Równanie kp
Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia:
1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają – rdzenie
atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach:
0
=
∆
i
R
)
2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym
potencjale znajduje się tylko jeden elektron:
)
(
)
(
)
(
V
ˆ
2
kr
2
2
r
E
r
r
m
ψ
ψ
=
+
∇
−
h
Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha:
)
(
)
(
r
u
e
r
k
r
k
i
⋅
=
ψ
)
(
)
(
)
(
)
(
V
ˆ
2
kr
2
2
r
u
e
k
E
r
u
e
r
m
k
r
k
i
k
r
k
i
=
+
∇
−
h
Ż
eby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:
u
e
u
e
k
i
u
e
r
k
i
r
k
i
r
k
i
∇
+
=
∇
( ) (
)
=
∇
+
∇
+
∇
+
−
=
∇
+
∇
=
∇
u
e
u
e
k
i
u
e
k
i
u
e
k
u
e
u
e
k
i
u
e
r
k
i
r
k
i
r
k
i
r
k
i
r
k
i
r
k
i
r
k
i
2
2
2
(
)
u
u
k
i
u
k
e
r
k
i
2
2
2
∇
+
∇
+
−
−
=
Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:
Eu
e
u
r
m
k
m
k
i
m
e
r
k
i
r
k
i
=
+
+
∇
−
∇
−
)
(
V
ˆ
2
2
kr
2
2
2
2
2
h
h
h
dzielimy obustronnie przez
r
k
i
e
oraz odejmujemy
u
m
k
2
2
2
h
:
u
m
k
E
u
m
k
i
r
m
−
=
∇
−
+
∇
−
2
)
(
V
ˆ
2
2
2
2
kr
2
2
h
h
h
← równanie kp
|
||
||
0
ˆ
H
- ten wyraz jest taki sam, zaburzenie
zb
Hˆ
'
E - łatwa do policzenia różnica
jak w równaniu wyjściowym
Wyrażenie
∇
−
h
i
jest równoważne działaniu operatora pędu pˆ :
∇
−
=
h
i
pˆ
Trzeba też zauważyć, że funkcji
)
(r
u
k
o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować.
Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę:
)
(
2
)
(
)
(
V
ˆ
ˆ
2
,
2
2
,
kr
2
2
r
u
m
k
E
r
u
r
p
k
m
m
k
n
k
n
−
=
+
+
∇
−
h
h
h
n
odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k