Regresja liniowa
Regresja liniowa pozwala wyznaczyć parametry prostej y =ð ax +ð b najlepiej
dopasowanej do punktów pomiarowych, gdy występuje pomiędzy nimi zależność liniowa (lub
gdy za pomocą odpowiedniego przekształcenia można je do takiej zależności doprowadzić). Po
przyrównaniu równania prostej do teoretycznej zależności pomiędzy mierzonymi
wielkościami, można na podstawie obliczonych wartości współczynnika kierunkowego a ,
wyrazu wolnego b oraz ich niepewnoÅ›ci pomiarowych Dða i Dðb wyznaczyć szukane w
doświadczeniu wielkości fizyczne wraz z ich niepewnościami pomiarowymi.
Metoda 1
1. Na podstawie zmierzonych wartości doświadczalnych xi i yi uzupełniamy poniższą tabelę:
xi yi
i xi2 yi2 xi yi
1
2
3
&
n
2
=ð ... yi =ð ... =ð ... yi2 =ð ... yi =ð ...
åðxi åð åðxi åð åðxi
2. Obliczamy wartości współczynnika kierunkowego a oraz wyrazu wolnego b
yi -ð a xi
n yi -ð yi
åð åð
åðxi åðxiåð
a =ð , b =ð .
2
2
n
n -ð(ðåðxi)ð
åðxi
3. Obliczamy wartości niepewności pomiarowej wyznaczonych współczynników a i b
n(ðåð yi2 -ð a yi -ð b yi)ð, Dðb =ð Sa .
1
åðxi åð
2 2
Dða =ð
åðxi
2
2
n
(ðn -ð 2)ð(ðn -ð(ðåðxi)ð )ð
åðxi
4. Obliczamy współczynnik korelacji liniowej R
n yi -ð yi
åðxi åðxiåð
R =ð
2 2
2
(ðn -ð(ðåðxi)ð )ð(ðn yi2 -ð(ðåð yi)ð )ð.
åðxi åð
Metoda 2
W celu wyznaczenia współczynników regresji liniowej można również skorzystać z programu
Excel.
1. Wprowadzamy w dwóch dowolnych kolumnach dane doÅ›wiadczalne (ðxi, yi)ð.
2. Obok wprowadzonych danych zaznaczamy sześć pól, leżących obok siebie w dwóch
kolumnach i trzech wierszach.
3. Mając ciągle zaznaczone pola z danymi, wpisujemy w wiersz poleceń:
=REGLINP(zakres zmiennej y ; zakres zmiennej x ;1;1)
4. Zatwierdzamy komendę: trzymając jednocześnie wciśnięte klawisze CTRL i SHIFT
wciskamy klawisz ENTER.
5. W zaznaczonych komórkach pojawią się poszukiwane wartości współczynnika
kierunkowego a , wyrazu wolnego b , ich niepewnoÅ›ci pomiarowe Dða i Dðb oraz kwadrat
współczynnika korelacji R  wyliczone metodą najmniejszych kwadratów.
a b
Dða Dðb
R2
Metoda 3
Wiele kalkulatorów pozwala automatycznie obliczyć współczynniki regresji. Opis sposobu
postępowania, właściwy dla danego modelu kalkulatora, znajduje się w instrukcji obsługi
kalkulatora.
Metoda 4
W Internecie dostępnych jest wiele programów typu shareware i freeware pozwalających
wyznaczyć współczynniki regresji, np.:
http://orzech.gamedev.pl/pl/appdetails.php?app=22
http://www.if.pwr.wroc.pl/lpf/programy/reg.zip
Przykład:
Dokonano pomiaru natężenia prądu I płynącego przez rezystor o oporze R w funkcji
przyłożonego napięcia U :
U
I
[ðV]ð [ðmA]ð
1 20.1
3 55.2
5 98.7
7 151.0
Po wprowadzeniu danych pomiarowych do arkusza Excel, zaznaczeniu sześciu pól i wpisaniu
komendy:
=REGLINP(B1:B4;A1:A4;1;1)
otrzymano:
Odczytane z tabeli poszukiwane wielkości wynoszą:
a =ð (ð0,0218 Ä…ð 0,0014)ðWð-1
b =ð (ð-ð 0,0060 Ä…ð 0,0063)ð A
R2 =ð 0,9922 Þð R =ð 0,9961
Po przyrównaniu równania prostej do teoretycznej zależności pomiędzy mierzonymi
wielkościami
y =ð a ×ð x +ð b
1 ,
I =ð ×ðU
R
można na podstawie obliczonych wartości wyznaczyć wartość oporu R rezystora i jego
niepewność pomiarową:
1 1 1
a =ð Þð R =ð =ð =ð 45,8715 Wð
R a 0,0218
Þð R =ð (ð45,9 Ä…ð 3,0)ð Wð
Dða 0,0014
DðR =ð =ð =ð 2,9458 Wð
a2 0,02182