Pole magnetyczne
Tadeusz Paszkiewicz
Katedra Fizyki
Politechniki Rzeszowskiej
Halliday, Resnick, Walker
Podstawy Fizyki
tom 3, rozdz. 29
Pole magnetyczne
Paul Adrien Maurice Dirac
1902-1984
nagroda Nobla w 1933 r.
Jak dotÄ…d nie odkryto monopolu 
czÄ…stki o pojedynczym biegunie
magnetycznym. Istnienie takiej
cząstki przewidział w 1931 r. Paul
Dirac  angielski fizyk. Byłaby to
czÄ…stka podobna do czÄ…stek
naładowanych, niosąca  ładunek
magnetyczny . Monopol
magnetyczny powinien mieć bardzo
du\
Ä… masÄ™ 0,2 g (masa protonu
równa jest 1,6726×10-24 g).
NatÄ™\
enie pola elektrycznego
w dowolnym punkcie przestrzeni
Punktowy ładunek q znajdujący się w początku układu
współrzędnych wytwarza w ka\
dym punkcie przestrzeni pole
er
elektryczne. jest wektorem jednostkowym skierowanym
r
wzdłu\
wektora . NatÄ™\
enie E(r) pola elektrycznego w
r
dowolnym punkcie przestrzeni równe jest:
1 q
Ć
E r = r .
( )
4Ä„µ0 r2
qpr
Ć
r
F = qprE
q
r
Obserwacja
- Pole elektryczne Å‚adunku punktowego
zale\
y od wektora wodzÄ…cego punktu, a
więc nie jest jednorodne przestrzennie.
- Nie wyró\
nia ono kierunku w przestrzeni
 jest izotropowe.
Określenie wektora
B
Poniewa\
czÄ…stki nie posiadajÄ…  Å‚adunku
magnetycznego , więc nie mo\
na
wprowadzić wektora charakteryzującego
natÄ™\
enie pola magnetycznego w taki
sposób, w jaki wprowadziliśmy natę\
enie
pola elektrycznego.
Aby wprowadzić wektor indukcji magnety-
cznej nale\
y rozpatrzyć naładowaną
cząstkę w ruchu. Wtedy działa nań siła
Lorentza.
Aby wprowadzić wektor indukcji magnety-
cznej nale\
y rozpatrzyć naładowaną cząstkę
w ruchu. Wtedy działa nań siła Lorentza.
Hendrik Antoon Lorentz
1853-1928 (Holandia)
Siła Lorentza
Na cząstkę o ładunku q, poruszającą się z prędkością
w polu magnetycznym charakteryzowanym przy
v
pomocy wektora indukcji magnetycznej działa siła
B
, której wielkość i kierunek określa wzór:
FB
FB = q v × B .
( )
FB
Siła nazywa się siłą Lorentza. Siłę Lorentza
określa iloczyn wektorowy wektora prędkości
i wektora indukcji magnetycznej.
Iloczyn wektorowy
Rozpatrzymy iloczyn wektorowy wektorów
A i B .
A×B jest wektorem prostopadÅ‚ym do pÅ‚aszczyzny,
w której le\
ą wektory . Jego zwrot określa
A i B
reguła  śruby prawoskrętnej
Nakładamy wektor A na wektor przez
B
mniejszy kąt (Ć). Wektor ma zwrot
A×B
A×B
zgodny z ruchem śruby prawoskrętnej.
A× B
×
×
×
Długość wektora
A × B:
B
Ć
a"
A × B = A B sinĆ ABsinĆ.
×
×
×
A
Reguła prawej ręki
Rys. 5 a) Reguła prawej dłoni: kierunek wektora określa kierunek
v × B
B
kciuka, je\
eli obracamy wektor w stronę wektora o mniejszy kąt Ć
v
pomiędzy tymi wektorami. b) Je\
eli ładunek q jest dodatni, to kierunek siły
Lorentza jest zgodny z iloczynem . c) Je\
eli Å‚adunek q jest ujemny, to
v×B
kierunek tej siły jest przeciwny do iloczynu . Rysunek zaczerpnięty z
v×B
Aneksu Internetowego Wydawnictwa Naukowego PWN, do 3 tomu
Podstaw Fizyki, D. Hallidaya, R. Resnicka i J. Walkera.
A× B
×
×
×
Składowe wektora
( )
A× B = AyBz - AzBy; A× B = AzBx - AxBz;
× ×
× ×
× ×
( ) ( )
x y
A× B = AxBy - AyBx .
×
×
×
( )
z
Aby znalez
ć składowe wektora indukcji magnetycznej
nale\
y rozwiązać układ równań:
0Bx - vyBz + vzBy = q-1Fx ,
ëÅ‚ öÅ‚ëÅ‚ öÅ‚
0 -vz vy Bx Fx
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ìÅ‚
vzBx + 0By - vxBz = q-1Fy ,
vz 0 -vx ÷Å‚ìÅ‚ By ÷Å‚ = q-1 ìÅ‚ Fy ÷Å‚ .
ìÅ‚
÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚-vy vy ÷Å‚ìÅ‚ Bz ÷Å‚
0 Fz
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚íÅ‚ Å‚Å‚
-vyBx + vxBy + 0Bz = q-1Fz .
FB = q v×B
Siła Lorentza
( )
Je\
eli znamy ładunek q i wektor prędkości
v
i zmierzymy wektor siły działającej na cząstkę, to
mo\
emy określić wektor indukcji magnetycznej .
B
Jego wielkość jest równa
FB
B = .
q vsinĆ
Spełnione są związki:
v × B = -B× v; B Å" B× v = v Å" B× B = 0.
× × × ×
× × × ×
× × × ×
( ) ( )
B× FB = q v × Å‚ Ò! B×FB = 0.
× × Å‚ ×
× × Å‚ ×
× × Å‚ ×
( )
Wektor indukcji magnetycznej jest Ą" do wektora siły
Lorentza.
Siła Lorentza jest prostopadła
do wektora prędkości cząstki
v× FB = q v × Å‚ Ò! v ×FB = 0.
× × Å‚ ×
× × Å‚ ×
× × Å‚ ×
( )
Siła Lorentza nie wykonuje pracy
Twierdzenie: Praca W12 wykonana na drodze
S12 łączącej punkty P1 i P2 równa jest 0.
dsi = v(ti )dt
ds1 = v(t1)dt
P2
P1
n n
W12 =
"F(v )dsi = "F(v ) vidt = 0
i i
i=1 i=1
0
Siła Lorentza nie wykonuje pracy
n
W12 =
"F(v )dsi = 0.
i
i=1
n
P2
W12 = lim ds Å"FB = 0.
"F(v )dsi =
i
+"
P1
n"
i=1
Siła Lorentza wywołuje
ruch naładowanej cząstki po okręgu
v
Wektor prędkości cząstki jest stale prostopadły
do wektora indukcji magnetycznej , który jest
B
jednocześnie prostopadły do toru cząstki. Zatem
naładowana cząstka musi się poruszać po okręgu.
Siła Lorentza jest skierowana wzdłu\
promienia do
środka okręgu.
Ta własność ruchu cząstek naładowanych wyko-
rzystywana jest w spektrografach masowych,
cyklotronach, itd.
Warunek równowagi
siła Lorentza = siła odśrodkowa
FL = Fo
v
Fo
"
qvB=mv2/r
FL
mv
promień orbity r =
qB
"
Wektor jest prostopadły do płaszczyzny rysunku
B
Jednostki indukcji pola
magnetycznego
Jednostka B:
B = FB / q vsinĆ .
( )
FB(N)
.
q(C) v(m/s)sinĆ
N N N niuton
= = = a"
C
C× m/s A× m amper×metr
× m
s
a"1T (tesla) = 104 G (gauss).
Nikola Tesla 1856-1943
chorwacki wynalazca
 Nauka jest jedynie perwersjÄ…, je\
eli jej zasadniczym
celem nie jest dobro ludzkości.
Nikolai Tesla
w swoim
laboratorium
w Colorado
Springs
1889 r.
Przybli\
one wartości
indukcji magnetycznej
Na powierzchni gwiazdy neutronowej 108 T
W pobli\
u magnesu 20 T
nadprzewodnikowego
W pobli\
u du\
ego elektromagnesu 1,5 T
W pobli\
u małego magnesu 10-2 T
sztabkowego
Na powierzchni Ziemi 10-4 T
W przestrzeni międzygwiezdnej 10-10 T
Najmniejsza wartość w pomieszczeniu 10-14 T
ekranowanym magnetycznie
Linie sił pola magnetycznego.
Definicja
Kierunek stycznej do linii sił pola magnetycznego
w danym punkcie jest kierunkiem wektora indukcji
magnetycznej w tym punkcie.
B
Odległość pomiędzy sąsiednimi liniami
odpowiada stałej wartości zmiany wielkości
wektora indukcji magnetycznej B.
Linie sił pola magnetycznego
Magnes w
postaci litery C.
Między
biegunami pole
jest niemal
Magnes sztabkowy
jednorodne
Linie sił pola
magnesu sztabkowego
Linie sił pola magnetycznego
Magnesy zorientowane
Magnesy zorientowane
przeciwnie
jednakowo
Równanie ruchu elektronów
przewodnictwa w skrzy\
owanych polach
elektrycznym i magnetycznym
d p(t) / dt = f (t) - p(t) / Ä
W równaniu nale\
y do
siły dodać wyraz związany z polem
f = -eE
magnetycznym, a więc pęd spełnia równanie
ró\
niczkowe:
d p p
e
= - - eE - p × B .
×
×
×
dt Ä me
E.H. Hall
Edwin Herbert Hall (1855-1938) w 1879 odkrył
efekt noszÄ…cy jego nazwisko
Elektron w skrzy\
owanym polu
magnetycznym i elektrycznym
Niech na elektrony przewodnictwa metalu działa pole
elektryczne E skierowane wzdłu\
osi próbki (np.
wzdłu\
osi x kartezjańskiego układu współrzędnych)
i pole magnetyczne skierowane wzdłu\
osi z, tj.
prostopadłe do kierunku wektora pola elektrycznego.
Wtedy elektrony poruszają się ruchem będącym
wypadkową dwóch ruchów: pierwszego wywołanego
przez pole elektryczne (które powoduje nie znikający
v `" 0
prąd i ) i drugiego  wywołanego przez siłę
Lorentza do E i B.
4%
Napięcie Halla
W wyniku nagromadzenia elektronów przy jednej
z powierzchni próbki i ich braku przy drugiej,
równoległej, pojawia się ró\
nica potencjału 
napięcie Halla.
Zjawisko
Halla dla
ładunków
ujemnych.
Zjawisko
Halla dla
ładunków
dodatnich.
Zjawisko Halla: ilustracja
Fe = Siła elektryczna
spowodowana przez
Kierunek prÄ…du
nagromadzony
elektrycznego
Å‚adunek
Zjawisko Halla
Siła Lorentza związana z wektorem indukcji
powoduje ruch ładunków dodatnich i ujemnych
B
w przeciwne strony wzdłu\
osi prostopadłej do
kierunku pola elektrycznego . A
adunki
E
zgromadzone przy powierzchni próbki wytwarzają
jednorodne pole elektryczne, które uniemo\
liwia
dalsze rozdzielanie ładunków, gdy\
siła z jaką działa
ono na ładunki kompensuje siłę Lorentza.
W przypadku metali elektrony sÄ… gromadzone w
pobli\
u jednej z powierzchni próbki. W pobli\
u
drugiej brakuje elektronów, a więc ładunki jonów nie
sÄ… kompensowane  gromadzi siÄ™ tam Å‚adunek
dodatni.
Wielkości charakteryzujące
zjawisko Halla
W stanie równowagi poprzeczne pole elektryczne
wytwarzane przez rozdzielone ładunki równowa\
y
siłę Lorentza, więc prąd płynie jedynie w kierunku
osi x.
Interesować nas będzie iloraz Ex i jx :
Á(B) = Ex / jx
nazywany magnetooporem.
Zdefiniujemy współczynnik Halla:
RB = Ey / jxB .
( )
Częstość cyklotronowa
Częstość cyklotronowa elektronów
e B
Éc = .
me
Wymiar fizyczny częstości cyklotronowej:
Éc = T-1 = [É] = [½].
[ ]
Kierunek ruchu czÄ…stki
naładowanej w polu magnetycznym
Je\
eli ładunek q<0 to częstość ruchu
naładowanej cząstki jest ujemna. Cząstka
porusza się przeciwnie do wskazówek
zegara:
É = - q B / M.
Je\
eli ładunek q>0 to częstość ruchu
naładowanej cząstki jest dodatnia. Cząstka
porusza się zgodnie ze wskazówkami
zegara
É = q B / M.
Zjawisko Halla:
opis matematyczny
Gdy wektor indukcji magnetycznej skierowany
B
jest wzdłu\
osi z zaś prąd płynie w
(B = ęB)
kierunkach osi x i y to siła Lorenza ma
j v p ,
( )
postać:
eB
îÅ‚ Ć Å‚Å‚ Ć
FL = - x× Ä™ px + w
× Ä™ py ûÅ‚ = Éc pxw
- pyx .
( ) ( )
( )
me ðÅ‚
Równanie ruchu elektronu
E
Równanie ruchu elektronu w polu elektrycznym
i prostopadłym do niego polu magnetycznym :
B
d px px
= -eEx - Éc py - ,
dt Ä
d py py
= -eEy + Éc px - .
dt Ä
Stan ustalony (stacjonarny)
W stanie ustalonym średni pęd błądzących
elektronów nie zmienia się z upływem czasu:
d/dt=0, d/dt = 0.
d p/dt = 0
px
0 = -eEx - Éc py - ,
Ä
py
0 = -eEy + Éc px - .
Ä
Przekształcenie
px
0 = -eEx - Éc py - ,
Ä
py
0 = -eEy + Éc px - .
Ä
Pomno\
ymy obydwie strony tego układu równań
przez (-neeÄ/me) i wykorzystamy wyra\
enie dla
przewodnoÅ›ci otrzymane przez Drudego: Ã0=nee2Ä/me
oraz mikroskopowe wyra\
enie dla gęstości prądu
j = - (nee/me) p .
Rozwiązania równań stanu ustalonego
Ã0Ex = ÄÉc jy + jx ,
( )
Ã0Ey = - ÄÉc jx + jy .
( )
Rozwiązaniami tego układu równań są:
Ã0
îÅ‚
jx =
( )
2
ðÅ‚Ex - ÉcÄ Ey Å‚Å‚ ,
ûÅ‚
1+ ÉcÄ
( )
Ã0
îÅ‚ Å‚Å‚
jy = ÉcÄ Ex + Ey ûÅ‚ .
( )
2
ðÅ‚
1+ ÉcÄ
( )
KÄ…t Halla
Ã0 Ã0
îÅ‚ - ÉcÄ Ey ûÅ‚ ; jy =
Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
jx = ÉcÄ Ex + Ey ûÅ‚
( ) ( )
2 2
ðÅ‚Ex ðÅ‚
1+ ÉcÄ 1+ ÉcÄ
( ) ( )
Wprowadzimy kąt Halla ĆH:
jy ÉcÄ Ex + Ey
( )
tgĆH = = .
jx Ex - ÉcÄ Ey
( )
j E tylko gdy (Éc Ä)<<1.
jy
E
j
jy Ey
ĆH
H" .
jx
jx Ex
Elektryczne pole Halla
Odpowiednio du\
y Å‚adunek zgromadzony w wyniku
działania siły Lorenza powoduje powstanie pola
elektrycznego powodujÄ…cego znikanie prÄ…du w
kierunku prostopadłym do wektora natę\
enia pola
elektrycznego. Zatem w stanie ustalonym jy= 0,
Ey`"0, a więc:
Ã0Ex = jx ;Ã0Ey = - ÄÉc jx.
( )
Rozwiązania tej pary równań:
Ex = me / nee2 jx , Ey = - B / nee jx .
( )
( )
Magnetoopór w przybli\
eniu Drudego:
-
ÁD(B) = Ex / jx = Ã01 = Áe = me / nee2Ä .
( )
Współczynnik Halla
w przybli\
eniu Drudego
Po podstawieniu otrzymanych wyra\
eń dla Ey i jx
otrzymamy współczynnik Halla RB=Ey/(jxB) w
przybli\
eniu Drudego:
- îÅ‚B / nee Å‚Å‚ jx
Ey
( )ûÅ‚ =
1
ðÅ‚
R(D) = = .
B
jxB Bjx nee
Współczynniki Halla rzeczywistych, bardzo czystych i
starannie przygotowanych próbek metali dla bardzo
silnych pól i w niskich temperatur dą\
Ä… do . Na
R(D)
B
ogół zale\
Ä… one od temperatury T i sposobu
przygotowania próbek.
Współczynniki Halla dla silnych pól
magnetycznych i w niskich temperaturach
Metal Wartościowość -(1/RB)nee
Cu 1 1,5
Rb 1 1
Mg 2 -0,4
Al 3 -0,3
Jak widać istnieją metale, dla których współczynniki Halla są
liczbami dodatnimi, co wskazywałby, \
e nośniki ładunku w
niektórych metalach są dodatnio naładowane. Teoria Drudego
nie pozwala wyjaśnić tej zagadki, jak równie\
nie wyjaśnia
obserwowanej w przypadku niektórych metali zale\
ności
współczynnika Halla od T i B.
Ruch naładowanej cząstki w polu
E = 0, Ä = "
magnetycznym
( )
Ruch elektronów przewodnictwa w polu
magnetycznym wynika z równań ruchu
dpy
dpx
= -Écpy , = Écpx .
dt dt
Zró\
niczkujemy obydwie strony obydwu równań po
czasie i wykorzystamy powy\
sze równania.
d2py
d2px
2 2
= -Écpx , = -Écpy .
dt2 dt2
Para równań dla
płaskiego oscylatora harmonicznego
o czÄ™stoÅ›ci Éc
d2px
2
= -Écpx ,
dt2
d2py
2
= -Écpy .
dt2
Rozwiązanie równań ró\
niczkowych
px t = p0 cos Éct + Õ ; py t p0 sin Éct + Õ
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
p2 t + p2 t
( ) ( )
p0 îÅ‚ p0
x y
2
=
( ) ( )ûÅ‚
ðÅ‚cos Éct + Õ + sin2 Éct + Õ Å‚Å‚ = 2m
2m 2m
Poniewa\
siła Lorentza nie wykonuje pracy nad
ładunkiem, więc energia kinetyczna nie ulega
zmianie.
PromieÅ„ orbity Ác
v
Á
W jednostajnym ruchu po okręgu o promieniu
v
2Ä„Á
v v
v = = 2Ä„½cÁ = ÉcÁ.
Tc
Éc = qB / M
vme
Ác = .
eB
Promień orbity elektronów
w polu magnetycznym
Promień orbity elektronu w polu magnetycznym B
vme
v
Á = v/Éc = .
eB
Gdy B  wielkość wektora indukcji magnetycznej
rośnie to promień orbity elektronu maleje.
L
T
v
Á = v / Éc = = L.
[ ] [ ] [ ]
1
T
Kiedy natÄ™\
enie pola
magnetycznego jest małe
Wielkość natę\
enia pola magnetycznego określa
iloczyn ÉcÄ:
eB
ÉcÄ = Ä.
( )
me
Je\
eli ÉcÄ<<1 to B<czne speÅ‚niajÄ…ce tÄ™ nierówność sÄ… sÅ‚abe.
Pola magnetyczne spełniające nierówność
B>>me/(eÄ) sÄ… silne.
Elektron w słabych i silnych
polach magnetycznych
Wprowadzimy okres obiegu po orbicie
koÅ‚owej Tc=2Ä„/Éc.
Dla pól sÅ‚abych Ä<Dla pól silnych Ä>>Tc.
Ruch w słabych polach
Gdy natÄ™\
enie pola magnetycznego jest małe, to
większość elektronów pomiędzy kolejnymi aktami
zderzenia obiegnie niewielką część okręgu. Wtedy ich
ruch przypomina ruch prostoliniowy.
Ä << Tc .
Ruch elektronów w silnych
polach magnetycznych
Gdy natÄ™\
enie pola magnetycznego jest du\
e to
większość elektronów pomiędzy kolejnymi aktami
zderzenia obiegnie orbitę kołową wielokrotnie. Ruch
elektronów zło\
ony jest z ruchu elektronów po
okręgach i przypadkowych przeskoków na inne
orbity kołowe.
Ä >> Tc .