ÿþ2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
4 . P o l e m a g n e t o s t a t y c z n e
4 . 1 . P o d s t a w o w e z a l e |n o [c i
R ó w n a n i a p o l a m a g n e t o s t a t y c z n e g o
P o l e m s t a t y c z n y m n a z y w a m y p o l e n i e z m i e n n e w c z a s i e , c z y l i p o c h o d n e c z a s o w e
w e k t o r ó w i n d u k c j i s d e f i n i c y j n i e r ó w n e z e r u Ò! " D / "t = " B / "t ]" 0 .
R ó w n a n i a M a x w e l l a r o z p r z g a j s i d o d w ó c h n i e z a l e |n y c h u k Ba d ó w :
W z a p i s i e M a g n e t o s t a t y k a E l e k t r o s t a t y k a
r ó |n i c z k o w y m
B = H D = K
r r
M a g n e t o s t a t y k a E l e k t r o s t a t y k a
W z a p i s i e
c a Bk o w y m
B = H D = K
r r
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2
1
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
W a r u n k i c i g Bo [c i w e k t o r ó w p o l a m a g n e t y c z n e g o ( 1 )
R o z p a t r z m y d w a [r o d o w i s k a o p r z e n i k a l n o [c i
y x
m a g n e t y c z n e j i . T w o r z y m y z a m k n i t y ,
1 2
p r o s t o k t n y k o n t u r l p r z e n i k a j c y g r a n i c
1
g
o r o z m i a r a c h h i g t a k i c h , |e h < < g .
Z a u w a |m y , |e S ( l ) ’! 0 .
2
h
P r a w o A m p e r e a m o |n a z a p i s a d j a k o
C a Bk i w z d Bu | b o k ó w h m a j w a r t o [d p o m i j a l n m o |n a p r z y j d h d o w o l n i e m a Be .
S t d
J e [l i r o z m i a r g j e s t n a t y l e m a By , |e p o l e H j e s t s t a Be w z d Bu | t e g o b o k u , t o
N a t |e n i e p o l a m a g n e t y c z n e g o p r z y p r z e j [c i u p r z e z g r a n i c
[r o d o w i s k z a c h o w u j e c i g Bo [d s k Ba d o w e j s t y c z n e j .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 3
W a r u n k i c i g Bo [c i w e k t o r ó w p o l a m a g n e t y c z n e g o ( 2 )
T w o r z y m y o b e c n i e w a l e c o o b j t o [c i V
u n 1 y x
i p o w i e r z c h n i b r z e g o w e j S V p r z e n i k a j c y
V
g r a n i c , k t ó r e g o p o d s t a w a S m a p r o m i e o
1
n i e w s p ó Bm i e r n i e w i k s z y o d w y s o k o [c i h .
S
P o w i e r z c h n i b o c z n o z n a c z a m y j a k o S .
2 u n
u n 2
P r a w o G a u s s a m o |n a z a p i s a d j a k o
C a Bk a w z d Bu | p o b o c z n i c y S m a w a r t o [d p o m i j a l n , p o n a d t o u n 1 = _ u n 2 .
S t d
J e [l i r o z m i a r S j e s t n a t y l e m a By , |e p o l e B j e s t s t a Be n a t e j p o w i e r z c h n i , t o
I n d u k c j a p o l a m a g n e t y c z n e g o p r z y p r z e j [c i u p r z e z g r a n i c
[r o d o w i s k z a c h o w u j e c i g Bo [d s k Ba d o w e j n o r m a l n e j .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 4
2
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
Z e s t a w i e n i e w a r u n k ó w c i g Bo [c i d l a p o l a
m a g n e t y c z n e g o ( 1 )
N a j c z s t s z y m p r z y p a d k i e m g r a n i c y [r o d o w i s k w o b l i c z e n i a c h
> > 1 B n B t 1
r 1
m a g n e t y c z n y c h j e s t s t y k o b s z a r u f e r r o m a g n e t y c z n e g o o w z g l d n e j
H t 1 n
p r z e n i k a l n o [c i = ( 3 0 0 ÷ 1 0 0 0 0 ) i n i e m a g n e t y c z n e g o = 1 .
r 1 r 2
t
N i e c h s k Ba d o w a n o r m a l n a i n d u k c j i n a g r a n i c y w y n o s i B n = 1 T .
B n
B t 2 0
H t 2
I l o r a z s k Ba d o w y c h s t y c z n y c h j e s t r ó w n y
= 1
r 2
M o d u B i n d u k c j i , a w i c i s k Ba d o w a s t y c z n a B t 1 j e s t
o g r a n i c z o n a p r z e z i n d u k c j n a s y c e n i a B n s d" 2 T .
S t d w y n i k a
W o b l i c z e n i a c h t e c h n i c z n y c h m o |n a w i c p r z y j d , |e w e k t o r i n d u k c j i w p o w i e t r z u t u | p r z y g r a n i c y
j e s t p r o s t o p a d By d o p o w i e r z c h n i f e r r o m a g n e t y k a . S t w i e r d z e n i e t o n i e j e s t p r a w d z i w e d l a b a r d z o
s i l n y c h p ó l o r a z w p r z y p a d k u w y s t p o w a n i a p r d ó w w i r o w y c h w f e r r o m a g n e t y k u ( "B / "t `" 0 ) .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 5
Z e s t a w i e n i e w a r u n k ó w c i g Bo [c i d l a p o l a
m a g n e t y c z n e g o ( 2 )
> > 1
P r o p o r c j e p o m i d z y s k Ba d o w y m i i n d u k c j i r 1
w f e r r o m a g n e t y k u t u | p r z y g r a n i c y , p r z e z k t ó r
w n i k a p o l e m a g n e t y c z n e w y n i k a j z n a s t p u j c e g o
u n a
B t 1
a
r o z u m o w a n i a : b
B n
N i e c h p o l e 2 D i n d u k c j i B m a w f e r r o m a g n e t y k u
B n
s k Ba d o w e B n i B t 1 w p e w n y m , d o s t a t e c z n i e m a By m
t
t r ó j k c i e o b o k a c h a , b , c z b u d o w a n y m j a k n a
B n c
r y s u n k u . W a r u n e k b e z zr ó d Bo w o [c i p o l a i n d u k c j i
B t 2 0
p r o w a d z i d o z a l e |n o [c i
u n c r 2
= 1
L w y m i a r w k i e r u n k u p r o s t o p a d By m d o p Ba s z c z y z n y
r y s u n k u . D a j e t o z a l e |n o [d
k t ó r a o z n a c z a , |e p r z y j c i e j e d n o r o d n e g o p o l a i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j w e w n t r z t r ó j k t n e g o
e l e m e n t u a u t o m a t y c z n i e s p e Bn i a w a r u n e k j e g o b e z zr ó d Bo w o [c i . U g i c i e p o l a n a g r a n i c y [r o d o w i s k
j e s t w i c w y w o Ba n e i n n y m i c z y n n i k a m i n i | n i e c i g Bo [d w Ba s n o [c i m a t e r i a Bo w y c h .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 6
3
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
W y z n a c z a n i e e l e m e n t a r n y c h p ó l m a g n e t y c z n y c h
p o l e o k r g Be g o p r z e w o d u w i o d c e g o p r d
S b ( l ) ;
D a n y j e s t d Bu g i , o k r g By p r z e w ó d m i e d z i a n y o p r z e k r o j u S
w i o d c y p r d s t a By o n a t |e n i u I . W y z n a c z y d r o z k Ba d p o l a
l P
m a g n e t y c z n e g o H w j e g o o t o c z e n i u p r z y j m u j c , |e H z = 0 .
r
K o Bo w y k o n t u r l o p r o m i e n i u r p e Bn i d w i e f u n k c j e :
r
" j e s t b r z e g i e m o t w a r t e j p o w i e r z c h n i S ( l ) ;
I
" j e s t [l a d e m c y l i n d r y c z n e j p o b o c z n i c y w a l c a S b S ( l ) ;
o p o d s t a w i e S .
y
B a d a n y o b i e k t j e s t o s i o w o s y m e t r y c z n y , w i c w u k Ba d z i e
w s p ó Br z d n y c h c y l i n d r y c z n y c h ( r , ) n a t |e n i e p o l a H j e s t x
l
w y Bc z n i e f u n k c j p r o m i e n i a .
L e w a s t r o n a p r a w a A m p e r e a
d l a k o n t u r u l j e s t w p o s t a c i
P r a w a s t r o n a p r a w a A m p e r e a
S t d
j e s t r ó w n a
S t o s u j c z k o l e i t w i e r d z e n i e G a u s s a d l a p o w i e r z c h n i w a l c a m a m y
O s t a t e c z n i e o t r z y m u j e s i
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 7
W y z n a c z a n i e e l e m e n t a r n y c h p ó l m a g n e t y c z n y c h
p o l e d w ó c h p r z e w o d ó w w i o d c y c h p r d z a s a d a s u p e r p o z y c j i
H 2
H
D a n e s d w a d Bu g i e , o k r g Be p r z e w o d y m i e d z i a n e P
r 2 r 1
o p r z e k r o j a c h S 1 , S 2 w i o d c e p r d s t a By o n a t |e n i u ,
H 1
o d p o w i e d n i o I 1 , I 2 . W y z n a c z y d r o z k Ba d p o l a
m a g n e t y c z n e g o H w i c h o t o c z e n i u p r z y j m u j c , |e H z = 0 .
y
I 2 > 0 I 1 > 0
x
Z a s a d a s u p e r p o z y c j i
P o l e w e k t o r o w e p o c h o d z c e o d k i l k u w y m u s z e o w o b s z a r z e o s t a By c h w Ba s n o [c i a c h
m a t e r i a Bo w y c h j e s t r ó w n e w e k t o r o w e j s u m i e p r z y c z y n k ó w , j a k i e w y t w a r z a k a |d e z t y c h
w y m u s z e o o d d z i e l n i e .
R o z w i z a n i a c z [c i o w e s z n a n e w l o k a l n y c h u k Ba d a c h w s p ó Br z d n y c h ( r 1 , ) i ( r 2 , ) .
1 2
W y p a d k o w e p o l e o t r z y m u j e m y t r a n s f o r m u j c p r z y c z y n k i d o g l o b a l n e g o u k Ba d u
w s p ó Br z d n y c h ( x , y ) i s u m u j c j e .
Ò!
W z a l e |n o [c i o d l o k a l n e g o k i e r u n k u w e k t o r a g s t o [c i p r d u J ,
w a r t o [c i I 1 , I 2 m o g b y d d o d a t n i e l u b u j e m n e .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 8
4
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
P r a w o B i o t a S a v a r t a
U o g ó l n i e n i e m p r o w a d z o n y c h r o z w a |a o j e s t
u l
p r a w o B i o t a S a v a r t a , k t ó r e p o z w a l a n a
o k r e [l e n i e n a t |e n i a p o l a m a g n e t y c z n e g o
w w y b r a n y m p u n k c i e d l a d o w o l n e j g e o m e t r i i
r
o b w o d u w y m u s z a j c e g o p o l e .
H i
E l e m e n t a r n y o d c i n e k p r z e w o d u w i o d c e g o p r d o n a t |e n i u i w y t w a r z a p r z y c z y n e k H
w y p a d k o w e g o n a t |e n i a p o l a m a g n e t y c z n e g o w d a n y m p u n k c i e o k r e [l o n y m p r z e z w e k t o r r
C a Bk o w i t e p o l e w y n o s i w i c
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 9
P o l e m a g n e t y c z n e p o j e d y n c z e g o z w o j u
R o z p a t r u j e m y p o l e m a g n e t y c z n e w y t w o r z o n e
p r z e z p o j e d y n c z y , k o Bo w y z w ó j o p r o m i e n i u r 0 ,
u s y t u o w a n y w p Ba s z c z y zn i e 0 x y i w i o d c y p r d i .
y
+ i l
W d o w o l n y m p u n k c i e P o w s p ó Br z d n y c h * 0 , 0 , a ]
r 0 x
( p o Bo |o n y m n a o s i s y m e t r i i z w o j u ) n a t |e n i e p o l a
/ 2
m a g n e t y c z n e g o H ( P ) m a w y Bc z n i e s k Ba d o w H z . - i l
a
W a r t o [d p r z y c z y n k u H z ( P ) w y t w o r z o n e g o p r z e z
H +
P
d w a w y c i n k i z w o j u o d Bu g o [c i l w z n o s i
H _
z
H
N a p o d s t a w i e p r a w a B i o t a + S a v a r t a w y z n a c z a m y m o d u By p r z y c z y n k ó w H + = H -
P o l e w y t w o r z o n e p r z e z c a By z w ó j j e s t w i c r ó w n e
c o d a j e
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 0
5
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
P o l e m a g n e t y c z n e N - z w o j n e j c e w k i ( 1 )
P Ba s z c z y z n a s y m e t r i i
P o s z u k i w a n y j e s t r o z k Ba d p o l a m a g n e t y c z n e g o H w z d Bu |
o s i s y m e t r i i 0 z N - z w o j n e j c e w k i o p r o m i e n i u r 0 i d Bu g o [c i L
L
w i o d c e j p r d o n a t |e n i u i . Z e w z g l d u n a s y m e t r i m o |n a
r o z p a t r y w a d p o Bo w d Bu g o [c i c e w k i .
0
R z e c z y w i s t y , d y s k r e t n y r o z k Ba d p r d u
w c e w c e z a s t p u j e m y c i g By m o g s t o [c i r 0
z
l i n i o w e j
0
O z n a c z a t o , |e e l e m e n t a r n y l i n i o w y w y c i n e k c e w k i o w s p ó Br z d n e j z
1
i d Bu g o [c i z w i e d z i e p r d
r
P
W y c i n e k t e n w y t w a r z a
2
w p u n k c i e P p o l e m a g n e t y c z n e H
z
c o w y n i k a z z a l e |n o [c i
C a Bk o w i t e p o l e H j e s t r ó w n e
r 0 r z
P
r
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 1
P o l e m a g n e t y c z n e N - z w o j n e j c e w k i ( 2 )
O t r z y m a n e r o z w i z a n i e p o l a H w o s i c e w k i
n a l e |y u z u p e Bn i d o w y r a |e n i a n a f u n k c j e t r y g o n o m e t r y c z n e
U z y s k u j e s i
H z
R o z k Ba d n a t |e n i a p o l a m a g n e t y c z n e g o
w z d Bu | o s i s y m e t r i i c e w k i
R ó w n o m i e r n o [d n a t |e n i a
z
p o l a m a g n e t y c z n e g o H z
w p r z e k r o j u p o p r z e c z n y m c e w k i
0
- 0 . 5 L
0 . 5 L
I z o l i n i e
p o l a m a g n e t y c z n e g o
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 2
6
z
a
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
Z a k r e s s t o s o w a l n o [c i p r a w a B i o t a - S a v a r t a
W z ó r B i o t a S a v a r t a z o s t a B w y p r o w a d z o n y z I p r a w a M a x w e l l a ( r o t H = J ) .
J e |e l i w c a By m b a d a n y m o b s z a r z e p r z e n i k a l n o [d m a g n e t y c z n a j e s t s t a Ba , t o
a u t o m a t y c z n i e s s p e Bn i o n e w a r u n k i c i g Bo [c i p o l a d l a d o w o l n e j p o w i e r z c h n i
m a m y c i g Bo [d z a r ó w n o s k Ba d o w y c h s t y c z n y c h j a k i n o r m a l n y c h p ó l H i B .
J e |e l i w r o z p a t r y w a n y m o b s z a r z e w y s t p u j r ó |n e m a t e r i a By , t o w z ó r t e n
n i e m o |e b y d s t o s o w a n y , p o n i e w a | j e s t w y m a g a n a n i e c i g Bo [d s k Ba d o w y c h
n o r m a l n y c h H o r a z s t y c z n y c h B .
H t 1 = H t 2 Ò! B t 1 / = B t 2 /
r 1 r 2
B n 1 = B n 2 Ò! H n 1 = H n 2
r 1 r 2
N a l e |y w p r o w a d z i d d o r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o o p i s u j c e g o p o l e
m a g n e t y c z n e j e d n o c z e [n i e w y m a g a n i a
r o t H = J
d i v B = 0
B = H
0 r
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 3
W p By w o b e c n o [c i f e r r o m a g n e t y k a
n a p r z e s t r z e n n y r o z k Ba d w e k t o r ó w p o l a m a g n e t y c z n e g o
b e z r d z e n i a r d z e o = 1 0 4 r d z e o s t a l o w y
r
H [ A / m ]
B [ T ]
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 4
7
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
4 . 2 . P o t e n c j a By m a g n e t y c z n e
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 5
M a g n e t y c z n y p o t e n c j a B w e k t o r o w y
P o j c i e m a g n e t y c z n e g o p o t e n c j a Bu w e k t o r o w e g o A w p r o w a d z a s i d e f i n i u j c
p o l e i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j B j a k o
D e f i n i c j a t a s p e Bn i a a u t o m a t y c z n i e w a r u n e k
b e z zr ó d Bo w o [c i p o l a i n d u k c j i , p o n i e w a |
Z a k Ba d a j c , |e p r z e n i k a l n o [d m a g n e t y c z n a
r
j e s t o b s z a r a m i s t a Ba , o t r z y m u j e s i
D e f i n i c j a p o l a B = r o t A n i e j e s t j e d n o z n a c z n a , z e w z g l d u
n a t o |s a m o [d ( p o l e A j e s t o k r e [l o n e z d o k Ba d n o [c i d o
g r a d i e n t u d o w o l n e j r ó |n i c z k o w a l n e j f u n k c j i s k a l a r n e j )
W z a l e |n o [c i o d z a g a d n i e n i a w p r o w a d z a s i w i c d o d a t k o w o
t z w . w a r u n e k s k a l o w a n i a . D l a p o l a m a g n e t o s t a t y c z n e g o j e s t t o
c o p r o w a d z i d o u k Ba d u t r z e c h r ó w n a o r ó |n i c z k o w y c h
c z s t k o w y c h ( P o i s s o n a )
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 6
8
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
M a g n e t y c z n y p o t e n c j a B s k a l a r n y
P o j c i e m a g n e t y c z n e g o p o t e n c j a Bu s k a l a r n e g o V w p r o w a d z a s i
d e f i n i u j c n a t |e n i e p o l a m a g n e t y c z n e g o H j a k o
P o l e m a g n e t y c z n e o k r e [l o n e w t e n s p o s ó b n i e m o |e
o p i s a d p o l a w e w n t r z p r z e w o d n i k ó w w i o d c y c h p r d ,
p o n i e w a |
Z a k Ba d a j c , |e p r z e n i k a l n o [d m a g n e t y c z n a
r
j e s t o b s z a r a m i s t a Ba , o t r z y m u j e s i
c o p r o w a d z i d o r ó w n a n i a r ó |n i c z k o w e g o
c z s t k o w e g o ( L a p l a c e a )
U w z g l d n i e n i e w y m u s z e n i a p r d o w e g o ( b d z o b e c n o [c i m a g n e s ó w t r w a By c h ) o t r z y m u j e s i
p r o w a d z a j c e l e k t r y c z n y p o t e n c j a B w e k t o r o w y T , k t ó r y s p e Bn i a z a l e |n o [d J = r o t T .
C a Bk o w i t e n a t |e n i e p o l a m a g n e t y c z n e g o H c j e s t s u m H c = - g r a d V + T
R ó w n a n i e r ó |n i c z k o w e c z s t k o w e o p i s u j c e p o l e m a g n e t y c z n e w y n i k a z w a r u n k u
b e z zr ó d Bo w o [c i d i v B = 0
R ó w n a n i e t o j e s t p o w s z e c h n i e s t o s o w a n e w o b l i c z e n i a c h t r ó j w y m i a r o w y c h p ó l .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 7
D w u w y m i a r o w e p o l e m a g n e t y c z n e
J e |e l i w p r a w i e c a Be j o b j t o [c i b a d a n e g o o b i e k t u , g s t o [d p r d u J m a t y l k o j e d n s k Ba d o w ,
n p . J = u z J z ( x , y ) , t o I r ó w n a n i e M a x w e l l a z a p i s a n e p r z y p o m o c y p o t e n c j a Bu w e k t o r o w e g o
m a p o s t a d
J e s t t o r ó w n a n i e c z s t k o w e d r u g i e g o r z d u ( e l i p t y c z n e ) , d o k t ó r e g o r o z w i z a n i a j e s t
p o t r z e b n a z n a j o m o [d w Ba s n o [c i p o l a p o t e n c j a Bu n a b r z e g u a n a l i z o w a n e j o b j t o [c i S ( V ) .
W y r ó |n i a m y t r z y r o d z a j e w a r u n k ó w b r z e g o w y c h :
1 . W a r u n e k t y p u D i r i c h l e t a : A z ( x , y S D ) = ( x , y ) . N a j c z [c i e j ( x , y ) = 0 .
D D
W a r u n e k t e n m u s i w y s t p i d p r z y n a j m n i e j n a c z [c i b r z e g u S ( V ) .
2 . W a r u n e k t y p u N e u m a n n a : "A z ( x , y S N ) / "n = ( x , y ) . N a j c z [c i e j ( x , y ) = 0 .
N N
3 . W a r u n e k p e r i o d y c z n o [c i : A z ( x , y S P 1 ) = ± A z ( x , y S P 2 ) =
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 8
9
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
F i z y c z n a i n t e r p r e t a c j a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h
d l a p ó l 2 D
B s
N a z e w n t r z n e j p o w i e r z c h n i t w o r z y m y B
l o k a l n y u k Ba d w s p ó Br z d n y c h ( 0 n s ) .
S B n
s
W e k t o r i n d u k c j i B ( o s k Ba d o w e j B z = 0 ) w t y m
n
u k Ba d z i e o b l i c z a s i j a k o
y
x
W a r u n e k t y p u D i r i c h l e t a : A z ( x , y S D ) = ( x , y ) = c o n s t .
D
c o d a j e
c z y l i p o l e i n d u k c j i n a b r z e g u S ( V ) m a w y Bc z n i e
s k Ba d o w s t y c z n
W a r u n e k t y p u N e u m a n n a :
c z y l i p o l e i n d u k c j i n a b r z e g u S ( V ) m a w y Bc z n i e
s k Ba d o w n o r m a l n
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 1 9
P r z y k Ba d y z a s t o s o w a n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h 2 D
j e d n o r o d n y D i r i c h l e t a
n
1 . W d o s t a t e c z n i e d u |e j o d l e g Bo [c i d > r
r
d
o d b a d a n e g o o b i e k t u i n d u k c j a m a g n e t y c z n a
j e s t p o m i j a l n a : B ( d ) = 0 p o n i e w a | B n ( r ) = 0 .
A z = 0
s
n
2 . N a z e w n t r z z a m k n i t e g o , f e r r o m a g n e t y c z n e g o
o b w o d u i n d u k c j a m a g n e t y c z n a j e s t p o m i j a l n a :
z w a r u n k u c i g Bo [c i s k Ba d o w y c h s t y c z n y c h n a t |e n i a
p o l a m a g n e t y c z n e g o H s 0 = H s F e w y n i k a B s 0 = B s F e /
r
A z = 0
W o b y d w u p r z y p a d k a c h n a r z u c e n i e w a r u n k u b r z e g o w e g o
w p r o w a d z a p e w i e n b Bd d o w y n i k o w y c h o b l i c z e o !
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 0
1 0
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
P r z y k Ba d y z a s t o s o w a n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h 2 D
j e d n o r o d n y N e u m a n n a
A z = 0
W y z n a c z e n i e p o l a r o z p r o s z e n i a w |Bo b k u
m a s z y n y e l e k t r y c z n e j
I
P o l e i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j n a p o w i e r z c h n i
f e r r o m a g n e t y k a n i e m a s k Ba d o w e j s t y c z n e j u l
B s = A z = 0 .
n
A z = 0
n
W a r u n e k j e d n o r o d n y D i r i c h l e t a A z = 0 w o t w a r c i u
|Bo b k a j e s t n i e z b d n y d o p o p r a w n e g o p o s t a w i e n i a
z a d a n i a o b l i c z e n i o w e g o .
W p r o w a d z e n i e w a r u n k u A z = 0 p o m i j a s p a d e k
n
n a p i c i a m a g n e t y c z n e g o H F e l F e w r d z e n i u !
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 1
P r z y k Ba d y z a s t o s o w a n i a w a r u n k ó w b r z e g o w y c h 2 D
w y k o r z y s t a n i e s y m e t r i i o b i e k t u
1 . J e |e l i b a d a n y o b i e k t p o s i a d a p Ba s z c z y z n s y m e t r i i
+ I - I + I - I
j e d n o c z e [n i e : g e o m e t r y c z n , m a t e r i a Bo w o r a z A z = 0
n
w y m u s z e o p o l a m a g n e t y c z n e g o , t o n a p Ba s z c z y zn i e * *
t e j p o l e i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j m a w y Bc z n i e s k Ba d o w
n o r m a l n . O z n a c z a t o , |e B s = A z = 0 .
n
A z = c o n s t
2 . J e |e l i b a d a n y o b i e k t p o s i a d a p Ba s z c z y z n s y m e t r i i
g e o m e t r y c z n e j i m a t e r i a Bo w e j b d c j e d n o c z e [n i e
p Ba s z c z y z n a n t y s y m e t r i i w y m u s z e o p o l a m a g n e t y c z n e g o ,
t o n a p Ba s z c z y zn i e t e j p o l e i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j m a
w y Bc z n i e s k Ba d o w s t y c z n . O z n a c z a t o : A z = c o n s t d l a
p u n k t ó w l e |c y c h n a t e j p Ba s z c z y zn i e .
A z = 0
+ I / 2
3 . M o d e l o b l i c z e n i o w y r e d u k u j e s i d o p o s t a c i A z = 0
*
- I / 2
A z = 0
n
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 2
1 1
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
W a r u n k i b r z e g o w e p e r i o d y c z n o [c i r 1
1
W m a s z y n a c h e l e k t r y c z n y c h w i r u j c y c h r o z k Ba d
p o l a m a g n e t y c z n e g o j e s t p - o k r e s o w y ( n a r y s . p = 2 ) .
N
O z n a c z a t o , |e w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h
S
c y l i n d r y c z n y c h r w e k t o r i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j
B ( r , ) j e s t t a k i s a m j a k B ( r , p ) . S
N
U z y s k u j e s i : A z ( r , ) = A z ( r , p ) l u b d l a d w u
u k Ba d ó w w s p ó Br z d n y c h r 1 r 2 p r z e s u n i t y c h o
k t p i d o w o l n i e u s y t u o w a n y c h w p r z e s t r z e n i m a m y
A z ( r 1 , ) = A z ( r 2 , ) .
r 2 2
B
R o z m i a r m o d e l u o b l i c z e n i o w e g o r e d u k u j e s i 1 / p r a z y .
B
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 3
W a r u n k i b r z e g o w e a n t y - p e r i o d y c z n o [c i
r 1
1
W m a s z y n a c h e l e k t r y c z n y c h w i r u j c y c h r o z k Ba d
p o l a m a g n e t y c z n e g o j e s t p - o k r e s o w y ( n a r y s . p = 2 ) .
o r a z n a j c z [c i e j o o d w r o t n e j z g o d n o [c i p ó Bo k r e s ó w .
N
O z n a c z a t o , |e w u k Ba d z i e w s p ó Br z d n y c h c y l i n d r y c z n y c h
S
r 2
r w e k t o r i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j B ( r , ) j e s t t a k i s a m j a k
B ( r , p ) a p o n a d t o B ( r , ) = - B ( r , p ) .
S
2
U z y s k u j e s i w i c : A z ( r , ) = - A z ( r , p ) l u b d l a d w u
N
u k Ba d ó w w s p ó Br z d n y c h r 1 r 2 p r z e s u n i t y c h o k t p
i d o w o l n i e u s y t u o w a n y c h w p r z e s t r z e n i m a m y
B
A z ( r 1 , ) = - A z ( r 2 , ) .
R o z m i a r m o d e l u o b l i c z e n i o w e g o r e d u k u j e s i 1 / 2 p r a z y .
B
W a r u n k i b r z e g o w e p e r i o d y c z n o [c i ( a n t y - p e r i o d y c z n o [c i )
s t o s u j e s i p r z y w y z n a c z a n i u p o l a m a g n e t y c z n e g o
w s t a n i e o b c i |e n i a m a s z y n y .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 4
1 2
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
W y z n a c z e n i e s t r u m i e n i a s k o j a r z o n e g o z c e w k ( 1 )
z
D a n e j e s t p Ba s k i e p o l e i n d u k c j i B i z w i z a n e z
n
n i m z a l e |n o [c i B = *A p o l e m a g n e t y c z n e g o
v
l ( S )
p o t e n c j a Bu w e k t o r o w e g o A = u z A .
P o s z u k i w a n y j e s t s t r u m i e o s k o j a r z o n y
z c e w k o N z w o j a c h i p r z e k r o j u S w y t y c z o n y m
A
p r z e z j e j k o n t u r l ( S ) .
y
S t r u m i e o s k o j a r z o n y z c e w k j e s t
B
o k r e [l o n y w z o r e m w l o k a l n y m u k Ba d z i e
z
w s p ó Br z d n y c h 0 v n z
x
S t o s u j c t w i e r d z e n i e S t o k e s a m a m y
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 5
W y z n a c z e n i e s t r u m i e n i a s k o j a r z o n e g o z c e w k ( 2 )
P o t e n c j a B w e k t o r o w y m a t y l k o s k Ba d o w A z , M
d l a t e g o i l o c z y n y s k a l a r n e )#A , u l *# m a j w a r t o [d
u l
n i e z e r o w w y Bc z n i e n a b o k a c h r ó w n o l e g By c h
d o o s i 0 z .
z
v
Q
P
W a r t o [d p o t e n c j a Bu n i e z a l e |y o d w s p ó Br z d n e j z , s t d
S t r u m i e o m a g n e t y c z n y s k o j a r z o n y z c e w k j e s t p r o p o r c j o n a l n y d o r ó |n i c y
w a r t o [c i m a g n e t y c z n e g o p o t e n c j a Bu w e k t o r o w e g o w p u n k t a c h , w k t ó r y c h
b o k i c e w k i p r z e c i n a j p Ba s z c z y z n l i n i i p o l a ( d o t y c z y p Ba s k i e g o p o l a i n d u k c j i m a g n e t y c z n e j ) .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 6
1 3
L
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
4 . 3 . P o l e m a g n e t y c z n e q u a s i - s t a t y c z n e
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 7
D e f i n i c j a q u a s i - s t a t y c z n o [c i p o l a
P o l e m a g n e t y c z n e n a z y w a m y q u a s i - s t a t y c z n y m , j e |e l i r o z k Ba d p r z e s t r z e n n y p o l a
m a g n e t y c z n e g o w d a n e j c h w i l i c z a s o w e j t k w y w o Ba n y p r z e z u k Ba d z m i e n n y c h w c z a s i e
p r d ó w e l e k t r y c z n y c h * I 1 ( t ) , I 2 ( t ) , . . . I M ( t ) + j e s t t a k i s a m j a k r o z k Ba d p r z e s t r z e n n y p o l a
w y t w o r z o n y p r z e z u k Ba d p r d ó w s t a By c h w c z a s i e * I 1 = I 1 ( t k ) , I 2 = I 2 ( t k ) , . . . , I M = I M ( t k ) ] .
I 1
I 2 ( t k )
t
t k
*
·
H 2
I 2
I 1 ( t k )
H 1
*
·
t
W a r u n k i e m p o z w a l a j c y m n a p o w y |s z e z a Bo |e n i e j e s t , p r z y d a n e j c z s t o t l i w o [c i
w y m u s z e n i a , o d p o w i e d n i o m a By p r z e k r ó j p r z e w o d n i k ó w w i o d c y c h p r d .
D l a 5 0 H z p r z e k r ó j t e n j e s t r z d u k i l k u m m 2 - d l a m i e d z i b d z a l u m i n i u m .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 8
1 4
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
I I p r a w o M a x w e l l a d l a p ó l q u a s i - s t a t y c z n y c h ( 1 )
W z a p i s i e r ó |n i c z k o w y m I I p r a w o M a x w e l l a j e s t w p o s t a c i
C a Bk u j c p o w y b r a n e j p o w i e r z c h n i S ( l ) n p . p o j e d y n c z e g o l u b s e r i i z w o j ó w
i ( t ) u l
i s t o s u j c t w i e r d z e n i e S t o k e s a o t r z y m u j e s i
u ( t )
B
N a t |e n i e p o l a e l e k t r y c z n e g o K j e s t z w i z a n e z w e k t o r e m g s t o [c i p r d u J p o p r z e z
k o n d u k t y w n o [d Z a k Ba d a j c r ó w n o m i e r n g s t o [d p r d u w p r z e k r o j u S d p r z e w o d n i k a
( w a r u n e k q u a s i - s t a t y c z n o [c i p o l a ) m a m y
u n a p i c i e w o d b i o r n i k o w y m s y s t e m i e o z n a c z e o
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 2 9
I I p r a w o M a x w e l l a d l a p ó l q u a s i - s t a t y c z n y c h ( 2 )
O z n a c z a j c f o r m a l n i e s t r u m i e o s k o j a r z o n y j a k o s u m
s t r u m i e n i a z e w n t r z n e g o o r a z s t r u m i e n i a w y t w o r z o n e g o p r z e z
z i
w a r t o [d c h w i l o w p r d u i ( t ) o b w o d u
W s p ó Bc z y n n i k L n a z y w a s i i n d u k c y j n o [c i s t a t y c z n o b w o d u
Ac z c p o w y |s z e z a l e |n o [c i o t r z y m u j e s i I I p r a w o K i r c h o f f a ( w z a p i s i e o d b i o r n i k o w y m )
W u k Ba d a c h z a w i e r a j c y c h e l e m e n t y f e r r o m a g n e t y c z n e
n a d r o d z e s t r u m i e n i a m a g n e t y c z n e g o L = f ( i ) . Z a c h o d z i
w ó w c z a s
L = t g
i
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 3 0
1 5
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
4 . 4 . S i By i e n e r g i a w p o l u m a g n e t y c z n y m
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 3 1
P o d s t a w o w e z a l e |n o [c i d l a s i B m a g n e t y c z n y c h ( 1 )
1 . S i Ba L o r e n t z a .
N a e l e m e n t a r n o b j t o [d V = l S d , p r z e z k t ó r p r z e p By w a p r d o g s t o [c i J ,
u m i e s z c z o n w p o l u m a g n e t y c z n y m o i n d u k c j i B d z i a Ba s i Ba F o o b j t o [c i o w e j g s t o [c i f
B
l
W e r s o r y u l o r a z u n S s w s p ó Bl i n i o w e z J .
F
J
S d
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 3 2
1 6
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
P o d s t a w o w e z a l e |n o [c i d l a s i B m a g n e t y c z n y c h ( 2 )
2 . N a p r |e n i a M a x w e l l a .
N a e l e m e n t a r n p o w i e r z c h n i S r o z g r a n i c z a j c
[r o d o w i s k a o p r z e n i k a l n o [c i a c h m a g n e t y c z n y c h , , T n 1
1 2
1
n a k t ó r e j w y s t p u j e p o l e m a g n e t y c z n e o i n d u k c j i B
2
i n a t |e n i u H , d z i a Ba s i Ba F S o p o w i e r z c h n i o w e j g s t o [c i f S T n 2
u n 1
F S
S k Ba d n i k i T n i ( i = 1 , 2 ) n a z y w a n e s n a p r |e n i a m i n o r m a l n y m i
M a x w e l l a i s r ó w n e
J e |e l i = ( ) o r a z = t o s i Ba F S w y n o s i w p r z y b l i |e n i u
1 0 r r 2 0
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 3 3
G s t o [d e n e r g i i p o l a m a g n e t y c z n e g o
O b j t o [c i o w g s t o [c i e n e r g i i p o l a m a g n e t y c z n e g o w m , [ J / m 3 + , n a z y w a m y w y r a |e n i e
w m
r ó w n e i l o [c i o w o p o l u p o w i e r z c h n i p o m i d z y
H
o s i B i c h a r a k t e r y s t y k m a g n e s o w a n i a B ( H ) .
P o m i j a j c z j a w i s k o n a s y c e n i a m a g n e t y c z n e g o o t r z y m u j e s i
c o o z n a c z a , |e g s t o [d e n e r g i i w f e r r o m a g n e t y k u , p r z y t e j s a m e j i n d u k c j i ,
j e s t w i e l o k r o t n i e m n i e j s z a n i | w p o w i e t r z u .
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 3 4
1 7
2 0 0 8 - 1 1 - 1 4
P o w i z a n i e s i By i e n e r g i i p o l a m a g n e t y c z n e g o
Z w o r a e l e k t r o m a g n e s u p r z e s u n Ba s i o
p o d w p By w e m s i B m a g n e t y c z n y c h , k t ó r e
i
w y k o n a By p r a c W
J e |e l i e n e r g i a u k Ba d u p o z o s t a Ba b e z z m i a n
( b r a k j e j d o p By w u z s i e c i ) , t o p r a c a W p o w s t a Ba
k o s z t e m z m n i e j s z e n i a e n e r g i i p o l a m a g n e t y c z n e g o - W m
D l a d o w o l n i e m a By c h p r z e m i e s z c z e o z a c h o d z i w i c
P a w e B W i t c z a k , T E O R I A P O L A E L E K T R O M A G N E T Y C Z N E G O , W E E I A P A, 2 0 0 8 3 5
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