Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Metoda pośrednicząca i metoda grupowa

1. Wstęp

–

Co to jest sieć niwelacyjna

–

Po co ją się wyrównuje

–

Co chcemy osiągnąć

2. Metoda pośrednicząca

Mamy sieć składającą się z szeregu punktów. Niektóre z nich są tzw. punktami stałymi (np.
osnowa) – w naszym przykładzie będą to punkty 101, 102. Punkty, których wysokości nie znamy to
punkty 1, 2, …, 8.
Na tej sieci wykonano pomiary, które są jednak obarczone błędami. Mamy 19 pomiarów, które
oznaczymy przez N:(A-B) co oznacza pomiar nr N określający różnicę wysokości pomiędzy
punktami A i B (o ile punkt B jest wyższy niż A), na przykład 1:(101-1).
Dane do rozważanego niżej przykładu mają postać następującą:

Nr-pkt

Y

101

100

102

101

Tabela 1: Wysokości punktów stałych

Obserwacja

N:(AB)

Wartość

h_AB

1:(101-1)

2,998

2:(101-2)

1,998

3:(101-3)

-1,008

4:(102-4)

-2,998

5:(102-5)

0,501

6:(102-6)

1,502

7:(102-7)

0,296

8:(102-8)

1,095

9:(7-1)

1,705

10:(7-2)

0,706

11:(3-7)

2,3

12:(8-3)

-3,096

13:(4-7)

3,302

14:(1-2)

-1,002

15:(6-4)

-4,501

16:(6-8)

-0,403

17:(5-4)

-3,507

18:(3-1)

4,003

19:(5-6)

0,996

Tabela 2: Wartości poszczególnych obserwacji

2.1. Wyznaczenie początkowych przybliżeń

Na początek musimy wyznaczyć początkowe przybliżenie poszczególnych wysokości. Można to
osiągnąć wybierając obserwacje, w których występują wszystkie punkty. Ponieważ jednak pewne
punkty są określone dokładnie, słusznie będzie wykorzystać do tego celu pierwsze 8 obserwacji.

Mamy zatem początkowe przybliżenia punktów określone na podstawie pierwszych ośmiu operacji:

Nr-pkt.

wys zaokr.

101

100

102

101

1

102,998

2

101,998

3

98,992

4

98,002

5

101,501

6

102,502

7

101,296

8

102,095

Tabela 3: Początkowe przybliżenia wysokości punktów

Poszczególne obserwacje zapiszmy w postaci macierzy A następującej postaci, do której dołączymy
wektor L:

A

L

obs.\pkt.

1

2

3

4

5

6

7

8

h2-h1-h12

1:(101-1)

1

0,000

2:(101-2)

1

0,000

3:(101-3)

1

0,000

4:(102-4)

1

0,000

5:(102-5)

1

0,000

6:(102-6)

1

0,000

7:(102-7)

1

0,000

8:(102-8)

1

0,000

9:(7-1)

1

-1

-0,003

10:(7-2)

1

-1

-0,004

11:(3-7)

-1

1

0,004

12:(8-3)

1

-1

-0,007

13:(4-7)

-1

1

-0,008

14:(1-2)

-1

1

0,002

15:(6-4)

1

-1

0,001

16:(6-8)

-1

1

-0,004

17:(5-4)

1

-1

0,008

18:(3-1)

1

-1

0,003

19:(5-6)

-1

1

0,005

Tabela 4: Macierz współczynników A i wektor L
Wektor L jest to różnica pomiędzy wartościami zmierzonymi (por. tabela 2), a obliczonymi na
podstawie początkowych przybliżeń punktów. Pierwsze 8 wierszy zaznaczono kolorem zielonym,
gdyż tam wektor L musi mieć wartości zerowe – na podstawie tych obserwacji wyznaczone zostały
początkowe przybliżenia, zatem jeśli te wartości byłyby niezerowe, świadczy to o popełnionym
błędzie!
Każdy z punktów (za wyjątkiem stałych) ma wysokość obarczoną pewnym błędem, którego nie
znamy. Zatem dla przykładu wysokość punktu 1 jest równa h1 + dh1, gdzie dh1 jest popełnionym
błędem początkowego przybliżenia. Mamy zatem np. dla obserwacji 9:(7-1) następujące równanie:



h

1



dh

1



– h

7



dh

7

≈

h

71

, które przekształcić można do

dh

1

−

dh

7



h

1

– h

7

−

h

71

=

dh

1

−

dh

7



l

9

=

v

9



0 , gdzie v9 jest tzw. poprawką 9 równania.

W postaci macierzowej całość równania wygląda następująco:

A⋅dh L=V  0

Dążymy do minimalizacji sumy kwadratów poprawek, zatem po przekształceniu mamy

A

T

A⋅dh=−A

T

L więc dh= A

T

A

−

1

−

A

T

L .

3. Metoda grupowa

Jeśli możemy podzielić wszystkie punkty na 3 grupy o następujących własnościach:

–

grupa nie ma żadnego połączenia (obserwacji) pomiędzy grupą 1 i 2

–

grupa 3 jest tzw. grupą łączną i są połączenia pomiędzy grupami 1 i 3, oraz 2 i 3

–

połączenia z punktami stałymi są nieistotne (mogą być z każdej z grup)

to możemy zrównoleglić obliczenia posługując się metodą grupową.
Na przykładzie z poprzedniego ćwiczenia:

–

Do grupy 1 zaliczamy punkty 1, 2, 3

–

Do grupy 2 zaliczamy punkty 4, 5, 6

–

Do grupy 3 zaliczamy punkty 7, 8

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

L

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

-1

0

-0,003

0

1

0

0

0

0

-1

0

-0,004

0

0

-1

0

0

0

1

0

0,004

0

0

1

0

0

0

0

-1

-0,007

-1

1

0

0

0

0

0

0

0,002

1

0

-1

0

0

0

0

0

0,003

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

-1

0

0

1

0

-0,008

0

0

0

1

0

-1

0

0

0,001

0

0

0

0

0

-1

0

1

-0,004

0

0

0

1

-1

0

0

0

0,008

0

0

0

0

-1

1

0

0

0,005

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

Tabela 5: Macierz A z podziałem na grupy

Tabela 5 przedstawia macierz z podziałem na poszczególne grupy.
UWAGA! Macierz musi wyglądać tak, jak powyżej – w szczególności pola, które pozostawiono
białe muszą być zerami! Jakakolwiek inna wartość w tym miejscu świadczy o błędnym podziale na
grupy!





















=

33

23

22

13

11

0

0

0

0

a

a

a

a

a

A





















=

3

2

1

l

l

l

L





















=

3

2

1

x

x

x

x

Następnie każdy z fragmentów (czerwony, zielony, niebieski) rozwiązujemy metodą pośredniczącą,
ale nie do końca. Wyznaczamy macierze ATA, oraz -ATL osobno!
Dlaczego? Otóż okazuje się, że jeśli macierz A ma postać jak powyżej, to ATA (dalej oznaczmy
jako U) ma uproszczoną postać podobnie, jak -ATL (ozn. b):





















=

C

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

U

T

T

T

T

T

T

22

23

11

13

23

22

22

22

13

11

11

11

0

0

33

33

23

23

13

13

a

a

a

a

a

a

C

T

T

T

+

+

=





















−

−

=

D

l

a

l

a

b

T

T

2

22

1

11

3

33

2

23

1

13

l

a

l

a

l

a

D

T

T

T

−

−

−

=

Wracając do praktycznych obliczeń.
Dla grupy 1 mamy:

A

x1

x2

x3

x7

x8

L

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

-1

0

-0,003

0

1

0

-1

0

-0,004

0

0

-1

1

0

0,004

0

0

1

0

-1

-0,007

-1

1

0

0

0

0,002

1

0

-1

0

0

0,003

Zatem:

ATA

-ATL

x1

4

-1

-1

-1

0

0,002

x2

-1

3

0

-1

0

0,002

x3

-1

0

4

-1

-1

0,014

x7

-1

-1

-1

3

0

-0,011

x8

0

0

-1

0

1

-0,007

W tym miejscu stosujemy metodę eliminacji Gaussa tak, aby doprowadzić do macierzy
jednostkowej po lewej stronie na górze, ale tylko dla elementów pierwszej grupy. Zatem:

x1

1

-0,25

-0,25

-0,25

0

0,0005

x2

0

2,75

-0,25

-1,25

0

0,0025

x3

0

-0,25

3,75

-1,25

-1

0,0145

x7

0

-1,25

-1,25

2,75

0

-0,0105

x8

0

0

-1

0

1

-0,007

x1

1

0 -0,27273

-0,36364

0

0,000727273

x2

0

1 -0,09091

-0,45455

0

0,000909091

x3

0

0 3,727273 -1,36364

-1

0,014727273

x7

0

0 -1,36364 2,181818

0

-0,009363636

x8

0

0

-1

0

1

-0,007

x1

1

0

0 -0,46341

-0,07317

0,001804878

x2

0

1

0

-0,4878 -0,02439

0,001268293

x3

0

0

1 -0,36585

-0,26829

0,00395122

x7

0

0

0 1,682927 -0,36585

-0,00397561

x8

0

0

0 -0,36585 0,731707

-0,00304878

Tabela 6: Kolejne kroki metody Gaussa
Zaznaczone na szaro elementy będą nam potrzebne do wyznaczenia
elementu E. Równy jest on

33

33

23

1

22

23

23

23

13

1

11

13

13

13

a

a

u

u

u

a

a

u

u

u

a

a

E

T

T

T

T

T

+

−

+

−

=

−

−

Licząc natomiast ręcznie, musimy dodać to pole do analogicznego z grupy
2 (niżej) i do (a_33^T)a_33. Analogicznie wyznaczamy wektor F (z tym,
że tutaj mnożymy aTl) biorąc zacienione wektory. Teoretycznie
wyznaczyć go można jako:
Analogicznie dla grupy 2:

A

x4

x5

x6

x7

x8

L

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

-1

0

0

1

0

-0,008

1

0

-1

0

0

0,001

0

0

-1

0

1

-0,004

1

-1

0

0

0

0,008

0

-1

1

0

0

0,005

ATA

-ATL

4

-1

-1

-1

0

-0,017

-1

3

-1

0

0

0,013

-1

-1

4

0

-1

-0,008

-1

0

0

1

0

0,008

0

0

-1

0

1

0,004

1

-0,25

-0,25

-0,25

0

-0,00425

0

2,75

-1,25

-0,25

0

0,00875

0

-1,25

3,75

-0,25

-1

-0,01225

0

-0,25

-0,25

0,75

0

0,00375

0

0

-1

0

1

0,004

1

0 -0,36364 -0,27273

0

-0,003454545

0

1 -0,45455 -0,09091

0

0,003181818

0

0 3,181818

-0,36364

-1

-0,008272727

0

0 -0,36364 0,727273

0

0,004545455

0

0

-1

0

1

0,004

1

0

0 -0,31429

-0,114285714

-0,0044

0

1

0 -0,14286 -0,142857143

0,002

0

0

1

-0,11429 -0,314285714

-0,0026

0

0

0 0,685714

-0,114285714

0,0036

0

0

0

-0,11429

0,685714286

0,0014

Tabela 7: Metoda pośrednicząca dla grupy 2
Mając już obliczone macierz E i wektor f odwracamy macierz E:

E

f

3,368641

-0,48014

-0,00038

-0,48014 2,417422

-0,00165

E-1

0,305504 0,060678
0,060678 0,425716

Tabela 8: E, f, E^{-1}

2

22

1

22

23

1

11

1

11

13

3

33

2

23

1

13

l

a

u

u

l

a

u

u

l

a

l

a

l

a

F

T

T

T

T

T

T

T

−

−

+

+

−

−

−

=

a następnie przechodzimy do ostatniego etapu. Wyznaczamy x3 = E^{-1}*f
W tym momencie mamy już wyznaczone poprawki do punktów grupy łącznej.
Na ich podstawie wyznaczamy x1 = n1 – cz*x3, gdzie n1 to niebieski wektor z tabeli 6, a cz to
czerwona macierz z tejże. Analogicznie wyznaczamy x2, tylko posługując się danymi z tabeli 7.