Model ciasnego wiązania

Zakładamy, że dla konkretnego atomu znamy:

0

0

0

0

ˆ

ψ

ψ

E

H

=

Rozważmy jeden kierunek w sieci kryształu, w której atomy powtarzają się periodycznie o

a

i ponumerujmy kolejne atomy:

i

i

E

H

ψ

ψ

0

0

ˆ

=

Funkcje

i

ψ

będą miały ten sam kształt, ale będą przesunięte w fazie:

2

0

2

ψ

ψ

=

i

Weźmy się za równanie:

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

, gdzie

Hˆ

jest hamiltonianem dla całego kryształu

Dla atomu poza kryształem:

)

(

V

ˆ

2

ˆ

at

2

2

2

0

x

dx

d

m

H

+

−

=

h

W krysztale:

)

(

V

ˆ

ˆ

)

(

V

ˆ

2

ˆ

p

0

kr

2

2

2

x

H

x

dx

d

m

H

+

=

+

−

=

h

gdzie

p

V

ˆ to tzw. potencjał perturbacji, wynikający z umieszczenia atomu w sieci krystalicznej:

)

(

V

ˆ

)

(

V

ˆ

)

(

V

ˆ

at

kr

p

x

x

x

−

=

Ponieważ funkcja

ψ

zostaje zmieniona przez potencjał perturbacji, nie jest już funkcją własną hamiltonianu.

Musimy ją rozpisać w szereg funkcji, które znamy:

∑

=

=

N

i

i

i

c

1

ψ

ψ

, gdzie N jest liczbą atomów w sieci kryształu

Jeśli uwzględnimy tylko oddziaływanie najbliższych sąsiadów:

W

dx

dx

i

i

i

i

−

=

=

+

∞

∞

−

∞

∞

−

−

∫

∫

1

p

*

p

*

1

V

ˆ

V

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

gdzie

0

>

W

- potencjał perturbacji obniża energię całkowitą (inaczej kryształ byłby niestabilny).

Wstawiamy

∑

=

=

N

i

i

i

c

1

ψ

ψ

do

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

:

∑

∑

=

=

=

N

i

i

i

N

i

i

i

c

E

c

H

1

1

ˆ

ψ

ψ

- całkujemy obustronnie: /

dx

m

∫

∞

∞

−

*

ψ

(

)

dx

c

E

dx

c

H

N

i

i

i

m

N

i

i

i

m

∑

∫

∑

∫

=

∞

∞

−

=

∞

∞

−

=

+

1

*

1

p

0

*

V

ˆ

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

Lewa strona jest równa:

(

)

=















+

=

+

∑

∫

∫

∑

∫

=

∞

∞

−

∞

∞

−

=

∞

∞

−

N

i

i

m

i

m

i

N

i

i

i

m

dx

dx

H

c

dx

c

H

1

p

*

0

*

1

p

0

*

V

ˆ

ˆ

V

ˆ

ˆ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

||

i

E

ψ

0

)

(

V

ˆ

1

1

0

p

*

1

*

1

0

+

−

∞

∞

−

=

∞

∞

−

=

+

−

=

+

=

∫

∑

∫

∑

m

m

m

i

m

N

i

i

i

m

N

i

i

c

c

W

E

c

dx

c

dx

E

c

ψ

ψ

ψ

ψ

||

||

↑

mi

δ

W

−

uwzględniamy tylko najbliższych sąsiadów

Zgadujemy rozwiązanie w postaci fali:

ma

k

i

m

s

Ae

c

=

, gdzie

x

ma

=

(

a

to stała sieciowa)

E

Ae

Ae

Ae

W

E

Ae

ma

k

i

a

m

k

i

a

m

k

i

ma

k

i

s

s

s

s

=

+

−

+

−

)

(

)

1

(

)

1

(

0

dzielimy obustronnie przez

ma

k

i

s

Ae

:

E

e

e

W

E

a

k

i

a

k

i

s

s

=

+

−

−

)

(

0

I tym sposobem otrzymujemy zależność energii od wektora falowego:

a

k

W

E

E

s

cos

2

0

−

=

Wynik jest bardzo prosty, ale to tylko dzięki temu, że rozpatrywaliśmy wyłącznie jeden kierunek.