WITOLD SADOWSKI WOJENNE (PO)RACHUNKI Artykuł pochodzi z "Wiedzy i Życia" nr 12/2001 Wiele bitew można byłoby rozstrzygnąć na kartce, gdyby tylko generałowie znali rachunek różniczkowy. Podobnie jak wielu poetom wydaje się, że wszystko jest poezją, tak wielu matematyków uważa, że wszystko jest matematyką. Biorą się stąd zazwyczaj pomysły tyleż efektowne, co karkołomne, jak choćby ten Laplace'a i Poissona, by rachunek prawdopodobieństwa stosować w sądownictwie przy ocenie szans sprawiedliwego wyroku. Tymczasem "zimna" matematyka wydaje się zupełnie obca ludzkim namiętnościom. Sądził tak pewnie Pan Cogito, skoro niepokoił go problem z dziedziny matematyki stosowanej: trudności na jakie napotykamy przy prostych operacjach arytmetycznych (...) ilu Greków zginęło pod Troją - nie wiemy podać dokładne straty po obu stronach w bitwie pod Gaugamelą Azincourt Lipskiem Kutnem Problem nie leży jednak po stronie matematyki. Ta bowiem dostarcza narzędzi nie tylko do zliczania ofiar, ale nawet do przewidywania, ile ich będzie. To nie żarty. Na początku XX wieku Frederick William Lanchester, brytyjski konstruktor i wynalazca, zaproponował matematyczny model bitwy. Model ten oparty został na niezbyt wyrafinowanej obserwacji, że straty jednej armii są proporcjonalne do liczby żołnierzy armii przeciwnej. Współczynnik proporcjonalności zależy oczywiście od wyposażenia wrogiej armii, jej morale czy też sprawności fizycznej żołnierzy i umysłowej dowódców, trudno go zatem określić bez wcześniejszych eksperymentów. Nie wdając się w szczegóły, poczyniona uwaga prowadzi nas do najprostszej wersji układu równań zaproponowanego przez Lanchestera: Straty armii A = (współczynnik mocy armii B) X (liczba żołnierzy armii B) Straty armii B = (współczynnik mocy armii A) X (liczba żołnierzy armii A) Przyjmiemy, że straty armii liczone są w żołnierzach na godzinę (jest to zatem raczej tempo strat). Ściśle rzecz biorąc, należałoby pomiaru strat dokonywać w każdej chwili, czyli określać, jak zmienia się stan armii w "nieskończenie krótkim" przedziale czasu, ale tu darujemy sobie tę wyrafinowaną precyzję. Podany układ równań opisuje starcie dwóch regularnych armii. Walkę armii z partyzantką lepiej opisują, zdaniem Lanchestera, nieco inne równania: Straty armii = (współczynnik mocy partyzantów) X (liczba partyzantów) Straty partyzantów = (współczynnik mocy armii) X (liczba żołnierzy armii) Ą (liczba partyzantów) Jak widać, różnica pojawia się w drugim równaniu. Wynika ona z tego, że armia nie widzi partyzantów, wobec czego zmuszona jest strzelać na oślep po leśnych kniejach i im więcej w tych kniejach ukrywa się partyzantów, tym więcej ich ginie. Lanchester posługiwał się nieco bardziej skomplikowanymi równaniami, w których uwzględniono także napływ posiłków w czasie bitwy, ale analiza takiego układu równań staje się dużo trudniejsza, więc ograniczymy się do zbadania tylko pierwszego z wypisanych wyżej układów równań. Pojawiają się rozmaite pytania. Co decyduje o wyniku walki: liczba żołnierzy czy ich "współczynnik mocy"? Ile wojska należy zgromadzić, by znając moc swojej armii i armii przeciwnej oraz liczebność wojsk, być pewnym, że odniesie się zwycięstwo? Kiedy walka zakończy się "remisem", czyli wybiciem obu wojsk do nogi? Przypuśćmy, że na początku armia A liczy tysiąc żołnierzy o współczynniku mocy 0,1/godzinę, natomiast armia B jest wprawdzie dwa razy mniej liczna (500 osób), ale jej wojacy są "w dwójnasób zażarci" (współczynnik waleczności 0,2/godzinę). Kto wygra? Dokonajmy przybliżonych obliczeń. Po godzinie: liczba żołnierzy armii A = 1000 - 0,2 X 500 = 1000 - 100 = 900 liczba żołnierzy armii B = 500 - 0,1 X 1000 = 500 - 100 = 400 Po dwóch godzinach: liczba żołnierzy armii A = 900 - 0,2 X 400 = 900 - 80 = 820 liczba żołnierzy armii B = 400 - 0,1 X 900 = 400 - 90 = 310 Kontynuując te rachunki, możemy oszacować stan obu armii w miarę upływu czasu. I tak po czterech godzinach w armii A walczyć będzie jeszcze 713 osób, kontra 152 w B. Po pięciu godzinach 683 w A i 80 w B, po sześciu 667 w A i 13 w B. W siódmej godzinie starcia przy życiu nie zostanie nikt z armii B. Jak widać, duże zdolności mordercze armii B nie uchroniły jej od klęski. Po siedmiogodzinnym starciu w pierwszej armii nie zginęła nawet połowa wojowników, podczas gdy druga armia wybita została do nogi. Nec Hercules contra plures - wiedzieli to już starożytni, a dwudziestowieczny model Lanchestera przyniósł tylko tego matematyczny dowód... Nie jest co prawda znany żaden generał, który stosując model Lanchestera, odnosiłby swoje zwycięstwa, ale niektórzy matematycy (np. M. Braun w "Differential Equations and Their Applications") pokusili się o przeprowadzenie niezbędnych obliczeń dla stoczonych dawniej kilkudniowych walk. Wyniki teoretyczne pokryły się dość dobrze z rzeczywistym przebiegiem bitew, co sugeruje, że model Lanchestera nie jest tylko matematyczną igraszką. Warto chyba przypomnieć ten wynik w dzisiejszych niespokojnych czasach. O ileż przyjemniej wyglądałyby wojny toczone przez generałów świadomych mocy matematyki: najpierw rycerski pojedynek reprezentantów armii celem wyznaczenia stosunku ich waleczności. Potem pomiar sił obu stron (o, pardon, ten punkt zawczasu wykonali z pewnością szpiedzy). Następnie krótkie obliczenia dokonane za pomocą kalkulatorów, oszacowanie wyniku i ogłoszenie zwycięzcy. Za zaoszczędzone pieniądze obie strony mogłyby w przyjaźni udać się na piwo... Matematyka generalska, czyli armia stale pod kontrolą Stan personalny armii możemy przedstawić jako punkt w układzie współrzędnych, na którego osiach zaznaczymy liczebność obu stron (rysunek). Przeprowadzając stałą kontrolę stanu obu armii (a nie - jak w artykule - wyrywkowe sprawdzenie co godzinę) i zaznaczając wyniki na wykresie, przekonamy się, że układają się one na kształt pewnej krzywej. Nieco bardziej złożone rozważania (przy użyciu rachunku różniczkowego) doprowadzają do wniosku, że jest to hiperbola o równaniu: by^2 - ax^2 = by0^2 - ax0^2 W równaniu tym y oznacza liczbę żołnierzy armii B, x - armii A, x0 - początkową liczbę żołnierzy armii B, y0  - początkową liczbę żołnierzy armii A, a - współczynnik mocy armii A, b - współczynnik mocy armii B. Przy ustalonym stosunku a/b możemy rysować wykresy dla rozmaitych danych początkowych x0, y0. Uzyskamy wtedy rodzinę hiperbol oddzielonych prostą. Prosta ta reprezentuje oczywiście najbardziej tragiczny przypadek, w którym giną wszyscy uczestnicy starcia. Ma ona równanie y = (a/b)x (czarna kreska na rysunku) i oddziela dwa obszary: w jednym z nich początkowy stan wojsk armii A i B jest taki, że starcie skończy się zwycięstwem armii A, w drugim obszarze - na odwrót. Sprytnemu dowódcy nie pozostane zatem nic innego, jak tylko upewnić się, że zgromadzone przez niego wojsko jest na tyle liczne, iż zapewnia mu pożądane rozstrzygnięcie. Trzeba jednak najpierw poznać stosunek współczynników mocy a/b i w tym tkwi główny kłopot w stosowaniu modelu Lanchestera. Skuteczność armii zależy bowiem nie tylko od niej samej, ale i od wroga, co więcej - zmienia się w zależności od przeciwnika. Dlatego, aby rozsądnie skorzystać z modelu matematycznego, trzeba użyć go w sytuacji przeciągającego się starcia. W ten sposób można po pierwszych godzinach ocenić wartość a/b, a następnie odpowiednio manewrując napływem rezerw, odnieść ostateczne zwycięstwo. WITOLD SADOWSKI jest doktorantem na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego oraz redaktorem działu matematycznego w miesięczniku Delta.