METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII
1. Wykład wstępny
2. Populacje i próby danych
3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów
4. Planowanie eksperymentów biologicznych
5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne I
6. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne II
7. Regresja liniowa
8. Regresja nieliniowa
9. Określenie jakości dopasowania równania regresji liniowej i nieliniowej
10. Korelacja
11. Elementy statystycznego modelowania danych
12. Porównywanie modeli
13. Analiza wariancji
14. Analiza kowariancji
15. Podsumowanie materiału, wspólna analiza przykładów, dyskusja
Copyright ©2011, Joanna Szyda
WST
P
1. Równanie regresji liniowej
2. Estymacja współczynników prostej regresji
" metoda najmniejszych kwadratów
" ważona metoda najmniejszych kwadratów
3. Przykłady równań regresji
" regresja wieloczynnikowa
" wielomiany
" regresja logarytmiczna
4. Interpretacja przykładowych wyników
Copyright ©2011, Joanna Szyda
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI
RÓWNANIE REGRESJI
PRÓBA DANYCH
1. Zmienna niezależna
MASA ZAW.
CIAA
A TA
USZCZU
2. Zmienna zależna, rozkład ciągły
89 28
88 27
66 24
59 23
93 29
73 25
82 29
77 25
100 30
67 23
Copyright ©2011, Joanna Szyda
RÓWNANIE REGRESJI
PRÓBA DANYCH
30
29
28
27
26
25
24
23
22
50 60 70 80 90 100
masa ciała
Copyright ©2011, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI: WYRAZ WOLNY
Intercept
30
29
28
27
26
25
24
23
22
50 60 70 80 90 100
wyraz wolny
masa ciała
Copyright ©2012, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI: WYRAZ WOLNY
Intercept
30
25
20
15
10
5
0 25 50 75 100
masa ciała
Copyright ©2012, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI: GRADIENT
Slope
30
29
28
27
26
25
24
gradient
23
22
50 60 70 80 90 100
wyraz wolny
masa ciała
Copyright ©2012, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI: GRADIENT
Slope
30 30 30
29 29 29
28 28 28
27 27 27
26 26 26
25 25 25
24 24 24
23 23 23
22 22 22
50 60 70 80 90 100 50 60 70 80 90 100 50 60 70 80 90 100
masa ciała masa ciała masa ciała
O ile zmieni się wartość zmiennej zależnej jeżeli
zmienna niezależna wzrośnie o 1
H" 0 > 0 < 0
Brak zależności Zmiany w tym Zmiany w różnych
samym kierunku kierunkach
gradient = 0 gradient > 0 gradient < 0
PRZYKA
ADY
Copyright ©2012, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
zaw. tłuszczu
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI: BA

D
Error, Residual
30
29
28
błąd
27
26
25
24
gradient
23
22
50 60 70 80 90 100
wyraz wolny
masa ciała
Copyright ©2012, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI: BA

D
Error, Residual
30 30
29 29
28 28
27 27
26 26
25 25
24 24
23 23
22 22
50 60 70 80 90 100 50 60 70 80 90 100
masa ciała masa ciała
mały błąd duży błąd
Copyright ©2012, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI: BA

D
Error, Residual
30
Wartość zaobserwowana (y)
29
observed value
28
27
26
25
Wartość przewidziana (w
)
24
predicted value
23
22
50 60 70 80 90 100
masa ciała
Copyright ©2012, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI
wyraz wolny gradient
y =ð bð0 +ð bð1x
Zmienna zależna Zmienna niezależna
Dependent variable Independent variable
Copyright ©2011, Joanna Szyda
RÓWNANIE REGRESJI
ELEMENTY RÓWNANIA REGRESJI
wyraz wolny gradient
tluszcz =ð11.57 +ð 0.19masa_ciaÅ‚a
Zmienna zależna Zmienna niezależna
CO MÓWI
NAM POSZCZEGÓLNE WARTOŚCI?
Copyright ©2011, Joanna Szyda
ESTYMACJA WSPÓA
CZYNNIKÓW
RÓWNANIA REGRESJI
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
JAK WYZNACZYĆ PARAMETRY RÓWNANIA REGRESJI ?
y =ð bð0 +ð bð1x
TAK ABY ODLEGA
OÅšCI OBSERWACJI OD PROSTEJ BYA
Y
JAK NAJMNIEJSZE - metoda najmniejszych kwadratów
30
29
28
27
26
25
24
23
22
50 60 70 80 90 100
masa ciała
Copyright ©2011, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
30
29
28
27
26
25
24
23
22
50 60 70 80 90 100
masa ciała
Sð ( )2 minimum
Copyright ©2011, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
N N
2 2
åð(ðy -ð w
i)ð =ð åð[ðy -ð(ðbð0 +ð bð1xi)ð]ð
i i
i=ð1 i=ð1
N N
2 2
Å›ð Å›ð
åð[ðy -ð(ðbð0 +ð bð1xi)ð]ð åð[ðy -ð(ðbð0 +ð bð1xi)ð]ð
i i
i=ð1 i=ð1
=ð 0 i =ð 0
Å›ðbð0 Å›ðbð1
N N
-ð 2 i -ð 2
åð(ðy -ð bð0 -ð bð1xi)ð=ð 0 åðx (ðyi -ð bð0 -ð bð1xi)ð=ð 0
i i
i=ð1 i=ð1
Copyright ©2011, Joanna Szyda
METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
y =ð bð0 +ð bð1x
N
Ć
y -ð bð1x
åð(ðx -ð x)ð(ðyi -ð y)ð
i
i=ð1
N
2
åð(ðx -ð x)ð
i
i=ð1
Copyright ©2011, Joanna Szyda
WAŻONA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
JAK WYZNACZYĆ PARAMETRY RÓWNANIA REGRESJI
JEŻELI y MIERZONE S
ZE ZRÓŻNICOWAN

DOKA
ADNOÅšCI

?
y =ð bð0 +ð bð1x
WAŻENIE OBSERWACJI
Copyright ©2011, Joanna Szyda
WAŻONA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
WAŻENIE OBSERWACJI
N N
2 2
Å›ð Å›ð
åðw [ðyi -ð(ðbð0 +ð bð1xi)ð]ð åðw [ðyi -ð(ðbð0 +ð bð1xi )ð]ð
i i
i=ð1 i=ð1
=ð 0 i =ð 0
Å›ðbð0 Å›ðbð1
y =ð bð0 +ð bð1x
N
Ć
y -ð bð1x
åðw (ðxi -ð x)ð(ðyi -ð y)ð
i
i=ð1
N
2
åðw (ðxi -ð x)ð
i
i=ð1
Copyright ©2011, Joanna Szyda
PRZYKA
ADY RÓWNAC
REGRESJI
PRZYKA
ADY RÓWNAC
REGRESJI
REGRESJA WIELOCZYNNIKOWA
MASA ZAW.
y =ð bð0 +ð bð1x1 +ð bð2x2
CIAA
A WIEK TA
USZCZU
89 35 28
tluszcz =ð bð0 +ð bð1masa_c +ð bð2wiek
88 43 27
66 24 24
59 56 23
93 48 29
73 31 25
82 61 29
77 27 25
100 31 30
67 47 23
Copyright ©2011, Joanna Szyda
PRZYKA
ADY RÓWNAC
REGRESJI
WIELOMIANY
y =ð bð0 +ð bð1 x y =ð bð0 +ð bð1x +ð bð2x2 y =ð bð0 +ð bð1x +ð bð2x2 +ð bð3x3
wielomian
wielomian
wielomian
3go stopnia
2go stopnia
1go stopnia
30 30 30
29 29 29
28 28 28
27 27 27
26 26 26
25 25 25
24 24 24
23 23 23
22 22 22
50 60 70 8050 9060 100 8050 9060 100 80 90 100
70 70
masa ciała masa ciała masa ciała
Copyright ©2011, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
zaw. tłuszczu
zaw. tłuszczu
PRZYKA
ADY RÓWNAC
REGRESJI
REGRESJA LOGARYTMICZNA
y =ð bð0 +ð bð1 ln x1
30
29
28
27
26
25
24
23
22
50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
masa ciała
Copyright ©2011, Joanna Szyda
zaw. tłuszczu
INTERPRETACJA WYNIKÓW
INTERPRETACJA RÓWNAC
REGRESJI
Copyright ©2011, Joanna Szyda
INTERPRETACJA RÓWNAC
REGRESJI
interval =ð 8.36 -ð 0.21 temp
1. Wraz ze wzrostem temperatury czas pomiędzy odgłosami
skraca siÄ™
2. Wzrost temperatury o 1°C powoduje skrócenie odstÄ™pu o
0.21 s.
3. W temperaturze 10°C osobniki wydajÄ… dogÅ‚osy Å›rednio co
6.26 s. : interval =ð 8.36 -ð 0.21×ð10 =ð 6.26
Copyright ©2011, Joanna Szyda
INTERPRETACJA RÓWNAC
REGRESJI
Copyright ©2011, Joanna Szyda
INTERPRETACJA RÓWNAC
REGRESJI
1. Model:
n_dzieci =ð 2.82 -ð 0.01wiek +ð 0.03r_w -ð 0.002r_w2
2. Partnerzy, którzy w 2003 r. mieli średnio 40 lat oraz, u
których mąż jest starszy o 15 mają średnio 2.42 dzieci:
n_dzieci =ð 2.82 -ð 0.01×ð40 +ð 0.03×ð15 -ð 0.002×ð152 =ð 2.42
3. Partnerzy, którzy w 2003 r. mieli średnio 25 lat oraz, u
których mąż jest starszy o 4 mają średnio 2.66 dzieci:
n_dzieci =ð 2.82 -ð 0.01×ð 25 +ð 0.03×ð 4 -ð 0.002×ð 42 =ð 2.66
Copyright ©2011, Joanna Szyda
30
29
28
błąd
27
26
25
24
gradient
23
22
50 60 70 80 90 100
wyraz
masa ciała
wolny
REGRESJA
LINIOWA
y =ð bð0 +ð bð1 x
y =ð bð0 +ð bð1x +ð bð2x2
y =ð bð0 +ð bð1x +ð bð2x2 +ð bð3x3
zaw. tłuszczu