UNIWERSYTET KAZIMIERZA WIELKIEGO

WYDZIAŁ MATEMATYKI, FIZYKI I TECHNIKI

INSTYTUT TECHNIKI

Karolina Olech

Analiza podstawowych zasad z wytrzymałości materiałów.

Praca magisterska

Napisana w Katedrze Konstrukcji Drewnianych

pod kierunkiem

Prof. dr hab. Katarzyny Cabańskiej

Bydgoszcz 2007

SPIS TREŚCI

1. Wstęp

Mechanika powstała w Grecji i Egipcie w IV wieku p.n.e. Jej twórcami byli Arystoteles oraz Archytas z Tarentu .Prace ich dotyczyły maszyn prostych, stosowanych w technice uzbrojenia i budownictwie. Archimedes ustanowił prawa składania i rozkładania sił równoległych, teorię dźwigni oraz określił środki ciężkości różnych figur geometrycznych i brył.. Leonardo da Vinci zajmował się zagadnieniami dotyczącymi równi pochyłej, tarcia i bloków. Należy przypisywać Leonardo da Vinci sformułowanie prawa równoległoboku i wprowadzenie pojęcia momentu siły. Nowe problemy przedstawił w mechanice polski astronom Mikołaj Kopernik, autor słynnego dzieła "De Revolutionibus Orbitum Coelestium" i twórca zasady równoważności ruchów względnych w układzie heliocentrycznym. Dalszy postęp w mechanice technicznej przedstawił Galileusz, który wprowadził pojęcie przyspieszenia, oraz opracował prawo bezwładności, prawa ruchu w polu ciężkości, zasady zachowania prac w maszynach prostych, rozwiązał problem wahadła. Trwałe miejsce w historii mechaniki mają również: Johan Kepler, który sformułował trzy prawa ruchu planetarnego i Kartezjusz ,który wprowadził prostokątny układ osi współrzędnych, zasadę prac wirtualnych i rozwiązania rachunkowe zagadnień statycznych. Natomiast zasługą Christiana Huygensa  jest określenie pojęcia reakcji, opracowanie teorii wahadła fizycznego i rewersyjnego, przyspieszenia w ruchu krzywoliniowym oraz uderzenia sprężystego. Wielką postacią mechaniki jest Isaac Newton (1642 - 1727), który zebrał i uporządkował naukę mechaniki w epokowym dziele pt. "Philosophiae naturalis principia mathematica", dając podstawy mechaniki klasycznej, opartej ściśle na faktach doświadczalnych. Odkrył prawa powszechnego ciążenia i klasycznej dynamiki. Inni wybitni uczeni to: Michał Łomonosow to twórca zasady zachowania masy, Leonard Euler wprowadził analityczne metody rozwiązywania zagadnień ruchu, mechaniki ciała sztywnego, obrotu ciała sztywnego wokół punktu nieruchomego. Jean D'Alembert odniósł prawa statyki do dynamiki, Ludwig Lagrange twórca mechaniki analitycznej. Pierre Laplace zajmował się mechaniką ciał niebieskich, Michał Ostrogradski i William Hamilton twórcy zasad wariacyjnych.Uzupełnieniem mechaniki jest mechanika kwantowa, którą zapoczątkowali: Max Planck Erwin Schrödinger oraz Paul Dirac Twórcą mechaniki relatywistycznej, opartej na teorii względności, jest Albert Einstein. Spośród polskich uczonych szczególnie zasłużonych w rozwoju mechaniki należy wymienić: Maksymiliana Tytusa Hubera i Stefana Banacha.

1.1. Wprowadzenie.

Mechanika zajmuje się nauką ruchu ciał w przestrzeni oraz w czasie, bez względu na stan skupienia, w którym ciała występują w przyrodzie.

Mechanikę techniczną dzielimy na dwa działy tj. mechanikę ogólną i wytrzymałość materiałów.

Wytrzymałość materiałów jest nauką stosowaną, zajmującą się badaniem zjawisk występujących w ciałach rzeczywistych (odkształcalnych). Głównym jej zadaniem jest określenie wytrzymałości i sztywności urządzenia, konstrukcji lub elementu maszyny, czyli określenie odporności na zniszczenie.

W celu poznania właściwości mechanicznych materiału przeprowadza się w laboratoriach wytrzymałościowych różnego rodzaju badania doświadczalne. Rozróżniamy dwa rodzaje badań laboratoryjnych. Do pierwszej grupy zaliczamy badania podstawowe, znormalizowane, dotyczące ustalenia własności samego materiału (statyczna próba rozciągania, statyczna próba ściskania, próby twardości). Do grupy drugiej należą badania specjalistyczne, mające na celu określenie zachowania się elementów lub całych konstrukcji pod obciążeniem zewnętrznym (badania z zastosowaniem tensometrii elektrooporowej, badania ultradźwiękowe, drgań, zmęczeniowe, udarowe, elastooptyczne). Znormalizowane próby wytrzymałościowe powinny być wykonywane ściśle według zaleceń Polskich Norm. Dotyczy to przygotowania próbek, przeprowadzenia samej próby, interpretacji wyników i stosowania jednolitych oznaczeń. Ze względu na zachowanie się przy rozciąganiu i ściskaniu wszystkie materiały możemy podzielić na plastyczne i kruche. Elementy z materiałów plastycznych mogą być poddawane dość dużym obciążeniom i ulegają zniszczeniu dopiero przy znacznych odkształceniach. Do takich materiałów należą stale niskowęglowe, miedź, aluminium, ołów etc. Elementy z materiałów kruchych odkształcają się nieznacznie i ulegają zniszczeniu już przy bardzo małych obciążeniach. Do materiałów kruchych należą: żeliwo, kamień, beton, szkło, stale o dużej zawartości węgla etc.

1. 2. Cel i zakres pracy.

Celem pracy magisterskiej jest opracowanie strony interaktywnej z zakresu podstawowych pojęć wytrzymałości materiałów czyli: rozciąganie, ścinanie, ściskanie, zginanie i skręcanie, a następnie opracowanie multimedialnej pomocy dydaktycznej z zakresu belek prostych - przykłady zadań, które będą wykorzystane w zajęciach z mechaniki technicznej

2. Podstawy Teoretyczne

2.1. Ścinanie

Ścinanie wywołane jest działaniem dwóch sił, które tworzą parę sił, powodując

w ostateczności ścięcie elementu.

Na ścinanie pracują przede wszystkim nity, śruby, sworznie i spoiny.

Rys.1 Ścinanie pręta

Ścinanie pręta

Prawo Hooke'a dla czystego ścinania przedstawia się następująco:

Gdzie: 

G - moduł sprężystości postaciowej

Naprężenie styczne t jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego g.

Istnieje wiele elementów konstrukcyjnych, które pracują na ścinanie, są to połączenia

nitowe, sworzniowe, śrubowe, spawane itp. Elementy takie występują w połączeniach rozłącznych i nierozłącznych. Przypadek czystego ścinania zachodzi bardzo rzadko, ponieważ naprężenia styczne, które są w dowolnym przekroju elementu konstrukcyjnego towarzyszą naprężenia normalne. Praktycznymi przykładami obliczeń na ścinanie są uproszczone schematy obliczeń elementów, w których naprężenia styczne odgrywają decydującą rolę. Takie przypadki czystego ścinania nazywamy ścinaniem technologicznym.

Przykładami konstrukcji w których elementy pracują na ścinanie są połączenie sworzniowe, nitowe oraz spawane.

Warunek wytrzymałościowy zostanie przedstawiony na przykładzie połączenia sworzniowego oraz spawanego.

Rys.2. Połączenie sworzniowe przenoszące obciążenie P.

Siły P działające na środkowy pas równoważą siły o wartości
P, które występują

w pasie górnym i dolnym. Oddziaływanie tego pasa środkowego jest możliwe dzięki właśnie połączeniu części za pomocą sworznia. Jeśli wartość siły P będzie stopniowo powiększać się to odpowiednio dobrane, z warunku na rozciąganie wymiary g i h pasów ulegną zniszczeniu.

Zniszczenie sworznia ulegnie zniszczeniu w dwóch przekrojach poprzecznych m-m oraz n-n, które lezą w tzw. Płaszczyznach cięcia. Naprężenia które powstałe w tych przekrojach, to naprężenia styczne
i
.

Rozkład tych naprężeń w tych przekrojach poprzecznych sworznia nie jest równomierny. W obliczeniach przybliżonych posługiwać się należy średniej wartości naprężenia tnącego:

Gdzie:

T - siła tnąca występująca w danym przekroju poprzecznym,

F - pole powierzchni przekroju poprzecznego.

Sworzeń, który uległ ścinaniu pod wpływem działania siły P na dwa przekroje nazywamy dwuciętym. Siły tnące T₁ oraz T₂ w każdym przekroju będą równe

Otrzymamy następujący wzór :

oraz średnie naprężenie tnące wyniesie:

Warunek wytrzymałości elementu ścinanego wyrazimy wzorem zależności :

Gdzie:

k_t - jest dopuszczalnym naprężeniem na ścinanie.

Przy projektowaniu połączenia sworzniowego, który jest obciążony siłą P należy postępować według następujących punktów:

1. Z warunku na ścinanie należy wyznaczyć średnicę sworznia

Zatem

2. Sprawdzić należy naprężenia w przekroju płaskownika który ma wymiary g i h oraz jest osłabiony otworem na sworzeń.

3. Określić należy odległość C środka otworu na sworzeń od brzegu płaskownika.

Z warunku wytrzymałościowego na ścinanie materiału otrzymamy:

Skąd

Gdzie:

k_t1 - dotyczy materiału płaskownika

4. Sprawdzić należy zaprojektowane połączenie sworzniowe na tzw. docisk powierzchniowy:

Gdzie:

P: jest siłą działającą na powierzchnie dociskaną,

A = gd - jest powierzchnią zastępczą, którą liczy się rzut półwalcowej powierzchni sworznia na płaszczyznę prostopadłą do linii działania siły P

k_d - naprężnie dopuszczalne na docisk powierzchniowy.

Innym przykładem połączeń które pracują na ścinanie są niektóre typy spoin. Na rys. nr 4 przedstawiony został przykład połączenia spawanego. Piaskownik posiada szerokość s oraz grubość g, która jest połączona płytą stalową za pomocą dwóch spoin. Do długość l każdej ze spoin jest przymocowany piaskownik, który jest rozciągany siłą P

Duża siła P oraz nieprawidłowe wymiary spoiny spowodują, że połączenia ulegną zniszczeniu w przekrojach 1-1 oraz 2 -2.

Zatem pole każdego przekroju będzie wynosiło:

Gdzie:

l - długość spoiny,

α - najmniejsza szerokość spoiny, która w przypadku spoiny o przekroju trójkątnym wynosi:

Rys.3 Połączenia spawane

Długość l spoiny przedstawiamy wzorem, z warunku, którego średnie naprężenie styczne powinno być mniejsze od naprężenia dopuszczalnego.

Czyli:

Skąd

Gdzie:

k_t - dotyczy materiału spoiny

2.2. Skręcanie

Skręcanie wywołane jest siłami dającymi na moment skręcający, pod wpływem którego działaniem poszczególne przekroje poprzeczne przedmiotu zostają obrócone względem siebie czyli wokół pewnej osi.

Skręcanie występuje w prętach, są to najczęściej wały.

Skręcanie jest pokrewne ścinaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń tnących w przekrojach poprzecznych pręta. W przeciwieństwie jednak do ścinania, rozkład naprężeń tnących w przekroju pręta jest nierównomierny. Rozkład ten dla pręta o przekroju okrągłym (a także rury) pokazuje rysunek.

W wyniku skręcania pręta w jego przekrojach występują tylko naprężenia styczne. Naprężenia styczne podczas skręcania zmieniają się proporcjonalnie do ich odległości od środka przekroju. Na zewnętrznej powierzchni elementu skręcanego naprężenia są największe, i wynosi:

                  


Gdzie:

I_o - biegunowy moment przekroju względem środka tego przekroju,

M_s - moment skręcający,

r - odległość od warstwy zewnętrznej pręta.

Stosunek biegunowego momentu bezwładności do promienia przekroju kołowego nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na skręcanie.

                 

Obliczenia prętów poddanych skręcaniu sprowadzają się do warunku wytrzymałościowego

i warunku sztywności. Maksymalne naprężenia styczne w przekroju poprzecznym określamy ze wzoru:

   

Gdzie:

k_s - naprężenie dopuszczalne przy skręcaniu k_s = (0,5 ÷ 0,6)

k_r, W_o = 0,2 d³ (dla pręta o przekroju kołowym o średnicy d).

Drugi warunek sprowadza się do określenia wartości kąta skręcenia j pręta i porównania tej wartości z wartością dopuszczalnego kąta skręcenia j_dop.

           

      

Gdzie:

l - długość pręta,

G - moduł sprężystości postaciowej materiału

Przy obliczaniu sprężyn śrubowych przyjmuje się, że materiał sprężyny "pracuje" na skręcanie, gdzie sprężyna jest rozciągana i ściskana.
 

Maksymalne naprężenia spełniają warunek:

                 

Z skręcaniem możemy spotkać się przede wszystkim w wałach czyli w częściach maszyn które w czasie pracy przenoszą momenty obrotowe.

Wał, na który działają momenty M₁,M₂,M₃,M₄ działają w jednym kierunku, natomiast M₂

i M₃ działają w kierunku przeciwnym. W takim przypadku wał wyraża się wzorem:

Moment skręcający względem dowolnego przekroju wała jest równy algebraicznej sumie momentów które działające na pręt, z obu stron tego przekroju. Zwrot momentu skręcającego określamy jako M_s. Moment M_s będziemy uważać za ujemny, kiedy wektor będzie skierowany na zewnątrz przekroju pręta, natomiast dodatni, kiedy wektor będzie skierowany do wnętrz pręta.

Część wału z lewej strony przekroju l-l, jest w równowadze pod wpływem działania momentu zewnętrznego M₄ w tym przekroju.

Zatem:

W przekroju 2-2 moment skręcający M_s2 równoważy sumę momentów obrotów jakie działają na lewą część wału.

Zatem M_s2 wyrazimy:

Wartości momentów skręcających w przekrojach 1-1 oraz 2-2 należy stwierdzić iż, moment skręcający względem dowolnego przekroju (wału) jest równy algebraicznej sumie momentów działających na pręt (wał) z lewej lub prawej stronie tego przekroju.

Wielkości momentów skręcających możemy przedstawić na podstawie tzw. wykresów momentów skręcających.

Rys.8 Wykres momentów skręcających

2.3. Odkształcenia i naprężenia przy skręcaniu.

Odkształcenia i naprężenia przy skręcaniu poparte są następującą analizą:

1. Przekroje poprzeczne pręta obracają się dookoła osi pręta.

2. Kąt, o który obracają się względem siebie przekroju poprzecznego pręta wokół osi jest proporcjonalny do odległości tych przekrojów. Kąt nazywa się kątem skręcenia.

3. Przekroje poprzeczne, które są po obrocie pozostają płaskie.

4. Promienie tego przekroju nie ulegają zakrzywieniu.

Odkształcenie postaciowe w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta jest proporcjonalne do odległości od osi pręta.

Rysunek przedstawia cienki krążek wycięty z pręta dwoma przekrojami poprzecznymi, odległymi od d_x. Obrót w przekroju 2-2 względem przekroju 1-1 o kąt d_y spowoduje obrót tworzących AB i CD krążka o kąt γ. Element ABCD doznaje tylko odkształcenie postaciowe.

Zatem:

Odkształcenie postaciowe γ w płaszczyźnie przekroju poprzecznego pręta jest proporcjonalne do odległości od osi pręta.

Elementy ,które leżą na powierzchni skręcanego wału, naprężenie styczne ma postać :

Element leżący na powierzchni walcowej o promieniu p<r otrzymamy naprężnie styczne

Zatem

Naprężenie leży w płaszczyźnie przekroju poprzecznego. Naprężenie to działa na element pola dF, który jest położony w dowolnie przyjętej odległości
, od osi pręta.

Związek pomiędzy naprężeniem
a momentem skręcającym M_s możemy przedstawić na rys.

Wykorzystany został warunek równowagi momentów względem osi pręta.

Warunek mówi o momentach wszystkich sił zewnętrznych, które działają po jednej stronie przekroju oraz musi być zrównoważony moment sił wewnętrznych, które są rozłożone w sposób ciągły. Moment siły dT względem tej osi x wyrażamy następująco:

Naprężenie styczne
przy skręcaniu, które będzie działało na dowolny element przekroju, jest proporcjonalne do odległości elementu od osi pręta. Wartość największego naprężenia
_max jest miarodajna dla obliczenia wytrzymałościowych. Wyodrębnia się w wzorze wielkość geometryczną W_0, którą nazywamy wskaźnikiem wytrzymałości przekroju przy skręcaniu oraz zdefiniowany jako stosunek biegunowego momentu bezwładnościowego przekroju do odległości skrajnych włókien pręta od jego osi.

Zatem:

Wskaźnik W₀ można łatwo obliczyć, znając wartości biegunowe momentów bezwładności

1. Przekrój kołowy o średnicy d = 2_pmax

2. Przekrój pierścieniowy o średnicach wewnętrznych d i zewnętrznej D = 2_pmax

Jednostkowy kąt skręcenia
jest równy :

Iloczyn GJ₀ nazywamy sztywnością na skręcanie

Kąt skręcania o długości l wynosi:

Pręty o stałym przekroju ( J₀ = const ) w przedziale 0<x<l gdzie M_s = const. otrzymamy

Wzór powyższy jest odpowiednikiem, który określa całkowite wydłużenie pręta rozciąganego.

Odkształcanie pręta skręcanego ma wpływ na sposób rozmieszczenia masy pręta względem osi, która wyraża wielkość J₀. Odkształcenia o różnej wartości mają dwa pręty które posiadają przekrój kołowo - symetryczny które posiadają to samo pole F, ale różne momenty bezwładnościowe.

2.4. Wymiarowanie wałów.

Podczas obliczania wymiarów wałów należy wykorzystywać następujące warunki:

• Warunek wytrzymałościowy;

• Warunek sztywności.

1. Warunek wytrzymałości dla wału o przekroju kołowego,

Warunek ten pozwala określić średnicę d:

3. Warunek sztywności, który określa wartość jednostkowego kąta skręcenia

Gdzie:

γdop- jest dopuszczalną wartością kąta skręcania na jednostkę długości wału

2.5. Rozciąganie

Na rozciąganie składają się na nie dwie przeciwnie działające siły, które powodują wydłużenie ciała w kierunku linii działania tych sił.

Rozciąganie z prętami z różnych materiałów wykazały, że jeśli siły rozciągające z dokładnością pokrywają się z osią pręta, to wszystkie włókna pręta równoległe do osi odkształcają się jednakowo. Odpowiada to hipotezie płaskich przekrojów Bernoulliego, która przedstawia się następująco: przekrój płaski pręta przed odkształceniem pozostaje płaski po odkształceniu. Odkształcenia w punktach przekroju są jednakowe. Geometryczne zmiany pręta rozciąganego mierzymy wydłużeniem w kierunku osi x.

Rys.12 Geometryczne zmiany pręta rozciąganego.

Odkształcenie względne czyli linowe albo odkształcenie pozwoli na prawidłową ocenę wartości wydłużenia lub skrócenia pręta.

Obserwacja oraz pomiary dowiodły iż pręt rozciągany zwęża się , a pręt ściskany rozszerza się (spęcza się) . Zmiana występuje również na całej długości pręta. Jeżeli zmianę ocenimy do wymiarów pierwotnych przekroju, to odkształcenia poprzeczne E_y i E_z`w kierunkach y i z prostopadłych do kierunku osi x pręta, zdefiniować trzeba:

Odkształcenia w kierunkach prostopadłych do osi pręta rozciąganego, ściskanego są równe oraz proporcjonalne do odkształcenia w kierunku osi pręta czyli :

E_y ,E_z Odkształcenie mierzone wzdłuż osi pręta i prostopadłe.
liczba niemianowana jest współczynnikiem proporcjonalności nazywa się liczbą Poissona. Znak minus we wzorze tłumaczy się iż, odkształcenie mierzone wzdłuż osi pręta i prostopadłe do niej są przeciwnego znaku.Liczba Poissona jest wielkością fizyczną, która charakteryzuje się własnością sprężystą dla danego materiału i jest liczbą stałą. Angielski fizyk Robert Hooke badał zachowanie się prętów rozciąganych oraz ściskanych. Uczony fizyk Robert Hooke stwierdził ,że

„jeśli wielkość siły nie przekroczy pewnej granicy, to wydłużenie pręta jest wprost proporcjonalne do siły rozciągającej pręt i do jego długość, a odwrotnie proporcjonalne do przekroju pręta”

Współczynnik α jest wielkością bardzo małą. E = 1/α nazywamy modułem sprężystości.

Wydłużenie pręta rozciąganego nie zależy od kształtu jego poprzecznego, lecz tylko całkowitego pola przekroju pręta.

Aby zbadać własności materiałów przeprowadza się badania na próbkach według normy znormalizowanego( wg PN-71/H-04310) o przekrojach kołowych lub prostokątnych oraz

z części uchwytowych, zwanych główkami.

L₀ - długość pomiarowa próbki

d₀- ustalona wielokrotność próbki

Na środkowej części próbki obieramy długość pomiarową, natomiast próbka o przekroju kołowym zgodnie z PN próbka powinna mieć ustaloną wielokrotność średnicy d₀ próbki :

n = 5 , dla n można przyjmować wartość 10,4 lub 8.

Dla próbek o przekroju prostokątnym stosuje się zasadę zastępowania przekroju przekrojem kołowym. Pole przekroju próbki wynosi F₀ =gb, wtedy średnicę d_z z przekroju kołowego obliczamy z wzoru :

Długość pomiarowa próbki „pięciokrotnej” wyniesie :

Rozciąganie oraz ściskanie próbki przeprowadza się na zrywarce, która rejestruje automatyczne zależności pomiędzy obciążeniami P a odpowiednimi zmianami długości l

Jeśli wyniki pomiarów chcemy uzależnić od wymiarów próbki należy sporządzić wykres rozciągania w układzie naprężenia G i odkształcenia E Naprężenie normalnego G możemy obliczyć w każdej chwili według dwóch sposobów:

1. Aktualną siłę rozciągającą dzielimy P dzielimy przez pole początkowego przekroju P₀ otrzymamy tzw. Naprężenie nominalne.

2. 
   Siłę rozciągającą dzielimy przez pole F przekroju rzeczywistego, jaki ma próbka w danej chwili działania tej siły P. Otrzymamy w takim przypadku naprężenie rzeczywiste.

Kolejny rysunek „Typowy wykres zależności między naprężeniem a odkształceniem” przedstawia zależności między naprężeniem G a odkształceniem E Na wykresie można wyróżnić kilka charakterystycznych punktów, które odpowiadają wartości naprężeń i odkształceń.

Rys. 15 Typowy wykres zależności między naprężeniem a odkształceniem

2.6. Zginanie

Zginanie - jest to stan obciążenia materiału, w którym na materiał działa moment, gnący pochodzący od pary sił działających w płaszczyźnie przekroju wzdłużnego materiału. Zginanie występuje w elementach konstrukcji, którymi najczęściej są belki. Belkami nazywamy elementy zginane. Na belkę może działać obciążenie w postaci sił skupionych lub obciążenia ciągłego.

Zginanie jest pokrewne rozciąganiu i ściskaniu, gdyż powoduje pojawienie się naprężeń normalnych w przekrojach poprzecznych elementu. W przeciwieństwie jednak do rozciągana i ściskania, rozkład naprężeń normalnych w przekroju elementu jest nierównomierny.

Zginanie zachodzące pod wpływem dowolnych sił działających na belkę nazywamy zginaniem złożonym. Belkami nazywamy elementy zginane. Na belkę może działać obciążenie w postaci sił skupionych lub obciążenia ciągłego. Siła skupiona jest to obciążenie przyłożone w jednym punkcie lub rozłożone na bardzo małym odcinku. Równomierne obciążenie ciągłe jest to obciążenie rozłożone na znacznej długości. Oznaczamy je literą q i podajemy w N/m. Jeżeli długość belki obciążonej w sposób ciągły wynosi l, to całkowita siła działająca na belkę, pochodząca od tego obciążenia ciągłego, wynosić będzie Q = q · l.

Możliwe jest jeszcze nierównomierne obciążenie ciągłe belek (trójkątne, trapezowe. półkoliste).

Momentem gnącym w danym przekroju belki nazywamy sumę momentów (względem środka ciężkości tego przekroju) wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. Moment zginający uważamy za dodatni, jeśli wygina on belkę wypukłością ku dołowi. Momenty zginające wyginające belkę wypukłością do góry uważamy za ujemne.

Siłą normalną w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na kierunek normalnej wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem.
Siłą tnącą w danym przekroju poprzecznym belki nazywamy rzut na płaszczyznę tego przekroju wypadkowej wszystkich sił zewnętrznych działających na część belki odciętą tym przekrojem. Obliczając siłę tnącą przez sumowanie sił zewnętrznych po lewej stronie przekroju, należy siły zewnętrzne zwrócone do góry uważać za dodatnie, a siły zwrócone w dół - za ujemne. Obliczając natomiast siłę tnącą przez sumowanie sił po prawej stronie przekroju, należy siły zewnętrzne zwrócone do góry uważać za ujemne, a siły zwrócone w dół za dodatnie.

   

Wykresy momentów gnących i sił tnących ilustrują przebieg obciążenia belki wzdłuż jej osi.

Czystym zginaniem nazywamy odkształcenie belki pomiędzy dwiema parami sił o równych momentach.

 Przy czystym zginaniu w przekrojach poprzecznych belki nie ma naprężeń stycznych.

      

 Największe naprężenie normalne występuje we włóknach najdalej położonych od osi obojętnej przekroju poprzecznego

 

gdzie M - moment gnący, y_max - odległość najdalej położonych włókien od osi obojętnej, I_z - moment bezwładności względem osi obojętnej.

Wskaźnikiem wytrzymałości przekroju na zginanie względem osi obojętnej nazywamy stosunek momentu bezwładności tego przekroju względem osi obojętnej do odległości włókien skrajnych od tej osi.

                  


gdzie I - moment bezwładności względem osi obojętnej, e - odległość włókien skrajnych od tej osi.
Obliczenia wytrzymałościowe belek zginanych sprowadzają się do określenia największego naprężenia normalnego, występującego w przekroju poprzecznym belki.

Warunek wytrzymałościowy przedstawia się następująco

                  


gdzie k_g - naprężenie dopuszczalne przy zginaniu

Belki statycznie wyznaczalne są to belki, dla których liczba niewiadomych podporowych jest równa liczbie równań równowagi.

Metodyka rozwiązywania belek statycznie wyznaczalnych:
1. Wyznaczenie wartości reakcji podpór pisząc trzy równania równowagi
2. Wyznaczenie momentów gnących w miejscach przyłożenia sił skupionych
3. Obliczenie sił tnących w poszczególnych przedziałach belki
4. Przyjęcie podziałki dla momentów gnących i sił tnących
5. Sporządzenie wykresów momentów gnących i sił tnących z zachowaniem znaków.

Przy wyznaczaniu momentów gnących należy wiedzieć, że na jej końcach moment gnący jest zawsze równy zeru, chyba że jest tam przyłożona parz sił zewnętrznych o określonej wartości momentu. Wykres sił tnących dla belki obciążonej siłami skupionymi będzie się składać z odcinków równoległych do osi belki.

Przy obliczaniu momentu obciążenie równomierne ciągłe skupiamy w jego środku ciężkości. Przy obciążeniu ciągłym wykresem momentów gnących jest część paraboli.

Natomiast wykresem sił tnących jest linia prosta nachylona pod pewnym kątem do osi belki. Belki, w których liczba niewiadomych jest większa od liczby równań równowagi nazywamy statycznie niewyznaczalnymi. Przykłady takich belek to: belki wieloprzęsłowe (o trzech lub więcej podporach), belki dwustronnie utwierdzone, belki jednym końcem utwierdzone, a na drugim podparte etc.

W tych belkach określenie reakcji bądź sił wewnętrznych tylko na podstawie równań równowagi nie jest możliwe. Do ich wyznaczenia należy uwzględnić odkształcenie tych konstrukcji.

Niektóre metody rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych:

1. Metoda sił
2. Metoda przemieszczeń
3. Metoda superpozycji
4. Metoda trzech momentów
5. Metoda Menabrei

W czasie pracy belka ulega odkształceniu. Początkowo prostoliniowa oś belki zmienia się na krzywoliniową. Krzywa ta nazywa się linią ugięcia osi belki. Przemieszczenie środka ciężkości przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki nazywamy ugięciem belki, a największe ugięcie - strzałką ugięcia belki.

Niektóre metody wyznaczania ugięć belki:

1. Metoda analityczna przy zastosowaniu wzoru:

                  

2. Metoda Clebscha
3. Metoda Maxwella - Mohra
4. Metoda momentów wtórnych
5. Metoda wykreślno - analityczna.

3. Zginanie.

W wielu przypadkach elementy konstrukcyjne ulegają jednocześnie różnym obciążeniom.

Spośród wielu możliwych przypadków wytrzymałości złożonej, z którymi najczęściej spotykamy są w praktyce : zginanie ukośne, zginanie w połączeniu z rozciąganiem lub ściskaniem, ściskanie mimośrodowe oraz skręcanie z równoczesnym zginaniem.

3.1. Zginanie ukośne.

Zginanie ukośne zachodzi wtedy, gdy płaszczyzna obciążenia jest płaszczyzną głównych środkowych osi bezwładności.

Rys. 21 Zginanie ukośne	Rys. 22

Ślad płaszczyzny obciążenia na poprzecznym przekroju belki nie pokrywa się wtedy z główną środkową osią bezwładności tego przekroju (rys.21). Również ugięta oś pręta nie leży w płaszczyźnie obciążenia. Przykładem belek zginanych ukośnie mogą być płatwie dachowe obciążone sitami pionowymi (rys.22).

Zgodnie z zasadą superpozycji zginanie ukośne można uważać za rezultat zginania belki w dwóch płaszczyznach wzajemnie prostopadłych przechodzących przez główne środkowe osie bezwładności przekroju.

Rozpatrzony zostanie przypadek zginania ukośnego belki utwierdzonej na jednym końcu i obciążonej na drugim jedną siłą skupioną.

Największe naprężenie rozciągające i ściskające występujące w rozważanym przekroju. Ale w obliczeniach wytrzymałościowych interesują nas naprężenia w przekroju niebezpiecznym.

Z wyrażenia tego możemy wyznaczyć największe naprężenie rozciągające i ściskające w przekroju niebezpiecznym.

Do obliczania wymiarów przekroju belki otrzymujemy warunek wytrzymałości w postaci

po uwzględnieniu

Przy obliczeniach najczęściej przyjmujemy stosunek wskaźników wytrzymałości na zginanie -W określamy jedną niewiadomą Wz,

3.2. Zginanie z równoczesnym rozciąganiem lub ściskaniem

W praktyce często się zdarza, że pręt zginany jest jednocześnie rozciągany lub ściskany. Na rysunku 4 widzimy trzy schematy elementów zginanych i jednocześnie rozciąganych lub ściskanych. Taki rodzaj złożonego obciążenia występuje np. w korpusach wiertarek w belkach obciążonych siłami ukośnie działającymi względem osi, w hakach urządzeń transportowych itp.

Rys.24 elementy zginanane i jednocześnie
rozciągane lub ściskane.

Zarówno przy zginaniu, jak i przy rozciąganiu oraz ściskaniu występują naprężenia normalne (prostopadłe do przekroju poprzecznego). Naprężenie całkowite przy takich obciążeniach złożonych jest zgodnie z zasadą superpozycji sumą naprężeń wywołanych przez poszczególne obciążenia.  

Na rysunku 5a jest przedstawiona belka utwierdzona, obciążona na swobodnym końcu siłą F, nachyloną pod kątem do osi belki.

Przyjmujemy, że płaszczyzna obciążona jest płaszczyzną głównych środkowych osi bezwładności przekroju belki.

Rozkładamy siłę P na dwie składowe: jedną prostopadłą do osi belki, drugą działającą wzdłuż tej osi.

Składowa pierwsza, o wartości F, = F • cosa, powoduje zginanie belki. Rozkład naprężeń normalnych w przekroju 1-l, pochodzących od zginania, przedstawiono na rys. XVIII-6b. Naprężenia te we włóknach skrajnych są równe

gdzie: M, moment zginający w tym przekroju:

Druga składowa o wartości F = F • sina, powoduje ściskanie rozważanej belki.

W, przekroju niebezpiecznym M = Mmax Naprężenie całkowite. W skrajnych włóknach przekroju niebezpiecznego w przypadku ściskania i zginania ma wartość

Naprężenie całkowite w skrajnych włóknach przekroju niebezpiecznego w przypadku rozciągania i zginania ma wartość

Największe (co do bezwzględnej wartości) naprężenia występują w skrajnych włóknach albo po stronie warstw rozciąganych (przy zginaniu i rozciąganiu), albo po stronie warstw ściskanych (przy zginaniu i ściskaniu). Wartość tych największych naprężeń wynosi

Stąd warunek wytrzymałości dla omawianego przypadku wytrzymałości złożonej ma postać

gdzie k (k,, k) dopuszczalne naprężenie na rozciąganie lub ściskanie, w zależności od tego, dla których włókien (rozciąganych czy ściskanych) stosujemy powyższy warunek wytrzymałościowy

4. Prezentacja multimedialna

Mechanika techniczna „Władysław Siuta”

Mechanika techniczna „Władysław Siuta”

„Mechanika Techniczna” Statyka i Wytrzymałość Materiałów Tom 1 - Jan Misiak

„Mechanika Techniczna” - Władysław Siuta

Mechanika Techniczna” - Władysław Siuta

Józef Kubik,Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Władysław Siuta - Mechanika Techniczna -Wytrzymałość Materiałów

www.wikipedia.pl - wolna encyklopedia internetowa

Władysław Siuta „Mechanika Techniczna” - Wytrzymałość materiałów”

Władysław Siuta „Mechanika Techniczna” - Wytrzymałość materiałów”

Władysław Siuta „Mechanika Techniczna” - Wytrzymałość materiałów”

Władysław Siuta „Mechanika Techniczna” - Wytrzymałość materiałów”

Władysław Siuta „Mechanika Techniczna” - Wytrzymałość materiałów”

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe.

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Józef Kubik, Janusz Mielniczuk, Arnold Wilczyński „Mechanika techniczna” Warszawa 1983

Państwowe wydawnictwo naukowe

Władysław Siuta - Mechanika Techniczna - Wytrzymałość Materiałów.

Władysław Siuta - Mechanika Techniczna - Wytrzymałość Materiałów.

Władysław Siuta - Mechanika Techniczna - Wytrzymałość Materiałów.

Jan Misiak - „Statyka i Wytrzymałość Materiałów” Tom 1

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie ukosne

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie ukosne

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie ukosne

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie z równoczesnym rozciaganiem lub sciskaniem”

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie z równoczesnym rozciaganiem lub sciskaniem”

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna”

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie z równoczesnym rozciaganiem lub sciskaniem”

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie z równoczesnym rozciaganiem lub sciskaniem”

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie z równoczesnym rozciaganiem lub sciskaniem

Wytrzymałość Materiałów - Jan Misiak - „Mechanika Techniczna” Zginanie z równoczesnym rozciaganiem lub sciskaniem

58

F

F

Rys 4 Skręcanie pręta

Rys. 5 Stan naprężeń w przekroju poprzecznym skręcanego pręta i rury.

Rys. 7 Wał na który działają momenty

Rys.9 Cienki krążek wycięty z pręta.

Rys. 7 Zwrot momentu skręcającego

Rys.10 Związek pomiędzy naprężeniem ł

a zdalnym momentem skręcającym M_s

Rys. 11 Rozciąganie pręta

Rys. 13Próbka(wg PN -71/H-04310)

Rys 14. Wykres maszynowy rozciągania

g

l

Rys.16

Rys. 17 Wykresy momentów gnących i sił tnących

Rys. 18 Czyste zginanie

Rys. 19 Obraz naprężeń normalnych przy czystym zginaniu

Rys. 20 Przykłady belek statycznie wyznaczalnych

---