56647 92029 23050 22293 49960 77633 17823 71806 76359 05238 13798 77092 80982 01602 14799 56676 62584 49441 83710 95742 88195 50193 48090 67623 94478 19534 01396 49835 29111 44105 53243 45217 14224 14568 97411 47216 11337 43947 93812 36642 48173 85301 00840 20673 77175 72159 58862 63704 48200 32407 80369 64491 19742 08741 90555 10301 84633 89310 70510 30760 60445 17511 21258 74227 83253 16875 25490 88620 44660 29058 07531 10832 05057 84743 97012 83072 61693 95464 03943 95415 99354 12916 88472 86979 53891 46957 54520 43270 97594 49805 90472 63745 55910 20834 47172 54559 25638 49257 91027 32761 87137 32437 54635 10990 10097 19776 92163 02822 43345 94013 67751 14173 45728 19191 34191 39302 75794 27389 33777 44327 62206 89756 20919 55752 91895 01778 90973 01612 72864 93425 34578 72766 73436 51474 89033 48424 71944 56888 90924 89212 33786 37552 74826 63815 20477 58481 55571 19668 42252 57259 02730 11873 46982 78496 34850 57690 49957 27787 87934 04248 42036 43101 91835 01453 48056 01839 56498 42470 06529 97824 93361 27695 13277 77287 34509 62310 13015 43481 49627 05843 48592 64776 25039 07308 03144 41600 22792 02439 55547 94236 17425 92356 83383 04622 70418 98802 74510 75367 00989 36652 53150 03988 99415 64592 18662 31909 33926 55502 13884 90679 04879 41884 38382 08956 87977 40352 29287 32340 20348 58950 21362 76398 82097 12690 28549 29154 90080 45900 37066 75375 59646 31351 51171 83278 20475 57882 46877 97199 26362 89454 55713 06303 56097 58193 86498 88554 14391 64400 23074 17002 10101 11520 13307 21114 27421 76424 33019 69440 92828 61938 39234 27837 28984 31568 75856 76413 82193 41209 15125 15672 41407 11281 99405 61499 11345 97980 42751 83245 04596 09823 69164 16413 23521 70731 16932 77456 55543 19720 71893 68694 63476 35080 48632 12205 00953 88648 75031 29948 09154 92110 18981 68268 99235 06071 41289 54043 61218 74984 95018 21177 98606 25200 51352 63157 72236 05848 34643 80740 13330 00703 45496 64608 62060 92604 83334 63825 13512 04439 31458 08277 25047 35598 99350 23662 67420 60459 73288 40545 64545 37042 43585 24812 32957 20408 28170 57373 74141 43287 72075 28688 70692 82414 37245 40788 08821 52061 76475 41087 48678 27545 31909 60813 56681 34605 77468 07642 59350 29129 62385 55141 99499 47566 30525 88307 26974 86430 71730 31127 04240 32764 59453 14911 72963 55208 56199 40525 14531 53686 79830 90379 95386 72411 36872 77407 93660 14301 85975 63236 92804 89054 64395 19170 88879 33887 95176 78676 13171 85243 14169 85216 74790 88392 39107 25941 59854 99596 29310 19298 69193 97524 83886 27038 63244 37724 20083 75591 05486 61656 50908 79790 29766 00333 17501 77821 37694 39265 02505 80139 14001 33773 12359 69104 28170 59262 40565 93229 56544 03968 17452 01610 72213 13187 84735 45552 09771 80545 55002 76498 56082 32444 61764 71075 75140 28466 94845 52617 78224 94883 38702 69282 56854 78641 33238 67143 04884 90204 92744 15259 77770 77476 21974 73903 52979 23065 14119 47480 90245 27759 66717 03696 15419 98518 29614 77686 17083 53683 00823 07789 41386 72289 25681 70656 62195 88711 75631 40404 15449 98284 31510 91395 12192 54841 62299 69515 82607 86009 24662 34995 70231 65085 35636 07734 51142 85745 51500 22389 25601 69353 96265 10844 55409 38098 00108 53916 45836 58706 36677 90648 85102 59127 75135 32279 74315 66465 27267 43049 82221 84453 80191 28545 64469 27975 66077 08970 85320 00436 28839 69918 27213 24587 59970 32299 98713 46887 43513 54338 82999 72444 32258 71773 93541 11788 78629 59017 10219 65942 08801 19034 39801 18445 37390 48392 52636 38467 42047 28068 55823 89233 49109 33789 75949 43889 16930 48236 24878 75965 14426 94822 56439 13308 69685 79151 57101 66612 64513 32469 55990 69295 91928 72162 94305 87198 93484 85069 64265 25798 49026 06276 51295 53869 39878 27415 53430 99101 65028 07052 09818 74653 45780 22872 15333 49238 91447 14468 07588 22308 01682 94519 13920 58408 73458 39499 59050 07729 34781 91361 31417 41190 09956 42683 63448 91464 06518 67040 69905 30998 63102 44874 38374 18773 92227 71307 23868 02099 09279 42391 48440 31883 33726 63061 78953 96382 79885 19358 32059 73183 44951 00193 43046 68345 46903 08700 32502 53921 30974 36622 55022 26618 84131 03330 95613 20319 03263 65368 04267 16760 28634 15474 26684 88546 34363 63106 88539 03273 89576 23057 84740 44022 30525 88481 31909 95124 18519 88489 85409 84790 76760 09573 33880 37365 06831 84615 38032 14674 77083 20837 77807 74324 90613 46528 84282 29203 16673 39884 93125 22939 21809 46702 75855 12412 84729 41929 48742 90932 11474 56259 95705 52489 89949 87615 98739 35863 45629 09946 90780 15987 17838 48672 63719 50993 53480 35550 44684 61868 31892 70547 17352 26895 22099 77183 81200 72596 68805 05326 16145 64906 91190 61522 12732 50647 87324 12534 17402 14818 82308 21668 72065 02614 45029 10316 18871 56683 21140 47883 50482 35556 63234 38525 63731 87481 32864 49115 38472 02138 49863 84780 99623 11906 06059 19125 59481 03532 84821 57983 58633 37302 91083 02310 75857 06238 43162 73855 25984 79848 71506 93577 23129 79664 08051 28058 71284 66251 66882 79820 26987 22147 46051 61320 47328 59286 89455 90032 10563 55387 57921 85865 07266 10628 10461 02867 36425 51192 95423 67078 46509 42798 13917 90245 17512 35801 67841 38046 55550 91605 73554 36421 23181 24706 76098 17187 73412 92645 34114 20434 32041 82200 57265 70073 72519 51656 28731 47657 43891 09824 24564 85182 57701 06592 70659 96947 41100 91367 87155 10859 70522 56951 08699 26784 59727 24494 68105 22368 18536 45828 29896 29740 58348 96340 05496 55565 06963 10491 75542 24337 38054 82763 74529 78137 15180 58177 08059 19117 95168 54814 70186 04188 83962 99779 57414 56510 91927 07214 83214 00417 53675 36211 74273 18156 22859 80440 73942 18026 40671 53445 43545 54446 83945 54551 50017 62959 33135 61704 90770 12430 83077 28225 74954 75757 58437 79903 60047 45289 13289 01164 57618 69650 68332 87168 49370 88338 59179 05345 72420 76190 11077 89359 22447 17415 03234 85742 01725 67467 03035 61823 49652 99123 10872 84033 67547 46070 66226 71271 81443 92758 68217 39692 02870 18216 70661 73410 46284 06242 77278 81556 15773 48588 69358 02754 63644 43251 17105 41961 05647 47440 89339 80608 55286 22875 37015 09497 27396 66966 13553 34446 22597 31729 08154 35741 96239 73298 36883 96614 86533 23669 39336 64845 49909 76697 70930 32218 54366 71487 70425 64450 78492 00033 72945 88427 19627 36546 05177 54973 41483 33123 51809 21603 28302 13054 53401 14939 87951 15636 39358 34631 62388 74710 80932 56357 09291 06776 57925 57258 08990 99601 87628 98122 52426 49372 26827 59720 81639 31917 67338 01424 98969 87863 86103 72237 74604 87723 69684 84880 84913 80952 60871 18135 36239 41613 80315 92948 03774 38077 49617 63323 91523 70501 78724 13477 35765 60620 63892 57205 13058 83009 54361 25400 47921 68237 67708 25869 58983 64727 34137 87219 49886 21950 70968 84851 05585 30659 65426 22484 32752 35724 85077 37819 30109 25691 81747 89865 08361 51174 29078 70200 29235 61575 93901 49036 27829 01341 60653 65488 21315 06482 29691 16506 51439 26073 12783 76800 37836 55249 53717 73509 54182 73260 15319 38037 67980 58869 07743 74143 47108 54271 89382 06138 08654 25541 54687 01607 43886 86232 03183 53183 37988 13707 61046 13018 26532 54704 96209 41079 64542 37590 56487 74892 45300 85363 07766 34093 99298 72111 34360 74993 01881 84737 54402 64919 48575 28377 24949 56165 49752 31539 32192 63750 84334 86052 10143 78495 63037 59059 24357 77638 81991 08280 84226 99713 73138 05830 14495 33198 39656 95473 91661 09143 15211 00657 54141 15387 57713 74247 24426 63978 79163 43144 76695 57862 53017 73585 50396 18112 58214 14401 73066 74673 26843 93486 83062 53109 96659 15814 90530 48444 51871 60250 30162 68967 05758 36671 64500 76839 06593 19340 94751 09017 31418 00689 20060 16684 80768 24692 13212 70901 02082 71096 02125 46010 48956 22843 06002 06996 37559 72407 49948 56358 00290 96425 00249 57491 19515 58280 62047 09261 56443 60362 91854 41247 84773 11329 35517 32231 32477 29294 30165 35796 82620 11886 48861 44198 37543 60503 24423 35620 67669 77550 24157 84212 66478 36537 35636 27524 64824 32679 88053 73682 93082 91679 00323 21822 30942 17256 95745 28651 43771 92879 19551 94568 58975 35935 55913 10568 05337 54291 75024 82845 78900 78300 91420 87408 83595 73292 67309 26114 26629 33726 86595 78868 27431 72410 25654 71912 11254 36028 39086 79017 12689 24705 06417 49814 10621 50956 95427 57871 38171 29349 14558 97700 99449 15304 17023 28637 90466 71492 87364 79407 51350 39022 88743 58567 86450 27793 31496 78538 79588 29307 51686 42768 38494 95895 61227 91579 54416 10421 11017 18882 33262 14032 73865 36653 26252 29564 74024 69299 32183 14366 11929 87634 31176 74179 77930 30459 13314 06101 72061 75589 04353 99845 63967 55016 26968 82580 03638 27220 32140 84126 32283 15234 10752 52195 01696 52398 66996 20016 96934 85315 43089 89195 58623 54422 16939 72896 58740 08739 24155 13813 24440 66009 24453 34265 90704 83010 29130 60260 22203 94217 48731 04689 83628 30921 29977 77184 68027 36547 83679 38305 58544 91328 53725 05817 32236 63695 99766 47161 82072 11500 43824 59156 22967 76417 74692 87238 15382 81079 50600 27118 07886 82025 75751 51721 08858 69671 83250 89928 39731 37515 49975 22991 62008 12701 31357 41292 86279 45565 54205 20043 36309 43775 96284 69024 28177 58061 96505 61609 19419 98218 11482 15960 70467 42093 07307 95722 70175 99752 53456 58318 45174 92252 40300 85339 25897 31476 92117 51842 63787 24514 55769 97873 94545 40070 21603 36670 25627 44250 19366 47221 52880 79137 03835 60025 76049 34657 36328 05792 79469 18752 44611 89490 44680 93071 53931 76832 47791 37427 52112 32755 19811 95198 85754 35298 59194 82047 21506 89822 94005 02143 12790 01872 28888 05269 62738 06348 95133 95737 39732 85896 52476 32069 94587 95383 34837 38216 81118 72876 03744 62346 20634 44855 67453 88579 56638 75292 09831 32653 32039 41590 40986 58736 45107 36475 33125 36151 18071 91664 96341 51270 30879 05812 00104 39416 41189 26019 86786 29448 27448 67954 06779 90428 42998 80204 60828 19548 09779 67854 82254 46013 68757 90029 05742 84795 73391 36529 94470 07842 88261 50526 66152 00566 66499 61836 13726 86802 16932 34076 35410 13210 33921 86581 71831 35711 55255 05639 88216 23047 91827 30899 93192 61658 00812 82333 54193 65273 89161 06400 95299 37067 97166 92575 84176 36428 34591 20895 38269 00547 48842 95393 03040 66033 39282 80962 79394 64031 87243 17971 95512 56288 60773 68415 53038 96019 05668 67250 45350 63478 45676 08685 20712 57449 51303 12895 53311 35476 41367 25897 53416 26944 34170 10144 95736 53438 54749 05021 14159 98707 45705 67803 49098 57980 90273 25526 43438 74602 46354 83698 48199 95881 96239 20500 64780 50866 94991 22642 64650 69383 49154 43461 78754 87831 63496 47378 18509 31632 14849 82611 18624 72971 76923 94314 76659 13026 16135 83875 25084 53266 43925 85600 56323 38380 85158 77400 16159 76664 53739 03253 93921 89957 24215 34249 70464 27964 56920 88109 31552 01863 37862 97836 18948 87315 38583 46717 91427 46442 50771 07573 47898 43536 68796 80703 20761 56842 51816 64129 80929 22265 33722 65746 26303 76277 61371 89560 46137 95226 86977 08978 15907 87438 22960 39793 33882 44921 25469 51090 20504 90755 87944 22955 56820 05170 31857 14552 20350 69729 65165 68363 86926 81918 44481 34355 00977 77363 12857 43789 16951 89081 39679 12625 80203 74941 10423 74977 92858 87922 91191 73982 61360 67553 94147 38333 47758 37604 71016 62788 27517 75859 90004 30876 51120 37149 95157 55762 16518 49009 12727 98583 12622 24640 96850 91763 66505 83574 82346 10430 98642 39957 49541 11000 83422 55791 11754 27914 36192 66025 12999 27807 84655 97664 36514 18289 69489 57195 00833 93827 58613 83210 98036 68472 53704 78482 20744 42918 43917 51115 17635 73348 19614 58059 08732 99950 02656 91047 60448 38271 98448 91848 50900 73252 23171 08458 26039 35706 49168 29150 03269 46761 43455 54644 58167 65174 04000 70062 97004 55110 48266 16349 92126 09171 61353 54091 38117 46635 91326 40792 98969 53057 00728 42358 43878 45384 81847 99494 65542 80666 09963 18424 19088 87621 22883 05782 19262 38572 93426 46324 85509 99373 34145 35916 70005 84938 86501 99311 31108 01170 10041 13792 26201 79221 68982 37588 89031 94286 27370 28877 88669 31156 25143 65267 86735 75016 97555 04691 70410 70288 09584 10708 16035 99849 93004 03422 11458 09089 11841 11886 19867 95129 44639 88308 31802 85031 37850 23564 96603 74858 43728 76135 58736 69764 97904 37736 06181 51104 24545 28037 77101 04365 08832 08923 87204 01143 77906 24137 45021 99865 97100 57300 32928 09550 00770 88835 44925 27179 49480 44423 89432 91515 49617 38387 40924 70350 16551 76668 68601 55625 37055 29265 06572 17284 39295 19881 15783 22134 87171 31193 64698 16916 04834 42263 98724 04584 05783 71435 79473 74273 61647 46741 39643 54575 96786 75127 34403 38534 09326 93505 85711 59378 51381 65897 13030 88147 00613 70344 43453 70249 89696 80384 96012 89865 66946 65494 53934 75871 85281 86860 45338 49962 69352 72836 10689 98793 36599 88667 47297 35282 15137 09544 31998 47222 38026 33149 88106 39450 93143 47710 75715 46008 38846 36534 17084 06398 25444 60438 70234 99306 10466 33668 66759 72352 98089 50273 23946 73368 50666 21512 30094 06491 55188 68996 74236 75584 89762 22835 08313 26733 26419 41450 48897 20416 44686 38414 13778 02212 44715 32120 10608 62893 14382 65877 25613 66175 76614 79656 98630 82745 90263 38978 96185 30376 96559 47255 23724 79708 99523 78182 17027 21145 96506 36613 72205 47556 48971 63081 78954 65302 43419 31948 47912 86011 12034 65021 32086 77686 00374 88005 69923 28126 35762 26285 44059 23060 57190 07172 63890 25662 42260 85766 98664 02153 21343 09098 78038 44342 58889 55185 90725 15449 06997 90486 24536 57566 57333 95315 04637 81250 33339 81429 84647 23331 05856 92951 61271 58239 25970 14222 28977 09074 15888 12899 92568 65186 05330 42160 28080 69005 25753 15368 28613 45674 48481 76928 48898 41297 89720 63213 50924 16801 84375 12308 25113 60804 47966 77514 30570 40182 90010 38760 66019 91793 50566 57194 80085 47671 85225 55180 30376 54830 13054 44382 51337 51609 19782 45692 21884 00440 72305 05785 53535 36710 22396 97011 38354 95206 35066 70363 46390 36292 17801 00457 04212 32748 13771 17756 09793 43122 42182 00345 92258 45448 78635 01745 11903 39944 72100 41722 99788 75936 73539 34569 22938 05414 02205 87058 83609 83385 12347 61255 36144 44957 57599 72762 33011 88218 91280 66620 10663 79738 01239 37921 21589 78637 16364 05216 39031 90311 48833 91891 26612 13243 22951 52500 85497 28977 61829 90497 87011 39653 74569 72123 76793 78275 18457 69847 11687 34569 13127 61724 17473 38727 06711 01990 45643 88355 80107 70537 48015 67912 22658 46005 70887 21120 74418 80528 96697 16571 97297 17824 94807 18551 68213 94304 16543 97307 30643 66990 86441 56217 62247 28439 79461 19912 07436 79250 45071 26702 87851 79802 50934 26457 52725 09750 55266 93171 70261 45403 44746 22709 75778 49609 56878 07450 31268 57783 11425 29062 98164 14841 36674 69542 21844 83805 73717 06197 11536 47748 41613 40983 96870 99021 76250 85394 66835 93665 89777 09552 01344 33098 36158 02837 97096 45037 47555 15102 24008 62001 98392 09470 67721 82460 16407 50185 73875 03870 01612 69905 90681 96358 60837 98531 43235 99949 97698 37703 51680 58887 00843 71425 13774 38272 57428 65052 05708 08496 49517 23303 84422 29135 28717 10931 88450 68609 93753 95768 26737 99960 99551 57676 81532 34942 08239 00046 88388 90915 08348 83125 43680 17287 66292 23690 17217 26242 04397 68666 12638 35635 75847 16532 42461 22406 47538 31351 85073 59810 56198 71943 57493 97081 23011 97578 93844 87554 45588 60510 17532 09625 80189 13151 48753 01981 22970 37876 46157 65103 97945 00041 49358 24351 93747 94301 50808 37068 74582 71095 30231 23194 56568 08432 07201 58830 79163 76855 32945 61411 69042 64245 58447 18358 47137 22307 40434 30250 90763 00750 14349 05279 25138 84098 94060 75153 26792 65592 60717 63917 88407 03859 94053 38093 59675 59369 54660 65027 03773 75775 29458 98462 34801 27820 23670 26635 56507 44377 09704 32424 12704 48589 36509 92319 20884 21442 61579 71568 68477 44303 29558 88823 87563 18918 61083 60976 99196 83486 31855 11923 60632 47385 57576 21806 50302 54094 23185 46558 31119 38944 14844 23046 63523 10205 38204 85754 25597 31743 61834 50377 47785 85354 97757 29849 09317 47360 46772 68891 01434 71343 16127 34303 73843 09013 39355 67655 30827 64104 62565 54605 33637 84974 27102 66517 56326 56914 51621 76587 55168 54575 64799 37512 32372 69899 04901 04246 77914 67886 59495 40981 31544 04075 16114 87594 96670 82093 13001 99705 98326 20403 86474 32257 49182 61955 87669 68901 84816 72788 20973 62823 40395 55394 94211 48511 53378 40535 18243 07505 40973 79625 17741 99365 90740 50864 48177 10538 58356 97685 34577 88859 39151 46298 52647 85221 77338 63726 62089 00244 56224 29556 52929 80081 41297 30246 46937 98506 96021 75100 00845 45162 51695 70580 82464 28183 53610 73141 73371 08017 63103 60442 99982 29179 06176 14075 53536 95521 56156 11789 57838 79528 28112 90757 79518 10222 27897 39921 77218 30306 81046 82177 63361 28302 01221 75742 85843 07915 44093 01072 15986 73199 48137 43211 01256 35297 15802 28214 80770 96364 37572 17867 70064 97461 66077 40995 37102 20103 26504 13440 84710 29798 09408 78965 54346 80033 73184 42902 97885 47223 02977 71494 49801 36009 03763 49719 90593 48056 56836 34785 87902 61225 51585 78405 02245 92077 46087 41869 64006 61045 43708 98014 85619 25740 22481 64917 41529 26842 13570 18127 16737 30032 73100 56381 41746 32589 88241 52661 90011 96635 60327 54351 06418 61226 87522 62507 71819 47991 77788 13354 74858 27277 57301 55138 20052 13242 53145 55935 72339 48749 38530 39934 19657 83657 01386 52497 81923 82016 63831 96838 79783 50245 80790 40328 02891 04264 99383 08585 81307 06041 22323 24309 90909 34363 66782 51882 34709 37956 14351 66785 17700 93301 94084 42376 82210 66711 03404 50275 65810 32220 48108 42787 69956 35484 41287 61394 82177 31478 73351 08944 74550 58637 41086 23261 10869 01481 18839 73303 00767 38361 02717 29419 57932 00250 84956 03890 39486 56878 09858 77531 15023 78190 95591 56035 47614 69081 46225 99004 75064 00602 28727 66795 51322 82887 23336 14251 06019 52858 74582 23664 43267 94338 83152 70686 92273 74011 90709 99962 09902 04506 69994 49755 00793 87805 56207 60390 01877 52265 71193 34756 48365 28706 92961 40952 67902 62172 66453 15435 37291 88820 56262 24940 27894 37020 86731 17528 14739 12275 83172 46227 72509 38509 72232 38231 22674 87423 57701 79373 14215 62495 09707 76269 47109 71379 79366 06807 29322 60724 53667 23087 14078 99363 79036 13131 60842 88673 20825 98048 41300 46937 08243 57806 93835 61450 71885 88820 67346 03818 44212 36602 86268 21902 90834 34041 97774 14892 15752 92688 70512 17906 36624 00744 89303 46478 93527 93148 20777 15996 98823 25435 94433 94621 32913 77530 24404 29010 61894 71702 05244 39527 23030 59909 06518 28134 49607 13201 33640 96293 60907 37692 68108 63603 03328 49591 44784 73604 86700 95766 48106 79054 08251 17159 89469 43917 00686 32415 70064 81473 30775 88675 22872 27175 91194 70404 97335 75994 96050 94581 86437 33229 97598 32945 52466 37512 39558 50145 98532 49312 57327 64461 92565 74333 75699 21407 19007 06981 31998 77844 85447 68102 07702 94764 38052 58304 05304 00307 04441 63173 75605 97780 53188 29811 48157 18429 57933 92209 73780 99627 69282 83238 70269 43500 66526 11228 80344 69165 97859 97330 54731 79458 82019 28789 14943 82162 24835 03612 82077 74694 37694 86593 87792 42619 03480 00560 86151 60979 90348 82858 58178 95469 00030 94826 40533 69810 84895 94589 77119 62142 74251 19156 51643 14905 54293 93317 57155 20329 94354 73144 39333 63882 56658 07975 45176 46331 13801 67759 06763 73109 28974 80487 23226 42756 63593 18395 96329 28529 02143 61399 80603 14847 17380 55197 53571 67753 51274 42051 04032 23821 02382 01642 14145 87747 15777 02279 02116 67330 10256 07832 96279 27908 10163 00425 98078 10157 10354 24452 57063 34352 13508 52582 70310 57486 21386 12975 52224 83605 44900 97244 51367 35912 41500 80308 10001 22861 00737 13134 59372 65486 95991 37288 58993 81085 73535 46446 52013 37028 84379 25802 88134 29605 95883 51762 34835 19053 27962 09966 25667 89059 72748 03073 92227 22217 15638 27679 47723 61623 08070 27923 51424 04170 00142 28442 75632 50291 42702 04743 86085 45398 40772 09249 29243 93813 56221 33797 97585 26972 18867 27898 45523 48801 16992 21339 39374 54860 28456 96712 30090 71815 26655 80044 23508 49216 54039 04461 29171 31693 38855 22242 74120 96380 13600 47223 87191 63537 95359 39568 38010 39329 33550 97436 77850 09256 23660 25841 72624 41920 10126 22903 70419 42394 97497 15308 17361 49992 38005 00705 23000 23907 04523 08040 63401 99103 73080 50789 61460 76990 71415 89314 61670 64520 01972 19947 79604 44870 78172 79613 13979 24688 73723 46029 48888 84594 93300 73884 05444 99822 88888 05280 19828 89935 40746 95244 29479 53214 20463 79249 93561 02067 09183 39122 44411 45335 66874 15652 19670 68533 30313 43181 69684 66588 43099 30836 39205 81891 23690 09464 34397 09714 73907 28441 23414 00608 67158 10098 15870 06862 24447 90857 92870 23119 97904 31370 00535 91171 19916 18270 56335 40094 52517 09955 99558 77768 04457 89502 40156 48597 02982 10977 76890 94888 10567 25994 54763 01146 90705 29057 31833 52975 95160 33357 13943 86474 56730 90397 70680 51928 41332 79265 01422 15770 05712 87100 08550 02005 87635 34363 37565 48106 83645 26104 65492 29303 47237 25332 59468 83141 84029 96824 24630 52386 33677 47850 39879 94235 93973 63692 64750 33385 08126 27621 69037 24629 56406 16355 99178 81537 66878 88409 28816 31123 56188 28452 45515 70537 79188 12266 02499 56982 48566 93838 31392 79894 99492 49169 55665 61214 88203 35837 86275 31407 04535 17532 02634 41710 67121 64549 74856 89490 72757 76785 48733 55295 99136 67569 36692 15006 62312 19361 35497 10453 71569 10037 67932 26436 60113 51215 23013 45933 09810 52934 98864 20078 42983 59907 41170 72156 99010 04732 32113 40698 05304 44089 78346 30114 43160 56613 45424 98757 60010 10547 01980 21470 22479 07394 71038 04507 48710 90607 27215 74328 56595 45868 11594 94061 21575 64581 49115 83124 22888 13531 82711 20149 04240 11360 55389 53006 75058 11526 75759 38628 24502 85255 36977 44598 26423 34692 59266 70073 81040 35625 43275 24949 96949 90161 36045 71140 17139 71898 30095 56130 32530 27199 68085 74890 76841 59363 19608 59450 26064 86678 33483 43657 76257 26888 60096 30980 40042 36210 73384 20834 52941 69513 53143 01623 28809 84214 62287 09505 43844 49726 82770 25603 59989 69883 91410 66049 91580 35420 26493 55761 99845 79862 81124 05570 08597 96459 71224 75269 65212 22989 39933 27902 38771 75624 51602 42653 39350 82706 56074 69460 78776 05838 06809 55796 95839 01808 65507 14707 82642 62298 66589 37857 19134 16647 86536 28707 00696 53181 91054 27299 32308 45666 68949 84165 97797 06273 92486 85846 53375 46833 57235 63703 13070 20385 98122 65749 23184 10797 25991 24117 76622 95572 87029 48828 45679 52878 69549 91961 82957 34531 46149 53924 63324 23899 54737 44466 88496 01034 62438 12472 19690 79313 67645 44605 99362 42208 48106 47896 09953 98456 67715 41362 99316 73455 55238 77376 95402 69046 31158 94412 64256 24846 68672 91341 78277 19563 59136 17542 92296 36476 16150 94643 05363 97550 07793 68951 65001 42165 56601 23367 04062 00658 48594 19056 75469 45606 78043 87398 04661 71950 29995 29320 59534 16882 30415 70975 16641 11244 83452 72402 33043 89034 47696 74087 86999 87065 85542 61801 20897 08745 04348 33985 62440 50669 43616 30785 45863 30320 82961 44883 18466 76221 88962 37478 47614 06743 17921 04995 07611 12313 74507 74531 72505 96841 52690 19777 55623 96183 12084 81190 76281 18443 48505 14615 11417 50023 52967 19461 13876 07785 64639 00738 58560 54938 16637 59055 21235 93561 48742 50056 41629 33661 37729 28011 07577 33194 05146 33612 85596 06315 11233 68012 04703 45209 27497 80885 83026 26839 82981 20312 04768 29894 64778 54559 57754 60948 69955 17806 22298 68804 14459 02132 57168 12947 04601 21113 08727 77373 04521 83334 74626 17698 56405 28060 19104 09788 32734 49479 12606 34779 57576 28565 63672 61660 67390 94001 83413 51590 54856 03511 89196 42448 81084 43601 60464 33656 58878 94759 08816 21685 61981 56034 17068 74529 99293 93135 57832 79419 25943 47262 51844 09633 06395 81335 98163 63314 43202 97937 16741 19362 43695 94983 32146 27602 09135 58304 72999 51014 79037 56036 34855 89388 93887 11918 49324 60408 93559 35672 77275 09464 15271 86260 58079 59084 60533 56940 41282 20254 95399 70697 97809 65770 27589 02368 00685 59472 49769 58442 42412 59525 49298 16853 77703 27282 83041 44146 64423 34339 50126 01254 13080 29761 20053 49085 60444 99395 49806 58566 35051 31738 31694 08444 64954 81337 59654 20056 10049 92101 93456 57175 83091 18030 18077 50888 53028 04535 19697 12145 60215 20326 69827 60694 90758 34944 19070 34368 09381 09480 03626 48483 67028 49109 24255 27317 89402 82463 73054 10881 42706 05874 48620 68511 23962 18483 71357 61735 40115 61571 72685 88189 22529 36674 34060 85562 10191 51995 90673 99482 30368 01897 38995 63398 03538 69676 09611 66946 17736 14002 99691 83338 70486 61704 82178 18602 39469 67631 12047 91916 39923 50106 03282 40501 63194 32955 29318 69711 43933 10142 16864 60401 05418 77698 99697 72541 91849 92099 81486 60025 28381 30112 58098 59120 62451 21620 82163 08976 80627 67127 49558 69885 02208 93862 53023 21746 55771 17828 35133 37825 30622 01347 82616 90422 95039 21835 50176 78422 43927 30691 86104 49445 86121 00789 82591 33459 89283 51474 41468 96219 90718 02507 19178 72256 31878 40347 12920 17702 31265 63242 38415 53019 93561 24017 86888 02341 43276 50368 34339 69471 73481 78423 55988 79235 45809 73092 13995 02718 57920 95943 44795 23826 83834 44469 84462 64921 63785 38200 01060 70789 81433 78255 95284 11257 21435 89485 44621 50613 63528 53125 52140 94805 41671 47783 28931 13947 66233 96011 28913 63662 21048 50079 31100 93906 15366 16195 42420 56814 47796 23804 12380 01034 10389 44097 82333 18031 54243 62140 85333 44552 90454 02016 11045 77067 76065 97898 00093 63689 97888 68883 50755 14008 96968 44350 29441 12215 51507 40681 89685 73694 13880 36403 00123 26417 15241 20788 39581 76372 32432 94290 37317 74798 37203 10072 08690 37115 53704 26834 13500 82950 85262 22348 39275 57565 44345 23434 52532 94665 53636 93652 55504 38395 75050 17746 64253 52445 54837 47384 81387 85530 13070 89229 32988 59895 98026 94799 07389 48467 82248 78987 46609 35193 61817 02899 29552 07056 65584 84438 60760 65202 98594 34325 68999 79901 94213 05061 85313 97538 93252 83501 46972 52810 20629 05848 58822 00977 44441 56459 78279 95016 68729 06340 27250 98370 71912 20350 22377 63834 38318 55883 88675 08113 92466 14614 37194 74874 55887 48735 42206 78352 48830 76061 20561 66520 79074 96956 35844 91117 61395 94472 94894 68148 73855 20884 91665 33865 11074 04599 92175 42001 92747 57339 56189 75655 55031 38863 30966 87013 74290 95798 78681 55627 34743 95852 56708 92227 87458 68048 27780 79540 88203 56286 73235 97501 58493 73708 05726 21405 74473 39910 27766 95996 55985 35938 64698 08889 08326 08107 43224 12004 37662 71813 35458 86402 75549 66704 64964 05131 08421 14915 81077 90621 67713 25111 90265 18332 31562 37728 81859 03249 64963 71565 69636 57100 78939 77617 23711 88505 56063 37993 26599 15509 16316 16463 08306 00133 31761 43351 99568 39627 80375 09863 23030 49129 37735 62156 28157 39969 54743 24080 74793 76429 27958 83148 24430 84161 09070 44711 37070 18743 88036 27288 23329 70433 12106 57475 84768 61402 59411 95529 62470 84303 11262 36993 12639 74811 99237 90722 90960 10751 81226 56769 09935 74195 63005 93563 28973 40104 66129 51078 10222 73616 68644 92115 35007 01420 11983 87388 35244 24600 25366 70489 23625 87043 99693 55199 13489 27899 86921 99996 49729 22349 33646 63974 46304 11891 77437 85834 30981 53801 23913 72002 24120 86460 22898 99324 70494 55538 98928 39824 56983 79429 02098 55028 94571 80309 10391 59242 07417 12792 51713 82364 07257 04483 80814 79261 48750 55880 46937 21464 83427 32286 47393 98207 89307 98825 76252 13483 76762 80791 70726 01298 67944 50872 68713 57990 58014 33461 95279 82951 65415 64722 31540 91061 30350 60050 05858 21832 60693 06659 61099 56358 32576 21049 06585 33062 34240 26630 83201 55447 49915 94207 71161 86078 67155 00944 21058 15641 15292 03767 33124 55465 82601 16635 41895 77877 86143 03791 36043 09456 54271 19581 19356 73391 85460 09707 81686 89018 04040 76019 12854 81597 93207 70215 40723 85985 65925 40683 68872 61964 94612 96388 09615 52540 41278 93527 46906 85815 94132 35977 62114 07340 59260 40334 00139 64554 77893 58039 38792 68304 44243 33723 38836 56505 21030 28723 28493 78575 24364 59926 63560 66279 81144 39138 46057 27453 81857 32224 09323 94482 65805 68393 72666 13821 44670 03396 02423 65069 96198 08343 08943 20670 48397 63185 83920 45246 13317 34624 33725 02387 22678 20383 93102 36625 78380 69705 88747 78976 57080 99718 53086 54893 40944 39045 45147 84136 08134 80356 25453 66966 18840 01446 55940 31074 10787 42695 64299 55831 88291 79066 14492 99647 75459 70064 18537 04886 05148 62210 49647 79590 21903 39931 97589 02459 04732 72400 54070 30102 55157 81951 52437 99065 25216 81366 60395 51560 37034 26837 49457 63270 79331 23446 06613 47476 49352 96820 40270 79146 48618 24436 13239 23731 64589 16770 55999 70225 41103 99403 19588 28836 67032 41686 91054 00220 44485 87523 90697 45766 99743 68231 89113 92973 73362 43568 05936 90388 56898 78493 10047 89335 40043 88831 47251 63096 42561 35711 27565 89948 68258 47707 66551 23090 61111 80349 13901 49625 90845 33378 02330 16295 69154 66704 48857 92323 82377 48716 57691 15852 15182 43451 33645 01296 44465 19367 90782 62509 11851 41750 42680 41414 11904 45125 72487 51377 08322 72617 04847 08164 85317 56829 91308 90979 90204 94393 12679 24616 97323 21195 68326 75528 29176 08518 76525 46431 24068 06823 82931 45162 96689 74800 68521 53566 17092 93245 46894 38811 53347 29976 58216 36970 15704 20245 89428 14566 51439 49522 11377 02462 90668 61697 63615 56205 35673 25656 87768 84042 78129 55788 55831 13012 74567 59688 69457 64847 04377 78318 39885 80634 67602 32345 15208 65986 30778 16048 29460 91880 42590 12683 45577 22738 46263 78435 35592 01842 95005 64809 10211 21891 77906 22125 07848 07153 57740 56181 57098 40654 58603 01783 15150 60236 49984 73952 45229 02126 86433 04928 44030 30061 51990 91793 88484 73746 32586 09874 84876 48148 24246 30735 82623 59743 08913 95586 09740 72619 95918 82210 83806 22922 33835 62077 27467 77124 25170 97363 73358 39805 21986 95925 47583 65311 30764 27096 80732 34113 45892 27714 41930 78428 00711 51544 85175 14734 38500 46182 28490 07414 93018 96594 56038 80799 47193 05937 77404 38132 79144 46662 37509 77621 83435 82626 76260 98443 18528 21513 48330 29392 90065 96770 44085 06364 57268 93543 83280 70775 31583 81622 59104 03312 05143 74467 06763 00268 90478 12164 15776 75009 77671 95583 47771 38035 83445 64617 77578 55108 66084 43683 82207 31336 46930 16165 52712 06330 84924 20225 61393 55792 47940 51800 99554 62269 35202 14050 80208 72351 41194 36973 00478 99882 18542 79158 66147 02493 66320 62236 05525 60314 80776 39270 02341 08006 59599 24920 20913 61480 33749 56059 93338 45094 96460 40562 07622 52661 06100 31885 39888 43976 25288 37818 66705 52687 35534 80156 86271 73956 68747 93854 04750 87870 08346 57093 36090 88819 34173 58773 11336 12475 58825 78342 60112 33728 62407 49907 20709 10697 82055 01017 04055 23259 63320 55889 86165 39439 87994 08951 75676 15481 80449 93795 80771 04760 90466 67776 41215 67256 99177 67293 80428 88434 84995 25145 91996 16125 95782 09633 01900 61954 71626 88457 79149 10261 60537 14293 42640 03897 39142 38169 22126 04134 02723 79424 68205 55981 41281 96011 53250 74585 93749 27940 56756 57246 43850 74371 52714 40087 52088 34906 15078 98696 50840 35895 26503 11330 34878 36924 35820 14228 26268 67673 16152 16533 00137 36643 78880 28287 85452 73687 05439 39576 47012 81494 02425 77571 95543 67858 95439 52741 92364 47365 68370 85648 20023 90143 34672 41795 50511 75885 94719 47692 60456 51628 36236 02192 76838 57913 57160 40043 06917 22472 32971 01146 50707 31894 82460 81809 67866 96142 34589 47452 52954 96152 47335 44166 97747 20428 55700 43112 50710 05210 47716 72790 92985 75200 13457 92309 70849 17853 26987 62541 40327 07475 71658 16767 12772 01529 24564 66730 38182 92733 13060 15344 01441 98974 82672 27784 09797 17753 88329 01444 43225 24343 61833 74345 84154 27728 73764 61773 53025 76087 51501 21912 42424 98539 01900 58771 00360 14902 66442 24217 20940 66422 10286 41570 39276 31369 18081 13179 34158 70035 65013 06210 19052 05292 32365 85072 10015 91378 90959 94288 76020 05556 95020 69031 84129 60765 97917 15786 93760 61473 64918 01751 57342 70021 68816 16679 60895 12092 52283 87115 91312 45907 15049 05582 05093 77326 46707 68684 78388 22608 33961 48775 86213 50954 16721 54640 85333 80215 89958 35987 30047 12759 61263 20046 04139 41801 73023 82265 74687 55364 37619 63175 94004 75362 12221 39308 63523 91568 72692 90952 83353 16263 90711 47563 78347 91971 98773 61678 41713 27935 09519 51230 48140 74870 81869 59646 93895 08761 58876 63605 29165 75883 93045 37381 04433 01897 92046 84139 05361 29978 20904 25149 26250 92383 37082 16829 84174 77607 60785 09003 56191 13584 63102 95804 29223 51383 94368 98568 65858 79846 64470 52762 74307 76675 89949 44143 16601 22890 65621 12499 82034 51603 82025 93217 88630 92887 39067 95892 07273 81729 42857 71501 18484 96381 62062 96022 20913 50212 98929 09721 59625 43005 27607 81999 75371 46713 21343 23955 43545 19292 83600 20810 73604 82029 97914 92935 23240 89177 43800 89733 49484 05070 15603 88183 29873 81825 04673 97110 00542 45258 10272 79986 97906 49777 33409 76419 16828 13066 22173 18178 98103 21211 81709 00065 38090 26353 26701 83309 80294 98638 26808 35360 77262 82335 61714 46590 12592 61479 33859 93825 52277 72049 82005 91462 03070 31796 19308 55862 63259 60382 90741 80476 76517 49224 10532 04860 61139 22544 95000 66885 85480 76446 75469 21258 12941 24202 29454 47557 69679 13320 80335 45006 32672 81976 62985 08643 62840 84433 16903 34260 41691 74832 06189 95168 96639 02187 26456 02856 82965 51988 52703 86653 06885 04467 46800 14361 05652 78953 62309 32787 25726 85253 05992 49441 09299 52316 27702 25052 04480 15265 93022 98217 86504 91106 10854 57310 08365 38321 67040 45788 46493 16494 22355 15634 00352 78507 29789 04321 48773 99411 74529 20166 61227 72236 46061 90969 74810 19681 53053 40874 09151 02548 68296 36626 24352 25751 08405 48875 72764 71754 78679 55713 06758 59620 03816 04838 25558 17158 02704 11225 09079 29035 20752 27913 49763 41356 99119 36428 80839 14414 11969 64200 08672 87741 94166 08474 47733 03199 21470 75855 53201 27702 33143 20096 74683 61719 34222 49897 72298 53894 08958 10334 28695 08766 45537 22393 36098 58423 03180 78926 70591 09047 25895 45290 02805 30253 24554 09974 40479 35148 24082 49152 87407 79926 59334 93267 47155 85773 06653 88657 43916 71799 49716 22242 75816 57179 43946 85669 94620 52301 04697 62663 51814 22397 36864 05175 60911 98658 30152 92686 71657 38394 97454 81883 60876 95819 07160 50030 10031 30974 17486 80916 48576 20859 15921 80336 80129 96119 46028 82300 98483 57228 85316 57990 79269 14813 14640 04240 93481 82734 06661 15648 03351 74305 99214 31808 71457 57355 98227 80110 57758 95164 50765 98897 28672 94577 77576 19412 47069 43561 11981 72784 03577 78135 05899 99184 48160 50542 06161 42222 20882 03793 00785 66170 17899 53909 60274 74924 95758 98775 52973 05123 50735 13423 66430 70417 72331 11332 67511 14543 97809 29736 09884 54870 24647 42634 88538 78837 73781 68736 02221 04129 59406 98678 52465 57600 30442 98007 43554 21117 98985 46184 08977 53139 52666 33630 36208 78842 41513 02444 74088 71886 10571 55155 55578 25528 25508 08891 31226 87128 05267 10314 83317 32547 55099 04790 29880 99440 13708 97907 75687 09937 60717 69276 59557 19941 44679 98374 00891 58031 64639 48351 77069 25348 85333 62585 74798 97890 80619 97927 94757 81816 49742 58122 82209 27375 90900 10891 90291 88128 65703 42984 33986 19182 31000 15352 79750 66748 10868 75404 40475 73091 04146 66193 78069 73128 90389 86258 99828 36291 61818 93170 06350 16342 20716 69341 21405 00657 49386 56288 89746 49235 62378 96326 51571 19775 08481 18527 87217 43801 69024 02888 92055 25479 77985 75953 77823 13777 30078 95606 31166 02085 45784 47671 04841 88853 32179 78969 03468 96015 65573 01855 28523 79660 64115 54430 00098 77697 68278 85699 48284 56449 83156 42640 98517 64553 08266 19927 28030 35406 32237 01795 47454 94204 38113 29287 52415 23051 97217 64973 42119 69723 27240 05686 73986 09415 51592 26485 07902 85100 22773 39210 05313 41983 08897 64202 43201 08840 25456 62306 92472 16967 43683 46588 26712 28774 46815 97061 03352 28670 18053 25172 75156 77322 30244 16711 65143 62465 60846 17458 96000 46708 76110 62702 78513 69253 74432 65281 23856 76397 80710 83503 92271 36257 71536 79594 27255 11671 77111 54672 79300 73553 07307 26492 81303 61465 29826 00679 98842 00713 31350 81931 89421 15314 04673 44579 57867 77772 69711 84711 13415 75543 06090 65487 76806 14367 80833 53176 37278 70775 57992 47569 77161 04696 11464 32835 47501 34428 69968 80958 09702 73161 27416 92974 17104 79958 10144 54617 59955 99893 99118 78158 19600 71064 60116 66699 37247 12862 02659 36313 68574 57376 09205 41805 70685 18545 15857 59793 59084 57480 10676 50100 04619 68609 83828 95655 78278 83250 18986 48987 90641 15536 62170 10240 10195 27818 15102 77487 67593 69223 54523 01374 55061 99248 63151 29757 07877 58166 21055 47772 36141 34592 87452 18425 33094 12524 95745 16530 19035 09175 10266 33963 99561 43458 53519 78705 03697 65511 39850 23587 47658 67682 26316 01931 04567 21200 93918 97697 02282 98479 33252 18477 21826 51672 60080 71238 67949 12653 65095 78040 01393 41770 01635 45702 69233 29053 55667 74604 20974 46561 09011 26103 37786 39308 20386 31918 85604 27079 66586 69352 65716 12774 43246 76775 00066 61688 72211 91445 96889 76092 90298 84927 13541 81717 23030 27542 04774 60072 90909 14216 90226 39409 63951 00277 63363 36879 49521 12468 20294 82031 88555 07642 75237 82742 83007 38770 85334 54855 84308 07348 43643 88481 27355 86633 22865 58957 42789 30187 70672 46686 36464 96161 74535 69036 89548 48127 53712 57873 68785 00821 10117 71182 54522 43889 85536 11444 39694 22963 34773 60049 49967 08966 68854 20257 52536 62490 27840 10276 06081 28410 68635 65931 29328 75888 83282 06258 97544 14561 41010 01678 65077 10597 19175 30446 20530 96717 55795 52090 17762 62114 11380 81008 16266 46910 38843 57514 03037 06988 11315 07238 98911 90593 80367 40512 31881 81094 02343 03416 90620 92958 01232 34988 92831 66906 10238 00621 11625 74271 11236 14439 39226 97287 57688 80077 06016 12730 38566 79956 80284 05864 87902 89277 69169 06405 66335 39229 37557 28038 23898 56226 37766 24227 93094 27957 06047 09244 55402 29467 00841 12103 43294 60192 55881 13606 50580 38834 07891 07289 21738 84472 30215 10081 46028 87964 77127 63886 66501 25670 24508 71712 49552 05315 23297 06728 96214 55340 20157 89874 55587 02340 35248 11056 86682 98341 04250 87578 07494 87914 57218 28940 88048 25955 95619 97580 74723 22352 33161 86868 42698 77390 98527 69958 94436 83619 40185 38727 34899 51159 25094 68539 53209 42974 27729 22643 98858 07278 70909 12423 26628 69981 91066 29993 54654 70299 91912 88505 86824 70851 17955 29804 96156 84868 86081 55405 67815 43990 11719 29904 01025 39808 54112 97968 46521 13214 15080 79952 41868 10842 25173 56878 03293 05721 85870 82102 83493 25147 82086 01264 33052 03608 97660 11499 79887 24134 53270 45818 93297 90979 63753 67082 49719 94595 42874 43789 47726 89190 04815 49112 46138 16326 18759 11271 49992 41638 71914 58998 96738 87325 00960 16908 26015 72857 60810 82591 59907 28927 18655 26444 86560 30327 63201 70225 40571 47220 71974 16369 64578 79881 80215 87241 65651 92296 02305 53196 38505 14416 81260 27761 82715 91927 97947 39456 30381 91191 26030 85614 89684 07920 12270 39431 31944 67036 85233 24633 43680 14531 10418 57838 84745 49718 98687 15320 85736 09606 20294 14926 23345 29283 87892 88024 34014 55791 57074 57677 82290 58411 78851 99241 56135 43424 64466 55574 63061 05332 90265 95648 57295 34211 19460 11893 77389 28586 47363 21434 33341 95650 60485 04052 30191 95359 18760 38130 23615 42431 40606 61132 45190 78956 34334 05885 29577 93894 26980 82887 44265 38240 68482 10795 05928 86234 67194 34266 74449 62958 29359 29182 38995 16753 89338 06649 48210 30883 12957 98582 08531 43656 37865 66455 33039 20411 12694 90699 17973 41567 75589 66214 29942 58773 49718 00135 54650 75564 03272 54985 58542 10145 68089 47259 54191 97153 80723 24910 72856 52653 43253 44333 62569 04103 53406 75797 91068 30909 48991 48354 01146 02952 59148 69505 48841 00724 19490 25681 44194 76312 21703 86665 85443 25656 17156 33526 75587 13397 49286 97724 09778 89335 82106 06953 63955 70238 27999 26763 52569 75338 11930 79015 28998 03911 30274 74463 78071 84760 63620 78362 64865 13614 16294 79033 25189 64488 11639 38500 42490 61824 02952 00512 96693 43235 91287 51618 38173 55833 51871 23579 64070 25528 72635 31320 64209 09492 09631 28915 19883 79209 64396 36628 33709 46565 08792 46451 82021 15850 30298 82203 51309 53648 49393 01113 24522 29460 32449 58039 20779 90382 18877 83568 28016 19961 39108 50879 84544 75742 07763 65228 98868 28589 62383 47365 03295 82569 80649 18912 40774 07570 26887 84734 51061 47381 15151 03219 18738 98228 43646 09553 92649 53759 32274 53729 04333 17177 78370 27503 03333 73272 08171 38548 76696 58150 86954 35994 41603 27683 36125 30977 74329 95602 61784 29264 56695 51562 75833 42877 38047 03261 34830 72233 22971 06651 85949 12819 53761 79228 50895 26077 04763 59413 49916 72943 13442 25218 68867 40890 91021 43049 84994 92120 51479 53801 62412 36920 75438 06778 44782 16596 28700 28117 09596 89326 36308 41059 53959 54097 20161 01098 66621 04521 07023 89264 37579 70309 14514 94076 87655 78926 05382 02300 06084 43651 93935 01948 62504 41796 43649 97625 39097 38427 12297 71846 72619 82058 12489 76692 51184 30214 27572 51638 80104 70211 80254 58166 71331 14097 49824 03111 76601 06748 37196 71842 71231 02552 63373 06024 39217 32601 82704 96870 84167 30312 56934 61904 22154 74438 07771 81005 70392 02667 19955 90898 91517 35381 57236 33822 08460 12581 70595 17428 36824 28924 53638 89026 47563 16092 71949 77577 76314 34383 94453 63851 69600 84359 00179 13700 18618 47517 22190 85225 65966 73921 67415 22409 91801 09066 62440 11609 53407 14594 01301 06580 92147 32030 32721 54145 27061 29852 86757 52892 58575 58543 02612 48794 32005 18651 52367 89200 05542 91875 05823 07184 27685 32355 78999 57692 27455 64595 26182 12557 30483 94898 50098 76506 52236 58409 13714 72584 04899 74012 91188 17937 50849 29761 07904 40506 77194 11508 90187 98030 02933 42860 70424 76920 30860 10508 01892 44950 79583 90421 27435 53102 63408 33026 60511 97642 21998 96347 70037 41294 12884 84997 52238 25057 44759 78415 77407 45608 43527 03789 79685 61966 30035 15192 06974 24900 59673 63746 40679 12771 82755 74516 24422 66515 50857 95958 36916 06541 41172 00573 76553 86492 11435 90329 80949 87765 54467 03147 64561 73448 22836 11738 62668 30508 65085 41243 99889 16476 57272 63278 80551 25580 35302 02769 94744 97213 05457 00440 68685 88097 19612 79002 95681 63604 08284 95516 67476 87263 72795 65765 01311 90594 97729 24341 31619 08301 40284 64490 47651 22613 33952 38812 17914 40183 42690 55027 49355 70034 34117 71300 74964 98521 67523 64329 94028 90761 64929 82865 65905 58867 51552 10256 09659 48177 51574 92193 69679 59687 28248 96496 87532 79111 00183 66713 55683 95545 71567 18687 84873 74792 40385 32340 60259 93543 58412 60236 32590 43397 11757 21144 38424 92334 94497 89052 36627 16506 49663 00944 67495 01939 79118 13129 09701 49468 97124 22067 12667 82692 23453 36440 03585 51426 78813 50460 31626 04029 66310 59923 66376 05280 16932 93531 33867 71582 34490 13871 47528 06334 86946 52804 44053 85295 85407 11793 31076 25801 74758 57696 44607 17946 13368 55801 36262 87065 33141 09872 39306 50446 78264 37799 76819 22258 12651 57161 82641 62236 93878 67697 01314 64989 71982 33513 36628 32725 80890 61878 83063 72107 36640 88126 51888 00732 49738 04072 23114 31317 53876 68075 38905 60867 64763 61045 42437 02698 87165 85954 08032 71919 56013 14001 24901 98449 50328 96909 72661 64152 75432 94155 79747 34749 82146 42136 88198 26064 17055 18581 74597 02260 10348 08362 23217 96968 77933 00376 36048 01082 09058 66184 10644 42248 45903 52658 97808 84346 94387 07054 12713 79060 83282 41120 05075 84580 89398 50758 71840 96890 85352 09834 12553 15968 16355 01798 54962 44488 03720 01078 64499 01871 04197 22066 01241 89173 36740 80136 95164 46265 33727 57868 19461 25460 48261 65144 15101 62908 39216 37295 49449 51568 67285 68556 77941 32945 15271 12725 07732 55855 12336 37132 97405 60301 48302 41851 71216 91713 51532 58203 17213 88002 62597 89328 21827 88361 12185 68928 19099 38918 10234 84967 13723 71723 42473 82099 50716 13923 92259 11328 49688 66440 53468 93449 98153 30505 62091 05134 76258 88612 56995 99739 65288 65106 91166 55476 20711 49897 05653 05940 25138 63282 83328 80163 89287 32834 99971 39347 03421 90666 90183 95301 81735 89640 42429 04493 75155 12093 41494 32969 26023 72211 39679 43667 67812 59396 01062 41417 03455 12313 17977 72340 88171 40619 34020 87667 48633 10625 82299 19270 44465 90855 72672 01780 17541 54055 32107 57414 30477 10018 95200 60320 57100 41325 11260 65568 20019 24826 92374 94584 40758 97527 20935 68305 09542 02330 38878 61473 59448 10911 69234 41173 94945 39814 84126 92649 64420 79121 95865 54433 23462 91082 19407 60432 14831 87873 68489 68154 76821 04552 29130 30793 54483 58698 33383 44007 17932 54051 06591 23178 03647 68911 74261 58193 51733 62190 39553 99170 56719 55027 34361 38401 21216 71093 79853 16298 78121 52477 88524 88785 93746 58505 33722 11757 76493 06244 41578 40477 72771 00454 98720 36906 13954 99447 53607 86985 06361 89811 01804 98603 26752 33185 25092 23390 13078 75593 35575 17351 25146 45870 97101 67549 74510 53342 03970 82489 22716 28117 44579 24027 83393 78105 61918 77491 94972 77210 36457 35860 05162 72044 31502 67830 75990 68445 35294 24944 88920 23688 73468 65050 54665 95043 15966 16175 52470 11715 51654 84268 46014 13384 00912 49953 20410 10063 51792 69789 83394 91223 65363 59572 08703 80638 39599 89196 84382 51919 76900 96250 51024 92189 73578 01132 37949 37378 22213 25734 27188 94004 79204 58050 63111 54794 59019 73719 01817 60901 96276 55710 37823 35179 85076 08702 57868 42540 92263 06174 57947 30549 75521 94163 52088 50181 49228 43767 26697 89613 24452 93802 09611 07783 01268 49022 78150 53571 68747 57928 43953 68537 03169 61040 75393 15607 94889 86374 48831 08580 71791 56925 43570 97596 65468 55121 55648 30215 45768 25970 50899 36554 20443 39655 91734 82231 42464 97459 67903 61950 40220 89239 57640 22748 60055 94395 87462 58141 69471 91812 22727 35216 46899 54265 35658 49683 23021 08112 89532 34374 07281 15113 34103 02646 51168 41556 10519 47737 91518 54460 28660 80271 94476 02502 07510 34280 64705 93832 02433 35213 96263 04003 17624 56235 98591 31037 86707 31703 87762 91793 36923 20294 27772 11071 77137 62464 58861 47789 72109 25726 70537 62600 38234 74753 41008 91102 58676 12783 27607 39016 73323 38222 57397 50185 81934 26911 95869 95058 21924 08501 36376 26430 82323 11744 15119 18009 78996 01216 19611 43657 12632 95256 78994 72954 02489 87165 61965 14995 10255 08557 28705 30497 36119 67592 75454 30541 59230 07992 70747 27651 57846 65793 80889 76734 66878 40528 04207 91658 97098 83718 47071 55971 69004 16277 48046 04013 59814 43761 91111 80614 27057 01423 72986 05001 29744 54749 65993 32055 64668 36661 18554 32325 11217 43527 28964 78634 28980 83934 91162 81788 55261 06119 16828 96263 67469 92622 69063 01145 28816 02984 49616 43297 27182 54194 66989 00768 26745 75264 74824 10728 80317 43082 59261 07709 90965 01987 41935 52318 51154 46172 66702 53062 87522 76032 92764 18211 87685 79540 72676 57221 54676 69950 53057 17946 62427 67379 72512 26048 43832 13911 01105 81693 28005 79074 51996 37648 62169 33108 70618 70853 12912 81816 07781 96846 52655 20543 60290 24291 01187 27945 86399 57797 83600 11105 69114 54708 14048 76864 70168 69372 78810 67685 52472 63932 91119 98865 96592 02514 00498 24494 02300 88376 85059 07258 15866 12023 62352 69043 33637 16268 68769 25973 72044 49751 82778 97212 82145 30377 21748 71637 74319 96359 30235 18606 56271 55826 00586 40409 05464 62576 22917 81253 96014 45826 80898 34330 14629 77140 70001 81800 33250 59880 79322 41980 17564 19272 63228 63391 47870 77223 38351 89208 35047 52310 86938 80702 74328 58215 19000 61469 70079 10268 59674 30073 30090 45751 29239 70869 26649 89082 78846 79772 19971 44115 05776 93817 97512 43874 31353 99142 45496 56096 49283 77835 74015 95172 35172 11352 03942 73952 58757 41006 61803 81005 08167 83649 69723 50313 47951 73055 37843 05530 97268 50753 92337 58171 69086 27459 46333 20181 43973 21216 36613 25231 96958 15069 60177 62082 46664 91456 85542 38550 43961 33481 44061 16535 46931 70457 09162 66331 03663 39787 60636 05012 49543 92075 69859 48226 37547 31896 31957 14493 51553 76689 81669 16357 24671 48279 62068 30998 72995 48532 44055 49020 79069 45673 34091 84695 70466 36444 14420 78853 04376 28177 14281 48912 11369 04742 52184 81831 57968 23785 99097 28525 04373 82046 63772 91165 60330 54826 99005 05460 27997 19316 91362 76333 15525 02738 30522 63747 06689 08021 59879 28099 33197 24026 71364 61428 96866 07931 48330 37185 04894 68137 48215 69646 57984 11611 18609 30918 38123 44962 76346 66859 80796 44880 02095 84133 81689 19537 25221 81953 30628 53231 34782 99095 55070 28682 03277 62562 68626 13004 46543 91753 18642 85761 13703 58212 79764 37650 99939 49364 13239 25099 01258 67983 67055 39694 99220 06908 34663 69037 51714 48339 12154 92326 23701 89625 40115 07860 62976 39090 64187 76036 62870 42936 96027 70939 34022 49978 17541 60692 68401 60128 61369 09804 18173 75257 42033 12415 71112 14547 54143 63786 74096 83239 16522 23640 70646 95935 71136 45209 61480 14838 18861 52024 54980 70117 14620 52089 42603 00995 91170 71380 29799 64092 02386 26813 41668 36442 67800 52799 36452 72171 40403 26751 30107 52237 58163 70601 00326 70270 84544 35223 26261 35531 43285 82964 09302 73150 81917 62716 71056 86115 09718 15622 57779 42936 92815 77057 36391 14459 59333 63280 08758 96007 19483 80000 12447 44031 95027 78036 82324 70695 04949 61190 60652 28269 45260 60252 12886 68744 81397 37660 55099 15989 72553 80593 81527 94552 72292 45207 02094 48851 55514 15426 85964 40738 96164 58155 00438 57409 94652 08184 65852 69311 86466 50173 23322 63575 92085 15805 70770 66968 04885 69542 73577 38810 41541 11205 98015 84746 56095 99259 63895 74000 71377 12094 86724 77787 45749 27769 57561 83434 70146 95107 75358 89121 30724 42210 84966 18228 10106 98800 12572 89637 18561 81196 31366 39799 22005 24827 56127 00509 43658 59174 79967 13290 84655 41793 01702 87028 03852 81086 91740 93842 02762 55826 17854 60950 01083 73133 93871 40567 00585 39553 77482 27990 01615 04600 70987 23712 06625 33017 67299 50426 05593 24699 95303 68913 20231 28322 33679 98340 50238 19713 64076 97657 60391 67149 29598 26444 20313 20719 62293 63767 77261 17756 54995

LICZBY PIERWSZE,
czyli chaos czy porządek ?

Wśród liczb naturalnych (czyli - według Kroneckera - tych jedynych nie stworzonych przez ludzi) wyróżniają się liczby pierwsze. Słowo "pierwsze" oznacza tu "proste" lub "prostsze", ale można też je rozumieć jako "ważniejsze, podstawowe"; w języku angielskim liczba pierwsza to prime number, po niemiecku Primzahl, po francusku premier nombre, po rosyjsku prostoje czisło. Dlaczego właśnie one odgrywają szczególną rolę? Są podstawowym budulcem dla liczb naturalnych, które z kolei stanowią fundament konstrukcyjny dla innych typów liczb. Każda liczba naturalna rozkłada się jednoznacznie na iloczyn potęg liczb pierwszych. Zgodnie z definicją, liczba pierwsza ma dokładnie dwa dzielniki: jedynkę i samą siebie. Jej już nie da się rozłożyć. Liczby naturalne, które nie są pierwsze, noszą nazwę liczb złożonych - dają się "złożyć" z liczb pierwszych. Nie dotyczy to jedynki ani zera (jeśli uznajemy zero za liczbę naturalną) - te nie są ani pierwsze, ani złożone. Pamiętamy zresztą, że odgrywają one rolę wyjątkową... Liczba 1996 jest liczbą złożoną; jej rozkład na czynniki to

1996 = 2 x 2 x 499.

w matematyce często mamy do czynienia z tym, że twierdzenie, w którym występują liczby naturalne, wystarczy wykazać tylko dla liczb pierwszych. Dobrze więc wiedzieć o liczbach pierwszych jak najwięcej. w szczególności interesujące wydają się pytania o przepisy na otrzymanie liczb pierwszych oraz o ich rozmieszczenie w zbiorze liczb naturalnych.

Jedną z najwcześniej poznanych własności dotyczących liczb pierwszych było stwierdzenie, że jest ich nieskończenie wiele. Elegancki i prosty dowód tego faktu można znaleźć w Elementach Euklidesa (napisanych około trzechsetnego roku przed naszą erą). Już wtedy, a także i później, matematycy interesowali się liczbami pierwszymi i starali się znaleźć sposób na wynajdywanie coraz to nowych. Można to robić różnorako. z jednej strony poszukiwano wzorów na liczby pierwsze, z drugiej próbowano opisać algorytm wskazujący takie liczby. Podanie wzoru byłoby oczywiście pokazaniem algorytmu, ale podanie algorytmu nie musi prowadzić do wzoru.

Przepis, obecnie nazywany sitem Eratostenesa, stosowano już w starożytności i... tak naprawdę to do dziś praktycznie nie wymyślono nic szybszego i bardziej skutecznego. Metoda jest bardzo prosta: wypisujemy kolejne liczby naturalne, począwszy od dwójki (dopóty, dopóki nam starczy cierpliwości). Następnie skreślamy wszystkie liczby podzielne przez dwa, oprócz niej samej. Potem wybieramy pierwszą nie skreśloną liczbę (będzie to oczywiście 3) i skreślamy wszystkie większe liczby przez nią podzielne. i tak dalej. Sito Eratostenesa "przesiewa" wszystkie liczby naturalne mniejsze od pewnej ustalonej liczby i pozostawia tylko liczby pierwsze, ale to przesiewanie jest dosyć żmudne. Procedura nie jest jednak aż tak długa, jak pozornie mogłoby się wydawać. Łatwo zauważyć, że w tablicy liczb od 2 do n wystarczy zbadać podzielność przez liczby pierwsze, nie większe od
. Istotnie, jeśli - na przykład - liczba 899 ma podzielnik większy od 30, to ma też podzielnik mniejszy od 30, więc przed dojściem do dzielenia przez 30 musiała zostać wykreślona. By znaleźć wszystkie liczby pierwsze od 1 do 100, dzielimy jedynie przez 2, 3, 5 i 7. Obecnie znane są odpowiednie programy komputerowe, wyszukujące liczby pierwsze i posługujące się schematem sita Eratostenesa oraz jego modyfikacjami.

Z wzorami opisującymi ogólnie ciąg a_n w zależności od wyrazu o numerze n spotykamy się w szkole. Najlepiej znany jest chyba wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego. Ciąg arytmetyczny tworzymy według zasady:

a, a+r, a+2r, a+3r,...

Znany wzór ogólny to

a_n = a+ (n-1) × r.

Czasami prosto określony ciąg może mieć zaskakujący wzór ogólny. Znakomitym przykładem jest ciąg Fibonacciego, gdzie kolejny wyraz tworzy się, dodając do siebie dwa poprzednie:

1, 1, 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3,...


Natomiast wzór ogólny wygląda tak:

Na marginesie: Włoch Fibonacci (ok. 1180 - ok. 1250) naprawdę nazywał się Leonardo z Pizy, a - jak sprawdzili dociekliwi historycy nauki - Fibonaccim zaczęto go nazywać wiele lat po jego śmierci, ciąg zaś przez niego wymyślony nazwano ciągiem Fibonacciego w połowie XIX wieku.

w czasach starożytnych nie formułowano ogólnych wzorów. Gdy zaczęto to robić, niemal od razu zapytano o wzór na liczby pierwsze. i okazało się, że te liczby jakoś nie chcą się poddać ani uczonym, ani hobbystom; nie udawało się znaleźć żadnej sensownej zależności.

Nie znaleziono nie tylko konstruktywnego wzoru na liczby pierwsze, ale nawet wzoru, który generowałby wyłącznie liczby pierwsze, niekoniecznie wszystkie. i tak pozostało do dziś! Dobrze znane jest twierdzenie mówiące, że jeśli a i b są względnie pierwsze, czyli jedynym ich wspólnym dzielnikiem jest jedynka, to w ciągu {an+b} istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Jest to twierdzenie Dirichleta; nic jednak nie można powiedzieć o tym, który z wyrazów danego ciągu jest liczbą pierwszą, a który nie. Są ponadto wzory, które skrywają nieskończenie wiele liczb pierwszych, chociaż wiadomo, że opisują one także liczby złożone. Bardzo ciekawe i ważne rezultaty uzyskano w latach siedemdziesiątych naszego wieku; skonstruowano wielomiany (a więc funkcje wyjątkowo "porządne"), które jako wartości przyjmują wszystkie liczby pierwsze. Znany jest wielomian stopnia 25 i o 26 zmiennych (!), którego wartości przyjęte dla nieujemnych argumentów mają tę własność, że jeśli są dodatnie, to są liczbami pierwszymi. Niestety, przyjmuje on również wartości ujemne, w tym także liczby przeciwne do liczb złożonych. Gdy natomiast skoncentrujemy uwagę na rozmieszczeniu liczb pierwszych, dość szybko odniesiemy wrażenie, że jest ono nadzwyczaj przypadkowe. Istotnie, można dostrzec zjawiska zaskakujące.

Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest 2. Stąd wynika, że oprócz pary 2 i 3, liczby pierwsze nie mogą być odległe o mniej niż 2. Pary odległe o 2 występują na początku tablicy liczb pierwszych często: 5 i 7, 11 i 13, 17 i 19... Takie liczby pierwsze nazwano bliźniaczymi. Otóż liczby bliźniacze pojawiają się nawet bardzo daleko! Kolejna dziwna rzecz - nie ma w tym żadnego porządku! Zdarza się nawet, że istnieją całe serie liczb pierwszych:

p, p+2, p+6 i p+8.

Takie są na przykład: 1871, 1873, 1877 i 1879. Łatwo dostrzec, że oprócz zestawu: 3, 5, 7 nie ma trójki kolejnych nieparzystych liczb pierwszych, gdyż wśród dowolnych trzech następujących po sobie liczb nieparzystych jedna jest podzielna przez trzy.

Bywają także sytuacje całkiem odmienne - liczby pierwsze rozmieszczone są rzadko, odstęp między sąsiadami jest duży. Łatwo można wskazać ciąg kolejnych liczb naturalnych o zadanej z góry długości, wśród których nie ma liczby pierwszej. Ciąg trójwyrazowy to na przykład: 8, 9, 10, czterowyrazowy - 24, 25, 26, 27. Dla zadanego z góry n taki ciąg można wskazać następująco:

(n+1)!-2, (n+1)!-3, ..., (n+1)!-(n+1).

Liczba n może być niewyobrażalnie wielka, na przykład 10¹⁰¹⁰ lub (10!)^100!. Wtedy wyrazy tego ciągu są jeszcze dalej, co więcej, takich ciągów jest nieskończenie wiele. Ale może się też zdarzyć, że wśród stu kolejnych liczb naturalnych odnajdziemy nawet dziesięć liczb pierwszych. Czy rządzą tym jakieś prawa? Ciekawe, że odpowiedzi na te i inne, podobne, elementarne wręcz pytania nie są znane. Pewne częściowe rozwiązania niektórych problemów są nadspodziewanie zawiłe i wykorzystują zaawansowane rezultaty z różnych działów matematyki.

Z nazwiskiem osiemnastowiecznego miłośnika matematyki Christiana Goldbacha są związane dwie hipotezy. Pierwsza, słynniejsza, sformułowana w 1742 roku w liście do Eulera, mówi, że każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych. Dokładniej, hipoteza Goldbacha dotyczy dowolnych liczb naturalnych i mówi, że każdą liczbę naturalną większą lub równą 6 można przedstawić w postaci sumy trzech liczb pierwszych. Częściej jednak przytacza się jej równoważną wersję dla liczb parzystych. Druga hipoteza, także do dziś nie rozwiązana, dotyczy liczb bliźniaczych. Nie wiadomo, czy jest ich skończenie wiele, czy nie.

Jednym z najmocniejszych rezultatów dotyczących liczb bliźniaczych jest wynik Jing-run Chena głoszący, że istnieje nieskończenie wiele par liczb postaci p i p+2, gdzie p jest liczbą pierwszą, a p+2 ma co najwyżej dwa dzielniki pierwsze. Dowód tego twierdzenia jest wyjątkowo długi i skomplikowany.

Uzyskano natomiast ciekawe rezultaty, dotyczące samotnych liczb pierwszych. Na przykład okazuje się, że istnieją liczby pierwsze odległe od innych tak bardzo, jak tylko chcemy! Formalnie - dla dowolnego k istnieje liczba pierwsza p o tej własności, że w przedziale (p-k, p+k) jest ona jedyną liczbą pierwszą. w przypadku odległości 10 taką liczbą może być na przykład 211; poprzednia liczba pierwsza to 199, następna to 223. Twierdzenie nie podaje jednak przepisu na znajdowanie takich liczb pierwszych, mówi jedynie o istnieniu. Największe znane obecnie dla konkretnych liczb odstępy nie przekraczają tysiąca. Ale wiadomo, że istnieją liczby pierwsze takie, że w promieniu na przykład stu bilionów nie ma żadnej innej liczby pierwszej, co więcej, takich liczb jest nieskończenie wiele (!), choć może nigdy nie dowiemy się, jak wygląda przynajmniej jedna z nich.

Udowodniono wiele zadziwiających twierdzeń opisujących własności liczb pierwszych. w miarę upływu czasu coraz bardziej utwierdzano się w przekonaniu, że w ich rozmieszczeniu nie ma żadnej regularności. i oto nagle, pod koniec XVIII wieku, został odkryty pewien zaskakujący związek. Ale najpierw kilka uwag ogólnych.

Dział matematyki zajmujący się badaniem własności liczb naturalnych i całkowitych nazywa się teorią liczb. Liczbami zajmuje się również arytmetyka teoretyczna, choć w niej większy nacisk kładzie się na badanie konstrukcji systemów liczbowych i własności działań, ale ścisłych rozgraniczeń przeprowadzić się nie da.

Liczbami interesowano się od narodzin matematyki. w starożytnej Grecji wykazano rozmaite fakty, zaliczone później do teorii liczb. Sama teoria liczb zaczęła się krystalizować w XVII wieku, głównie za sprawą wyników Pierre'a de Fermata, radcy sądu w Tuluzie, który w chwilach wolnych od poważnych zadań prawniczych zajmował się matematyką. Fermat sformułował wiele faktów i hipotez dotyczących liczb, ale prawie niczego nie udowodnił. Swoich rezultatów nie publikował, lecz opisywał je w listach albo notował... na marginesach różnych ksiąg. Ta jego nonszalancja mobilizowała potomnych do sprawdzania sformułowanych przezeń faktów i w efekcie przyczyniała się do rozwoju samej teorii liczb. Jedną z najbardziej znanych hipotez Fermata jest Wielkie Twierdzenie Fermata, głoszące, że równanie

xⁿ+yⁿ=zⁿ

nie ma rozwiązań w dodatnich liczbach naturalnych dla n>2. Problem zyskał wielką sławę, gdyż Fermat zanotował, iż znalazł prosty dowód tego przypuszczenia, jednak nikomu nie udało się dowodu odtworzyć. Hipotezę rozstrzygano z wielkim trudem, rozpatrując pojedyncze przypadki dla kolejnych wykładników n, nie zbliżając się jednak do ogólnego dowodu. Szybko zauważono, że Wielkie Twierdzenie Fermata wystarczy udowodnić w sytuacji, gdy n jest liczbą pierwszą.

Prostota sformułowania i sława hipotezy spowodowała, że próbowało ją pokonać nie tylko wielu znakomitych matematyków, ale także i olbrzymie grono amatorów. Ci ostatni regularnie przysyłali "rozwiązania" do instytutów matematycznych, nie bacząc na to, że największe sławy, stosując potężne, wyszukane metody, nie potrafiły rozstrzygnąć problemu i że wykazano, iż problemu nie da się rozwiązać przy wyłącznym użyciu pewnych klasycznych metod. Co bardziej przebojowi docierają nawet do prasy (która czasami pisze ze zgorszeniem o braku zainteresowania geniuszami ze strony zarozumiałych profesorów), telewizji, deponują "dowody" u notariusza... Twierdzenie Fermata zostało w końcu naprawdę udowodnione, ale czekano na to bardzo długo, bo aż do 1994 roku. Pierwszą wersję dowodu (wykorzystującego bardzo zaawansowaną "maszynerię matematyczną" i wiele rezultatów z różnych działów matematyki) przedstawił Andrew Wiles w roku 1993. Znaleziono w niej jednak lukę, pełny dowód ogłosił rok później Wiles wraz z Richardem Taylorem. Mimo to rozmaici zapaleńcy dalej nadsyłają w różne miejsca krótsze rozwiązania (opublikowany w "Annals of Mathematics" w 1995 roku dowód zawarty jest w dwóch artykułach: mającym około 100 stron traktacie Wilesa i dwudziestostronicowej pracy Wilesa i Taylora - a prace matematyczne pisze się wyjątkowo zwięźle).

Teoria liczb jest w matematyce dziedziną wyjątkową. Wiele istotnych problemów można tu sformułować w sposób elementarny, zrozumiały nawet dla uczniów szkoły podstawowej. Jednak rozwiązania tych zagadnień często albo nie są znane, albo wymagają zastosowania niezwykle zaawansowanych metod współczesnej matematyki. Rzadko kiedy wystarczają proste techniki. Klasycznymi przykładami są różnorodne hipotezy i twierdzenia dotyczące liczb pierwszych. Specjaliści ze szczególnym zdeterminowaniem próbują odkryć ich tajemnice.

Gdy poszukiwania ogólnego wzoru na liczby pierwsze nie przyniosły rezultatu, zainteresowano się bliżej rozkładem liczb pierwszych w zbiorze wszystkich liczb naturalnych. Od razu nasuwa się pomysł, by przy badaniach tego rozkładu zwrócić uwagę na pewną wielkość - zapytać, ile jest liczb pierwszych, mniejszych lub równych od danej liczby x? Tę liczbę oznacza się najczęściej przez
(x). Łatwo dostrzec, że
(x) można badać nie tylko dla liczb naturalnych, ale dla dowolnej liczby rzeczywistej x.


Na przykład


(0)=0,
(1)=0,
(2)=1,
(3)=2,
(p)=2,
(10)=4,
(100)=25,
(1000)=168,
(10000)=1229,
(10⁶)= 78498, a 
(10¹⁰)=455052511...


Czy można tu dopatrzyć się jakiejkolwiek regularności? Trudno chyba spodziewać się konkretnego wzoru. Mimo to Carl Friedrich Gauss i Adrien Marie Legendre podobno jeszcze przed 1800 rokiem zauważyli niezależnie, że istnieje związek pomiędzy funkcją
(x) a... logarytmem naturalnym z x.

i oto znów, w zaskakujący sposób, pojawia się liczba e, która szczególnie upodobała sobie liczby pierwsze i teorię liczb w ogóle.

Jak pamiętamy, logarytm naturalny (oznaczany przez ln x) to właśnie logarytm przy podstawie e. Funkcja logarytmiczna przy podstawie e ma interesującą interpretację geometryczną. w szkole podstawowej zapoznajemy się z proporcjonalnością odwrotną. Opisywana jest ona przez funkcję 1/x , której wykresem jest hiperbola. Rozważmy teraz "trapez krzywoliniowy", ograniczony przez łuk hiperboli, oś odciętych i fragmenty prostych pionowych przechodzących przez 1 i x dla x>0. Pole tego obszaru jest równe dokładnie ln x.

Gauss i Legendre zauważyli, że funkcja
(x) zachowuje się podobnie jak funkcja postaci x/lnx . Podobne zachowanie oznacza tu, że dla bardzo dużych x funkcje przyjmują zbliżone wartości. Spostrzeżenie zaiste niezwykłe! z jednej strony funkcja
(x), skacząca nie wiadomo kiedy i nie wiadomo jak, z drugiej typowa funkcja z zadania maturalnego. Podobno Gauss już w 1792 roku domyślał się zależności pomiędzy nimi. Dodatkową oryginalną cechą tej zależności jest to, że można ją dostrzec dopiero w dużej skali.

Zmiana skali w układzie współrzędnych daje inne spojrzenie, inną perspektywę umożliwiającą ujawnienie się ukrytych dotąd własności. Zjawisko to jest doskonale znane fizykom i astronomom. Ziemia lokalnie przypomina płaszczyznę, w skali układu Ziemia-Księżyc jest kulą, w skali Układu Słonecznego już tylko punktem materialnym. z perspektywy Galaktyki punktem materialnym jest cały Układ Słoneczny. Wszechświat w skali międzygwiezdnej lub nawet galaktycznej jest raczej pusty. Gdy kosmologowie chcą badać fizyczne własności Wszechświata jako całości, to traktują go jak... ciecz, której cząsteczkami są gromady galaktyk. Funkcja
(x) też wymaga odpowiedniej skali. Gdy przyjmiemy na osi odciętych typową jednostkę (kolejne liczby naturalne), to, zgodnie z przewidywaniami, nie widać żadnej regularności. Jeśli jednak "skrócimy" oś biorąc za jednostkę na przykład 10 000, funkcja się wygładza i właśnie wtedy widać, że jej wykres zbliża się do wykresu funkcji x/lnx - matematycy mówią, że funkcje są asymptotycznie równe, to znaczy równości może nie być, ale różnica jest niewielka.

Oczywiście, znaleziona zależność wymaga dowodu. Kto zapewni, że po jeszcze bardziej radykalnej zmianie skali nie okaże się, że funkcja
(x) nagle nie zmieni swych własności? Mogłoby się przecież okazać, że począwszy na przykład od (19!)^97! liczby pierwsze są wyjątkowo rzadkie albo szczególnie częste.

Matematycy, którzy dostrzegli wspomnianą zależność, nie umieli jej jednak udowonić. Problem był naprawdę bardzo trudny. Nawet uznany za jednego z największych matematyków wszystkich czasów Gauss, który rozgryzał najtwardsze orzechy matematyczne, w tym wypadku nie osiągnął sukcesu. Teoria liczb była jego ulubioną dziedziną matematyczną - mawiał o niej, iż jest królową matematyki - i nie należy przypuszczać, że problem "odpuścił".

Pewne próby podjął w 1850 roku Pafnucy Lwowicz Czebyszew, lecz uzyskał tylko rezultaty częściowe. Dziewięć lat później ukazała się krótka, licząca osiem stron, praca Bernharda Riemanna, poświęcona tym zagadnieniom.

o Riemannie często wspomina się przy okazji jego wykładu habilitacyjnego w roku 1854, gdzie przedstawił on rewolucyjne koncepcje dotyczące badania wielowymiarowych zakrzywionych przestrzeni. w kontekście wykładu habilitacyjnego podkreśla się też, że Riemann był uczniem Gaussa. Należy to jednak rozumieć w szerszym sensie, gdyż istotnie rozszerzył i uogólnił on wiele idei zaproponowanych przez mistrza, ale zrobił to tak, że wskazał zupełnie nowe kierunki badań. Sam Riemann za swego nauczyciela i przyjaciela uznawał Petera Gustawa Lejeune Dirichleta.

Nazwisko Riemanna pojawia się w wielu dziedzinach matematyki, chociaż jego dorobek naukowy mieści się w niewielu opublikowanych pracach - dzisiaj zapewne mógłby on mieć kłopoty z uzyskaniem profesury z powodu małej liczby publikacji. Prace Riemanna były jednak rewolucyjne i do dziś są źródłem natchnienia dla matematyków i fizyków; z jego nie zawsze sprecyzowanych pomysłów rozwinęły się całe teorie. Prywatnie Riemann był bardzo skromny i nieśmiały, przez całe, niezbyt długie życie (1826-1866) dane mu było borykać się z biedą i chorobami. Nieśmiałość w sposobie bycia nie przeszkodziła śmiałości myśli, która dała mu nieśmiertelność.

We wspomnianej pracy, zatytułowanej o liczbie liczb pierwszych mniejszych od danej wielkości, Riemann przedstawił liczne zaskakujące pomysły precyzujące opis funkcji
(x). Zaproponował lepsze przybliżenie tej funkcji, ale tu już kończą się żarty - ów przybliżający wzór ma postać:

gdzie - jakby tego było mało

jest nieelementarną funkcją, nazywaną logarytmem całkowym. Ta przerażająca dla niespecjalisty zależność jest tylko próbką środków wykorzystywanych w teorii liczb. Niestety, praca Riemanna napisana była bardzo zwięźle i raczej nie zawierała pełnych dowodów. Riemann nie wykazał również twierdzenia o rozmieszczeniu liczb pierwszych.

Zaproponował za to dokładny wzór na funkcję
(x), w którym wykorzystywał podaną przed chwilą funkcję R(x) oraz miejsca zerowe funkcji, nazywanej funkcją dzeta Riemanna. w tym momencie własności
(x) splatają się z jedną z najbardziej znanych i, jak wielu uważa, najważniejszych hipotez współczesnej matematyki - hipotezą Riemanna.

David Hilbert, zaliczany do najwybitniejszych umysłów przełomu XIX i XX wieku, orientujący się w niemal całej współczesnej mu matematyce, powiedział kiedyś podczas wykładu, że gdyby w efekcie dotknięcia czarodziejskiej różdżki zasnął i obudził się dopiero po 500 latach, to nie pytałby o to, jakie były przemiany dziejowe, polityczne, społeczne, ale spytałby, co wiadomo o miejscach zerowych funkcji dzeta Riemanna, bo to jest najważniejsze zagadnienie w ogóle.

Funkcja ta dana jest wzorem

Jest to właśnie funkcja dzeta Riemanna, którą w pewien dobrze znany specjalistom sposób rozszerza się na liczby zespolone. Hipoteza Riemanna dotyczy rozmieszczenia rozwiązań równania ζ(ζ)=0.

Rozwiązywanie równań ma liczne zastosowania, oczywiste nawet dla laika. Przypuśćmy, że szukamy pewnej wielkości; skądinąd znamy pewne związki, jakie ta wielkość powinna spełniać, ale nie raz i nie dwa związki te występują w postaci "uwikłanej", poszukiwana liczba nie jest dana żadnym konkretnym wzorem. Nasz problem sprowadza się więc do rozwiązania jednego (lub kilku) równań. Poszukiwanie rozwiązań równań wiąże się z szukaniem miejsc zerowych funkcji. Zobaczmy to na przykładzie - mamy rozwiązać następujące równanie:

7x⁵ - x = sin(x+3).

Możemy je zapisać inaczej:

7x⁵ - x - sin(x+3) = 0.

Celem naszym jest więc znalezienie wszystkich takich x, dla których funkcja

f(x) = 7x⁵ + x - sin(x+3)

przyjmuje wartość zero.

Wiadomo, że miejscami zerowymi funkcji dzeta są liczby -2, -4, -6,..., wszystkie pozostałe zaś leżą w pewnym pasie (rysunek) (0 < x < 1) (liczby zespolone interpretujemy jako punkty na płaszczyźnie). Te, które znaleziono (a jest ich wiele), leżały na jednej, konkretnej prostej x = 1/2 . Hipoteza Riemanna mówi, że wszystkie pozostałe zera leżą na tej prostej.

Znając miejsca zerowe funkcji dzeta, można precyzyjniej odpowiedzieć na pytanie, ile jest liczb pierwszych mniejszych od zadanej. Hipoteza Riemanna do dziś nie została rozstrzygnięta, choć zaciekle atakuje ją wielu znakomitych matematyków.

Taki bieg wydarzeń nie jest rzadkością w teorii liczb. Zaczyna się niewinnie, od prostego, zrozumiałego problemu, potem pojawiają się pojęcia trudniejsze, takie jak logarytmy naturalne, szeregi, funkcje nieelementarne, liczby zespolone, całki i... prawie wszystko, co wymyślono w matematyce. Teoria liczb, choć jest dziedziną samodzielną, ma niezwykle mocne i ważne powiązania z innymi działami matematyki, i to nawet takimi, które pozornie nie mają nic wspólnego z liczbami. Na przykładzie teorii liczb widać jedność matematyki. Bardzo odległe od siebie dziedziny mogą razem wytworzyć metody i techniki pozwalające rozwiązać najbardziej oporne problemy. Mimo dramatycznej specjalizacji w matematyce (ale przecież nie tylko w niej) wielkie wyniki uzyskuje się na styku dziedzin.

Wróćmy jednak do własności funkcji
(x). Pierwszy dowód twierdzenia o asymptotycznej równości funkcji
(x) oraz x/lnx został podany dopiero w 1896 roku. Ogłosili go (niezależnie od siebie) Jacques Hadamard i Charles J. de la Vallée Poussin. Dowód ten nie zadowalał nawet autorów, był nienaturalny, długi i poprowadzony "okrężną drogą". Można było zrozumieć poszczególne kroki, ale nie bardzo chciały się one układać w przejrzystą całość. Poszukiwano więc dowodu prostszego, nie korzystającego z tak zaawansowanych metod. i dopiero w 1948 roku Atle Selberg i Paul Erdös zaproponowali elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych. Niestety, "elementarny" w tym przypadku nie znaczy "prosty". Co prawda, wszystkie poszczególne kroki dowodu są elementarne, ale jest ich tak dużo, i to powiązanych ze sobą w tak zadziwiająco skomplikowany sposób, że nie widać jasno całości. Być może taka jest natura twierdzenia, iż nie da się go przejrzyście udowodnić.

Nasuwa się pytanie: po co to wszystko? Czy te wszystkie twierdzenia i hipotezy mogą się do czegoś konkretnego przydać? Co z tego, że być może kiedyś będziemy wiedzieli, ile jest par liczb bliźniaczych i poznamy dokładny rozkład liczb pierwszych? Nie wydaje się, by rozwiązanie takiego czy innego problemu natychmiast przysporzyło nam dochodu narodowego lub znalazło zastosowanie na przykład w konstrukcjach lotniczych. Rozstrzygnięcia hipotez matematycznych nie mają jednak jednoznacznego przełożenia na gotówkę. w tej nauce w badaniach często decydującą rolę odgrywa nieprzeparta chęć poznania, ta sama, która kazała człowiekowi zdobywać bieguny, najwyższe szczyty górskie i lecieć w kosmos.

o teorii liczb mówiło się czasem, że jest najczystszą z czystych dziedzin matematycznych; o ile inne działy wyrosły z bardziej lub mniej bezpośrednich zastosowań, o tyle teorię liczb można by uważać za "sztukę dla sztuki". Tym niemniej... Na przykład uporczywe próby pokonania Wielkiego Twierdzenia Fermata, które jako problem matematyczny jest jedynie ciekawostką (gdyż od dawna było wiadomo, że rozwiązanie tego konkretnego równania nie ma znaczenia praktycznego ani nie pomoże w rozwiązywaniu podobnych równań), przyczyniły się istotnie do ogromnego rozwoju wielu dziedzin matematyki i rozwinięcia technik bardzo przydatnych w rozmaitych sytuacjach. Podobnie ataki na twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych spowodowały rozwój metod niezwykle użytecznych w teorii funkcji zmiennych zespolonych, prowadzących nawet do praktycznych zastosowań. Poszukiwanie wielkich liczb pierwszych też wydawało się tylko zabawą. Tymczasem duże liczby pierwsze niespodziewanie znalazły zastosowanie w teorii kodowania informacji przy konstrukcji tak zwanych szyfrów z kluczem publicznym. Otóż można zaszyfrować informację, podać sposób i klucz szyfrowania, a mimo to tekst odczyta tylko osoba, dla której był on przeznaczony - dzięki temu, że wie, których liczb pierwszych użyto, przy czym liczby te muszą być odpowiednio duże. z tego też powodu odnajdywane olbrzymie liczby pierwsze nie są podawane do publicznej wiadomości (z wyjątkiem największej aktualnie znanej). Niezwykle cenne okazały się nagle szybkie algorytmy rozkładu danej liczby na czynniki pierwsze.

Matematyka jest dziedziną wiedzy, w której trudno natychmiast przewidzieć praktyczne zastosowania wyników. Jest to cecha bardzo niedobra z punktu widzenia urzędników zarządzających nauką. Oni chcieliby wiedzieć na pewno, ile ważnych hipotez zostanie rozwiązanych w danym roku i jaki będzie z nich pożytek. Nieprzewidywalność i trudności z planowaniem decydują też o pięknie matematyki; czy byłaby taka pociągająca, gdyby wszystko można było zaplanować? Jest coś niezwykłego w tym, że pewne twierdzenia, czy nawet całe teorie przez lata istnieją nie zauważone, by nagle zabłysnąć jak diamenty...

On twierdzi, że 2⁷⁵⁶⁸³⁹-1 jest ostatnią liczbą pierwszą, więcej jego pamięć nie mieści.

JAK WPISAĆ KROWĘ W KWADRAT,
czyli konsekwencje własności Darboux

Istnieje kilka kluczowych pojęć, bez których trudno sobie w ogóle wyobrazić istnienie matematyki - takich jak liczba, zbiór, funkcja. Tego rodzaju pojęciem jest również ciągłość. Słowo to jest wszystkim świetnie znane, często używane w mowie potocznej. Mówimy, że jakiś proces przebiega w sposób ciągły, zjawisko zachowuje ciągłość, słyszy się o ciągłości pracy, ciągłości tradycji itp. Ciągłość to nieprzerwany związek między faktami lub zjawiskami. Podobne znaczenie ma ciągłość w matematyce.

Gdy mówimy o funkcji ciągłej, to natychmiast wyobrażamy sobie "nieporozrywaną" linię, narysowaną w układzie współrzędnych - tak uczono w szkole. Za pomocą funkcji możemy opisać różne zależności, rozmaite zjawiska; z reguły wyobrażamy sobie, że przebiegają one w sposób ciągły. Na przykład temperatura powietrza zależy w sposób ciągły od czasu, podobnie ciśnienie. Istnieją, rzecz jasna, sytuacje, gdzie zmiany następują (lub są opisywane) skokowo - ale uważa się je raczej za zjawiska osobliwe, rzadkie. Przykładem prostego zjawiska nieciągłego może być opis ładowania kondensatora. Ilość ładunku gromadzonego w kondensatorze jest funkcją czasu, ale wiadomo, że w rzeczywistości ładowanie następuje skokowo. To znaczy - przed rozpoczęciem ładowania ładunek w kondensatorze jest zerowy, a następnie, gdy rozpoczyna się ładowanie, kondensator jest już wypełniony ładunkiem; kondensator ładuje się momentalnie i nie można go już doładować. Funkcję opisującą to zjawisko pokazano na rysunku (jeśli umówimy się, że ładowanie rozpoczyna się w chwili zero). Nie jest ona ciągła właśnie w zerze; w literaturze fachowej spotyka się ją pod nazwą funkcji Heaviside'a.

Innym zjawiskiem, gdzie ciągłość się załamuje, jest przechodzenie elektronu z jednego poziomu energetycznego na inny w modelu Bohra. Gdy Ernest Rutherford przedstawił planetarny model atomu, zapanował powszechny zachwyt tym, że opis przyrody charakteryzuje się jednakowym zachowaniem w dużej i małej skali. Ale później okazało się, że model taki nie jest w stanie wytłumaczyć pewnych zaskakujących faktów doświadczalnych (np. prążków w widmach atomowych). Wtedy właśnie Niels Bohr zasugerował, że możliwe są przeskoki elektronu z orbity na orbitę. i nie były to przejścia tak regularne jak w przypadku komet, gdzie zawsze można wyznaczyć drogę i zmierzyć czas; elektron miał przemieścić się z jednego miejsca na inne momentalnie, bez stanów przejściowych. Trudno to było zaakceptować, gdyż trudno się było rozstać z sugestywnym modelem Rutherforda i pogodzić z takim załamaniem ciągłości. Niemniej okazało się, że model zaproponowany przez Bohra lepiej opisuje rzeczywistość.

Zjawiska, w których mamy do czynienia z załamaniem się ciągłości, traktowane są często jako wypadki, a nawet katastrofy. Gdy stalowa belka podpierająca strop wygina się, traktujemy jej zachowanie jako ciągłe. Gdy pęka i strop się zawala, opisy za pomocą ciągłości przestają być skuteczne. Podobnie z walącym się mostem lub budynkiem.

Oprócz funkcji liczbowych, z którymi najczęściej spotykamy się w szkole, rozważa się również przekształcenia innych obiektów niż liczby - na przykład figur geometrycznych. i tu też można mówić o ciągłości, choć w szkole raczej się tego tematu nie porusza. Na przykład niektóre ze świetnie znanych nam odwzorowań, jak przesunięcia i obroty, przekształcają figury w sposób ciągły. Co to znaczy? Intuicyjnie chodzi o to, że figura płynnie zmienia położenie, nie ma mowy o skokach. Można też w sposób ciągły figurę deformować tak, jakby była wykonana z rozciągliwej błony gumowej - w sposób ciągły, to znaczy nie wolno niczego rozrywać. Można pewne fragmenty posklejać, można rozciągać, zgniatać - ale rozrywać nie wolno.

Ścisła, matematyczna definicja ciągłości wymaga dokładnego określenia pojęcia otoczenia punktu i jeszcze paru innych rzeczy. Nie będziemy się w to wgłębiać. Warto jednak wiedzieć coś więcej niż jedynie to, że ciągłość "nie zezwala na rozrywanie przekształcanego zbioru".

Gdy mówimy o jakiejkolwiek funkcji, musimy mieć określoną jej dziedzinę. Dziedzina - to zbiór elementów, którym funkcja przyporządkowuje wartości. Dziedziną funkcji sinus jest zbiór liczb rzeczywistych R, dziedziną funkcji danej przepisem

- zbiór liczb nieujemnych, dziedziną obrotów, o których uczymy się w szkole - płaszczyzna lub przestrzeń itp. Ciągłość definiowana jest w poszczególnych punktach dziedziny.

Intuicyjnie, ciągłość funkcji f w punkcie a oznacza, że gdy zbliżamy się - wędrując po punktach dziedziny - do a, to wartości w punktach, po których idziemy, dążą do wartości f(a). Gdy, na przykład, x zmierza do liczby 4, to
dąży do
4 = 2. Rzecz jasna, istnieją funkcje, które są w pewnych punktach ciągłe, w innych zaś nie. Na przykład funkcja Heaviside'a nie jest ciągła w 0, ale jest ciągła we wszystkich pozostałych liczbach rzeczywistych. Mówimy, że funkcja jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym punkcie swej dziedziny.

Oczywiście, w ten sposób można opisać ciągłość również w przypadku rozmaitych funkcji, których dziedzinami nie są zbiory liczbowe. Dziedziną może być płaszczyzna, przestrzeń, koło, kwadrat, sfera... Także wartości funkcji nie muszą być liczbami.

Powróćmy do funkcji liczbowych. Intuicja podpowiada nam, że funkcja ciągła o wartościach liczbowych, przyjmując jakieś dwie wartości, musi też przyjąć wszystkie wartości pośrednie - inaczej nastąpiłby skok; w pewnym momencie zmiana byłaby nieciągła, rozerwałby się wykres. Jest to dla nas fakt niemal oczywisty i nie wymagający dyskusji. Słupek rtęci w termometrze nie może przeskoczyć z 17 stopni na -15, nie przechodząc przez każde wskazanie pośrednie.

Często jednak, analizując sprawy z pozoru oczywiste, możemy się przekonać, że nie wszystko wygląda tak ładnie, jak by się mogło wydawać na pierwszy rzut oka. Na przykład, czy funkcja określona na dwóch rozłącznych przedziałach (chociażby stała) jest ciągła? Albo funkcja tangens. Jak jest z jej ciągłością? Co z przyjmowaniem wartości pośrednich?
Na pytanie, czy funkcja tangens jest ciągła, uczniowie (i nie tylko!) w większości odpowiadają - nie. Przecież warunek "jednokawałkowości" wykresu jednoznacznie wykazuje, że ta funkcja ciągła być nie może - wykres jest przerwany. w jakim więc punkcie funkcja tangens nie jest ciągła? Na przykład dla

.
Ale zaraz, zaraz - jak można mówić o ciągłości w punkcie, w którym funkcja nie jest określona?
Definiując jakąkolwiek funkcję, zaczynamy od podania jej dziedziny. Punkt, w którym chcemy badać "własność funkcji w punkcie" (taką jak ciągłość), musi należeć do dziedziny rozważanej funkcji! Inaczej na przykład nie byłaby ciągła funkcja dana wzorem

,
bo jest określona tylko dla x > 0. Więcej, żadna funkcja liczbowa nie byłaby ciągła - bo nie byłaby określona na przykład dla argumentu "kapitan Hans Kloss". No bo ile to jest, na przykład, kapitan Kloss do czwartej potęgi lub sinus z kapitana Klossa? Jeśli więc postawimy formalnie definicję (a bez tego nie można dowodzić własności matematycznych), to okaże się, że funkcja tangens jest ciągła - bo jest ciągła w każdym punkcie swojej dziedziny. Ale gdy będziemy rozważać taką funkcję w jej dziedzinie, czyli rozłącznej sumie przedziałów, wtedy własność przyjmowania wartości pośrednich zachodzić nie będzie. Wystarczy przyjrzeć się rysunkowi.

Jeżeli jednak ograniczymy nasze rozważania do funkcji ciągłych określonych na przedziale lub, ogólniej, na zbiorze "w jednym kawałku" (matematycznie: na zbiorze spójnym), wtedy wszystko jest już w porządku - oczywiście, jeżeli wartościami są liczby rzeczywiste.

Własność przyjmowania wartości pośrednich często nazywana jest własnością Darboux, a twierdzenie mówiące, że funkcja ciągła, określona na zbiorze spójnym (przedziale), przyjmuje wartości pośrednie - twierdzeniem Darboux.

Mogłoby się wydawać, że jeśli jakąś własność opatrzono nazwiskiem, to powinno to być nazwisko odkrywcy. Tu rzecz się ma inaczej (i nie jest to wcale jedyny taki przypadek).

Fakt przyjmowania wartości pośrednich przez funkcję ciągłą określoną na przedziale został udowodniony przez Bernharda Bolzano w pracy opublikowanej w roku 1817 (niektórzy mówią dziś: twierdzenie Bolzano-Darboux). Bolzano całe życie spędził w Pradze, wykładał na tamtejszym uniwersytecie; był synem Włocha, wielu historyków uznaje go dziś za Czecha, inni sugerują, by nazywać go Austriakiem. Bolzano wprowadził sporo nowych pojęć matematycznych i sformułował wiele twierdzeń, później odkrytych na nowo przez wybitnych matematyków - pracował jednak z dala od ówczesnych głównych ośrodków matematycznych i nie był zbyt dobrze znany sobie współczesnym.

A Jean Gaston Darboux? Wykazał on (pod koniec XIX wieku), że jeśli funkcja jest określona w przedziale i w każdym punkcie ma pochodną, to funkcja pochodna funkcji f (czyli funkcja f'), która punktowi x przyporządkowuje pochodną w tym punkcie, ma własność przyjmowania wartości pośrednich. Dziś mówimy: pochodna ma własność Darboux. Twierdzenie to jest o tyle istotne, że istnieją funkcje mające pochodną, ale takie, że ich funkcja pochodna wcale nie jest ciągła. Oznacza to, że własność Darboux mogą mieć nie tylko funkcje ciągłe. Jest to może zaskakujące, gdyż trudno na pierwszy rzut oka znaleźć funkcję nieciągłą spełniającą własność Darboux. Dodajmy jeszcze, że Darboux wcale nie rościł sobie pretensji do autorstwa twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich przez funkcje ciągłe; w pracy, w której wykazał przyjmowanie wartości pośrednich przez funkcję pochodną, pisał o tym twierdzeniu jako o rzeczy powszechnie znanej.

Co z tym wszystkim ma wspólnego wymienione w tytule wpisywanie krowy w kwadrat? Przecież to zadanie wydaje się absurdalne. Pojawia się też inne pytanie: co to znaczy "wpisać krowę" albo inną figurę - bo oczywiście nie chodzi tu o żywą krowę, lecz o jej rysunek - w kwadrat.

Można przyjąć, że figura jest wpisana na przykład w prostokąt, gdy dotyka każdego boku prostokąta (niekoniecznie tylko raz), ale jedynie od wewnętrznej strony prostokąta. Na przykład okrąg można wpisać w kwadrat, ale nie można go wpisać w żaden prostokąt nie będący kwadratem. Dla rysunku krowy zawsze znajdziemy jakiś prostokąt, w który uda nam się ów rysunek wpisać. Nie jest to trudne: wystarczy narysować dowolną linię prostą rozłączną z rysunkiem, a następnie przesuwać ją równolegle aż do zetknięcia z rysunkiem. Potem należy postąpić podobnie, rysując prostą z drugiej strony i - wykorzystując tę samą procedurę - narysować dwie proste prostopadłe.

A co z kwadratem?
i tu z pomocą przychodzi właśnie twierdzenie Darboux, tylko należy je odpowiednio zastosować. Najpierw potrzebna jest funkcja ciągła. Przyglądając się ostatniej konstrukcji, widzimy, że zadając prostą-kierunek, mamy zdeterminowany prostokąt; gdy zmienimy prostą, dostaniemy inny prostokąt. Określamy teraz przyporządkowanie: ustalamy pewien kierunek, jemu przypisujemy odpowiedni prostokąt opisany na figurze, a dalej prostokątowi różnicę pomiędzy długościami jego boków sąsiednich (na przykład dłuższy minus krótszy) w ustalonym porządku. Jeśli teraz zaczniemy zmieniać kierunek, to będzie się też zmieniał kształt prostokąta. z kierunkiem możemy związać kąt nachylenia tego kierunku do ustalonej prostej. Ostatecznie przyporządkowanie wygląda tak: kątowi przypisujemy liczbę przedstawiającą różnicę długości boków odpowiedniego prostokąta. Jeżeli w sposób ciągły będzie zmieniany kąt, to w sposób ciągły będzie się też zmieniała przypisywana mu liczba. Łatwo można zauważyć, że po obrocie o 90° boki zamienią się rolami; ten, który pierwotnie był dłuższy, stanie się krótszy od tego drugiego - badana różnica okaże się wtedy ujemna. Jeśli poprzednio była dodatnia, to na podstawie własności Darboux musiała gdzieś przyjąć wartość zero. Oznacza to, że w tym (istniejącym na mocy twierdzenia) położeniu sąsiednie boki są równe, czyli mamy do czynienia z kwadratem.

Jak znaleźć taki kierunek? Niestety, tego twierdzenie już nie mówi; ono jedynie informuje nas o jego istnieniu. Jest to klasyczny przykład twierdzenia nazywanego egzystencjalnym, czyli stwierdzającego istnienie czegoś, lecz nie dającego przepisu na jego znalezienie. Czy to się może do czegokolwiek przydać, poza spektakularnym twierdzeniem o krowie?

w matematyce często mamy do czynienia z sytuacją, że już stwierdzenie istnienia pewnego obiektu jest bardzo ważne dla późniejszych badań. z przedstawionego rozumowania wynika, że twierdzenie o krowie dotyczy dowolnej ograniczonej figury na płaszczyźnie. Figury mogą być rozmaite; trudno w ogóle myśleć o jakimś uniwersalnym przepisie. Bez twierdzeń egzystencjalnych niełatwo sobie wyobrazić matematykę, choć są tacy, którzy chcą liczbę takich niekonstruktywnych przypadków ograniczyć do minimum.

Wróćmy jednak do twierdzenia Darboux. Ma ono liczne zastosowania; na przykład w wielu przypadkach pozwala stwierdzić, że jakieś równanie ma pierwiastek (choć znaleźć tego pierwiastka nie potrafimy). Modelowym przykładem jest równanie trzeciego - lub, ogólniej, nieparzystego - stopnia. Odpowiadający temu równaniu wielomian musi przyjąć zarówno jakąś wartość dodatnią, jak i ujemną (dlaczego?); w związku z tym musi przyjąć wartość zerową. a rozwiązywanie równań i informacje o nich są niezwykle ważne, i to nie tylko w matematyce. Oczywiście życie zmusza nas do analizowania znacznie trudniejszych równań niż trzeciego stopnia, a nawet niż równania algebraiczne (czyli takie, w których do zera przyrównujemy wielomian). Choć równania często rozwiązać nie potrafimy, twierdzenie Darboux pomaga nie tylko stwierdzić, że rozwiązanie istnieje, ale nawet znaleźć przybliżoną wartość pierwiastka. Jak? To proste; przypuśćmy, że pewna funkcja w zerze osiąga wartość dodatnią, w jedynce zaś ujemną. Ma zatem pierwiastek w przedziale (0,1). Teraz zbadajmy wartość funkcji dla argumentu równego 1/2 . Jeśli będzie ona dodatnia, to równanie ma pierwiastek w przedziale (1/2 ,1) (ponownie na mocy własności Darboux); jeśli ujemna - to w przedziale (0,1/2). i tak dalej. Dość szybko dojdziemy do liczby bardzo bliskiej pierwiastka równania...

Twierdzenie Darboux przydaje się w wielu sytuacjach, a jego zastosowanie nie ogranicza się do krowy wpisanej w kwadrat. Bardzo często jest wykorzystywane w rozmaitych dowodach matematycznych. "Krowa wpisana w kwadrat" nie jest też jedynym jego oryginalnym poglądowym następstwem (i nie chodzi tylko o inne odmiany problemu, na przykład pytanie o kwadrat wpisany w krowę - choć to jest trochę trudniejsze). Istnieje cała seria "gastronomicznych" konsekwencji twierdzenia Darboux. Oto przykłady.

Na talerzu leżą dwa naleśniki; czy można jednym cięciem podzielić je na równe części? z twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich wynika, że tak. Ten sam fakt matematyczny ilustruje całkowicie odmienną sytuację - jezioro z wyspą albo pole z obszarem leśnym wewnątrz mogą być podzielone linią prostą na równe co do powierzchni części, na pół zostanie podzielone zarówno jezioro (pole), jak i wyspa (las). Dowolną kanapkę z masłem i szynką można tak przekroić, żeby każdy kawałek składał się z takiej samej ilości masła, chleba i szynki; ten fakt często nazywa się "twierdzeniem o kanapce" i też jest, oczywiście, wizualną wersją odpowiedniego problemu matematycznego. Twierdzenie o kanapce nie jest jednak prostym wnioskiem z twierdzenia Darboux, ma zaawansowany i niebanalny dowód. Przy okazji można się zastanowić nad urealnieniem problemu z krową. Prawdziwej krowy wpisać w kwadrat się nie da, bo kwadrat jest płaski, a krowa nie. w praktyce można zapytać o wpisanie krowy w sześcian. Czy to możliwe?

Ich to wpisują w pięciokąty foremne, a nas tylko w kwadraty.

CZY KOSTKA JEST LINIĄ,
czyli krzywe wypełniające kwadrat

Jak już wiemy, o pojęciu ciągłości można mówić w bardziej ogólnym kontekście niż tylko w przypadku funkcji prowadzących ze zbioru liczb rzeczywistych (czy z przedziału) w zbiór liczb rzeczywistych. w tym rozdziale poświęcimy trochę więcej miejsca funkcjom, które odwzorowują liczby na punkty płaszczyzny.


Funkcję ciągłą z przedziału w płaszczyznę można interpretować jako sposób lub przepis rysowania linii. Przyjmijmy, że dziedziną funkcji jest przedział [0,1]. Każdą liczbę z tego przedziału możemy utożsamić z odpowiednią chwilą - na przykład z położeniem wskazówki na idealnie dokładnym zegarku. Nasz przedział ma początek w punkcie 0 - punkt odpowiadający zeru zaznaczamy kropką, przykładając do kartki ołówek. i gdy czas płynie, my rysujemy linię na papierze - każdej chwili odpowiada punkt, w którym w danym momencie znajduje się koniec ołówka. Gdy dojdziemy do czasu 1, kończymy rysowanie. Ciągłość naszej funkcji polega na tym, że nie odrywamy ołówka od papieru. w pismach dla dzieci pojawiają się czasem zadania treści: "nie odrywając ołówka narysuj..." i do tego są dołączone rysunki jakichś krzywych. Mówiąc uczonym językiem, zadania polegają na wymyśleniu odpowiedniej funkcji, przeprowadzającej przedział w płaszczyznę. Warto zauważyć, że zazwyczaj w takich łamigłówkach zdarza się kilkakrotne przechodzenie przez ten sam punkt - nie żądamy, by wartości funkcji nie mogły się powtarzać. Przy "ciągłym" rysowaniu może się też zdarzyć, że przez dłuższą chwilę stoimy w miejscu albo wracamy "po śladach".

Rozważmy bardzo prosty przykład. Wyobraźmy sobie, że na płaszczyźnie (z narysowanym układem współrzędnych) rysujemy odcinek. Odcinek leży na osi OX; początek ma w punkcie 1, koniec zaś w punkcie 2. Łatwo sobie wyobrazić, jak go rysujemy. Więcej: bez trudu potrafimy to opisać wzorem! Pamiętamy, że punkty płaszczyzny z wprowadzonym układem współrzędnych możemy utożsamiać z parami liczb. Zatem początek naszego odcinka to (1,0), a koniec to (2,0) - druga współrzędna każdego punktu tego odcinka to 0, gdyż leży on na osi OX. Nie nastręcza trudności podanie wzoru: wartością w punkcie t z przedziału [0,1] jest para (t+1,0).

A teraz narysujmy inną linię, też dobrze znaną - fragment okręgu na płaszczyźnie. Zacznijmy w punkcie o współrzędnych (1,0) i rysujmy okrąg o środku w punkcie (0,0) i promieniu 1, kierując się do góry. Narysujmy jednak tylko kawałek okręgu. Funkcja dana jest wzorem f(t) = (cost, sint); łatwo sprawdzić - za pomocą świetnie znanego wzoru, zwanego "jedynką trygonometryczną" - że wartości tej funkcji istotnie należą do badanego okręgu. Gdyby dziedziną funkcji opisanej tym wzorem był przedział [0,2
], to narysowalibyśmy cały okrąg, gdy funkcję definiujemy tylko dla t z przedziału [0,1], to nie wyprowadzimy naszej linii poza pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych.

Te linie, które do tej pory narysowaliśmy, były stosunkowo "krótkie". Nie należy jednak sądzić, że równie krótkie muszą być zawsze, nawet gdy określamy je tylko dla liczb z przedziału [0,1] - wystarczy rysować "szybciej". i to się udaje ująć we wzór; jeżeli na przykład chcemy utworzyć cały okrąg, mając do dyspozycji jedynie t z przedziału [0,1], to odpowiednią funkcją będzie f(t) = (cos2
t, sin2
t) - łatwo zauważyć, że dla t równego 1 wrócimy do punktu wyjścia. Linie mogą się zachowywać w różny sposób, być określone rozmaitymi wzorami, punkty osiągane przez funkcję mogą się powtarzać. Za pomocą takiego rysowania można otrzymać ładne obrazki, różne krzywe mają interesujące zastosowania. Wiele z nich odkryli matematycy w ubiegłych wiekach.

w matematyce intuicja musi być sformalizowana; zdefiniowano i krzywą. Określenie, zaproponowane w drugiej połowie XIX wieku przez Francuza Camille Jordana, jest najzupełniej naturalne. Krzywą nazwał on obraz ciągły odcinka - czyli właśnie to, co możemy narysować ołówkiem bez odrywania go od papieru. Oczywiście, mówiąc o krzywych, najczęściej wyobrażamy je sobie na płaszczyźnie, ale można też rozważać funkcje prowadzące w przestrzeń trójwymiarową, w sferę, w rozmaite powierzchnie itp.

Odcinki, które przyjmujemy jako dziedzinę naszych krzywych, mają początek i koniec - zatem w pewnym punkcie startujemy i w pewnym punkcie kończymy rysowanie. Ważne jest jeszcze jedno: zwróćmy uwagę na to, że rozważane przez nas linie są "nieskończenie cienkie" - mają "zerową grubość". w praktyce jest oczywiście inaczej - nawet idealnie zaostrzony ołówek, rysujący cieniutką kreskę, nie da nam idealnej linii. Wystarczy popatrzyć na rysunek przez szkło powiększające, by stwierdzić, że narysowana linia ma jakąś grubość. Idealnej linii nie zobaczymy nigdy, ale to nie przeszkadza w rozważaniach teoretycznych - wystarczy pamiętać o zerowej grubości.

Posługując się definicją linii krzywej jako śladu poruszającego się punktu, możemy sobie wyobrazić przeróżne kształty, które są liniami. Wydawałoby się jednak, że - mimo możliwej różnorodności uzyskiwanych wyników - pewne ograniczenia są oczywiste. Na przykład, absurdalnie brzmi hipoteza, że kwadrat też można otrzymać jako ślad poruszającego się punktu, czyli że kwadrat jest linią. Rzecz jasna, nie chodzi tu o brzeg, lecz o figurę płaską. No właśnie. Kwadrat jest figurą płaską i ma dodatnie pole, a linia nie ma grubości, więc coś takiego wydaje się niemożliwe. w praktyce można sobie wyobrazić, że mażąc ołówkiem, zamażemy powierzchnię kwadratu, ale to wynika z niedoskonałości narzędzia. Trudno, żeby coś, co nie ma grubości, mogło mieć pole dodatnie. Tymczasem...

Okazało się, że definicja zgodna z naturalną intuicją może prowadzić do rezultatów zupełnie z tą samą intuicją niezgodnych. Otóż w roku 1890 Włoch Giuseppe Peano udowodnił, że jako ciągły obraz odcinka można otrzymać kwadrat (pełny). Mówiąc obrazowo, jest możliwe takie narysowanie linii, że rysując ją idealnie naostrzonym ołówkiem (nieskończenie cienką kreską) w skończonym czasie, nie odrywając ołówka od papieru, przeprowadzimy tę linię przez każdy punkt kwadratu. Niewiarygodne, ale prawdziwe.

Można się domyślać, że krzywa o tak oryginalnej własności nie mogła być dana prostym wzorem. i rzeczywiście, nie jest ona określona tak jak najbardziej znane, typowe funkcje, lecz mozolnie i starannie konstruowana. Idea konstrukcji Peano nie była zbyt trudna, ale wymagała dokładnego sprawdzenia wielu szczegółów i wykorzystania pewnych twierdzeń. Główna myśl polegała na tym, że krzywa jest konstruowana jako graniczny efekt pewnego ciągu krzywych, odpowiednio ją przybliżających. Dzielimy kwadrat na dziewięć mniejszych kwadratów i prowadzimy krzywą po ich przekątnych. Następnie każdy kwadrat dzielimy na dziewięć mniejszych i w każdym z nich naszą linię (poprzednio biegnącą po przekątnej) odpowiednio modyfikujemy. i tak dalej.

Taka metoda wymaga jednak ogromnej staranności i dokładnego sprawdzenia. Trzeba dobrze zdawać sobie sprawę z tego, jakie wnioski wolno wyciągać przy przejściu granicznym, a jakich nie. Zbyt pochopne wnioskowanie może prowadzić do wielu fałszywych wniosków - na tym, na przykład, opiera się jeden ze znanych "dowodów" tego, że 1 = 2. Trzeba więc konstrukcję przeprowadzać umiejętnie i starannie. Dalej, gdy już mamy oczekiwany efekt końcowy, należy upewnić się, że krzywa jest taka, jak chcemy - czyli jest obrazem ciągłym przedziału - oraz że istotnie przechodzi przez każdy punkt kwadratu. To wszystko nie jest banalne ani krótkie, ale "do zrobienia". Najtrudniej chyba było uwierzyć, że taka konstrukcja jest możliwa.

Matematyczna działalność Peano (1858-1932) była związana z Turynem. Na tamtejszym uniwersytecie studiował i później pracował przez całe życie. Profesorem został w roku 1890, czyli w tym samym, w którym dokonał odkrycia słynnej krzywej. Wspomina się o nim w wielu dziedzinach matematyki - w analizie matematycznej, w równaniach różniczkowych (jedno z najbardziej podstawowych twierdzeń o istnieniu rozwiązań równań nosi jego imię), w arytmetyce teoretycznej (mówimy o aksjomatyce Peano liczb naturalnych).

Wynik Peano był co najmniej zaskakujący. Jednakże dwanaście lat wcześniej matematycy przeżyli większy wstrząs. w roku 1878 Georg Cantor udowodnił, że istnieje funkcja przeprowadzająca przedział w kwadrat w ten sposób, że każdy punkt kwadratu jest obrazem pewnego punktu przedziału, i to dokładnie jednego. Inaczej - punkty kwadratu i odcinka możemy połączyć w pary. Zachwiało to utartymi poglądami i wręcz zaszokowało wielu uczonych. z wynikami Cantora związanymi z nieskończonością jeszcze się tu spotkamy.

Funkcja podana przez Cantora nie była ciągła. Rok później Niemiec Eugen Netto udowodnił, że funkcja tego właśnie typu, czyli przyporządkowująca wzajemnie jednoznacznie punktom odcinka punkty kwadratu, ciągła być nie może. Twierdzenie to jednak nie dotyczyło funkcji, w których wartości mogą się powtarzać; wskazywało jedynie, że łączenie w pary punktów odcinka i kwadratu nie może się odbywać w zbyt porządny sposób. Wyjaśnienia wymagało jeszcze pytanie o ciągłe - ale z możliwością powtórzeń - przekształcenie odcinka w kwadrat. Sądzono raczej, że i to okaże się niemożliwe. Peano obalił jednak te przypuszczenia.

Wynik Peano dał podstawę do dalszych badań w tym kierunku. Wkrótce podano kolejne konstrukcje krzywych wypełniających kwadrat. Skonstruowali je między innymi: David Hilbert (1891), Eliakim Hastings Moore (1900), Henri Lebesgue (1904), Wacław Sierpiński (1912) i George Pólya (1913). Wszystkie te nazwiska są dziś znakomicie znane w świecie matematycznym.

Warto tu wspomnieć o bardzo interesującym przykładzie twórczości artystyczno-matematycznej. w roku 1994 Amerykanin Fritz Lott, informatyk, sympatyk Polski i miłośnik matematyki, zaprojektował plakat Wacław Sierpiński and his
space-filling curve. Sierpiński (1882-1969) był jednym z najwybitniejszych polskich matematyków. Jego główne rezultaty dotyczyły teorii liczb oraz dwóch dziedzin, o których będziemy tu jeszcze mówić: teorii mnogości i topologii. Napisał około 700 (!) artykułów matematycznych i książek. Wykształcił wielu uczonych, później światowej sławy matematyków.

Patrząc z bliska na plakat, widzimy jedno z przybliżeń krzywej wypełniającej kwadrat, skonstruowanej przez Sierpińskiego, w niektórych miejscach pogrubionej. Pogrubienia są dobrane w ten sposób, że patrząc z daleka widzimy twarz Sierpińskiego. Kilkaset plakatów Lott wydrukował sam, kolejne wykonano w Polsce na zlecenie Polskiego Towarzystwa Matematycznego, któremu Lott ofiarował prawa autorskie. Plakaty te sprzedaje się do dziś; rysunek wykonany przez Lotta przedstawiony jest poniżej, z tym że na plakacie autor użył dalszego przybliżenia krzywej i dzięki temu uzyskał znacznie ładniejszy efekt. w przypadku tej reprodukcji umieszczonej na następnej stronie, należy po pionowym ustawieniu książki odejść od niej na odległość około dwóch i pół metra. Wtedy poszczególne linie tworzące rysunek już nie są widoczne.

Badania zainspirowane przez Peano nie sprowadzały się jedynie do konstruowania nowych przykładów krzywych wypełniających kwadrat. Bez trudu można było przeprowadzić analogiczną konstrukcję krzywej wypełniającej sześcian. Badano także własności takich krzywych; zaznaczyliśmy już, że musiały istnieć punkty, przez które krzywa przechodziła więcej niż raz - nazywano je wielokrotnymi. w roku 1913 Stefan Mazurkiewicz i Austriak Hans Hahn udowodnili (niezależnie), że jakakolwiek krzywa wypełniająca domknięty "obszar płaski" (np. kwadrat) musi mieć punkty trzykrotne, czyli takie, przez które linia przechodzi dokładnie trzy razy. Natomiast przykład, który podał Pólya, miał tę własność, że żaden punkt nie miał krotności większej niż 3. Warto zaznaczyć, że swą pracę Pólya opublikował w Biuletynie Akademii Umiejętności w Krakowie. Przykład krzywej o tej własności podał też Hahn. z kolei w krzywej skonstruowanej przez Hilberta żaden punkt nie ma krotności wyższej niż 4. w krzywej Hilberta występują zresztą punkty o wszystkich krotnościach mniejszych niż 5. Na marginesie - Hilbert w swojej pracy napisał, że występują tam tylko punkty o krotności 1, 2 i 4 (co, jak teraz wiadomo na podstawie wyników Mazurkiewicza i Hahna, nie mogło być prawdą), a Hahn, pisząc w roku 1913 o krzywej Hilberta, zaznaczył (błędnie), że krzywa nie ma punktów o krotnościach wyższych niż 3.

Krzywa ciągła mogła więc wypełnić kwadrat, ale musiała mieć wówczas punkty wielokrotne. Można było jeszcze zapytać o krzywe ciągłe posiadające wyłącznie punkty jednokrotne, czyli nie powtarzające swoich wartości. Takie linie, powstałe w efekcie wyginania odcinków (przy zakazie sklejania), istotnie są znacznie bardziej "przyzwoite" niż te z powtarzającymi się punktami. Ale i tu czekają nas niespodzianki: w 1903 roku William Osgood podał przykład odpowiednio powyginanego odcinka o dodatnim polu.

Okazało się, że istnienie takich niestandardowych krzywych jest znakomitą inspiracją dla dalszych badań. Przede wszystkim zaczęto się zastanawiać, czy definicja krzywej jako ciągłego obrazu odcinka jest dobra, skoro prowadzi do tak zadziwiających przykładów. Poszukiwano zatem innych, konkurencyjnych (choć może mniej zgodnych z intuicją) określeń, takich, które eliminowałyby krzywe mające pole dodatnie. Jedno z nich przedstawił Georg Cantor. Nie było ono już tak intuicyjne jak definicja Jordana, ale radziło sobie z "grubością" krzywej. Cantor żądał między innymi, żeby w dowolnie małym otoczeniu każdego punktu krzywej były również punkty do krzywej nie należące. Koło, kwadrat i inne figury o dodatnim polu tego warunku nie spełniają. Może więc definicja Cantora jest lepsza? Trudno to jednak jednoznacznie stwierdzić. Krzywe Cantora mają bowiem pewne wady. w szczególności, istnieją takie krzywe Cantora, które nie są śladem poruszającego się punktu, czyli nie są krzywymi Jordana. Każda z tych definicji dopuszcza przypadki nie objęte przez drugą.

Krzywą w sensie Cantora jest na przykład wykres funkcji sin 1/x wraz z fragmentem osi rzędnych (od -1 do 1). Nie spełnia on natomiast definicji podanej przez Jordana: nie da się przejść z sinusoidy na pionowy odcinek bez odrywania ołówka.

Dużą rolę w badaniach nad tymi problemami odegrali Polacy.

Pod koniec XIX wieku Polacy, którzy wcześniej nie mieli praktycznie żadnych osiągnięć światowej klasy w matematyce, zaczęli uzyskiwać liczące się wyniki, ale nadal matematyka nie była naszą narodową specjalnością. Do wniosku, że ten stan należy zmienić, doszedł na krótko przed i wojną światową młody wówczas Wacław Sierpiński. Pisał on: "Chociaż mieliśmy matematyków polskich znanych ze swych prac za granicą, nie było matematyki polskiej". Na zjeździe naukowym w 1911 roku, na którym spotkało się kilku spośród najbardziej znanych wówczas polskich matematyków, obecni rozmawiali "o wszystkim, tylko nie o matematyce" - zajmowali się skrajnie różną
tematyką. Do podobnych wniosków doszedł niezależnie Zygmunt Janiszewski i przedstawił je w słynnym memoriale o potrzebach matematyki w Polsce (1917).

Kilku młodych matematyków z Warszawy miało wspólne zainteresowania, związane z działem matematyki, który właśnie zaczął się prężnie rozwijać - topologią. Przedmiotem badań topologii są własności, które nie zmieniają się po przekształceniu badanej przestrzeni przez funkcję ciągłą. Dzięki tej koncentracji badań w pokrewnych kierunkach, a także wielkim zdolnościom i talentom Sierpińskiego i innych, wkrótce po wojnie Polska stała się potęgą matematyczną. Od końca wojny do 1925 roku tylko pięciu matematyków - Sierpiński, Janiszewski, Mazurkiewicz, Bronisław Knaster i Kazimierz Kuratowski - opublikowało ponad 100 prac naukowych dotyczących topologii. Obok warszawskiej szkoły matematycznej powstała (równolegle) szkoła lwowska - ale o niej w następnym rozdziale.

Nic dziwnego, że Polacy zajęli się także i tą działką topologii, która dotyczyła dziwnych krzywych. w roku 1913 Mazurkiewicz udowodnił, że jako obrazy przedziału przekształconego przez funkcję ciągłą można przedstawić zaskakująco dużo zbiorów - i to w znacznie bardziej ogólnych przestrzeniach niż płaszczyzna. Dokładnie, Mazurkiewicz pokazał, że krzywymi (według definicji Jordana) są wszystkie zwarte, spójne i lokalnie spójne zbiory. Mówiąc poglądowo, w przypadku płaszczyzny - zbiory zwarte to zbiory jednocześnie domknięte i ograniczone.

Domkniętość zbioru oznacza, że wszystkie punkty jego brzegu należą do niego (inaczej: zbiór a jest domknięty, jeżeli każdy punkt, do którego potrafimy "zbliżyć się", wędrując po punktach zbioru A, też należy do zbioru A). Zbiorami domkniętymi są na przykład (na płaszczyźnie): koło z brzegiem, okrąg, odcinek z końcami, prosta. Nie są nimi natomiast koło z wyrzuconym środkiem czy odcinek bez końców (można "dojść" do końca odcinka punktami z odcinka). Zbiory spójne, jak pamiętamy, to te, które "składają się z jednego kawałka". Lokalna spójność polega natomiast na wykluczeniu sytuacji, że zbiór badany w małym otoczeniu swojego punktu "rozpada się na kawałki", i nie naprawimy tego przez zmniejszanie otoczenia (patrz rysunek na następnej stronie). Ten sam wynik, co Mazurkiewicz, uzyskał - też w roku 1913 - Hahn. Inny, również bardzo ciekawy opis ciągłych obrazów przedziałów podał w 1920 roku Sierpiński, który specjalizował się w studiowaniu obiektów spełniających definicję zarówno Jordana, jak i Cantora. Polacy uzyskali szczególnie dużo wyników pozwalających lepiej zrozumieć własności ogólnego pojęcia krzywej.

Pewnego razu do Warszawy przyjechał matematyk amerykański. Miał on na uniwersytecie wykład i często wspominał o "twierdzeniach, które udowodnił Mezurkik". w pewnym momencie Mazurkiewicz, który siedział na sali, rzekł zdumiony: "On mówi o moich rezultatach!" Przez dłuższy czas nie domyślał się (podobnie jak wielu innych), kogo prelegent miał na myśli.

Warto wspomnieć jeszcze o jednym polskim wyniku dotyczącym krzywych wypełniających kwadrat i związanych z nim wydarzeniach - twierdzeniu wykazanym w roku 1936 przez matematyka ze Lwowa: Hugona Steinhausa.

Steinhaus (1887-1972) był postacią wyjątkową. Na wielki podziw zasługuje jego niezwykła wszechstronność; uzyskiwał znaczące wyniki w wielu różnych działach matematyki. Ponadto duża część jego dorobku naukowego wiąże się z praktycznymi, nieraz zaskakującymi zastosowaniami matematyki w rozmaitych dziedzinach. Był też wspaniałym popularyzatorem: jego książkę Kalejdoskop matematyczny (pierwsze wydanie w 1938 roku) przetłumaczono na wiele języków. Ciekawe, że w Polsce w latach 1957-1990 ani razu jej nie wznowiono! Steinhaus był przy tym człowiekiem o niezwykle szerokiej wiedzy ogólnej. Do dziś sławne są jego aforyzmy, uwagi i myśli. Przytoczmy kilka:

Kula u nogi - Ziemia.

Taki, co stale przegrywa w szachy - matołek.

Kobieta proponująca wspólną kąpiel - uwodzicielka.

Ograniczanie turystyki do Tatr Polskich - reglamentacja.

Łatwo usunąć Boga z jego miejsca we wszechświecie. Ale takie dobre posady niedługo wakują.

Zmiana nazwiska jest rozbrajająco naiwnym pomysłem. Jeżeli nazwisko coś znaczy, nie można go zmieniać, jeżeli nic nie znaczy, nie trzeba.

Strip-and-tease powinien być absolutnie zakazany - jest to jedyny sposób utrzymania tego pięknego i pożytecznego zwyczaju.

Steinhaus był przy tym znanym bojownikiem o czystość polskiego języka. Wspomniany tu już znakomity matematyk Bronisław Knaster nalegał na odmianę swojego nazwiska przy użyciu formy "Knastera". Podobno Steinhaus mawiał: "Niedaleko mnie mieszka Knaster. Ja mam ogródek i Knaster ma ogródek. U mnie w ogródku rosną astry, a u niego astery". Knaster miał replikować: "Prezydent Egiptu nazywa się Naser i wszyscy mówią: Nasera".

Jeden z rezultatów Steinhausa dotyczył krzywych wypełniających przestrzeń. Otóż Steinhaus pokazał, że - mówiąc obrazowo - takie krzywe w przestrzeniach wyżej wymiarowych (nawet nieskończenie wymiarowych) mogą być generowane przez analogiczne krzywe w przestrzeniach o niższym wymiarze, nawet przez krzywe wypełniające kwadrat. Odkrycie to było ważne i zaskakujące. Zostało jednak opublikowane niedługo przed wybuchem wojny, w "Comptes Rendus" Paryskiej Akademii Nauk (i to w tomie liczącym aż 2331 stron) - i umknęło uwagi świata matematycznego. Czterdzieści lat później ten sam wynik odkryto na nowo. Liczni matematycy pisali prace przedstawiające rozmaite warianty twierdzenia Steinhausa oraz wnioski z niego i publikowali je w czołowych pismach matematycznych świata - nie zdając sobie sprawy z tego, że Steinhaus zrobił to wcześniej.

Przykład Peano oraz wiele konstrukcji z nim związanych, między innymi rezultaty Polaków, pokazują, że często sformalizowanie najlepszej i oczywistej intuicji może prowadzić do zaskakujących efektów - to co wydaje się dobrze znane, nagle
zachowuje się dziwacznie. Jeden oryginalny, odpowiednio dobrany przykład może doprowadzić do rewizji poglądów na dany obiekt, a trafne uogólnienie może się stać podstawą burzliwego rozwoju całej teorii.

Nie będę płacił podatku gruntowego, przecież moje pole jest linią!

NAJLEPSZA Z MOŻLIWYCH,
czyli przestrzeń Banacha

Matematyka polska liczy się na świecie. Wielu Polaków zapisało się w historii matematyki, przede wszystkim XX wieku, "złotymi zgłoskami". Wśród "polskich" wyników wiele jest takich, o których dziś uczy się studentów, i to nie tylko na studiach matematycznych. a na szczególne podkreślenie zasługuje fakt, że praktycznie nie ma na świecie matematyka, który nie wiedziałby, co to są przestrzenie Banacha.

Przestrzenie Banacha to w matematyce pojęcie podstawowe i niesłychanie ważne. Zanim jednak opowiemy o nich więcej, poświęćmy trochę miejsca uczonemu, którego imię noszą, zwłaszcza że był postacią wyjątkową.

Stefan Banach urodził się w 1892 roku w Krakowie. Był dzieckiem nieślubnym, nosił nazwisko swojej matki, Katarzyny; ojciec nazywał się Stefan Greczek. Dzieciństwo spędził pod opieką właścicielki pralni; został do niej oddany na wychowanie zaraz po urodzeniu. Po zakończeniu edukacji szkolnej Banach uznał, że matematyka wprawdzie jest niezwykle ciekawa, ale też bardzo rozbudowana i wiele nowego w niej zapewne już się nie da zrobić; zdecydował więc poświęcić się studiom inżynierskim we Lwowie. Te studia jednak niezbyt Banachowi odpowiadały; zdecydowanie wolał on daleko idące uogólnienia niż problemy, z którymi tam się stykał. Ponadto musiał zarabiać na swoje utrzymanie korepetycjami; dopiero po czterech latach zdał tak zwany półdyplom (czyli zaliczył dwa lata studiów). Gdy wybuchła wojna, wrócił do Krakowa i zaczął sam wzbogacać swoją wiedzę matematyczną - bardzo dużo czytał, a ponadto sporadycznie uczęszczał na wykłady na Uniwersytecie Jagiellońskim. Do tego dochodziły dyskusje z kolegami, później znanymi matematykami: Witoldem Wilkoszem i Ottonem Nikodymem. Aż nastąpiło słynne spotkanie z Hugonem Steinhausem na Plantach w Krakowie...

w roku 1916 Steinhaus, wówczas już znany matematyk, podczas wieczornego spaceru usłyszał nagle słowa "całka Lebesgue'a". Dziś całka Lebesgue'a jest jednym z podstawowych pojęć matematyki wyższej, wtedy jednak była to rzecz zupełnie nowa, odkrycie ostatnich lat, znane w zasadzie wyłącznie specjalistom. Zaintrygowany Steinhaus podszedł do dwóch młodych ludzi dyskutujących o matematyce. Jednym z nich był właśnie Stefan Banach, drugim Otto Nikodym. Steinhaus włączył się do rozmowy i między innymi opowiedział o problemie, nad którym od dłuższego czasu pracował. Wielkie było jego zdziwienie, gdy kilka dni później Banach przyszedł z gotowym rozwiązaniem.

Steinhaus szybko się zorientował, że Banach ma ogromny talent matematyczny. Wkrótce dzięki wstawiennictwu Steinhausa Banach został asystentem na Politechnice Lwowskiej - mimo że nie miał ukończonych żadnych studiów wyższych. w roku 1920 uzyskał stopień doktora. Później Steinhaus, którego dokonania matematyczne były niebagatelne, często mawiał, że za swoje największe odkrycie w matematyce uważa odkrycie Stefana Banacha.

Andrzej Turowicz, ksiądz, benedyktyn i jednocześnie profesor matematyki, absolwent UJ, przed wojną wykładający na Politechnice Lwowskiej, opowiadał, że Banach nie tylko nie skończył studiów, ale i doktorem został w sposób dość niezwykły. Banach, gdy rozpoczął pracę we Lwowie, był już autorem wielu doniosłych rezultatów i wciąż uzyskiwał kolejne. Jednak na uwagi, że powinien wkrótce przedstawić pracę doktorską, odpowiadał, że ma jeszcze czas i może wymyślić coś lepszego, niż to, co osiągnął do tej pory. w końcu więc zwierzchnicy Banacha zniecierpliwili się - ktoś spisał najnowsze rezultaty Banacha, co zostało uznane za znakomitą pracę doktorską. Przepisy jednak wymagały również egzaminu. Pewnego dnia zaczepiono Banacha na korytarzu Uniwersytetu Jana Kazimierza: "Czy mógłby pan wpaść do dziekanatu, są tam jacyś ludzie, którzy mają pewne problemy matematyczne, a pan na pewno potrafi im wszystko wyjaśnić". Banach udał się zatem do wskazanego pokoju i chętnie odpowiedział na wszystkie pytania, nieświadom tego, że właśnie zdaje egzamin doktorski przed komisją specjalnie w tym celu przybyłą z Warszawy. Dziś prawdopodobnie doktoratu w ten sposób uzyskać nie można...

Wkrótce po doktoracie Banach został profesorem. Wraz z innymi znakomitymi polskimi matematykami osiągnął liczne znakomite rezultaty. Przede wszystkim dzięki wynikom uczonych ze Lwowa i Warszawy polska matematyka stała się potęgą światową.

Ci, którzy Banacha znali, twierdzili, że poza matematyką praktycznie nic nie miało dla niego większego znaczenia. Mówił i myślał o matematyce przez cały czas. Wciąż miał nowe pomysły, lecz zapisał tylko skromną część swych idei i wyników. Nie dlatego, że Banach nie chciał - po prostu było ich bardzo dużo, ponadto znacznie ciekawsze i ważniejsze było dlań badanie problemów niż zapisywanie tego, co zrobił. Mówiono, że stale powinno za nim chodzić trzech sekretarzy i notować wszystko, co mówił - może wtedy większość jego rezultatów przetrwałaby dla potomności.

Niebagatelną rolę w kształtowaniu atmosfery pracy matematyków we Lwowie miały spotkania w kawiarni "Szkockiej" niedaleko uniwersytetu, przy ulicy Akademickiej. Tam matematycy, z Banachem na czele, przesiadywali niezwykle często; jedli, pili i dyskutowali o matematyce - stawiali problemy, rozwiązywali je. Rozwiązania zapisywali na papierowych serwetkach i blatach marmurowych stolików - ale po zakończeniu tych długich sesji wszelkie notatki były pieczołowicie wycierane przez obsługę kawiarni. Niejedno twierdzenie w ten sposób zniknęło bezpowrotnie... w końcu żona Banacha kupiła specjalny zeszyt, w którym bywalcy kawiarni zapisywali stawiane tam problemy. Zeszyt ten, nazwany Księgą Szkocką, znajdował się stale w kawiarni i kelner przynosił go na każde żądanie matematyków.

Postawieniu problemu niejednokrotnie towarzyszyło fundowanie nagrody za jego rozwiązanie. Wśród nagród bywały osobliwe: między innymi Stanisław Mazur obiecał za rozwiązanie jednego z zagadnień, które postawił, ... żywą gęś. Działo się to w 1936 roku. Dopiero po 36 latach z zadaniem uporał się 28-letni wówczas Szwed, Per Enflö, który potem przyjechał do Warszawy i odebrał od Mazura nagrodę.

Spotkania w kawiarni bywały niezwykle długie. Wiadomo o siedemnastogodzinnym posiedzeniu, w którego efekcie osiągnięto ciekawy rezultat, niestety zapomniany, gdyż został starty przez kelnera. Niektórzy twierdzą, że nie było to najdłuższe spotkanie i razu pewnego dwaj matematycy tak zapalili się do dyskusji, że przesiedzieli w kawiarni 40 godzin bez przerwy!
o sesjach w kawiarni do dziś krąży wiele anegdot, legend i opowieści. Warto przytoczyć kilka z nich. Ongiś Stanisław Mazur postawił problem, a Hermann Auerbach zaczął nad nim myśleć. Po chwili Mazur dodał, że - by uczynić zadanie bardziej interesującym - funduje za rozwiązanie butelkę wina. Na to Auerbach: "A, w takim razie ja rezygnuję. Mnie wino szkodzi".

Inna interesująca historia przydarzyła się podczas wizyty Henri Lebesgue'a we Lwowie w roku 1938. Lebesgue przyjechał tam w celu odebrania doktoratu honoris causa uniwersytetu, wygłosił dwa odczyty, i - oczywiście - został bardzo szybko zaproszony do kawiarni "Szkockiej". Kelner podał mu jadłospis, Lebesgue jednakże nie znał języka polskiego; chwilę patrzył w kartę, po czym oddał ją, mówiąc: "Dziękuję, jadam jedynie potrawy dobrze zdefiniowane".

Niewątpliwie na tak niezwykle częste wizyty w kawiarni duży wpływ miały osobowość i charakter Banacha. Praktycznie cały czas wolny od wykładów spędzał on w kawiarni. Atmosfera gwaru kawiarnianego i zaduchu bardzo mu odpowiadała. Tam mógł bez końca mówić o matematyce, rozwiązywać problemy, stawiać nowe. Po długiej sesji matematycznej w kawiarni "Szkockiej" z reguły następnego dnia przychodził z naszkicowanymi dowodami większości postawionych zagadnień.

Dziś wiele ważnych, klasycznych już twierdzeń nosi imię Banacha (twierdzenia: Hahna-Banacha, Banacha-Steinhausa, Banacha o operatorze odwrotnym, Banacha-Alaoglu, Banacha o wykresie domkniętym, Banacha o punkcie stałym). Istnieją jednak także - a raczej przede wszystkim - przestrzenie Banacha. Czym one są?
Prosta, płaszczyzna, przestrzeń trójwymiarowa są nam znakomicie znane ze szkoły. Te twory geometryczne możemy opisać za pomocą liczb: prostą utożsamić ze zbiorem liczb rzeczywistych, punkty płaszczyzny z parami, punkty przestrzeni zaś z trójkami liczb. Genialny i, jak to często bywa, zarazem prosty pomysł Kartezjusza i Fermata, by z punktami płaszczyzny
jednoznacznie związać pary liczb, dokonał rewolucji w matematyce. Możemy w sposób naturalny rozważać zamiast par czy trójek skończone ciągi liczbowe o ustalonej z góry liczbie elementów; w ten sposób określamy przestrzenie skończenie wymiarowe. Ich elementy możemy dodawać, mnożyć przez liczby - tak jak to się robi z wektorami. Pozwala to na studiowanie przestrzeni, gdzie nie możemy się podeprzeć intuicją równie czytelną, jak w przypadku płaszczyzny - gdy podobnych operacji dokonujemy także i na innych tworach, na przykład na funkcjach. Możemy dodawać do siebie dwie funkcje (liczbowe), przyjmując, w sposób naturalny, za wartość sumy funkcji w danym punkcie sumę wartości w tym punkcie funkcji dodawanych do siebie. Tutaj już trudno mówić o skończonym wymiarze.

Okazało się, że z rozmaitych powodów przestrzenie funkcyjne są bardzo przydatne w różnych badaniach i zastosowaniach. w matematyce współczesnej ważnym przedmiotem badań są struktury ogólne, których rozmaite modele znane są od bardzo dawna. Zamiast dowodzić danego twierdzenia kilkakrotnie w przypadkach szczególnych, wystarczy je wykazać raz w sytuacji ogólnej, po czym zastosować. Co więcej, ma to tę zaletę, że przy dowodzie ogólnym lepiej widać, z jakich dokładnie własności się korzysta, rozumowanie bywa więc bardziej przejrzyste i - co brzmi może paradoksalnie - nieraz okazuje się łatwiejsze. Ponadto twierdzenie ogólne niejednokrotnie przydaje się później w sytuacjach, których wcześniej nie można było przewidzieć. Niezwykle istotne jest jednak znalezienie uogólnienia właściwego. Rozważanie tworów zbyt szczegółowych niewiele daje; z kolei przesadne uogólnienie niekiedy okazuje się zbyt daleko idące i czasem nie ma wielu zastosowań, oprócz tego niewiele można tam udowodnić. Geniusz Banacha polegał na tym, że wprowadzając uogólnienie, "trafił" idealnie w samo sedno problemu.

Przestrzeń, której elementy możemy dodawać i mnożyć przez liczby, nazwano przestrzenią wektorową, jej elementy zaś - wektorami. Jednak z punktu widzenia analizy matematycznej oraz jej rozmaitych odgałęzień, sama przestrzeń wektorowa bez wprowadzenia dodatkowej struktury jest mało ciekawa. Na początku XX wieku David Hilbert zdefiniował przestrzenie (noszące dziś jego imię); były to przestrzenie wektorowe, w których można było określić "prostopadłość". To pojęcie, choć ogromnej wagi i o licznych zastosowaniach, było jednak dla wielu potrzeb zbyt szczegółowe. Już na początku badań nad przestrzeniami Hilberta wprowadzono tam normę (mówiąc potocznie, jest to coś w rodzaju długości wektora o początku w punkcie 0). w latach 1920-1922 kilku matematyków (niezależnie od siebie), w tym także Stefan Banach, podało aksjomatyczne definicje przestrzeni wektorowej unormowanej. Ale dla potrzeb analizy - mimo że dzięki normie można było rozważać odległość między elementami przestrzeni - dawało to twory zbyt ogólne. i właśnie Banach wpadł na pomysł określenia obiektu, jak się okazało, idealnego; przestrzeń, nosząca dziś jego imię, to "przestrzeń wektorowa, unormowana, zupełna".

Pojęcie zupełności jest ściśle związane ze zbieżnością ciągów. z ciągami i ich granicami mieliśmy do czynienia w szkole, ale zazwyczaj pojęcia te są traktowane czysto rachunkowo i granica pozostaje hasłem wysoce abstrakcyjnym, chociaż wiadomo na przykład, że ciąg 1/n dąży do zera, gdy n zmierza do nieskończoności. w formalnej definicji sporo jest znaczków, symboli i dobierania jednych elementów do innych. Wszystko po to, żeby ściśle opisać skupianie się wyrazów ciągu wokół jego granicy. Znalezienie granicy nie zawsze jest łatwe, a w wielu rozważaniach teoretycznych wystarczy jedynie wiedza, że ciąg ma granicę. w przypadku zbioru liczb rzeczywistych (i nie tylko) bardzo wygodnym warunkiem - nazywanym warunkiem Cauchy'ego - gwarantującym zbieżność ciągu liczbowego, jest stwierdzenie, że odległość między wyrazami maleje do zera wraz ze wzrostem wskaźników. Jednak w bardzo wielu przypadkach spełnienie warunku Cauchy'ego nie pociąga za sobą istnienia granicy! Dlatego też wyróżniono klasę przestrzeni, w których każdy ciąg spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny. Takie właśnie przestrzenie nazwano zupełnymi.

Spróbujmy to opisać na przykładzie. Rozważmy dowolny ciąg mający granicę; skoro elementy ciągu do tej granicy dążą, to ich odległość od granicy zmierza do zera, a stąd łatwo widać, że i one same zbliżają się do siebie - czyli spełniają warunek Cauchy'ego. Ale nie musi być odwrotnie! Przypuśćmy, że badaną przez nas przestrzenią jest przedział (0,
), a ciągiem jej elementów 1/n . Odległości między kolejnymi elementami ciągu
dążą do zera, ale ciąg nie jest zbieżny. Jak to - nie jest zbieżny? Przecież ciąg 1/n zmierza do zera! Istotnie, ale my rozważamy zbiór (0,
), do którego 0 nie należy; w tym zbiorze nasz ciąg nie ma granicy, (0,
) nie jest więc przestrzenią zupełną. Inny przykład przestrzeni, która nie jest zupełna, to zbiór liczb wymiernych.

Przestrzeniami Banacha są: prosta, płaszczyzna, przestrzeń, ogólniej - zbiór uporządkowanych ciągów liczbowych n-elementowych przy ustalonym n (zapisywany za pomocą symbolu Rⁿ). Bardzo interesujące są również przestrzenie nieskończenie wymiarowe.

Jednym z najważniejszych przykładów przestrzeni Banacha jest zbiór funkcji ciągłych określonych na przedziale domkniętym (np. [0,1]), często oznaczany przez C[0,1]. Dodawanie funkcji określa się według opisanego już sposobu:

(f + g)(x) = f(x) + g(x).

Podobnie mnożenie przez liczby:

(a × g)(x) = a × g(x).

Normę funkcji f też określa się dość prosto - jako największą spośród wartości f(x):

||f||= max {f(x): x
[0,1]}

(z pewnych znanych faktów matematycznych wynika, że to maksimum zawsze istnieje).

Nietrudno sprawdzić, że przestrzeń C[0,1] jest przestrzenią Banacha. Nie jest ona jednak przestrzenią Hilberta! Nie da się tu określić prostopadłości w sposób sensowny, to znaczy tak, by "współgrała" ona ze zdefiniowaną powyżej normą.

Innymi bardzo ważnymi przykładami są przestrzenie pewnych ciągów.

Banach swoim uogólnieniem "trafił w dziesiątkę". Właśnie wyodrębnienie zupełności było znakomitym pomysłem. Zupełność okazała się własnością, z której w sposób istotny korzystało się przy dowodzeniu ważnych twierdzeń.

Wielką zasługą Banacha jest to, że w zasadzie dzięki niemu na różnorodne przestrzenie zaczęto patrzeć "geometrycznie". Elementami bardzo ogólnych przestrzeni mogły być na przykład funkcje czy ciągi liczbowe - ale przy ich badaniu metodami teorii przestrzeni Banacha rozważano je jako punkty, elementy przestrzeni. Okazało się to wspaniałym uproszczeniem w wielu sytuacjach. Ogromną zaletą przestrzeni Banacha jest fakt, że mimo abstrakcyjności i dużej ogólności są w nich spełnione rozmaite własności ściśle związane z intuicją geometrii płaszczyzny i przestrzeni trójwymiarowej. Obecnie, mimo upływu niemal 70 lat, przestrzeń Banacha ciągle stanowi fundamentalne pojęcie w wielu działach matematyki. Teoria przestrzeni Banacha rozwijana jest do dziś, matematycy wciąż osiągają nowe, interesujące, a czasem zaskakujące wyniki. Ponadto wiele nowych problemów dalej czeka na rozwiązanie.

Przestrzeń Banacha została zdefiniowana właśnie w pracy doktorskiej, o której już była mowa (dwa lata po doktoracie, w roku 1922, pracę opublikowano w "Fundamenta Mathematicae" - tu już żadne źródła nie mówią o niczyjej pomocy, Banach napisał ją sam). Nazwy "przestrzeń Banacha" po raz pierwszy użył prawdopodobnie Maurice Frechét w roku 1928; matematycy lwowscy bardzo szybko wykazali użyteczność tego pojęcia, dowodząc w zadziwiająco prosty sposób wielu trudnych twierdzeń uogólniających jeszcze trudniejsze, wydawałoby się, przypadki. Należy dodać, że niezależnie od Banacha na pomysł rozważania takich przestrzeni wpadł wybitny matematyk amerykański Norbert Wiener (przez jakiś czas przestrzenie te nazywano przestrzeniami Banacha-Wienera) - ale uznał, że żądane aksjomaty dają twory zbyt ogólne i niepraktyczne z punktu widzenia zastosowań. Jednak po kilku latach, widząc wspaniałe wykorzystanie przestrzeni Banacha, zmienił zdanie i przyznał, że jego ocena była błędna.

Banach i jego współpracownicy w sposób istotny przyczynili się do powstania niezwykle ważnej dziedziny matematyki - analizy funkcjonalnej. Mówiąc bardzo nieściśle, dział ten zajmuje się badaniem własności pewnych funkcji, określonych na rozmaitych przestrzeniach Banacha. Dzięki analizie funkcjonalnej można rozstrzygnąć wiele problemów wywodzących się z innych działów matematyki, między innymi związanych z badaniem równań różniczkowych. Klasyczną już dziś podstawową monografią w analizie funkcjonalnej jest książka Banacha Operacje liniowe, wydana w roku 1931; rok później ukazała się jej wersja w języku francuskim Théorie des opérations linéaires. Ciekawostka: w niektórych księgarniach w Polsce monografię umieszczono wśród książek lekarskich.

Na zakończenie jeszcze jedna anegdota. w roku 1983, podczas Międzynarodowego Kongresu Matematyków (kongresy takie są zwoływane co cztery lata, powierzenie danemu krajowi ich organizacji to wielki zaszczyt), odbywającego się w Warszawie, kilku matematyków zagranicznych dowiedziało się, że istnieje w tym mieście ulica Banacha, na której jeden z tramwajów ma swój końcowy przystanek. Koniecznie chcieli tę ulicę zobaczyć, udali się więc na nią owym tramwajem. Gdy dotarli do końca, okazało się, że znajduje się tam sporej wielkości nie zabudowany obszar. Stwierdzili wówczas zgodnie, że nie jest to "ulica Banacha", ale raczej "przestrzeń Banacha"...

A oto przed nami najsłynniejsza przestrzeń Banacha

PORZĄDNE SĄ WYJĄTKAMI,
czyli o funkcjach ciągłych a nieróżniczkowalnych

w rozdziale trzecim poświęciliśmy sporo uwagi ciągłości, podkreślając jej ogromne znaczenie. Po dokładnym przeanalizowaniu definicji okazało się, że ciągłość funkcji o wartościach rzeczywistych wcale nie musi oznaczać "jednokawałkowości" jej wykresu - w pewnych przypadkach tak jednak będzie. w szczególności stanie się tak wtedy, gdy funkcje są określone na przedziale.

Spróbujmy przeprowadzić eksperyment. Należy poprosić kogoś o narysowanie wykresu funkcji ciągłej określonej na przedziale [0,1]. Ciągłość jest tak podstawowym pojęciem, że żadnemu absolwentowi szkoły średniej nie powinno to sprawić specjalnych trudności. z reguły rysunek wygląda tak:

lub ewentualnie tak:

Funkcja narysowana "na zawołanie" jest nie tylko ciągła; ma jeszcze inną ważną własność. Zazwyczaj jest gładka - bez załamań i zagięć, czyli różniczkowalna. Co to znaczy? Pojęcie funkcji różniczkowalnej (inaczej: mającej pochodną) także wprowadza się w szkole; intuicyjnie kojarzy się właśnie z gładkością wykresu, z "linią bez kantów". Funkcja ma w danym punkcie pochodną, jeżeli w tym punkcie można poprowadzić styczną do wykresu funkcji.

Każda funkcja różniczkowalna jest ciągła - to jeden z bardziej znanych faktów matematycznych. z kolei funkcja ciągła nie musi być różniczkowalna; najczęściej przytaczanym przykładem jest funkcja "wartość bezwzględna", f(x)=|x|. Ta funkcja istotnie nie ma pochodnej dla x = 0, tu stycznej do wykresu nie potrafimy poprowadzić. Ale zauważmy: pochodna nie istnieje tylko w tym jednym jedynym punkcie! Rzeczywiście, każdy punkt różny od 0 ma otoczenie, w którym wykres funkcji jest linią prostą. Tylko w punkcie 0 nasza funkcja nie jest "gładka".

Funkcja z drugiego rysunku, choć była ciągła, też nie miała pochodnej w kilku punktach - ale miała w pozostałych. i raczej trudno wyobrazić sobie coś innego. Albo funkcja ciągła będzie różniczkowalna, albo nie będzie różniczkowalna w kilku punktach. Brak różniczkowalności mamy tam, gdzie pojawiają się ostrza - załamania.

w nauce wiele odkryć bierze się z dociekliwości uczonych, a często ze "wścibskich" pytań typu: jak dalece nieporządna sytuacja może zajść? Czy na przykład istnieje funkcja, określona na przedziale [0,1], ciągła, ale w żadnym punkcie nie różniczkowalna? Wydawałoby się na pierwszy rzut oka, że takie dziwo natury nie ma prawa bytu. Istnieją co prawda rozmaite oryginalne funkcje, na przykład słynna funkcja Dirichleta. Poetka (poeta?) ukrywająca się pod pseudonimem "Ludolfina" pisała o niej:

Choć jest okresowa, nie ma
zasadniczego okresu.

Nie można też narysować
w żaden sposób jej wykresu.

Każdy punkt tej dziwnej funkcji
Jest jej punktem nieciągłości.

Miejsc ekstremów - continuum.

Jakiej funkcji to własności?

Funkcja Dirichleta określona jest bardzo prosto: przyjmuje wartość 1 dla wszystkich liczb wymiernych, a dla liczb niewymiernych wartość 0. Ma ona istotnie wszystkie własności wymienione w wierszyku (odpowiedź na zagadkę brzmi: "czy wy wieta, czy nie wieta, że to funkcja Dirichleta") - ale ona nie jest w żadnym punkcie ciągła. Czyżby jednak mogła istnieć funkcja w każdym punkcie ciągła i jednocześnie w żadnym punkcie nieróżniczkowalna? Przecież ostrza musiałyby wystąpić w każdym punkcie; funkcja "załamująca się wszędzie", ale ciągła - z tym już intuicja nie chce się pogodzić.

Niemniej okazuje się, że funkcję o takiej własności można skonstruować. Idea polega na tym, by wymyślić coś "mocno ząbkowanego", ale bez rozerwań. Jak się przekonać o istnieniu takiego tworu?
Do formalnej konstrukcji przydają się podstawowe informacje z teorii szeregów. o szeregu można myśleć jako o "nieskończonym dodawaniu", uogólnieniu normalnego dodawania na nieskończenie wiele składników. Rzecz jasna, nie zawsze daje się to zrobić - ale w wielu przypadkach jest to wykonalne. w szczególności na przykład można dodawać do siebie liczby postaci (1/2)ⁿ - w szkole uczymy się o sumie nieskończonego ciągu geometrycznego. Takie nieskończone dodawanie ma sens także i wtedy, gdy liczbę 1/2 zastąpimy dowolną liczbą dodatnią mniejszą od 1.

Z nieskończonym dodawaniem próbowali się zmagać starożytni Grecy, ale doprowadziło ich to do różnego rodzaju paradoksów. Najsłynniejsze są chyba paradoksy Zenona. Jeden z nich mówi o tym, że Achilles goniący żółwia nigdy go nie dogoni (bo w czasie, po którym Achilles dotrze do miejsca, gdzie był żółw, ten ostatni przesunie się dalej - i tak w nieskończoność...). Sukcesami mógł poszczycić się Archimedes, który, stosując metodę wyczerpywania do obliczania pól rozmaitych figur, dał początek sumom aproksymacyjnym. Jeszcze w XVII wieku zagadnienia sum nieskończonych wywoływały rozmaite emocje i były przyczynami sporów. Zastanawiano się na przykład, jaki jest wynik dodawania:

1-1+1-1+1-1+1-1+...

w zależności od rozmieszczenia nawiasów można było otrzymać sumę 1 bądź 0. Naturalnie nie mogło być dwóch wyników, więc należało z tym coś zrobić; przyjmowano na przykład, że suma ta jest równa 1/2 . Tak przypuszczali między innymi Gottfried Wilhelm Leibniz, jeden z twórców rachunku różniczkowego, oraz Daniel Bernoulli. Powód rozmaitych rozbieżności, a także fantastycznych nieraz interpretacji tkwił w braku precyzyjnej definicji szeregu. Obecnie może się to wydawać dziwne, ale w XVII oraz XVIII stuleciu uzyskiwano ważne ciekawe rezultaty pomimo braku dokładnego określenia wielu pojęć. Zdawano się na intuicję i zdrowy rozsądek; inne było wtedy pojęcie ścisłości, innej wymagano precyzji. Dziś już wiemy, że nawet najbardziej przekonująca intuicja może zawieść, a rzecz wydająca się oczywista - doprowadzić do paradoksów.

w końcu uporano się z problemami w teorii szeregów i zrozumiano, że siła argumentów leży w precyzyjnych określeniach i wnioskach z nich wyprowadzonych. We współczesnej matematyce szeregi odgrywają istotną rolę zarówno w rozważaniach teoretycznych, jak i praktycznych; stanowią silne narzędzie w dowodach ważnych twierdzeń, rachunkach przybliżonych, a także są niezastąpione przy konstrukcjach wielu przykładów i kontrprzykładów.

Tak jak dodaje się do siebie liczby, można dodawać funkcje: wystarczy po prostu dodawać odpowiednie wartości w każdym punkcie - była o tym mowa w poprzednim rozdziale. w związku z tym, oczywiście, możemy też "sumować" nieskończenie wiele funkcji - wtedy, gdy jest to dozwolone we wszystkich punktach dziedziny.

Odpowiednią ciągłą i nieróżniczkowalną funkcję konstruuje się, określając jej wartości w punktach przedziału [0,1] za pomocą właśnie nieskończonego sumowania. Jako pierwszą funkcję bierzemy trochę zmienioną funkcję wartości bezwzględnej (rysunek poniżej). Ma ona jeden "kant", dla x = 1/2, wartość zaś w tym punkcie wynosi 1/2. Drugą funkcję tworzymy modyfikując pierwszą; kanty są trzy (w punktach 1/4 , 1/2 , 3/4 ), ale za to funkcja jest "mniejsza"; w każdym z tych trzech punktów jej wartość wynosi 1/4 . Innymi słowy, zwiększamy liczbę "ząbków" o dwa, ale wysokość funkcji zmniejszamy dwukrotnie. Trzecią funkcję konstruujemy, dokładając cztery "ząbki" i znowu dwukrotnie zmniejszając wysokość. i tak dalej.

Idea konstrukcji nie jest trudna. Łatwo się domyślić, że jeśli uda się te twory nieskończenie wysumować, to jako wynik mamy szansę otrzymać coś istotnie "poszarpanego", coś w rodzaju nieskończenie ząbkowanej piły. Praktycznie narysowanie takiego dziwoląga raczej nie jest możliwe, możemy sobie jedynie "mniej więcej" wyobrazić, jakby się to prezentowało. Samo poglądowe opowiadanie jednak nie wystarczy, trzeba wszystko formalnie sprawdzić. Należy pokazać, że stosując opisaną metodę, rzeczywiście otrzymamy poprawnie określoną funkcję (co nie nastręcza trudności), oraz to, że otrzymana funkcja jest ciągła, ale nie jest w żadnym punkcie różniczkowalna (co okazuje się trochę trudniejsze).

Pierwszy przykład funkcji ciągłej, ale w żadnym punkcie nieróżniczkowalnej, podał matematyk niemiecki, Karl Weierstrass (1815-1897). Weierstrass, jeden z najwybitniejszych matematyków XIX wieku, jest autorem znaczących osiągnięć w rozmaitych działach matematyki. Ciekawe, że swoich wyników zazwyczaj nie publikował, zajęty przede wszystkim pracą naukową. Liczne rezultaty Weierstrassa wydano dopiero rok po jego śmierci, a i to nie wszystkie - rozmaite twierdzenia później odkryli inni po raz drugi. Opisany przykład jednak został opublikowany w roku 1872 (choć Weierstrass przedstawiał go podczas wykładów już 11 lat wcześniej).

Niewykluczone zresztą, że Weierstrass wcale nie był pierwszy. Podobny przykład skonstruował matematyk szwajcarski Charles Cellerier. Wyniku nie opublikował, notatki odnaleziono dopiero po śmierci Celleriera (który zmarł w 1890 roku). Wielu historyków uważa, że rękopis (który zawierał też dowód nieróżniczkowalności tej funkcji w całej jej dziedzinie) pochodzi z lat pięćdziesiątych XIX wieku. Także wspomniany już Bernhard Bolzano znalazł funkcję o tych własnościach (notatki zawierające odpowiedni przykład, pochodzące prawdopodobnie z lat trzydziestych XIX wieku, znaleziono w wieku XX), przy czym Bolzano sądził, że jego funkcja jest jednak w pewnych punktach różniczkowalna. Jeszcze inną funkcję ciągłą nigdzie nieróżniczkowalną znalazł też (niezależnie od Weierstrassa, ale nieco później) Jean Gaston Darboux.

Warto tu może przy okazji przytoczyć opinię znakomitego polskiego matematyka Jana Sleszyńskiego (1854-1931). Mawiał on: "Cywilizacja powinna polegać na wymianie myśli. a gdzie jest ta wymiana, jeśli każdy pisze, a nikt nie czyta?" Sleszyński uważał, że wszystkie wyniki danej osoby powinny być skrzętnie chowane i udostępnione dopiero po śmierci autora, wówczas zaś kompetentne jury powinno ocenić wartość rezultatów. No cóż - było to bardzo dawno temu... Dziś bez udostępniania innym uczonym swoich prac naukowcy rozwijaliby wiedzę znacznie wolniej. a poza tym, według jakich kryteriów oceniano by młodych pracowników nauki na wyższych uczelniach, gdyby pozbawiono odpowiednie komisje "spisu publikacji w liczących się czasopismach"?

Wróćmy jednak do funkcji. o przykładzie funkcji ciągłej nieróżniczkowalnej mówi się czasem "piła Weierstrassa". Przykład Weierstrassa był inny niż ten przytoczony powyżej (choć skonstruowany według podobnego schematu) - wykorzystywał funkcje trygonometryczne. Opisana tu funkcja jest nieznaczną modyfikacją funkcji podanej w 1930 roku przez Bartela L. Van der Waerdena.

Używając piły Weierstrassa, osiągniesz 300% normy.

Wiemy już zatem, że takie dziwolągi istnieją (bo są co najmniej dwa). Można się teraz zastanowić, czy jest ich dużo, czy mało? Pytanie wydaje się trochę pozbawione sensu, funkcji mamy przecież nieskończenie wiele. Okazuje się jednak, że i w przypadku nieskończoności można mówić o zbiorach mniejszych i większych.

Pierwsze rozróżnienia pojawiły się na gruncie teorii mnogości, dziedziny, która szumnie wkroczyła w matematykę pod koniec XIX wieku i wywarła na nią ogromny wpływ. Poświęcimy jej więcej miejsca w jednym z rozdziałów, teraz jedynie zaznaczmy, że wielokrotnie "ilościowe" rozróżnienie, dostarczane przez teorię mnogości, nie było wystarczające. Po prostu z jej punktu widzenia rozmaite, istotnie różne zbiory były takie same, jednakowo wielkie.

Bardzo pomogły prace René Baire'a z końca XIX wieku. Baire badał ciągi funkcji ciągłych mające granice, a następnie granice ciągów utworzonych z tych granic. Powtarzając te operacje i chcąc dokładnie scharakteryzować takie funkcje, zdefiniował pewne zbiory i nazwał je zbiorami pierwszej kategorii. Zbiory te można określić jako "rzadkie"; to, co zostawało poza nimi, było dużo większe. Niektórzy nazywają zbiory pierwszej kategorii zbiorami szczupłymi, w czym też kryje się istota sprawy. Na przykład zbiorem pierwszej kategorii jest prosta, rozważana jako podzbiór płaszczyzny, zbiór liczb wymiernych jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych. Nie jest zbiorem pierwszej kategorii półprosta zawarta w prostej czy zbiór liczb niewymiernych.

Główny rezultat Baire'a dotyczył przestrzeni metrycznych zupełnych (przestrzenie metryczne to takie, w których jest sensownie określona odległość między elementami; w nich też można określić zupełność, tak samo jak w przestrzeniach unormowanych). Baire wykazał, że w przestrzeniach zupełnych pewne zbiory, wydawałoby się, stosunkowo duże, są jednak "rzadkie", pierwszej kategorii. Prosta, odcinek i płaszczyzna składają się z nieskończonej ilości punktów, ale dość naturalne wydaje się stwierdzenie, że prosta jest "mniejsza" niż płaszczyzna.

Zbiory pierwszej kategorii

Metoda oraz pojęcia wprowadzone przez Baire'a wniosły bardzo wiele do dalszego rozwoju rozmaitych działów matematyki, w szczególności dzięki różnym pracom matematyków polskich i rosyjskich, napisanych w latach dwudziestych. Wtedy - między innymi dzięki badaniom nad przestrzeniami Banacha - zwrócono baczniejszą uwagę na zupełność. Uzyskano wówczas za pomocą odpowiedniego wykorzystania faktów dotyczących przestrzeni zupełnych, a w szczególności twierdzenia Baire'a, wiele ważnych rezultatów. Prace te pokazały, jak istotne we współczesnej matematyce jest pojęcie kategorii i jakie bogate ma zastosowania. Właśnie metodą kategorii bardzo ciekawe wyniki uzyskał Stefan Banach ; część z nich dotyczyła przestrzeni Banacha - ale nie wszystkie!
w roku 1931 Banach opublikował w czasopiśmie "Studia Mathematica" pracę Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen. Praca ta nie należała do najważniejszych i najbardziej znaczących jego rezultatów. Nie tylko w ogóle, ale nawet jedynie na przełomie lat dwudziestych i trzydziestych Banach wykazał wiele znacznie istotniejszych twierdzeń, o licznych zastosowaniach. Jednakże praca, o której mowa (notabene licząca zaledwie sześć stron), była bardzo ciekawa, a wyniki w niej zawarte - niezmiernie zaskakujące. Otóż zawierała inny niż znane dotychczas dowód istnienia funkcji ciągłych nigdzie nie różniczkowalnych. i co najciekawsze - dotąd po prostu podawano przykłady takich funkcji. Co natomiast zrobił Banach? Wykazał, że taka funkcja istnieje, nie konstruując jej. Ale jak to pokazał? i na tym właśnie polega oryginalność pracy. Banach udowodnił, że funkcji o tych własnościach jest niezwykle dużo; funkcje, które są przynajmniej w jednym punkcie różniczkowalne, tworzą zbiór rzadki (precyzyjnie: pierwszej kategorii Baire'a). Innymi słowy, wśród funkcji ciągłych takie funkcje, które mają gdzieś pochodną, to osobliwość, można powiedzieć - "wybryk natury"! Zapoznanie się z tym faktem nawet dziś szokuje niejednego studenta matematyki.

Metoda kategorii Baire'a pozwoliła na inne podejście do badań rozmaitych zjawisk matematycznych. Przy próbie stwierdzenia danego faktu szukało się dowodu lub kontrprzykładu; znalezienie kontrprzykładu "załatwiało sprawę" w sensie negatywnym, nawet jeśli twierdzenie bardzo by się przydało. Dzięki metodzie kategorii w pewnych sytuacjach rozczarowanie spowodowane istnieniem niedobrych, "patologicznych" przykładów można było naprawić. Otóż niejednokrotnie dla potrzeb badań, zastosowań itp. wystarcza fakt, że owe nieprzyjemne sytuacje rzadko się zdarzają. Innymi słowy, elementy, dla których badane zjawisko nie zachodzi, tworzą zbiór pierwszej kategorii.

Tu Czytelnik może zacząć mieć wątpliwości. w związku z powyższym można zapytać: po co badać funkcje różniczkowalne, skoro są one właśnie takie wyjątkowe? Otóż nie zawsze można owe wyjątkowe przypadki lekceważyć. Tak jest i w tym przypadku; funkcje różniczkowalne mają ogromne zastosowania, nie tylko w samej matematyce. Są po prostu znacznie ważniejsze od tych "innych", choć tych drugich jest znacznie więcej. Do badania funkcji różniczkowalnych mamy odpowiednie narzędzia, wypracowane są precyzyjne techniki pozwalające je stosować w różnych sytuacjach. Studiując własności funkcji różniczkowalnych i wykorzystując je, warto może pamiętać, że są one czymś wyjątkowym, rzadkim - nawet wśród funkcji ciągłych. Cóż - z dotychczasowych badań wynika, że życie organiczne (nie mówiąc już o rozumnym) też jest w naszej Galaktyce zjawiskiem raczej niestandardowym...

Wiem, że trudno w to uwierzyć, ale to ja jestem typowy

GEOGRAF TEGO NIE WYMYŚLI,
czyli twierdzenie o antypodach

w każdej chwili istnieją na kuli ziemskiej dwa punkty leżące dokładnie naprzeciwko siebie, w których temperatura i ciśnienie są identyczne.

Takie stwierdzenie zdziwiłoby niemal każdego geografa lub klimatologa. a gdyby tak jeszcze poprosić go o uzasadnienie... Prawdopodobnie uzna informację za mało wiarygodną, gdyż przy uwzględnieniu nawet najnowocześniejszych metod badawczych używanych w geografii, nie bardzo widać, skąd powyższy fakt można byłoby wywnioskować. Tymczasem jest to prosta konsekwencja bardzo interesującego matematycznego twierdzenia - twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach. Oczywiście nie wymyślono go tylko po to, by udowodnić tę klimatyczną ciekawostkę.

Najpierw może sprecyzujmy określenie: "leżą naprzeciwko siebie". Dotyczy ono punktów położonych na sferze: naprzeciwko siebie leżą takie punkty, że łączący je odcinek zawiera w sobie środek kuli. Nazywamy takie punkty antypodalnymi. Łatwo zauważyć, że dla każdego punktu sfery istnieje punkt do niego antypodalny, i to dokładnie jeden: wystarczy poprowadzić prostą przez badany punkt i środek kuli i zauważyć, że przetnie ona sferę jeszcze dokładnie jeden raz. Wróćmy do geografii: przyjmuje się (jest to pewne uproszczenie, ale nie takie istotne), że Ziemia jest kulą. Punkty antypodalne to na przykład oba bieguny. Punkt antypodalny do Rynku w Krakowie znajduje się na Oceanie Spokojnym, na południowy wschód od Nowej Zelandii. Nietrudno go znaleźć na mapie - wystarczy zbadać współrzędne, szukany punkt to w przybliżeniu miejsce o szerokości geograficznej południowej 50° i o długości geograficznej zachodniej 160°. Oczywiście nie jest powiedziane, że w tym momencie właśnie w tych dwóch punktach panuje taka sama temperatura i takie samo ciśnienie - może to być inna para, np. miejsca na południu Kanady i Wyspach Kerguelena.

Rozważmy pewną funkcję określoną na sferze, czyli na powierzchni kuli. Niech wartościami badanej funkcji będą pary liczb rzeczywistych, inaczej - elementy płaszczyzny. Używając matematycznej symboliki, powiemy, że dziedziną funkcji jest S² (tak matematycy oznaczają sferę), zbiorem wartości zaś R². Omawialiśmy już funkcje o wartościach na płaszczyźnie przy okazji krzywych wypełniających kwadrat. Tym razem dziedziną odwzorowań będzie sfera. Odwzorowań określonych na sferze może być, oczywiście, bardzo wiele. Jeden z przykładów, dobrze nam znany, dotyczy powierzchni Ziemi: każdemu punktowi przyporządkowujemy parę liczb - współrzędne geograficzne. Podobnie punktowi można przypisać temperaturę oraz ciśnienie.

Funkcja o wartościach w R² może być traktowana jako para funkcji, których wartości są już rzeczywiste. Jak już wspominaliśmy, tu też można rozważać ciągłość. Wiadomo, że funkcja taka jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła każda z jej "składowych".

Twierdzenie o antypodach mówi, że jeżeli funkcja określona na sferze o wartościach w R² jest ciągła, to istnieją na sferze dwa punkty antypodalne, takie że funkcja przyjmuje w nich te same wartości.

Informacja o temperaturze i ciśnieniu na kuli ziemskiej to po prostu geograficzna interpretacja tego twierdzenia. Jest naturalne, że temperaturę i ciśnienie traktujemy jako funkcje ciągłe, zależne od miejsca na Ziemi, w którym je badamy. Rzeczywiście: gdy zmierzamy do punktu x, to temperatura w punktach, którymi wędrujemy, zbliżać się będzie do temperatury w x. Nawet w przypadku "skoków" temperatury nie ma "dziur", przerw: niemożliwe, by w pewnym miejscu temperatura wynosiła 0°, obok zaś 50° i nie przyjmowała "po drodze" wartości pośrednich.

Podobnie jest z ciśnieniem.

i tyle. Punktowi x na Ziemi (czyli na sferze) przyporządkowujemy parę liczb (t(x), p(x)) - temperaturę i ciśnienie w punkcie x. Funkcja ta spełnia założenia twierdzenia, zatem i teza jest spełniona.

A oto inna interpretacja tego twierdzenia, już nie geograficzna. Wyobraźmy sobie idealnie okrągły balonik, następnie go przekłujmy. Powietrze wyleci, a balonik się spłaszczy, przy czym różne punkty "wylądują" (najczęściej parami) na tym samym miejscu, jakby skleją się ze sobą. Twierdzenie o antypodach mówi, że wśród sklejających się par będzie i taka para punktów, które wcześniej znajdowały się dokładnie naprzeciwko siebie. To, co zostanie z balonika, będzie podzbiorem płaszczyzny; przekształcenie ma być ciągłe, wykluczamy więc jakiekolwiek rozrywanie balonu. Jedyne, co robimy, to wypuszczamy powietrze.

Twierdzenie o antypodach jest prawdziwe nie tylko dla zwykłej sfery dwuwymiarowej. Warto się przyjrzeć bliżej jego ogólnej wersji.

w rozdziale o przestrzeniach Banacha zapoznaliśmy się z naturalnymi uogólnieniami prostej i płaszczyzny - przestrzeniami skończonych ciągów n-elementowych. Matematycy oznaczają takie przestrzenie przez Rⁿ i nie jest to zaskakujące. Ogólnie znany (z geometrii analitycznej) jest fakt, że punkty płaszczyzny możemy interpretować jako pary liczb rzeczywistych; już to wielokrotnie wykorzystywaliśmy, opisując ruch punktu na płaszczyźnie i interpretując krzywe. Wiele twierdzeń matematycznych o podzbiorach płaszczyzny można wykazać za pomocą rozważań i rachunków czysto algebraicznych, bez żadnych rysunków. Podobnie przestrzeń trójwymiarowa to zbiór uporządkowanych trójek liczbowych; skoro trójek, to przestrzeń tę oznaczamy przez R³. i tak dalej. Przestrzeń R⁴ to zbiór czwórek liczbowych, ale może nie próbujmy sobie tego wyobrazić, przynajmniej na razie... Tak samo, jak o R³, możemy mówić na przykład o R¹⁹⁹⁷.

w przypadku przestrzeni trójwymiarowej sfera to zbiór punktów jednakowo oddalonych od środka. Niewątpliwie najprzyjemniej będzie ją badać, gdy za środek przyjmiemy początek układu współrzędnych, czyli punkt o wszystkich współrzędnych równych zeru. a odległość? Dobrze znana z geometrii, na płaszczyźnie jest dana prostym wzorem, którego zrozumienie wymaga jedynie znajomości twierdzenia Pitagorasa: odległość punktu (x,y) od punktu (0,0) to
. Wróćmy do przestrzeni trójwymiarowej: tam odległość od zera określana jest analogicznie, musimy tylko wziąć pod uwagę trzecią współrzędną:
. Geometrycznie - jest to długość odcinka o końcach (x,y,z) i (0,0,0), podobnie jak na płaszczyźnie była to długość odcinka łączącego punkt (0,0) z punktem (x,y). Widać wyraźnie, że odległość można wprowadzić wyłącznie algebraicznie; nie ma zatem żadnych przeciwwskazań, by robić to również w przestrzeni Rⁿ. Cóż to będzie zatem sfera w przestrzeni n-wymiarowej? w przypadku wymiaru trzy jest to zbiór punktów o współrzędnych (x,y,z), które spełniają równanie
(ze względu na jedynkę pierwiastki można sobie darować). Taki zbiór oznaczamy przez S² (dwójka bierze się stąd, że "klasyczna" sfera jest niewątpliwie dwuwymiarowa). Sfera jednowymiarowa to zwykły okrąg. a sfera n-wymiarowa? To proste: jest to zbiór punktów przestrzeni Rⁿ⁺¹, których współrzędne spełniają analogiczne równanie.

Czy można jakoś "zobaczyć" sferę n-wymiarową? Choć formalny opis jest raczej prosty, to wyobrażenie sobie tego obiektu może sprawić poważne kłopoty. Zauważmy, że już sfera dwuwymiarowa, taki dobrze nam znany balonik, byłaby trudna do wyobrażenia dla istot dwuwymiarowych, żyjących na płaszczyźnie; jest ona przecież zakrzywiona w przestrzeni trójwymiarowej, nie da się jej "włożyć" w płaszczyznę. Tak samo sfery trójwymiarowej nie da się umieścić w przestrzeni trójwymiarowej, więc nie jest nam dane ją zobaczyć. Możemy jedynie posłużyć się analogiami.

Jeśli przetniemy sferę S² płaszczyzną, to otrzymamy okręgi, a w granicznych przypadkach - punkty. Natomiast przecinając sferę S³ przestrzenią R³, dostaniemy normalną dwuwymiarową sferę. Gdy S³ zacznie zmieniać położenie, jej ślady będą się zmniejszać lub zwiększać. Nigdy jednak promienie sfer dwuwymiarowych nie przekroczą promienia S³. Błędem byłoby jednak porównywanie sfery trójwymiarowej z cebulą, gdyż S³ nie jest zbudowana z koncentrycznych warstw - sfer. Ich środki przesuwają się w kierunku czwartego wymiaru. Przyczyną tego jest wykrzywienie całej sfery. Podobnie przecież okręgi koncentryczne nie utworzą sfery dwuwymiarowej; trzeba środki tych okręgów poprzesuwać w trzecim wymiarze. Istnieje wiele rozmaitych sposobów wizualizacji sfer n-wymiarowych, powróćmy jednak do głównego tematu.

Twierdzenie Borsuka-Ulama o antypodach mówi, że dowolna funkcja ciągła ze sfery Sⁿ w przestrzeń Rⁿ (o tym samym wymiarze! - czyli na przykład z klasycznej sfery w płaszczyznę, z okręgu w prostą), "skleja" pewne dwa punkty leżące naprzeciwko siebie.

Wynik ten został opublikowany w "Fundamenta Mathematicae" w roku 1933. Niektórzy nazywają go twierdzeniem Borsuka, nie zaś Borsuka-Ulama. Bierze się to stąd, że zostało ono udowodnione przez samego Borsuka. Problem jednak postawił Ulam, a Borsuk go rozwiązał. Warto poświęcić kilka zdań obu tym postaciom.

Stanisław Ulam (na świecie mówi się o nim Stan Ulam) urodził się w 1909 roku we Lwowie; tam też studiował i początkowo pracował. Już jako student i roku uzyskał oryginalne wyniki matematyczne, wkrótce potem opublikowane. w roku 1935 wyjechał (na zaproszenie Johna von Neumanna, jednego z najwybitniejszych matematyków pierwszej połowy XX wieku) do USA, jak się potem okazało, na stałe. Słynny jest między innymi z prac w amerykańskim ośrodku badań jądrowych w Los Alamos. Ulam pracował tam przez 25 lat (1943-1967), był jednym z głównych twórców podstaw teoretycznych bomby wodorowej. Był uczonym o wszechstronnych zainteresowaniach. Oprócz wybitnych rezultatów w różnych działach matematyki (teoria mnogości, topologia, teoria miary, teoria grup, analiza funkcjonalna, teoria ergodyczna, rachunek prawdopodobieństwa, teoria gier) uzyskał znaczące wyniki w innych dziedzinach nauki, w szczególności w technice, informatyce, fizyce, astronomii i biologii. Opracował oryginalne sposoby napędu statków kosmicznych. o Ulamie (zmarł w 1984 roku) można by napisać książkę - a w zasadzie nie trzeba, bo już takie są; po śmierci Ulama wydano w Los Alamos książkę From Cardinals to Chaos, opisującą jego sylwetkę i dzieło, sam Ulam zaś napisał między innymi autobiografię Adventures of a Mathematician (Przygody matematyka - książka została wydana w języku polskim w 1996 roku).

Karol Borsuk (1905-1982) studiował na Uniwersytecie Warszawskim, a później był profesorem tego uniwersytetu.

Po II wojnie światowej dołączył do tych, którzy najbardziej czynnie reaktywowali warszawski ośrodek matematyczny. Był jednym z najwybitniejszych matematyków polskich. Zajmował się przede wszystkim topologią, dyscypliną, która, jak już wiemy, w latach dwudziestych XX wieku stała się "polską". Niepodważalną zasługą Borsuka - oprócz wybitnych i niebanalnych rezultatów - jest odważne wytyczanie nowych dróg w topologii, tworzenie jej kolejnych odgałęzień, które zyskiwały bardzo szybko wielkie znaczenie. Należy tu wymienić przede wszystkim teorię retraktów (którym poświęcimy trochę uwagi w następnym rozdziale), a także teorię kształtu i teorię grup kohomotopii (dziś nazywanych też grupami Borsuka-Spaniera). Jeden z niestandardowych przykładów podzbioru przestrzeni euklidesowej nosi dziś nazwę trąbki Borsuka. Główne wyniki Borsuka zalicza się do topologii geometrycznej; jest to bardzo interesujący dział topologii, w której badane przestrzenie nie są przesadnie abstrakcyjne, i gdzie bardzo ładnie łączą się rozmaite geometryczne i topologiczne idee. Oprócz około 200 prac Borsuk napisał dwie bardzo ważne monografie.

Dowód twierdzenia Borsuka-Ulama nie jest łatwy i wymaga wykorzystania subtelnych technik topologicznych. Owo twierdzenie to jednak przykład wcale nie tak rzadkiego w matematyce zjawiska istnienia ładnych wyników "stowarzyszonych ze sobą". Czasami w górach, by osiągnąć szczyt, musimy dokonywać długiej, solidnej wspinaczki. Gdy już jednak zdobędziemy wierzchołek, okaże się, że w pobliżu jest kilka innych, równie pięknych, i droga na nie wcale nie jest daleka. i nieważne, który ze szczytów zdobyliśmy jako pierwszy. Którykolwiek jednak to będzie, wejście nań wymaga potężnego wysiłku. Klasycznym przykładem takich gór są Czerwone Wierchy w Tatrach; dojść do nich (dłuuugich) jest kilka, lecz gdy się już wejdzie na jeden ze szczytów, przejście na inne jest proste. Podobne zjawisko istnieje w matematyce. Są twierdzenia takie, że jedno bardzo szybko wynika z drugiego (i na odwrót). Tyle że dowód któregokolwiek z nich jest trudny i zaawansowany. Czasem takie zestawy składają się z więcej niż dwóch twierdzeń. i tak właśnie dzieje się w przypadku twierdzenia o antypodach.

Karol Borsuk, obok odpowiedzi na problem Ulama, w swojej pracy w "Fundamenta Mathematicae" udowodnił także inne bardzo interesujące twierdzenie, wyprowadzając je z twierdzenia o antypodach. Rezultat, o którym mowa, nosi dzisiaj nazwę twierdzenia Lusternika-Sznirelmana (niektórzy nazywają je nawet twierdzeniem Borsuka-Lusternika-Sznirelmana). Dlaczego?
Otóż w roku 1930 ukazała się w Związku Radzieckim niewielka książeczka o metodach topologicznych w analizie matematycznej, napisana przez Lazara Lusternika i Lwa Sznirelmana. Praca ta (w 1934 roku wydana po francusku), do dziś cytowana przez wielu matematyków, okazała się bardzo ważna. Autorzy rozstrzygnęli w niej pewne istotne problemy, między innymi postawione przez Henri Poincarégo. Jest to jedna z ważniejszych historycznie prac o rozwiązywaniu problemów analizy matematycznej metodami topologicznymi. Nazwiska obu autorów są dziś bardzo dobrze znane w świecie matematycznym, i to nie tylko ze względu na tę książkę. Sznirelman (w literaturze zachodniej pisze się to nazwisko "Schnirelmann", po polsku przyjęto jednak pisać inaczej; podobnie jak nie piszemy na przykład "Gorbatschov") żył krótko, urodził się w 1905 roku w Homlu na Białorusi, zmarł (popełnił samobójstwo) w 1938 roku. Lusternik urodził się w roku 1899 w... Zduńskiej Woli, zmarł w 1981 roku. Obaj ukończyli Uniwersytet Moskiewski.

i właśnie we wspomnianej pracy Lusternik i Sznirelman wykazali między innymi twierdzenie, które dwa lata później uzyskał Borsuk (niezależnie, nie znając rezultatów Lusternika i Sznirelmana), otrzymując je jako wniosek (niebanalny) z twierdzenia o antypodach. Lusternik i Sznirelman doszli do tego zupełnie innymi metodami. Dziś wiadomo, że z twierdzenia Lusternika-Sznirelmana można również dość prosto wyprowadzić twierdzenie Borsuka-Ulama.

Czego dotyczy to twierdzenie? Głosi ono, że jeżeli sferę n-wymiarową pokrywają zbiory domknięte i zbiorów tych jest n+1, to przynajmniej w jednym z nich znajduje się para punktów antypodalnych. Przypomnijmy: zbiór domknięty to taki zbiór A, że jeżeli do jakiegoś punktu x możemy "zbliżyć się", poruszając się wyłącznie po punktach zbioru A, to punkt x też należy do zbioru A.

Zobaczmy, jak twierdzenie wygląda w bliskich nam, niskowymiarowych sytuacjach. Dla n równego 1 badana sfera jest okręgiem. Jeżeli okrąg ten "pokryjemy" dwoma zbiorami domkniętymi, to w przynajmniej jednym z nich musi leżeć para położona "naprzeciwko siebie". Nie jest to prawdą dla dowolnego dwuelementowego pokrycia; można rozłożyć okrąg na dwa (rozłączne) półokręgi, takie, że do każdego z nich należy tylko jeden koniec. Żaden z tych półokręgów nie zawiera pary punktów antypodalnych; nie są one jednak domknięte.

Gdy zwiększymy wymiar o jeden, mamy sferę w przestrzeni trójwymiarowej; twierdzenie mówi, że parę antypodalną mamy w jednym ze zbiorów trzyelementowego pokrycia domkniętego. i tak dalej.

o twierdzeniu tym wspominamy tu głównie ze względu na słynną hipotezę Borsuka.

Najpierw kilka słów o pojęciu średnicy zbioru. Dla naszych potrzeb możemy się ograniczyć do zbiorów domkniętych; wówczas średnica zbioru a jest to "największa możliwa" odległość między parami punktów zbioru A. w przypadku odcinka jest to długość tego odcinka. w przypadku koła domkniętego o promieniu r jest to liczba 2r, ta sama, która jest średnicą okręgu o promieniu r (stąd nazwa). Średnicą kwadratu o boku 1 jest
2 .

Z twierdzenia Lusternika-Sznirelmana wynika natychmiast, że jeśli pokryjemy sferę n-1-wymiarową o promieniu r (czyli o średnicy 2r) n zbiorami domkniętymi, to przynajmniej jeden z nich będzie miał średnicę większą lub równą od 2r (gdyż będzie zawierał dwa punkty antypodalne, odległe o 2r). Bez problemu można jednak pokryć tę sferę n+1 zbiorami domkniętymi o mniejszych średnicach. Jak to zrobić w przypadku okręgu (czyli S¹, zawartego w R², za pomocą trzech zbiorów), pokazuje rysunek.

Borsuk postawił pytanie: "Czy tak samo będzie dla dowolnego ograniczonego podzbioru Rⁿ?" Innymi słowy, czy jeśli zbiór o średnicy d, zawarty w Rⁿ, zawrzemy w n+1 zbiorach domkniętych, to przynajmniej jeden z nich będzie miał średnicę większą lub równą od d. Ogólnie sądzono, że twierdzenie okaże się prawdziwe, dlatego mówiono i pisano o hipotezie Borsuka: "Każdy zbiór o średnicy d zawarty w Rⁿ można pokryć n+1 zbiorami domkniętymi o mniejszej średnicy". Należy jednak podkreślić, że Borsuk nigdy nie sformułował swojego problemu w tej postaci jako hipotezę, lecz właśnie jako pytanie: "Czy...?"
w przypadku podzbiorów płaszczyzny, dlan = 2, możliwość utworzenia odpowiedniego pokrycia wykazał sam Borsuk. Już jednak w przypadku zwykłej, trójwymiarowej przestrzeni, problem okazał się niezwykle trudny! Dopiero w roku 1947 rozwiązanie przedstawił Polak Julian Perkal, dowodu jednak nie opublikował; ukazała się jedynie informacja o rozstrzygnięciu problemu. Drukiem ogłoszony został (w roku 1955) dowód, który wymyślił H. G. Eggleston. później podano inne, prostsze dowody. w wyższych wymiarach jednak - ani rusz.

Problem czekał na pogromcę 60 lat! i okazało się, że Borsuk miał niezwykłą intuicję, formułując pytanie tak, a nie inaczej. Otóż udowodniono, że odpowiednie pokrycie nie zawsze musi istnieć - dzieje się to jednak w wysokich wymiarach. Zagadnienie rozstrzygnęli w 1992 roku Jeff Kahn z USA i Gil Kalai z Izraela. Użyli oni metod, nazywanych "kombinatorycznymi"; wcześniej nie przypuszczano, że tymi technikami można ów problem pokonać. Zresztą, co ciekawe, Kahn i Kalai dowiedzieli się o problemie Borsuka przypadkiem; pracowali nad inną tematyką.

Z twierdzenia Kahna i Kalai w prosty sposób wynika, że dla pewnych wymiarów hipoteza nie jest prawdziwa. Najmniejszym znanym wymiarem, w którym sytuacja się "psuje", jest... 9604. Do pokrycia pewnego podzbioru R⁹⁶⁰⁴ nie wystarczy 9605 zbiorów o mniejszej średnicy.

Problem został rozwiązany, nie wszystko jednak wiadomo. Nie jest znana odpowiedź w przypadku niższych wymiarów - nawet dla wymiaru cztery!

Na problemie Borsuka wcale nie kończą się interesujące zagadnienia powiązane z twierdzeniem o antypodach. Innym ważnym faktem łączącym się z twierdzeniem o antypodach jest twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. Twierdzenie Brouwera jest jednym z najsłynniejszych twierdzeń klasycznej topologii. Mówi ono, że każde odwzorowanie ciągłe, przeprowadzające koło domknięte w to samo koło, ma punkt stały, to znaczy taki, który odwzorowuje się na samego siebie. Inaczej: jeśli będziemy deformować koło, nawet bardzo radykalnie, ale nie rozrywając go i nie wychodząc poza jego pierwotne granice, to zawsze się znajdzie punkt, który pozostanie na miejscu (ani drgnie). i to twierdzenie ma ładną interpretację geograficzną: jeśli gdzieś na ziemi położymy mapę Polski tak, by ani kawałek nie leżał poza granicami naszego kraju, to znajdzie się punkt na mapie, który będzie leżał dokładnie w tym miejscu Polski, któremu odpowiada. w tym modelu dziedziną funkcji jest oczywiście Polska, zbiorem wartości - mapa.

Badanie punktów stałych przekształceń ma ogromne znaczenie i każde twierdzenie na ten temat jest bardzo cenne. Twierdzenie Brouwera jest prawdziwe dla dowolnej, n-wymiarowej kuli domkniętej (nie sfery), w szczególności dla odcinka. w tym ostatnim przypadku sprowadza się ono do prostego zastosowania twierdzenia Darboux. Jednak w przypadku ogólnym sytuacja jest dużo bardziej skomplikowana. Dowód ogólnego twierdzenia przedstawiony przez Holendra Luitzena E. J. Brouwera w 1911 roku został przyjęty przez środowisko matematyczne z dużym uznaniem.

Okazuje się, że twierdzenie Brouwera można w prosty sposób otrzymać jako konsekwencję twierdzenia Borsuka-Ulama. Taki dowód może jednak wywołać mieszane uczucia. z jednej strony dobrze jest, gdy pewne fakty wyprowadzamy z innych, dzięki temu można nie tylko zobaczyć piękne związki w matematyce, ale też zaoszczędzić wiele pracy; chęć uzasadniania wszystkiego niezależnie, "od podstaw", szybko zahamowałaby rozwój matematyki... Trudno też krytykować kogoś, kto najpierw chce wyjść na Świnicę, a stamtąd udać się na Kasprowy Wierch, zamiast obowiązkowo "zaliczać" szczyty od najniższego do najwyższego. z drugiej strony jednak nie wolno popadać w przesadę. w niektórych sytuacjach posłużenie się zbyt zaawansowanymi technikami do wykazania prostych faktów można porównać z otwieraniem konserwy przy użyciu lasera dużej mocy czy z próbą zabicia brzęczącej na szybie muchy za pomocą wiertarki elektrycznej. w tym przypadku jednak tego problemu nie ma. Co prawda, twierdzenie Borsuka-Ulama w istocie jest trudniejsze do wykazania niż twierdzenie Brouwera, ale i dowód twierdzenia Brouwera (sam w sobie) nie jest łatwy... Na marginesie - studentom matematyki (podczas kursowego wykładu) często przedstawia się oba te twierdzenia jako natychmiastowe wnioski z jeszcze bardziej skomplikowanych faktów matematycznych.

w zasadzie do dziś wykazywane są nowe wyniki związane z twierdzeniem o antypodach. Dodajmy jeszcze na zakończenie, że twierdzenie o kanapce, o którym wspominaliśmy pod koniec rozdziału trzeciego, zostało udowodnione właśnie za pomocą twierdzenia Borsuka-Ulama o antypodach. Odpowiedni problem postawił Hugo Steinhaus, a dowód podał Stefan Banach.

Słyszał o twierdzeniu o antypodach i twierdzi, że tu też w końcu będzie taka temperatura, jak w Australii.

WYCIĄGAMY SZNURKI Z PUDEŁKA,
czyli twierdzenie retraktowe Ważewskiego

Pewien słynny żeglarz, udając się na wyprawę po oceanie, włączył do swej załogi ichtiologa. Raz zdarzyło się, że gdy ichtiolog spał, podróżnicy wyłowili z oceanu rybę nie znanego im gatunku. Obudzili więc eksperta i zapytali, co wyłowili. Ichtiolog rybę obejrzał, stwierdził autorytatywnie: "Taka ryba nie istnieje" i poszedł dalej spać. Podobnej reakcji można oczekiwać od turysty, który po raz pierwszy w życiu zobaczy Wywierzysko Kościeliskie w Tatrach. Matematyk jednak może stwierdzić, że ów zadziwiający twór przyrody jest pięknym modelem twierdzenia retraktowego Ważewskiego.

Wywierzysko Kościeliskie znajduje się mniej więcej 20 minut drogi od wejścia do Doliny Kościeliskiej - trochę z boku, przy ścieżce prowadzącej do Jaskini Mroźnej, po jej prawej stronie. Na czym polega niezwykłość tego wywierzyska? Otóż pierwsze wrażenie turysty jest takie, - widdzi potok, który płynie w dwie strony. Potok ma kilka metrów szerokości - gdy obserwator popatrzy bardziej w prawą stronę, strumień płynie w prawo, gdy w lewą - płynie w lewo. Ma kilkanaście-kilkadziesiąt centymetrów głębokości. Sekret polega na tym, że w samym centrum (kilka metrów kwadratowych), tam gdzie widać piasek, potok wypływa spod ziemi, a że wypływa na niewielkim wzniesieniu, więc spływa w dwie strony - ale wydaje się to niewiarygodne, gdyż obserwacje sugerują, że spod widocznego piasku może wypłynąć bardzo niewiele wody, na pewno nie tyle, by stworzyć dwa rwące, szerokie strumienie. Tymczasem wywierzysko wyrzuca w ciągu sekundy 300-600 litrów wody! No, ale co to ma do jakiegoś twierdzenia matematycznego o dziwnej nazwie "retraktowe"?
Zanim do tego dojdziemy, jeszcze parę przykładów.

Wyobraźmy sobie, że w zagrodzie znajduje się stado owiec, które gazda spętał sznurkiem. Gazda miał jeden sznurek, ale za to bardzo długi. Przypuśćmy też, że z zagrody są dwa wyjścia. Owcom znudziło się spokojne stanie za ogrodzeniem, zapragnęły więc wyjść na spacer. Ale jeśli z zagrody są dwa wyjścia, to te owce, które stoją blisko pierwszego wyjścia, zechcą wyjść, korzystając właśnie z niego, a te przebywające blisko drugiego wyjścia zapragną wyjść przez bramkę drugą. Rzecz jasna, wyjść chcą wszystkie; gdy wyjdzie ich kilka, pociągną za sobą dalsze, co będzie tym łatwiejsze, że sznurek, którym są związane, w pewnym sensie je do tego zmusza. Ale czy jest to możliwe? Przecież są ze sobą związane! Wyraźnie widać, że jeśli sznurek nie pęknie, to albo któraś "frakcja owiec" będzie na tyle silna, że przeciągnie wszystkie przez "swoją" bramkę, albo też przepychanki nic nie pomogą i jakaś owieczka zostanie w środku.

Przykłady podobnych sytuacji same się nasuwają; pasażerowie opuszczają tramwaj z reguły dwoma wyjściami. Nie jest możliwe, by użyli obu wyjść, jeśli postanowią trzymać się za ręce i nie puścić. Albo inna sytuacja. Przypuśćmy, że na stadionie rozgrywa się mecz, który zgromadził wielu kibiców, tak że zapełniony jest cały stadion i z góry (z lecącego wysoko helikoptera) kibice wyglądają jak wielka, kolorowa plama (w jednym kawałku). Może to być na przykład mecz Cracovii; doświadczenia pokazują, że na jej stadion często przychodzi więcej widzów niż na niejeden mecz reprezentacji Polski, i to niezależnie od tego, czy Cracovia jest aktualnie w lidze pierwszej, czy czwartej. Mecz się skończył, ze stadionu jest kilka wyjść, kibice wychodzą. i podobnie jak poprzednio - jeśli chociaż dwie osoby wyjdą różnymi bramami, to grupa musi się rozerwać, obserwator z helikoptera nagle ujrzy, że "plama" rozdzieliła się na kilka kawałków.

To, że sznurek się rozerwie lub pasażerowie tramwaju puszczą gdzieś swe ręce, wcale nas nie dziwi. Ale fakt, że tak się naprawdę w opisanych sytuacjach musi stać, jest konsekwencją właśnie twierdzenia Ważewskiego.

Oto jeszcze jedna ilustracja idei tego twierdzenia, za pomocą "maszynki retraktowej". Wywierćmy trzy dziury w pudełku i włóżmy do tego pudełka związane ze sobą trzy kawałki sznurka, tak by z każdej dziury wychodził jeden koniec. Jeśli teraz poprosimy trzy osoby o ciągnięcie poszczególnych końców, to sznurek zostanie w całości wyciągnięty tylko wtedy, jeśli się w środku rozerwie. z kolei jeśli dwie osoby puszczą swe końce, to trzecia wyciągnie wszystko.

Przechodząc do przedstawienia idei twierdzenia Ważewskiego, przyjrzyjmy się jeszcze dziedzinom matematyki, z którymi jest ono związane.

Twierdzenie Ważewskiego w swej klasycznej postaci dotyczy równań różniczkowych, a dokładnie działu nazwanego jakościową teorią równań różniczkowych. Teoria ta zajmuje się badaniem rozmaitych własności rozwiązań równań różniczkowych, ale z reguły bez szukania konkretnych wzorów, czyli bez rozwiązywania tych równań; z pewnych własności można wiele wywnioskować o rozwiązaniach równania, mimo że ich nie znamy.

Trudno przecenić znaczenie równań różniczkowych w matematyce i jej zastosowaniach. w zasadzie już od chwili powstania rachunku różniczkowego równania różniczkowe stały się niezwykle ważnym narzędziem służącym matematykom, a później fizykom oraz przedstawicielom innych nauk przyrodniczych. Dziś nie można sobie wyobrazić opisu większości praw natury bez wykorzystania równań różniczkowych; niemal każda teoria fizyczna, rozmaite procesy zachodzące w naturze opisywane są za ich pomocą. Równania różniczkowe tym różnią się od równań algebraicznych, dobrze nam znanych ze szkoły, że rozwiązania poszukujemy nie w postaci liczby lub układu liczb, ale funkcji. Niewiadomymi w równaniach różniczkowych są właśnie funkcje oraz ich różnorodne pochodne. Niektóre równania matematycy nauczyli się rozwiązywać znakomicie, o innych wiedzą tylko, że rozwiązania istnieją, ale nie są w stanie ich wskazać, choć często ważne jest zbadanie własności tychże rozwiązań. Takimi właśnie zagadnieniami zajmuje się jakościowa teoria równań różniczkowych, z której wyrosła teoria układów dynamicznych.

w ostatnich latach termin "układ dynamiczny" zrobił ogromną karierę. Można o nim usłyszeć przy różnych okazjach. Mówiąc bardzo ogólnie i nieściśle, układ dynamiczny opisuje obiekt zmieniający się w czasie. Tak więc układ dynamiczny może być wyznaczony przez Układ Słoneczny, reakcję chemiczną, żywą komórkę lub - ogólniej - żywy organizm. w matematyce wszystko musi być precyzyjnie opisane; podane są pewne aksjomaty, które można interpretować jako własności ruchu, ale często nie mamy konkretnych równań opisujących ten ruch.

Należy tu jednak koniecznie zaznaczyć, że matematyczne pojęcie "układ dynamiczny" zawiera w sobie wiele różnorodnych treści, jako że przyjmuje się rozmaite definicje tego pojęcia. Istnieją w związku z tym różne odgałęzienia teorii, często związane ze sobą bardzo luźno. w efekcie stwierdzenie: "zajmuję się układami dynamicznymi" można interpretować na kilka albo nawet kilkanaście sposobów - podobnie jak: "zajmuję się geometrią" (względnie algebrą).

Twierdzenie Ważewskiego ma wiele wersji i uogólnień. My opiszemy je w sytuacji, gdy dotyczy ono właśnie układów dynamicznych, a dokładnie układów dynamicznych, nazywanych też ciągłymi lub topologicznymi.

Wyobraźmy sobie, że badamy pewien zbiór - na przykład część przestrzeni, w której żyjemy, powiedzmy - potok. Dla każdego punktu potoku zdefiniowany jest ruch jego punktów w czasie. Dokładniej - punktowi x i liczbie t (oznaczającej pewien konkretny czas) przypisany jest punkt, do którego dotrze punkt x po czasie t. To przyporządkowanie nie może być absolutnie dowolne, musi być sensownie określone. Wymagane są od niego trzy warunki, całkowicie naturalne.

Po pierwsze, dowolnemu punktowi x i czasowi zero przyporządkowany jest punkt x. Inaczej być nie może: w czasie 0 punkt się nie rusza.

Po drugie, jeśli punkt x po czasie t dotrze do punktu y, punkt y zaś po czasie s do punktu z, to punkt x po czasie t+s dotrze do punktu z - też jak najbardziej naturalne.

i po trzecie: funkcja, która podaje ten przepis, jest ciągła.

Intuicyjnie, przepis nie dopuszcza "rozrywań" przestrzeni. Gdybyśmy chcieli wyobrazić sobie drogę przebytą przez punkt w pewnym czasie, to tak jakbyśmy rysowali ołówkiem linię. i to wszystko. Właśnie taki układ - parę: zbiór i funkcję, opisującą ruch w tym zbiorze, nazywamy układem dynamicznym. Definicja jest jak najbardziej "życiowa", modeluje wiele naturalnych zjawisk. Choćby właśnie przepływ wody w potoku...

Wiele równań różniczkowych opisuje (w konkretny sposób) ruch punktów w układzie dynamicznym.

Przejdźmy do twierdzenia Ważewskiego (w wersji nieco uproszczonej).

Powiedzmy, że badany ruch odbywa się w standardowej, trójwymiarowej przestrzeni, a nas interesuje pewien zbiór zawarty w tej przestrzeni, który oznaczmy A; niech tym zbiorem będzie jakaś bryła. i tak też to wygląda w opisanych przykładach: można (przy odrobinie dobrej woli) za bryłę uważać stadion piłkarski, zagrodę z owcami, niewątpliwie bryłą jest pudełko, z którego wyciągamy sznurki. Zakładamy ponadto, że zachodzi pewien ważny warunek dotyczący opisu ruchu na brzegu bryły. Otóż przyjmujemy, że jeśli do jakiegoś punktu na brzegu można dojść "od wewnątrz", to dalsza droga tego punktu (a przynajmniej w najbliższej przyszłości) prowadzi poza bryłę. Punkty te nazywamy punktami wyjścia. Innymi słowy, jeżeli wędrujemy w zbiorze a i po jakimś czasie doszliśmy do granicy, musimy natychmiast wyjść poza zbiór A. Być może kiedyś do niego wrócimy, ale dopiero po pewnym czasie. Co to oznacza? Zakazany jest "natychmiastowy powrót". Ponadto niedozwolone jest "ślizganie się po brzegu". Jeżeli się już na tym brzegu znaleźliśmy, to wzdłuż niego wędrować nie wolno!

Ponadto zbiór (wszystkich możliwych) punktów wyjścia z bryły (czyli wyjścia ze stadionu albo dziury w pudełku) jest w odpowiedni sposób związany z badanym zbiorem a - na przykład zbiór a jest spójny (czyli - przypomnijmy - "jednokawałkowy"), zbiór punktów wyjścia zaś składa się z większej liczby kawałków (jest niespójny). w naszych przykładach badaliśmy ruch w pudełku czy wagonie tramwajowym, zaś wyjścia z tramwaju były dwa, a dziury w pudełku trzy.

Przy powyższych założeniach zachodzi teza twierdzenia Ważewskiego, która mówi, że zawsze istnieje w zbiorze a punkt, którego wędrówka będzie się odbywała wyłącznie w środku bryły (w zbiorze A); jest takie miejsce, że jeśli się w nim znajdziemy, to już się z bryły nie wydostaniemy.

Czy rzeczywiście jest to prawdą? Przecież owce wyjdą z zagrody, a wszyscy kibice wrócą do domów (choć może nie wszyscy o własnych siłach). Tak, ale musiało nastąpić w tym celu rozerwanie postronka, którym owce były związane; widoczna z helikoptera plama, którą tworzą kibice piłkarscy, też się rozpadnie. Innymi słowy - gdzieś ruch był nieciągły.

i analogicznie wygląda matematyczne wywnioskowanie pewnych własności Wywierzyska Kościeliskiego. Skoro potok wypływa w dwie strony (już wiemy, że wypływa spod ziemi, choć na to nie wygląda), to:

• albo istnieje punkt, z którego woda nie płynie ani w lewo, ani w prawo, stoi w miejscu lub rusza się nieznacznie, ale z potokiem nie popłynie - coś jakby wir; jeśli rzucimy w to miejsce listek (ale nie papierek, śmiecić w górach nie wolno), to liść nigdzie nie popłynie lub będzie się, w przybliżeniu, kręcił w kółko;

• albo wypływ wody jest nieciągły, czyli istnieje punkt taki, że listek tam rzucony popłynie na przykład w prawo, i istnieją punkty dowolnie blisko tego pierwszego punktu, takie że liście tam umieszczone popłyną w lewo.

i tyle.

A dlaczego twierdzenie nosi nazwę retraktowego?

Żeby to wyjaśnić, trzeba w opowiadanie włączyć jeszcze odrobinę matematyki. Zazwyczaj im ogólniejsze sformułowanie, tym lepiej; tym więcej sytuacji, do których można twierdzenie zastosować. w twierdzeniu Ważewskiego bardzo istotną rolę gra pojęcie retraktu.

Jak wspominaliśmy w poprzednim rozdziale, twórcą teorii retraktów był Karol Borsuk. Ten dział topologii powstał w latach trzydziestych XX wieku. Pojęcie retraktu jest bardzo ważne i wcale nie takie trudne. Mamy pewien zbiór i jego podzbiór; wyobraźmy sobie, że możemy zbiór większy "ścisnąć" na mniejszy (bez rozrywania), tak że żadnego z punktów zbioru mniejszego nie ruszymy. Takie przekształcenie nazywa się retrakcją, zbiór mniejszy zaś retraktem większego. Formalnie mówimy, że zbiór D zawarty w zbiorze F jest retraktem zbioru F, jeśli zbiór F możemy w sposób ciągły przekształcić na zbiór D, tak by wszystkie punkty ze zbioru D pozostały na swoim miejscu. Na przykład: półprosta [0,
) jest retraktem prostej: odpowiednie przekształcenie ściąga wszystkie liczby ujemne do zera, inne zostawia na swoim miejscu. Retrakcji jednego zbioru na drugi może być więcej - oto inny przykład: liczbie ujemnej x przypisujemy liczbę -x, natomiast dodatnią zostawiamy bez zmian - czyli po prostu jest to znana ze szkoły podstawowej funkcja dająca wartość bezwzględną. Można ją opisać obrazowo: zginamy prostą w zerze i lewą półoś nakładamy na prawą.

A przykład negatywny? Jeżeli większy zbiór jest spójny (jednokawałkowy), mniejszy zaś niespójny (na przykład dwukawałkowy), to zbiór mniejszy nie jest retraktem większego. Istotnie, ciągłość nie zezwala na rozrywanie zbioru, nie da się więc zbioru jednokawałkowego przekształcić w sposób ciągły na taki, który ma kawałków więcej - jest to ogólniejsza wersja twierdzenia o przyjmowaniu wartości pośrednich. Inne przypadki: na przykład okrąg nie jest retraktem koła, choć oba zbiory są jednokawałkowe. Rzeczywiście, trudno wyobrazić sobie ściągnięcie koła do jego brzegu, tak by cały brzeg pozostawić na miejscu i niczego w środku nie rozerwać, ale matematyczny, ścisły dowód tego faktu jest trudny. Twierdzenie to można otrzymać jako szybki wniosek z twierdzenia Brouwera o punkcie stałym, o którym była mowa w poprzednim rozdziale.

Innego ładnego przykładu dostarcza wstęga Möbiusa. Wstęgę Möbiusa możemy sobie wyobrazić jako długi, wąski pasek papieru, którego końce sklejamy ze sobą, po uprzednim przekręceniu jednego z nich o 180°. Jest to twór często przytaczany w rozmaitych opowiadaniach o matematyce, przede wszystkim jako przykład powierzchni, która ma tylko jedną stronę; po takim sklejeniu papieru dwa dowolne punkty na kartce można połączyć linią narysowaną bez odrywania ołówka od papieru. Brzegiem wstęgi Möbiusa jest powyginany okrąg, niestandardowo położony w przestrzeni. Jeżeli zaś wcześniej na środku paska papieru była narysowana linia (równoległa do linii brzegowych), to po sklejeniu końców zmieni się ona w okrąg. Okazuje się (i wcale nie jest to trudne do zauważenia), że okrąg na środku paska jest retraktem wstęgi Möbiusa, zaś okrąg brzegowy nie!

Powróćmy do twierdzenia. Ważewski sformułował odpowiednie warunki właśnie za pomocą retraktów. Dokładnie: zbiór punktów wyjścia nie jest retraktem rozważanego przez nas zbioru A (wyjściowej bryły). Opisana powyżej sytuacja była szczególnym przypadkiem następującej: bryła była jednokawałkowa, zbiór punktów wyjścia miał więcej kawałków.

Główna idea twierdzenia Ważewskiego polegała na tym, że z zachowania się punktów na brzegu zbioru można było wyciągnąć wnioski o ruchu wewnątrz zbioru. Brzeg zbioru jest z reguły zbiorem mniejszym niż cały zbiór A, mniej tu do badania, a też często łatwiej co nieco zauważyć.

Zasadniczy pomysł Ważewskiego polegał na badaniu własności rozwiązań równań różniczkowych za pomocą sprytnie zastosowanego aparatu czysto topologicznego; dzięki temu studiując własności brzegu, można było wiele powiedzieć o wnętrzu. Fakt, że w pewnych sytuacjach w danym zbiorze istnieje punkt, z którego na zewnątrz nie można się wydostać, znalazł rozliczne zastosowania. Rzecz okazała się tak ważna i ciekawa, że szybko zaczęto mówić o metodzie retraktowej
Ważewskiego. Metoda ta stała się punktem wyjścia wielu dalszych badań, kontynuowanych do dziś. Znajduje wciąż liczne uogólnienia i zastosowania w rozmaitych zagadnieniach. w latach siedemdziesiątych Charles Conley wykazał pewne bardzo interesujące fakty i, bazując na twierdzeniu Ważewskiego, wprowadził pojęcie indeksu, zwanego dziś indeksem Conleya. Teoria indeksu Conleya zaowocowała również rozmaitymi zastosowaniami i jest wciąż rozwijana.

Twierdzenie Ważewskiego pochodzi z roku 1947. Jeden z najznakomitszych specjalistów w dziedzinie równań różniczkowych, Solomon Lefschetz, stwierdził w 1961 roku, że metoda retraktowa Ważewskiego jest najoryginalniejszym rezulatem w równaniach różniczkowych po II wojnie światowej. a w ciągu tych 15 lat odkryto w równaniach różniczkowych niemało... Ponadto, co miłe, twierdzenie Ważewskiego jest polskim diamentem matematyki. Fachowcy twierdzą, że zalicza się do największych powojennych osiągnięć matematyki polskiej. Gdy w roku 1983 przygotowywano Międzynarodowy Kongres Matematyków w Warszawie i zastanawiano się nad emblematem kongresu, jedną z rozważanych propozycji było ujęcie w odpowiedni rysunek ilustracji metody retraktowej Ważewskiego.

Tadeusz Ważewski (1896-1972) był jednym z najwybitniejszych polskich matematyków. On właśnie doprowadził do stworzenia w Krakowie zwartego zespołu zajmującego się równaniami różniczkowymi; można mówić o stworzeniu szkoły równań różniczkowych, która wspaniale się rozwinęła zaraz po II wojnie światowej. Do miast, z których polska matematyka jest słynna na całym świecie, doszedł - po Lwowie i Warszawie - Kraków.

Niezależnie od doskonałych wyników naukowych - a oprócz twierdzenia retraktowego było ich wiele - Ważewski dokonał wielkiego dzieła, kształcąc młodych matematyków; kilkunastu jego uczniów zostało profesorami. Warto może wspomnieć o ciekawostce: podczas jednej z wizyt Ojca Świętego w Polsce zorganizowano w Lublinie spotkanie papieża z naukowcami. Wśród kilku matematyków zaproszonych na spotkanie większość stanowili uczniowie Ważewskiego. Jak wielki był wpływ mistrza na uczniów, obrazuje następujący fakt: zmarły w 1980 roku wybitny polski matematyk Jacek Szarski w swym krótkim, dwustronicowym życiorysie cztery razy wymienił nazwisko Ważewskiego. Pisał na przykład, że zajmował na Uniwersytecie Jagiellońskim stanowisko profesora nadzwyczajnego przy Katedrze Analizy Matematycznej kierowanej przez Tadeusza Ważewskiego.

Stosunek Ważewskiego do ludzi dobrze obrazuje następujące zdarzenie: kiedy Ważewski wychodził z Instytutu Matematyki, ktoś go zatrzymał i zaczął z nim rozmawiać. Po chwili rozmówca powiedział: "Ale ja nie będę dłużej przeszkadzał, widzę, że pan profesor się śpieszy". Na to Ważewski: "A nie, to ja pana bardzo przepraszam. Ja się istotnie śpieszę, ale nie powinienem dać panu tego po sobie poznać".

Wiele ciekawych historii o Ważewskim opowiadał (wspomniany w rozdziale piątym) ksiądz profesor Andrzej Turowicz. Turowicz wstąpił do zakonu benedyktynów w Tyńcu zaraz po
II wojnie światowej; sądził wtedy, że na tym kończą się jego kontakty z matematyką. Wkrótce potem jednak Ważewski zajął się powojenną organizacją krakowskiego ośrodka matematycznego i udał się do Turowicza z prośbą o podjęcie wykładów na uniwersytecie. Turowicz rzekł, że on tu nic nie ma do powiedzenia i skierował Ważewskiego do przeora. Właśnie pod wpływem rozmowy z Ważewskim przeor powiedział Turowiczowi: "Skoro cię potrzebują, to nie możesz odmówić". Także za habilitację księdza Turowicza odpowiedzialny jest Ważewski. Ksiądz doktor mówił profesorowi, że jemu, księdzu i benedyktynowi, nie jest to do niczego potrzebne. Tym niemniej - jak opowiadał ojciec Turowicz - Ważewski nie dopuszczał do siebie w ogóle myśli, że coś może odbyć się inaczej, niż on zaplanował. i tak doszło do kolokwium habilitacyjnego. Gdy przed kolokwium ksiądz zapytał Ważewskiego, jak taki egzamin wygląda, bo chciałby się przygotować, ten odpowiedział: "No cóż, najwyżej zostanie ksiądz męczennikiem, a chyba o niczym innym ksiądz bardziej nie marzy?"

Zbiory punktów wyjścia mogą być bardzo różne...

I TAK WRÓCIMY DO STANU POCZĄTKOWEGO,
czyli twierdzenie o powracaniu

Każdy z nas w mniejszym lub większym stopniu miał do czynienia z kalkulatorem. Jeszcze nie tak dawno maleńkie elektroniczne liczydła były symbolem gwałtownego postępu techniki i fizyki, dziś trudno bez nich wyobrazić sobie życie. Matematycy rzadziej korzystają z usług kalkulatorów; konkretne rachunki to raczej specjalność inżynierów i techników. Każdemu jednak może się zdarzyć, że gdy wpadnie mu w ręce kalkulator z różnymi funkcjami, to zacznie się nim bawić (bo akurat ma chwilę czasu). Elementem tej zabawy może być badanie, jak zachowa się takie cacko w sytuacjach nietypowych: próbujemy dzielić przez zero, wyciągać pierwiastek z liczby ujemnej itp. Sprawdzamy też jego "siłę". Podnosimy ustaloną liczbę do jakiejś potęgi, dopóki się "nie zatka". Przyciskamy wielokrotnie klawisz z funkcją sinus, pierwiastek albo logarytm i patrzymy, co wyjdzie, nie mając zbyt wielkiej nadziei na uzyskanie zaskakujących rezultatów. Okazuje się jednak, że taka "niewinna" zabawa może mieć poważne konsekwencje i prowadzić do ważnych teorii. Wielokrotne powtarzanie tej samej operacji (iteracja) też ma związek z układami dynamicznymi, którym poświęciliśmy trochę uwagi w poprzednim rozdziale. Tam była mowa przede wszystkim o układach nazywanych "ciągłymi". Te związane z iteracjami często bywają nazywane układami dynamicznymi dyskretnymi.

Badaliśmy ruch punktów w czasie. w przypadku układów dyskretnych jest podobnie, z tym że zamiast liczb rzeczywistych, odpowiadających wszystkim możliwym czasom, interesują nas liczby całkowite (albo nawet wyłącznie naturalne). Po prostu sytuację analizujemy w konkretnych odstępach czasu - na przykład co sekundę albo co minutę, co godzinę, co dzień itp.

Teoria ma wiele interesujących modeli. Chodzi o to, że niejednokrotnie z danych o pewnym "stanie" w konkretnym roku czy dniu wynika, jak wygląda odpowiedni stan w roku następnym. Dzięki temu można symulować i badać wiele ważnych procesów, nawet wtedy, gdy trzeba dokonywać pewnych uproszczeń. Istnieją rozmaite przykłady pochodzące z biologii. Jednym z klasycznych jest badanie liczby drapieżników i ofiar w pewnym środowisku, przy założeniu, że z ich liczby w danym roku można wnioskować o analogicznej liczbie w roku następnym.

Spróbujmy opisać układy dyskretne bardziej formalnie. Badamy pewien zbiór. Dla każdego jego punktu zdefiniowane jest położenie tego punktu po pewnym czasie - ale wyłącznie po czasie odpowiadającym liczbie naturalnej! Precyzyjnie: punktowi x i liczbie n (oznaczającej czas albo "liczbę skoków") przypisany jest punkt, do którego dotrze punkt x po czasie n. Przypomnijmy, że za liczbę naturalną uważamy również 0. Ponownie muszą być spełnione określone warunki - podobne jak w przypadku układu ciągłego. Po pierwsze, dowolnemu punktowi x i czasowi zero przyporządkowany jest punkt x. Tak jak poprzednio: w czasie 0 punkt się nie rusza. i po drugie, jeśli punkt x po czasie k dotrze do punktu y, punkt y zaś po czasie n do punktu z, to punkt x po czasie k+n dotrze do punktu z - też analogicznie jak w przypadku ciągłym.

Ale uwaga - nie żądamy niczego od funkcji, która elementowi przestrzeni i liczbie naturalnej przyporządkowuje odpowiedni element przestrzeni! Badany bowiem czas jest "dyskretny", interesują nas tylko liczby naturalne - pojęcie ciągłości zaś jest istotnie związane z tym, że z punktem dziedziny możemy wiązać jego małe otoczenia. Chociaż...

Najpierw zauważmy, że zachodzi pewien prosty, a niesłychanie interesujący związek. Rozważmy funkcję, która zbiór X odwzorowuje w ten sam zbiór X; innymi słowy, dziedzina jest równa zbiorowi wartości. Może to być jak najbardziej klasyczna funkcja "szkolna" zmiennej rzeczywistej; powiedzmy, dana wzorem f(x)=x/2 . Ale możliwa jest również taka sytuacja: rzucamy patyczek do strumienia i robimy zdjęcia, na przykład co dziesięć sekund. Dowolnemu punktowi x potoku nasza funkcja przypisuje punkt, w którym patyczek rzucony na punkt x znajdzie się po dziesięciu sekundach.

Zauważmy - taka funkcja wyznacza dyskretny układ dynamiczny! Przecież skoro przekształca ona zbiór X w ten sam zbiór, możemy operację powtórzyć, a potem jeszcze raz... w ten sposób punktowi x i czasowi n przypisany jest obraz punktu x po n-krotnym zastosowaniu przekształcenia (po n iteracjach). Po jednej minucie patyk dopłynie w to miejsce, które uzyskamy jako końcowy efekt operacji polegającej na przemieszczeniu się patyka po pierwszych dziesięciu sekundach, potem po przemieszczeniu po dziesięciu sekundach z tego nowego punktu - i tak dalej, w sumie sześć razy. Możemy przyjąć, że f²(x)=f(f(x)); analogicznie definiujemy fⁿ(x). Dla funkcji określonej przez f(x)=x/2 mamy, na przykład, kolejne pozycje liczby 1: 1, 1/2, 1/4, 1/8... Oczywiście po czasie 0 się nie ruszamy.

Oznacza to, że chcąc rozważać dyskretny układ dynamiczny, wystarczy mieć zadaną funkcję, która osiąga wartości w swojej dziedzinie. Także na odwrót - układ wyznacza generującą go funkcję; jest nią odwzorowanie, które punktowi przyporządkowuje obraz po czasie 1 (po prostu - pierwsza iteracja). i teraz możemy nawiązać do ciągłości.

Skoro badanie dyskretnych układów dynamicznych można sprowadzić po prostu do badania iteracji jednej konkretnej funkcji, to sensowne wydaje się rozważanie funkcji w miarę "porządnych". Ciągłość jest warunkiem jak najbardziej sensownym. z tym że...

Rozważmy jedną z najprostszych, najlepiej znanych funkcji: funkcję kwadratową. Dokładnie - funkcję daną wzorem f(x)=kx(1-x), gdzie k jest liczbą z przedziału (3,4). Jako badany zbiór weźmy nie cały zbiór liczb rzeczywistych, ale wyłącznie przedział [0,1]. Każdy uczeń pierwszej klasy szkoły średniej bez trudu sprawdzi, że wartości badanej funkcji leżą w przedziale [0,1] - można więc iterować, mamy układ dynamiczny. Nasuwa się pytanie - przecież funkcja jest taka prosta, czy tu w ogóle może się stać coś ciekawego, interesującego matematyków końca XX wieku? Tymczasem - rzecz niezwykła: dzieją się tu rzeczy niesamowite! o niektórych z nich wspomnimy w rozdziale jedenastym, a w ogóle badaniom iteracji tej funkcji można by poświęcić kilka grubych tomów. w związku z tym kolejny problem - skoro z przekształceniami tak prostej funkcji mogą się dziać rzeczy dziwne, to czy w ogóle jest sens zajmować się mniej porządnymi funkcjami? Ale i na to pytanie odpowiedź jest twierdząca.

Jeszcze jeden przykład. Przekształcenie, które niebawem się pojawi, jest na tyle słynne, że ma swoją nazwę. Chodzi o przekształcenie piekarza.

Odwzorowuje ono kwadrat na kwadrat; funkcję tę można łatwo opisać wzorem, ale lepiej chyba wyobrazić sobie poglądowo, o co chodzi. Transformacja składa się z dwóch etapów; najpierw kwadrat (o boku 1) przekształcamy na prostokąt o podstawie długości 2 i wysokości 1/2 . Dokonujemy tego za pomocą jak najbardziej naturalnej operacji: ściskamy kwadrat od góry. Podstawa nam się wydłuży, wysokość skróci. Celem naszym jest jednak przekształcenie kwadratu w kwadrat, a mamy prostokąt; ucinamy więc (pionowo) prostokąt w połowie i "prawą" jego część przenosimy, kładąc ją na część lewą, której nie ruszamy.

Widać, skąd się wzięła nazwa: tak przecież wyrabia się ciasto! Ścisnąć, przepołowić, położyć jedną część na drugą, i znowu to samo. i tak wielokrotnie.

Skoro taką metodą pracują piekarze i gospodynie domowe, to zapewne dobrze się w ten sposób miesza wyjściowy kwadrat? Tak jest w istocie, o czym można się przekonać rysując na przykład koło o promieniu 1/4 i o środku w środku kwadra-tu, i zobaczyć, co się z nim stanie po kilku iteracjach. Osoby mające dostęp do komputera, a ponadto odpowiednio przygotowane, mogą to zrobić bez kolejnych odręcznych rysunków - za to szybko, dzięki właściwemu programowi, ujrzą efekty po większej liczbie iteracji.

Przekształcenie piekarza jest niewątpliwie "wzięte z życia" i warto się nim zajmować (jest ono zresztą ważnym przykładem, pomaga w rozmaitych badaniach). Zwróćmy jednak uwagę na to, że nie jest ono ciągłe! Istotnie, podczas operacji dokonujemy "rozerwania". Możemy także zaobserwować, co się dzieje z rozważanym przed chwilą kołem: po przekształceniu jego obraz składa się z dwóch kawałków. Psuje się spójność.

Nie mamy ciągłości; przekształcenie piekarza ma za to inną ważną własność. Mówiąc uczonym językiem, zachowuje miarę.

Miara jest uogólnieniem klasycznego pola na płaszczyźnie lub objętości w przestrzeni. Chodzi o to, byśmy mogli mierzyć jak najwięcej zbiorów, tak jednak, by spełnione były pewne podstawowe własności (na przykład pole sumy figur rozłącznych równe ma być sumie pól tych figur). Jeśli w jakimś zbiorze mamy określoną miarę, to część jego podzbiorów (a być może wszystkie) potrafimy zmierzyć. Zmierzyć - czyli przypisać podzbiorom pewną liczbę nieujemną (lub nieskończoność). Modelowym przykładem jest pole zdefiniowane dla pewnych figur na płaszczyźnie. Miara kwadratu o boku 1 wynosi 1, miara koła o promieniu 1 wynosi
, miara pojedynczego punktu - 0, miara całej płaszczyzny - nieskończoność.

w rozdziale szóstym poświęciliśmy trochę uwagi temu, jak można sobie poradzić w sytuacji, gdy interesująca nas własność nie zachodzi dla wszystkich badanych elementów. Oczywiście, gdy matematycy próbują wykazać jakieś twierdzenie, to najbardziej ich cieszy, gdy odpowiedni fakt jest prawdziwy dla każdego rozważanego obiektu. Gdy jednak tak się nie zdarzy, w wielu sytuacjach nie trzeba załamywać rąk; czasem wystarcza stwierdzenie, że zbiór elementów, które naszej własności nie spełniają, jest "mały". Ale co to znaczy "mały"? i na to pytanie można odpowiadać rozmaicie, pod kątem różnych teorii matematycznych - w zależności od potrzeb. Jak się okazało, ważnym kryterium jest zachodzenie własności wszędzie poza zbiorem pierwszej kategorii. Ale nie jest to kryterium jedyne! w zagadnieniach związanych z teorią miary z reguły nie przeszkadza w niczym, gdy rozważana właściwość zachodzi wszędzie poza zbiorem miary zero. w matematyce mówi się często w takich sytuacjach, że własność zachodzi prawie wszędzie albo że własność mają prawie wszystkie punkty.

Zbiory miary zero mogą mieć całkiem dużo elementów! Gdy rozważamy na przykład najbardziej naturalną miarę na prostej, uogólniającą długość przedziału, to nie jest zaskoczeniem, że zbiory złożone z pojedynczych punktów czy wszystkie zbiory skończone mają miarę zero. Ale istnieją także zbiory nieskończone o tej własności. Nie powinien dziwić fakt, że zbiór liczb naturalnych ma miarę zero. Ale na przykład miarę zero ma też zbiór liczb wymiernych, a nawet pewne zbiory "większe" od niego.

Przy okazji - anegdota. Studenci matematyki UJ, wzorem słynnych lwowskich poprzedników, przez wiele lat ogłaszali zadania i problemy, których nie umieli rozwiązać (i również obiecywali nagrody). i ongiś, w latach siedemdziesiątych, pewien student zaproponował problem, oferując nagrodę: kilogram mięsa. Tu trzeba dodać dygresję historyczną dla młodszych czytelników: w owych czasach kilogram mięsa był niewątpliwym rarytasem, a sklepy mięsne niczym się nie różniły od sklepów z proszkami do prania (z wyjątkiem napisów nad drzwiami). Nagrodą za rozstrzygnięcie innego problemu była bateria płaska (też nieosiągalna w sklepach). i oto gdy problem "mięsny" został pokonany, autor rozwiązania zażyczył sobie, by w owym kilogramie mięsa kość była zbiorem miary zero. Student, który postawił problem, zaczął się zastanawiać, jak praktycznie doprowadzić do tego, by kość miary zero tworzyła w mięsie zbiór gęsty (czyli na przykład taki, jak zbiór liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych).

Wróćmy do układów dynamicznych. w tej chwili możemy już przedstawić twierdzenie o powracaniu.

Załóżmy, że w pewnej przestrzeni dany jest dyskretny układ dynamiczny. o przestrzeni tej wiemy jednak coś więcej; mamy w niej określoną miarę. Zakładamy ponadto, że miara całej przestrzeni to liczba dodatnia (nie jest równa nieskończoności) oraz że funkcja opisująca układ dynamiczny wiąże się w pewien sposób z określoną w przestrzeni miarą: dla każdego zbioru A o określonej mierze miara jego przeciwobrazu jest równa mierze zbioru A. Wytłumaczmy to dokładniej.

Przykładem przestrzeni o mierze skończonej może być koło, okrąg, kwadrat czy dowolny wielokąt na płaszczyźnie - jako zbiory "mierzalne" bierzemy te, dla których określone jest pole. Łatwo zauważyć, że każdy z nich ma miarę skończoną. Jedną z podstawowych i intuicyjnie najbardziej naturalnych własności miary jest to, że jeśli zbiór i jego podzbiór są mierzalne, to podzbiór danego zbioru nie może mieć miary większej niż sam zbiór.

Natomiast przeciwobraz danego zbioru A to zbiór wszystkich punktów, które po przekształceniu trafią do zbioru A; to jakby powrót do źródeł. Jeśli na przykład funkcja każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje jej kwadrat (f(x)=x²), to przeciwobrazem przedziału [0;1] jest przedział [-1;1]. Wspomniana własność mówi, że jeśli potrafimy "zmierzyć" zbiór A, to możemy to również zrobić ze zbiorem elementów, które przekształcone przez badaną funkcję trafią do A, i miary tych zbiorów będą takie same.

Zobaczmy to na przykładzie; rozważmy świetnie nam znaną symetrię osiową. Przeciwobraz dowolnego zbioru wygląda tak samo, jest tylko inaczej położony - to oczywiste, że jego miara się nie zmieni. Podobnie dzieje się w przypadku symetrii środkowej, obrotu, translacji itp. To są jednak bardzo porządne przekształcenia, nie "mieszają" zbytnio przekształcanego zbioru. Ale własność "zachowywania miary" mają też liczne inne funkcje, na przykład przekształcenie piekarza.

Sformułujmy teraz twierdzenie Poincarégo. Mamy układ dyskretny, określony w przestrzeni o mierze skończonej, dany przez przekształcenie zachowujące miarę. Rozważmy dowolny podzbiór przestrzeni o niezerowej mierze, oznaczmy go przez A. Twierdzenie mówi, że prawie każdy element zbioru A kiedyś do niego powróci! Inaczej: rozważamy zbiór tych elementów z A, które po żadnym czasie dodatnim się w nim nie znajdą; okazuje się, że ten zbiór jest niewielki - miary zero. Czas, o którym mowa, może być różny dla różnych punktów, niemniej pozostaje faktem, że prawie każdy punkt kiedyś powróci do zbioru A.

Twierdzenie można sformułować w jeszcze ciekawszej formie. Otóż przy założeniu pewnych dodatkowych (absolutnie naturalnych) własności całej przestrzeni można stwierdzić, że prawie każdy punkt wróci do badanego zbioru nieskończenie wiele razy! Innymi słowy, nawet w przypadku układów bardzo mieszających przestrzeń, wszystkie (z wyjątkiem niewielu, leżących w zbiorze miary zero) elementy zbioru A nieskończenie wiele razy znowu się w nim pojawią.

Można powiedzieć, że jeśli posługujemy się cały czas tą samą operacją, to niemożliwe jest wyrzucenie na zawsze niepożądanych elementów. Jeśli non stop stosujemy tę samą procedurę, to prawie wszyscy wyrzuceni osobnicy znowu do nas przyjdą - i to wiele razy.

To piękne i bardzo ważne twierdzenie prowadzi do rozmaitych zaskakujących i paradoksalnych wniosków. Na przykład: wiadomo, że jeśli umieścimy w zamkniętym pojemniku jeden lub kilka gazów, to ich cząsteczki poruszają się, nie zmieniając objętości. Wyobraźmy sobie teraz, że w pojemniku są dwa gazy, na przykład szlachetny argon i rudy dwutlenek azotu, oddzielone ścianką. Jeśli w pewnym momencie tę ściankę usuniemy, to oczywiście gazy zaczną się mieszać. Po pewnym czasie jednak, choć wydaje się to nieprawdopodobne, sytuacja powróci do stanu pierwotnego, czyli - bez żadnej naszej ingerencji znowu po jednej stronie będzie bezbarwny argon, a po drugiej rudy dwutlenek azotu! Wykazanie tego jest możliwe dzięki odpowiedniemu doborowi przestrzeni, w której określamy układ dynamiczny. Więcej - można wspomnieć o jeszcze bardziej zaskakującym efekcie. Wszystkie cząsteczki we Wszechświecie ruszają się w sposób nie zmieniający miary! Gdy przyjmiemy, że dzieje się to w sposób losowy, to stwierdzimy, że dzisiejsza konfiguracja we Wszechświecie musi się kiedyś (z dokładnością do osobliwości na zbiorze miary zero) powtórzyć...

Powyższe stwierdzenia wywołać mogą naturalny sprzeciw. Niemal każdy powie - przecież to jest niemożliwe! I, co gorsza, będzie miał rację. Czy w związku z tym twierdzenie jest fałszywe, czy gdzieś tkwi błąd? Nie - po prostu ruch cząsteczek ani w pojemniku z gazem, ani we Wszechświecie nie trwa w nieskończoność. Oczywiście, trwa on bardzo, bardzo długo, ale wiadomo, że czas istnienia czy to Układu Słonecznego (w którym umieszczony jest pojemnik z gazem), czy też Wszechświata jest, niestety, ograniczony. w związku z tym ruch nie będzie trwać wiecznie - i w tym tkwi sedno sprawy. Ewentualny czas powrotu do sytuacji wyjściowej byłby znacznie dłuższy niż czas istnienia Wszechświata. Nie zmienia to jednak faktu, że być może inne badane zjawiska mogą się kiedyś powtórzyć.

Kilkanaście lat temu w świecie matematycznym głośny stał się bardzo ciekawy model praktycznej interpretacji twierdzenia Poincarégo. Otóż za pomocą komputera poddano "mieszaniu" umieszczony na ekranie portret Poincarégo. Po paru iteracjach można się było jeszcze domyślić pierwotnego wzorca, lecz wkrótce potem obraz przedstawiał już wyłącznie chaotycznie rozmieszczone różnokolorowe kropki, nic zbliżonego do jakiegokolwiek sensownego kształtu. Jednakże już po kilkuset powtórzeniach tej samej mieszającej procedury na ekranie pojawiała się znowu twarz Poincarégo! Co prawda nie tak wyraźna, jak na początku - lekko zamazana, ale to jest właśnie efekt tych niedokładności na zbiorze miary zero. Tak więc można na modelowym obrazie zobaczyć, że (pozornie nie uporządkowane) zjawisko chaotyczne wcale nie musi być tak całkowicie nieregularne, jakby się wydawało...

B. Sanderson/J.R. Gutchfield/Scientific American 12/1986

Nie sprzątajmy, mamo. Jeśli będę odpowiednio długo bałaganił, to kiedyś w pokoju zapanuje idealny porządek.

Warto także poświęcić kilka zdań Henri Poincarému. Był on jednym z najwybitniejszych matematyków w historii. Urodził się we Francji w roku 1854, zmarł w 1912. Uważany był za ostatniego (może z wyjątkiem Hilberta), który ogarniał umysłem całą współczesną mu matematykę; nazywano go czasem ostatnim uniwersalistą. Uzyskiwał wybitne rezultaty w rozmaitych działach matematyki. Wiele jego pomysłów i idei zrealizowano później; w zasadzie do dziś jego prace inspirują matematyków do nowych badań. Poincaré nie ograniczał się do matematyki; jego prace dotyczyły także mechaniki, filozofii, fizyki, geologii, astronomii... Niewiele brakowało, by właśnie Poincaré stał się twórcą szczególnej teorii względności. Takie zainteresowania Poincarégo powodują, że nie zaskakuje nas związek jego czysto matematycznych badań z paradoksalnymi modelami dotyczącymi mechaniki ruchu gazów czy Wszechświata. w matematyce najwybitniejsze wyniki Poincarégo dotyczą topologii (dziś uznawany jest za twórcę jej ważnego odgałęzienia - topologii algebraicznej), równań różniczkowych, teorii liczb, geometrii - w szczególności modeli geometrii nieeuklidesowych - i rachunku prawdopodobieństwa. Był jednym z pionierów badań nad jakościową teorią równań różniczkowych. w dużej mierze dzięki niemu zaczęto geometrycznie podchodzić do rozmaitych problemów, dotyczących w szczególności równań różniczkowych - tak jak później dzięki Banachowi zaczęto geometrycznie badać przestrzenie funkcyjne. Poincaré napisał także dwie powieści (które, niestety, nie zachowały się do dziś). Znany jest jednak przede wszystkim jako matematyk.

Pewnym zagadnieniom związanym z układami dyskretnymi i próbami "okiełznania chaosu" poświęcimy jeszcze trochę uwagi w następnych rozdziałach.

O USTAWIANIU LICZB NATURALNYCH,
czyli twierdzenie Szarkowskiego

Są takie słowa, które nie tylko stosunkowo często pojawiają się w języku potocznym, ale również należą do terminologii matematycznej. Jednym z nich jest "porządek".

Matematyczne znaczenie tego słowa jest podobne do potocznie używanego. Mamy jakiś zbiór i chcemy jego elementy jakoś... no, właśnie. Pierwsze słowo, które przychodzi nam na myśl, to "uporządkować".

Formalna, matematyczna definicja porządku nie jest trudna. Warto ją tu przytoczyć. Załóżmy, że mamy jakiś zbiór i chcemy porównywać jego elementy. Porównanie to nazwijmy, dla uproszczenia, "mniejszością". Powinno ono spełniać tylko dwa naturalne warunki: po pierwsze - dowolne dwa różne elementy powinny być porównywalne, i to "tylko w jedną stronę", to znaczy, że jeśli a jest różne od b, to albo a jest mniejsze od b, albo większe od b, ale nie może być jednocześnie i mniejsze, i większe; po drugie - jeśli a jest mniejsze od b i b jest mniejsze od c, to a jest mniejsze od c.

i to wszystko. Należy zaznaczyć, że rozważane są różne rodzaje porządków, z dodatkowymi warunkami (lub rezygnacją z niektórych); do tego zagadnienia jeszcze wrócimy. Warto jednak już w tym momencie zaznaczyć, że ta tematyka stanowi istotny fragment ważnego działu matematyki.

Ktoś mógłby stwierdzić: a po co nam to? Przecież takie porządkowanie wydaje się rzeczą tak absolutnie oczywistą, że chyba nie ma sensu się tym zajmować!
Otóż jest inaczej. Najpierw zauważmy, że porządki w sposób niezwykle istotny odgrywają rolę w życiu codziennym, choć może na pierwszy rzut oka tego nie widać. Pomyślmy jednak, jakie problemy mieliby listonosze, gdyby domy na ulicach nie były ponumerowane? Jak wypożyczyć książkę bez katalogu? Jak odnaleźć kasetę z nagraniem wśród tysiąca innych? Wyobraźmy sobie, jak długo musielibyśmy czekać w kolejce, by oddać głos w wyborach, gdyby spis wyborców nie był ułożony w logicznej kolejności. Zapewne frekwencja wyborcza nie przekroczyłaby jednego procenta. Przykłady można mnożyć.

Myliłby się ten, kto myślałby, że w każdym zbiorze można podać tylko jeden sensowny porządek. Rozważmy choćby zbiór uczniów jednej klasy w szkole, powiedzmy, wyłącznie męskiej. w dzienniku są oni umieszczeni, rzecz jasna, alfabetycznie i jest to kolejność logiczna. Ale podczas lekcji wychowania fizycznego (czyli, mówiąc po ludzku, gimnastyki) chłopcy nie będą się ustawiali w szeregu alfabetycznie, lecz według wzrostu i takie ustawienie wydaje się najbardziej sensowne. z kolei wojskowa komisja poborowa będzie ich wzywała według jeszcze innej reguły: począwszy od najstarszego (dokładnie po ukończeniu 18 lat). Można znaleźć jeszcze kilka kryteriów: od najlepszego ucznia (według średniej ocen szkolnych), według tego, jak chłopcy siedzą w klasie (począwszy od pierwszej ławki przy oknie).

Oczywiście, takie ustawienia spełniają nasze wyjściowe warunki. Dwóch uczniów nie będzie miało tego samego numeru w dzienniku, zawsze jeden z nich ma numer wyższy. z kolei jeśli Ciesielski jest przed Pogodą, a Pogoda przed Pośmiechowskim, to Ciesielski jest przed Pośmiechowskim. Podobnie przy innych uporządkowaniach.

Oznacza to, że w tym samym zbiorze często możemy stosować rozmaite porządki. Ogólnie jest ich bardzo wiele. Na przykład już w zbiorze pięcioelementowym aż sto dwadzieścia! Pierwszy element możemy wybrać na pięć sposobów, drugi na cztery... Bez trudu można znaleźć wzór ogólny na liczbę porządków w zbiorze n-elementowym. Nie o to jednak chodzi, by rozważanych porządków było jak najwięcej. Ważne jest, ażeby te, którymi się chcemy zajmować, były w jakiś sposób sensownie określone.

Jeżeli rozważamy rozmaite porządki w tym samym zbiorze, musimy je inaczej oznaczać - w przeciwnym razie zapanowałby niezły galimatias. Symbolem "<" oznaczamy standardową mniejszość; inne znaczki, których możemy używać, to na przykład:

w świetnie nam znanym nieskończonym zbiorze liczbowym, zbiorze liczb naturalnych N, mamy taki porządek, którego nawet nie zauważamy, tak się do niego przyzwyczailiśmy:
0 < 1 < 2 < ... (lub 1 < 2 < 3 < ..., jeśli zaczynamy od jedynki). Oczywiście, można wymyślać rozmaite inne ustawienia, ale wydawać by to się mogło zwyczajnym udziwnianiem. Po co to komu?
Porządkiem w zbiorze liczb naturalnych dodatnich będzie, w szczególności, ustawienie następujące:

, ...

Wytłumaczmy regułę, według której wypisaliśmy te liczby. Nietrudno ją zresztą odgadnąć. Najpierw wypisujemy w kolejności rosnącej wszystkie liczby nieparzyste; potem (ponownie w kolejności rosnącej) wszystkie możliwe iloczyny liczb nieparzystych i liczby 2, następnie wszystkie możliwe iloczyny liczb nieparzystych i liczby 4 i tak dalej. Wiadomo, że każda dodatnia liczba naturalna rozkłada się w sposób jednoznaczny na iloczyn liczb pierwszych. w przedstawionym porządku na początku są te, które nie mają w rozkładzie dwójki, potem te, które mają tylko jedną dwójkę... Wypisywanie możemy kontynuować. Jasne, że żadna liczba nie będzie użyta dwukrotnie. Chcemy jednak wypisać wszystkie liczby naturalne, została nam jedynka i potęgi dwójki. Te jednak wymieńmy w kolejności malejącej, to znaczy na końcu będzie jedynka, przed nią dwójka, przed dwójką czwórka... Uporządkowaliśmy w ten sposób wszystkie liczby całkowite dodatnie.

Poprzednie pytanie pozostaje jednak w mocy. Po co to? Jakąś logikę w tym ustawieniu widać, ale tego rodzaju ustawień można wymyślić wiele. Czy jest sens poświęcać temu uwagę? Tymczasem okazuje się, że taki porządek w zbiorze liczb naturalnych jest związany z jednym z oryginalniejszych i bardziej zaskakujących twierdzeń matematycznych drugiej połowy XX wieku. Co ciekawe - rezultat odkryty w latach sześćdziesiątych przez kilkanaście lat pozostawał praktycznie nie zauważony! Dziś należy do klasyki w dziedzinie układów dynamicznych, a znany jest wielu matematykom specjalizującym się w innych działach. Zanim jednak sformułujemy to twierdzenie, poświęćmy jeszcze trochę uwagi pewnym własnościom funkcji ciągłych i dyskretnych układów dynamicznych, które już się pojawiły w tej książce.

Przypuśćmy, że badamy jakieś przekształcenie pewnego zbioru w siebie i będziemy to przekształcenie wykonywać wielokrotnie, czyli - innymi słowy - mamy dany dyskretny układ dynamiczny. Punkty tego zbioru możemy ze względu na ich ruch podzielić na dwie kategorie:

• punkty, nazywane punktami okresowymi, które po pewnej liczbie iteracji powrócą na swoje miejsce,

• punkty, które nigdy nie wrócą na miejsce startu, czyli punkty nieokresowe.

Nietrudno domyślić się, że punkty okresowe mają w rozmaitych badaniach duże znaczenie. Istotnie: jeżeli układ dynamiczny opisuje pewne zjawisko, pewien proces, to ważne będzie, kiedy stwierdzimy, że konkretna sytuacja kiedyś się powtórzy. Zauważmy, że okresowość danego punktu powoduje, iż na podstawie znajomości pewnej liczby początkowych kroków ruchu punktu możemy już opisać dokładnie całą jego dalszą wędrówkę! Gdy bowiem punkt x po n krokach powróci na swoje miejsce, to po kroku o numerze n+1 będzie tam, gdzie po kroku pierwszym. w ten sposób mamy zdeterminowaną całą trasę. Formalnie punkt x nazywamy okresowym dla funkcji f, gdy dla pewnego n obrazem punktu x poprzez n-krotne złożenie funkcji f będzie punkt x. Taką liczbę n nazywamy okresem funkcji f.

Rzecz jasna, jeżeli liczba n jest okresem pewnej funkcji, to liczba 2n również; po prostu po raz drugi powtarzamy cały cykl. Analogicznie okresem tej funkcji będzie dowolna wielokrotność liczby n. Oczywiście, podczas badań interesuje nas, kiedy punkt wróci na swoje miejsce po raz pierwszy. Najmniejszy okres nazywa się okresem zasadniczym lub podstawowym.

Punkty okresowe o okresie 1 to po prostu punkty stałe; zbiór może być przekształcany nawet w sposób bardzo dziwny, a one stoją na swoim miejscu. Jeżeli rozważanym zbiorem jest płaszczyzna, odwzorowaniem zaś - symetria osiowa, to oś symetrii jest zbiorem punktów stałych, a wszystkie pozostałe punkty są okresowe o okresie zasadniczym równym 2.

Istnienie punktów okresowych możemy badać w szczególności w przypadku funkcji najbliższych naszej intuicji, czyli funkcji ciągłych jednej zmiennej. Spróbujmy przeanalizować kilka przykładów. Najprostsza jest funkcja liniowa, na przykład postaci f(x) = 2x. Tu wiele ciekawego nie da się powiedzieć: 0 jest punktem stałym (o okresie 1), innych punktów okresowych nie ma. Rzeczywiście, dla x dodatnich mamy zawsze związek
f(x) > x, natomiast dla ujemnych f(x)<x, z czego wynika, że startując od pewnego punktu, już do niego nie powrócimy.

Gdy współczynnik kierunkowy jest ujemny, będzie podobnie, z jednym wyjątkiem - dla funkcji f(x)=-x. Zachowuje się ona jak symetria środkowa na płaszczyźnie - punktem stałym jest 0, pozostałe są okresowe o okresie zasadniczym 2.

Sytuacja staje się znacznie ciekawsza, gdy rozważymy funkcję kwadratową. Najprostsza, dana wzorem f(x)=x², wiele nowego nie wniesie - mamy dwa punkty stałe (0 oraz 1) oraz jeden punkt o okresie 2 (punkt -1). Dzieje się tak dlatego, że dla x z przedziału (0;1) mamy f(x)<x, a dla x>1 mamy f(x)>x. Gdy zaś wystartujemy od liczby ujemnej, następne jej iteracje będą liczbami dodatnimi, więc do punktu wyjścia nigdy nie wrócimy.

Możemy jednak badać funkcje kwadratowe o trochę innej, wspomnianej już, postaci: f(x)=kx(1-x) w zależności od parametru k. Badania tych funkcji prowadzą do nader zaskakujących wniosków, czemu poświęcimy trochę uwagi w następnym rozdziale. Na razie zauważmy tylko, że jeżeli k jest równe 1, to mamy tylko jeden punkt stały (0), innych punktów okresowych nie ma. Gdy natomiast k jest równe 3, to istnieją dwa punkty stałe (łatwo je odnaleźć) i jeden punkt o okresie równym 2 (ten już trochę trudniej wykryć, choć z dowodem jego istnienia można sobie poradzić). Kiedy natomiast k=7/2, to mamy trzy rodzaje punktów okresowych: o okresach 2, 4 oraz punkty stałe.

Mamy zatem przykłady funkcji ciągłych z punktami o okresach 1, 2, 4. Poszukajmy funkcji z punktami o okresie 3. Pobieżne próby podstawienia znanych funkcji, by coś takiego znaleźć, zazwyczaj nie dadzą szybko rezultatu. Jednak dla chcącego nic trudnego! Jak to zrobić? Spróbujmy podejść do problemu inaczej - nie startując od funkcji, ale od punktu. Niech będzie nim na przykład 1. To on ma mieć okres trzy. Wobec tego f(1) ma być czymś różnym od 1, podobnie f(f(1)), ale już f(f(f(1))) równe jest z powrotem 1. No to niech obrazem jedynki będzie dwójka, dwójki - trójka, trójki zaś - jedynka. Jeżeli uda nam się teraz funkcję zadaną w trzech wartościach uzupełnić do funkcji ciągłej, otrzymamy to, co chcemy. Ale takie uzupełnienie jest przecież bardzo łatwe - wystarczy narysować kilka linii. Tak więc 1 jest punktem okresowym o okresie 3; podobnie liczby 2 i 3.

Pozostańmy jeszcze przez chwilę przy tak skonstruowanej funkcji. Zastanówmy się na przykład, czy ma ona punkt stały. To bardzo proste, graficznie istnienie punktu stałego wiąże się z faktem, że wykres funkcji przecina prostą o równaniu y=x. z własności przyjmowania wartości pośrednich, której poświęciliśmy rozdział trzeci, wynika, że jakkolwiek byśmy naszej funkcji nie skonstruowali, to w przedziale (2,3) będzie ona miała punkt stały. w tym konkretnym przypadku znajdziemy go bez problemu - to liczba 7/3 .

Sprawdźmy teraz, czy nasza funkcja ma punkt o okresie 2. Jak się do tego zabrać? Najlepiej naszkicować wykres funkcji f•f. To nietrudne, jeśli się pamięta o tym, że złożenie funkcji liniowych jest funkcją liniową. Należy badać funkcję f "kawałkami" - i rysunek gotowy.

Po co nam f•f? Po prostu punkt o okresie 2 funkcji f (niekoniecznie zasadniczym) musi być punktem stałym funkcji f•f. a punkty stałe łatwo znaleźć na rysunku, wystarczy poszukać na wykresie punktów przecięcia ze znaną prostą... Tu, jak wyraźnie widać, są trzy takie punkty i bez trudu można je wyliczyć: 5/3 , 7/3 , 8/3 . Fakt, że znalazła się tu liczba 7/3 , nie dziwi - skoro jest ona punktem stałym funcji f, to tym bardziej funkcji f•f. Pozostałe dwie nie są jednak punktami stałymi f, są więc punktami o okresie zasadniczym 2.

Tę zabawę można kontynuować, badając kolejne złożenia. Pozostawiamy to hobbystom (przy czym należy zdawać sobie sprawę, że dla większej liczby złożeń jest to bardziej żmudne i łatwo o pomyłkę), zapewniamy jednak, że przy każdej badanej liczbie n złożeń znajdzie się punkt o okresie zasadniczym n. Skąd to wiadomo? By na to pytanie odpowiedzieć, powróćmy do wypisanego wcześniej dziwacznego porządku w zbiorze liczb naturalnych.

w roku 1964 w czasopiśmie "Ukrainskij Matematiczeskij Żurnał" ukazała się praca matematyka z Kijowa, Aleksandra Nikołajewicza Szarkowskiego: Współistnienie cyklów ciągłego przekształcenia prostej w siebie. Praca została przedstawiona do druku w marcu 1962 roku, gdy Szarkowski miał 25 lat.

Artykuł liczył 11 stron (gęsto zadrukowanych cyrylicą), a dotyczył w zasadzie jednego twierdzenia. Twierdzenia następującego: Jeżeli
oznacza opisany wyżej porządek) i funkcja ciągła prowadząca ze zbioru liczb rzeczywistych w siebie ma punkt o okresie zasadniczym k, to funkcja ta ma też punkt o okresie zasadniczym l.

Porównajmy to z poznanymi przed chwilą przykładami. Funkcja opisana przepisem f(x)=x miała tylko punkty stałe, o okresie 1; funkcja f(x)=-x miała punkty o okresach 1 i 2 - te liczby są na samym końcu porządku Szarkowskiego. Funkcja f(x)=7/2•x•(1-x) miała punkty o okresach 1, 2 i 4. Ostatnie zaś odwzorowanie było tak dobrane, by miało punkt o okresie 3 - a zatem i wszystkie inne.

Warto się chwilę zastanowić nad niesamowitym urokiem tego twierdzenia. Pozwala ono uporządkować wszystkie liczby naturalne tak, że dla dowolnej funkcji ciągłej zmiennej rzeczywistej istnienie punktów o okresie równym "wcześniejszej" liczbie pociąga za sobą istnienie punktów o okresach równych wszystkim "późniejszym" liczbom.

Gdyby zachodziły tylko pewne fragmenty tego twierdzenia, nie byłoby ono może tak oryginalne. Gdyby na przykład mówiło ono o tym, że z istnienia punktu o okresie 2^k+1 wynika istnienie punktu o okresie 2^k. Ale własność istnienia punktu o odpowiednim okresie ustawia wszystkie liczby naturalne!
Dalej, i to też jest ciekawe - porządek Szarkowskiego wprowadza między poszczególnymi liczbami rozróżnienie istotne! To znaczy, jeżeli
, to istnieje funkcja, która ma punkt o okresie n, ale nie ma punktu o okresie k. Poniżej podany jest (na rysunku) przykład funkcji, która ma punkt o okresie 5, ale nie ma punktu o okresie 3. Sprawdzenie nieistnienia tam punktu o okresie 3 nie jest zbyt trudne, wymaga jednak w miarę dokładnej analizy tej funkcji.

Należy jeszcze dodać, że dowód Szarkowskiego nie zawierał żadnych matematycznych "fajerwerków" ani nie korzystał z zaawansowanych rezultatów. Praktycznie polegał on na wielokrotnym i umiejętnym wykorzystywaniu własności przyjmowania wartości pośrednich. Mamy zatem kolejną piękną konsekwencję tej własności; możemy ją dołączyć do tych, o których była mowa w rozdziale czwartym.

Praca Szarkowskiego w świecie matematycznym nie została zauważona. Przede wszystkim dlatego, że ukazała się w języku rosyjskim, a dodatkowo "Ukrainskij Matematiczeskij Żurnał" nie był najsłynniejszym matematycznym czasopismem Związku Radzieckiego. Poza tym wówczas ta tematyka nie była "modna" - jej czas nadszedł później. Można powiedzieć, że Szarkowski udowodnił swoje twierdzenie za wcześnie. Nie wiadomo zresztą, czy on sam zdawał sobie sprawę z tego, jaką sławę osiągnie za kilkanaście lat jego wynik.

Ponad 10 lat później, w roku 1975, Tien-Yien Li oraz James A. Yorke opublikowali w czasopiśmie "The American Mathematical Monthly" pracę Period three implies chaos (Z okresu trzy wynika chaos). Wykazali w niej, że jeżeli funkcja ciągła przeprowadzająca domknięty przedział liczbowy na siebie ma punkt o okresie 3, to ma również punkt o dowolnym innym okresie.

Bez trudu zauważamy, że jest to pewien drobny fragment twierdzenia Szarkowskiego! Ten, który mówi, że liczba 3 jest na samym początku. Co prawda Szarkowski pisał o funkcjach określonych na całym zbiorze liczb rzeczywistych, ale przejście od niego do przedziału (i na odwrót) nie jest zbyt trudne.

Li i Yorke w swej pracy pokazali także inną interesującą rzecz. Zauważyli oni (a tego w pracy Szarkowskiego nie było), iż z faktu istnienia punktu o okresie 3 wynika także to, że w badanym przedziale znajduje się "duży" zbiór punktów, które poddane kolejnym iteracjom nie tylko nigdy nie wrócą na początkową pozycję, ale będą się zachowywać mocno nieregularnie, chaotycznie (stąd tytuł pracy). Własności tego chaotycznego zachowania zostały dokładnie scharakteryzowane, ale nie będziemy tu wchodzić w szczegóły.

Warto zwrócić uwagę na to, gdzie Li i Yorke opublikowali swe wyniki. "The American Mathematical Monthly" jest oficjalnym pismem organizacji The Mathematical Association of America (nie należy jej mylić z The American Mathematical Society). Pismo to jest czytane szeroko na całym świecie, publikują w nim swe prace znani i wybitni matematycy, ale nie jest to czasopismo, do którego wysyłano by do publikacji efekty badań "pierwszej linii" (ani nawet drugiej). Obok zadań, recenzji, informacji o nowościach wydawniczych, artykułów historycznych czy też traktujących ogólnie o matematyce, a także tekstów poświęconych nauczaniu matematyki, publikowane są tu oryginalne rezultaty matematyczne (wraz z dowodami), raczej jednak o charakterze mniej specjalistycznym, będące w stanie zainteresować szeroką rzeszę matematyków i siłą rzeczy mniej zaawansowane. Prawdopodobnie Li i Yorke potraktowali swój wynik jako dość ciekawy (problemy iterowania funkcji nabierały wówczas znaczenia), lecz nie na tyle, by mógł zainteresować liczące się czasopismo specjalistyczne.

Wtedy właśnie, w drugiej połowie lat siedemdziesiątych, problemami iteracji i odpowiednimi zastosowaniami zaczynało się interesować coraz więcej matematyków. Już na przełomie lat sześćdziesiątych i siedemdziesiątych coraz bardziej znany stawał się fakt, że "dziwne rzeczy" dzieją się z funkcjami typu f(x)=kx(1-x). w roku 1976 głośno zrobiło się o stałej Feigenbauma, o której będzie mowa w następnym rozdziale. Także w roku 1976 znane (choć wcale nie matematyczne) czasopismo "Nature" wydrukowało piękny artykuł Roberta B. Maya, zajmującego się ekologią matematyczną. Praca Maya Simple mathematical models with very complicated dynamics z jednej strony była przeglądem znanych faktów, a z drugiej wielu zainspirowała do dalszych badań. No i wreszcie w roku 1977 na uniwersytecie w Princeton (jednym z najsilniejszych ośrodków matematycznych na świecie) opublikowano artykuł On iterated maps of the interval, którego autorami byli John Milnor i William Thurston.

Kiedy Milnor, jeden z najwybitniejszych matematyków XX wieku, pod koniec lat pięćdziesiątych dowiódł istnienia nietypowych struktur związanych ze sferami n-wymiarowymi, jego wyniki zbulwersowały i zachwyciły świat matematyczny. w roku 1962 Milnora nagrodzono największym wyróżnieniem w matematyce, Medalem Fieldsa. Natomiast "dni Thurstona" były dopiero przed nim; on otrzymał Medal Fieldsa w roku 1983 za wybitne osiągnięcia w dziedzinie geometrii.

Można powiedzieć, że zajęcie się Milnora tą tematyką było dla wielu sygnałem, iż problemy tego typu są ważne. Tym bardziej że pokrewnymi zagadnieniami zajmował się inny zdobywca Medalu Fieldsa, Stephen Smale.

Dodatkowo już od pewnego czasu w podświadomości wielu matematyków tkwiła chęć "okiełznania chaosu". Wiele zjawisk w przyrodzie przebiega chaotycznie i bardzo ważne były próby ich logicznego opisu. i tu się okazało, że pozornie proste iteracje mogą mieć z tym istotne związki.

Chwileczkę! Coś tu chyba jest nie tak. Zajmujemy się co prawda nietypowym, ale jednak porządkiem w zbiorze liczb naturalnych, iteracjach i punktach okresowych. a tu ni stąd, ni zowąd pojawia się chaos. Chaos kojarzy się przecież z nieporządkiem, sytuacjami nieprzewidywalnymi, gwałtownie zmieniającymi się w czasie. Zresztą, nie tylko porządki, ale cała matematyka - czy może mieć coś wspólnego z chaosem? Matematyka kojarzy się z logiką i (niemal idealnym) ładem. Jak można to pogodzić z przypadkiem i nieprzewidywalnością? Zjawiskami przypadkowymi zajmują się co prawda rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna, to jednak coś trochę innego. w dziedzinach tych opracowuje się (między innymi) metody badające, czy dane zdarzenie ma szansę zajść, czy też nie. Chaos kojarzy się raczej z nieprzewidywalnymi zjawiskami fizycznymi: chaotyczne są kształty chmur, dymu z komina (szczególnie w czasie wiatru), kształt powierzchni morza, zwłaszcza w czasie sztormu, strumienia wody wypływającej z kranu. Trudno opracowywać długoterminowe prognozy pogody, niełatwo przewidzieć notowania giełdowe, procesy gospodarcze, biologiczne. Każdy sam może wskazać wiele zjawisk, które uznaje za chaotyczne. Jak opisać te ulotne sytuacje? Były one tak powszednie i tak skomplikowane, że przez wiele stuleci nawet nie zauważano problemu. Później wydawało się, iż takich spraw nie da się matematycznie opisać. Ale pojawili się ludzie, którzy się uparli, żeby badać zjawiska chaotyczne. Byli wśród nich Edward Lorenz i Mitchell Feigenbaum - niematematycy - oraz Benoit Mandelbrot. Dokonania ich oraz wielu innych przyczyniły się do tego, że pojęcie chaosu na trwałe weszło do matematyki. Przy okazji okazało się, że chaos pojawia się w sytuacjach, gdy - wydawałoby się - czego jak czego, ale chaosu nie powinniśmy się spodziewać, na przykład przy iteracjach odwzorowania f(x)=kx(1-x).

Oprócz tego z chaosem wiążą się zjawiska fizyczne. No właśnie! Matematyka służy przecież także do opisu zjawisk fizycznych.

Pod koniec lat siedemdziesiątych nastąpiła istna eksplozja prac i konferencji związanych z iteracjami, chaosem i zagadnieniami pokrewnymi. Dość szybko odnaleziono wynik Szarkowskiego. Wkrótce pojawiły się inne, krótsze dowody twierdzenia o tym niestandardowym porządku (także oparte przede wszystkim na własności Darboux); autorami najczęściej chyba dziś przytaczanego dowodu jest czwórka matematyków: Louis Block, John Guckenheimer, Lai-Sang Young i Polak Michał Misiurewicz; ich dowód pochodzi z roku 1979.

Należy koniecznie zauważyć, że wynik Szarkowskiego jest w sposób bezdyskusyjny "jednowymiarowy". Najlepiej przytoczyć tu przykład: rozważmy na płaszczyźnie obrót o kąt 120°. Punkt, wokół którego obracamy płaszczyznę, jest punktem stałym; wszystkie pozostałe są okresowe o okresie 3. Istotnie, każdy punkt po trzykrotnym wykonaniu obrotu powróci na swoje miejsce. Tak więc na płaszczyźnie analogicznego porządku wprowadzić nie można. Ktoś mógłby spytać: może jednak da się to zrobić, tylko trójka nie będzie na początku? Ale na to pytanie odpowiedzieć bardzo łatwo: dla dowolnej liczby n można skonstruować takie przekształcenie płaszczyzny, ażeby miało tylko punkty o okresie podstawowym n oraz jeden punkt stały. Wystarczy wykonać obrót o odpowiedni kąt.

Istnieją, co prawda, prace, próbujące konstruować podobne porządki według przybliżonych mechanizmów w sytuacjach wyżej wymiarowych. Twierdzenia te nie są jednak tak ładne, tak przejrzyste; niektóre robią wrażenie próby "podpięcia się" na siłę do klasycznego już, słynnego twierdzenia.

w pewnym sensie Szarkowski miał pecha. Jego wynik długo pozostawał nie zauważony, a pewną jego część udowodniono później raz jeszcze - i tę inną pracę dziś często się cytuje, ona właśnie jest uważana za podstawową. Ale z drugiej strony Szarkowski miał szczęście. Co prawda po długim oczekiwaniu, ale jednak jego rezultat stał się słynny, podręcznikowy, i na całym świecie wiąże się go dziś z jego imieniem. Od dawna mówi się "twierdzenie Szarkowskiego", a nie zdarza się to zbyt często, gdy dotyczy rezultatów żyjących matematyków. Częściej cytuje się autora, twierdzenia się jednak nie nazywa.

Dzięki odnalezieniu oryginalnego porządku w zbiorze liczb naturalnych Szarkowski stał się sławny. Bo też jego rezultat w pełni na uznanie zasługuje.

Kapral Szarkowski melduje drużynę ustawioną według wzrostu:
115, 191, 130, 180, 168, 152, 189 cm

A TO JUŻ JEST ZŁOŚLIWOŚĆ,
czyli stała Feigenbauma

Zacznijmy od anegdoty. Kilka lat temu pewien wybitny fizyk wygłaszał popularnonaukową prelekcję o strukturze Wszechświata. Podczas wykładu przytoczył słowa Alberta Einsteina: "Bóg jest pomysłowy, ale nie złośliwy" (Raffiniert ist der Herrgott, aber boshaft ist er nicht). Chcąc lepiej zinterpretować to powiedzenie, użył między innymi pewnego porównania matematycznego.

Otóż wyobraźmy sobie, że zaproponowano nam oryginalną grę: ktoś wymyśla liczbę rzeczywistą, a my ją mamy odgadnąć, przy czym wolno nam próbować wielokrotnie. Zadanie wydaje się beznadziejne, zwłaszcza jeżeli ów ktoś chce, by zagadka była ciekawa, skutkiem czego liczbą do odgadnięcia nie jest nic "oklepanego", jak 0, 1 czy nawet
, lecz coś oryginalnego - liczba przestępna, czyli taka (jak pamiętamy), której nie da się uzyskać jako pierwiastka żadnego wielomianu o współczynnikach całkowitych. Liczb takich jest bardzo dużo, w pewnym sensie więcej niż tych pozostałych - algebraicznych (o porównywaniu "wielkości" zbiorów nieskończonych będziemy mówić w rozdziale trzynastym). Ale takie znane, słynne liczby przestępne są tylko dwie, a mianowicie e i 
. Autor zagadki nie chce być złośliwy, dlatego daje nam szansę na rozwiązanie. Zatem szukaną liczbą będzie albo
, albo e. i próbujemy: czy to jest
? Jeśli tak, to zgadliśmy, a jeśli nie, to pytamy o e. i to wszystko. Na podobnej zasadzie zbudowany jest Wszechświat - bardzo oryginalnie, niestandardowo; można powiedzieć, że Stwórca wykazał się niesłychaną pomysłowością. Ale nie był złośliwy: Wszechświat został zbudowany tak, by człowiek mógł tę budowę rozszyfrować.

Oczywiście, znanych liczb przestępnych jest więcej: 2e, 3e, 2
, 3
... Są one jednak skonstruowane na bazie dwóch słynnych wymienionych liczb. Wiadomo oczywiście i o innych, na przykład
, ale ten fakt nie jest powszechnie znany (nawet nie wszyscy matematycy o tym wiedzą). Czasem zresztą ciężko wyrokować "na oko"; o liczbach
+ e,
×e , e^e,
^e do dziś nie wiadomo, czy są przestępne, co więcej, nie wiadomo nawet, czy są wymierne! a z kolei liczba
jest przestępna.

Podczas wykładu, o którym mowa, profesor opowiedział o tym porównaniu i stwierdził, że tu pomysłowość polega na wymyśleniu liczby przestępnej, brak złośliwości zaś na tym, że takie słynne liczby są tylko dwie: e i 
. Wówczas odezwał się na sali inny fizyk, mówiąc:
- A jest jeszcze przecież stała Feigenbauma!
Na to wykładowca:
- A, to już jest złośliwość.

Dla osób, które nigdy nie słyszały o stałej Feigenbauma, taka historia zabrzmi intrygująco. Czym jest liczba, której znaczenie porównuje się z rolą, jaką odgrywają e oraz
? Na początku lat siedemdziesiątych XX wieku o stałej Feigenbauma nikt nie słyszał!
Matematyka, podobnie jak inne dziedziny, wciąż się rozwija (choć niektórym się wydaje, że to już niemożliwe). Czy możemy mieć pewność, że znamy już najważniejsze stałe matematyczne? Co prawda liczba
towarzyszy naszej cywilizacji od kilku tysięcy lat, ale jej naturę zaczęliśmy poznawać stosunkowo niedawno, mniej więcej wtedy, gdy pojawiła się w matematyce liczba e, a od tego czasu minęło lat niespełna czterysta. Czy mamy prawo przypuszczać, że już nic nowego, zaskakującego nas nie spotka? To, że przez kilkaset lat utrwalił się pewien pogląd na matematykę, nie znaczy, iż zawsze tak będzie. Spojrzenie starożytnych Greków na matematykę obowiązywało przez prawie dwa tysiące lat, gdy w wieku XVII pojawił się rachunek różniczkowy, który całkowicie zmienił pojmowanie tej nauki. Dziś nie potrafimy sobie wyobrazić matematyki bez metod różniczkowych. z kolei współczesny matematyk (i nie tylko matematyk) nie może się obejść bez zbiorów i języka ich teorii (czyli teorii mnogości), choć dziedzina ta powstała mniej więcej sto lat temu.

w zacytowanym przykładzie o nietypowych liczbach istotną rolę gra czas, w którym dokonano porównania. Może się okazać, że za kolejne sto lat pojmowanie matematyki będzie inne niż dziś. Rozmaite fundamentalne prawa i stałe są odkrywane dopiero wtedy, gdy nauka osiąga pewien stopień rozwoju. Kto wie, ilu ważnych rzeczy nie jesteśmy w stanie dziś nawet przewidzieć? Pan Bóg nie jest złośliwy, ale pomysłowości nie można mu odmówić... Dopiero odpowiednia wiedza matematyczna pozwoliła na dotarcie do stałej Feigenbauma.

Jej odkrycie było swego rodzaju sensacją w świecie matematycznym. Sprawa ma znów ścisły związek z iteracjami. Pamiętamy, że punkty stałe i punkty okresowe funkcji są z wielu powodów interesujące. Nietrudno zauważyć, że dość łatwo można skonstruować funkcję ciągłą, określoną na przedziale, taką, by miała ona dokładnie tyle, ile chcemy, punktów stałych. Wystarczy, iż wiemy, że graficznie punkt stały to po prostu punkt przecięcia wykresu funkcji z prostą o równaniu y=x.

Gdy jednak interesują nas punkty o pewnym konkretnym okresie, sytuacja jest trochę inna. Na przykład - jeżeli punktów o okresie zasadniczym 2 jest skończenie wiele, to ich liczba jest parzysta. Łatwo to uzasadnić. Rozważmy dowolny taki punkt, oznaczmy go przez x₁; po pierwszej jego iteracji otrzymamy x₂, różny od x₁ (f(x₁) = x₂), a po drugiej właśnie x₁. Ale po ponownym przekształceniu znów wrócimy do x₂, co oznacza, że x₂ też jest punktem okresowym! Rozumowanie można przeprowadzić dla innych liczb naturalnych, stosując tę samą metodę. Na "szlaku wędrówki" punktu o okresie zasadniczym n leży zawsze n różnych punktów i wszystkie one są okresowe. Jeśli zatem liczba punktów o danym okresie jest skończona, to w przypadku okresu równego 2 liczba tych punktów jest podzielna przez 2, w przypadku okresu równego 6 - podzielna przez 6 i tak dalej.

Obiektem naszych rozważań będzie wspomniana już funkcja kwadratowa, dana wzorem f(x) = kx(1-x). To zadziwiające, jak "niewinna" i szkolna funkcja znalazła się w centrum zainteresowania współczesnej matematyki. Doczekała się nawet swojej nazwy; w literaturze spotykamy określenie odwzorowanie logistyczne albo funkcja logistyczna. Zbadamy ją w zależności od parametru k, przy czym będą nas interesowały jedynie punkty okresowe z przedziału [0,1]. Dobór taki nie jest przypadkowy; wystarczy zauważyć, że dla k dodatnich wszystkie badane funkcje wyglądają w tym przedziale bardzo podobnie. Mają dwa miejsca zerowe: 0 oraz 1, w przedziale [0, 1/2] rosną, w 1/2 osiągają maksimum, po czym w przedziale [1/2 , 1] maleją. Jedyna różnica polega na tym, że im większe k, tym większa jest wartość maksimum. Wydawałoby się, że ewentualne "machinacje" z tak podobnymi do siebie funkcjami nie powinny dawać różnych efektów. Co prawda, niewielkie zmiany współczynnika mogą mieć jakieś znaczenie w zastosowaniach praktycznych, lecz cóż jest ciekawego w takiej zabawie dla matematyka? a jednak...

Najpierw zbadajmy liczbę punktów stałych. To bardzo proste, wystarczy rozwiązać równanie kx(1-x) = x w zależności od parametru k. Dla k
istnieje tylko jeden taki punkt - jest nim zawsze 0 (interesują nas jedynie wartości x z przedziału [0,1]), dla k > 1 pojawia się drugi taki punkt, równy k - (1/k) ; im większe k, tym bardziej drugi punkt stały zbliża się do jedynki.

Szukanie punktów o okresie 2 jest trochę trudniejsze; wymaga przeprowadzenia pewnego, choć wcale nie bardzo skomplikowanego, rachunku. Wynik jest taki, że dla
punktów takich nie ma, dla k > 3 zaś są. Przypomnijmy, że istnienie punktów okresowych jest ze sobą pięknie związane twierdzeniem Szarkowskiego. Gdy parametr k jest liczbą dodatnią nie większą niż 4, to badana funkcja kwadratowa przekształca przedział [0,1] w ten sam przedział. Można więc skorzystać z twierdzenia Szarkowskiego; wynika zeń między innymi, że jeśli funkcja nie ma punktu o okresie podstawowym 2, to może mieć jedynie punkty stałe, punkty o innym okresie nie wchodzą w rachubę. Oznacza to, że dla k z przedziału (0,3] jedynymi punktami okresowymi odpowiedniej funkcji kwadratowej są punkty stałe, przy czym dla k
(0,1] istnieje jeden taki punkt (równy zero), a dla k
(1,3] dwa - w tym zero.

Wspominaliśmy już, że gdy
, to mamy trzy rodzaje punktów okresowych: o okresach 2, 4 oraz punkty stałe. Dokładnie: są dwa punkty stałe, dwa o okresie 2 i cztery o okresie 4 - czyli po prostu są tu dwie trajektorie okresowe: jedna z okresem 2 i jedna z okresem 4. Gdy k należy do przedziału (3; 3 1/2 ), punktów o okresie 4 nie ma, czyli (znowu na mocy twierdzenia Szarkowskiego) istnieją tu tylko punkty stałe i o okresie 2.

Przeanalizujmy tę sytuację graficznie. Wykres funkcji f(x)=kx(1-x) na przedziale [0,1] jest łukiem paraboli o końcach w punktach na osi OX o odciętych 0 i 1. Gdy zwiększamy k, łuk paraboli wydłuża się do góry. Początkowo jedynym punktem wspólnym łuku z prostą o równaniu y = x jest początek układu współrzędnych; gdy jednak k stanie się większe od 1, pojawi się drugi wspólny punkt, który w miarę zwiększania k będzie wędrował coraz wyżej.

Zmiany te odbywają się w sposób płynny. Nie zaskakuje więc to, że funkcja, która wartości k przypisuje jedyny dodatni punkt stały, jest funkcją ciągłą (określoną dla k > 1). Zresztą, podaliśmy już przepis: wartością w punkcie k jest (k-1)/k . Wykres tej funkcji przedstawiono na rysunku.

Spróbujmy ten rysunek uzupełnić. Otóż badamy nie tylko punkty stałe, ale wszystkie punkty okresowe. Zaznaczmy dla danego ustalonego k wszystkie punkty okresowe, pojawiające się dla funkcji f(x)=kx(1-x). Dla k > 3 będą trzy takie punkty, bo dojdą wtedy dwa punkty o okresie 2. Gdy k przekroczy liczbę 3 1/2, to pojawią się cztery kolejne wartości - czyli punkty o okresie 4.

Oczywiście to, co teraz przedstawia rysunek, nie jest wykresem zwykłej funkcji o wartościach rzeczywistych. Liczbie k odpowiada więcej liczb. Na marginesie - tak opisane przyporządkowanie można traktować jako funkcję, ale nie przypisującą liczbie k zależnej od niej innej (jedynej) liczby, lecz pewien zbiór liczbowy; rysowanie wykresu takiej funkcji nie jest wdzięcznym zajęciem. Porzućmy więc ten wątek i wróćmy do rysunku. Dość wyraźnie widać, co się dzieje - gdy mamy jeden punkt stały, to wraz ze wzrostem k zmienia on swoje położenie, aż nagle następuje tajemnicze BUM! lub coś w tym rodzaju i pojawiają się dwa nowe punkty. Gdy już one są (a my dalej zwiększamy k), to i one zmieniają swoją pozycję w sposób ciągły (w zależności od k), do momentu gdy nagle pojawią się cztery kolejne punkty okresowe (te o okresie 4).

Wiele zjawisk w matematyce może sprawiać wrażenie tajemniczych, niezrozumiałych, podobnych do czarnoksięskich sztuczek. Często dzieje się tak z powodu braku zrozumienia istoty zagadnienia. Gdy wiadomo "gdzie siedzi diabeł", sprawa może się wydać śmiesznie prosta.

Podobnie jest i w tym wypadku. Przyglądając się spokojnie odpowiednim definicjom i wykorzystując elementarne własności, przekonujemy się, że pewne sprawy muszą mieć taki a nie inny przebieg. Jak szukać punktów o okresie 2? Są to punkty stałe złożenia funkcji f samej z sobą, czyli funkcji f•f. Wykres takiej funkcji (w zależności od parametru k) jesteśmy w stanie - choć może nie całkiem dokładnie - naszkicować. Wystarczy w tym celu przypomnieć sobie, że złożenie dwóch funkcji rosnących jest funkcją rosnącą, funkcji rosnącej i malejącej - malejącą... Rysujemy więc wykres odwzorowania f•f (zależnego od k) i, jak poprzednio, zwiększamy parametr k, patrząc, co się dzieje. Dla małych k mamy jeden punkt wspólny wykresu z prostą y = x; jest to dobrze nam już znany punkt stały funkcji f, który musi oczywiście być także punktem stałym funkcji f•f. Obserwujemy, jak podnosi się badany wykres, i nie będzie dla nas zaskoczeniem, że dla pewnego k nagle powstaną dwa nowe punkty przecięcia, razem więc będą trzy. Te punkty to oczywiście punkty o okresie 2, gdyż punkt stały f był tylko jeden (dalej zresztą zaznaczony). Początkowo te dwa punkty będą bardzo blisko punktu stałego, ale w miarę wzrostu k oddalą się. Zatem nagłe pojawienie się dwóch punktów okresowych nie jest niczym nadzwyczajnym. Podobnie "zobaczymy" wykreowanie punktów o okresie 4 (powstaną one z punktów o okresie 2, punkt stały już teraz niczego nie wygeneruje), ale do tego celu należy analizować rysunek czterokrotnego złożenia funkcji f, co jest mniej przejrzyste.

Gdy już to wszystko wiemy, nie będzie dla nas zaskoczeniem, że przy wzroście k po pewnym czasie pojawią się punkty o okresie 8. Potem będą te o okresie 16, 32...

Okazuje się, że owo "podwajanie okresu" następuje w coraz to mniejszych odstępach. Kończy się gdzieś w okolicy liczby 3,58.

Jaki to wszystko ma związek ze stałą Feigenbauma. Jak zauważyliśmy, przy zmianie parametru k w pewnych momentach następuje zmiana charakteru istniejących punktów okresowych. Jest to pewnego rodzaju zaburzenie opisywanego układu (matematycy często mówią: bifurkacja). Nowo powstały układ znowu przez pewien czas zachowuje się regularnie, do momentu kolejnego zaburzenia. i tak dalej.

Dla pewnych następuje zjawisko "podwajania okresu", czyli pojawienia się punktów o nowych okresach. Oznacza to, że w ten sposób możemy opisać jak najbardziej naturalnie skonstruowany ciąg. Jego pierwszy wyraz (oznaczmy go k₁) to ta wartość k, dla której po raz ostatni występuje jedynie punkt stały, a potem wciąż są już także punkty o okresie 2. Wyraz k₂ to ten, w którym pojawią się punkty o okresie 4. Wyraz k₃... Taki ciąg jest ciągiem rosnącym.

Nas będą jednak interesować nie tylko wyrazy tego ciągu. Można zadać pytanie, jak długo trzeba czekać na kolejne zaburzenie. Innymi słowy, jaka jest długość odcinka pomiędzy kolejnymi punktami bifurkacji? Nie jest to pytanie trudne; jeżeli przez k_n oznaczaliśmy owe punkty zaburzeń, to długość odcinka wynosi k_n+1 - k_n. Nie dziwi fakt, że długości tych odcinków się zmniejszają. To właśnie zjawisko badał w 1975 roku Mitchell Feigenbaum.

Feigenbaum jest fizykiem i na początku lat siedemdziesiątych rozpoczął pracę w słynnym ośrodku w Los Alamos (w tym samym, w którym pracował Ulam). Wielu z jego znajomych twierdzi, że Feigenbaum był postacią dość ekscentryczną. Podobno eksperymentował z "wydłużoną dobą". Nie chciał naturalnie zmieścić 30. godzin w 24., ale eksperymentował nad 26--godzinnym cyklem dobowym. Nikt nie miał pojęcia (podobno nawet on sam), czym dokładnie się zajmuje.

w 1975 roku wziął udział w pewnej konferencji, gdzie miał okazję usłyszeć Stephena Smale'a mówiącego o układach dynamicznych i odwzorowaniu logistycznym. Podobnymi zagadnieniami Feigenbaum interesował się już wcześniej, ale zrezygnował z badań nad tą tematyką. Powrócił do niej jednak, gdy dowiedział się, że na początku lat siedemdziesiątych kilka osób niezależnie zauważyło, iż zachowanie się tak elementarnej funkcji jak kwadratowa pod wpływem iteracji nie jest wcale proste. w szczególności, tajemnicze było dziwne zachowanie się funkcji po zakończeniu stadium "podwajania okresów".

Analizując kolejne punkty, w których okresy się podwajały, Feigenbaum zaczął się zastanawiać nad sposobem zmian długości odcinków łączących miejsca kolejnych zaburzeń. Analizował on po prostu iloraz

Jest to iloraz dwóch liczb: w liczniku mamy odległość pewnego punktu bifurkacji od punktu poprzedniego, w mianowniku odległość tego punktu od punktu następnego.

Feigenbaum zrobił rzecz bardzo prostą: obliczał kolejne ilorazy. Kilka wieków temu byłoby to zajęcie niezwykle czasochłonne (podobnie jak "ręczne" szukanie kolejnych przybliżeń liczby
), ale w latach siedemdziesiątych już używano kalkulatorów. z drugiej strony - nie było wtedy możliwości szybkiego zbadania opisanego zjawiska za pomocą odpowiednio oprogramowanego komputera. Komputery już istniały, ale ich użycie było raczej kłopotliwe i wiązało się z czasochłonnymi przygotowaniami, a także niebagatelnymi kosztami, więc wykorzystywano je głównie do ważnych i skomplikowanych obliczeń.

Przy badaniu kolejnych ilorazów okazało się, że coraz bardziej zbliżają się one do pewnej liczby. Dokładnie, jej rozwinięcie dziesiętne zaczynało się od 4,6692. Nie było w tym nic zaskakującego - przecież wiele rozmaitych ciągów ma granice. Na przykład ciąg liczb (1+ 1/n )ⁿ ma granicę, równą w przybliżeniu 2,7182..., czyli po prostu e. Własności badanego ciągu sugerowały, że i on może być zbieżny. Feigenbaum nie obliczył granicy (nie bardzo zresztą wiadomo było, jak to zrobić), lecz znalazł jej w miarę dokładne przybliżenia. i nie ma w tym jeszcze żadnej sensacji. Ale...

Feigenbaum powtórzył swoje doświadczenie dla innej funkcji. Wiadomo było, że w przypadku świetnie znanej funkcji
f(x) = k sinx, badanej na przedziale [0,
], również przy wzroście k następują w odpowiednich miejscach (choć, oczywiście, innych niż dla funkcji kwadratowej) zaburzenia związane z pojawianiem się nowych punktów okresowych. Feigenbaum zaczął więc badać analogiczne ilorazy - i tu właśnie się zaczęło! Okazało się, że w przypadku funkcji sinus iloraz różnic między kolejnymi punktami bifurkacji zmierza do tej samej liczby, co w przypadku funkcji kwadratowej. Feigenbaum nie udowodnił tego faktu; tak jak poprzednio badał przy użyciu kalkulatora kolejne przybliżenia. Doszedł do kilkunastu cyfr po przecinku i obie liczby zgadzały się na każdym badanym miejscu. Wydawało się to szokujące, tym bardziej że nie widziano żadnego powodu, dla którego te liczby, otrzymane w efekcie badania różnych (i to w sposób istotny, w szczególności sinus nie jest wielomianem) funkcji miałyby być takie same.

Co w tej sytuacji należało zrobić? Nietrudno o odpowiedź; spróbowano znaleźć podobieństwa między dwiema przebadanymi funkcjami i analizować nowe, o tych samych własnościach. Wspólne cechy łatwo było dostrzec: określone na przedziale domkniętym o początku 0, w punkcie 0 przyjmują wartość 0, następnie rosną, w pewnym punkcie przedziału osiągają maksimum, po czym maleją, by na końcu znowu osiągnąć wartość 0. Po zbadaniu kolejnych takich funkcji okazało się, że w przypadku każdej z nich granica najprawdopodobniej wyniesie właśnie 4,669201609...

Nie da się ukryć, że wygląda to dziwnie. Gdy jednak zastanowimy się nad tym głębiej, nieuchronnie dojdziemy do wniosku, że nie wiemy, dlaczego granica jest dla różnych funkcji taka sama, przede wszystkim dlatego, że nie rozumiemy zachodzącego tu zjawiska. Liczbę
definiujemy jako iloraz obwodu okręgu i jego średnicy. Nie zaskakuje nas wcale, że obwód jest proporcjonalny do promienia. Ale czemu nas to nie dziwi? Bo to mamy we krwi, z tym "rośliśmy". Gdyby nasza intuicja matematyczna była lepsza, a wiedza pełniejsza, może fakt wspólnej granicy ciągu, otrzymanego w wyniku tego samego procesu dla różnych funkcji, wcale by nas nie zaskoczył.

Czy stała Feigenbauma ma jakąkolwiek interpretację podobną do tej, jaką ma
lub e? Sposób jej uzyskania był dość zawiły i raczej przypadkowy. Pewnej próby można dokonać, przyglądając się wykresowi bifurkacji dla odwzorowania logistycznego. Ian Stewart - jeden z najlepszych popularyzatorów matematyki i znakomity specjalista w sprawach, o których właśnie mowa - nazwał ten wykres drzewem figowym (tak się tłumaczy nazwisko Feigenbaum). Liczba Feigenbauma (oznaczana czasem literą δ) jest czynnikiem skalującym drzewa figowego, czyli - mówiąc bardziej zrozumiale - opisuje stosunki długości gałęzi (dokładnie stosunki ich rzutów poziomych). Można powiedzieć (nieprecyzyjnie i nieformalnie), że sposób otrzymywania rozdwojenia zmienia się z każdym podwojeniem o czynnik δ.

Feigenbaum nie przeprowadził formalnego matematycznego dowodu. Jednakże publikując swoje rezultaty, podał przyczyny, które - jego zdaniem - prowadziły do tak pozornie zaskakujących wyników. Okazało się, że rzecz polega na tym, iż owa granica zależy właśnie od odpowiedniego zachowania się funkcji. Gdy jest ona typu "rosnąco-malejącego", a dodatkowo odpowiednio "gładka", to po dokładnym przeanalizowaniu jej struktury można się spodziewać, że szukana granica nie zależy od tego, jaką funkcję weźmiemy. Praca Feigenbauma ukazała się drukiem w 1978 roku, w czasopiśmie... fizycznym. Pełny, formalny matematyczny dowód podali w 1980 roku Pierre Collet, Jean-Pierre Eckmann i Oscard Lanford III. Ich pracę wydrukowano w 1980 roku w piśmie publikującym prace dotyczące fizyki matematycznej. Owa granica nazywana jest dziś stałą Feigenbauma.

Ktoś mógłby powiedzieć: "No dobrze, jest taka granica, ale w sumie co z tego? Granica jak granica, może to i oryginalne, ale czy jest to czymś więcej niż ciekawostką? w przypadku
wiadomo, o co chodzi, ale tu?" Pierwszy kontrargument na takie stwierdzenie jest bardzo prosty - wystarczy podać przykład liczby e. Kto mógłby na pierwszy rzut oka stwierdzić, że granica pozornie prostego ciągu (1 + 1/n )ⁿ jest liczbą przestępną (no bo niby dlaczego nie jest to po prostu 1) i ma tak liczne zastosowania? Ale to nie wszystko. Fakt zbieżności ciągu ilorazów odległości między punktami bifurkacji do tej samej granicy - niezależnie od doboru funkcji - z wielu względów jest bardzo znaczący.

Jak już wiemy, w miarę zwiększania k punkty bifurkacji pojawiają się w coraz mniejszych odstępach i dążą do liczby w przybliżeniu równej 3,58. Naturalne jest pytanie: co się dzieje dla k, gdzie owe porządne "podwajania" się kończą? i to jest niesłychanie ważne: pojawia się tam chaos, ruch staje się chaotyczny. Dobrze znane są w świecie matematycznym rysunki pokazujące zmiany w zależności od k. Nie będziemy precyzować, o co dokładnie chodzi, ale z przedstawionego niżej rysunku (odpowiednich efektów iteracji funkcji kwadratowej) widać wyraźnie, że cokolwiek by to nie było, po regularnych zmianach zaczyna się dziać coś dziwnego. a zjawiska chaotyczne, jak już wspominaliśmy, intrygują uczonych. Dlatego też, między innymi, ta tematyka okazała się ważna, zaś badania nad nią szybko stały się tak popularne.

Jak widać, wiele rzeczy jest niezwykle zagadkowych. z jednej strony iteracje prostych funkcji prowadzą do chaosu. z drugiej natomiast - tam, gdzie pojawia się chaos, mamy zaskakująco porządną zbieżność do tej samej stałej.

Jak na razie stała Feigenbauma raczej nie dorównuje znaczeniem i rolą w matematyce liczbom e i 
. Kto jednak może przewidzieć, do czego dojdą matematycy w ciągu najbliższych lub trochę dalszych lat?
Zaczęliśmy od anegdoty, anegdotą też rozdział zakończmy. Ongiś wybitny matematyk, znakomity specjalista w teorii chaosu, podczas wykładu mówił o stałej Feigenbauma. z sali padło pytanie, czy ta stała jest liczbą przestępną, czy nie. Wykładowca odpowiedział:
- Nie wiem. Tego chyba nikt jeszcze nie wie. Pytałem kiedyś o to Feigenbauma, ale on też nie wiedział. a powinien wiedzieć - w końcu to jego stała!
i istotnie. Do dziś nie wiadomo, czy stała Feigenbauma jest liczbą przestępną, ponadto nie widać żadnej metody, za której pomocą ewentualnie można próbować rozstrzygnąć ten problem. Podobnie było z 
oraz z e. Ze względu na posiadane informacje związane z "wielkością" zbiorów nieskończonych, a także na dotychczasowe doświadczenia, można się spodziewać, że są duże szanse na to, iż liczba Feigenbauma jest przestępna. Zetknęliśmy się jednak tu z niejedną niespodzianką. Dlaczego matematyka nie miałaby nam sprawić kolejnego figla i liczba Feigenbauma 4,669201609... nie miałaby się okazać wymierna?

i znów do finału zakwalifikowano według skali Feigenbauma.

POSZUKIWANIE MAKSYMALNEGO,
czyli lemat Kuratowskiego-Zorna

Opowieść o niezwykłym uporządkowaniu liczb naturalnych (w rozdziale dziesiątym) rozpoczęliśmy od określenia porządku. Rozpatrywane tam porządki, choć wydawały się jak najbardziej naturalne, nie są jednak jedynymi, które badają matematycy. Definiując porządek, wprowadziliśmy pewne warunki. Zrezygnujmy z jednego z nich; dokładnie - nie wymagajmy, by dowolne różne „porządkowane" obiekty można było ze sobą porównywać. Inaczej: wcale nie jest powiedziane, że albo a jest "mniejsze" od b (względnie a poprzedza b), albo b jest "mniejsze" od a (b poprzedza a). Elementy a oraz b mogą po prostu nie mieć ze sobą żadnego związku.

Czy po takiej zmianie usprawiedliwione jest nazywanie porządkiem badanego porównywania elementów? Okazuje się, że tak, o czym przekonuje wiele przykładów.

Doskonale wiemy, jak wygląda mapa Polski - ograniczmy nasze zainteresowanie tylko do sieci wodnej Wisły, czyli do Wisły i jej dopływów. Naturalna wydaje się umowa, że punkt a poprzedza punkt b, jeśli z punktu a można dopłynąć do b "z prądem", to znaczy bez użycia wioseł, motorówki itp. Pozostałe warunki z definicji porządku są tu spełnione, ale bez trudu znajdziemy elementy nieporównywalne - na przykład jeden punkt na Dunajcu, drugi zaś na Pisie.

Bardzo ważny przykład dotyczy zbioru liczb naturalnych. Możemy w nim wprowadzić porządek za pomocą podzielności liczb. Przypomnijmy: liczba a dzieli liczbę b, gdy istnieje taka liczba
, że b = 
a. Umawiamy się, że a poprzedza b (albo a jest mniejsze od b), gdy a dzieli b. Tak więc 2 poprzedza 4, 4 poprzedza 8, z kolei 8 poprzedza 16. Podobnie 3 poprzedza 6, oraz 6 poprzedza 12... a jak się ma 4 do 6? Jest to typowy przykład elementów nieporównywalnych. Przy takim uporządkowaniu ani 4 nie poprzedza 6, ani 6 nie poprzedza 4 - liczby te są względnie pierwsze i w tej relacji nie dają się porównać.

A oto jeszcze inny przykład, również ważny, tym razem dotyczący zbiorów. w każdej rodzinie zbiorów można w naturalny sposób wprowadzić porządek, wykorzystując pojęcie zawierania się zbiorów. Powiemy, że zbiór A jest "mniejszy" od zbioru B, gdy A zawiera się w B. Rozważmy zbiór trójelementowy (elementami mogą być zupełnie dowolne obiekty, nawet bardzo abstrakcyjne) i jego podzbiory. Łatwo policzyć, że tych podzbiorów jest 8. Wśród nich są oczywiście zbiór wyjściowy i zbiór pusty, który zawiera się w dowolnym zbiorze. Ponadto są tam trzy podzbiory jednoelementowe i trzy podzbiory dwuelementowe. Wyobraźmy sobie, że nasze trzy elementy to jabłko, gruszka i śliwka. Zbadajmy teraz wprowadzony porządek w zbiorze wszystkich podzbiorów tego zbioru. Nietrudno zauważyć, że są tu obiekty nieporównywalne. Znajdziemy dwa zbiory takie, że żaden z nich nie zawiera się w drugim, na przykład - zbiór jednoelementowy, którego jedynym elementem jest jabłko, i zbiór, którego jedynym elementem jest śliwka. Żadne zresztą dwa różne podzbiory jednoelementowe nie dadzą się porównać, podobnie jak podzbiory dwuelementowe. Istnieją jednak zbiory porównywalne, choćby zbiór pusty i jakikolwiek inny zbiór.

Często wielu obiektów nie można porównać w rozsądny sposób. Gdy mówimy o wynikach sportowców, sensowne wydaje się określenie, że lepszy był ten zawodnik, który uzyskał lepszy wynik. Ale jak powiązać ze sobą rezultaty lekkoatlety w biegu na sto metrów i narciarza w slalomie gigancie?
Skoro rozważane są różne porządki, to nie mogą one być nazywane tak samo. Ten, w którym dowolne dwa elementy są porównywalne, nazywa się porządkiem liniowym (albo czasem - zupełnym). Nazwa bierze się stąd, że elementy zbioru w ten sposób uporządkowanego można ustawić w szeregu, w linii. Gdy dopuszczamy możliwość istnienia elementów nieporównywalnych, to mówimy o porządku częściowym. Terminologia zresztą nie jest jednolita, czasem różni autorzy używają różnych nazw. Za twórcę całej teorii zbiorów uporządkowanych należy chyba uznać Richarda Dedekinda, choć definicje porządków podawali (niezależnie od siebie) rozmaici matematycy, między innymi Georg Cantor i Felix Hausdorff. Działo się to na przełomie XIX i XX wieku.

Bliższy intuicji jest porządek liniowy, który najczęściej kojarzy się z uporządkowaniem zbioru liczb rzeczywistych. Jednak w praktyce matematycznej różne sytuacje prowadzą w naturalny sposób do porządków częściowych. Oprócz tych już wspomnianych, świetnego modelu dostarcza próba uporządkowania punktów na płaszczyźnie. Każdy punkt jest opisany przez parę współrzędnych. Naturalne wydaje się przyjęcie umowy, że punkt (x₁, y₁) poprzedza punkt (x₂, y₂), gdy x₁
x₂ i y₁
y₂. Będzie to, oczywiście, porządek, ale tylko częściowy. Na przykład pary (3,1) i (1,3) są nieporównywalne.

w matematyce, po trafnym wprowadzeniu definicji, zazwyczaj możemy określić kolejne pojęcia, które często okazują się ważne i przydatne. Tak jest i w przypadku porządków. w szczególności mówimy o elementach największych, najmniejszych, maksymalnych i minimalnych.

Definicja elementu największego w danym zbiorze jest zgodna z intuicją: element największy to element większy od wszystkich innych elementów tego zbioru. Słowo "wszystkich" jest tu bardzo ważne, oznacza bowiem w szczególności, że element największy jest porównywalny ze wszystkimi innymi - co, jak wiemy, ogólnie w przypadku porządku częściowego zachodzić nie musi. w podobny sposób definiujemy element najmniejszy.

Oczywiście, zarówno element największy, jak i najmniejszy wcale nie muszą w badanym zbiorze (z zadanym porządkiem) istnieć. Na przykład nie ma ich w standardowo uporządkowanym zbiorze liczb rzeczywistych. w zbiorze liczb naturalnych, uporządkowanym "klasycznie", istnieje element najmniejszy - jest nim 0 - ale elementu największego nie ma. w zbiorze liczb naturalnych dodatnich, uporządkowanym metodą Szarkowskiego, istnieje zarówno element najmniejszy (jest nim liczba 3), jak i największy (liczba 1).

W zbiorach uporządkowanych częściowo są możliwe znacznie bardziej skomplikowane sytuacje niż w zbiorach uporządkowanych liniowo. Tu nabierają wielkiej wagi pojęcia elementu maksymalnego i elementu minimalnego.

Element minimalny to taki, że "nie ma nic mniejszego od niego". Taki, który jest w naszym porządku "na początku". Różnica między nim a elementem najmniejszym polega na tym, że element minimalny wcale nie musi być porównywalny ze wszystkimi innymi. Element maksymalny definiujemy na tej samej zasadzie. Oczywiście, element największy jest jednocześnie maksymalnym - ale nie odwrotnie.

Powróćmy do przykładu z Wisłą. Czy występują tu elementy minimalne? Nie jest to zadanie trudne; łatwo dostrzec, że tak, i jest ich wiele - są to wszystkie źródła, zarówno Wisły, jak i jej dopływów. a jak z elementami maksymalnymi? Nasuwa się przypuszczenie, że istnieje tylko jeden, który jest jednocześnie elementem największym - ujście rzeki do morza. Ale przypomnijmy sobie geografię: Wisła, zanim wpadnie do morza, rozdziela się na odnogi! Tak więc tu elementu największego nie ma. Elementem maksymalnym jest zarówno ujście Nogatu, jak i ujście Leniwki.

W przykładzie, w którym rozważamy podzbiory danego zbioru A, uporządkowane przez zawieranie się zbiorów, mamy zawsze element największy - cały zbiór, oraz najmniejszy - zbiór pusty. Gdybyśmy jednak badali ten porządek w trochę mniejszym zbiorze - zbiorze wszystkich podzbiorów A z wyjątkiem dwóch, właśnie tych: zbioru pustego i całego zbioru A - to powstanie zupełnie inna sytuacja. Nie będzie już elementów największego i najmniejszego, ale będą maksymalne i minimalne, i będzie ich więcej. w przypadku naszego zbioru trójelementowego elementami maksymalnymi będą zbiory dwuelementowe, minimalnymi zaś - zbiory jednoelementowe.

Do zaskakujących wniosków prowadzi analiza przykładu z liczbami naturalnymi i podzielnością. w zbiorze wszystkich liczb naturalnych, uporządkowanych przez relację podzielności, istnieje element najmniejszy; jest nim oczywiście 1, gdyż dzieli każdą inną liczbę. Istnieje też, o dziwo, element największy - jest nim zero! Jest ono podzielne (a więc większe) przez każdą różną od niego liczbę (przypomnijmy raz jeszcze, że zero uważamy za liczbę naturalną). Czasem może się zdarzyć, że - po wyrzuceniu ze zbioru elementu najmniejszego - w nowym, zmniejszonym zbiorze inny element przejmie jego rolę; na przykład w zbiorze liczb naturalnych, uporządkowanym przez "standardowe" porównywanie liczb po usunięciu zera, najmniejsza jest jedynka. w tym przypadku jest inaczej. Gdy usuniemy z badanego zbioru zero i jedynkę, to pozbędziemy się elementu największego, zniknie też element najmniejszy. Nie będzie też elementów maksymalnych, ale pojawią się elementy minimalne - wszystkie liczby pierwsze. Po usunięciu jedynki nic już nie dzieli żadnej liczby pierwszej oprócz niej samej, a każda liczba pierwsza dzieli wszystkie swoje wielokrotności.

Porządek w zbiorze można zilustrować za pomocą diagramu. Elementy zbioru przedstawiamy jako punkty (kropki), a zależności pomiędzy nimi jako odcinki ze strzałkami, od "mniejszego" do "większego". Oczywiście nie rysujemy wszystkich strzałek: wystarczy pamiętać o tym, że jeśli możemy przejść z a do b oraz z b do c, to dojdziemy z a do c. Porządek liniowy interpretujemy za pomocą punktów ułożonych na linii prostej. w diagramie zbioru częściowo uporządkowanego mogą się pojawić rozgałęzienia, gdy nie wszystkie elementy są porównywalne. Jeśli wszystkie strzałki wychodzą z jednego punktu, niewątpliwie będzie to element najmniejszy. Jeśli natomiast diagram zaczyna się w kilku miejscach (czyli strzałki startują w kilku niezależnych punktach), to punkty te są elementami minimalnymi. Podobnie dzieje się, gdy w zbiorze istnieją elementy maksymalne. Efektowne diagramy otrzymujemy dla rozmaitych podzbiorów zbioru liczb naturalnych z relacją podzielności jako porządkiem.

Do najciekawszych problemów związanych ze zbiorami uporządkowanymi należą zagadnienia dotyczące elementów wyróżnionych: maksymalnych i minimalnych. Jak ich szukać, czy w ogóle istnieją? Jednym z najważniejszych i najbardziej znanych twierdzeń na ten temat jest lemat Kuratowskiego-Zorna. Słowo "lemat" oznacza twierdzenie pomocnicze, służące do dowodzenia innych twierdzeń. Często lematy to skomplikowane techniczne twierdzenia, pomagające przy uzyskaniu wyników centralnych, choć same nimi nie są. Istnieją jednak wyniki bardzo ważne, powstałe dla potrzeb dowodów innych faktów i nazywane lematami, które okazały się ważniejsze niż wiele słynnych rezultatów, nazywanych twierdzeniami. Mimo to do dziś mówi się o nich (z przyzwyczajenia) jako o lematach. Lemat Kuratowskiego-Zorna też jest wykorzystywany przy dowodzeniu wielu znaczących faktów w różnych dziedzinach matematyki, ale i sam w sobie stanowi niezwykle istotny rezultat.

Przed sformułowaniem lematu należy wprowadzić jeszcze dwa pojęcia. Pierwsze to ograniczenie górne zbioru, nazywane też majorantą. Intuicyjnie sprawa wygląda na bardzo prostą: element jest ograniczeniem górnym zbioru, gdy jest większy od wszystkich elementów tego zbioru. Majoranta tym się różni od elementu największego, że ona sama do zbioru należeć nie musi. w związku z tym dany zbiór może mieć wiele majorant. w przypadku dopływów Wisły, gdy szukamy majoranty dla zbioru elementów z Raby i Sanu, odpowiedni do tego celu będzie każdy punkt za Sandomierzem.

Drugim pojęciem potrzebnym do sformułowania lematu jest pojęcie łańcucha. Jak już świetnie wiemy, w zbiorze częściowo uporządkowanym nie wszystkie elementy muszą być porównywalne. Możemy jednak rozważać podzbiory, w których dowolne elementy potrafimy porównać. w przykładzie, w którym porównywane były punkty sieci wodnej, takim zbiorem może być dowolny dopływ Wisły. w zbiorze liczb naturalnych z porządkiem zadanym przez relację podzielności nasuwającym się przykładem jest zbiór potęg dwójki (lub dowolnej innej liczby). i takie właśnie zbiory są nazywane łańcuchami. Formalnie - łańcuch to podzbiór zbioru częściowo uporządkowanego, który sam jest uporządkowany liniowo.

Lemat Kuratowskiego-Zorna brzmi następująco:
Jeśli w niepustym, częściowo uporządkowanym zbiorze każdy niepusty łańcuch ma majorantę, to w zbiorze tym istnieje element maksymalny.

Zauważmy najpierw, że lemat nie wskazuje sposobu, jak szukać elementów maksymalnych, podaje tylko warunki na ich istnienie. Jest to typowy przykład twierdzenia nazywanego egzystencjalnym. Wielu matematyków nie lubi takich sytuacji, tym bardziej że pomimo wiedzy o istnieniu elementu maksymalnego, w konkretnej sytuacji często zupełnie nie wiadomo, jak go szukać.

Częstokroć bardzo poważnym problemem w matematyce jest problem istnienia obiektu o pewnych własnościach. w wielu sytuacjach potrzebne są konkretne obiekty spełniające zadane z góry warunki, ale zdarza się też, że wystarczą gwarancje ich istnienia. i tu właśnie często z pomocą przychodzi lemat Kuratowskiego-Zorna. Trzeba tylko umiejętnie podejść do problemu, choć nie zawsze jest to łatwe.

Procedura postępowania często wygląda następująco. Szukamy obiektu o pewnych własnościach. Należy więc w rodzinie badanych tworów o cechach w pewien sposób zbliżonych do poszukiwanego wprowadzić częściowy porządek, tak by obiekt o potrzebnych własnościach okazał się w nim elementem maksymalnym. i teraz już "tylko" wystarczy sprawdzić, że założenia lematu zostały spełnione.

Oto przykład. Bardzo ważne są w matematyce przestrzenie wektorowe, o których wspominaliśmy przy omawianiu przestrzeni Banacha. Mamy w pamięci wektory na płaszczyźnie lub w przestrzeni. Dla potrzeb analizy matematycznej struktury płaszczyzny i trójwymiarowej przestrzeni są nieco zbyt ubogie (choć bez nich ani rusz!). Niemal w każdej przestrzeni funkcji wprowadza się strukturę wektorową. Ponadto przestrzenie wektorowe to absolutnie podstawowe pojęcie w algebrze (dokładnie: w jej dziale nazywanym algebrą liniową, który jest nowocześniejszym ujęciem geometrii analitycznej).

W badaniu przestrzeni wektorowych zasadniczą rolę odgrywają bazy przestrzeni. Co to takiego? Mówiąc poglądowo: bazą jest zbiór wektorów, z których możemy "wygenerować" całą przestrzeń, ale muszą to być wektory "niezależne" od siebie (tzn. za pomocą części z nich nie można otrzymać żadnego innego wektora z bazy). Znając bazę, znamy całą przestrzeń: dzięki – zazwyczaj niewielkiemu – zbiorowi wektorów możemy wyciągać wnioski o całej przestrzeni. w przypadku płaszczyzny bazą będzie na przykład zbiór dowolnych dwóch wektorów wzajemnie prostopadłych – tu punkt (o dwóch współrzędnych) utożsamiamy z końcem wektora zaczepionego w zerze. z dwóch takich wektorów możemy (za pomocą operacji mnożenia przez skalary i dodawania otrzymanych wektorów) skonstruować dowolny wektor na płaszczyźnie. w przestrzeni wystarczą trzy wektory. Dla innych przestrzeni skończenie wymiarowych (typu Rⁿ) z bazami nie ma kłopotu. Ale jak wykazać ich istnienie w przestrzeniach dowolnych, zazwyczaj bardziej skomplikowanych (jak np. przestrzeń funkcji ciągłych)? Okazuje się, że jest to prosty wniosek z lematu Kuratowskiego-Zorna! Rozumowanie prowadzące do celu jest w tym przypadku stosunkowo typowe. Rozważa się rodzinę zbiorów wektorów liniowo niezależnych (to znaczy właśnie takich, że żaden element zbioru nie wyraża się przez pozostałe). w tej rodzinie zbiorów mamy "naturalny" porządek, określony przez zawieranie się zbiorów. Porządek jest oczywiście częściowy. Bez większych problemów pokazuje się, że każdy łańcuch ma majorantę, a następnie stwierdza, że element maksymalny musi być bazą (bo gdyby nie był, to można by coś do niego dołączyć, co przeczyłoby maksymalności). w rozumowaniu nie ma żadnej wskazówki, jak taką bazę zbudować. Istnieje sporo ważnych przestrzeni, w których nie umiemy wskazać bazy, choć wiemy, że ona istnieje.

Lemat nosi nazwiska odkrywców: Kazimierza Kuratowskiego i Maxa Zorna. w renomowanych podręcznikach i w encyklopediach zazwyczaj przytacza się tylko drugie nazwisko, mimo iż naprawdę pierwszeństwo należy się Kuratowskiemu, który pokazał twierdzenie w 1922 roku, natomiast Zorn udowodnił je (niezależnie) dopiero 13 lat później! Dlaczego więc autorzy piszą "lemat Zorna"? Otóż gdy Zorn ogłosił swój wynik, błyskawicznie zorientowano się, jak ogromne może on mieć zastosowania. w latach dwudziestych nie zdawano sobie z tego sprawy i rezultat Kuratowskiego praktycznie nie został zauważony. Można powiedzieć, że Kuratowski otrzymał go "za wcześnie". Sformułowania podane przez Kuratowskiego i Zorna nie były identyczne; to, które przytoczył Zorn, z pozoru wyglądało na silniejsze. Wystarczyło się jednak dokładniej przyjrzeć obu wersjom, by stwierdzić, że oznaczają to samo.

Anegdota (której prawdziwość trudno zweryfikować) mówi, że kiedyś na konferencji, w której uczestniczyli zarówno Kuratowski, jak i Zorn, ten ostatni przedstawiał swoje wyniki. w pewnym momencie miał powiedzieć: "Skorzystam teraz z lematu nazywanego lematem Zorna; Zorn – to ja, a tam siedzi profesor Kuratowski, który to pierwszy udowodnił".

Zastosowanie lematu Kuratowskiego-Zorna jest imponujące i trudno wskazać dziedzinę matematyki, która mogłaby się bez niego obejść, tym bardziej że lemat ma wiele zaskakujących równoważnych wersji.

O matematyce często się mówi, jako o "nauce logicznego myślenia", co wcale nie znaczy, że w innych gałęziach wiedzy poprawne rozumowanie nie jest potrzebne. w matematyce odgrywa ono jednak rolę szczególną. Tu wszystko należy formalnie, precyzyjnie, ściśle uzasadnić. Stwierdzenie, że dany fakt zachodzi nawet dla tysiąca zaobserwowanych przypadków, wcale nie świadczy o tym, iż musi tak być zawsze. Ba, może się okazać,
Że badana własność zachodzi dla znakomitej mniejszości obiektów... Już się z tym zresztą zetknęliśmy – przy zapoznawaniu się z różniczkowaniem ciężko na początku podejrzewać istnienie funkcji ciągłych i nigdzie nie różniczkowalnych.

Tak więc wszystko należy precyzyjnie wykazać, opierając się na prawach logiki i poznanych już własnościach. Ktoś może jednak powiedzieć: "No dobrze, ale od czegoś trzeba zacząć!" i jest to prawda. Budując teorie, trzeba pewne rzeczy, wydające się absolutnie podstawowe, przyjąć za pewniki. Te właśnie pewniki nazywamy aksjomatami, a teorię opartą na aksjomatach - teorią aksjomatyczną.

Porządki dotyczą zbiorów ogólnych, badania nad nimi wchodzą zatem w zakres teorii zbiorów, częściej nazywanej w Polsce teorią mnogości. Teoria ta jest obecnie typową teorią aksjomatyczną, aksjomaty zaś w niej użyte są naturalne i raczej nie podlegają dyskusji – z wyjątkiem jednego, który, choć też pozornie oczywisty, budził jednak (a u niektórych budzi do dziś) liczne wątpliwości. Mowa o aksjomacie, nazywanym aksjomatem wyboru, podanym w roku 1904 przez Ernsta Zermelo. i właśnie ten aksjomat jest wykorzystywany przy dowodzie lematu Kuratowskiego-Zorna. Aksjomat wyboru (inaczej: pewnik wyboru) opisuje bardzo intuicyjną własność, której jednak nie można udowodnić w aksjomatycznej teorii zbiorów, opartej jedynie na pozostałych aksjomatach. Mówi on, że jeśli mamy pewną (dowolną) rodzinę zbiorów parami rozłącznych (czyli żadne dwa różne nie mają wspólnych elementów), to z każdego z tych zbiorów możemy wybrać po jednym elemencie i z nich utworzyć nowy zbiór. Czyż stwierdzenie to może budzić wątpliwości? Przecież wydaje się oczywiste. a jednak jego konsekwencje są zaskakujące. Dzięki niemu potrafimy skonstruować zbiór na płaszczyźnie, który "nie ma pola", i zbiór w przestrzeni trójwymiarowej, który "nie ma objętości". Nie chodzi o to, żeby zbiór taki miał objętość zero, lecz o to, że jego objętości nie da się określić (zbiór jest niemierzalny). Samo w sobie może nie jest to jeszcze aż tak dziwne. Ale właśnie na aksjomacie wyboru i istnieniu zbiorów niemierzalnych opiera się, między innymi, słynne twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli, wykazane przez Stefana Banacha i Alfreda Tarskiego w roku 1924. Głosi ono, że kulę (normalną, w przestrzeni trójwymiarowej) można rozbić na kilka części w taki sposób, że daje się z nich złożyć dwie nowe kule identyczne z wyjściową. Mamy cudowne rozmnożenie kul – podwojenie objętości! Jak to możliwe? Rzecz w tym, że rozbicia dokonujemy nie na zwykłe kawałki, ale na zbiory niemierzalne. Nie wiadomo, jak te zbiory wyglądają. Pewnik wyboru gwarantuje istnienie takich zbiorów, ale nie daje recepty na konkretną konstrukcję.

Skoro aksjomat wyboru prowadzi do wniosków, wydawałoby się, sprzecznych ze zdrowym rozsądkiem, to może należałoby go usunąć (lub założyć jego zaprzeczenie)? Byłoby to jednak nad wyraz niebezpieczne nie tylko dlatego, że pewnik ten jest, bądź co bądź, zgodny z intuicją. Okazuje się, że bez niego nie udałoby się udowodnić bardzo wielu podstawowych faktów, sprawiających wrażenie jak najbardziej naturalnych!
Aksjomat wyboru zazwyczaj gwarantuje istnienie różnych obiektów bez podawania konkretnej metody ich otrzymania; pod tym względem bardzo przypomina lemat Kuratowskiego-Zorna. Podobieństwo nie jest przypadkowe, gdyż oba twierdzenia są równoważne: każde z nich wynika z tego drugiego. Nie przeszkadza fakt, że w jednym występuje porządek, a w drugim go nie ma. Pewnik wyboru można zamienić lematem Kuratowskiego-Zorna w systemie aksjomatów teorii mnogości i nic się nie zmieni - prawdziwe będą te same twierdzenia.

Twierdzeń równoważnych aksjomatowi wyboru jest bardzo wiele. w roku 1963 ukazała się nawet książka, w której autorzy (Herman Rubin i Jean Rubin) podają kilkadziesiąt równoważnych sformułowań - mniej lub bardziej skomplikowanych, mniej lub bardziej zaskakujących.

Jedno spośród twierdzeń równoważnych pewnikowi wyboru, bardzo ważne, dotyczy porządkowania zbiorów. Zanim jednak je sformułujemy, opiszmy jeszcze jedną odmianę porządku.

Który ze znanych porządków liczbowych jest najbardziej elegancki? Uporządkowanie liczb rzeczywistych jest co prawda liniowe, ale nie potrafimy dla danej liczby wskazać ani liczby bezpośrednio po niej następującej, ani jej poprzedzającej. Co gorsza, między dowolne dwie różne liczby można wstawić nieskończenie wiele innych liczb, a zbiór ograniczony z dołu nie musi mieć elementu najmniejszego (jak np. przedział (0,1)). Natomiast doskonale wydają się być uporządkowane liczby naturalne. w przypadku każdej liczby wiadomo, jaka po niej nastąpi, innymi słowy - każdy podzbiór ma element najmniejszy. Tę właśnie własność dodaje się do definicji porządku liniowego i w ten sposób określa się porządek, nazwany przez matematyków dobrym.

Zbiór dobrze uporządkowany przypomina ustawieniem elementów zbiór liczb naturalnych. Nie należy jednak sądzić, że dobre uporządkowanie polega na ustawieniu elementów zbioru w ciąg! Nietrudno sprawdzić, że na przykład dobrze uporządkowany jest zbiór:

Przykłady zbiorów, które nie są uporządkowane dobrze, można wskazać bez trudu. Jak już zauważyliśmy, taki jest zbiór liczb rzeczywistych. Nie jest jednak uporządkowany dobrze nawet zbiór liczb całkowitych - on sam nie ma elementu najmniejszego! Można jednak liczby całkowite tak ustawić, żeby ich uporządkowanie było dobre:

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, ...

Oczywiście, ten porządek nie ma wiele wspólnego z naturalnym ułożeniem liczb całkowitych.

Okazuje się, że sytuacja taka nie jest wyjątkowa. Otóż każdy zbiór można dobrze uporządkować! Twierdzenie to udowodnił w 1904 roku Ernst Zermelo, choć domyślał się go już 20 lat wcześniej Georg Cantor. To właśnie Cantor zdefiniował dobry porządek, zresztą właśnie ten rodzaj porządku był dla niego najbardziej interesujący. z twierdzenia Zermelo wynika w szczególności, że i liczby rzeczywiste można ułożyć tak, żeby każdy element miał następny. Łatwo się jednak domyślić, że ten porządek musi być bardzo nietypowy: w przypadku zbioru liczb całkowitych wiadomo, jak je „dobrze” ustawić - ale zazwyczaj konkretna metoda dobrego uporządkowania nie jest znana. Taka właśnie sytuacja ma miejsce w przypadku zbioru liczb rzeczywistych. Twierdzenie Zermelo ma ten sam mankament, co wspomniane wyżej rezultaty - nie podaje konkretnego przepisu, jest niekonstruktywne. i nic dziwnego, gdyż ono także jest równoważne z lematem Kuratowskiego-Zorna. Co prawda, jeden z matematyków krakowskich twierdził, że znalazł kontrprzykład na twierdzenie Zermelo - zbiorem, którego nie da się dobrze uporządkować, jest jego pokój. Przestał jednak tak mówić, gdy się ożenił.

Aksjomat wyboru, a z tych samych powodów i lemat Kuratowskiego-Zorna, budzi mieszane uczucia. Przeważnie matematycy bez skrupułów korzystają z jego pomocy, gdy tylko zachodzi potrzeba. Są jednak tacy - zwłaszcza wśród zajmujących się teorią mnogości - którzy zalecają daleko idącą ostrożność i ograniczenie się do przypadków konstruktywnych. Czasami w podręcznikach teorii mnogości twierdzenia, przy
których dowodzie wymagane jest skorzystanie z aksjomatu wyboru, są specjalnie zaznaczone. w większości jednak matematycy zajmujący się innymi dziedzinami nie przejmują się specyfiką tego jednego wyróżnionego aksjomatu; często przy wykorzystywaniu rozmaitych faktów nawet nie zdają sobie sprawy, że dojście do nich wymagało użycia po drodze pewnika wyboru w jego oryginalnej lub równoważnej postaci. a wydaje się, że w działach matematyki różnych od teorii mnogości, spośród równoważnych wersji słynnego aksjomatu właśnie lemat Kuratowskiego-Zorna znajduje, obok klasycznego sformułowania, najczęstsze zastosowanie.

Można krytykować lemat Kuratowskiego-Zorna i równoważne mu twierdzenia za nieefektywność, można go unikać w rozumowaniach, ale trzeba wiedzieć, że zakazując używania tych twierdzeń, musielibyśmy odrzucić istotną część matematyki.

Elementy maksymalne

RÓŻNE MATEMATYKI,
czyli hipoteza continuum

Trudno dziś sobie wyobrazić jakikolwiek dział matematyki, w którym nie wykorzystywano by podstawowych pojęć z teorii mnogości, nazywanej też teorią zbiorów. Terminy takie, jak zbiór, funkcja, relacja, przeniknęły całą matematykę. Teoria mnogości powstała pod koniec XIX wieku i rozwinęła się w pierwszej połowie wieku XX, stając się językiem innych dziedzin. Na niektórych uczelniach wykład teorii mnogości nosi nazwę "wstępu do matematyki" albo "podstaw matematyki".

w latach siedemdziesiątych XIX wieku Georg Cantor badał zbiory złożone z absolutnie dowolnych elementów. Dziś nie brzmi to zaskakująco, ale przed Cantorem takimi ogólnymi tworami się nie zajmowano. Analizowano wówczas obiekty o naturze bardziej sprecyzowanej. Zresztą, pomysł, by rozważać własności zbiorów ogólnych, przyszedł Cantorowi do głowy pod wpływem jego pracy nad zbieżnością pewnych szeregów trygonometrycznych.

Można powiedzieć, że rezultaty Cantora wstrząsnęły matematyką. Został złamany pewien niepisany zakaz, postawiony jeszcze w starożytności: nie rozważa się nieskończoności aktualnej. Co to znaczy?
w matematyce (i nie tylko) istnieją dwa zasadnicze podejścia do rozumienia nieskończoności: mówi się o nieskończoności potencjalnej i aktualnej. z nieskończonością potencjalną mamy do czynienia na przykład wtedy, gdy dowodzimy, że liczb o pewnych własnościach jest nieskończenie wiele, pokazując, że dla dowolnego układu takich liczb można zawsze znaleźć jeszcze dodatkową. Nieskończonością potencjalną posługujemy się także wtedy, gdy mówimy o ciągu zmierzającym do nieskończoności albo o linii dającej się przedłużać nieskończenie daleko. Jeśli natomiast rozważamy prostą jako całość, cały zbiór liczb naturalnych lub rzeczywistych, to mamy do czynienia z nieskończonością aktualną. Starożytni uważali, że badać można tylko nieskończoność potencjalną i że umysł ludzki nie jest w stanie ogarnąć nieskończoności aktualnej. Twierdzili, że nie można tego, co nieograniczone, studiować metodami ograniczonymi. Rozważanie zupełnie dowolnych zbiorów zmusiło jednak matematyków do zajęcia się zbiorami nieskończonymi. Cantor podjął ryzyko badania nieskończoności aktualnej, reprezentowanej właśnie przez zbiory nieskończone, narażając się przy tym na ostrą krytykę współczesnych.

Przeniesienie pewnych intuicji ze zbiorów skończonych na nieskończone zaskoczyło matematyków. Zaskakujące, a nawet paradoksalne były wnioski wynikające ze studiowania rozmaitych typów zbiorów nieskończonych.

Jedną z najistotniejszych koncepcji Cantora był podział zbiorów nieskończonych ze względu na "liczbę elementów". w przypadku zbiorów skończonych nie stanowi to problemu. Zbiory nieskończone mają jednak nieskończenie wiele elementów - policzyć ich się nie da. Mimo to można wprowadzić odpowiednie rozróżnienie dzięki innej metodzie, zupełnie naturalnej. Metodę tę stosujemy często - nie zdając sobie z tego sprawy - także w przypadku zbiorów skończonych; daje się ją bez trudu wytłumaczyć nawet tym, których umiejętność liczenia ogranicza się do pojęć: "jeden, dwa, mnóstwo".

Rozważmy dwa zbiory. w celu sprawdzenia, czy mają one tyle samo elementów, łączymy w pary elementy jednego zbioru z elementami drugiego. Jeżeli wyczerpiemy oba zbiory równocześnie, to znaczy, że jest w nich tyle samo elementów. Gdy natomiast nie istnieje sposób takiego połączenia elementów dwóch zbiorów i zawsze, przy jakiejkolwiek próbie dobierania par, w jednym z nich coś zostanie, to ten zbiór ma elementów "więcej". Zbiory, które mają "tyle samo" elementów, nazwano równolicznymi. Metoda ta jest dobra zarówno dla zbiorów skończonych, jak i nieskończonych. w przypadku zbiorów nieskończonych, zamiast bezpośrednio ustawiać elementy w pary (trzeba by na to nieskończenie wiele czasu), podaje się przepis pozwalający na takie ich ustawianie.

Równoliczne są, na przykład, zbiór guzików w poprawnie uszytej koszuli i zbiór dziurek do tych guzików. Da się to stwierdzić bez liczenia, niezależnie od tego, ile tych guzików jest. Przykładów zbiorów skończonych równolicznych (lub nie) można podać bez liku - i nie widać tu niczego paradoksalnego. Zaskakujące zjawiska pojawiają się przy badaniu zbiorów nieskończonych.

Bez trudu można na przykład wykazać, że "tyle samo" elementów mają zbiór liczb naturalnych N i zbiór liczb parzystych. Oto przepis łączący w pary elementy obu zbiorów: jedynkę łączymy z dwójką, dwójkę z czwórką, trójkę z szóstką i tak dalej. Ogólnie - liczbę o numerze n z liczbą parzystą o numerze 2n. i tu właśnie zaczynają się dziać dziwne rzeczy. Przecież "gołym okiem" widać, że liczb naturalnych powinno być więcej niż parzystych! Tymczasem na podstawie przyjętej definicji, która wydawała się zgodna z intuicją, okazało się, że w obu zbiorach jest tyle samo elementów. Zasada: część jest mniejsza od całości została naruszona; dla zbiorów nieskończonych nie musi obowiązywać tak rygorystycznie!
Dalszy rozwój matematyki pokazał niezbicie, że w ten sposób wprowadzona definicja "równoliczności zbiorów" jest jedyną sensowną, a paradoksy są pozorne. Dziś tylko początkowe zapoznanie się z tymi pojęciami bywa szokujące. Trzeba się jedynie z nimi oswoić.

Łatwo zauważyć, że równoliczny z N jest każdy zbiór, którego elementy możemy ponumerować liczbami naturalnymi (inaczej - ustawić w ciąg). Takie zbiory nazwano przeliczalnymi. Zbiorów tego typu jest bardzo wiele. Podobnie jak w przypadku zbioru liczb parzystych - możemy ponumerować zbiór liczb nieparzystych czy też zbiór wszystkich potęg liczby 1997. Nietrudno to zrobić także ze zbiorem liczb całkowitych - a my już to przecież uczyniliśmy w poprzednim rozdziale, wprowadzając w tym zbiorze dobry porządek.

Odpowiednio ustawić możemy nawet liczby wymierne! To jest trochę bardziej skomplikowane. Pokażemy ideę konstrukcji dla zbioru liczb wymiernych dodatnich. Polega ona na ustawieniu tych liczb w nieskończoną tabelę (w rzędach ze względu na licznik, w kolumnach ze względu na mianownik), po czym numerowaniu "wężykiem" po przekątnych, opuszczając liczby, które się powtarzają (na przykład 1/2 = 2/4 ). Myśl metody pokazuje rysunek.

Okazuje się, że tę własność ma także zbiór liczb algebraicznych. Przychodzi zatem na myśl refleksja: niewykluczone, że wszystko jest w porządku, i elementy każdego zbioru nieskończonego można ponumerować liczbami naturalnymi, których też jest nieskończenie wiele. Wówczas wszystkie zbiory nieskończone byłyby równoliczne i koncepcja utożsamiania zbiorów pozornie mniejszych z większymi okazałaby się innym przedstawieniem "jedynej" nieskończoności. Mówilibyśmy po prostu o zbiorach nieskończonych. Tak jednak nie jest. Jedną z głównych konsekwencji metody Cantora stało się wyróżnienie rozmaitych typów zbiorów nieskończonych. Okazało się, że istnieje wiele typów nieskończoności. a zbiorów, których nie da się ponumerować, wcale nie trzeba szukać daleko.

Jednym z bardziej znanych zbiorów, którego elementów nie da się ponumerować liczbami naturalnymi, jest przedział (0,1). Dowód polega na przypuszczeniu, że liczby z tego przedziału można ustawić w ciąg, oraz na skonstruowaniu liczby większej od zera i mniejszej od jedynki, która w tym ciągu się nie pojawia. Szczegóły pomińmy.

Nie jest dla nas teraz zaskoczeniem, że ponumerować nie da się również elementów zbioru liczb rzeczywistych R (jako że nie udaje się tego zrobić z jego podzbiorem, przedziałem). Ale szybko można zauważyć coś więcej: przedział (0,1) i R są równoliczne. Przepisu połączenia elementów dostarcza nieznacznie zmodyfikowana funkcja tangens; precyzyjnie, liczbę x z przedziału (0,1) łączymy z liczbą tg(
x-
/2). Warto może przy okazji zaznaczyć, że koncepcja porównywania zbiorów za pomocą łączenia elementów w pary pojawiła się wcześniej; zaproponował ją w roku 1847 (na rok przed swoją śmiercią) Bernhard Bolzano, jednocześnie wykazując równoliczność dwóch przedziałów w R. Praca jego nie została jednak zauważona. Ponadto z jednej strony była ona bardziej filozoficzna niż matematyczna, z drugiej zaś strony próba dalszego budowania teorii przez Bolzano nie prowadziła do niczego sensownego.

Niespodzianek i zaskakujących wniosków można przytaczać wiele. Na przykład przedział liczbowy jest równoliczny z kwadratem zawartym w płaszczyźnie. o tej własności, też zauważonej przez Cantora, wspominaliśmy przy okazji opowiadania o krzywych wypełniających kwadrat. Wynika z niej, że zarówno kwadrat, jak i płaszczyzna są równoliczne z prostą.

Dla zbioru skończonego łatwo dobrać coś, co charakteryzuje jednoznacznie zbiory równoliczne; jest to po prostu liczba naturalna określająca, ile w danym zbiorze jest elementów. Sensowne wydaje się więc wprowadzenie "liczb" kolejnych, przyporządkowanych zbiorom nieskończonym. Nazwano je liczbami kardynalnymi. Nazwa ta może się w pierwszej chwili wydawać dziwaczna, ale w logiczny sposób tłumaczy ją stwierdzenie, że liczby kardynalne to po prostu liczebniki główne dotyczące nie tylko zbiorów skończonych. Używany jest też termin moc zbioru. Liczby kardynalne, podobnie jak liczby naturalne, można porównywać; istnieje też arytmetyka liczb kardynalnych. Cantor podał sposoby konstruowania różnych liczb kardynalnych i rozwinął ich arytmetykę. Najmniejszą liczbą kardynalną nieskończoną jest ta, która odpowiada zbiorowi liczb naturalnych; oznaczono ją pierwszą literą alfabetu hebrajskiego alef ze wskaźnikiem "zero" - 
₀. Natomiast moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczono literą gotycką C - continuum. Od razu pojawia się pytanie: czy istnieje zbiór "pośredni" między N i R, o "ilości elementów" większej niż zbiór liczb naturalnych, a mniejszej niż zbiór liczb rzeczywistych - inaczej: czy c jest drugą z kolei nieskończoną liczbą kardynalną? Przypuszczano, że zbiór "między" N i R nie istnieje, i przypuszczenie to nazywano hipotezą continuum.

Hipoteza continuum pojawiła się zupełnie naturalnie i jest dość prosto sformułowana. Jej rozstrzygnięcie miałoby jednak ogromne znaczenie dla teorii mnogości. Poznalibyśmy lepiej naturę zbioru liczb rzeczywistych, wiedzielibyśmy więcej o samych liczbach kardynalnych. Wydawało się, że rozstrzygnięcie hipotezy to tylko kwestia czasu. a jednak, mimo usilnych prób, problem się nie poddawał. Walczyło z nim wielu wybitnych matematyków, ale udawało się im jedynie znaleźć rozmaite warunki równoważne hipotezie (czasami zaskakujące w swych sformułowaniach, na przykład w zasadzie czysto geometrycznych). Sporo faktów związanych z hipotezą wykazał Wacław Sierpiński. Hipotezę continuum uznawano za jeden z najważniejszych otwartych problemów. Gdy w 1900 roku David Hilbert prezentował listę najważniejszych nie rozwiązanych zagadnień, które, jego zdaniem, miały wytyczyć drogę matematyki w XX wieku, umieścił ją na pierwszym miejscu.

Gdy w badaniach nad teorią mnogości natknięto się na obiekty, o których można było przypuszczać, że "są to twory, które, choć wyglądają jak zbiory, to jednak zbiorami nie są", zaczęto się zastanawiać nad istotą pojęcia zbioru. Pojęcie intuicyjnie jasne, nie wymagające bliższego określenia, nagle zaczęło sprawiać kłopoty, badania zaś prowadziły do paradoksalnych wniosków. Wyjście z tej niebezpiecznej sytuacji znaleziono poprzez aksjomatyzację teorii. Pierwszą próbę podjął w 1908 roku Ernst Zermelo. Jego aksjomatyka, uzupełniona i zmodyfikowana przez Adolfa Abrahama Fraenkla, jest jednym z najbardziej popularnych aksjomatycznych ujęć teorii mnogości (a istnieją również inne).

Ewentualne rozwiązanie problemu hipotezy continuum powinno zatem nastąpić na gruncie teorii aksjomatycznej. Ale aksjomatyka może prowadzić do niespodzianek.

Pierwszą w historii teorię aksjomatyczną stworzono prawie dwa i pół tysiąca lat temu przy badaniu geometrii. o uporządkowaniu badań naukowych pisali Platon i Arystoteles. Arystoteles zaproponował także budowanie różnych teorii naukowych w sposób aksjomatyczny. Dziś znamy jedynie konstrukcję Euklidesa z IV wieku przed Chrystusem, choć prawdopodobnie propozycji było więcej. Euklides w swoim dziele Elementy zawarł ujętą w logicznym porządku wiedzę matematyczną starożytnych Greków.

Historia rozmaitych perypetii związanych z aksjomatami Euklidesa to temat na odrębne opowiadanie. Wspomnijmy jednak w telegraficznym skrócie o słynnym problemie piątego postulatu. Wśród aksjomatów zaproponowanych przez Euklidesa był jeden, który przez wieki wielu matematykom wydawał się zbędny. Zbędny, to znaczy dający się wyprowadzić z pozostałych. Nikomu jednak nie udało się tego wykazać. Aksjomat, o którym mowa, nazywany też często piątym postulatem, dziś formułowany jest następująco: przez dany punkt przechodzi dokładnie jedna prosta równoległa do prostej danej. Dopiero na początku XIX wieku wykazano, że stwierdzenia tego nie da się wyprowadzić z pozostałych; mało tego, zauważono, że gdy powyższe zdanie zastąpimy jego zaprzeczeniem, to otrzymamy logiczną i sensowną konstrukcję. Doszli do tego niezależnie Węgier Janos Bolyai i Rosjanin Nikołaj Łobaczewski. Ich wyniki jednak uczeni przyjęli źle, choć dziś konstrukcje geometrii, nazwanych nieeuklidesowymi, nie są dla matematyków niczym nadzwyczajnym. Geometria klasycznej płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej to po prostu jedna z możliwych geometrii, ta najbliższa naszej intuicji. Dla wielu potrzeb nie jest jednak ona dobrą geometrią; istnieją bardzo ważne geometrie, świetnie dziś znane fachowcom, w których przez dany punkt można przeprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą do danej prostej - albo takich prostych nie ma wcale.

Wróćmy do hipotezy continuum; problem został rozwiązany dopiero w 1963 roku. Dokonał tego Amerykanin Paul Cohen. Rezultat Cohena wstrząsnął światem matematycznym, choć matematycy byli już przyzwyczajeni do różnych zaskakujących wyników. Rzecz w tym, że Cohen w pełni rozwiązał problem, ale... "pewnie obalił hipotezę? - może ktoś zapytać - bo skoro przypuszczano, że jest ona prawdziwa..." Nic z tego. - "Wobec tego wykazał? Ale co w tym zaskakującego?" - Otóż nie, nie wykazał hipotezy. - "Więc jak to? Nie obalił, nie udowodnił, a jednak rozstrzygnął problem?" - Ano właśnie.

Cohen, stosując nową metodę, nazwaną forsingiem, udowodnił, że hipotezy continuum nie da się ani udowodnić, ani obalić. "Nie da się" nie oznacza tutaj, że nie umiemy czy nie potrafimy, lecz że jest to po prostu niemożliwe. Oczywiście - niemożliwe na bazie aksjomatów, na których jest zbudowana cała teoria. Fachowo mówi się o niezależności hipotezy continuum od aksjomatów teorii mnogości. Dla lepszego zobrazowania zjawiska zacytujmy fragment książki Jaroslava Haška o przygodach dobrego wojaka Szwejka. Szwejk stanął przed komisją sądowo-lekarską; oto fragment rozmowy:

- Czy potrafiłby pan obliczyć przekrój kuli ziemskiej?
- Nie umiałbym, proszę panów - odpowiedział Szwejk - ale i ja bym panom też mógł zadać zagadkę. Jest dom o trzech piętrach, każde piętro ma osiem okien. Na dachu są dwa dymniki i dwa kominy. Na każdym piętrze mieszkają dwaj lokatorzy. a teraz powiedzcie, panowie, którego roku umarła babka stróża?

Rozwiązanie zagadki Szwejka jest niewykonalne (nie próbowali tego zrobić także trzej niezwykle poważni panowie z komisji). Nie ma danych wystarczających do rozstrzygnięcia problemu. i tak samo jest w przypadku hipotezy continuum.

Jeżeli się temu dokładniej przyjrzymy, to być może stwierdzimy, że tak naprawdę w nierozstrzygalności hipotezy continuum chyba nie ma nic nadzwyczajnego. Po prostu mamy pewne dane - i niektóre stwierdzenia możemy na ich podstawie zweryfikować, inne zaś nie. Cóż więc w tym zaskakującego? Często w rozmaitych sytuacjach życiowych nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć wielu problemów ze względu na niewystarczające dane i nikt z tego powodu nie robi afery.

Aksjomaty dobiera się tak, by były możliwie najprostsze i zrozumiałe. Taka jest też aksjomatyka Zermelo-Fraenkla. Aksjomaty te dotyczą jednak wyłącznie abstrakcyjnych zbiorów, w zasadzie po prostu mówią, że pewne twory są zbiorami. Na przykład: istnieje zbiór, do którego nie należy żaden element (czyli zbiór pusty); jeżeli dwa zbiory mają jednakowe elementy, to są identyczne. Liczby naturalne, a tym bardziej rzeczywiste, nie są pojęciami pierwotnymi; są one starannie i pracochłonnie wprowadzone i zdefiniowane na podstawie aksjomatów. i już tu można dopatrzyć się tajemniczego elementu: aksjomaty są proste i raczej intuicyjne, a ich konsekwencje - skomplikowane i czasem paradoksalne, kłócące się z naszą intuicją. Przecież zbiory liczb naturalnych i rzeczywistych wydają się niezwykle bliskie, można by nawet rzec - "swojskie". Tymczasem okazuje się, że tak naturalny i podstawowy w sumie problem ich dotyczący rozstrzygnąć się nie daje.

w latach sześćdziesiątych matematycy świetnie zdawali sobie sprawę z istnienia zdań nierozstrzygalnych. Otóż w 1931 roku Austriak Kurt Gödel udowodnił twierdzenie, które podważyło wiarę w niewzruszoną potęgę logiki i metod aksjomatycznych. Twierdzenie Gödla mówiło, że jeżeli w jakiejkolwiek teorii aksjomatycznej używane są liczby naturalne, to istnieją w niej zdania, których się nie da ani udowodnić, ani obalić. Takie właśnie, jaką okazała się (znacznie później) hipoteza continuum. Gödel pokazał ponadto, że nawet jeżeli to tajemnicze nierozstrzygalne zdanie (lub jego zaprzeczenie) dołączymy jako następny aksjomat, to dalej w teorii będą istnieć zdania, których prawdziwości nie da się rozstrzygnąć.

Osiem lat później, w 1939 roku, ten sam Gödel wykazał, że hipoteza continuum jest niesprzeczna z aksjomatyką teorii mnogości (z włączonym pewnikiem wyboru). Kilka lat wcześniej pewnie wielu byłoby przekonanych o tym, że to wystarcza. Twierdzenie Gödla z 1931 roku dowodziło jednak niezbicie, że problem rozstrzygnięty jeszcze nie jest. I, jak udowodnił później Cohen - nie jest i nie będzie.

Wynik Cohena okazał się pewnego rodzaju wstrząsem, między innymi dlatego, że choć wiadomo było o istnieniu nierozstrzygalnych zdań, to wielu sądziło, że muszą to być stwierdzenia szczególnie wyszukane. Okazało się jednak, że taka jest również naturalna zależność pomiędzy podstawowymi zbiorami N i R.

Analogicznie jak w przypadku geometrii, gdzie rozważamy różne geometrie - możemy rozważać różne teorie mnogości! w geometrii możemy założyć aksjomat Euklidesa o równoległych, jak również to, że odpowiednich prostych nie ma (albo jest więcej niż jedna). Tak samo w teorii mnogości - możemy przyjąć, że zbioru mającego więcej elementów niż N, a mniej niż R nie ma, jak i założyć, że on istnieje. Wydaje się to absurdalne: coś albo istnieje, albo nie! Ale przecież podobnie było z nowymi geometriami.

Zachodzą jednak pewne bardzo istotne różnice między charakterem piątego postulatu Euklidesa w geometrii a hipotezą continuum w teorii mnogości. w geometrii mamy świetnie znane, z licznymi zastosowaniami, modele różnych geometrii. w teorii mnogości nawet jeżeli założymy istnienie "pośredniego" zbioru, to nigdy nie będziemy go umieli pokazać. Dalej, aksjomat Euklidesa został sformułowany przy użyciu takich pojęć, że nie odbiegało to istotnie od pozostałych aksjomatów teorii. Natomiast do ścisłego sformułowania hipotezy continuum potrzebna była długa, mozolna konstrukcja liczb naturalnych, liczb rzeczywistych, wprowadzenie definicji równoliczności i wiele twierdzeń z tym związanych... Piąty postulat został od początku sformułowany jako aksjomat i perypetie wokół niego wiązały się z pytaniem: czy on przypadkowo nie wynika z pozostałych? Hipoteza continuum natomiast pojawiła się jako problem teorii, problem do wykazania lub obalenia, nie zaś jako aksjomat ewentualnie zależny lub niezależny od innych. w ogóle nie przypuszczano, że problem ten może mieć takie właśnie związki z aksjomatami.

Aksjomatyka teorii mnogości jest traktowana jako aksjomatyka podstaw całej matematyki. Dopisanie albo hipotezy continuum, albo jej zaprzeczenia jako dodatkowego aksjomatu prowadziłoby do konstrukcji podstaw dwóch różnych matematyk! Podobnie w przypadku geometrii nieeuklidesowych pojawiłoby się delikatne pytanie, która matematyka jest tą "naszą". Póki co, hipoteza continuum nie została jednak dołączona jako kolejny aksjomat.

Po "oswojeniu się" matematyków z możliwością istnienia nieeuklidesowych geometrii, były one przez nich dokładnie badane i analizowane. z początku wydawało się, iż badania takie są "sztuką dla sztuki", gdy tymczasem okazało się, że nasza rzeczywistość wymaga właśnie modelu nieeuklidesowego. Po upływie ponad trzydziestu lat od ogłoszenia wyników Cohena matematycy nie zajmujący się teorią mnogości nie przejmują się zbytnio problemami związanymi z hipotezą continuum. Czasami pewnych twierdzeń w teorii mnogości dowodzi się "przy założeniu hipotezy continuum".

Dziś wydaje się, że badanie różnych teorii mnogości nie jest do niczego potrzebne. Kto wie jednak, czy za jakiś czas w takich działach matematyki, jak na przykład algebra, równania różniczkowe, a może rachunek prawdopodobieństwa, nie pojawią się problemy, których rozstrzygnięcie będzie ściśle związane z hipotezą continuum lub jej zaprzeczeniem. Sto pięćdziesiąt lat po pojawieniu się pierwszej geometrii nieeuklidesowej różnorodność typów geometrii stała się czymś naturalnym. Trudno powiedzieć, jaki będzie stosunek matematyków do różnych teorii mnogości za sto pięćdziesiąt lat. Jedno jest pewne: zbiory N i R są takie, jakie są, przyzwyczailiśmy się do nich i musimy się pogodzić z faktem, że pewnych rzeczy na ich temat nigdy nie będziemy w stanie jednoznacznie przewidzieć. Podobnie jak z niektórymi kobietami - do końca stanowią zagadkę nie do rozwikłania...

Jeśli zostanę wybrany, wprowadzę zaprzeczenie hipotezy continuum.

ZABAWA Z WIELOŚCIANAMI,
czyli wzór Eulera

Wielościany nie są obce nawet tym, którzy unikają matematyki na wszelkie możliwe sposoby. Sześcian, czworościan, ostrosłup, graniastosłup - każdy się z nimi zetknął w szkole. Jednak z precyzyjną definicją wielościanu niejedna osoba miałaby problemy. Cóż to bowiem jest wielościan? No... część przestrzeni ograniczona wielokątami... bryła, której brzeg stanowią wielokąty... albo jakoś tak.

Mimo że wielościany są - wydawałoby się - jednymi z najprostszych tworów matematycznych, ich definicja wcale nie jest banalna. Takie zjawisko nie jest w matematyce czymś wyjątkowym. Gdy chcemy formalnie zdefiniować coś pozornie znakomicie znanego, nieraz napotykamy nadspodziewanie duże kłopoty.

w szkole zazwyczaj mamy do czynienia z wielościanami wypukłymi. Przy ich badaniu nie można się zetknąć z rozmaitymi patologicznymi zjawiskami; niektórzy jako wielościany rozumieją wyłącznie wielościany wypukłe. Można je zdefiniować bardzo prosto - jako ograniczone przecięcie skończonej liczby półprzestrzeni (choć takie określenie w szkole podaje się dość rzadko). Na przykład czworościan powstaje w wyniku przecięcia czterech odpowiednio położonych półprzestrzeni, sześcian - sześciu, a ostrosłup o podstawie siedmiokąta - ośmiu.

Gdy jednak chcemy wziąć pod uwagę również bryły, które nie są wypukłe (to znaczy takie, że pewien odcinek o końcach należących do bryły ma w sobie punkty spoza bryły), to z definicją wielościanu możemy mieć problemy. Wszystko zależy od tego, jak ogólne twory zamierzamy nazwać wielościanami.

a)	b)
c)	d)

Jedno z przyjmowanych określeń wygląda tak: wielościan jest sumą skończonej liczby czworościanów, odpowiednio położonych względem siebie. Sformułowanie "odpowiednio położonych" oznacza, że dwa czworościany mogą mieć albo wspólną krawędź, albo wierzchołek, albo ścianę - w ostateczności są rozłączne. Chcąc, na przykład, wyeliminować przypadki (a) i (b) z powyższego rysunku, można dołączyć warunek, że po usunięciu wierzchołka lub krawędzi któregoś z czworościanów -cegiełek, bryła nie rozpadnie się na kawałki.

Istnieje wiele ważnych, ciekawych, a nawet zaskakujących twierdzeń, dotyczących wielościanów. Jedno z najsłynniejszych zostało zauważone w XVIII wieku przez Leonharda Eulera. Euler spostrzegł, że gdy od liczby wierzchołków (W) w wielościanie wypukłym odejmiemy liczbę krawędzi (K) i dodamy liczbę ścian (S), to zawsze dostaniemy 2. z pozoru wydawałoby się, że liczby wierzchołków, krawędzi i ścian mogą być dość dowolne. Niemniej są one ze sobą związane wzorem Eulera. Ciekawe!
Euler sformułował twierdzenie bez zakładania wypukłości wielościanu, a bez tego założenia, jak się za chwilę przekonamy, nie wszystko wygląda równie elegancko. Należy jednak pamiętać, że w czasach Eulera nie było precyzyjnej definicji wielościanu. Nie widziano potrzeby jej wprowadzenia - wszyscy "wiedzieli, co to jest wielościan". Euler interesował się zagadnieniem klasyfikacji wielościanów w zależności od rozmaitych czynników. Szybko zauważył, że liczba wierzchołków oraz liczba ścian nie charakteryzują jednoznacznie wielościanu. Wprowadzenie do badań trzeciej naturalnej wielkości - liczby krawędzi - doprowadziło do odkrycia wzoru, który Euler ogłosił w 1750 roku.

Idea dowodu Eulera polega na odcinaniu od wielościanu kolejnych czworościanów w taki sposób, żeby liczba W-K+S się nie zmieniała. Po skończonej liczbie takich "odpiłowań" pozostanie czworościan, dla którego twierdzenie jest oczywiście prawdziwe. Dowód Eulera zawierał jednak usterki; pierwszy w pełni poprawny dowód został opublikowany w 1794 roku, a jego autorem był Adrien Marie Legendre.

Euler uznał odkryty przez siebie wzór za ciekawostkę nie mającą dużego znaczenia. Przypuszczał też, że związek ten jest tak prosty, iż niewątpliwie ktoś go odkrył już wcześniej.

Niektórzy historycy uważają dziś zresztą, że wzór ten znał Kartezjusz, choć nie ma na to wyraźnych dowodów w źródłach. Pewne fakty przytaczane przez Kartezjusza są konsekwencją wzoru W-K+S=2, ale można je także wyprowadzić z zupełnie innych własności wielościanów. w żadnym z pism Kartezjusza wzór się nie pojawia.

Wzór Eulera, bo taką nazwę nosi związek W-K+S=2, można "metodą odpiłowań" wykazać także dla niektórych wielościanów niewypukłych. Wówczas jednak wraca klasyczne pytanie: co uważamy za wielościany i czy w związku z tym zawsze nam wolno stosować tę metodę?
Przyjrzyjmy się dwóm obiektom. Jeden z nich to sześcian na sześcianie; do większego sześcianu (lub prostopadłościanu) przyklejamy mniejszy. Drugi natomiast to coś w rodzaju ramy okiennej albo, inaczej, prostopadłościan wydrążony na wylot.

i oto niespodzianka. w pierwszym przypadku W-K+S=3 (W=16, K=24, zaś S=11). Natomiast w drugim W-K+S=2 (tu W=16, K=24 oraz S=10), mimo że ta bryła wygląda na dziwniejszą ze względu na dziurę w środku!
w obu bryłach występują jednak nietypowe ściany. Jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że ściany wielościanu są wielokątami, powstałymi przez rysowanie linii zamkniętej kilkoma kreskami jednym ciągiem (czyli bardzo porządnej krzywej), tu zaś ściany były inne, "z dziurami" w środku. Można jednak w łatwy sposób zmodyfikować nasze bryły tak, by powstały ściany zgodne z naszymi oczekiwaniami.

Przeprowadźmy więc kolejne eksperymenty. w pierwszym wielościanie (postumencie) dorysujmy cztery krawędzie w taki sposób, żeby otrzymać cztery trapezy na ścianie łączącej oba sześciany. Natomiast w drugim przypadku dorysujmy po cztery odcinki na ścianach z dziurami; z każdej z tych ścian powstaną wówczas cztery, w kształcie trapezów.

Sprawdźmy teraz wzór Eulera - w pierwszym przypadku dostajemy liczbę 2. Natomiast w drugim sytuacja się odwróciła: W-K+S=0 , tu W=16, K=32 oraz S=16. Czyżby zatem wzór Eulera zależał od liczby krawędzi dorysowywanych sztucznie na powierzchni wielościanu? Gdyby tak było, wzór okazałby się bezużyteczny. a może o tych zmianach decyduje coś innego? Co się naprawdę dzieje?

Kiedy w pierwszym wielościanie zlikwidowaliśmy nietypową ścianę w kształcie pierścienia i mieliśmy do czynienia tylko z normalnymi ścianami, wzór okazał się prawdziwy. w przypadku ramy okiennej, w pozornie lepszej sytuacji, gdy ściany były zwykłymi wielokątami, wzór nie zachodził. Drugi wielościan ma jednak pewną cechę, której brak wielościanom poznawanym w szkole, a mianowicie - jest przedziurawiony. Można się więc spodziewać, że jeśli bryła wygląda jak "klasyczny" wielościan oraz ma takie jak on ściany, to wszystko powinno być w porządku. Ba, ale jak to sprecyzować?
Wielościan możemy traktować dwojako: z jednej strony, jako bryłę - zbudowaną z jednolitej substancji, wypełniającej wnętrze; z drugiej strony, jako powierzchnię zamkniętą, zbudowaną z wielokątów. Wyobraźmy więc sobie teraz, że nasz wielościan - a raczej jego powierzchnia - wykonany jest ze stosunko- wo sztywnej, sprężystej, ale jednocześnie odrobinę elastycznej substancji, czegoś w rodzaju błony gumowej, którą potrafimy kształtować, takiej by dało się z niej zrobić wielościan, lecz żeby przy działaniu pewnej siły można go było "regularnie" zmieniać. i spróbujmy właśnie dokonać zmiany - mianowicie mocno "nadmuchać" wielościany, tak jak się dmucha w balonik. Jeżeli mocno dmuchamy, a tworzywo nie opiera się naszym staraniom, to otrzymamy po pewnym czasie sferę. Krawędzie zmienią się w linie na tej sferze (powiedzmy, że wcześniej, dla lepszego ich zaznaczenia, pomalowaliśmy je). Wierzchołki staną się punktami, w których linie się schodzą, a więc węzłami, ściany zaś - obszarami ograniczonymi krzywymi, złożonymi z linii "od węzła do węzła", bez żadnych innych linii w środku. Oczywiście suma W-K+S się nie zmieni, jeśli zamiast wierzchołków liczymy węzły, zamiast ścian zaś - obszary. To nasuwa przypuszczenie, że wzór Eulera może być związany z malowaniem "sieci" na sferze (w przypadku ramy okiennej po mocnym dmuchaniu nie powstanie sfera, ale coś w rodzaju dętki). z kolei dmuchanie jest podobne do ciągłego przekształcania.

w poprzednim rozdziale porównywaliśmy zbiory przy użyciu kryterium "ilości elementów". Zbiory miały tyle samo elementów, gdy istniała możliwość połączenia ich elementów w pary. Takie połączenie w oczywisty sposób kojarzy się z funkcją przekształcającą jeden zbiór na drugi, ale z funkcją bardzo "porządną". Dzięki możliwości łączenia w pary, funkcję udawało się "odwrócić", rozważać przekształcanie "w obie strony". Na przykład funkcja dana przepisem f(x)=2x jest odwracalna (funkcją odwrotną jest g(y)=y/2), a funkcja dana przepisem h(x)=x² - nie (nie wiadomo, czy w ewentualnym przekształceniu odwrotnym przypisać czwórce 2 czy -2).

Metodą "liczenia elementów" można było porównywać całkiem dowolne zbiory. Dla potrzeb dziedzin innych niż teoria mnogości takie kryterium nie jest wystarczające. Często badane przekształcenia są interesujące ze względu na możliwość rozważania rozmaitych ich własności. Na przykład - ciągłości.

Pamiętamy, że intuicyjnie zmiana figury w sposób ciągły polega na deformacji, pozwalającej na wyginanie, rozciąganie, zgniatanie - bez rozrywania. Wolno sklejać! Nasuwa się naturalne pytanie: czy przy "połączeniu w pary", danym pewną funkcją w sposób ciągły, przekształcenie odwrotne też musi być ciągłe? Okazuje się, że nie. Prostym przykładem jest wygięcie przedziału [0,2
) w okrąg. Przy przekształceniu odwrotnym następuje rozerwanie okręgu w jednym miejscu.

Łatwo się domyślić, że interesujące mogą być przekształcenia związane z jednoznacznym połączeniem elementów w pary, i to tak, by "w obie strony" przebiegało ono w sposób ciągły.

Intuicyjnie różni się ono od przekształcenia ciągłego tym, że zabronione jest sklejanie. Takie przekształcenie nazywa się homeomorfizmem, a figury, które można za pomocą homeomorfizmu przekształcić jedną na drugą - homeomorficznymi. Tak więc dwie figury są homeomorficzne, gdy można przekształcić jedną na drugą przez rozciąganie lub ściskanie względnie inne deformacje, ale pod warunkiem, że nie nastąpi gdzieś rozerwanie lub sklejenie. w teorii mnogości "wsadzało się zbiory do jednego worka", gdy istniało połączenie ich elementów w pary. w topologii, gdzie podstawową badaną własnością jest ciągłość, możemy utożsamiać zbiory homeomorficzne - takie że potrafimy połączyć ich elementy w pary w ten sposób, by to połączenie było "ciągłe tam i z powrotem".

Wszystkie wielościany wypukłe są na przykład homeomorficzne. Homeomorficzne są także wszystkie wielokąty i koło, ale już wielokąt nie będzie homeomorficzny z jakimkolwiek wielościanem. Nie będą homeomorficzne kwadrat i pierścień (przekształcając pierścień, musielibyśmy zakleić dziurę albo gdzieś ten pierścień rozerwać). Zauważmy też, że wielościan wypukły (z wypełnionym wnętrzem) jest homeomorficzny z kulą, powierzchnia wielościanu zaś - ze sferą.

Po homeomorficznej deformacji powierzchni wielościanu na sferę układ wierzchołków i krawędzi utworzy na sferze pewną sieć. Dla tej sieci będzie zawsze zachodzić związek W-K+S=2, pod warunkiem że ściany były normalnymi wypukłymi wielokątami. Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: gdy na sferze narysujemy sieć, dzieląc powierzchnię sfery na obszary przypominające wielokąty, i wykonamy rachunek taki jak w przypadku wielościanów, to zawsze otrzymamy 2. Tak będzie nawet wtedy, gdy skonstruowanej sieci nie odpowiada żaden wielościan. Można się o tym przekonać na prostym przykładzie, rysując na sferze jeden równoleżnik i jeden południk. Nie ma wielościanu o czterech ścianach i dwóch wierzchołkach, a mimo to wzór Eulera będzie spełniony.

Możliwość liczenia wyrażenia W-K+S dla siatek na sferze daje okazję przedstawienia innych dowodów wzoru. Oto idea jednego z nich, bardzo ładnego. Wyrzucamy ze sfery jeden obszar - wtedy to, co pozostaje (wraz z siatką), możemy zdeformować tak, by otrzymać coś w rodzaju porysowanej odpowiednio kartki papieru (lub pozginanej chustki do nosa). Usunę- liśmy wyłącznie jeden obszar, więc wystarczy teraz pokazać, że dla siatki na chustce zachodzi związek W-K+S=1. Można to osiągnąć przez "upraszczanie" siatki i usuwanie kolejnych krawędzi. Trzeba rozważyć kilka przypadków - w zależności od tego, czy po takim usunięciu liczba wierzchołków zmieni się, czy nie - ale łatwo sprawdzić, że przy każdej modyfikacji wartość W-K+S się nie zmieni. w końcu zlikwidujemy całą siatkę i pozostanie czysta kartka papieru, gdzie W=0, K=0 i S=1.

Ale przecież siatki możemy rysować nie tylko na sferze! Gdy, na przykład, będziemy badać sieć na dętce samochodowej (tego rodzaju powierzchnię matematycy nazywają torusem), zawsze dostaniemy 0. Analogiczną procedurę można zastosować do dowolnej powierzchni - dętki z dwiema dziurami (precelka) lub trzema, tworów jeszcze bardziej nietypowych. Rysujemy siatkę i obliczamy W-K+S. Liczbę tę nazywamy charakterystyką Eulera albo charakterystyką Eulera-Poincarégo powierzchni. Ma ona kilka bardzo ważnych cech, między innymi nie zależy od sposobu podziału powierzchni na wielokąty, nie zmienia się przy przekształceniach homeomorficznych.

Pierwsza z przedstawionych cech mówi, że liczba W-K+S jest dla danej powierzchni taka sama przy dowolnym jej podziale na wielokąty. Słowo "podział" oznacza, że wycięte obszary nie mogą zachodzić na siebie; poza tym wielokąty podziału muszą być standardowe, nie dopuszczamy na przykład pierścieni.

Druga cecha oznacza, że dwie powierzchnie homeomorficzne mają takie same charakterystyki. Charakterystyka jest cechą samej powierzchni, jej niezmiennikiem. Oznacza to, że jeśli charakterystyki wyliczone dla dwóch powierzchni będą różne, to nie da się jednej powierzchni zdeformować homeomorficznie do drugiej. Jest to bardzo ważna własność. Poszukiwanie niezmienników homeomorfizmów jest jednym z najważniejszych zadań topologii.

w topologii, dziale matematyki, o którym już wspominaliśmy, często bardzo istotna jest informacja, czy dwa zbiory są homeomorficzne, czy nie. Nie zawsze jednak łatwo to stwierdzić. Niezmienniki homeomorfizmów skutecznie pomagają w sytuacjach negatywnych, czyli przy pokazywaniu, że badane zbiory homeomorficzne nie są. No bo jak wykazać, że między danymi figurami homeomorfizm nie istnieje? Wystarczy znaleźć cechę, własność, która nie zmienia się przy przekształcaniu przez homeomorfizm, przy czym jeden zbiór ją ma, a drugi nie. Metodę tę stosuje się zresztą w różnych działach matematyki, nie tylko przy badaniu homeomorfizmów.

Homeomorfizmy mogą znacznie zmieniać własności figur, co oznacza, że znalezienie niezmienników nie zawsze jest proste. Zmianie na pewno nie ulega "jednokawałkowość" - skoro nie wolno rozrywać ani kleić... Jednak niewiele niezmienników jest równie łatwych. Wiele z nich wymaga zaawansowanych metod i skomplikowanych konstrukcji. Tym większy pożytek z charakterystyki Eulera, która jest historycznie pierwszym niebanalnym niezmiennikiem homeomorfizmów.

Topolodzy znają wiele bardzo wymyślnych niezmienników, wszystkie mają jednak ograniczone zastosowanie. Często bowiem bywa tak, że dwa obiekty mające identyczny niezmiennik wcale nie są homeomorficzne. Trzeba wówczas szukać niezmiennika nowego, bardziej subtelnego.

Zamianę wzoru Eulera z ciekawostki na ważne narzędzie oraz jego uogólnienia zawdzięczamy Henri Poincarému (choć pewne próby uogólnienia wzoru Eulera na powierzchnie podejmowali wcześniej Johann Benedikt Listing i August Ferdinand Möbius). Uogólnienia te dały początek nowemu działowi w topologii, nazywanemu topologią algebraiczną; Poincaré uważany jest dziś za jego twórcę. Topologia algebraiczna zajmuje się poszukiwaniem niezmienników homeomorfizmów, tyle że algebraicznych - czyli liczb, wielomianów i innych tworów algebraicznych, związanych odpowiednio z badanymi "topologicznie" obiektami. Łatwiej badać twory algebraiczne niż same obiekty topologiczne; o tworach algebraicznych łatwiej stwierdzić, czy się różnią, czy nie. Niestety, ich konstrukcja jest zazwyczaj trudna. Najprostszym niezmiennikiem homeomorfizmów jest właśnie charakterystyka Eulera.

Wzór Eulera można badać dla obiektów wyżej wymiarowych. Wtedy oprócz wierzchołków, krawędzi i ścian trzeba rozpatrywać komórki trójwymiarowe (całe wielościany), czterowymiarowe itd. Wyżej wymiarowa charakterystyka obliczana jest tak, że od liczby wierzchołków (czyli komórek zerowymiarowych) odejmujemy liczbę krawędzi (jednowymiarowych), dodajemy liczbę ścian (dwuwymiarowych), odejmujemy liczbę komórek trójwymiarowych, dodajemy liczbę komórek czterowymiarowych itd. Najpierw, oczywiście, badany zbiór (figurę) trzeba - tak jak powierzchnię - podzielić na odpowiednie komórki. To uogólnienie pojęcia wielościanu wprowadził w 1851 roku Ludwig Schläfli.

Oczywiście, analogicznie jak dla powierzchni, i w wyższych wymiarach można wprowadzić charakterystykę Eulera dla zbiorów znacznie ogólniejszych niż wielościany. w miarę upływu czasu takie obiekty coraz bardziej interesowały uczonych, przydawały się do różnych celów także fizykom...

Zastosowanie charakterystyki Eulera jest ogromne. a zaczęło się od wzoru, który jego twórcy, znakomitemu matematykowi, wydawał się zaledwie ciekawostką.

To też jest wielościan, ale przy odpowiedniej definicji

SYMETRIA W TWIERDZENIACH,
czyli twierdzenie Desarguesa

Zacznijmy od zagadki: czy można w dziesięciu rzędach posadzić dziesięć drzew tak, by w każdym rzędzie rosły dokładnie trzy drzewa? Łamigłówka wydaje się na pierwszy rzut oka standardowa i prosta, jednak próby jej rozwiązania szybko przekonują, że wcale nie jest banalna. Często przy zmaganiu się z rozmaitymi zagadkami pomocna bywa znajomość matematyki. Tak jest i w tym przypadku: przy rozwiązywaniu może się przydać pewne słynne twierdzenie matematyczne, które w zadziwiający sposób związane jest z symetriami.

Lubimy, gdy badane przez nas obiekty lub zjawiska charakteryzują się pewną symetrią. Co to takiego symetria? Termin ten znamy ze szkolnej matematyki; na lekcjach geometrii poświęca się trochę uwagi symetrii osiowej i symetrii środkowej. Słowo to pojawia się jednak często w mowie codziennej, gdzie niejednokrotnie jest używane w znaczeniu istotnie odbiegającym od formalnego. Mówimy o symetrii w obrazach, konstrukcjach architektonicznych, utworach muzycznych. Nasze ciało też jest zbudowane symetrycznie; biolodzy twierdzą, że odznacza się symetrią dwuboczną. Fizycy mówią o łamaniu symetrii. w tych i rozmaitych innych przypadkach nie chodzi o przekształcenie izometryczne, ale raczej o ład, regularność i porządek lub równomierność pewnego rodzaju. Okazuje się, że symetrią w takim właśnie sensie mogą się odznaczać twierdzenia matematyczne, ba, nawet cała teoria!
o dziwo, teoria, która spełnia takie warunki, wyrosła ze sztuki, a dokładnie z malarstwa. Czy to możliwe, żeby sztuka była źródłem teorii matematycznej? a jednak...

Od niepamiętnych czasów artyści marzyli o przeniesieniu na płaszczyznę obrazu otaczającej nas rzeczywistości. Już dla pradawnych twórców z Altamiry i Lascaux coś magicznego było w możliwości przedstawienia wizerunków zwierząt na ścianach grot. Później umieszczano sylwetki ludzi, zwierząt, bóstw na wazach, ścianach świątyń, płótnach obrazów. Wszyscy poszukiwali najlepszego sposobu odwzorowania rzeczywistości; co zrobić, aby na płaszczyźnie realistycznie ukazać obiekty trójwymiarowe? Jak uzyskać głębię obrazu? Takie były naturalne pytania artystów. Jak zwykle, najprostsze rozwiązania trudno było dostrzec. Podpowiadała je również sama natura, gdyż proces widzenia jest odwzorowaniem obiektów trójwymiarowych na płaszczyznę siatkówki oka. Kluczowym słowem jest tu rzutowanie. Przekształcenie to nie jest nam obce, mniej więcej wiemy, na czym polega. Często obserwujemy cienie - czyli właśnie rzuty - w promieniach zachodzącego słońca albo w świetle lampy. Rzutowanie bywa wykorzystywane w dziecięcej zabawie: dzięki odpowiednio ułożonym palcom dostajemy na ścianie atrakcyjne cienie, przypominające do złudzenia różne zwierzęta.

Wyobraźmy sobie najpierw, że źródło światła znajduje się w jednym punkcie; mówimy wtedy o rzucie środkowym (inaczej: centralnym). Wyróżniony punkt nazywany jest środkiem rzutowania. Im bardziej oddalamy źródło światła, tym bardziej promienie, wzdłuż których rzutujemy, stają się bliższe prostych równoległych. Gdy zatem źródło światła jest bardzo daleko (formalnie - nieskończenie daleko), rzutowanie możemy praktycznie uznać za równoległe. Taką sytuację mamy w przypadku światła słonecznego. Widać, że przy tej interpretacji oba rzuty są dwiema odmianami tego samego przekształcenia.

Gdybyśmy poznali prawa rządzące rzutowaniami, to zapewne odkrylibyśmy tajemnice wiernego odwzorowywania rzeczywistości na płaszczyźnie. Tak właśnie rozumowali twórcy Renesansu. Najpierw bardziej intuicyjnie, a później już formalnie zaczęli studiować zasady rzutowania, które w malarstwie nazwano zasadami perspektywy.

w rzucie równoległym proste odwzorowują się na proste, chyba że któraś prosta pokrywa się z promieniem światła - w tej wyjątkowej sytuacji jej obrazem jest punkt. a jak będzie z rzutem środkowym? Przyjrzyjmy się temu dokładniej. Jak tworzymy obraz jakiegoś punktu? Prowadzimy prostą przez badany punkt i środek rzutowania; obrazem naszego punktu jest punkt przecięcia tej prostej i płaszczyzny, na którą rzutujemy (często tę płaszczyznę nazywa się rzutnią). Rzutowanie prostej polega na przekształceniu wszystkich jej punktów. Ale zauważmy, że może się przecież tak zdarzyć, iż prosta poprowadzona przez środek rzutowania i jeden z rzutowanych punktów będzie równoległa do rzutni. w skrajnym przypadku może to dotyczyć wszystkich punktów rzutowanej prostej, ale może też się zdarzyć, że nie dotyczy żadnego z nich. Po dokładniejszym przeanalizowaniu sytuacji nietrudno stwierdzić, dla których punktów nie da się określić obrazu w rzutowaniu. Będzie to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny równoległej do rzutni i przechodzącej przez środek rzutowania, z wyjątkiem samego środka. Jakakolwiek prosta leżąca na tej płaszczyźnie nie przetnie się z rzutnią; ewentualny obraz badanego punktu nie istnieje i nie można mówić o jego rzucie!

Często zdarza się, że interesują nas rzuty nie wszystkich punktów przestrzeni, lecz jedynie pewnej płaszczyzny. Jeśli rzutujemy środkowo jedną płaszczyznę na drugą, to znajdziemy na tej pierwszej prostą, której punkty nie będą miały określonych rzutów (jak ją otrzymać?). Ciekawe, że i na rzutni istnieje prosta, której żaden punkt nie należy do obrazu rzutowanej płaszczyzny. Tę prostą otrzymamy jako wynik przecięcia z rzutnią płaszczyzny równoległej do płaszczyzny rzutowanej, poprowadzonej przez środek rzutu. Te znikające i pojawiające się znikąd punkty sprawiają, że przy rzucie środkowym możemy się zetknąć z zaskakującymi sytuacjami.

Spróbujmy jeszcze zobaczyć, jak przy takim rzutowaniu przekształca się odcinek. Problem wydaje się nieco dziwny; czy można się spodziewać, że rzutem odcinka będzie coś innego niż odcinek lub, w najgorszym przypadku, punkt? a jednak z powodu "znikających" punktów sprawa wcale nie jest taka prosta.

Wyobraźmy sobie punkt - źródło światła (środek rzutowania), płaszczyznę, na którą będziemy rzutować (czyli rzutnię), i odcinek, którego obraz chcemy uzyskać. Poprowadźmy jeszcze jedną płaszczyznę równoległą do rzutni i przechodzącą przez środek rzutowania. Nazwijmy ją "płaszczyzną zakazaną", gdyż żaden jej punkt nie da się zrzutować z leżącego na niej środka rzutowania - promienie są wtedy równoległe do rzutni. Mamy trzy możliwości położenia odcinka względem tej dodatkowej płaszczyzny: odcinek jest w niej zawarty, ma z nią tylko jeden punkt wspólny i, wreszcie, jest z nią rozłączny. Efekty rzutowania w każdej sytuacji będą inne.

Przypadek pierwszy i trzeci jest prosty. Jeśli mamy odcinek rozłączny z płaszczyzną zakazaną, to jego rzut jest też odcinkiem - przez każdy punkt odcinka przechodzi promień światła, dający obraz na rzutni. Gdy zaś odcinek leży na płaszczyźnie zakazanej, to zgodnie z tym, co zauważyliśmy wcześniej, nie ma rzutu. Odcinek nie daje cienia.

Sytuacja się komplikuje, gdy odcinek ma jeden wspólny punkt z płaszczyzną zakazaną. Tu bowiem wchodzą w grę jeszcze dwa przypadki: punktem tym może być koniec odcinka lub jakiś jego punkt wewnętrzny. Jeśli odcinek "dotyka" końcem płaszczyzny zakazanej, to jego rzutem jest... półprosta. Jak uzasadnić ten zadziwiający fakt? Zacznijmy od drugiego końca. Tu nie dzieje się nic nadzwyczajnego; punkt przekształca się zwyczajnie na odpowiedni punkt na rzutni. Niech teraz promień rozpocznie wędrówkę po odcinku do drugiego końca. Co się dzieje z obrazem? Zaczyna się on oddalać, bo promień zbliża się do leżącego na płaszczyźnie zakazanej. Można powiedzieć, że w granicy punkt ucieknie do nieskończoności, gdyż promień stanie się równoległy do rzutni; wtedy przejdzie przez drugi koniec odcinka .

Ostatni już przypadek, gdy odcinek ma punkt wewnętrzny wspólny z płaszczyzną zakazaną, sprowadza się do poprzednich. Odcinek taki możemy potraktować jako połączenie dwóch kawałków: jeden od jednego końca do punktu przecięcia i drugi od drugiego końca też do punktu przecięcia. Każdy z kawałków rzutuje się na półprostą. a więc? Rzutem takiego odcinka będą dwie półproste, zawierające się w jednej prostej (innymi słowy: prosta z wyrzuconym odcinkiem bez końców).

Wynik rzutowania odcinka jest zaskakujący, ale czy nie spotykaliśmy się z takimi sytuacjami w życiu? z pewnością wielokrotnie obserwowaliśmy w promieniach zachodzącego słońca cienie rozmaitych obiektów; stawały się one coraz dłuższe. Cień kija wbitego pionowo w ziemię na sporej równinie może sprawiać wrażenie nieskończenie długiego. w rzeczywistości nigdy taki nie będzie z powodu naturalnych ograniczeń fizycznych.

Znając rzuty odcinków, można przewidzieć, jak będą wyglądały rzuty figur bardziej skomplikowanych, na przykład wielokątów. Wiemy już, że proste rzutują się na proste, z wyjątkiem być może pojedynczych punktów. a jak wygląda rzut dwóch przecinających się prostych? Po doświadczeniach z odcinkami nie zaskoczy nas, że i tu pojawią się niespodzianki.

Załóżmy, że te dwie proste się przecinają. Jeżeli przetną się w punkcie, który można rzutować, to nic szczególnie dziwnego się nie stanie. Jeśli jednak przetną się w tym wyjątkowym punkcie, którego rzut nie jest określony, to po dokładnym zbadaniu sprawy okaże się, że... ich obrazy są zawarte w dwóch prostych równoległych! Wyobraźmy sobie na równinie dwa pręty wbite w ziemię i stykające się wolnymi końcami; tworzą one odwróconą literę "V". Cień opisanej figury w promieniach słońca też jest literą "V". Gdy słońce zachodzi, cień się wydłuża i ramiona litery coraz bardziej przypominają proste równoległe. Punkt przecięcia oddala się w nieskończoność. Podobnie tworzy się rzut prostych przecinających się w znikającym punkcie; można to sobie wyobrazić właśnie tak, że punkt przecięcia rzutów ucieka do nieskończoności.

Jeżeli już wiemy, że proste przecinające się mogą w wyniku rzutowania zamienić się w równoległe, to możliwa jest też sytuacja odwrotna. Istotnie, wystarczy odwrócić kierunek rzutowania. Dwie proste przecinające się wyznaczają płaszczyznę i wystarczy tę płaszczyznę potraktować jako rzutnię, rzutować natomiast dwie proste równoległe, otrzymane jako efekt pierwszego rzutowania (nie zmieniając środka rzutowania). Teraz proste równoległe zostaną przeprowadzone w proste, które się przecinają.

Zaskakujące. Jednak z tą niezwykle ważną własnością stykamy się niemal na co dzień! Gdy patrzymy na prostą drogę znikającą na horyzoncie albo na tory kolejowe, widzimy, jak brzegi drogi lub szyny schodzą się na horyzoncie, chociaż wiemy, że są równoległe i nie mogą się przeciąć. Dlaczego więc się zbiegają? To właśnie jest efekt rzutowania rzeczywistego świata (drogi lub torów leżących w jednej płaszczyźnie) na płaszczyznę siatkówki oka. Środkiem rzutowania jest punkt w soczewce oka, a dokładnie jej środek.

w wyniku odpowiedniego rozumowania matematycznego dostajemy jedną z najważniejszych zasad perspektywy: proste równoległe, lecz nierównoległe do płaszczyzny obrazu, powinny być narysowane jako proste schodzące się w jednym punkcie, nazywanym punktem zbiegu. Tę zasadę i inne odkrył w XV wieku Filippo Bruneleschi, a rozwinęli znakomici twórcy Renesansu - Albrecht Dürer, Tommaso Masaccio, Paolo Uccello, Leonardo da Vinci i inni. Zaczęto precyzyjniej formułować prawa rządzące perspektywą. Robili to sami artyści, ale również ludzie związani z matematyką. Jednym z nich był Gérard Desargues.

Desargues (1591-1662) pragnął pomóc swoim kolegom artystom w zebraniu i uporządkowaniu najważniejszych faktów z teorii perspektywy. Sformułował cały zestaw twierdzeń, które mogłyby przydać się na przykład inżynierom i architektom. Wprowadził też specyficzną terminologię. Najważniejszym jego rezultatem, który stał się jednym z głównych wyników geometrii nowego typu, jest twierdzenie noszące dziś jego imię.

Załóżmy, że dane są dwa trójkąty o tej własności, iż trzy proste, przechodzące przez odpowiednie wierzchołki trójkątów, zbiegają się w jednym punkcie; wówczas przedłużenia odpowiednich boków przecinają się w punktach leżących na jednej prostej.

Może się zdarzyć, że przedłużenia boków będą równoległe; ten przypadek wyjaśniony zostanie nieco później.

Twierdzenie Desarguesa ma wersję płaską i przestrzenną, w zależności od tego, czy trójkąty leżą na płaszczyźnie, czy w przestrzeni. Może to się wydawać paradoksalne, ale wersja przestrzenna jest znacznie łatwiejsza do uzasadnienia! Wystarczy się dobrze przyjrzeć rysunkowi. Jeżeli bowiem dwa badane trójkąty nie leżą w jednej płaszczyźnie, to punkty, o których mowa w tezie twierdzenia, muszą należeć do płaszczyzn wyznaczonych przez każdy z trójkątów. a skoro nasze trójkąty nie leżą w równoległych płaszczyznach, to płaszczyzny te przecinają się wzdłuż prostej. Kiedy jednak wszystko dzieje się w jednej płaszczyźnie, dowód jest znacznie bardziej skomplikowany.

w przypadku przestrzennym, gdy dwa trójkąty w przestrzeni leżą w dwóch płaszczyznach, punkt przecięcia się prostych przechodzących przez wierzchołki możemy traktować jako źródło światła; wybiegające z niego promienie rzutują jeden
trójkąt na drugi. Desargues punkt ten nazwał środkiem perspektywy dla trójkątów, a jest to przy okazji punkt, z którego wykonujemy rzut środkowy. Prosta, na której leżą punkty przecięcia przedłużeń odpowiednich boków, została nazwana osią perspektywy.

Twierdzenie Desarguesa można wypowiedzieć następująco:
Jeśli dwa trójkąty mają środek perspektywy, to mają również oś perspektywy.

Wróćmy teraz do zagadki o drzewach. w sadach zazwyczaj sadzi się drzewka w równoległych rzędach, tu jednak trzeba z tego zrezygnować, w przeciwnym wypadku nie znajdziemy rozwiązania. Jeżeli znamy twierdzenie Desarguesa, wszystko okazuje się proste. Rolę drzewek będą grały punkty - wierzchołki trójkątów (jest tych wierzchołków sześć), środek perspektywy oraz trzy punkty przecięcia przedłużeń odpowiednich boków. Rzędy natomiast to proste zawierające boki trójkątów, trzy proste przechodzące przez pary odpowiednich wierzchołków i schodzące się w środku perspektywy oraz oś perspektywy. Rysunek należy rozpocząć od środka perspektywy i trzech wychodzących z niego prostych.

Twierdzenie Desarguesa odznacza się niezwykłymi symetriami. Najprostsza z nich jest związana z tym, że twierdzenie można odwrócić. Oznacza to, że jeśli trójkąty mają oś perspektywy, to mają również środek perspektywy.

Zauważmy, że twierdzenie Desarguesa różni się swoim charakterem od twierdzeń z geometrii, znanych nam ze szkoły. Nie ma w nim mowy o porównywaniu długości czy pól, nie mówi się o żadnych proporcjach czy kątach przystających. Praktycznie występują tu tylko proste i punkty. Gdy cały układ punktów i prostych odpowiadających twierdzeniu narysujemy na płaszczyźnie, otrzymamy konfigurację, nazywaną często konfiguracją Desarguesa. Jeśli teraz tę konfigurację zrzutujemy na inną płaszczyznę, to - z dokładnością do nieuniknionych przemieszczeń - powstanie konfiguracja taka sama. Jeśli jakieś punkty były współliniowe przed rzutowaniem, to pozostaną współliniowe również i po nim. Rzuty przecinających się prostych będą się przecinać. Chyba że... Ale o tym za chwilę.

Takie są właśnie cechy twierdzeń, należących do działu geometrii, nazywanego geometrią rzutową. Geometria rzutowa bada te własności figur, które nie zmieniają się przy rzutowaniach. w geometrii rzutowej nie odgrywają roli długości ani stosunki długości - wszystko to przy rzutowaniach może się zmienić. Co więc nie ulega zmianie? Właśnie takie relacje, jak leżenie punktu na prostej czy przechodzenie prostej przez dane punkty.

w geometrii rzutowej, podobnie jak w dobrze nam znanej geometrii euklidesowej, zakłada się, że przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Dodane zostaje jednak założenie, że dwie dowolne proste na płaszczyźnie muszą się przeciąć. Co wobec tego z prostymi równoległymi? Umawiamy się, że proste równoległe przecinają się "w punkcie bardzo odległym", to znaczy w nieskończoności. Do płaszczyzny dodaje się nową prostą, składającą się z takich punktów - jest to "prosta w nieskończoności". Zauważmy, że te obiekty o dziwnych nazwach nie są nam całkiem obce: prosta w nieskończoności jest abstrakcyjnym odpowiednikiem linii horyzontu, punkty w nieskończoności zaś to punkty, w których proste równoległe "łączą się" na horyzoncie (tak jak biegnące w dal tory). Rzutowania nie muszą zachowywać równoległości, dlatego eliminuje się proste równoległe. Dodatkowe założenie likwiduje wiele problemów. "Znikające punkty" oraz proste pojawiające się znikąd przy rzucie środkowym znajdują naturalną interpretację: "prosta zakazana" rzutuje się na prostą w nieskończoności, a prosta na rzutni, nie będąca obrazem żadnej prostej, teraz może zostać potraktowana jako rzut prostej w nieskończoności. Rzutowanie płaszczyzny na płaszczyznę nabiera cech swoistej symetrii.

Dopuszczając w twierdzeniu Desarguesa istnienie punktów i prostych w nieskończoności, nie musimy rozpatrywać przypadków, gdy pewne proste są równoległe. Przedstawiona wcześniej wersja w geometrii rzutowej opisuje wszystkie przypadki, nawet taki, gdy środek perspektywy "ucieka" do nieskończoności, a więc gdy proste przechodzące przez odpowiednie wierzchołki są równoległe. Widzimy, że dopuszczenie punktów w nieskończoności w tym przypadku znacznie upraszcza wypowiedź i likwiduje pozornie różne sytuacje.

Z tych wszystkich założeń i obserwacji wynika, że geometria rzutowa nie jest zwyczajną geometrią euklidesową. Ale przecież narodziny geometrii nieeuklidesowej kojarzą się z XIX wiekiem i z nazwiskami Łobaczewskiego i Bolyaia, podczas gdy idee geometrii rzutowej znane były znacznie wcześniej. Dlaczego nie zwrócono uwagi na jej nieeuklidesowość?
Rzecz w tym, że niejednokrotnie to, co dziś dla nas jest oczywiste i nie podlega dyskusji, sto lub dwieście lat temu byłoby nie do pomyślenia. Ot, chociażby tak podstawowy fakt, że prosta jest zbiorem punktów, jeszcze nie tak dawno wydawałby się niezrozumiały; proste i punkty uważano za jakości innego rodzaju: punkty mogą leżeć na prostych, a proste przechodzić przez punkty, nic więcej. Podobnie, metodami rzutowymi posługiwano się tylko jako narzędziem i nikomu nie przyszłoby nawet do głowy, że mogą to być zaczątki zupełnie nowej geometrii. Aż do początków XIX wieku panowało przekonanie, że geometria euklidesowa jest jedyną możliwą; myśl o innej geometrii uznano by za niedorzeczną i absurdalną. Podobnie było zresztą z geometrią sferyczną, czyli geometrią na powierzchni sfery, niezbędną w nawigacji morskiej i astronomii, także w praktyce znaną długo przed Łobaczewskim i Bolyaiem; nikt nie próbował nawet pomyśleć o niej jako o odstępstwie od kanonu euklidesowego. Dlatego przez ponad sto lat nie zauważono nieeuklidesowej natury geometrii rzutowej.

Geometrię rzutową, podobnie jak euklidesową, można konstruować aksjomatycznie, przyjmując jako pojęcia pierwotne punkty i proste (a w razie potrzeby także płaszczyzny). Następnie przyjmuje się odpowiedni układ aksjomatów; spośród nich na wyróżnienie zasługuje wyżej wspomniany aksjomat mówiący, że dwie dowolne proste (jeżeli tylko się nie pokrywają) muszą mieć dokładnie jeden punkt wspólny. Właśnie on decyduje o nieeuklidesowości geometrii rzutowej oraz staje się przyczyną dość niezwykłej symetrii, występującej w tejże geometrii.

Okazuje się mianowicie, że gdy w jakimś twierdzeniu z geometrii rzutowej (na płaszczyźnie) wymienimy termin "punkt" na termin "prosta" i odwrotnie oraz, konsekwentnie, własność "punkt leży na prostej" na "prosta przechodzi przez punkt", to otrzymamy znów twierdzenie prawdziwe! Opisana cecha nosi nazwę zasady dualności. Jej prostą ilustracją jest dualizacja fundamentalnej własności: przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta. Dualny odpowiednik tej własności brzmi: dwie różne proste przecinają się dokładnie w jednym punkcie - rozpoznajemy aksjomat podany powyżej. Innym aksjomatem często przyjmowanym w geometrii rzutowej jest fakt, że na każdej prostej leżą przynajmniej trzy różne punkty. Zgodnie z zasadą dualności, otrzymamy stwierdzenie: przez każdy punkt przechodzą przynajmniej trzy różne proste. Dualizacji podlegają także, oprócz twierdzeń, definicje i pojęcia występujące w geometrii rzutowej. Pojęciem dualnym do prostej jest pęk prostych, przecinających się w jednym punkcie, gdyż prosta wyznacza zbiór punktów, leżących na niej. Nietrudno też zauważyć, że pojęciem dualnym do środka perspektywy jest oś perspektywy.

Jeśli teraz dokładnie przyjrzymy się twierdzeniu Desarguesa, to zauważymy, że dokonując jego dualizacji, otrzymamy twierdzenie odwrotne. Zastosowanie tej zasady do twierdzenia Desarguesa, zapisanego w postaci równoważności, sprawi, że twierdzenie pozostanie bez zmian - jest ono samodualne.

Na tym nie kończą się zaskakujące własności twierdzenia Desarguesa.

Przyjrzyjmy się konfiguracji punktów ilustrującej twierdzenie. Każdy z nich, podobnie jak proste, ma swoje ściśle określone miejsce: jeden jest środkiem perspektywy, trzy inne leżą na osi perspektywy, pozostałych sześć wyznacza odpowiednie trójkąty. Gdybyśmy w konfiguracji nie wyróżnili środka perspektywy i osi - czy potrafilibyśmy je rozpoznać?
Ten układ punktów i prostych ma niezwykłą własność. Jeśli jednemu z nich przypiszemy konkretną rolę, to pozostałe mają już swoje jednoznacznie określone miejsce. Każdy z punktów może być środkiem perspektywy, każda trójka punktów współliniowych może wyznaczać oś perspektywy. Czyż nie jest to swoista symetria?

Twierdzenie Desarguesa można także sformułować dla trzech trójkątów:
Jeśli odpowiednie wierzchołki trzech trójkątów leżą na trzech prostych przecinających się w jednym punkcie, to trzy osie perspektywy, powstałe dla każdej pary trójkątów, przecinają się w jednym punkcie.

w tym przypadku "lustrzane odbicie" różni się jednak od oryginału:
Jeśli odpowiednie boki trzech trójkątów przecinają się (trójkami) w trzech różnych niewspółliniowych punktach, to trzy środki perspektywy, powstałe dla każdej pary trójkątów, leżą na jednej prostej.

Twierdzenie Desarguesa stanowi ważne narzędzie geometrii rzutowej, wykorzystuje się je do dowodu wielu innych istotnych faktów. Znajduje ono także zastosowanie przy konstrukcjach geometrycznych tworzonych za pomocą samej linijki.

w szkole mamy okazję zapoznać się z pewnymi, zazwyczaj prostymi, konstrukcjami rysowanymi za pomocą cyrkla i linijki. Okazuje się, że wiele konstrukcji można wykonać również samą linijką; często wykorzystuje się w tym celu rozmaite twierdzenia właśnie geometrii rzutowej.

Ciekawe są na przykład zadania, których sformułowanie związane jest z tak zwanym punktem niedostępnym (czyli na przykład punktem przecięcia danych prostych, znajdującym się poza naszą kartką papieru). Oto jedno z nich:
Na kartce papieru są narysowane odcinki dwóch prostych przecinających się w punkcie niedostępnym oraz punkt nie leżący na żadnej z tych prostych. Za pomocą samej linijki należy skonstruować prostą przechodzącą przez dany punkt i punkt niedostępny.
Istnieje wiele sposobów rozwiązania tego zadania; jedno z nich wykorzystuje twierdzenie Desarguesa. Trzeba skonstruować odpowiednią konfigurację dwóch trójkątów, tak by miały one środek perspektywy... Dociekliwy Czytelnik może na podstawie rysunku odtworzyć opis konstrukcji.

Gdyby proste z zadania były równoległe, to analogiczna konstrukcja pozwoliłaby na zbudowanie prostej równoległej do danych, przechodzącej przez zadany punkt, i to za pomocą samej linijki. Należy jednak zaznaczyć, że istnieją znacznie prostsze metody rozwiązania tego ostatniego problemu.

Twierdzenie Desarguesa jest jednym z historycznie pierwszych faktów nowej teorii - geometrii rzutowej. Stanowi bardzo ładny przykład twierdzenia samodualnego. Jest ważnym technicznym narzędziem, pozwalającym elegancko udowodnić rozmaite inne twierdzenia. Jego znaczenie ujawnia się również w badaniach nad aksjomatyzacją płaskiej i przestrzennej geometrii rzutowej. Można bowiem rozważać dziwaczne modele geometrii rzutowej płaskej, gdzie twierdzenie to nie obowiązuje (!). Obecnie są to teoretyczne ciekawostki, które jednak, jak to już nieraz zdarzało się w matematyce, mogą znaleźć nieoczekiwane, efektowne zastosowania.

Obfite plony zapewnione - rozplanowałem swój sad według konfiguracji Desarguesa

THEOREMA EGREGIUM,
czyli wyborne twierdzenie o krzywiźnie

Jak bardzo krzywa może być krzywa? Pytanie wydaje się na pierwszy rzut oka co najmniej dziwaczne, nie jest jednak bezsensowne. Wystarczy się uważnie przyjrzeć rozmaitym krzywym, by stwierdzić, że jedne linie są zakrzywione bardziej, inne zaś mniej. Na przykład parabola jest bardziej zakrzywiona w pobliżu wierzchołka, gdy natomiast oddala się od niego, wyprostowuje się; także zakrzywienie elipsy nie jest wszędzie jednakowe. Natomiast okrąg wygląda na jednakowo zakrzywiony w każdym miejscu.

Żeby opisać stopień zakrzywienia krzywej, wprowadza się pojęcie krzywizny. Formalny opis wymaga wykorzystania analizy matematycznej; my spróbujemy posłużyć się intuicją geometryczną, nie kładąc zbyt wielkiego nacisku na szczegóły.

Intuicja podpowiada nam, że krzywizna powinna mieć kilka naturalnych własności: krzywizna linii prostej powinna wynosić zero, a okręgu - być stała. Ponadto widać, że im mniejszy promień okręgu, tym bardziej okrąg wydaje się zakrzywiony. Można się więc umówić, że odwrotność promienia to miara zakrzywienia okręgu. Sensowne jest także przyjęcie okręgów za wzorce zakrzywienia.

Wybierzmy punkt, w którym chcemy zmierzyć zakrzywienie danej krzywej. Do niego dobierzmy dwa inne punkty na tej krzywej - po obu stronach badanego punktu. Przez te trzy punkty można poprowadzić albo okrąg, albo prostą.

Owe dodatkowe punkty możemy wybierać na różne sposoby. Wyobraźmy sobie zatem, że kolejne ich pary są dobierane tak, by zbliżały się do punktu środkowego. Za każdym razem powstają okręgi lub proste (choć prostych można się spodziewać jedynie w wyjątkowych przypadkach). Może się zdarzyć, że te okręgi będą zdążać do jakiegoś "granicznego" okręgu (ewentualnie prostej). Co w tym wypadku znaczy słowo "zdążać"? Odwrotności promieni powstałych okręgów mogą się zbliżać do pewnej granicznej wartości - to będzie właśnie krzywizna naszej krzywej w ustalonym punkcie. Jest to liczba, którą można interpretować jako odwrotność promienia okręgu, powstałego w wyniku przejścia granicznego. Okrąg ten jest nazywany okręgiem ściśle stycznym do krzywej w rozważanym punkcie. Krzywa w punkcie jest zakrzywiona tak jak pewien wzorcowy okrąg podobny do krzywej w pobliżu tego punktu. Gdy zaś promienie okręgów rosną do nieskończoności, odwrotności promieni maleją do zera i w granicy otrzymujemy prostą (zgodnie z intuicją: coraz większe okręgi przybliżają się do prostej). Potwierdza to pierwotne przypuszczenia: krzywizna prostej wynosi zero. Analizując określenie krzywizny, widzimy, że jest to pojęcie lokalne - opisane są własności krzywej, wynikające z jej zachowania się tylko w pobliżu wybranego punktu. Ponadto wymagamy od krzywej "gładkości" (czyli wyglądu przypominającego wykres funkcji różniczkowalnej). Gdyby na krzywej występował punkt "załamania", trudno byłoby w nim zdefiniować zakrzywienie.

Można też posłużyć się interpretacją nawiązującą do fizyki. Wyobraźmy sobie, że krzywa to ślad (tor) poruszającego się punktu. Takie określenie krzywej jest bardzo naturalne, choć, jak przekonaliśmy się w rozdziale czwartym, może prowadzić do zaskakujących wniosków. My zajmiemy się tylko sytuacjami regularnymi, kiedy krzywa jest gładka. Wtedy prędkość punktu poruszającego się wzdłuż krzywej jest wektorem do niej stycznym. Żeby nie zaprzątać sobie głowy długością wektora, przyjmijmy dla uproszczenia, że prędkość punktu będzie stale jednostkowa. Zauważmy, że im bardziej zakrzywiona jest krzywa, tym szybciej zmienia kierunek wektor prędkości; na prostej wektor ten ma kierunek stały.

Można zatem przyjąć, że miara krzywizny to szybkość zmiany kierunku wektora prędkości - zgodnie z interpretacją fizyczną jest nią przyśpieszenie. Właśnie tak: wektor przyśpieszenia wyznacza krzywiznę w danym punkcie, jego wartość będzie dokładnie tą poszukiwaną krzywizną. Wektor krzywizny, geometryczny odpowiednik przyśpieszenia dośrodkowego, jest prostopadły do wektora stycznego. Widzimy więc, że interpretacja ta ma bezpośredni związek z okręgiem ściśle stycznym i prowadzi do tego samego pojęcia.

Do tej pory rozważaliśmy tylko krzywe płaskie, chociaż nigdzie tego wyraźnie nie zaznaczyliśmy: opisane intuicje pasują również do krzywych przestrzennych. Można jednak zapytać, co decyduje o tym, że jedna krzywa jest przestrzenna, inna zaś nie. Opisana przez nas krzywizna określa, na ile krzywa różni się od prostej. Powinien chyba istnieć jeszcze inny rodzaj krzywizny, który pokazywałby, jak szybko krzywa "ucieka" z płaszczyzny.

Krzywa może leżeć w przestrzeni i nie dawać się pomieścić w płaszczyźnie. Taka jest na przykład linia śrubowa, nazywana też helisą, którą można sobie wyobrazić jako tor punktu poruszającego się "po sprężynie". Helisę można otrzymać jako wynik złożenia ruchu jednostajnego po prostej i po okręgu w płaszczyźnie prostopadłej do tej prostej.

Istotną rolę w opisie zakrzywienia w przestrzeni odgrywa płaszczyzna wyznaczona przez dwa wektory: wektor styczny do krzywej i wektor do niego prostopadły, związany z przyśpieszeniem dośrodkowym, nazywany wektorem normalnym do krzywej. Płaszczyzna ta nosi nazwę płaszczyzny ściśle stycznej. Gdy krzywa jest płaska, zawiera się w swojej płaszczyźnie ściśle stycznej. Brzmi to dziwnie, ale właśnie taką przyjęto terminologię. Powróćmy jednak do problemu zakrzywienia w przestrzeni. Można je określić jako szybkość ucieczki krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej. Mierzy się ją, badając szybkość zmian kierunku wektora prostopadłego (normalnego) do tej płaszczyzny. Jest to trzeci wektor uzupełniający układ wektorów w danym punkcie do czegoś w rodzaju układu współrzędnych; wektor ten nazywamy binormalnym. Łatwiej badać zachowanie wektora niż całej płaszczyzny, tym bardziej że zmiany położenia jednego wektora jednoznacznie określają zachowanie drugiego. Zakrzywienie krzywej w przestrzeni nazywa się skręceniem krzywej (albo drugą krzywizną).

Naturalnie krzywa płaska ma skręcenie równe zero; jej płaszczyzna ściśle styczna nie zmienia położenia, a tym samym jej wektor normalny też nie.

Ciekawe, że skręcenie i krzywizna jednoznacznie wyznaczają krzywą z dokładnością do położenia w przestrzeni - jeśli znamy krzywiznę i skręcenie, to wiemy, z jaką krzywą mamy do czynienia. Jest to podstawowe twierdzenie teorii krzywych.

Można również określić kolejne typy krzywizn dla krzywych włożonych w przestrzeń cztero-, pięcio- i n-wymiarową. Pomińmy jednak ich opisy i spróbujmy się zająć problemem zakrzywienia powierzchni. Jak sprawdzić, czy powierzchnia jest bardziej lub mniej zakrzywiona? Chodzi tu oczywiście nie tylko o wizualne efekty, ale także o matematyczny opis zjawiska. a może posłużyć się wprowadzonym już pojęciem krzywizny krzywej? Pojawiają się jednak poważne trudności, gdyż krzywe na powierzchni mogą się zachowywać bardzo dziwnie i trzeba wyłapać te ich cechy, które w pewnym stopniu zależą od powierzchni, odrzucić zaś cechy wynikające z indywidualnego charakteru krzywej.

Wybierzmy na powierzchni punkt i poprowadźmy przez niego dwie krzywe w taki sposób, żeby ich styczne w punkcie wyznaczały różne kierunki. Wektory styczne (tak jak poprzednio mogą to być jednostkowe wektory prędkości) wyznaczą płaszczyznę - będzie to płaszczyzna styczna w badanym punkcie do powierzchni. w tej płaszczyźnie będą leżały wektory styczne do wszystkich krzywych przechodzących przez zadany punkt i zawartych w badanej powierzchni. Oczywiście, rozważamy tu sytuację regularną - ani w punkcie, ani w jego pobliżu nie dzieje się z powierzchnią nic niezwykłego: nie pojawiają się kanty, "dzióbki", zagięcia itp. Gdyby coś takiego się zdarzyło, to, niestety, nie potrafilibyśmy skonstruować płaszczyzny stycznej - analogicznie jak w przypadku krzywej z punktami załamania.

Jeśli już mamy płaszczyznę styczną, to możemy wybrać wektor jednostkowy prostopadły do tej płaszczyzny w zadanym punkcie - nazywamy go wektorem normalnym. Same jednak zmiany położenia tego wektora nie opisują zakrzywienia powierzchni; wszystko zależy od kierunku jego przesuwania. Na przykład na walcu istnieje droga, wzdłuż której wektor normalny zachowuje ten sam kierunek; jest to tworząca walca. Gdy natomiast wektor normalny wędruje wzdłuż okręgu albo linii śrubowej, jego kierunek się zmienia.

Wszystko zależy więc od wyboru drogi; spróbujmy to jednak wykorzystać na naszą korzyść. Ale najpierw kilka zdań o pewnych wiekowych stworkach, wielce zaprzyjaźnionych z matematykami.

Często, gdy chcemy bardziej obrazowo przedstawić pewne - nie zawsze proste - sytuacje, szczególnie wyżej wymiarowe, posługujemy się wielce sympatycznymi stworkami, zwanymi płaszczakami. To, jak one wyglądają, zależy od inwencji autorów. Na pewno są dwuwymiarowe, żyją na płaszczyźnie lub na innej powierzchni i o trzecim wymiarze mają mniej więcej takie samo pojęcie jak my o czwartym. Dlatego, gdy umieścimy je w sytuacjach wymagających znajomości trzeciego wymiaru, obserwacja ich zachowania jest dla nas bardzo użyteczna i pouczająca. Najczęściej robimy to wówczas, kiedy chcemy lepiej zrozumieć zjawiska czterowymiarowe; wiedząc, co się dzieje w trzecim wymiarze, zgadujemy, co myślą o tym płaszczaki, a potem wyobrażamy sobie analogiczną sytuację w wymiarze o jeden wyższym. Płaszczaki są też pomocne przy ilustrowaniu rozmaitych pojęć z geometrii powierzchni i przestrzeni. Powołał je do życia ponad sto lat temu E. A. Abbott i od tego czasu matematycy (i nie tylko oni) chętnie korzystają z ich usług.

Edwin Abbott Abbott (to nie pomyłka, drugie imię brzmiało tak samo jak nazwisko), nauczyciel z Londynu, napisał wiele książek, ale dotyczyły one przede wszystkim... teologii i gramatyki. Wyjątkiem była jedna: Flatland (Flatlandia), wydana w roku 1884. Właśnie tam płaszczaki pojawiły się po raz pierwszy.

Mało kto dziś wie, że główną ideą Flatlandii nie było wytłumaczenie zjawisk w czwartym wymiarze, ale satyra na stosunki panujące w wiktoriańskiej Anglii, pokazana na przykładzie baśniowego świata. Główny bohater, A. Square, może być uważany za personifikację autora (A jak Abbott; squared znaczy po angielsku "do kwadratu"). Trzeci wymiar to jakby trochę uboczny, choć też niezwykle ważny motyw tej książki. Można się tam też doszukać aluzji do świata duchowego, nie mówiąc już o tym, że dziś zapewne wielu zaliczyłoby Flatlandię do gatunku literatury fantastycznonaukowej.

Powróćmy do wyboru drogi na powierzchni. Wiemy, że może on odgrywać decydującą rolę. w życiu najczęściej interesują nas drogi najkrótsze. Nie ma więc powodu przypuszczać, że płaszczaki będą myślały inaczej. Żyjąc na dwuwymiarowej powierzchni, też zainteresowane są najkrótszymi drogami, które nazwano geodezyjnymi. Wyobraźmy sobie, że mamy na powierzchni dwa punkty; krzywa, która wyznacza najkrótszą drogę od jednego z nich do drugiego, to właśnie geodezyjna. Na płaszczyźnie geodezyjnymi są linie proste. Gdyby na badanej powierzchni żyły płaszczaki, to traktowałyby jak linię prostą właśnie krzywą geodezyjną. My też, rysując na powierzchni Ziemi fragment prostej, zazwyczaj nie pamiętamy o tym, że naprawdę rysujemy na zakrzywionej powierzchni linię, która przecież prostą nie jest. Na sferze geodezyjne to okręgi wyznaczone przez koła wielkiej kuli (czyli koła powstałe po przecięciu kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek).

Wybierzmy krzywą gładką na powierzchni, przechodzącą przez zadany punkt. Krzywa ta ma w tym punkcie krzywiznę, której wektor jest prostopadły do wektora stycznego, co wcale nie oznacza, że jest prostopadły do płaszczyzny stycznej. Możemy go (standardowo) rozłożyć na wektor styczny do powierzchni i wektor do niej prostopadły (składową wzdłuż wektora normalnego). Część styczna odpowiada za zachowanie się krzywej na powierzchni. Część prostopadła opisuje zachowanie się krzywej zdeterminowane przez powierzchnię.

Dla krzywej geodezyjnej część styczna wektora krzywizny wynosi zero. Nie jest to zaskakujące, gdyż owa krzywa zachowuje się na powierzchni jak prosta na płaszczyźnie, gdy część styczna wektora krzywizny równa się zero. Rzut geodezyjnej na płaszczyznę styczną w pobliżu punktu styczności w kierunku wektora normalnego daje kawałek linii prostej. Zakrzywienie geodezyjnej pochodzi jedynie od powierzchni.

Tak więc o zakrzywieniu powierzchni możemy się czegoś dowiedzieć ze składowej normalnej wektora krzywizny. Wartość tej składowej to krzywizna normalna. Okazuje się jednak, że krzywizna normalna zależy nie tyle od krzywej, co od wektora stycznego do niej (cały czas rozważamy wektory styczne do krzywych, mające długość jednostkową). Mówimy wtedy o krzywiźnie normalnej w kierunku wektora stycznego. Wśród wszystkich krzywizn normalnych w danym punkcie w różnych kierunkach zawsze można znaleźć tę największą oraz tę najmniejszą. Są to krzywizny główne. Ich iloczyn (z odpowiednim znakiem) już dobrze opisuje zakrzywienie powierzchni. Ten iloczyn jest nazywany krzywizną Gaussa powierzchni.

i znów pojawia się nazwisko Gaussa - tym razem w dziedzinie odległej od teorii liczb, która, jak wspominaliśmy w rozdziale o liczbach pierwszych, była jego ulubioną dziedziną. Jednak ważne rezultaty Gauss uzyskał w każdym niemal dziale matematyki. Geometrią różniczkową powierzchni zajął się niejako z obowiązku służbowego, gdy ministerstwo spraw publicznych Księstwa Hanoweru zleciło mu nadzór nad projektem wykonania geodezyjnych pomiarów okręgu hanowerskiego. Gauss nie był zadowolony z powierzonych obowiązków, gdyż odrywały go od ulubionej matematyki. Wywiązywał się jednak z nich sumiennie, a efektem jego pracy były również ważne fakty z teorii powierzchni. Uporządkował znane wyniki i stworzył narzędzia, pozwalające badać geometryczne własności powierzchni metodami analizy matematycznej.

Sam Gauss określał krzywiznę powierzchni nieco inaczej (choć równoważnie). Posługiwał się również wektorami normalnymi, ale zamiast krzywych badał powierzchnię w pobliżu punktu i odpowiednio odwzorowywał ją na sferę jednostkową. Wybierzmy na powierzchni punkt i rozważmy niewielki fragment otaczającej go powierzchni. w każdym punkcie tego kawałka możemy wystawić jednostkowy wektor normalny. Każdemu takiemu wektorowi odpowiada wektor zaczepiony w środku sfery jednostkowej o tym samym kierunku. Koniec tego wektora wyznacza punkt na sferze. w ten sposób punkty kawałka powierzchni przekształcą się na pewien fragment sfery - to właśnie jest odwzorowanie Gaussa. Można badać stosunek pola części powierzchni sfery wyznaczonej przez wektory normalne do pola kawałka wyjściowego. Mierzy on jakby stopień rozproszenia wektorów normalnych na powierzchni. Gdy powierzchnia jest płaska, to wektory wyznaczają ten sam kierunek, a zatem w odwzorowaniu Gaussa każdy fragment tej powierzchni przechodzi w jeden punkt na sferze. Krzywizna Gaussa jest granicą opisanych ilorazów, gdy bierzemy coraz to mniejsze kawałki powierzchni otaczające badany punkt. Taki opis raczej nie nadaje się do rachunków. Pozwala jednak stwierdzić, że w przypadku płaszczyzny dostaniemy krzywiznę zerową, a w przypadku sfery o promieniu r będzie to liczba 1/r². Konstrukcja krzywizny Gaussa za pomocą krzywizn normalnych jest znacznie bardziej praktyczna.

Nietrudno się przekonać, że krzywizna Gaussa powierzchni walca jest zerowa, gdyż wyznaczające ją krzywizny główne są związane z prostą i okręgiem położonymi na walcu. Pierwsza krzywizna wynosi zero, druga zaś to odwrotność promienia okręgu; ich iloczyn równa się zatem zeru.

Uzyskany wynik może się wydawać dziwaczny. Jak to możliwe? Przecież walec wcale nie jest płaski, jego powierzchnia jest zakrzywiona! Wynik można uzasadnić tym, że powierzchnię walca otrzymujemy z płaszczyzny poprzez jej wyginanie, ale bez zmiany odległości na przekształcanej płaszczyźnie. Jeśli na kartce papieru wybierzemy dwa punkty i połączymy je odcinkiem, a następnie zaczniemy wyginać kartkę, to odległość pomiędzy punktami na powstającej powierzchni się nie zmieni - kartka jest deformowana w sposób sztywny bez rozciągania i ściskania. Takie przekształcenie nazywa się często izometrycznym. Nie ma to jednak wiele wspólnego z definicją izometrii z lekcji geometrii. Te nowe izometrie nie zmieniają odległości tylko na deformowanej powierzchni.

Płaszczak, który mieszkałby na wyginanej płaszczyźnie, nie byłby w stanie stwierdzić, że coś się stało. Mierzenie odległości na powierzchni nie pozwoliłoby mu na odnotowanie zmian. Mógłby je zauważyć dopiero po oderwaniu się od płaszczyzny; płaskie istoty nie mogą jednak spojrzeć nad płaszczyznę, "do góry".

Gdybyśmy płaszczyznę nie tylko wyginali, lecz rozciągali lub ściskali (przy założeniu, że jest wykonana z elastycznej błony), zmieniałyby się także odległości, a wraz z nimi i krzywizna.

Płaszczyzny nie da się w sposób sztywny wygiąć na sferę. Łatwo się o tym przekonać, próbując owinąć piłkę gazetą. Nie można płata gumowej piłki rozpłaszczyć w sposób naturalny (bez rozciągania). Krzywizna Gaussa sfery jest równa w każdym punkcie kwadratowi odwrotności jej promienia. Im większa sfera, tym mniejsza jej krzywizna.

Gauss zbadał wiele własności zdefiniowanej przez siebie krzywizny. Między innymi udowodnił twierdzenie, które wydało mu się zaskakujące i tak ważne, że nazwał je theorema egregium, czyli twierdzeniem wybornym. Najogólniej mówiąc, głosi ono, że krzywiznę Gaussa można zdefiniować za pomocą pojęć dotyczących jedynie badanej powierzchni, bez wnikania w to, w jakiej przestrzeni ta powierzchnia jest położona, bez wychodzenia poza powierzchnię. Krzywizna Gaussa należy więc do geometrii wewnętrznej powierzchni.

Ujmijmy to inaczej. w powyższych rozważaniach wspominaliśmy o geometrii na danej powierzchni. Na zwykłej płaszczyźnie z normalną odległością obowiązuje doskonale nam znana geometria euklidesowa. Na innej powierzchni też można określić odległość między punktami za pomocą długości geodezyjnych. Rolę prostych pełnią tam właśnie geodezyjne; otrzymujemy pewną geometrię, w której obowiązują odpowiednie prawa. Płaszczaki żyjące na takiej powierzchni mogą formułować rozmaite twierdzenia, definiować figury i badać związki między nimi. Zazwyczaj na takiej wykrzywionej powierzchni nie obowiązują prawa geometrii euklidesowej. Na przykład na sferze przez dwa punkty można czasem poprowadzić więcej niż jedną geodezyjną (która na sferze spełnia rolę prostej). Twierdzenie Gaussa głosi, że posługując się metodami geometrii powierzchni płaszczaki będą mogły zbadać krzywiznę tejże powierzchni. Jest to co najmniej zaskakujące. Jak wiemy, wielu zjawisk przestrzennych płaszczaki nie mogą zarejestrować, ponieważ nie potrafią "wejść" w trzeci wymiar. Co najwyżej mogą snuć pomysłowe hipotezy. Ponadto określenie krzywizny Gaussa wydaje się niemożliwe bez wektorów normalnych, płaszczyzn stycznych itd. a jednak theorema egregium stwierdza, że jest to możliwe.

Gauss sformułował swoje twierdzenie w czasach, gdy dopiero rodziły się podstawy geometrii nieeuklidesowej. Myśl o tym, że może istnieć geometria inna od euklidesowej, była tak śmiała, iż nawet matematyk o ogromnym i powszechnie uznanym autorytecie, jakim był wówczas Gauss, nie ośmielił się jej publicznie ogłosić. Tymczasem theorema egregium wyraźnie wiązała geometrię powierzchni z krzywizną: jeśli krzywizna jest różna od zera, to na powierzchni obowiązuje geometria nieeuklidesowa i płaszczaki mogłyby to stwierdzić.

Rezultaty Gaussa stanowiły podstawę do dalszych badań nad zakrzywieniem przestrzeni. Można bowiem postawić pytanie, czy przestrzeń może być zakrzywiona oraz jak to opisać i zmierzyć.

Zauważmy, że choć używamy zwrotu "trójwymiarowy", to trudno sobie wyobrazić takie obiekty, i do tego jeszcze zakrzywione. Na myśl przychodzi otaczająca nas przestrzeń albo twory przypominające bryły. Ale w takich bryłach powykrzywiana jest ich powierzchnia, a co z wnętrzem? Płaszczakowi, istocie dwuwymiarowej, też trudno byłoby wyobrazić sobie sferę lub dętkę samochodową, choć niewątpliwie są to powierzchnie. Gdy wyginaliśmy płaszczyznę, wraz z nią deformacji ulegał także płaszczak, i przy braku zmiany odległości nie miał szans tego zauważyć.

Obiektem trójwymiarowym, zdefiniowanym prosto i naturalnie, jest sfera trójwymiarowa, zbiór punktów przestrzeni czterowymiarowej jednakowo odległych od ustalonego punktu - jej środka. o tej sferze i kłopotach z jej "zobaczeniem" wspominaliśmy w rozdziale siódmym. Gdy chcemy ją sobie wyobrazić, często pomocne są analogie z płaszczakami na "zwykłej" sferze dwuwymiarowej. w szczególności możemy zauważyć, że twór żyjący na takiej sferze, udając się w jakimkolwiek kierunku, powinien po pewnym czasie powrócić do punktu wyjścia - analogicznie jak stanie się z płaszczakiem, który wyruszy na sferze w wędrówkę po geodezyjnej. Świadczy to o zakrzywieniu sfery trójwymiarowej, która zresztą jest jednym z najprostszych obiektów trójwymiarowych. Istnieje też wiele innych, znacznie bardziej skomplikowanych obiektów tego rodzaju.

A co z przestrzenią, w której żyjemy? Czy jest "płaska", czy też powykrzywiana, tak jak na przykład powierzchnia sfery? Problemem zakrzywienia przestrzeni i sposobem jego badania zainteresowani są fizycy. Ale zanim te sprawy zaczęły zaprzątać ich uwagę, Bernhard Riemann, również wspominany w rozdziale o liczbach pierwszych, uogólnił idee Gaussa i określił zakrzywienie przestrzeni. Riemann przeprowadził swoje rozumowanie dla obiektów n-wymiarowych. Uogólnienie to nie jest natychmiastowe i oczywiste. w wyżej wymiarowych przypadkach nie opisuje się zakrzywienia za pomocą jednej liczby, lecz za pomocą całego ich układu, podlegającego pewnym regułom przy zmianie punktu odniesienia. Ten układ liczb nosi groźną nazwę tensora krzywizny, dokładniej, tensora krzywizny Riemanna. (Na marginesie - kabaret, utworzony ongiś przez studentów matematyki, nosił nazwę "Wściekły tensorek"). Bardziej precyzyjny opis tensora krzywizny wymaga pewnych przygotowań i nie będziemy się tu nim zajmować. Wspomnijmy jedynie o tym, że tensory pojawiły się jako swego rodzaju uogólnienia wielkości wektorowych. Na przykład w fizyce wyróżnia się: wielkości skalarne, czyli liczby, wielkości wektorowe - niosące w sobie więcej informacji niż skalary (w przestrzeni wektor opisują trzy liczby) - i wielkości tensorowe różnego typu; w geometrii różniczkowej twory te nazywa się obiektami geometrycznymi. Tak więc już zakrzywienie przestrzeni opisane jest przez dość zawiły obiekt geometryczny: tensor krzywizny, który - gdy ustalimy dwa kierunki - daje krzywiznę Gaussa dla czegoś w rodzaju powierzchni geodezyjnej, zanurzonej w tej przestrzeni.

Ideę uogólnienia pojęcia krzywizny przedstawił Riemann w swoim wykładzie habilitacyjnym w 1854 roku. Rezultaty te zyskały jednak rozgłos dopiero po śmierci Riemanna; stały się podstawą rozwoju nowoczesnej geometrii różniczkowej i znalazły zastosowanie w fizyce. w 1915 roku ukazała się praca Alberta Einsteina, w której teoria grawitacji została sprowadzona do geometrii przestrzeni; powstała ogólna teoria względności. Okazało się, że materia ma wpływ na tę geometrię, a grawitację można interpretować jako zakrzywienie przestrzeni. Pojawiło się naturalne pytanie o kształt Wszechświata, w którym żyjemy.

Theorema egregium, przeniesiona na przestrzenie wyżejwymiarowe, stwierdza, że nasze próby zbadania zakrzywienia Wszechświata nie są pozbawione sensu. Bez względu na to, czy Wszechświat jest zanurzony w jakieś hiperprzestrzeni, czy nie (a jeśli tak, to w jakiej), mamy szansę obliczyć jego zakrzywienie, posługując się własnościami rządzącej w nim geometrii. Choć może się to okazać niezwykle trudne.

Gdyby jednak Wszechświat był "powyginany" (jak rulon kartki - powierzchnia walca), to posługując się tylko krzywizną (tensorem krzywizny), nie potrafilibyśmy tego stwierdzić. "Od wewnątrz" Wszechświat byłby płaski, choć "z zewnątrz" wyglądałoby to inaczej. Potrzebne byłyby wtedy inne metody, ale pomysłowość ludzka nie zna granic.

Na pewno istnieje powierzchnia, na której toto jest prostą.

ANOMALIE CZTEROWYMIAROWE,
czyli wyniki Freedmana i Donaldsona

Hasło "czwarty wymiar" od dawna budziło różnorodne emocje. Aura tajemniczości i niezwykłości wokół niego pojawiła się jeszcze w XIX wieku, gdy matematycy zaczęli systematyczniej badać obiekty wielowymiarowe. Zainteresowanie czwartym wymiarem osiągnęło apogeum, gdy okazało się, że w fizycznych teoriach istotną rolę odgrywa czasoprzestrzeń - przestrzeń czterowymiarowa. Czysta abstrakcja miała szansę uzyskać bardziej realne kształty. Przy okazji niektórzy dostrzegli szansę na pseudonaukowe wyjaśnienie zjawisk paranormalnych - umieszczenie duchów w czwartym wymiarze mogłoby wytłumaczyć wiele niezwykłych zjawisk i uwiarygodnić całą teorię.

Później, gdy w matematyce zaczęły się pojawiać coraz bardziej abstrakcyjne konstrukcje, czwartym wymiarem interesowano się jakby mniej, modne stały się inne pojęcia i teorie.

i oto w latach osiemdziesiątych znów w świecie matematycznym zaczęło być głośno o obiektach czterowymiarowych. Uzyskane rezultaty uznano za jedne z najbardziej sensacyjnych i doniosłych w XX wieku.

Medale Fieldsa, najwyższe wyróżnienie w matematyce, wręcza się co cztery lata na Międzynarodowych Kongresach Matematyków. Nazwiska laureatów są do ostatniej chwili trzymane w absolutnej tajemnicy. Często można się jednak spodziewać, kto zostanie uhonorowany. w roku 1986, gdy rozpoczynał się kongres w Berkeley, w Kalifornii, dla społeczności matematycznej było niemal oczywiste, że medale powinnni dostać: Gerd Faltings, Michael Freedman i Simon Donaldson. i tak się też stało.

Rezultaty Faltingsa dotyczyły dziedziny, nazywanej geometrią algebraiczną. Faltings rozstrzygnął ważną hipotezę Mordella, co pozwoliło między innymi uzyskać dodatkowe informacje na temat Wielkiego Twierdzenia Fermata. Natomiast wyniki Freedmana i Donaldsona, związane z topologią i geometrią obiektów czterowymiarowych, wzbudziły wielkie emocje, a nawet sensację. Ponadto były one wyjątkowo trudne, mimo że od dawna w matematyce bada się twory daleko bardziej abstrakcyjne niż przestrzeń czterowymiarowa czy też pewnego rodzaju uogólnienie przestrzeni euklidesowych - rozmaitości.

Przez rozmaitość topologiczną wymiaru n rozumiemy obiekt spójny, który lokalnie wygląda jak n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa. Lokalnie - to znaczy, że dookoła każdego punktu można "wyciąć kawałek" badanego obiektu, tak by ten
kawałek wyglądał jak fragment przestrzeni euklidesowej odpowiedniego wymiaru. Słowo "wyglądał" oznacza tu, że ów kawałek możemy zmienić na wycinek przestrzeni euklidesowej za pomocą odpowiednio regularnej deformacji - wyginania bez rozrywania i sklejania, czyli znanego nam już przekształcenia homeomorficznego. Tak więc rozmaitość dwuwymiarowa lokalnie przypomina płaszczyznę, trójwymiarowa zaś - przestrzeń. Spójność, przypomnijmy, oznacza jednokawałkowość. Ten warunek niekiedy pomija się w definicji, przy czym takie uogólnienie jest raczej pozorne - gdy rozmaitość ma więcej kawałków, można każdy z nich charakteryzować oddzielnie.

Pierwszy nasuwający się przykład rozmaitości topologicznej jednowymiarowej to oczywiście prosta, a tym samym każdy jej homeomorficzny odpowiednik - jak na przykład odcinek bez końców. Innym przykładem jest okrąg (nawet fantazyjnie powyginany). Dwuwymiarowych rozmaitości jest znacznie więcej. Obok płaszczyzny oraz sfery inne przykłady to powierzchnie, z którymi mieliśmy już do czynienia: dętka (torus), dętki z dwiema, trzema dziurami...

Przykłady rozmaitości można otrzymać, posługując się modelami fizycznymi poruszających się punktów lub układów punktów. Zbiory możliwych położeń punktów lub ich układów (nazywane przestrzeniami konfiguracyjnymi) stanowią doskonałe przykłady rozmaitości różnych wymiarów. Na przykład - umieśćmy na końcu wahadła płaskiego (czyli takiego, którego koniec porusza się w płaszczyźnie, po okręgu) drugie wahadło, poruszające się niezależnie, ale już w przestrzeni. Po chwili namysłu można stwierdzić, że odpowiednia przestrzeń konfiguracyjna będzie rozmaitością: lokalnie poruszamy się według pierwszego wahadła jak po prostej, według drugiego - jak po sferze, czyli po kawałku płaszczyzny. Oznacza to, że w otoczeniu każdego punktu mamy możliwość poruszania się określoną przez trzy niezależne kierunki - lokalnie wygląda to jak przestrzeń R³. Czy tę lub inną rozmaitość, otrzymaną z fizycznego opisu, można inaczej scharakteryzować? Nie zawsze jest to łatwe! w najprostszym przypadku zbiór możliwych położeń końca płaskiego wahadła jest okręgiem (S¹). Wahadeł ze sobą połączonych może być jednak bardzo dużo.

Na przykład dwa wahadła płaskie - jedno zaczepione na końcu drugiego - przedstawiają rozmaitość S¹xS¹. Tak matematycy formalnie opisują torus (o którym była mowa w rozdziale czternastym).

Okazuje się, że rozmaitością jest też zbiór wszystkich płaszczyzn, przechodzących przez dany punkt, położonych w przestrzeni (niekoniecznie trójwymiarowej). Albo jeszcze coś innego - wyobraźmy sobie dwa sputniki, poruszające się niezależnie w kosmosie. Parametry opisujące ich ruch dadzą nam rozmaitość o wymiarze... 12.

Rozmaitość topologiczna jest pewnego rodzaju uogólnieniem powierzchni. w przypadku dwuwymiarowym najczęściej wyobrażamy sobie rozmaitość jako pofałdowaną powierzchnię, nie myśląc zazwyczaj o kantach i zagięciach. Tym niemniej homeomorfizmy dopuszczają wyginanie na rozmaite sposoby - nic więc dziwnego, że nawet bardzo połamana powierzchnia też jest rozmaitością. Rozmaitości topologiczne mogą wyglądać bardzo dziwacznie! Matematycy rozważają więc rozmaitości bardziej regularne, które są szczególnymi przypadkami tych topologicznych: rozmaitości gładkie i rozmaitości kawałkami liniowe (w skrócie PL-rozmaitości - od angielskiego terminu piecewise linear). Co ciekawe, rozmaitości topologiczne pojawiły się historycznie jako ostatnie.

Czym rozmaitość gładka różni się od topologicznej? Bardzo nieściśle można powiedzieć, że rozmaitość gładka nie ma zagięć ani kantów. Natomiast rozmaitość kawałkami liniowa lokalnie przypomina wielościan (niekoniecznie dwuwymiarowy, zależy to od wymiaru rozmaitości). Różnice między poszczególnymi typami rozmaitości na tym samym zbiorze są bardzo subtelne, związane z możliwymi deformacjami zbioru. Na przykładzie zwykłej sfery można to sobie wyobrazić w następujący sposób: sfera ma strukturę gładkiej rozmaitości, kiedy jest gładka w intuicyjnym sensie, czyli gdy wygląda jak zwykła sfera, ewentualnie nie za bardzo zdeformowana; na sferze mamy strukturę kawałkami liniową, gdy wygląda jak powierzchnia wielościanu; wreszcie na sferze zadana jest struktura topologiczna, gdy mamy do czynienia ze zbiorem homeomorficznym ze sferą, a więc takim, który może być zdeformowany dość radykalnie - z rozmaitymi kantami, fantazyjnym powyginaniem itp. Nakładanie struktury na rozmaitość jest jakby ubieraniem jej, kształtowaniem w pewnych granicach.

Precyzyjne rozróżnienie poszczególnych typów rozmaitości wymaga wprowadzenia dodatkowych pojęć i terminów. Wśród nich są mapy oraz atlasy. Terminy "mapa" i "atlas" kojarzą się przede wszystkim z geografią; mapa to odwzorowanie fragmentu powierzchni Ziemi na płaszczyznę, atlas zaś to zbiór map. Podobnie jest w przypadku rozmaitości: mapa to homeomorficzne odwzorowanie fragmentu rozmaitości na podzbiór przestrzeni euklidesowej odpowiedniego wymiaru (równego wymiarowi rozmaitości). w definicji rozmaitości żądaliśmy możliwości "wyprostowania" kawałków badanego obiektu. i to jest właśnie to! Wyginamy fragmenty rozmaitości, które po przekształceniu znajdują się na prostej, płaszczyźnie, w przestrzeni trójwymiarowej itd., w zależności od tego, czy mamy do czynienia z rozmaitością odpowiednio jedno-, dwu- czy trójwymiarową. Powierzchnia Ziemi może z dużym przybliżeniem służyć za przykład rozmaitości; na co dzień nie odczuwamy zakrzywienia naszej planety i nie musimy pamiętać, że jest kulą. To porównanie pokazuje niezbicie, że pojęcie rozmaitości nie jest czymś sztucznym, lecz "wziętym z życia". Badania matematyków przeszły od przestrzeni n-wymiarowych do rozmaitości - dawno temu ludzie, zgłębiając tajniki otaczającego ich świata, myśleli, że żyją na płaszczyźnie.

w geograficznej mapie kładziemy nacisk na dokładność odwzorowania. w mapie rozmaitości ważne jest samo odwzorowanie i jego dziedzina, czyli odwzorowywany fragment rozmaitości. Atlas, tak samo jak w geografii, to zbiór map. Wymagamy jednak, by dziedziny map z danego atlasu pokrywały całą rozmaitość (innymi słowy, by każdy punkt znajdował się na jakiejś mapie) oraz żeby mapy "były ze sobą zgodne". Ten warunek jest niezwykle ważny, właściwie w nim tkwi możliwość wprowadzania bardziej skomplikowanych struktur.

Jak wiemy, nie wszystkie operacje matematyczne da się wykonywać na dowolnych zbiorach. "Liczyć elementy" można zawsze. Ale już do badania ciągłości, a zatem i homeomorfizmów, potrzebna jest w zbiorze odpowiednia struktura. Znacznie większe restrykcje czekają tych, którzy chcą różniczkować. Potrafimy to zrobić w R, uogólnia się różniczkowanie na Rⁿ, na przestrzenie Banacha. Nie można jednak różniczkować funkcji określonej na przykład na zbiorze krzeseł - z tym że to akurat nie wydaje się zbyt użyteczne. Może się jednak przydać możliwość różniczkowania w przestrzeni konfiguracyjnej wahadła czy zbioru opisanego przez parametry poruszających się sputników.

i tu pojawiają się mapy i atlasy. Wyobraźmy sobie, że dwie mapy mają pewną część wspólną. Na przykład zazwyczaj na mapach pogranicza danego kraju występują też fragmenty kraju sąsiedniego i odwrotnie; często na mapach Polski i Słowacji występują całe Tatry. Rozważmy odwzorowania związane z tymi mapami, tylko niech jedno idzie "w drugą stronę" - to znaczy z podzbioru płaszczyzny na mapę Polski, drugie zaś ze Słowacji na inny kawałek płaszczyzny. Dla tego kawałka, gdzie mapy się przetną, możemy rozważać odpowiednie złożenie - z fragmentu płaszczyzny w płaszczyznę. Najpierw idziemy mapą "polską" w Tatry, a potem wracamy "mapą słowacką". i dla tej funkcji, określonej na podzbiorze R² i prowadzącej w R², możemy już badać różniczkowanie. To istotne, bo opis niektórych rozmaitości (choćby pewnych przestrzeni konfiguracyjnych) jest bardzo skomplikowany i trudno powiedzieć, jakim dokładnie tworem badana rozmaitość jest naprawdę.

i teraz, za sprawą zgodności map, możemy wrócić do różnych struktur na tym samym zbiorze. Dla rozmaitości gładkich przejście z obrazu jednej mapy do obrazu drugiej (oczywiście określone na tym kawałku pierwszej mapy, który przedstawia teren uwidoczniony również na drugiej mapie) powinno być różniczkowalne, czyli gładkie. Mówimy wtedy, że mamy określony atlas gładki albo że atlas zadaje strukturę gładkiej rozmaitości. Gdy przejścia pomiędzy mapami zachowują lokalną strukturę wielościenną, mamy do czynienia z PL-atlasem.

Istnieje dużo rozmaitych atlasów geograficznych, których mapy pokrywają powierzchnię Ziemi. Podobnie jest dla rozmaitości. Na przykład zwykła sfera też dopuszcza wiele różnych gładkich atlasów. Czy oznacza to, że dzięki temu jeden zbiór daje wiele różnych rozmaitości? Nie, wszystkie te atlasy wyznaczają jedną i tę samą rozmaitość, gdyż wszystkie określają jeden atlas maksymalny, nazywany strukturą różniczkową (w gładkim przypadku) albo PL-strukturą. Wydaje się, że tak powinno być zawsze; podobnie jak z różnych układów map otrzymujemy ten sam obraz kuli ziemskiej, tak samo dowolny atlas na zbiorze wyznaczy zapewne tę samą rozmaitość. w matematyce jednak nawet zgodny z intuicją fakt należy wykazać. Pojawiają się ponadto nowe pytania. Czy są jakieś zależności pomiędzy strukturami gładkimi i kawałkami liniowymi, czy każda rozmaitość topologiczna wyznacza strukturę gładką lub kawałkami liniową? Pytania wydają się dzieleniem włosa na czworo, a odpowiedź powinna być jednoznaczna: jeśli na danym zbiorze istnieje jakaś struktura, to tylko jedna, i do tego gładka, a przy odpowiednim spojrzeniu - kawałkami liniowa. Przecież nawet dziwną sferę możemy chyba "wygładzić", a potem zamienić w wielościan?
Formalne uzasadnienie tych hipotez znaleziono w roku 1923, ale tylko dla przypadku jedno- i dwuwymiarowego. Dokonał tego Węgier Béla Kerékjártó. Przypadek trójwymiarowy rozstrzygnęli na początku lat pięćdziesiątych wybitni amerykańscy topologowie: R. H. Bing i Edwin E. Moise. Okazało się, że każda struktura jednego typu jednoznacznie wyznacza pozostałe.

Często przy omawianiu rozmaitych pojęć i twierdzeń wymienia się nazwiska odkrywców; dodaje się również imiona (czasem pomaga to ustalić płeć), narodowość, a także inne informacje, pozwalające pamiętać o tym, że rezultaty naukowe są związane z konkretnymi ludźmi. Przy wymienionym wyżej nazwisku Binga nie ma jednak pełnego imienia, widnieją tam jedynie inicjały R. H. Dlaczego?
Otóż pod tymi inicjałami nie kryje się nic więcej, tak właśnie miał Bing na imię (w USA jest to dozwolone). Związana jest z tym anegdota. Przed narodzinami młodego Binga ustalono, że otrzyma on imiona po dziadku niemieckiego pochodzenia. Imiona te brzmiały Rupert Heinrich i bardzo się mamie Binga nie podobały. Gdy Bing się urodził i poproszono matkę o podanie imion (taki panował tam zwyczaj, i był on wiążący), podyktowała jako imiona skrót: R. H.

Inna anegdota mówi, że gdy dorosły już Bing przekraczał kiedyś granicę państwową, urzędnik zażądał od niego podania pełnych imion. Bing zaczął tłumaczyć, że to jest właśnie jego pełne imię, urzędnik zapytał: "R. H.?", na co Bing: "Only, only" (tylko, tylko). Urzędnik wpisał w deklaracji: "Ronly Honly Bing".

Powróćmy do rozmaitości. w roku 1940 John Whitehead pokazał, że (niezależnie od wymiaru) istnienie struktury gładkiej pociąga za sobą strukturę kawałkami liniową. Sensację przyniósł rok 1957, kiedy to John Milnor udowodnił istnienie różnych struktur gładkich na sferze siedmiowymiarowej; między innymi za to otrzymał on w roku 1960 Medal Fieldsa.

To, co wydawało się niemożliwe, stało się faktem. Cóż właściwie oznacza rezultat Milnora? Otóż dla tego samego zbioru, w tym przypadku S⁷, istnieją dwa atlasy, dające zupełnie różne obrazy zbioru wyjściowego. To tak, jakbyśmy znaleźli atlas kuli ziemskiej, który dawałby w całości obraz planety zupełnie inny niż ten znany. Na szczęście na zwykłej sferze jest to niemożliwe. Milnor stwierdził, że różnych struktur na sferze siedmiowymiarowej jest dokładnie 28, a na sferach w wyższych wymiarach może być ich jeszcze więcej.

Problem istnienia i zgodności struktur na rozmaitościach został dość dokładnie zbadany mniej więcej w połowie lat siedemdziesiątych wysiłkiem wielu znakomitych matematyków. Dla rozmaitości wymiaru większego lub równego 5 znaleziono niezmiennik decydujący o istnieniu struktury kawałkami liniowej.

o użyteczności niezmienników homeomorfizmów była tu już mowa. Gdy chcemy zbadać, czy dwa zbiory są homeomorficzne, czy nie, często wystarczy znaleźć dla nich obu wartości odpowiednich niezmienników i zauważyć, że się różnią. Gdy jednak są równe, to gorzej... Jednym z takich niezmienników jest znana nam już charakterystyka Eulera, liczba przyporządkowywana powierzchni za pomocą specjalnej (i wcale nie tak naturalnej) konstrukcji. Charakterystyka Eulera to jeden z najprostszych niezmienników topologicznych; jednak większość takich niezmienników zazwyczaj wiąże się z długimi i żmudnymi konstrukcjami, wykorzystującymi wyrafinowane techniki. w efekcie intuicja może zginąć w gąszczu szczegółów technicznych. Niezmiennik odpowiedzialny za istnienie struktur kawałkami liniowych jest, podobnie jak charakterystyka Eulera, liczbą przyporządkowywaną rozmaitościom, przy czym przyjmować on może jedynie dwie wartości: 0 lub 1. Gdy dla danej rozmaitości wartość niezmiennika wynosi 1, to rozmaitość nie dopuszcza struktury kawałkami liniowej, jeśli 0, to struktura taka istnieje. Topolodzy nazywają taki niezmiennik przeszkodą; kiedy przeszkoda jest niezerowa, to struktury nie ma - coś przeszkadza w jej wprowadzeniu.

Przy okazji znaleziono przykłady tworów dość niezwykłych - rozmaitości czysto topologicznych, których nie da się ani wygładzić, ani lokalnie zamienić w wielowymiarowe odpowiedniki wielościanów. Wcześniej specjaliści mieli cichą nadzieję, że uda się uniknąć takich sytuacji, gdyż techniki badania rozmaitości topologicznych są raczej ubogie i nieefektywne. Nic z tego!
Przypomnijmy, że uzyskane rezultaty związane z przeszkodami dotyczyły rozmaitości co najmniej pięciowymiarowych. Zauważono ponadto, że dla rozmaitości tym razem co najwyżej sześciowymiarowych struktury gładkie i typu PL są we wzajemnie jednoznacznej odpowiedniości; PL-struktura wyznacza jednoznacznie strukturę gładką i odwrotnie.

Nie było to tak proste, jak można by sobie życzyć. Tym niemniej rozmaitości niskowymiarowe, a także najprostsza z rozmaitości, n-wymiarowa przestrzeń kartezjańska Rⁿ, zachowują się dość "porządnie". w szczególności udowodniono (choć z zaskakująco dużym wysiłkiem), że na Rⁿ istnieje dokładnie jedna struktura gładka i jednocześnie kawałkami liniowa, ta naturalna generowana przez atlas składający się z jednej mapy r- odwzorowania identycznościowego. i wszystko było w porządku, z jednym drobnym wyjątkiem. Dla n=4 opracowane metody zawodziły. Mimo że przypadek ten aż do końca lat siedemdziesiątych pozostawał nie rozwiązany, wydawało się, że dołączenie czwórki do pozostałych liczb naturalnych to tylko kwestia czasu. Tymczasem w latach 1982-83 opublikowano prace Michaela H. Freedmana i Simona K. Donaldsona, które stały się sensacją.

Jak wiemy, jednym z podstawowych zadań topologii jest klasyfikacja zbiorów przy użyciu homeomorfizmów; zbiory homeomorficzne zalicza się do tej samej grupy. w przypadku pewnych ważnych obiektów wielce pomocne może być znalezienie i opisanie wszystkich możliwych ich grup. Takimi właśnie obiektami są rozmaitości o ustalonym wymiarze. Grupujemy je, patrząc na to, czy są homeomorficzne, czy nie. Czy można znaleźć dokładnie wszystkie zespoły rozmaitości, podać jakąś dobrą praktyczną metodę ich rozróżniania?
w przypadku jednowymiarowym istnieją tylko dwa typy rozmaitości - prosta i okrąg. Innymi słowy, każda jednowymiarowa rozmaitość topologiczna jest homeomorficzna z prostą lub okręgiem. Jak pamiętamy, dla wymiaru 1 nie ma problemu ze strukturami. Sprawa rozmaitości dwuwymiarowych też jest praktycznie rozwiązana. Za pomocą różnych niezmienników, między innymi charakterystyki Eulera, dokonano ich klasyfikacji jeszcze na początku bieżącego stulecia. Początkowe sukcesy zachęcały do dalszych badań - ale tu pojawiły się trudności. Do dziś nie wiadomo, czy w ogóle jest możliwa klasyfikacja rozmaitości trójwymiarowych, chociaż otrzymano wiele ważnych częściowych rezultatów. Przypadki wymiarów wyższych niż 3 zostały rozstrzygnięte w zaskakujący sposób. Dokonał tego Andriej Andriejewicz Markow (1903- 1979), syn... Andrieja Andriejewicza Markowa (1856-1922). Bardziej znany jest chyba ojciec, ze względu na często stosowane wyniki w rachunku prawdopodobieństwa i statystyce (procesy Markowa, łańcuchy Markowa). Zajmowali się jednak innymi dziedzinami matematyki. w roku 1958 Markow (syn) udowodnił, że klasyfikacja rozmaitości o wymiarze 4 i wyższym jest niemożliwa. Niemożliwa - to znaczy, że nie istnieje algorytm pozwalający na stwierdzenie po skończonej liczbie kroków, czy dwie rozmaitości są homeomorficzne, czy nie. Brzmi to trochę dziwacznie. Taki algorytm powinien być czymś w rodzaju katalogu pytań, na które potrafimy odpowiedzieć w przypadku każdej rozmaitości. Gdyby na przykład pan Pośmiechowski i pan Pociecha wymieniali swe wrażenia o kimś i chcieli sprawdzić, czy tematem ich dyskusji jest ta sama osoba, pytania mogłyby być takie: imię? nazwisko? narodowość? data urodzenia? miejsce zamieszkania? Po zadaniu pewnej liczby pytań można jednoznacznie stwierdzić, czy Pośmiechowski i Pociecha mają na myśli tego samego osobnika, czy dwóch różnych. w tym przypadku nie ma zresztą problemu, bo ludzi na świecie jest skończenie wiele. Ale już rodzajów dwuwymiarowych rozmaitości jest nieskończenie wiele, a do odpowiedniego algorytmu wystarczą zaledwie dwa pytania. Od wymiaru 4 począwszy metoda taka nie istnieje. Cztero- i wyżej wymiarowych rozmaitości jest tak dużo, że nie chcą się poddać klasyfikacji. a dla wymiaru 3 problem jest wciąż otwarty.

Wynik Markowa nie przeszkodził jednak w podejmowaniu prób klasyfikacji pewnych szczególnych rodzin rozmaitości. Jedną z nich, intensywnie studiowaną przez matematyków, jest rodzina rozmaitości jednocześnie jednospójnych i zwartych (jak już przyjęliśmy wcześniej - jednokawałkowych).

o zbiorach zwartych wspominaliśmy w rozdziale czwartym; podobnie określa się zwartość dla rozmaitości. Rozmaitość jest zwarta, gdy jest domknięta i ograniczona. Ograniczony nie jest na przykład zbiór liczb rzeczywistych R, nie są domknięte: przedział otwarty (0,1) czy koło otwarte. Trochę inaczej opisuje się jednospójność. Jednospójność polega na tym, że każda pętla zawarta w rozmaitości daje się "ściągnąć do punktu". Co to znaczy? Wyobraźmy sobie pętlę ze sznurka zawartą w rozmaitości (na przykład leżącą na powierzchni). Rozmaitość jest jednospójna, jeśli niezależnie od położenia pętli można w sposób ciągły zmniejszać tę pętlę aż do punktu, przy czym pętla nie wychodzi poza powierzchnię. Nie jest jednospójny pierścień ze względu na dziurę w środku; podobnie okrąg. Jednospójne są natomiast płaszczyzna i sfera. Własności tej nie ma z kolei torus - nie ściągniemy południków ani równoleżników.

Rozmaitości jednospójne i zwarte są (w każdym wymiarze) rozmaitościami najprostszymi. Można więc sądzić, że istnieją szanse na dokładne ich scharakteryzowanie, tym bardziej że w przypadku jednowymiarowym takich rozmaitości w ogóle nie ma, a jedyny możliwy przykład dwuwymiarowy to sfera. Już jednak w trzech wymiarach zaczynają się problemy. Prawie sto lat temu Henri Poincaré postawił hipotezę, że i tu jest tylko jedna taka rozmaitość: sfera trójwymiarowa. Do dziś jednak hipoteza Poincarégo nie została rozstrzygnięta. Natomiast jednospójnych i zwartych rozmaitości czterowymiarowych mamy już nieskończenie wiele. Jednospójna jest sfera czterowymiarowa, a także daleki krewny torusa: S²xS². Ten ostatni twór można interpretować jako przestrzeń konfiguracyjną podwójnego wahadła sferycznego; na końcu jednego wahadła zamocowane jest drugie.

Mimo prostoty, a może właśnie z jej powodu, pojawiają się problemy ze znalezieniem zestawu skutecznych niezmienników dla czterowymiarowych rozmaitości zwartych i jednospójnych. Jednym z niezmienników przydatnych w rozmaitych sytuacjach jest "typ pętli nie dających się ściągnąć do punktu", prowadzący do grupy podstawowej rozmaitości. Ale w tym przypadku jest on, niestety, zupełnie bezużyteczny - wszystkie pętle dają się ściągnąć.

Przy szukaniu dobrych niezmienników pomocne okazały się podrozmaitości. Jak łatwo się domyślić, podrozmaitość to podzbiór danej rozmaitości, który sam jest rozmaitością, przy czym zazwyczaj niższego wymiaru. Na przykład na sferze podrozmaitościami mogą być okręgi: tak równoleżniki, jak południki czy jeszcze zupełnie inne, także mocno powyginane (ale leżące na powierzchni).

Zauważono, że pewne informacje o czterowymiarowej rozmaitości można uzyskać, badając wzajemne położenia jej dwuwymiarowych podrozmaitości. Doprowadziło to do powstania
nowego niezmiennika, nazwanego formą przecięcia. Zgodnie z naturą niezmienników topologicznych, konstrukcja formy przecięcia wymaga rozbudowanego aparatu matematycznego i jest najeżona szczegółami technicznymi. o naturze formy przecięcia powiemy tu bardzo ogólnie.

Wyjściowa rozmaitość narzuca pewne ograniczenia na sposób przecinania się zanurzonych w niej powierzchni. Oto jeden z najprostszych przykładów. Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej mogą być albo równoległe, albo przecinać się wzdłuż prostej. w R⁴ dochodzi jeszcze jedno położenie, niewyobrażalne w naszej przestrzeni: płaszczyzny mogą się przecinać w jednym punkcie (!). Zadaniem formy przecięcia jest wyszukiwanie indywidualnych własności rozmaitości poprzez badanie sposobów przecinania powierzchni. Powierzchni w danej rozmaitości jest jednak bardzo dużo, rozważa się więc tylko niektóre, starannie wybrane.

Chodzi mniej więcej o to, że parze powierzchni przyporządkowana jest liczba, i to koniecznie całkowita, która w ściśle określony sposób opisuje ich wzajemne położenie. Za pomocą powierzchni i tych liczb konstruuje się pewną funkcję, która jest właśnie ową formą przecięcia.

Badanie tej funkcji w jej klasycznej postaci jest raczej niewygodne, dlatego formę przecięcia reprezentuje się za pomocą kwadratowej tabeli liczb całkowitych (takie tablice, odpowiadające funkcjom o pewnych szczególnych własnościach, matematycy nazywają macierzami). Zaletą macierzy jest między innymi to, że często wystarczy na nie spojrzeć, by móc wyciągać ważne wnioski. Choćby to, że jedna tablica jest większa od drugiej albo że tablice są wprawdzie identyczne co do wielkości, lecz istotnie różnią się elementami. Wadą tego przedstawienia jest natomiast pewna niejednoznaczność - jednej formie odpowiada wiele macierzy. Matematycy potrafią jednak wśród takich "stowarzyszonych" macierzy znajdować najlepsze i najbardziej reprezentatywne; mówi się wtedy, że macierz została sprowadzona do postaci kanonicznej. Charakterystyka Eulera była tylko jedną liczbą; tu mamy do czynienia z całą tablicą liczb, istnieje więc szansa, że pomogą one w uzyskaniu pełniejszych informacji.

Dla sfery S⁴ forma przecięcia jest zerowa. Dla rozmaitości S²xS², czyli dla przestrzeni konfiguracyjnej dwóch wahadeł sferycznych, forma przecięcia może być przedstawiona następująco:

Nie wszystkie formy przecięcia wyglądają równie prosto; często są one znacznie bardziej skomplikowane. Błędne byłoby także przypuszczenie, że owe formy składają się wyłącznie z porozmieszczanych w jakiś sposób w macierzy zer i jedynek. Na przykład, duże znaczenie ma forma oznaczana przez E₈, z macierzą wyglądającą następująco:

Formę E₈ wykorzystuje się między innymi przy konstrukcji formy przecięcia dla pewnej szczególnie ważnej rozmaitości - powierzchni Kummera. Ta z kolei, choć nazywana powierzchnią, nie jest bynajmniej dwuwymiarowa. Jest to rozmaitość wymiaru 4, ale jej forma przecięcia to macierz o wymiarach... 22 na 22.

Praca Freedmana z 1982 roku dotyczyła klasyfikacji czterowymiarowych rozmaitości zwartych i jednospójnych za pomocą właśnie formy przecięcia. Okazało się, że dla nich forma przecięcia jest niemal idealnym niezmiennikiem. Freedman udowodnił, że każdej formie, czyli odwzorowaniu spełniającemu pewne algebraiczne warunki, zawsze odpowiada czterowymiarowa topologiczna rozmaitość, dla której ta forma jest formą przecięcia. Twierdzenie to nazywane jest twierdzeniem o realizacji. Freedman pokazał ponadto, że z każdą formą związane są jedna lub dwie rozmaitości (oczywiście, utożsamiamy rozmaitości homeomorficzne). Wystarczy więc poznać klasyfikację form, żeby sklasyfikować czterowymiarowe jednospójne i zwarte rozmaitości topologiczne. Jest to sytuacja nadzwyczaj komfortowa i, niestety, rzadko zachodząca w topologii. Jednak konsekwencje twierdzeń Freedmana były znacznie bardziej niezwykłe.

Formie zerowej odpowiada tylko sfera czterowymiarowa; to dało ("przy okazji") rozstrzygnięcie czterowymiarowej wersji hipotezy Poincarégo. w wyżejwymiarowych wersjach tej hipotezy warunek jednospójności zastąpiono innym (w wymiarze 3 równoważnym jednospójności), gdyż w wyższych wymiarach odpowiednich jednospójnych rozmaitości było wiele. Po wielu latach prób hipoteza ta została rozstrzygnięta w roku 1960 - z wyjątkiem przypadku wymiarów 3 i 4. Już chyba powoli przyzwyczajamy się do tego, że w wymiarach tych dzieje się jakoś inaczej... Do rozstrzygnięcia pozostał tylko klasyczny, trójwymiarowy przypadek.

Z rezultatów Freedmana wynika również istnienie czterowymiarowych rozmaitości topologicznych, nie dopuszczających żadnych innych struktur. a więc istnieją niewygładzalne rozmaitości czterowymiarowe - obiekty nadzwyczaj niesamowite. w szczególności, jedna z takich rozmaitości związana jest z formą przecięcia E₈.

Ponadto dzięki tym wynikom stworzono odpowiednie warunki do rozstrzygnięcia problemu istnienia różnych struktur gładkich na R⁴. Tu z pomocą przyszły wyniki Simona Donaldsona.

Praca Donaldsona również dotyczyła czterowymiarowych rozmaitości, ale ze szczególnym uwzględnieniem struktur gładkich. Zarówno wyniki, jak i metody zastosowane przez Freedmana były topologiczne. Freedman posłużył się w swoich rozumowaniach bardzo sprytnym i błyskotliwym zastosowaniem technik charakterystycznych dla topologii niskowymiarowej oraz rozmaitości gładkich. Donaldson, chociaż też badał rozmaitości czterowymiarowe, używał zupełnie nietypowego zestawu narzędzi geometrii algebraicznej i różniczkowej, teorii równań różniczkowych i... fizyki teoretycznej.

Główny rezultat Donaldsona mówił o tym, jak wyglądają formy przecięcia dla czterowymiarowych rozmaitości gładkich, jednospójnych i zwartych. Mianowicie macierz formy przecięcia takiej rozmaitości można odpowiednio przekształcić do postaci, w której na przekątnej są same jedynki, a na pozostałych miejscach zera.

Wynika z tego, że rozmaitości gładkich czterowymiarowych jest - wśród wszystkich rozmaitości czterowymiarowych i jednospójnych - bardzo mało. Zaskakuje to tym bardziej, że w wymiarze o jeden niższym wszystkie rozmaitości są wygładzalne. Ponadto twierdzenie Donaldsona daje kryterium pozwalające stwierdzić, kiedy dana rozmaitość na pewno nie dopuszcza gładkiej struktury. Wiadomo na przykład, że formy E₈ nie da się doprowadzić do postaci z samymi jedynkami na przekątnej i zerami poza nią (matematycy używają terminu: nie da się zdiagonalizować).

Freedman udowodnił, że istnieje czterowymiarowa rozmaitość z formą E₈
E₈ (jest to pewna macierz o wymiarach 16 na 16, zbudowana przy użyciu formy E₈). z rozumowania Freedmana nie wynika jednak, czy na tej rozmaitości istnieje struktura różniczkowa. Twierdzenie Donaldsona rozstrzyga ten problem: takiej struktury nie ma. Konsekwencje tego - wydawałoby się bardzo szczególnego - faktu są bardzo poważne. Otóż wynika z niego istnienie różnych struktur gładkich na R⁴! Przestrzeń R⁴ stanowi pod tym względem jedyny wyjątek w rodzinie przestrzeni Rⁿ. Istnieje układ map dający zupełnie inny wizerunek zwykłej czterowymiarowej przestrzeni. Nowa struktura często bywa nazywana egzotyczną i choć wiemy, że istnieje, to nikt jej jeszcze nie skonstruował.

Odkrycie struktury egzotycznej na przestrzeni czterowymiarowej uznano za jeden z najbardziej sensacyjnych rezultatów matematyki współczesnej. a jakby tego było mało, niebawem okazało się, że struktur egzotycznych na R⁴ jest więcej! w 1984 roku Richard Gompf wskazał cztery takie struktury i zasugerował, że jest ich nieskończenie wiele. Przypuszczenie Gompfa potwierdził w 1987 roku Clifford Henry Taubes dowodząc, że struktury te można "ponumerować" liczbami rzeczywistymi.

Rezultaty Donaldsona i Freedmana dotyczące przestrzeni czterowymiarowej zaskoczyły matematyków. Przyzwyczajono się już co prawda do tego, że przestrzenie niskowymiarowe, a w szczególności czterowymiarowe, sprawiają większy kłopot niż pozostałe. Nikt jednak nie spodziewał się aż takich nieregularności. Te anomalie czterowymiarowe prowokują do rozmaitych spekulacji dotyczących wyróżnionej roli przestrzeni czterowymiarowej.

Zadziwiające też były metody użyte przez Donaldsona. Dowód głównego twierdzenia to znakomity przykład jedności matematyki oraz jej ścisłych związków z fizyką teoretyczną. Prace Donaldsona zapoczątkowały intensywny rozwój badań - trwających do dziś - przy użyciu metod "z pogranicza".

Wyniki prac matematyków z lat osiemdziesiątych nie rozwiązały wszystkich problemów teorii rozmaitości niskowymiarowych. Nic na przykład nie wiadomo o strukturach egzotycznych na sferze czterowymiarowej - wszystkie sfery zostały rozpracowane, z wyjątkiem tej jednej. Twierdzenie Donaldsona to zapewne pierwsze twierdzenie tego typu i należy oczekiwać następnych, gdyż opis czterowymiarowych rozmaitości gładkich jest daleki od kompletnego. Wydaje się, że w teorii tych obiektów może nas czekać jeszcze niejedna niespodzianka.

Struktura niewygładzalna

Struktura gładka

---