Równanie kp Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia: 1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają – rdzenie atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach: ∆ R
)
i = 0
2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym potencjale znajduje się tylko jeden elektron: 2
2
− h ∇ +
ψ
= ψ
V
ˆ ( r )
( r )
E ( r )
2
kr
m
Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha: ψ ( r) = ei k r ⋅ u ( r) k
2
2
− h ∇ + Vˆ ( r ) ei k ru ( r ) = E( k ) ei k ru ( r )
2
kr
m
k
k
Żeby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:
∇ ei k ru = ikei k ru + ei k r∇ u
∇2( eik ru)= ∇( ikeik ru + eik r∇ u)= − k 2 eik ru + ikeik r∇ u + ikeik r∇ u + eik r∇2 u =
= − ei k r (− k 2 u + i 2 k∇ u
2
+ ∇ u)
Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:
2
2
2
2
h
h
h
i k r
2
i
k
k
e
−
∇ −
∇ +
+ Vˆ ( r )
kr
u = ei k r Eu
2 m
m
2 m
2
h k 2
dzielimy obustronnie przez i k r e
oraz odejmujemy
u :
2 m
2
2
h
h
h
2
i
k
2 k 2
−
∇ + Vˆ ( r)
kr
−
∇ u = E −
u
2 m
m
2 m ← równanie kp
|
||
||
ˆ
H - ten wyraz jest taki sam, zaburzenie Hˆ E ' - łatwa do policzenia różnica 0
zb
jak w równaniu wyjściowym
Wyrażenie − h
i ∇ jest równoważne działaniu operatora pędu pˆ : pˆ = − ∇
h
i
Trzeba też zauważyć, że funkcji u ( r ) o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować.
k
Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę: 2
2
2
h
h
h k
2
−
∇ + kp + Vˆ
ˆ
( r ) u ( r ) = E −
u
( r )
2
kr
n,
m
m
k
2
n,
m
k
n odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k