*Rachunek zaburzeń i masa efektywna

Wychodzimy od równania kp:

2

 h



h





h



2

i 2 k

2 k 2

−

∇ + Vˆ ( r) −

∇ u = E −

u



 = E ' u

 2 m

kr



m







2 m 

2

h k 2

E = E ' +

2 m

Zamiast rozwiązywać równanie dla całej sieci rozwiązujemy je wyłącznie dla czynnika Blochowskiego.

Stosujemy rachunek zaburzeń: rozpisujemy hamiltonian na sumę hamiltonianu zerowego i hamiltonianu zaburzenia:

Hˆ = Hˆ + Hˆ

0

zb

Przy czym znane jest działanie hamiltonianu zerowego na funkcję falową, która jest jego funkcją własną: ˆ

H ψ

= E ψ

0

m 0

m 0

m 0

ˆ

ˆ

Problem polega na znalezieniu nieznanej funkcji własnej hamiltonianu będącego sumą H + H

0

zb .

W tym celu rozpisujemy tą nieznaną funkcję w szereg funkcji znanych:

∞

ψ

c ψ

n = ∑

nm

m 0

m=1

Działamy na to hamiltonianem:

( ˆ ˆ

H

H

c ψ

E

c ψ

0 +

zb ) ∞

∞

∑ nm m 0 = n∑ nm m 0

m=1

m=1

Ponieważ hamiltonian jest operatorem liniowym:

∞

∞

∑ c H H ψ

c

E ψ

nm ( ˆ

ˆ

0 +

zb )

m 0 = ∑

nm

n

m 0

m=1

m=1

Możemy działanie hamiltonianu zerowego zastąpić przez jego wynik:

∞

∞

∑ c E

H

ψ

c

E ψ

nm (

ˆ

m 0 +

zb )

m 0 = ∑

nm

n

m 0

m=1

m=1

*

ψ

ψ

Mnożymy obustronnie przez funkcję

l 0 ortonormalną do

m 0 i całkujemy po objętości kryształu:

∞





∞

∑ 

*

*

*

ˆ

c

E

ψ ψ dV

ψ H ψ dV

c

E ψ ψ

dV

nm 

m 0 ∫

l 0

m 0

+ ∫



l 0

zb

m 0

=



∑ nm n∫ l 0 m 0

m=1



V

V



m=1

V

*

ψ

ψ

ψ *0ψ 0 = δ

Ponieważ

l 0 i

m 0 są ortonormalne,

l

m

lm (delta Kronneckera), stąd:

∞

c E

ˆ

ψ

ψ

0 + ∑ c

∫ * H

dV

0

0

= c E

nl

l

nm

l

zb

m

nl

n

m=1

V

Możemy przyjąć, że l = n :

∞

c E

ˆ

ψ

ψ

0 + ∑ c

∫ * H

dV

0

0

= c E

nn

n

nm

n

zb

m

nn

n

m =1

V

A więc E

(energia jest sumą energii z hamiltonianu zerowego i nieskończonej sumy całek z n = E

+ ...

0

zaburzeń). Po przekształceniach uzyskamy wzór, na którym opiera się rachunek zaburzeń:

∞

n Hˆ

0

l 0 l Hˆ

0

n 0

E

E

n Hˆ

0

l 0

n =

n 0 +

zb

+ ∑

zb

zb

1

E

E

l=

n 0 −

l 0

l≠ n

ˆ

*

∫ψ Hˆ ψ dV

gdzie n 0 H

l 0

zb

oznacza skrócony zapis całki

n 0

zb

l 0

V

ˆ

ˆ

Wszystko to działa przy założeniu, że H

>> H

0

zb (hamiltonian zaburzenia daje niewielki wkład energetyczny w porównaniu z hamiltonianem zerowym) – wówczas wystarczą pierwsze 3 lub 4 wyrazy szregu, aby uzyskać poprawny wynik.

E

− E

n 0

l 0 jest różnicą pomiędzy poziomami zerowymi Łączymy rachunek zaburzeń z funkcją Blocha: ( ˆ ˆ

H + H

u r = E k u r

0

zb )

( )

( )

( )

k

n

k

gdzie, jak wynika z poprzednich przekształceń: 2

i 2

h k

h k ⋅ pˆ



h



2

Hˆ

= −

∇ =

ˆ

H

r

0 = −

∇ + Vˆ ( )

zb



kr



m

m



2 m



Wstawiamy to do wzoru na energię w rachunku zaburzeń:

 i 2

h

h

*

k



 i 2

*

k



u

u dV

u

u dV

n 0

2

 −

∇ l 0

⋅ l 0 −

∇

∞ ∫

∫ 





0

h

*

i

k



n

m

m

E

E

u

u dV

n =

n 0 + ∫ n 0 

 −

∇ n 0

+ ∑ V





V





m

1

E

E

V





l=

n 0 −

l 0

l≠ n

Dla k = 0 pochodna energii po wektorze falowym się zeruje: ∇ E

, co oznacza, że funkcja E( k ) ma w k

= 0

tym punkcie ekstremum. W powyższym wzorze znika drugi człon, zależny liniowo od k .

Jednocześnie iloczyn skalarny k ⋅ ∇ możemy zapisać jako: 3

k ⋅∇ ∑

∂

=

ki

x

i=1

∂ i

Zauważamy dodatkowo, że w liczniku mamy iloczyn dwóch całek wzajemnie sprzężonych, a więc kwadrat całki, który jest zawsze dodatni – możemy zlikwidować minusy. Uzyskujemy:



u

∂

u

*

0

∂



l

*

n



0

⋅

0



4

3

∞ ∫ u

dV ∫ u

dV

n

l

h



x

∂

0

x

∂



V

i

V

i

E ( k ) = E 0 +

2 ∑  ∑

k k

n

n

 i j

m

, =1

=1

E 0 − E

i j

l

n

l 0

l ≠ n









2

h k 2

Do tej energii musimy jeszcze dodać

:

2 m

2

h k 2

E = E ' +

2 m

Ostatecznie:



u

∂

u

∂



 ∞ ∫ u*

l 0

dV ⋅ ∫ u*

n 0

dV 

n

4

3

0

h



x

l 0

∂

x

2

∂



h k 2

E ( k ) = E

V

i

V

i

+

∑ ∑

k k +

n

n 0





m 2

=

=

−

,

1

1

2

i j

l

E

E

i

j

m

n 0

l 0

l≠ n









Jak widać, w krysztale dla elektronu o wektorze falowym k , w przeciwieństwie do elektronu swobodnego, pojawiają się pasma energetyczne.

Energię elektronu w krysztale możemy wyrazić skrótowo, przez analogię do elektonu swobodnego: 3

2

h k k

E ( k )

E

2

h k 2

2 ( k k + k k + k k ) n

=

i

j

n 0 + ∑

1 1

2

2

3

3

*

= h

m

(w elektronie swobodnym:

)

i j

2

, =1

i j

2 m

2 m

*

m jest tzw. masą efektywną elektronu na danym kierunku, wynikającą z anizotropii rozkładu energii w sieci i j

krystalicznej:

∂ u

u

*

l 0

∂

u

dV

u*

0

dV

n 0

⋅

n

2

∞ ∫

∫ l 0

1

δ

=

2h

x

x

i j +

*

2 ∑

∂

∂

V

i

V

i

m

m

m

1

E

E

i j

l=

n 0 −

l 0

l≠ n

Elektron w krysztale zachowuje się jak elektron swobodny, tyle że zachowuje się tak, jakby miał w każdym kierunku inną masę. Masa efektywna jest tensorem, który, jeśli weźmiemy osie główne kryształu, będzie wyglądał następująco:





 1



0

0

 *

m



 11



1 =

1

2

2

2

2

 0

0 

h  k

k

k 

1

2

3

*

*

E =

+

+

m

 *

*

* 



i j



m 22



2  m

m

m

11

22

33 



1 

 0

0

*





m 33 

Z kolei w kryształach izotropowych, np. kubicznych (Si, Ge, GaAs) wszystkie trzy osie są równoważne: 2

2

h k

E =

2 m *

Możemy też mieć do czynienia z kryształem, w którym wyróżniona jest jedna oś: 2

2

k = k

|

z

2

2

2

k+ = k + k

x

y

Wówczas:

2

h 

2

2

k



 |

k+ 

E =



+

*

* 

2

 m

m

|

+ 