Równanie Eurela. Bąki.

Swobodne osie obrotu

Bryła sztywna wprawiona w obrót dookoła osi środkowej o największym lub najmniejszym momencie bezwładności (są to osie główne) zachowuje kierunek tej osi w trakcie ruchu w przestrzeni. Te dwie osie główne są to tak zwane swobodne osie obrotu.

Bryła wprawiona w obrót dookoła osi o pośrednim momencie bezwładności w ruch postępuje koziołkuje. Kierunek osi obrotu zmienia swój kierunek w przestrzeni.

Ciało swobodne ustawiając się w przestrzeni w trakcie obrotu dąży do takiego ustawienia się, żeby obrót następował dookoła osi o możliwie największym momenci

bezwładności. Ta konfiguracja jest stabilna ze względu na małe zaburzenia, np.

pojawiające się zaburzające momenty sił próbujące zmienić chwilową oś obrotu.

Swobodny obroty brył sztywnych

Znamy tylko 3 ogólnie(tj. Słuszne dla wszystkich warunków początkowych) rozwiązania ruchu szczególnych brył sztywnych tzw. bąków. Są to:

1.Bąk swobodny Eulera- ruch dowolnej bryły sztywnej, na którą nie działa moment siły względem środka obrotu, który spoczywa w UI lub jest środkiem masy.

2.Symetryczny bąk ciężki Lagrange'a. Jest to bryła o obrotowej elpisodzie bezwłasności obracająca się względem pewnego punktu nieruchomego w układzie inercjonalnym i różnego od ŚM. Moment siły pochodzi od jednorodnego stałego pola grawitacyjnego.

3. Symetryczny bąk Kowalewskiej w stałym jednorodnym polu grawitacyjnym

I_x=I_y=
I_ż. Punkt podparcia leży w połowie prostopadłej do osi symetrii i przechodzącej przez ŚM bąka.

Obroty bryły sztywnej wokół osi zmienej w czasie

I. Przechodzącej przez jeden ustalony punkt bryły (obrót nieswobodny)

II. przechodzącej przesz ŚM ciała (obrót swobonej bryły sztywnej)

W przypadki I będziemy zakładać, że ustalony punkt bryły spoczywa w układzie inercjalnym. W obu przypadkach wprowadzimy układ współrzędnych kartezjańskich U' związanych ze ŚM bryły sztywnej. Kierunek osi U' będzie pokrywał się z osiami głównymi bryły. W U' tensor bezwładności będzie diagonalny.

Układ U' będzie obracał się względem inercjalnego układu U z prędkością kątową
. Zachodzi:

Wektor momentu siły M jest liczony względem ŚM w układzie U:

Podobnie wektor prędkości kątowej
wyrażona w U':

Wreszcie wektor L' jest także wyrażony w U':

oraz

Ostatecznie dostajemy następujące równanie ruchu w układzie U':

Są to równania Eurela

BĄKI SYMETRYCZNE- SWOBONY I WĄŻKI

Bąk Symetryczny- równanie Eurela:

BĄK SWOBODNY WIDZIANY W UKŁADZIE BRYŁY U'

BĄK SWOBODNY WIDZIANY W UKŁADZIE INERCJALNYM U:

Bąk swobodny. U' widziane z U- Precesja regularna

Bąki (żyroskopy) swobodne i symetryczne najczęściej rozkręcamy dookoła osi symterii. Jest to sytuacja gdy wektory momentu pendu i prędkości kontowej są równoległe. Nie obserwujemy więc precesji symetrii,stożka hiperpolhodi etc. - widać tylko ustaloną oś obrotu = oś zachowania pędu.

Bąk pod działaniem sił zewnętrznych. Efekt żyroskopowy.

Ciało obracające się, obraca się inaczej pod wpływem momentu siły niż ciało nie obracające się. Pojawia się precesja.

Bąk symetryczny ważki-obrót dookoła osi symetrii

Gdy oś symetrii nie pokrywa się z osią momentu pędu bąka, ta pierwsza nakreśla nie okrąg a linię wężykowatą. Ruch osi symetrii nie podlega nutacji. Mówimy, że bryła wykonuje precesję peseudoregularną.

RÓWNANIE BĄKA SYMETRYCZNEGO CIĘŻKIEGO SZYBKIEGO

Jeżeli wersor k' jest wersorem osi symetrii bąka w UI, zaś częstość obrotu bąku dookoła osi symetrii wynosi ω_o mamy z dobrym przybliżeniem:

Równanie ruchu możemy napisać w następujący sposób:

ZIEMIA JAKO BĄK. PRECESJA OSI ZIEMSKIEJ

Precesja osi ziemskiej:

Nutacja:

Źródło precesji

Moment sił pochodzących od Księżyca i Słońca działających na nieco spłaszczoną Ziemię:

UKŁAD ZIEMIA-KSIĘŻYC

Bibliografia:

1.D.Halliday, R.Resnick, J.Walker. Podstawy Fizyki. PWN, Warszawa.

2.R.P. Fayman, R.B. Leighton. Faymana wykłady z fizyki. PWN, Warszawa.

3. Wykłady z fizyki prof. Królikowskiego udostępnione na stronie: www.fuw.edu.pl

---