��2008-11-14
4. Pole magnetostatyczne
4.1. Podstawowe zale|no[ci
R�wnania pola magnetostatycznego
Polem statycznym nazywamy pole niezmienne w czasie, czyli pochodne czasowe
wektor�w indukcji s definicyjnie r�wne zeru �! " D/ "t = " B/ "t ]" 0.
R�wnania Maxwella rozprzgaj si do dw�ch niezale|nych ukBad�w:
W zapisie Magnetostatyka Elektrostatyka
r�|niczkowym
B = H D = K
r r
Magnetostatyka Elektrostatyka
W zapisie
caBkowym
B = H D = K
r r
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 2
1
2008-11-14
Warunki cigBo[ci wektor�w pola magnetycznego (1)
Rozpatrzmy dwa [rodowiska o przenikalno[ci
y x
magnetycznej i . Tworzymy zamknity,
1 2
prostoktny kontur l przenikajcy granic
1
g
o rozmiarach h i g takich, |e h <�<� g.
Zauwa|my, |e S(l) �! 0.
2
h
Prawo Ampere a mo|na zapisad jako
CaBki wzdBu| bok�w h maj warto[d pomijaln mo|na przyjd h dowolnie maBe.
Std
Je[li rozmiar g jest na tyle maBy, |e pole H jest staBe wzdBu| tego boku, to
Nat|enie pola magnetycznego przy przej[ciu przez granic
[rodowisk zachowuje cigBo[d skBadowej stycznej.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 3
Warunki cigBo[ci wektor�w pola magnetycznego (2)
Tworzymy obecnie walec o objto[ci V
un1 y x
i powierzchni brzegowej SV przenikajcy
V
granic, kt�rego podstawa S ma promieo
1
niewsp�Bmiernie wikszy od wysoko[ci h.
S
Powierzchni boczn oznaczamy jako S.
2 un
un2
Prawo Gauss a mo|na zapisad jako
CaBka wzdBu| pobocznicy S ma warto[d pomijaln, ponadto un1= _ un2 .
Std
Je[li rozmiar S jest na tyle maBy, |e pole B jest staBe na tej powierzchni, to
Indukcja pola magnetycznego przy przej[ciu przez granic
[rodowisk zachowuje cigBo[d skBadowej normalnej.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 4
2
2008-11-14
Zestawienie warunk�w cigBo[ci dla pola
magnetycznego (1)
Najczstszym przypadkiem granicy [rodowisk w obliczeniach
>> 1 Bn Bt1
r1
magnetycznych jest styk obszaru ferromagnetycznego o wzgldnej
Ht1 n
przenikalno[ci =(300 � 10 000) i niemagnetycznego = 1.
r1 r2
t
Niech skBadowa normalna indukcji na granicy wynosi Bn=1 T.
Bn
Bt2 0
Ht2
Iloraz skBadowych stycznych jest r�wny
= 1
r2
ModuB indukcji, a wic i skBadowa styczna Bt1 jest
ograniczona przez indukcj nasycenia Bns d" 2 T.
Std wynika
W obliczeniach technicznych mo|na wic przyjd, |e wektor indukcji w powietrzu tu| przy granicy
jest prostopadBy do powierzchni ferromagnetyka. Stwierdzenie to nie jest prawdziwe dla bardzo
silnych p�l oraz w przypadku wystpowania prd�w wirowych w ferromagnetyku ("B/"t `" 0).
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 5
Zestawienie warunk�w cigBo[ci dla pola
magnetycznego (2)
>> 1
Proporcje pomidzy skBadowymi indukcji r1
w ferromagnetyku tu| przy granicy, przez kt�r
wnika pole magnetyczne wynikaj z nastpujcego
una
Bt1
a
rozumowania: b
Bn
Niech pole 2D indukcji B ma w ferromagnetyku
B n
skBadowe Bn i Bt1 w pewnym, dostatecznie maBym
t
tr�jkcie o bokach a, b, c zbudowanym jak na
Bn c
rysunku. Warunek bezzr�dBowo[ci pola indukcji
Bt2 0
prowadzi do zale|no[ci
unc r2
= 1
L wymiar w kierunku prostopadBym do pBaszczyzny
rysunku. Daje to zale|no[d
kt�ra oznacza, |e przyjcie jednorodnego pola indukcji magnetycznej wewntrz tr�jktnego
elementu automatycznie speBnia warunek jego bezzr�dBowo[ci . Ugicie pola na granicy [rodowisk
jest wic wywoBane innymi czynnikami ni| niecigBo[d wBasno[ci materiaBowych.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 6
3
2008-11-14
Wyznaczanie elementarnych p�l magnetycznych
pole okrgBego przewodu wiodcego prd
Sb( l );
Dany jest dBugi, okrgBy przew�d miedziany o przekroju S
wiodcy prd staBy o nat|eniu I. Wyznaczyd rozkBad pola
l P
magnetycznego H w jego otoczeniu przyjmujc, |e Hz=0.
r
KoBowy kontur l o promieniu r peBni dwie funkcje:
r
" jest brzegiem otwartej powierzchni S( l );
I
" jest [ladem cylindrycznej pobocznicy walca Sb S( l );
o podstawie S.
y
Badany obiekt jest osiowo symetryczny, wic w ukBadzie
wsp�Brzdnych cylindrycznych (r, ) nat|enie pola H jest x
l
wyBcznie funkcj promienia.
Lewa strona prawa Ampere a
dla konturu l jest w postaci
Prawa strona prawa Ampere a
Std
jest r�wna
Stosujc z kolei twierdzenie Gauss a dla powierzchni walca mamy
Ostatecznie otrzymuje si
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 7
Wyznaczanie elementarnych p�l magnetycznych
pole dw�ch przewod�w wiodcych prd zasada superpozycji
H2
H
Dane s dwa dBugie, okrgBe przewody miedziane P
r2 r1
o przekrojach S1, S2 wiodce prd staBy o nat|eniu,
H1
odpowiednio I1, I2. Wyznaczyd rozkBad pola
magnetycznego H w ich otoczeniu przyjmujc, |e Hz=0.
y
I2> 0 I1> 0
x
Zasada superpozycji
Pole wektorowe pochodzce od kilku wymuszeo w obszarze o staBych wBasno[ciach
materiaBowych jest r�wne wektorowej sumie przyczynk�w, jakie wytwarza ka|de z tych
wymuszeo oddzielnie.
Rozwizania cz[ciowe s znane w lokalnych ukBadach wsp�Brzdnych (r1, ) i (r2, ).
1 2
Wypadkowe pole otrzymujemy transformujc przyczynki do globalnego ukBadu
wsp�Brzdnych (x, y) i sumujc je.
�!
W zale|no[ci od lokalnego kierunku wektora gsto[ci prdu J,
warto[ci I1, I2 mog byd dodatnie lub ujemne.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 8
4
2008-11-14
Prawo Biota Savarta
Uog�lnieniem prowadzonych rozwa|ao jest
ul
prawo Biota Savarta, kt�re pozwala na
okre[lenie nat|enia pola magnetycznego
w wybranym punkcie dla dowolnej geometrii
r
obwodu wymuszajcego pole.
H i
Elementarny odcinek przewodu wiodcego prd o nat|eniu i wytwarza przyczynek H
wypadkowego nat|enia pola magnetycznego w danym punkcie okre[lonym przez wektor r
CaBkowite pole wynosi wic
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 9
Pole magnetyczne pojedynczego zwoju
Rozpatrujemy pole magnetyczne wytworzone
przez pojedynczy, koBowy zw�j o promieniu r0,
usytuowany w pBaszczyznie 0xy i wiodcy prd i.
y
+ i l
W dowolnym punkcie P o wsp�Brzdnych *0, 0, a]
r0 x
(poBo|onym na osi symetrii zwoju) nat|enie pola
/2
magnetycznego H(P) ma wyBcznie skBadow Hz. - i l
a
Warto[d przyczynku Hz(P) wytworzonego przez
H+
P
dwa wycinki zwoju o dBugo[ci l wznosi
H_
z
H
Na podstawie prawa Biota + Savarta wyznaczamy moduBy przyczynk�w H+ = H-
Pole wytworzone przez caBy zw�j jest wic r�wne
co daje
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 10
5
2008-11-14
Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (1)
PBaszczyzna symetrii
Poszukiwany jest rozkBad pola magnetycznego H wzdBu|
osi symetrii 0z N-zwojnej cewki o promieniu r0 i dBugo[ci L
L
wiodcej prd o nat|eniu i. Ze wzgldu na symetri mo|na
rozpatrywad poBow dBugo[ci cewki.
0
Rzeczywisty, dyskretny rozkBad prdu
w cewce zastpujemy cigBym o gsto[ci r0
z
liniowej
0
Oznacza to, |e elementarny liniowy wycinek cewki o wsp�Brzdnej z
1
i dBugo[ci z wiedzie prd
r
P
Wycinek ten wytwarza
2
w punkcie P pole magnetyczne H
z
co wynika z zale|no[ci
CaBkowite pole H jest r�wne
r0 r z
P
r
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 11
Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (2)
Otrzymane rozwizanie pola H w osi cewki
nale|y uzupeBnid o wyra|enia na funkcje trygonometryczne
Uzyskuje si
Hz
RozkBad nat|enia pola magnetycznego
wzdBu| osi symetrii cewki
R�wnomierno[d nat|enia
z
pola magnetycznego Hz
w przekroju poprzecznym cewki
0
-0.5 L
0.5 L
Izolinie
pola magnetycznego
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 12
6
z
a
2008-11-14
Zakres stosowalno[ci prawa Biota - Savarta
Wz�r Biota Savarta zostaB wyprowadzony z I prawa Maxwell a (rot H = J).
Je|eli w caBym badanym obszarze przenikalno[d magnetyczna jest staBa, to
automatycznie s speBnione warunki cigBo[ci pola dla dowolnej powierzchni
mamy cigBo[d zar�wno skBadowych stycznych jak i normalnych p�l H i B.
Je|eli w rozpatrywanym obszarze wystpuj r�|ne materiaBy, to wz�r ten
nie mo|e byd stosowany, poniewa| jest wymagana niecigBo[d skBadowych
normalnych H oraz stycznych B.
Ht1=Ht2 �! Bt1/ = Bt2/
r1 r2
Bn1=Bn2 �! Hn1 = Hn2
r1 r2
Nale|y wprowadzid do r�wnania r�|niczkowego opisujcego pole
magnetyczne jednocze[nie wymagania
rot H = J
div B = 0
B= H
0 r
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 13
WpByw obecno[ci ferromagnetyka
na przestrzenny rozkBad wektor�w pola magnetycznego
bez rdzenia rdzeo =104 rdzeo stalowy
r
H [A/m]
B [T]
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 14
7
2008-11-14
4.2. PotencjaBy magnetyczne
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 15
Magnetyczny potencjaB wektorowy
Pojcie magnetycznego potencjaBu wektorowego A wprowadza si definiujc
pole indukcji magnetycznej B jako
Definicja ta speBnia automatycznie warunek
bezzr�dBowo[ci pola indukcji, poniewa|
ZakBadajc, |e przenikalno[d magnetyczna
r
jest obszarami staBa, otrzymuje si
Definicja pola B = rot A nie jest jednoznaczna, ze wzgldu
na to|samo[d (pole A jest okre[lone z dokBadno[ci do
gradientu dowolnej r�|niczkowalnej funkcji skalarnej )
W zale|no[ci od zagadnienia wprowadza si wic dodatkowo
tzw. warunek skalowania. Dla pola magnetostatycznego jest to
co prowadzi do ukBadu trzech r�wnao r�|niczkowych
czstkowych (Poissona)
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 16
8
2008-11-14
Magnetyczny potencjaB skalarny
Pojcie magnetycznego potencjaBu skalarnego V wprowadza si
definiujc nat|enie pola magnetycznego H jako
Pole magnetyczne okre[lone w ten spos�b nie mo|e
opisad pola wewntrz przewodnik�w wiodcych prd,
poniewa|
ZakBadajc, |e przenikalno[d magnetyczna
r
jest obszarami staBa, otrzymuje si
co prowadzi do r�wnania r�|niczkowego
czstkowego (Laplace a)
Uwzgldnienie wymuszenia prdowego (bdz obecno[ci magnes�w trwaBych) otrzymuje si
prowadzajc elektryczny potencjaB wektorowy T, kt�ry speBnia zale|no[d J = rot T.
CaBkowite nat|enie pola magnetycznego Hc jest sum Hc = - grad V + T
R�wnanie r�|niczkowe czstkowe opisujce pole magnetyczne wynika z warunku
bezzr�dBowo[ci div B = 0
R�wnanie to jest powszechnie stosowane w obliczeniach tr�jwymiarowych p�l.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 17
Dwuwymiarowe pole magnetyczne
Je|eli w prawie caBej objto[ci badanego obiektu, gsto[d prdu J ma tylko jedn skBadow,
np. J = uz Jz (x,y), to I r�wnanie Maxwell a zapisane przy pomocy potencjaBu wektorowego
ma postad
Jest to r�wnanie czstkowe drugiego rzdu (eliptyczne), do kt�rego rozwizania jest
potrzebna znajomo[d wBasno[ci pola potencjaBu na brzegu analizowanej objto[ci S(V).
Wyr�|niamy trzy rodzaje warunk�w brzegowych:
1. Warunek typu Dirichleta : Az(x,y SD) = (x,y). Najcz[ciej (x,y)=0.
D D
Warunek ten musi wystpid przynajmniej na cz[ci brzegu S(V).
2. Warunek typu Neumanna : "Az(x,y SN)/ "n = (x,y). Najcz[ciej (x,y)=0.
N N
3. Warunek periodyczno[ci : Az(x,y SP1) = � Az(x,y SP2) =
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 18
9
2008-11-14
Fizyczna interpretacja warunk�w brzegowych
dla p�l 2D
Bs
Na zewntrznej powierzchni tworzymy B
lokalny ukBad wsp�Brzdnych (0ns).
S Bn
s
Wektor indukcji B (o skBadowej Bz=0) w tym
n
ukBadzie oblicza si jako
y
x
Warunek typu Dirichleta : Az(x,y SD) = (x,y) = const.
D
co daje
czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyBcznie
skBadow styczn
Warunek typu Neumanna:
czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyBcznie
skBadow normaln
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 19
PrzykBady zastosowania warunk�w brzegowych 2D
jednorodny Dirichleta
n
1. W dostatecznie du|ej odlegBo[ci d > r
r
d
od badanego obiektu indukcja magnetyczna
jest pomijalna: B(d)= 0 poniewa| Bn(r) = 0.
Az=0
s
n
2. Na zewntrz zamknitego, ferromagnetycznego
obwodu indukcja magnetyczna jest pomijalna:
z warunku cigBo[ci skBadowych stycznych nat|enia
pola magnetycznego Hs0=HsFe wynika Bs0=BsFe/
r
Az=0
W obydwu przypadkach narzucenie warunku brzegowego
wprowadza pewien bBd do wynikowych obliczeo!
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 20
10
2008-11-14
PrzykBady zastosowania warunk�w brzegowych 2D
jednorodny Neumanna
Az=0
Wyznaczenie pola rozproszenia w |Bobku
maszyny elektrycznej
I
Pole indukcji magnetycznej na powierzchni
ferromagnetyka nie ma skBadowej stycznej ul
Bs= Az =0.
n
Az=0
n
Warunek jednorodny Dirichleta Az=0 w otwarciu
|Bobka jest niezbdny do poprawnego postawienia
zadania obliczeniowego.
Wprowadzenie warunku Az =0 pomija spadek
n
napicia magnetycznego HFe lFe w rdzeniu!
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 21
PrzykBady zastosowania warunk�w brzegowych 2D
wykorzystanie symetrii obiektu
1. Je|eli badany obiekt posiada pBaszczyzn symetrii
+I -I +I -I
jednocze[nie: geometryczn, materiaBow oraz Az = 0
n
wymuszeo pola magnetycznego, to na pBaszczyznie * *
tej pole indukcji magnetycznej ma wyBcznie skBadow
normaln. Oznacza to, |e Bs= Az = 0.
n
Az=const
2. Je|eli badany obiekt posiada pBaszczyzn symetrii
geometrycznej i materiaBowej bdc jednocze[nie
pBaszczyzn antysymetrii wymuszeo pola magnetycznego,
to na pBaszczyznie tej pole indukcji magnetycznej ma
wyBcznie skBadow styczn. Oznacza to: Az= const dla
punkt�w le|cych na tej pBaszczyznie.
Az = 0
+I/2
3. Model obliczeniowy redukuje si do postaci Az = 0
*
-I/2
Az = 0
n
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 22
11
2008-11-14
Warunki brzegowe periodyczno[ci r1
1
W maszynach elektrycznych wirujcych rozkBad
pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2).
N
Oznacza to, |e w ukBadzie wsp�Brzdnych
S
cylindrycznych r wektor indukcji magnetycznej
B(r, ) jest taki sam jak B(r, p). S
N
Uzyskuje si: Az(r, ) = Az(r, p) lub dla dwu
ukBad�w wsp�Brzdnych r1 r2 przesunitych o
kt p i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy
Az(r1, ) = Az(r2, ).
r2 2
B
Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje si 1/p razy.
B
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 23
Warunki brzegowe anty-periodyczno[ci
r1
1
W maszynach elektrycznych wirujcych rozkBad
pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2).
oraz najcz[ciej o odwrotnej zgodno[ci p�Bokres�w.
N
Oznacza to, |e w ukBadzie wsp�Brzdnych cylindrycznych
S
r2
r wektor indukcji magnetycznej B(r, ) jest taki sam jak
B(r, p) a ponadto B(r, )=- B(r, p).
S
2
Uzyskuje si wic : Az(r, ) = -Az(r, p) lub dla dwu
N
ukBad�w wsp�Brzdnych r1 r2 przesunitych o kt p
i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy
B
Az(r1, ) = - Az(r2, ).
Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje si 1/2p razy.
B
Warunki brzegowe periodyczno[ci (anty-periodyczno[ci)
stosuje si przy wyznaczaniu pola magnetycznego
w stanie obci|enia maszyny.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 24
12
2008-11-14
Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewk (1)
z
Dane jest pBaskie pole indukcji B i zwizane z
n
nim zale|no[ci B = *A pole magnetycznego
v
l(S)
potencjaBu wektorowego A = uzA.
Poszukiwany jest strumieo skojarzony
z cewk o N zwojach i przekroju S wytyczonym
A
przez jej kontur l(S).
y
Strumieo skojarzony z cewk jest
B
okre[lony wzorem w lokalnym ukBadzie
z
wsp�Brzdnych 0vnz
x
Stosujc twierdzenie Stokes a mamy
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 25
Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewk (2)
PotencjaB wektorowy ma tylko skBadow Az, M
dlatego iloczyny skalarne )#A, ul*# maj warto[d
ul
niezerow wyBcznie na bokach r�wnolegBych
do osi 0z.
z
v
Q
P
Warto[d potencjaBu nie zale|y od wsp�Brzdnej z, std
Strumieo magnetyczny skojarzony z cewk jest proporcjonalny do r�|nicy
warto[ci magnetycznego potencjaBu wektorowego w punktach, w kt�rych
boki cewki przecinaj pBaszczyzn linii pola (dotyczy pBaskiego pola indukcji magnetycznej).
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 26
13
L
2008-11-14
4.3. Pole magnetyczne quasi-statyczne
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 27
Definicja quasi-statyczno[ci pola
Pole magnetyczne nazywamy quasi-statycznym, je|eli rozkBad przestrzenny pola
magnetycznego w danej chwili czasowej tk wywoBany przez ukBad zmiennych w czasie
prd�w elektrycznych *I1(t), I2(t), ... IM(t)+ jest taki sam jak rozkBad przestrzenny pola
wytworzony przez ukBad prd�w staBych w czasie *I1=I1(tk), I2=I2(tk), ..., IM=IM(tk)].
I1
I2(tk)
t
tk
*
�
H2
I2
I1(tk)
H1
*
�
t
Warunkiem pozwalajcym na powy|sze zaBo|enie jest, przy danej czstotliwo[ci
wymuszenia, odpowiednio maBy przekr�j przewodnik�w wiodcych prd.
Dla 50 Hz przekr�j ten jest rzdu kilku mm2 - dla miedzi bdz aluminium.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 28
14
2008-11-14
II prawo Maxwell a dla p�l quasi-statycznych (1)
W zapisie r�|niczkowym II prawo Maxwell a jest w postaci
CaBkujc po wybranej powierzchni S(l) np. pojedynczego lub serii zwoj�w
i(t) ul
i stosujc twierdzenie Stokes a otrzymuje si
u(t)
B
Nat|enie pola elektrycznego K jest zwizane z wektorem gsto[ci prdu J poprzez
konduktywno[d ZakBadajc r�wnomiern gsto[d prdu w przekroju Sd przewodnika
(warunek quasi-statyczno[ci pola) mamy
u napicie w odbiornikowym systemie oznaczeo
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 29
II prawo Maxwell a dla p�l quasi-statycznych (2)
Oznaczajc formalnie strumieo skojarzony jako sum
strumienia zewntrznego oraz strumienia wytworzonego przez
z i
warto[d chwilow prdu i(t) obwodu
Wsp�Bczynnik L nazywa si indukcyjno[ci statyczn obwodu
Aczc powy|sze zale|no[ci otrzymuje si II prawo Kirchoffa (w zapisie odbiornikowym)
W ukBadach zawierajcych elementy ferromagnetyczne
na drodze strumienia magnetycznego L=f(i). Zachodzi
w�wczas
L=tg
i
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 30
15
2008-11-14
4.4. SiBy i energia w polu magnetycznym
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 31
Podstawowe zale|no[ci dla siB magnetycznych (1)
1. SiBa Lorentz a.
Na elementarn objto[d V= l Sd, przez kt�r przepBywa prd o gsto[ci J,
umieszczon w polu magnetycznym o indukcji B dziaBa siBa F o objto[ciowej gsto[ci f
B
l
Wersory ul oraz unS s wsp�Bliniowe z J.
F
J
Sd
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 32
16
2008-11-14
Podstawowe zale|no[ci dla siB magnetycznych (2)
2. Napr|enia Maxwell a.
Na elementarn powierzchni S rozgraniczajc
[rodowiska o przenikalno[ciach magnetycznych , , Tn1
1 2
1
na kt�rej wystpuje pole magnetyczne o indukcji B
2
i nat|eniu H, dziaBa siBa FS o powierzchniowej gsto[ci fS Tn2
un1
FS
SkBadniki Tni (i=1,2) nazywane s napr|eniami normalnymi
Maxwell a i s r�wne
Je|eli = ( ) oraz = to siBa FS wynosi w przybli|eniu
1 0 r r 2 0
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 33
Gsto[d energii pola magnetycznego
Objto[ciow gsto[ci energii pola magnetycznego wm, [J/m3+, nazywamy wyra|enie
wm
r�wne ilo[ciowo polu powierzchni pomidzy
H
osi B i charakterystyk magnesowania B(H).
Pomijajc zjawisko nasycenia magnetycznego otrzymuje si
co oznacza, |e gsto[d energii w ferromagnetyku, przy tej samej indukcji,
jest wielokrotnie mniejsza ni| w powietrzu.
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 34
17
2008-11-14
Powizanie siBy i energii pola magnetycznego
Zwora elektromagnesu przesunBa si o
pod wpBywem siB magnetycznych, kt�re
i
wykonaBy prac W
Je|eli energia ukBadu pozostaBa bez zmian
(brak jej dopBywu z sieci), to praca W powstaBa
kosztem zmniejszenia energii pola magnetycznego - Wm
Dla dowolnie maBych przemieszczeo zachodzi wic
PaweB Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PA, 2008 35
18
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
3,Pole magnetyczne22 pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna3 1 Pole magnetyczne 1 21pole magnetyczne i elektrycznePole magnetycznwięcej podobnych podstron