2008-11-14 4. Pole magnetostatyczne 4.1. Podstawowe zależności Równania pola magnetostatycznego Polem statycznym nazywamy pole niezmienne w czasie, czyli pochodne czasowe wektorów indukcji są definicyjnie równe zeru ⇒ ∂ D/ ∂t = ∂ B/ ∂t ≝ 0. Równania Maxwella rozprzęgają się do dwóch niezależnych układów: W zapisie Magnetostatyka Elektrostatyka różniczkowym B = H D = K r r Magnetostatyka Elektrostatyka W zapisie całkowym B = H D = K r r Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 2 1 2008-11-14 Warunki ciągłości wektorów pola magnetycznego (1) Rozpatrzmy dwa środowiska o przenikalności y x magnetycznej i . Tworzymy zamknięty, 1 2 prostokątny kontur l przenikający granicę 1 g o rozmiarach h i g takich, że h << g. Zauważmy, że S(l) → 0. 2 h Prawo Ampere’a można zapisad jako Całki wzdłuż boków h mają wartośd pomijalną – można przyjąd h dowolnie małe. Stąd Jeśli rozmiar g jest na tyle mały, że pole H jest stałe wzdłuż tego boku, to Natężenie pola magnetycznego przy przejściu przez granicę środowisk zachowuje ciągłośd składowej stycznej. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 3 Warunki ciągłości wektorów pola magnetycznego (2) Tworzymy obecnie walec o objętości V un1 y x i powierzchni brzegowej SV przenikający V granicę, którego podstawa S ma promieo 1 niewspółmiernie większy od wysokości h. S Powierzchnię boczną oznaczamy jako S. 2 un un2 Prawo Gauss’a można zapisad jako Całka wzdłuż pobocznicy S ma wartośd pomijalną, ponadto un1= _ un2 . Stąd Jeśli rozmiar S jest na tyle mały, że pole B jest stałe na tej powierzchni, to Indukcja pola magnetycznego przy przejściu przez granicę środowisk zachowuje ciągłośd składowej normalnej. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 4 2 2008-11-14 Zestawienie warunków ciągłości dla pola magnetycznego (1) Najczęstszym przypadkiem granicy środowisk w obliczeniach >> 1 Bn Bt1 r1 magnetycznych jest styk obszaru ferromagnetycznego o względnej Ht1 n przenikalności =(300 ÷ 10 000) i niemagnetycznego = 1. r1 r2 t Niech składowa normalna indukcji na granicy wynosi Bn=1 T. Bn Bt2 0 Ht2 Iloraz składowych stycznych jest równy = 1 r2 Moduł indukcji, a więc i składowa styczna Bt1 jest ograniczona przez indukcję nasycenia Bns ≤ 2 T. Stąd wynika W obliczeniach technicznych można więc przyjąd, że wektor indukcji w powietrzu tuż przy granicy jest prostopadły do powierzchni ferromagnetyka. Stwierdzenie to nie jest prawdziwe dla bardzo silnych pól oraz w przypadku występowania prądów wirowych w ferromagnetyku (∂B/∂t ≠ 0). Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 5 Zestawienie warunków ciągłości dla pola magnetycznego (2) >> 1 Proporcje pomiędzy składowymi indukcji r1 w ferromagnetyku tuż przy granicy, przez którą wnika pole magnetyczne wynikają z następującego una Bt1 a rozumowania: b Bn Niech pole 2D indukcji B ma w ferromagnetyku B n składowe Bn i Bt1 w pewnym, dostatecznie małym t trójkącie o bokach a, b, c zbudowanym jak na Bn c rysunku. Warunek bezźródłowości pola indukcji Bt2 0 prowadzi do zależności unc r2 = 1 L – wymiar w kierunku prostopadłym do płaszczyzny rysunku. Daje to zależnośd która oznacza, że przyjęcie jednorodnego pola indukcji magnetycznej wewnątrz trójkątnego elementu automatycznie spełnia warunek jego bezźródłowości . Ugięcie pola na granicy środowisk jest więc wywołane innymi czynnikami niż nieciągłośd własności materiałowych. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 6 3 2008-11-14 Wyznaczanie elementarnych pól magnetycznych pole okrągłego przewodu wiodącego prąd Sb( l ); Dany jest długi, okrągły przewód miedziany o przekroju S wiodący prąd stały o natężeniu I. Wyznaczyd rozkład pola l P magnetycznego H w jego otoczeniu przyjmując, że Hz=0. r Kołowy kontur l o promieniu r pełni dwie funkcje: r • jest brzegiem otwartej powierzchni S( l ); I • jest śladem cylindrycznej pobocznicy walca Sb S( l ); o podstawie S. y Badany obiekt jest osiowo symetryczny, więc w układzie współrzędnych cylindrycznych (r, ) natężenie pola H jest x l wyłącznie funkcją promienia. Lewa strona prawa Ampere’a dla konturu l jest w postaci Prawa strona prawa Ampere’a Stąd jest równa Stosując z kolei twierdzenie Gauss’a dla powierzchni walca mamy Ostatecznie otrzymuje się Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 7 Wyznaczanie elementarnych pól magnetycznych pole dwóch przewodów wiodących prąd – zasada superpozycji H2 H Dane są dwa długie, okrągłe przewody miedziane P r2 r1 o przekrojach S1, S2 wiodące prąd stały o natężeniu, H1 odpowiednio I1, I2. Wyznaczyd rozkład pola magnetycznego H w ich otoczeniu przyjmując, że Hz=0. y I2> 0 I1> 0 x Zasada superpozycji Pole wektorowe pochodzące od kilku wymuszeo w obszarze o stałych własnościach materiałowych jest równe wektorowej sumie przyczynków, jakie wytwarza każde z tych wymuszeo oddzielnie. Rozwiązania częściowe są znane w lokalnych układach współrzędnych (r1, ) i (r2, ). 1 2 Wypadkowe pole otrzymujemy transformując przyczynki do globalnego układu współrzędnych (x, y) i sumując je. ⇒ W zależności od lokalnego kierunku wektora gęstości prądu J, wartości I1, I2 mogą byd dodatnie lub ujemne. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 8 4 2008-11-14 Prawo Biota – Savarta Uogólnieniem prowadzonych rozważao jest ul prawo Biota – Savarta, które pozwala na określenie natężenia pola magnetycznego w wybranym punkcie dla dowolnej geometrii r obwodu wymuszającego pole. H i Elementarny odcinek przewodu wiodącego prąd o natężeniu i wytwarza przyczynek H wypadkowego natężenia pola magnetycznego w danym punkcie określonym przez wektor r Całkowite pole wynosi więc Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 9 Pole magnetyczne pojedynczego zwoju Rozpatrujemy pole magnetyczne wytworzone przez pojedynczy, kołowy zwój o promieniu r0, usytuowany w płaszczyźnie 0xy i wiodący prąd i. y + i l W dowolnym punkcie P o współrzędnych *0, 0, a] r0 x (położonym na osi symetrii zwoju) natężenie pola /2 magnetycznego H(P) ma wyłącznie składową Hz. - i l a Wartośd przyczynku Hz(P) wytworzonego przez H+ P dwa wycinki zwoju o długości l wznosi H_ z H Na podstawie prawa Biota + Savarta wyznaczamy moduły przyczynków H+ = H- Pole wytworzone przez cały zwój jest więc równe co daje Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 10 5 2008-11-14 Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (1) Płaszczyzna symetrii Poszukiwany jest rozkład pola magnetycznego H wzdłuż osi symetrii 0z N-zwojnej cewki o promieniu r0 i długości L L wiodącej prąd o natężeniu i. Ze względu na symetrię można rozpatrywad połowę długości cewki. 0 Rzeczywisty, dyskretny rozkład prądu w cewce zastępujemy ciągłym o gęstości r0 z liniowej 0 Oznacza to, że elementarny liniowy wycinek cewki o współrzędnej z 1 i długości z wiedzie prąd r P Wycinek ten wytwarza 2 w punkcie P pole magnetyczne H z co wynika z zależności Całkowite pole H jest równe r0 r z P r Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 11 Pole magnetyczne N-zwojnej cewki (2) Otrzymane rozwiązanie pola H w osi cewki należy uzupełnid o wyrażenia na funkcje trygonometryczne Uzyskuje się Hz Rozkład natężenia pola magnetycznego wzdłuż osi symetrii cewki Równomiernośd natężenia z pola magnetycznego Hz w przekroju poprzecznym cewki 0 -0.5 L 0.5 L Izolinie pola magnetycznego Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 12 6 z a 2008-11-14 Zakres stosowalności prawa Biota - Savarta Wzór Biota – Savarta został wyprowadzony z I prawa Maxwell’a (rot H = J). Jeżeli w całym badanym obszarze przenikalnośd magnetyczna jest stała, to automatycznie są spełnione warunki ciągłości pola – dla dowolnej powierzchni mamy ciągłośd zarówno składowych stycznych jak i normalnych pól H i B. Jeżeli w rozpatrywanym obszarze występują różne materiały, to wzór ten nie może byd stosowany, ponieważ jest wymagana nieciągłośd składowych normalnych H oraz stycznych B. Ht1=Ht2 ⇒ Bt1/ = Bt2/ r1 r2 Bn1=Bn2 ⇒ Hn1 = Hn2 r1 r2 Należy wprowadzid do równania różniczkowego opisującego pole magnetyczne jednocześnie wymagania rot H = J div B = 0 B= H 0 r Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 13 Wpływ obecności ferromagnetyka na przestrzenny rozkład wektorów pola magnetycznego bez rdzenia rdzeo =104 rdzeo stalowy r H [A/m] B [T] Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 14 7 2008-11-14 4.2. Potencjały magnetyczne Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 15 Magnetyczny potencjał wektorowy Pojęcie magnetycznego potencjału wektorowego A wprowadza się definiując pole indukcji magnetycznej B jako Definicja ta spełnia automatycznie warunek bezźródłowości pola indukcji, ponieważ Zakładając, że przenikalnośd magnetyczna r jest obszarami stała, otrzymuje się Definicja pola B = rot A nie jest jednoznaczna, ze względu na tożsamośd (pole A jest określone z dokładnością do gradientu dowolnej różniczkowalnej funkcji skalarnej ) W zależności od zagadnienia wprowadza się więc dodatkowo tzw. warunek skalowania. Dla pola magnetostatycznego jest to co prowadzi do układu trzech równao różniczkowych cząstkowych (Poissona) Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 16 8 2008-11-14 Magnetyczny potencjał skalarny Pojęcie magnetycznego potencjału skalarnego V wprowadza się definiując natężenie pola magnetycznego H jako Pole magnetyczne określone w ten sposób nie może opisad pola wewnątrz przewodników wiodących prąd, ponieważ Zakładając, że przenikalnośd magnetyczna r jest obszarami stała, otrzymuje się co prowadzi do równania różniczkowego cząstkowego (Laplace’a) Uwzględnienie wymuszenia prądowego (bądź obecności magnesów trwałych) otrzymuje się prowadzając elektryczny potencjał wektorowy T, który spełnia zależnośd J = rot T. Całkowite natężenie pola magnetycznego Hc jest sumą Hc = - grad V + T Równanie różniczkowe cząstkowe opisujące pole magnetyczne wynika z warunku bezźródłowości div B = 0 Równanie to jest powszechnie stosowane w obliczeniach trójwymiarowych pól. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 17 Dwuwymiarowe pole magnetyczne Jeżeli w prawie całej objętości badanego obiektu, gęstośd prądu J ma tylko jedną składową, np. J = uz Jz (x,y), to I równanie Maxwell’a zapisane przy pomocy potencjału wektorowego ma postad Jest to równanie cząstkowe drugiego rzędu (eliptyczne), do którego rozwiązania jest potrzebna znajomośd własności pola potencjału na brzegu analizowanej objętości S(V). Wyróżniamy trzy rodzaje warunków brzegowych: 1. Warunek typu Dirichleta : Az(x,y SD) = (x,y). Najczęściej (x,y)=0. D D Warunek ten musi wystąpid przynajmniej na części brzegu S(V). 2. Warunek typu Neumanna : ∂Az(x,y SN)/ ∂n = (x,y). Najczęściej (x,y)=0. N N 3. Warunek periodyczności : Az(x,y SP1) = ± Az(x,y SP2) = Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 18 9 2008-11-14 Fizyczna interpretacja warunków brzegowych dla pól 2D Bs Na zewnętrznej powierzchni tworzymy B lokalny układ współrzędnych (0ns). S Bn s Wektor indukcji B (o składowej Bz=0) w tym n układzie oblicza się jako y x Warunek typu Dirichleta : Az(x,y SD) = (x,y) = const. D co daje czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyłącznie składową styczną Warunek typu Neumanna: czyli pole indukcji na brzegu S(V) ma wyłącznie składową normalną Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 19 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D jednorodny Dirichleta n 1. W dostatecznie dużej odległości d > r r d od badanego obiektu indukcja magnetyczna jest pomijalna: B(d)= 0 ponieważ Bn(r) = 0. Az=0 s n 2. Na zewnątrz zamkniętego, ferromagnetycznego obwodu indukcja magnetyczna jest pomijalna: z warunku ciągłości składowych stycznych natężenia pola magnetycznego Hs0=HsFe wynika Bs0=BsFe/ r Az=0 W obydwu przypadkach narzucenie warunku brzegowego wprowadza pewien błąd do wynikowych obliczeo! Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 20 10 2008-11-14 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D jednorodny Neumanna Az=0 Wyznaczenie pola rozproszenia w żłobku maszyny elektrycznej I Pole indukcji magnetycznej na powierzchni ferromagnetyka nie ma składowej stycznej ul Bs= Az =0. n Az=0 n Warunek jednorodny Dirichleta Az=0 w otwarciu żłobka jest niezbędny do poprawnego postawienia zadania obliczeniowego. Wprowadzenie warunku Az =0 pomija spadek n napięcia magnetycznego HFe lFe w rdzeniu! Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 21 Przykłady zastosowania warunków brzegowych 2D wykorzystanie symetrii obiektu 1. Jeżeli badany obiekt posiada płaszczyznę symetrii +I -I +I -I jednocześnie: geometryczną, materiałową oraz Az = 0 n wymuszeo pola magnetycznego, to na płaszczyźnie * * tej pole indukcji magnetycznej ma wyłącznie składową normalną. Oznacza to, że Bs= Az = 0. n Az=const 2. Jeżeli badany obiekt posiada płaszczyznę symetrii geometrycznej i materiałowej będącą jednocześnie płaszczyzną antysymetrii wymuszeo pola magnetycznego, to na płaszczyźnie tej pole indukcji magnetycznej ma wyłącznie składową styczną. Oznacza to: Az= const dla punktów leżących na tej płaszczyźnie. Az = 0 +I/2 3. Model obliczeniowy redukuje się do postaci Az = 0 * -I/2 Az = 0 n Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 22 11 2008-11-14 Warunki brzegowe periodyczności r1 1 W maszynach elektrycznych wirujących rozkład pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2). N Oznacza to, że w układzie współrzędnych S cylindrycznych r wektor indukcji magnetycznej B(r, ) jest taki sam jak B(r, p). S N Uzyskuje się: Az(r, ) = Az(r, p) lub dla dwu układów współrzędnych r1 r2 przesuniętych o kąt p i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy Az(r1, ) = Az(r2, ). r2 2 B Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje się 1/p razy. B Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 23 Warunki brzegowe anty-periodyczności r1 1 W maszynach elektrycznych wirujących rozkład pola magnetycznego jest p-okresowy (na rys. p=2). oraz najczęściej o odwrotnej zgodności półokresów. N Oznacza to, że w układzie współrzędnych cylindrycznych S r2 r wektor indukcji magnetycznej B(r, ) jest taki sam jak B(r, p) a ponadto B(r, )=- B(r, p). S 2 Uzyskuje się więc : Az(r, ) = -Az(r, p) lub dla dwu N układów współrzędnych r1 r2 przesuniętych o kąt p i dowolnie usytuowanych w przestrzeni mamy B Az(r1, ) = - Az(r2, ). Rozmiar modelu obliczeniowego redukuje się 1/2p razy. B Warunki brzegowe periodyczności (anty-periodyczności) stosuje się przy wyznaczaniu pola magnetycznego w stanie obciążenia maszyny. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 24 12 2008-11-14 Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewką (1) z Dane jest płaskie pole indukcji B i związane z n nim zależnością B = ⨉A pole magnetycznego v l(S) potencjału wektorowego A = uzA. Poszukiwany jest strumieo skojarzony z cewką o N zwojach i przekroju S wytyczonym A przez jej kontur l(S). y Strumieo skojarzony z cewką jest B określony wzorem w lokalnym układzie z współrzędnych 0vnz x Stosując twierdzenie Stokes’a mamy Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 25 Wyznaczenie strumienia skojarzonego z cewką (2) Potencjał wektorowy ma tylko składową Az, M dlatego iloczyny skalarne 〈A, ul〉 mają wartośd ul niezerową wyłącznie na bokach równoległych do osi 0z. z v Q P Wartośd potencjału nie zależy od współrzędnej z, stąd Strumieo magnetyczny skojarzony z cewką jest proporcjonalny do różnicy wartości magnetycznego potencjału wektorowego w punktach, w których boki cewki przecinają płaszczyznę linii pola (dotyczy płaskiego pola indukcji magnetycznej). Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 26 13 L 2008-11-14 4.3. Pole magnetyczne quasi-statyczne Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 27 Definicja quasi-statyczności pola Pole magnetyczne nazywamy quasi-statycznym, jeżeli rozkład przestrzenny pola magnetycznego w danej chwili czasowej tk wywołany przez układ zmiennych w czasie prądów elektrycznych *I1(t), I2(t), ... IM(t)+ jest taki sam jak rozkład przestrzenny pola wytworzony przez układ prądów stałych w czasie *I1=I1(tk), I2=I2(tk), ..., IM=IM(tk)]. I1 I2(tk) t tk ⨉ · H2 I2 I1(tk) H1 ⨉ · t Warunkiem pozwalającym na powyższe założenie jest, przy danej częstotliwości wymuszenia, odpowiednio mały przekrój przewodników wiodących prąd. Dla 50 Hz przekrój ten jest rzędu kilku mm2 - dla miedzi bądź aluminium. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 28 14 2008-11-14 II prawo Maxwell’a dla pól quasi-statycznych (1) W zapisie różniczkowym II prawo Maxwell’a jest w postaci Całkując po wybranej powierzchni S(l) np. pojedynczego lub serii zwojów i(t) ul i stosując twierdzenie Stokes’a otrzymuje się u(t) B Natężenie pola elektrycznego K jest związane z wektorem gęstości prądu J poprzez konduktywnośd Zakładając równomierną gęstośd prądu w przekroju Sd przewodnika (warunek quasi-statyczności pola) mamy u – napięcie w odbiornikowym systemie oznaczeo Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 29 II prawo Maxwell’a dla pól quasi-statycznych (2) Oznaczając formalnie strumieo skojarzony jako sumę strumienia zewnętrznego oraz strumienia wytworzonego przez z i wartośd chwilową prądu i(t) obwodu Współczynnik L nazywa się indukcyjnością statyczną obwodu Łącząc powyższe zależności otrzymuje się II prawo Kirchoffa (w zapisie odbiornikowym) W układach zawierających elementy ferromagnetyczne na drodze strumienia magnetycznego L=f(i). Zachodzi wówczas L=tg i Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 30 15 2008-11-14 4.4. Siły i energia w polu magnetycznym Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 31 Podstawowe zależności dla sił magnetycznych (1) 1. Siła Lorentz’a. Na elementarną objętośd V= l Sd, przez którą przepływa prąd o gęstości J, umieszczoną w polu magnetycznym o indukcji B działa siła F o objętościowej gęstości f B l Wersory ul oraz unS są współliniowe z J. F J Sd Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 32 16 2008-11-14 Podstawowe zależności dla sił magnetycznych (2) 2. Naprężenia Maxwell’a. Na elementarną powierzchnię S rozgraniczającą środowiska o przenikalnościach magnetycznych , , Tn1 1 2 1 na której występuje pole magnetyczne o indukcji B 2 i natężeniu H, działa siła FS o powierzchniowej gęstości fS Tn2 un1 FS Składniki Tni (i=1,2) nazywane są naprężeniami normalnymi Maxwell’a i są równe Jeżeli = ( ) oraz = to siła FS wynosi w przybliżeniu 1 0 r r 2 0 Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 33 Gęstośd energii pola magnetycznego Objętościową gęstością energii pola magnetycznego wm, [J/m3+, nazywamy wyrażenie wm równe ilościowo polu powierzchni pomiędzy H osią B i charakterystyką magnesowania B(H). Pomijając zjawisko nasycenia magnetycznego otrzymuje się co oznacza, że gęstośd energii w ferromagnetyku, przy tej samej indukcji, jest wielokrotnie mniejsza niż w powietrzu. Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 34 17 2008-11-14 Powiązanie siły i energii pola magnetycznego Zwora elektromagnesu przesunęła się o pod wpływem sił magnetycznych, które i wykonały pracę W Jeżeli energia układu pozostała bez zmian (brak jej dopływu z sieci), to praca W powstała kosztem zmniejszenia energii pola magnetycznego - Wm Dla dowolnie małych przemieszczeo zachodzi więc Paweł Witczak, TEORIA POLA ELEKTROMAGNETYCZNEGO, WEEIA PŁ, 2008 35 18