NAPI
CIA I PR
DY NA ELEMENTACH RLC
Wartości chwilowe napięć i prądów oraz ilość energii
rozpraszanej lub gromadzonej na poszczególnych pasywnych
elementach obwodu elektrycznego są opisane zależnościami
podanymi w tabeli 1.
Jak wynika z tabeli 1, w przypadku elementów magazynujących
energię (kondensator, cewka), wyznaczenie odpowiedzi układu
wiąże się z wyznaczeniem pochodnej lub całki sygnału
wymuszającego oraz mnożeniem przez współczynnik, którego
wartość zależy od wartości parametrów elementu. W przypadku
rezystora (elementu rozpraszajÄ…cego energiÄ™) wystarczy jedynie
pomnożyć sygnał wymuszający przez odpowiedni współczynnik.
W celu zilustrowania sposobu wyznaczania napięć lub prądów
na poszczególnych elementach obwodu elektrycznego rozpatrzmy
dwa podstawowe przypadki, gdy wymuszeniem jest funkcja
liniowo narastajÄ…c oraz funkcja sinusoidalnie zmienna.
Należy zauważyć, że znając funkcję opisującą zmiany wartości
napięcia na rezystorze, wartość chwilową prądu płynącego przez
rezystor wyznaczymy mnożąc wartość chwilową napięcia przez
współczynnik będący odwrotnością wartości rezystancji. W tym
przypadku, kształt sygnału prądu jest taki sam jak sygnału
napięcia.
W celu znalezienia wartości chwilowej prądu płynącego przez
uzwojenia cewki należy wyznaczyć całkę z przebiegu zmian
napięcia na zaciskach cewki, a następnie pomnożyć przez
odwrotność indukcyjności cewki. Wartość stałej całkowania jest w
tym przypadku równa wartości prądu płynącego przez cewkę w
chwili to.
W celu określenia wartości prądu płynącego przez kondensator
należy najpierw wyznaczyć pochodną napięcia na zaciskach
rozpatrywanego kondensatora, a następnie wartości chwilowe
pochodnej napięcia pomnożyć przez wartość pojemności
kondensatora.
Tabela 1.
Napięcia i prądy na elementach RLC
Rezystor Cewka Kondensator
uC(t)
uR(t) uL(t)
B B B
A A A
iR(t) iL(t) iC(t)
R L C
dQ(t)
1 dÅš(t)
i(t) = R u(t) i(t) =
u(t) =
dt
dt
dQ(t)
dÅš(t)
p(t) = R i2(t)
p(t) = u(t)
p(t) = i(t)
dt
dt
dW = R i2(t) dt dW = dQ(t) u(t)
dW = dÅš(t) i(t)
1 t
di(t)
u(t) = u(to) + C # i(t) dt
u(t) = R i(t)
u(t) = L
!#
dt
to
1 t
1 du(t)
i(t) = i(to) + L # u(t) dt
i(t) = R u(t)) i(t) = C
!#
dt
to
di(t) du(t)
p(t) = R i2(t)
p(t) = L i(t) p(t) = C u(t)
dt dt
dW = R i2(t) dt dW = L i(t) di dW = C u(t) du
t
1 1
W(to,t) = # R i2(t) dt
!# W(to,t) = 2 L i2(t) - W(to) W(to,t) = 2 C u2(t) - W(to)
to
1.1 Wymuszenie niesinusoidalne
A
i(t)
1.1.1 Kondensator
+q
Rozpatrzmy przypadek, gdy napięcie na zaciskach
kondensatora narasta liniowo od wartości zero do wartości Um w uC(t)
C
czasie T. Zmiany napięcia na zaciskach kondensatora (Rys. 1) są -q
opisane równaniem:
B
Um
u(t) = t
T
Ponieważ natężenie prądu płynącego przez kondensator jest
równe szybkości zmian napięcia na zaciskach kondensatora
pomnożonej przez wartość pojemności tego kondensatora, to
otrzymujemy następujące równanie:
du(t) d Um Um
i(t) = C = C dt( t) = C
dt T T
Jak wynika z powyższego równania prąd płynący przez
kondensator ma w tym przypadku wartość stałą.
Rys. 1. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
Na Rys. 1 przedstawiono zmiany natężenia prądu płynącego
kondensatorze
przez kondensator, jeżeli napięcie na zaciskach kondensatora
narasta i maleje liniowo.
Jeżeli prąd płynący przez kondensator zmienia się liniowo:
Im
i(t) = t
T
to zmiany napięcie na zaciskach kondensatora przy zerowych
warunkach początkowych, czyli uC(0) = 0, są opisane równaniem:
t
t
Rys. 2. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
1 1 Im 1 Im 2
u(t) = #
kondensatorze
!# i(t) dt = C # T t dt = C 2T t
C
!#
0
0
W tym przypadku, napięcie na zaciskach kondensatora zmienia
siÄ™ jak funkcja kwadratowa.
Na Rys. 2 przedstawiono zmiany napięcia na zaciskach
kondensatora, gdy natężenie prądu płynącego przez kondensator
narasta i maleje liniowo.
3
© LesÅ‚aw A
ADNIAK
1.1.2 Cewka
A
W przypadku, gdy napięcie na zaciskach cewki narasta liniowo
od wartości zero do wartości maksymalnej Um w ciągu czasu T:
i(t)
Åš
Um
u(t) = t
T
L
uL(t)
to natężenie prądu płynącego przez cewkę przy zerowych
warunkach poczÄ…tkowych, czyli gdy i(0) = 0, jest opisane
B
równaniem:
t
t
1 1 Um 1 Um
i(t) = #
!# u(t) dt = L # T t dt = L 2T t2
L
!#
0
0
Jak wynika z powyższego równania, natężenie prądu płynącego
przez cewkÄ™ jest proporcjonalne do kwadratu czasu.
Na Rys. 3 przedstawiono zmiany prądu płynącego przez cewkę,
gdy napięcie na cewce narasta, a następnie maleje liniowo.
Jeżeli natężenie prądu płynącego przez cewkę zmienia się
liniowo:
Rys. 3. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
w cewce
Im
i(t) =
T t
to zmiany napięcie na zaciskach cewki są opisane równaniem:
di(t) d Im Im
u(t) = L = L dt(
dt T t) = L T
W rozpatrywanym przypadku, napięcie na zaciskach cewki ma
wartość stałą.
Na Rys. 4 przedstawiono zmiany napięcia na zaciskach cewki,
jeżeli prąd płynący przez cewkę narasta i maleje liniowo.
Rys. 4. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
w cewce
Pole pod wykresem funkcji:
1
Prosta f(t) = t Pole pod prostÄ… 2 f(t) t
1
Parabola f(t) = t2 Pole pod parabolÄ… 3 f(t) t
4
© LesÅ‚aw A
ADNIAK
1.2 Wymuszenie sinusoidalne
A
1.2.1 Kondensator
i(t)
+q
W przypadku, gdy napięcie na zaciskach kondensatora zmienia
siÄ™ sinusoidalnie:
uC(t)
C
-q
u(t) = Um sin Ét
B
to natężenie prądu płynącego przez kondensator jest opisane
równaniem:
d (Um sin Ét)
i(t) = C = É C Um cos Ét =
dt
Ä„
= ÉC Um sin (Ét + 2 )
Jak wynika z powyższego równania, natężenie prądu płynącego
przez kondensator zmienia siÄ™ sinusoidalnie w czasie.
Amplituda prądu płynącego przez kondensator Im jest opisana
równaniem:
Im = É C Um
Rys. 5. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
kondensatorze
Stosunek amplitudy napięcia do amplitudy prądu wynosi:
Um 1
Im = É
C = Xc
Jak wynika z powyższej zależności relacja między amplitudami
napięcia i prądu zależy nie tylko od pojemności kondensatora, ale
także od pulsacji, czyli częstotliwości sygnału wymuszającego.
Ponieważ zarówno napięcie jak i prąd zmieniają się
sinusoidalnie, to można określić kąt przesunięcia fazowego między
tymi sygnałami:
Ä„ Ä„ Ä„
0
Õ = Èu - Èi = 0 - 2 = - 2
2 = 90
Na Rys. 5, przedstawiono wykres zmian wartości chwilowych
napięcia i prądu dla kondensatora, gdy wymuszeniem jest
sinusoidalnie zmienne napięcie. W tym przypadku sinusoidalnie
zmienny prąd płynący przez kondensator wyprzedza napięcie
Ä„
przyłożone do zacisków kondensatora o kąt 2 (900).
5
© LesÅ‚aw A
ADNIAK
 Przesunięcie fazowe między napięciem a
Jeżeli wiemy, że przez kondensator płynie sinusoidalnie prądem wynosi:
zmienny prÄ…d:
Ä„
Õ = Èu - Èi = -2
i(t) = Im sin Ét
Na Rys. 6 przedstawiono przebieg
to napięcie na zaciskach kondensatora obliczymy w następujący
sposób: napięcia i prądu na kondensatorze, gdy
t t wymuszeniem jest sinusoidalnie zmienny
1 1
prÄ…d.
u(t) = uC(0) + C
#
!#
!# i(t) dt = uC(0) + C # Im sin Ét dt=
0 0
t
I I
= uC(0) - Ém
C cos Étź# 0 = uC(0) - Ém
C {cos Ét - 1}
Po uporządkowaniu równie opisujące zmiany napięcia na
zaciskach kondensatora przyjmuje postać:
I Im
u(t) = - Ém
C cos Ét + É C + uC(0)
Jak wynika z powyższego równania napięcie na zaciskach
kondensatora jest sumą składowej zmiennej napięcia:
Rys. 6. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu na
kondensatorze
I Im Ä„
u(t) = - Ém
C cos Ét = É C sin(Ét -2 )
oraz składowej stałej napięcia:
Im
Uo =
É C + uC(0)
Wartość składowej stałej napięcia zależy od warunków
początkowych na kondensatorze. Jeżeli w chwili t = 0 napięcie na
kondensatorze spełnia warunek:
I
uC(0)= - Ém
C ,
to składowa stała napięcia Uo jest równa zeru.
W tym przypadku, stosunek amplitudy sinusoidalnie zmiennego
napięcia na do amplitudy sinusoidalnie zmiennego prądu wynosi:
Im
É C
Um 1
Im = Im = É
C = XC
6
© LesÅ‚aw A
ADNIAK
1.2.2 Cewka
A
W przypadku, gdy płynący przez cewkę prąd jest sinusoidalnie
zmienny:
i(t)
Åš
i(t) = Im sin Ét
L
uL(t)
to napięcie na zaciskach cewki wynosi:
d(Im sin Ét) Ä„
B
u(t) = L = ÉL Im cos Ét = ÉL Im sin (Ét +2 )
dt
Jak wynika z powyższego równania, napięcie na zaciskach
cewki zmienia siÄ™ sinusoidalnie.
Amplituda napięcia na zaciskach cewki jest opisana
równaniem:
Um = É L Im
Stosunek wartości maksymalnych napięcia i prądu na cewce
przy sinusoidalnym wymuszeniu wynosi:
Um
Im = É L = XL
Rys. 7. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
w cewce
Należy zauważyć, że relacja między amplitudami napięcia
i prądu zależy nie tylko o wartości indukcyjności obwodu, ale
także od pulsacji, czyli częstotliwości sygnału wymuszającego.
Kąt przesunięcia fazowego między napięciem i prądem jest
równy:
Ä„ Ä„ Ä„
o
Õ = Èu - Èi = 2 - 0 = 2
2=90
Jak widać na Rys. 7 napięcie na zaciskach cewki wyprzedza
Ä„
płynący przez cewkę prąd o kąt 2 (900).
7
© LesÅ‚aw A
ADNIAK
 Przesunięcie fazowe między napięciem a
Jeżeli napięcie na zaciskach cewki zmienia się sinusoidalnie, prądem jest równe:
czyli jest opisane równaniem:
Ä„ Ä„
Õ = Èu - Èi = 0 - ( -
2 ) = 2
u(t) = Um sin Ét
Jak widać na Rys. 8 prąd płynący przez
to wartość prądu płynącego przez cewkę obliczmy w następujący
sposób: Ą
cewkę jest opóz
niony o kÄ…t (900)
t t 2
1 1
względem napięcia.
i(t) = i(0) +L
#
!#
!# u(t) dt = i(0) + L # Um sin Ét dt =
0 0
Um t Um Um
= i(0) - ÉL cos Étź# = i(0) - {ÉL cos Ét - ÉL}
0
Po uporządkowaniu równanie opisujące zmiany prądu
płynącego przez cewkę przyjmuje postać:
Um Um
i(t) = - ÉL cos Ét + ÉL + i(0)
Jak wynika z powyższego równania prąd płynący przez cewkę
jest sumą składowej zmiennej prądu:
Um
Rys. 8. Wartości chwilowe napięcia oraz prądu
i(t) = - ÉL cos Ét
na cewce
oraz składowej stałej prądu:
Um
Io =
ÉL + i(0)
Wartość składowej stałej prądu zależy od warunków
początkowych, czyli wartości prądu płynącego przez cewkę w
chwili t = 0. Jeżeli w chwili początkowej zachodzi warunek:
Um
i(0)= -
ÉL
to składowa stała prądu jest równa zeru.
Stosunek amplitud sinusoidalnie zmiennego napięcia i prądu
wynosi:
Um U
Im = ÉL = XL Ò! Im = Xm
L
8
© LesÅ‚aw A
ADNIAK
1.2.3 Przykład. Wskazania przyrządów.
Przez szeregowo połączone elementy RL płynie prąd o
i(t) [A]
natężeniu, którego płynie prąd piłokształtny o wartości
3
maksymalnej 3 A i okresie 20 ms (Rys. 9).
Narysować kształt napięć uR(t), uL(t), u(t) na poszczególnych
elementach oraz obliczyć wskazania woltomierzy i amperomierza.
Rozważyć użycie przyrządów magnetoelektrycznych i
10 15
5
t [ms]
elektromagnetycznych.
Narysować kształt zmian mocy chwilowej pR(t), pL(t), p(t)
- 3
poszczególnych elementów i obliczyć wskazania watomierzy.
Rys. 9. Natężenie prądu
9
© LesÅ‚aw A
ADNIAK