Model ciasnego wiązania
Zakładamy, że dla konkretnego atomu znamy:
0
0
0
0
ˆ
ψ
ψ
E
H
=
Rozważmy jeden kierunek w sieci kryształu, w której atomy powtarzają się periodycznie o
a
i ponumerujmy kolejne atomy:
i
i
E
H
ψ
ψ
0
0
ˆ
=
Funkcje
i
ψ
będą miały ten sam kształt, ale będą przesunięte w fazie:
2
0
2
ψ
ψ
=
i
Weźmy się za równanie:
ψ
ψ
E
H
=
ˆ
, gdzie
Hˆ
jest hamiltonianem dla całego kryształu
Dla atomu poza kryształem:
)
(
V
ˆ
2
ˆ
at
2
2
2
0
x
dx
d
m
H
+
−
=
h
W krysztale:
)
(
V
ˆ
ˆ
)
(
V
ˆ
2
ˆ
p
0
kr
2
2
2
x
H
x
dx
d
m
H
+
=
+
−
=
h
gdzie
p
V
ˆ to tzw. potencjał perturbacji, wynikający z umieszczenia atomu w sieci krystalicznej:
)
(
V
ˆ
)
(
V
ˆ
)
(
V
ˆ
at
kr
p
x
x
x
−
=
Ponieważ funkcja
ψ
zostaje zmieniona przez potencjał perturbacji, nie jest już funkcją własną hamiltonianu.
Musimy ją rozpisać w szereg funkcji, które znamy:
∑
=
=
N
i
i
i
c
1
ψ
ψ
, gdzie N jest liczbą atomów w sieci kryształu
Jeśli uwzględnimy tylko oddziaływanie najbliższych sąsiadów:
W
dx
dx
i
i
i
i
−
=
=
+
∞
∞
−
∞
∞
−
−
∫
∫
1
p
*
p
*
1
V
ˆ
V
ˆ
ψ
ψ
ψ
ψ
gdzie
0
>
W
- potencjał perturbacji obniża energię całkowitą (inaczej kryształ byłby niestabilny).
Wstawiamy
∑
=
=
N
i
i
i
c
1
ψ
ψ
do
ψ
ψ
E
H
=
ˆ
:
∑
∑
=
=
=
N
i
i
i
N
i
i
i
c
E
c
H
1
1
ˆ
ψ
ψ
- całkujemy obustronnie: /
dx
m
∫
∞
∞
−
*
ψ
(
)
dx
c
E
dx
c
H
N
i
i
i
m
N
i
i
i
m
∑
∫
∑
∫
=
∞
∞
−
=
∞
∞
−
=
+
1
*
1
p
0
*
V
ˆ
ˆ
ψ
ψ
ψ
ψ
