Rok akademicki 1996/97	Laboratorium z fizyki
Nr ćwiczenia: 1	Badanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
ZiMwBiEM M06	Barłomiej Kobierowski
Data wykonania	Ocena		Data zaliczenia	Podpis
	T
	S

1. Zasada pomiaru

Celem ćwiczenia było wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego i fizycznego. Wychylone z położenia równowagi wahadło matematyczne (rys. 1) czy fizyczne (rys. 2) wykonują drgania. Dla małych wychyleń są to drgania harmoniczne.

Wzory na okres wahadła matematycznego (1.1) i wahadła fizycznego (1.2) słuszne dla kątów nie większych niż 5⁰ to:

(1.1)

(1.2)

Przy czym: I_b - moment bezwładności bryły, g - przyspieszenie ziemskie

W doświadczeniu odchylenia od położenia równowagi przekraczają 5⁰, więc wzór na okres przyjmuje postać:

Przy czym: T - okres wyznaczony z doświadczenia

Aby uniknąć błędu związanego z wyznaczaniem długości l wahadła, stosuje się podczas pomiarów metodę Bessela polegającą na tym, że wyznacza się okres T₁ wahadła o długości l₁, następnie długość wahadła skraca się do l₂ i wyznacza się ponownie okres wahadła T₂. Wiedząc, że:

i

Po przekształceniach otrzymamy wzór, który stanowi podstawę wyznaczania przyspieszenia ziemskiego w tym ćwiczeniu.

Przy czym: d = l₂ - l₁

Wyznaczanie współczynnika drgań wahadła fizycznego.

Ogólne rozwiązane równania drgań gasnących ma postać drgań gasnących ma postać:

Przy czym: α - kąt wychylenia; α₀ - amplituda początkowa drgań gasnących;

ω₀ - częstotliwość drgań gasnących

Ruch ten charakteryzuje logarytmiczny dekrement tłumienia:

Przy czym: α_k, α_k+1 - amplituda dwóch kolejnych wychyleń; T - okres drgań

2. Schemat układu pomiarowego

3. Ocena dokładności pojedynczych pomiarów

Doświadczenie I

Δl = 0.005 [m]

Δx = 0.001 [m]

Δt = 0.5 [s]

Doświadczenie II

Δt = 0.5 [s]

ΔA = 0.001 [m]

Δn = 0.5

4. Tabele pomiarowe

Doświadczenie I

Tabela nr 1

l1 [m]	t1 [s]	T1 [s]	a1 [m]	a100 [m]	sinα	T1,0 [s]
0.75	174.7	1.747	0.089	0.061	0.100	1.7481
0.75	174.9	1.749	0.090	0.062	0.101	1.7301
0.75	174.7	1.747	0.089	0.061	0.100	1.7481
0.75	174.6	1.746	0.091	0.062	0.102	1.7471
0.75	174.6	1.746	0.091	0.062	0.102	1.7471

Tabela nr 2

l2 [m]	t2 [s]	T2 [s]	a1 [m]	a100 [m]	sinα	T2,0 [s]
0.85	185.0	1.850	0.090	0.060	0.088	1.8510
0.85	186.3	1.863	0.091	0.062	0.090	1.8640
0.85	185.7	1.857	0.089	0.059	0.087	1.8579
0.85	183.8	1.838	0.090	0.060	0.088	1.8389
0.85	183.8	1.838	0.090	0.059	0.088	1.8389

Doświadczenie II

Tabela nr 3

t [s]	n	T [s]	Ao [m]	A1 [m]	A2 [m]	A3 [m]	A4 [m]	A5 [m]	A6 [m]	A7 [m]
7.22	8	0.9025	0.090	0.081	0.068	0.055	0.036	0.020	0.010	0.005

5. Przykładowe obliczenia wyników pomiarów wielkości złożonej

Doświadczenie I.

Dane z tabeli nr 1.

[s]

d = l₂ - l₁ = 0.1 [m]

Doświadczenie II

6. Rachunek błędów

W doświadczeniu I pięciokrotne powtórzenie wykazało, że różnice między kolejnymi pomiarami, dla tej samej długości nitki, są niewielkie, więc najwiarygodniejszym błędem pomiaru w tym ćwiczeniu będzie błąd pojedynczego pomiaru. Jeżeli uwzględnimy ten błąd w otrzymanych pomiarach to nasze wyniki są niemal identyczne, dlatego przyjęto:

l₁ = 0.75 [m] t₁ = 174.7 [s] a₁ = 0.090 a₁₀₀ = 0.061

Δl = 0.005 [m] Δt = 0.5 [s] Δa₁ = Δa₁₀₀ = 0.005 [m]

Błąd okresu obliczono metodą różniczki logarytmicznej

T₀, t₀, n₀ - wprowadzono aby liczba logarytmowana była bez miana

Przyjęto, że Δn = 1

[s]

Błąd w obliczeniu średniego kąta α obliczono metodą różniczki zupełnej

Błąd T_1,0 obliczono z różniczki zupełnej

Analogicznie obliczono dla l₂ = 0.85 [m]

Δt = 0.05 [s] Δl = 0.005 [m]

ΔT₂ = 0.0235 [s]

Błąd przyspieszenia ziemskiego obliczono metodą różniczki logarytmicznej

, d = l₂ - l₁

Δd = 2 * Δl₁ = 2 * Δl₂ ponieważ Δl₁ = Δl₂

Doświadczenie II

Błąd okresu obliczono metodą różniczki logarytmicznej

Błąd dekrementu tłumienia obliczono jako przeciętny błąd pomiarów

n	1	2	3	4	5	6	7
δ	0.1054	0.1750	0.2122	0.4238	0.5878	0.6931	0.6931

Błąd współczynnika tłumienia obliczono metodą różniczki logarytmicznej

7. Zestawienie wyników pomiarów

Doświadczenie I

Dla l₁ = 0.75 [m] Dla l₂ = 0.85 [m]

T₁ = (1.747 ± 0.023) s T₂ = (1.850 ± 0.024) s

T_1,0 = (1.748 ± 0.023) s T_2,0 = (1.851 ± 0.024) s

sinα = (0.100 ± 0.008) sinα^` = (0.088 ± 0.007)

g = (10.66 ± 5.89)

Doświadczenie II

T = (0.9025 ± 0.119) s = (0.90 ± 0.12) s

δ = (0.413 ± 0.213)

β = (0.458 ± 0.296)

8. Uwagi i wnioski

W doświadczeniu I dla jednakowej długości nitki wykonano pięć razy odczyt. Drugi wynik, dla l₁ = 0.75 [m], uznano za błąd gruby, ponieważ to wynika z błedu przyrządu pomiarowego.

Błąd obliczeń wahadła matematycznego był ściśle związany z błędem przyrząd.0u pomiarowego. Nitka wahadła matematycznego była przesunięta o około 0.5 cm od punktu zerowego na skali odczytu amplitudy.

4

α

l

mg

F_w

F_s

x

---