Fraktal

(łac. fractus - złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samo-
podobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo "nieskończenie subtelny"
(ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu). Ze względu na olbrzymią
różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują
określać fraktal jako zbiór, który:

ma nietrywialną strukturę w każdej skali,

struktura ta nie

daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,

jest samo-

podobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,

jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny,

ma względnie prostą definicję rekurencyjną,

ma naturalny ("poszarpany", "kłębiasty" itp.) wygląd.

Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo
przynajmniej ich większość (zob. Falconer (1997)). Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest
formalnie samo-

podobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za

fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego
wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal.

Chaos

Chaos deterministyczny

Zachowaniem wielu układów fizycznych rządzą deterministyczne prawa fizyczne zapisane

matematycznie w postaci równań różniczkowych lub różnicowych np. równania ruchu wynikające

z drugiej zasady dynamiki Newtona, równania kinetyki reakcji chemicznych itp. Oznacza to, że

jeśli znamy stan układu w wybranej chwili początkowej oraz równania opisujące dynamikę układu,

powinniśmy być w stanie jednoznacznie przewidzieć bieg zdarzeń, w zasadzie dla dowolnej chwili

czasu w przyszłości, podobnie znana powinna być też przeszłość badanego układu. Taki pogląd

zwany absolutnym determinizmem lub redukcjonizmem królował w XIX w. Uważano wówczas

Wszechświat za ogromny mechanizm taki jak np. zegar, tyle, że oczywiście znacznie bardziej

skomplikowany. Zachowanie odwiecznie zmieniającego się Wszechświata miało być, więc

całkowicie przewidywalne – można je zredukować do ewolucji pewnych warunków początkowych

pod działaniem niezmiennych praw fizyki. Wszystko można dokładnie obliczyć, jedyną trudność

może tylko stanowić określenie stanu układu (warunków początkowych) oraz rozwiązanie

skomplikowanych równań dynamiki układu. Są to trudności niebagatelne – np. w każdym cm3

pokoju znajduje się ok. 1018 cząsteczek powietrza, doznających ok. 1027 zderzeń w każdej
sekundzie. Aby określić stan ruchu 1 cząstki traktowanej jak punkt materialny potrzebujemy

podać zbiór 6 liczb, dla oznaczenia współrzędnych jej położenia i prędkości (pędu), dla N cząstek

daje to 6N niezależnych danych. W naszym przykładzie N=1018! W tym wypadku trudność polega

na konieczności zgromadzenia niewyobrażalnie dużej ilości informacji wejściowych i rozwiązania

tyluż równań ruchu – a więc mamy do czynienia z ogromną złożonością przetwarzania informacji.

Pamiętajmy w tym miejscu, że dzisiejsi specjaliści od modelowania dynamiki molekularnej, z

dostępem do najszybszych superkomputerów, są w stanie symulować ruch jakichś 105

cząstek i to w dodatku tylko w przybliżeniu. Przekorny determinista mógłby się jednak upierać, że
wszystko to są przejściowe ograniczenia praktyczne, nie sięgające istoty rzeczy, bo w zasadzie

hipotetycznie nic nie stoi na przeszkodzie, aby można było każdy ruch obliczyć dokładnie, a więc

przewidzieć. Tymczasem okazuje się, że tak nie jest i to przynajmniej z dwóch różnych powodów.

1. Pierwszy wiąże się z faktem, że właściwą teorią podstawową ruchu ciał fizycznych nie jest

mechanika klasyczna (newtonowska) lecz mechanika kwantowa. Zawarta jest w niej zasada

nieoznaczoności, która ogranicza dokładność, z jaką możemy jednocześnie określić położenie

i pęd cząstki. Kiedy próbujemy wyznaczyć jedną z tych wielkości dokładnie, druga staje się

coraz bardziej niepewna. To wzajemne powiązanie położenia i pędu pozwala na jedynie

probabilistyczne przewidywanie przyszłości obiektów mikroskopowych tzn. w skali

atomów, cząsteczek i jeszcze mniejszych obiektów. W większych skalach „świata średnich

i dużych rozmiarów”, a więc w świecie znanym z codziennego, dla wszystkich praktycznych

celów obowiązują prawa mechaniki klasycznej. Kwantową nieoznaczoność w świecie

makroskopowym możemy zaniedbać, niemniej jednak powinniśmy być świadomi jej istnienia.

2. Drugim powodem jest nieprzewidywalność makroskopowa zwana chaosem

deterministycznym, pojawiająca się w układach makroskopowych, niejednokrotnie bardzo

prostych, których dynamikę opisują deterministyczne prawa fizyczne. Tego rodzaju

zachowania nie należy mylić z mikroskopowym nieporządkiem cieplnym (np. ruchami Browna).

Jak jednak układ może być deterministyczny, a równocześnie zachowywać się

chaotycznie (w sposób nieprzewidywalny)? Czy nie są to wyrażenia sprzeczne ze sobą. Otóż

okazuje się, że nie. Istota chaosu deterministycznego tkwi we wrażliwości układu na warunki

początkowe. Jak wielokrotnie mówiliśmy, prawa deterministyczne dają nam przepis, dzięki

któremu dany zestaw warunków początkowych prowadzi do jednoznacznego, możliwego do

obliczenia, stanu układu w dowolnej przyszłej chwili czasu. W domyśle zakładamy jednak, że

warunki początkowe są dane z nieograniczoną dokładnością, lub jak kto woli, z dokładnością do

nieskończenie dużej liczby cyfr dziesiętnych. Jest to jednak ideał nieosiągalny - błędy i

niepewności pomiarowe są przecież wszechobecne, a więc warunki początkowe znamy zawsze

tylko w przybliżeniu.

Jeśli podczas ewolucji układu błędy związane z niepewnością warunków początkowych nie

narastają w czasie, mówimy, że układ zachowuje się w sposób regularny i przewidywalny.

Jednak prawa deterministyczne nie dają gwarancji regularnego zachowania układu. Zdarza się,

że początkowe błędy rosną z czasem (i to w dodatku wykładniczo), wówczas układ ma charakter
Chaos chaotyczny i długofalowe przewidywanie jego ewolucji staje się niemożliwe. Często nazywa się
to obrazowo efektem motyla.

W 1963 roku meteorolog N.E. Lorenz badał stosunkowo prosty układ trzech sprzężonych

nieliniowych równań różniczkowych, opisujący (w przybliżeniu) ruch powietrza w ziemskiej

atmosferze, a więc pośrednio zagadnienia prognozowania pogody. Jak zauważył, wyniki

długoczasowych obliczeń numerycznych były niesłychanie czułe na warunki początkowe, do tego

stopnia, że np. machnięcie skrzydeł motyla w Brazylii mogło stać się przyczyną tornada w

Teksasie. Nie wierzcie długoterminowym prognozom pogody!

Czy można uściślić i matematycznie opisać pojęcie wrażliwości na warunki początkowe? Jak

mówiliśmy, stan układu dynamicznego można dogodnie przedstawić w postaci punktu w

abstrakcyjnej przestrzeni fazowej (zwanej też inaczej przestrzenią stanów). Natura i wymiar

przestrzeni fazowej zależy oczywiście od rodzaju badanego układu. Tak więc np. dla układów

mechanicznych współrzędnymi punktu w przestrzeni fazowej będą liczby określające położenia i

pędy wszystkich cząstek tworzących układ (dla N cząstek swobodnych będzie to przestrzeń 6N

wymiarowa), w przypadku reakcji chemicznej współrzędnymi punktu w przestrzeni fazowej będą

stężenia poszczególnych reagentów np. dla reakcji C B A Æ

¨ + - przestrzeń fazowa jest 3

wymiarowa. Ewolucja czasowa układu opisywana jest jako trajektoria punktu w przestrzeni

fazowej. W języku przestrzeni fazowej niewielka zmiana warunków początkowych sprowadza się

do puszczenia układu w ruch z dwóch sąsiadujących ze sobą punktów prze strzeni stanów. Dla

układu regularnego trajektorie punktów przestrzeni fazowej sąsiadujących ze sobą w chwili

początkowej będą przebiegały blisko siebie również w dowolnej chwili przyszłości, natomiast

charakterystyczną cechą układów chaotycznych jest to, że dowolne trajektorie startujące z

bliskich sobie punktów przestrzeni fazowej rozbiegają się, przy czym odległość pomiędzy nimi

rośnie wykładniczo jak ) exp( t l . Parametr , zwany wykładnikiem Lapunowa, jest miarą

szybkości rozbiegania się (lub zbiegania dla <0) trajektorii w przestrzeni stanów oraz

wrażliwości układu na warunki początkowe.

Czy można przewidzieć (np. na podstawie postaci równań różniczkowych opisujących

ewolucję układu) czy w danym układzie będzie występował chaos deterministyczny? Tak. Z

matematycznego punktu widzenia, wszystkie nieliniowe układy dynamiczne o więcej niż dwóch

stopniach swobody mogą przejawiać chaos. Podstawowym warunkiem koniecznym (ale nie

wystarczającym) do pojawienia się chaosu jest więc nieliniowość równań opisujących

dynamikę układu. Z drugiej strony chaos nie pojawia się jeśli istnieje możliwość podania

rozwiązania analitycznego równań ewolucji układu dla dowolnej chwili czasu. Nieliniowe równania

ewolucji układu rozwiązujemy numerycznie, krok po kroku, od stanu początkowego, do wybranej

chwili końcowej. Tylko w takich warunkach może uwidocznić się wrażliwość na warunki

początkowe.

Można odnieść wrażenie, że konieczna dla chaosu wrażliwość na warunki początkowe

wymaga szczególnego dopasowania parametrów równania, co w przyrodzie może zdarzyć się

wyjątkowo i przypadkowo. Czyniłoby to z chaosu ciekawostkę, osobliwość rzadko mogącą

występować w świecie fizycznym, niewartą zainteresowania. Takie wyobrażenie jest jednak

nieprawdziwe. W ostatnich latach stało się jasne, że zjawisko chaosu deterministycznego

występuje powszechnie w przyrodzie i pociąga za sobą daleko idące konsekwencje w wielu

dziedzinach nauki. A oto przykłady układów wykazujących zachowania typowe dla chaosu

deterministycznego: wahadło z siłą wymuszającą, płyny w pobliżu progu turbulencji, lasery,

nieliniowe urządzenia optyczne, reakcje chemiczne, klasyczne układy wielu ciał (już np.

zagadnienie 3 ciał), akceleratory cząstek, biologiczne modele populacji, sygnały EKG pacjentów z

arytmią serca i EEG osób cierpiących na epilepsję, makroskopowe fluktuacje cen towarów i akcji.

Niemal każdy rzeczywisty układ dynamiczny, odpowiednio napędzany, okazuje się chaotyczny.

Omówimy teraz (bardzo krótko) typy układów mechanicznych wykazujących chaos

deterministyczny oraz możliwe drogi (albo scenariusze) dochodzenia układów nieliniowych do

chaosu przy zmianie parametru kontrolnego. Wszystkie te scenariusze można zrealizować

doświadczalnie. Zauważmy przy tym, że przejście do chaosu w układach dyssypatywnych ma

miejsce jedynie wtedy gdy układ jest pobudzany z zewnątrz (np. poprzez mieszanie,

pompowanie, ogrzewanie, uderzanie). Takie układy nazywamy otwartymi. Chaos

Pierwsza z dróg dochodzenia chaosu zwana jest drogą bifurkacji, albo podwajania okresu.

Zilustrujmy ją prostym przykładem cieknącego kranu. Wszystko czego potrzeba do naszego

eksperymentu to cieknący kran oraz urządzenie do pomiaru odstępu czasu pomiędzy kolejnymi

kroplami (ponieważ może zachodzić konieczność pomiaru odstępów czasu rzędu mili- lub nawet

mikrosekund należałoby użyć detektorów innych niż tylko nasze oczy i uszy, najodpowiedniejsze

wydaje się użycie fotodiody rejestrującej przerwanie wiązki światła przez padającą kroplę i

rejestracja uzyskanych danych przy pomocy komputera. Parametrem kontrolnym, stopniowo

zwiększanym podczas doświadczenia, będzie natężenie przepływu cieczy. Przy dostatecznie

małym natężeniu przepływu kran cieknie z monotonną powtarzalnością – kap, kap, kap, ...(rys.)

Kolejne krople spadają w równych odstępach czasu, powiedzmy T0. W miarę wzrostu natężenia

przepływu odstęp czasu T0 staje się oczywiście coraz krótszy, jednak sposób kapania pozostaje

niezmieniony, aż do momentu przekroczenia pewnego progowego natężenia przepływu. Po

przekroczeniu progu charakter kapania zmienia się – słyszymy kap-kap, kap-kap, kap-kap

...Odstępy między kroplami stają się nierówne – mamy krótki odstęp T1 na przemian z długim T2,

tworzące regularny ciąg T1,T2,T1,T2,... Mówimy, że okres kapania podwoił się (uległ bifurkacji).

Ten nowy sposób kapania utrzymuje się do kolejnego progowego natężenia przepływu, któremu

towarzyszy kolejna niestabilność i kolejne podwojenie okresu – każdy z odstępów T1 i T2 bifurkuje

na 2 nierówne odstępy, co prowadzi do wzoru T3,T4,T5,T6, T3,T4,T5,T6...Ta tendencja utrzymuje

się – przy n-tej bifurkacji mamy 2n

różnych odstępów czasu. Kolejne bifurkacje pojawiają się

coraz szybciej, aż wreszcie dla pewnej krytycznej wartości natężenia przepływu • Æ n . Okres

staje się równy

• 2 czyli nieskończony – sposób kapania nigdy się nie powtarza – staje się

aperiodyczny. I to jest chaos. Odkryliśmy w ten sposób przejście układu do chaosu drogą

bifurkacji.

Drugi scenariusz przejścia do chaosu nazwany został scenariuszem intermitencji (czyli

przerywania). Oznacza to, że sygnał zachowujący się regularnie (albo przepływ laminarny) w

czasie przerywany jest raptownie przez wybuchy intermitencji, czyli przypadkowo rozłożone

okresy ruchu nieregularnego (lub przepływu turbulentnego czyli burzliwego). Wraz ze wzrostem

wartości parametru kontrolnego układu wzrasta liczba wybuchów intermitencji, aż do momentu,

gdy ruch układu staje się całkowicie chaotyczny. Tego rodzaju scenariusz bywa obserwowany w

doświadczeniu Benarda. W eksperymencie tym warstwa cieczy (o dodatnim współczynniku

rozszerzalności objętościowej) ogrzewana jest od dołu w polu grawitacyjnym. Parametrem

kontrolnym układu jest liczba Rayleigha, proporcjonalna do różnicy temperatur pomiędzy dolna i

górną warstwą cieczy. Płyn o wyższej temperaturze (a zatem mniejszej gęstości) znajdujący się

przy dnie „chce” unieść się do góry, a chłodniejszy płyn w górnej warstwie cieczy „chce” opaść na

dół. Tej tendencji przeciwstawiają się jednak siły lepkości. Przy małej różnicy temperatur

T D lepkość przeważa – płyn pozostaje w spoczynku, a ciepło przenoszone jest wyłącznie drogą

przewodnictwa. Przy pewnej progowej wartości T D pojawia się stacjonarny stan tzw. rolek

konwekcyjnych. Przy dalszym ogrzewaniu, powyżej drugiej wartości progowej T D , obracające się

rolki konwekcyjne stają się niestabilne, pojawiają się coraz bardziej złożone postacie przepływu,

aż do ruchu całkowicie turbulentnego.

Ostatnim dość dobrze poznaną drogą przejścia układów dyssypatywnych do chaosu jest

dziwny atraktor. O ile w scenariuszu bifurkacji ruch chaotyczny pojawiał się w wyniku

nieskończonego ciągu niestabilności, w tym wypadku już po dwóch niestabilnościach, przy

pojawieniu się trzeciej, trajektorie w przestrzeni fazowej zaczynają być przyciągane przez

ograniczony obszar przestrzeni fazowej, w którym ruch staje się chaotyczny (jest to tzw. dziwny

atraktor). Tego rodzaju przejście również było obserwowane w doświadczeniach Benarda.