Sprzężenie zwrotne Dla geometrii fraktalnej pojęcie to jest tym, czym dla górskiego pasma ruchy tektoniczne i erozja - czyli głównymi determinantami ich ewolucji. Stąd też figuruje ono na pierwszej pozycji po lewej stronie. Procesy ze sprzężeniem zwrotnym zostały wprowadzone przez Newtona i Leibniza około 300 lat temu i mają fundamentalne znaczenie we wszystkich naukach przyrodniczych przy modelowaniu pewnych zjawisk. Przykładowo fizycy mogą wyznaczyć położenie i prędkość cząstki w danej chwili na podstawie ich wartości w chwili poprzedniej. Biologów natomiast często interesują zmiany zachodzące z roku na rok czy z pokolenia na pokolenie - w obu przypadkach mówimy o sprzężeniu zwrotnym. Idea sprzężenia zwrotnego jest prosta: początkowy obraz wielokrotnie należy przetworzyć tym samym urządzeniem. Bardzo obrazowym przykładem jest układ złożony z telewizora, medium transmisyjnego w postaci kabla i kamery. Jeżeli kamera zostanie podłączona do telewizora tak, by zapewnić ciągły podgląd filmowanego obrazu i "oko" kamery skierujemy na monitor to w rezultacie kopia monitora (w pewnej skali zależnej od odległości monitor-kamera) będzie widoczna na części ekranu i tak znowu, i znowu, w nieskończoność. Na ekranie zobaczymy zatem monitor wewnątrz monitora, wewnątrz monitora itd. Rezultat takiego procesu określa się jako kompresję lub (używając pojęć dynamicznych) jako ruch w kierunku centrum ekranu. Identyczny efekt można uzyskać np. stawiając dwa lustra naprzeciw siebie lub kierując mikrofon w pobliże głośnika - w tym przypadku nie obraz, ale dźwięk będzie podmiotem sprzężenia. A jak się ma sprzężenie zwrotne do fraktali? Otóż patrząc na fraktale, widzimy kształty, obrazy itd. Są one tak zbudowane, że intuicyjnie przyjmujemy za fakt, że procesy w efekcie których fraktale powstają są bardzo skomplikowane. Opisane wyżej wizyjne sprzężenie zwrotne w praktyce daje niezwykle ciekawe efekty wizualne, będąc jednocześnie bardzo prostym doświadczeniem. Potwierdza się więc tutaj pewna własność geometrii fraktalnej i teorii chaosu, która mówi, że złożona prawidłowość (obraz wizyjny) jest efektem bardzo prostego procesu (układ kamera-telewizor). Niestety, inna własność mówi, że rozważając prosty proces zwykle nie łatwo jest zrozumieć jego działanie.

Samopodobieństwo Pojęcie to należy wprowadzić zanim omówimy szczegóły niektórych fraktali, gdyż będzie się ono powtarzało w odniesieniu do wszystkich fraktali. Wydawać by się mogło, że określenie samopodobny nie wymaga wyjaśnienia, wydaje się pojęciem prostym i zrozumiałym. Problem może się jednak pojawić gdy zetkniemy się z matematycznym formalizmem dotyczącym samopodobieństwa. Bardzo dobrą, zaczerpniętą z natury ilustracją samopodobieństwa są np. warzywa - kalafior lub będące skrzyżowaniem kalafiora i brokułu - romanesco (rys. po prawej). Gdy oglądamy tę roślinę widzimy pewien kształt. Roślina ta dzieli się na mniejsze części, z których każda wygląda jak pomniejszona całość (patrz animacja). Te z kolei dzielą się na jeszcze mniejsze detale będące równocześnie podobne do całości i do części z której je wydzielono. Właśnie taką cechę nazywamy samopodobieństwem. W "naturalnych" przykładach samopodobieństwa własność ta przenosi się na trzecią, może czwartą generację, gdyż na pewnym etapie części rośliny stają się zbyt małe by je dzielić. Poza tym, w przypadku romanesco czy kalafiora część nigdy nie jest idealnym pomniejszeniem całości. W matematycznym modelu fraktali własność samopodobieństwa przenosi się na następną generację nieskończenie wiele razy. Determinuje to powstanie nowych pojęć takich jak wymiar fraktalny. W matematycznych przypadkach obiektów samopodobnych małe fragmenty można otrzymać z całego obiektu dzięki tzw. przekształceniu podobieństwa. Najlepszym sposobem wyobrażenia sobie działania tego typu przekształcenia jest analogia do fotokopiarki z możliwością pomniejszania. Jeżeli np. krzywą Kocha (omówioną w kolejnych rozdziałach) poddamy działaniu takiej fotokopiarce ze współczynnikiem redukcji (skalą pomniejszenia) 1/3 i odbijemy cztery kopie, to będziemy mogli tak skleić te kopie, by ponownie otrzymać krzywą Kocha. Powtarzając ponownie tę czynność dla nowo powstałych kopii (tzn. tworząc 16 kopii pomniejszonych dziewięciokrotnie w stosunku do oryginału) znowu możemy je tak złożyć by odtworzyć oryginał. Dysponując kopiarką idealną, proces ten można powtarzać w nieskończoność.

Zbiór Cantora Georg Cantor 1845 - 1918 Pojawił się on po raz pierwszy w publikacji w 1883 roku w pracy autorstwa niemieckiego matematyka Georga Cantora, który swoim dorobkiem naukowym dał podstawy współczesnej matematyki, w szczególności teorii mnogości. Jako obiekt o szczególnych własnościach, ten bardzo popularny fraktal stał się niezwykle pomocny w zrozumieniu chaosu w układach dynamicznych oraz stał się podstawą dla innych fraktali (np. zbiorów Julii). Zbiór Cantora to nieskończony zbiór punktów odcinka jednostkowego [0,1]. Konstruowanie zbioru wygląda następująco: zadany odcinek dzielimy na trzy równe części i usuwamy odcinek środkowy, pozostawiając punkty brzegowe. Takiej samej operacji dokonujemy dla pozostałych dwóch odcinków, następnie czterech itd. W taki sposób uzyskujemy zbiór o nieprzeliczalnej ilości punktów i długości równej zero. Kilka początkowych kroków konstrukcji zbioru Cantora   Zauważmy, że zbiór Cantora to zbiór domknięty, nigdzie gęsty (czyli nie zawierający żadnego pustego podzbioru otwartego). Możemy go traktować jako zbiór pewnych liczb np. 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9, 1/27, 2/27 itd. Co do tych liczb mamy pewność, że niezależnie od tego jak wiele razy usuwaliśmy odcinki, punkty te nie zostaną usunięte. Ponadto są one związane z potęgami 1/3, co jest bardzo ważną cechą podczas przeprowadzania szczegółowej charakterystyki przedstawionego zbioru.

Fraktale Sierpińskiego Wacław Sierpiński 1882 - 1969 Są to niemal o pół wieku młodsze struktury od zbioru Cantora. Zostały wprowadzone przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego (1882-1969), profesora we Lwowie i w Warszawie, jednego z najwybitniejszych polskich matematyków swoich czasów. Trójkąt Sierpińskiego jest zbiorem punktów płaszczyzny, które pozostaną po wykonaniu nieskończenie wielu kroków następującej konstrukcji: mając trójkąt równoboczny na płaszczyźnie (jego brzegi wraz z wypełnieniem) wyznaczamy punkty będące środkami trzech jego boków, po czym usuwamy trójkąt zawierający się między tymi punktami. W ten sposób otrzymujemy trzy przystające trójkąty, których boki są równe połowie boku trójkąta początkowego. Następnie powtarzamy tą procedurę dla trzech "nowych" trójkątów, itd. Pierwsze kilka kroków konstrukcji przedstawia poniższa animacja: Można łatwo zauważyć punkty, które z pewnością należą do trójkąta Sierpińskiego - mianowicie boki wszystkich trójkątów powstałych przy jego konstrukcji. Bardzo wyraźnie widać tutaj samopodobieństwo obrazów z kolejnych kroków konstrukcji - każdy nowo powstały obraz składa się z trzech pomniejszonych o połowę kopii obrazu poprzedniego. Do galerii fraktali klasycznych Sierpiński dodał jeszcze tzw. dywan Sierpińskiego. Struktura taka powstaje w następujący sposób: dzielimy kwadrat na dziewięć części i usuwamy jego wnętrze (część środkowego). To samo robimy z pozostałymi ośmioma kwadratami, w kolejnym kroku - z pozostałymi sześćdziesięcioma czterema kwadratami itd. To co pozostanie po nieskończenie wielu krokach to właśnie dywan Sierpińskiego (po prawej). Charakteryzowany jest jako zbiór domknięty spójny, nigdzie gęsty, o polu równym zero.

Krzywa Kocha Helge von Koch 1870 - 1924 Figura, obecnie zwana płatkiem śniegu (rysunek na dole) to efekt wkładu do matematyki szwedzkiego matematyka Helge von Kocha. Płatek śniegu powstaje po połączeniu trzech odpowiednio odwróconych egzemplarzy krzywej Kocha. Krzywa ta powstaje w wyniku operacji, które są wykonywane na początku na tzw. inicjatorze (patrz animacja poniżej). Inicjator dzielimy na trzy równe części, po czym zamiast środkowej części wstawiamy trójkąt równoboczny - o boku równym długości jednej części - i usuwamy jego podstawę. W ten sposób powstała figura nosi nazwę generatora (krok pierwszy). Kolejne kroki konstrukcji polegają na tym, że każdy odcinek figury dzielimy na trzy części i zamiast części środkowej wstawiamy generator.   Płatek śniegu Używając języka matematycznego powiemy, że krzywa Kocha to granica ciągu łamanych linii. Jest ona ilustracją odkrycia dokonanego przez Karla Weierstrassa (1897), który opisał krzywą nie różniczkowalną, czyli taką, która nie posiada stycznej w żadnym punkcie. Własność ta wynika z faktu, iż omawiana krzywa w każdym punkcie ma załamanie.

Zbiory Julii Gaston Julia 1893 - 1978 Charakterystyczna maska, którą nosił Gaston Julia (rysunek obok) pojawiła się na jego twarzy po tym, jak walcząc jako francuski żołnierz został ciężko ranny w wyniku czego utracił nos. Jako naukowiec był osobą bardzo poważaną, choć przez pewien okres jego prace były zapomniane. Z pewnością jego nazwisko i odkrycia trwale wpisały się w karty historii po niezwykle ważnych eksperymentach Mandelbrota, które wykazały, iż prace Julii są źródłem jednych z najpiękniejszych znanych dziś fraktali. Zbiory Julii konstruuje się na płaszczyźnie zespolonej. Pierwsze powstały w wyniku przekształceń iteracyjnych wielomianu stopnia drugiego o postaci: Zn+1=Zn^2+C, gdzie Z przebiega po liczbach zespolonych zaś C jest zespolonym parametrem określającym wygląd zbioru. Kilka przykładów zbiorów Julii Konstruując zbiór Julii, na początek należy przyjąć jakąś wartość C oraz Zn. W kolejnych krokach iteracji otrzymamy:  krok 0:   Zn krok 1:   Zn ^2 + C krok 2:   (Zn ^2 +C)^2 + C krok 3:   ((Zn ^2 +C)^2 + C)^2+C krok 4:   (((Zn ^2 +C)^2 + C)^2+C)^2+C ...itd. Okazuje się, że w zależności od "punktu startu" możemy w wyniku iteracji otrzymać ciąg, który będzie bądź nieograniczony (jego elementy opuszczą każdy okrąg ze środkiem w centrum układu współrzędnych) bądź też będzie ograniczony (czyli taki, dla którego istnieje okrąg - o środku w centrum układu współrzędnych - jakiego elementy ciągu nigdy nie opuszczą). Zbiory takich "punktów startu" w obu przypadkach nazywa się odpowiednio zbiorem uciekinierów lub zbiorem więźniów. Oba te zbiory są niepuste i dopełniające się na płaszczyźnie zespolonej, zatem istnieje tylko jedna - wspólna - ich granica, którą właśnie nazywamy zbiorem Julii dla danego C. Jak wspomniałem, przedstawiony tu przykład dotyczy zbioru rzędu drugiego (gdyż iterujemy wielomian stopnia drugiego). Nie stoi jednak nic na przeszkodzie, by budować zbiory Julii wyższych rzędów. Istotną cechą zbioru Julii jest jego spójność. Matematycy spójność definiują jako stan, w którym istnieje łamana zawarta całkowicie w tym zbiorze i łącząca dwa dowolne jego punkty. Nietrudno się zorientować, że dla pewnych wartości (zespolonych) C odpowiadający jej zbiór Julii jest spójny, albo nie. Rozważania nad spójnością doprowadziły Mandelbrota do wygenerowania najbardziej znanego na świecie fraktala, nazwanego jego nazwiskiem.

Zbiór Mandelbrota Benoit Mandelbrot Urodzony w Polsce, w 1924r. Benoit Mandelbrot, pracujący początkowo we Francji, potem w USA, zainteresował się pracami Julii, jednak - jak podają źródła - matematyka jaką tam odnalazł nie przemawiała do niego. Obierając swoją drogę w efekcie otrzymał wyniki identyczne z odkryciem Julii. Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów C, dla których zbiór Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy użyciu techniki komputerowej. Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980r, a grafiki te bardzo szybko obiegły cały świat. Ciekawą własnością omawianego zbioru jest jego samopodobieństwo nie tylko do siebie samego, lecz również do odpowiadającemu mu zbiorowi Julii. Ponadto matematycy udowodnili wiele tak ciekawych jak zaawansowanych matematycznie teorii dotyczących tego sławnego fraktala. Nie oznacza to jednak, że nie pozostało już nic do zrobienia. Zdjęcia uzyskano przy pomocy programu komputerowego Ultra Fractal 2.04.

Wymiar Fraktalny Wymiar to jedna z najczęściej wymienianych liczbowych charakterystyk fraktali. Nie jest on jednak pojęciem prostym do zrozumienia, a dodatkowym utrudnieniem jest fakt, że matematycy podają kilka różnych definicji wymiaru: wymiar topologiczny wymiar Hausdorffa wymiar fraktalny wymiar samopodobieństwa wymiar korelacyjny wymiar pudełkowy wymiar pojemnościowy wymiar informacyjny wymiar Lyapunowa wymiar euklidesowy wymiar cyrklowy ... i wiele innych. Wszystkie one są ze sobą powiązane stwierdzeniem, mówiącym że są miarami samopodobieństwa, a równocześnie miarami skomplikowania (lub w konkretnym przykładzie - miarami chropowatości powierzchni). Jednakże niektóre z tych definicji charakteryzują wyłącznie geometryczne właściwości obiektu (np. definicja Hausdorffa), inne zaś opisują również gęstość rozkładu punktów na tym obiekcie (np. wymiar Lyapunowa), a więc pośrednio algorytm, za pomocą którego tworzy się ten obiekt. Z tego też powodu sensowność danej definicji ściśle zależy od warunków w jakich się ją stosuje. Poniżej pokrótce omówiono trzy z nich: wymiar samopodobieństwa, cyrklowy i pudełkowy. Są to szczególne przypadki wymiaru fraktalnego Mandelbrota, wywodzącego się z podstawowej pracy Hausdorffa z 1919 roku. Wielokątne przybliżenie wybrzeża Wielkiej Brytanii (skan ze źródła^[2]) Jednakże, zanim do nich przejdziemy przedstawię pewien eksperyment którego wynikiem będzie długość linii brzegowej Wielkiej Brytanii wyznaczona przy założonej dokładności. Bierzemy cyrkiel i rozstawiamy go na żądaną szerokość (w skali mapy). Następnie odmierzamy cyrklem długość wybrzeża licząc kroki cyrkla. Takie pomiary przeprowadzamy dla kilku rozstawień cyrkla, co przedstawia poniższa tabela.     Rozstawienie cyrkla [km] (w skali mapy) Długość [km] 500 100 54 17 2600 3800 5770 8640 Jak widać z powyższych wyników im mniejszy rozstaw cyrkla (dokładniejszy pomiar) tym zmierzona długość linii brzegowej jest większa. Można było się tego spodziewać, gdyż kształt wyspy formowany był przez lata aktywności tektonicznej (nie wspominając o postępującej erozji i sedymentacji osadów) czego rezultatem są liczne zatoczki różnej wielkości. Analogiczne rozumowanie można oczywiście przeprowadzić dla pomiaru powierzchni czy objętości. Taka metodyka daje nam nowe możliwości pomiaru krzywych, powierzchni czy brył o bardzo złożonej budowie, która sprawia, że tradycyjne sposoby pomiaru tracą sens. Istnieje wtedy sposób pomiaru stopnia złożoności przez ocenę tego, jak szybko wzrastają długość, powierzchnia czy objętość, jeśli pomiar dokonywany jest z coraz większą dokładnością. Podstawą jest tu założenie, że dwie wielkości - mierzona długość (powierzchnia, objętość) oraz stopień dokładności - nie zmieniają się w dowolny sposób, lecz związane są prawem, które pozwala nam wyznaczyć jedną wartość na podstawie drugiej. Mamy tu na myśli prawo potęgowe: które okazuje się być bardzo przydatne przy omawianiu pojęcia wymiar.   Wymiar samopodobieństwa zakłada on, że dla dowolnego obiektu samopodobnego istnieje następujący związek pomiędzy współczynnikiem redukcji s a liczbą części a, na które obiekt może być podzielony: lub zapis równoważny: gdzie D nazywamy wymiarem samopodobieństwa. Poniżej przedstawiono obliczenia dla kilku obiektów samopodobnych (tylko trzy ostatnie są fraktalami): Obiekt Skala s Części a Wymiar prosta kwadrat sześcian zbiór Cantora trójkąt Sierpińskiego dywan Sierpińskiego 1 / 3^k 1 / 3^k 1 / 3^k 1 / 3^k 1 / 2^k 1 / 3^k 3^k 9^k 27^k 2^k 3^k 8^k log3 / log3 = 1 log9 / log3 = 2 log27 / log3 = 3 log2 / log3 = 0,6309 log3 / log2 = 1,5850 log8 / log3 = 1,8928   Wymiar cyrklowy zwany wymiarem podziałkowym lub linijkowym D definiowany jest jako: gdzie d oznacza nachylenie (współczynnik kierunkowy) wykresu logarytmów, który wykazuje zależność całkowitej mierzonej długości u od wzrostu dokładności pomiaru 1/s, gdzie s to jednostka rozstawienia cyrkla. Zależność ta przedstawia się wzorem: Dla przytoczonego wcześniej przykładu - punkty na wykresie odpowiadające pomiarom linii brzegowej Wielkiej Brytanii znajdują się z grubsza na linii prostej, której wartość d wynosi ok. 0,3. Stąd też wymiar fraktalny (cyrklowy) długości wybrzeża UK wynosi ok. 1,3   Wymiar pudełkowy Pojęcie to związane jest z wymiarem samopodobieństwa i czasami daje takie same wartości liczbowe. Służy do charakteryzowania zupełnie dowolnej struktury, nie koniecznie samopodobnej. Umożliwia systematyczny pomiar na płaszczyźnie, który łatwo zaadoptować do struktur w przestrzeni trójwymiarowej. Wspomniany pomiar polega na nakryciu interesującego nas obiektu zbiorem kostek (kwadratów w przypadku płaszczyzny, sześcianów w przypadku przestrzeni trójwymiarowej) o bokach równych ε i zwyczajnie zliczamy kostki, które zawierają fragmenty badanego obiektu. Otrzymana ilość N1 kostek takiego zliczania ściśle zależy od długości boku pojedynczej kostki ε, stąd oznaczmy ten wynik jako N1(ε). W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo ε otrzymując tym samym nowe wyniki N2, N3 itd. Następnie sporządzamy wykres określony zależnością: po czym do otrzymanych punktów dopasowujemy prostą i mierzymy jej nachylenie D. Otrzymana wartość D to właśnie wymiar pudełkowy. Powracając raz jeszcze do klasycznego przykładu wybrzeża Wielkiej Brytanii - pokrywając jej mapę dwiema siatkami o różnej wielkości oczek i zliczając dla każdej z nich oczka przecinające linię brzegową oraz postępując dalej według wyżej opisanego algorytmu, otrzymamy współczynnik kierunkowy prostej d = 1,31 co zgadza się z rezultatem otrzymanym jako wymiar cyrklowy.

Podsumowanie

Jeszcze tylko jeden fakt na temat samych fraktali: słowo "fraktal" pochodzi od łacińskiego frangere, co oznacza "łamać".
Zapewne w tym miejscu ktoś zapyta: "Co to jest fraktal?". Niestety, odpowiedzi na to pytanie było wiele, jednak żadna nie została jednogłośnie nazwana "definicją". Może jest to spowodowane stosunkowo bardzo młodym wiekiem tego hasła?

Według źródeł, ponoć najczęściej powtarzana jest definicja Mandelbrota:

"fraktalem nazywamy taki zbiór, którego wymiar topologiczny jest różny (mniejszy) od wymiaru Hausdorffa"

My natomiast skupimy się na nieco prostszym rozumieniu fraktali i powiemy, że fraktal to obiekt samopodobny, o wymiarze ułamkowym.

Choć zrozumienie świata fraktali nie jest sprawą łatwą (o czym jeszcze dokładniej się przekonamy w rozdziale poświęconym chaosowi), to cieszą się one sporym zainteresowaniem. Pomijając zastosowanie ich teorii w różnych dziedzinach życia, niech wyjaśnieniem tego - w pewnym sensie - paradoksu staną się słowa Jacka Kudrewicza, autora książki "Fraktale i chaos":

"Przypuszczalnie najważniejszym powodem jest to, że niektóre fraktale są bardzo ładne i sprawiają wiele radości tym, którzy je oglądają"

http://zasoby1.open.agh.edu.pl/dydaktyka/matematyka/c_fraktale_i_chaos/fraktale.php?rozdzial=9