Koncentracja nośników w półprzewodnikach

Prawdopodobieństwem zajmowania danego stanu energetycznego przez fermiony rządzi
statystyka Fermiego-Diraca:

1

1

)

(

+

=

−

kT

E

E

F

e

E

f

, gdzie k jest stałą Boltzmanna, zaś

F

E

to energia Fermiego

Przykładowo, dla metali, w temperaturze ok. 300 K:

W przestrzeni odwrotnej poziom Fermiego tworzy kulę, znajdującą się w środku strefy Brillouina.
Stany poniżej poziomu Fermiego (wewnątrz kuli) są obsadzone, z kolei poza kulą – praktycznie puste. Prąd
jest przewodzony przez elektrony rozmyte na powierzchni kuli – jest ich o dwa rzędy wielkości mniej, niż
wewnątrz, ale i tak nie wszystkie biorą udział w przewodzeniu.
Na sferze o promieniu wyznaczanym przez wektor falowy k gęstość stanów jest jednorodna:

3

4

1

)

(

π

ρ

=

k

Gęstość zależy od energii, a ta jest proporcjonalna do kwadratu wektora falowego:

*

2

2

2

m

k

E

h

=

Gęstość nośników możemy wyrazić jako stosunek ich koncentracji do objętości:

dV

dN

k

=

)

(

ρ

stąd:

dk

k

dk

k

dV

k

dN

2

2

2

3

4

4

1

)

(

π

π

π

ρ

=

=

=

Jednocześnie możemy napisać:

dE

E

dN

)

(

ρ

=

Łącząc powyższe równości uzyskujemy:

dE

dk

k

E

2

2

)

(

π

ρ

=

Korzystając z zależności

*

2

2

2

m

k

E

h

=

obliczamy pochodną:

*

2

m

k

dk

dE

h

=

2

2

2

2

2

*

*

)

(

h

h

m

k

k

m

k

E

π

π

ρ

=

=

Z równania

*

2

2

2

m

k

E

h

=

mamy również wyrażenie na k :

h

E

m

k

*

2

=

, które wstawiamy tego powyżej:

E

m

E

3

2

2

3

2

1

*)

(

2

)

(

h

π

ρ

=

- jest to zależność prawdziwa na dnie pasma przewodnictwa, tam, gdzie nośniki przewodzą prąd

Nośnikami ładunku mogą być zrówno elektrony, o rozkładzie:

1

1

)

(

+

=

−

kT

E

E

e

F

e

e

E

f

,

jak i dziury, oznaczające brak elektronu:

e

d

e

d

E

E

E

f

E

f

−

=

→

−

=

)

(

1

)

(

, stąd:

1

1

)

(

+

=

+

kT

E

E

d

F

d

e

E

f

- poziom Fermiego jest taki sam dla elektronów i dziur, znajduje się mniej więcej w połowie przerwy

energetycznej, tam też wybieramy poziom zerowy: przeskalowujemy energię

e

g

e

E

E

E

+

→

2

Koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa – całka po strefie Brillouina:

=

=

=

∫

∫

∞

0

)

(

)

(

)

(

)

(

e

e

e

SB

dE

E

E

f

dE

E

E

f

n

ρ

ρ

∫

∞

−

+

=

0

2

1

3

2

2

3

2

1

2

*)

(

2

1

1

e

e

kT

E

kT

E

kT

E

dE

E

m

e

e

e

F

g

e

h

π

Stosujemy przybliżenie:

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

kT

E

F

g

e

F

g

e

F

g

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

2

2

2

1

1

1

−

−

−

−

=

≈

+

∫

∞

−

−

⋅

=

0

2

1

3

2

2

3

2

1

2

*)

(

2

e

e

kT

E

kT

E

kT

E

dE

E

m

e

e

e

n

F

g

e

h

π

= const

Zamiana zmiennych:

kT

E

x

e

=

,

2

1

2

1

2

1

)

(

x

kT

E

e

=

,

dx

kT

dE

e

=

dx

x

e

kT

m

e

e

n

x

kT

E

kT

E

F

g

∫

∞

−

−

⋅

⋅

=

0

2

1

3

2

2

3

2

3

2

1

2

)

(

*)

(

2

h

π

||

2

π

Ostatecznie:

kT

E

kT

E

e

F

g

e

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

- koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa

Wykonując analogiczne obliczenia w przypadku dziur otrzymalibyśmy:

kT

E

kT

E

d

F

g

e

e

kT

m

p

−

−













=

2

2

3

2

*

2

2

h

π

- koncentracja dziur w paśmie walencyjnym

Półprzewodniki samoistne

Poziom Fermiego dla półprzewodnika niedomieszkowanego (samoistnego) oznaczamy symbolem

S

F

E

.

W półprzewodniku takim liczba elektronów jest równa liczbie dziur:

S

n

p

n

=

=

Korzystając ze wzorów:

kT

E

kT

E

e

F

g

e

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

i

kT

E

kT

E

d

F

g

e

e

kT

m

p

−

−













=

2

2

3

2

*

2

2

h

π

Otrzymujemy zależność:

kT

E

d

kT

E

e

S

F

S

F

e

m

e

m

−

=

2

3

*

2

3

*

)

(

)

(

2

3

*

*

2













=

e

d

kT

E

m

m

e

S

F

*

*

ln

4

3

e

d

S

F

m

m

kT

E

=

→

Mając poziom Fermiego, możemy policzyć koncentrację nośników

S

n :

kT

E

kT

E

e

S

S

F

g

e

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

4

3

*

*

ln

4

3

*

*













=

=

e

d

kT

m

m

kT

kT

E

m

m

e

e

e

d

S

F

Mnożymy ten wyraz przez

( )

2

3

*

e

m

:

( )

(

)

[

]

2

3

2

1

*

*

4

3

*

*

2

3

*

d

e

e

d

e

m

m

m

m

m

⋅

=













⋅

Wyrażenie

(

)

2

1

*

*

d

e

m

m

⋅

to masa zredukowana:

(

)

*

2

1

*

*

r

d

e

m

m

m

=

⋅

A więc:

kT

E

r

S

g

e

kT

m

n

2

2

3

2

*

2

2

−













=

h

π

- koncentracja samoistna zależy tylko od masy zredukowanej, przerwy energetycznej i temperatury