Wielkie twierdzenie Feramta Amir D Aczel

WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

NA

CIE

KACH

NAUKI
W 1997 roku w serii ukazały si

Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki
Rudolf Kippenhahn: Na tropie tajemnic Sło

Ken Croswell: Alchemia nieba. Opowie

ść

o Drodze Mlecznej,

gwiazdach i astronomach
Francis Crick: Zdumiewaj

ca Hipoteza, czyli nauka w poszukiwaniu

duszy
Robert Zubrin, Richard Wagner: Czas Marsa. Dlaczego i w jaki sposób
musimy skolonizowa

Czerwon

Planet

Peter Coveney, Richard Highfieid: Granice zło

ono

ci. Poszukiwania

porz

dku w chaotycznym

wiecie

Roger Penrose: Makro

wiat, mikro

wiat i ludzki umysł

Susan Quinn:

ycie Marii Curie

>-^^-sffV^-
W 1998 roku w serii ukazały si

James Shreeve: Zagadka neandertalczyka. W poszukiwaniu rodowodu
współczesnego człowieka
Donald Goidsmith: Najwi

ksza pomyłka Einsteina? Stała kosmologiczna

i inne niewiadome w fizyce Wszech

wiata

Frank E. Manuel: Portret Izaaka Newtona
J. D. Macdougall: Krótka historia Ziemi. Góry, ssaki, ogie

i lód

W przygotowaniu:
Michael White, )ohn Gribbin: Darwin.

ywot uczonego

Igor Nowikow: Rzeka czasu

AMIR D. ACZEL
WIELKIE TWIERDZENIE
FERMATA
Rozwi

zanie zagadki

starego matematycznego problemu
Przeło

ył

Paweł Strzelecki
Prószy^ski i ^l<a
Warszawa 1998

Tytuł oryginału
FERMATS LAST THEOREM
Uniocking the Secret
of an Ancient Mathematical
Problem
Copyright(c)1996
by Amir D. Aczel
Ali rights reserved
Projekt okładki
Katarzyna A. jarnuszkiewicz
Zdj

cie na okładce

Science Photo Library/EAST NEWS
Rysunki na podstawie
wydania ameryka

skiego

Krzysztof Biatkowski
ISBN 83-7180-655-8
Wydawca

Prószy

ski i S-ka

02-651 Warszawa,
ul. Gara

owa 7

Druk i oprawa
Łódzka Drukarnia Dziełowa
Spółka Akcyjna
ul. Rewolucji 1905 r. nr 45, Łód

Pierrre de Fermat (1601-1665).

SŁOWO WST

PNE

W czerwcu 1993 roku stary przyjaciel z Kalifornii, Tom
Schulte, odwiedził mnie w Bostonie. Siedzieli

w słonecznej kawiarni na chodniku Newburry Street, a przed
nami stały napoje w wysokich, oszronionych szklankach. Tom
przerwał gł

bokie rozmy

lania nad niedawnym rozwodem,

zwrócił si

w moj

stron

i rzekł: "Przy okazji, wła

nie udowod-

niono wielkie twierdzenie Fermata". Pomy

lałem,

e to na pew-

no jaki

nowy

art, a Tom z powrotem zacz

ł wpatrywa

w chodnik.
Dwadzie

cia lat wcze

niej Tom i ja byli

my studentami ma-

tematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i dzielili-

my ten sam pokój w akademiku. Wielkie twierdzenie Fermata

było cz

stym tematem naszych rozmów. Dyskutowali

my te

o funkcjach, zbiorach, ciałach i topologii. Kto był studentem
matematyki, nie sypiał wiele, gdy

nasza droga

yciowa je

yła

wprost od trudno

ci. To wła

nie odró

niało nas od studen-

tów wi

kszo

ci innych dziedzin. Czasem nawet dr

czyły nas

noc

matematyczne koszmary - trzeba było udowodni

to czy

inne twierdzenie, zanim nadejdzie ranek. Ale wielkie twierdze-
nie Fermata? Nikt nigdy nie wierzył,

e zostanie udowodnione

za naszego

ycia. Twierdzenie było tak trudne l tak wielu ludzi

próbowało si

z nim zmierzy

przez ponad trzysta lat. Mieli

8 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
te

wiadomo

ść

e poszukiwania dowodu doprowadziły do

rozwini

cia nowych gał

zi matematyki. Ale próby, jedna za

drug

, wiodły donik

d, a wielkie twierdzenie Fermata stało si

symbolem nieosi

galnego.

Pewnego razu owa aura nieosi

galno

ci i niemo

ci przy-

niosła ml nawet korzy

ść

. Było to par

lat pó

niej, równie

w Berkeley, gdy uko

czyłem ju

matematyk

i robiłem wła

nie

magisterium z bada

operacyjnych. Pewien arogant szykuj

doktorat z matematyki, nie

wiadomy mojego przygotowania

w tej dziedzinie, zaoferował mi pomoc, gdy spotkali

my si

w miejscu wspólnego zamieszkania, w International House:
"Zajmuj

matematyk

teoretyczn

. Gdyby

miał kiedykol-

wiek jakie

zadanie z matematyki, którego nie umiesz rozwi

, wal do mnie jak w dym". Chciał odej

ść

, gdy powiedziałem:

"Hmmm, no tak... Jest co

, w czym mógłby

mi pomóc..."

Zwrócił si

w moj

stron

, mówi

c: "Jasne, poka

, o co cho-

dzi", a Ja na rozpostartej serwetce (byli

my wła

nie w jadami)

napisałem powoli:
x" + y" = z" nie ma

adnych rozwi

całkowitych

dodatnich, gdy n. jest wi

ksze od 2.

"Od wczorajszego wieczoru usiłuj

to udowodni

" - powiedzia-

łem, podaj

c mu serwetk

. Widziałem, jak zbladł, a potem

burkn

ł: "Wielkie twierdzenie Fermata". "Tak - odparłem. -

Zajmujesz si

matematyk

teoretyczn

, czy mógłby

mi po-

móc?" Nigdy wi

cej nie ogl

dałem Jego twarzy z bliska.

"Mówi

powa

nie - powiedział Tom, ko

c drinka. - An-

drew Wiłe

. Udowodnił wielkie twierdzenie Fermata w Cam-

bridge w zeszłym miesi

cu. Zapami

taj to nazwisko, jeszcze

o nim usłyszysz". Wieczorem Tom poleciał z powrotem do Kali-
fornii, a ja w ci

gu nast

pnych miesi

cy przekonałem si

przyjaciel wcale ze mnie nie

artował. Na moich oczach Wiłe

najpierw był oklaskiwany i wychwalany, potem znaleziono
luk

w jego dowodzie, potem wycofał si

i ukrył na rok, by

wreszcie pojawi

znów z poprawionym dowodem.

ledz

c t

nieko

opowie

ść

, dowiedziałem si

równie

e Tom

SŁOWO WST

PNE • 9

nie miał racji. Zwraca

uwag

nale

ało nie tylko na nazwisko

Andrew Wilesa. Powinienem był - albo raczej powinni

my byli

wszyscy - wiedzie

e dowód wielkiego twierdzenia Fermata

wykracza daleko poza prac

jednego matematyka. Na równi

z Wilesem laury nale

żą

tak

e Renowi Rlbetowi, Bany'emu

Mazurowi, Góro Shimurze, Yutace Taniyamie, Gerhardowi
Freyowi i wielu innym. Ta ksi

ąż

ka opowie Warn cał

histori

tak

e t

zakulisow

, rozgrywaj

z dala od

wiateł sceny

l gazetowego zgiełku. B

dzie to tak

e historia intryg, podst

oraz zdrady.

Moje wtasne do

wiadczenia z uprawianiem

matematyki mo

na chyba najlepiej odda

, porów-

nuj

c je do zwiedzania ciemnego gmaszyska.

Wchodz

do pierwszego pokoju; jest ciemno,

zupełnie ciemno. Drepcz

w kotko i wpadam

na meble, dowiaduj

c si

stopniowo, gdzie s

ustawione. Po jakich

sze

ciu miesi

cach znaj-

duj

wył

cznik i naciskam go.

wiatło zalewa na-

gle wszystko i wreszcie mog

zobaczy

, gdzie je-

stem. A potem wchodz

do nast

pnego ciemnego

pokoju...
Tymi słowami profesor Andrew Wiłe

opisywał swo-

je siedmioletnie poszukiwania matematycznego

tego Graala.

przed

witem 23 czerwca 1993 roku profesor John

Conway przyszedł na pogr

ąż

ony w ciemno

ciach Wydział

Matematyki Uniwersytetu w Princeton. Otworzył drzwi fronto-
we własnym kluczem i wbiegł szybko po schodach do swojego
gabinetu. W ci

gu tygodni poprzedzaj

cych wyjazd Jego kolegi,

Andrew Wilesa, do Anglii w

wiatku matematyków uporczywie

ąż

yły niejasne plotki. Conway oczekiwał wi

e wydarzy si

nego (nie miał jednak poj

cia co). Wł

czył swój kompu-

ter l zasiadł do biurka, gapi

c si

w ekran. O 5:53 z drugiej

strony Atlantyku nadeszła lakoniczna wiadomo

ść

, przesłana

poczt

elektroniczn

: "Wiłe

dowodzi WTF".

Cambridge, Anglia, czerwiec 1993
W drugiej połowie czerwca 1993 roku profesor Andrew Wiłe

poleciał do Anglii. Wracał na Uniwersytet w Cambridge, gdzie
przed dwudziestu laty był doktorantem. Jego ówczesny promo-
tor, profesor John Coates, organizował w Cambridge konferen-

con

teorii Iwasawy, o której Wiłe

wiedział bardzo

o, jego doktorat bowiem dotyczył tego wła

nie fragmentu

teorii liczb. Coates poprosił swego byłego studenta, by zechciał

12 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wygłosi

na konferencji krótki, godzinny wykład na wybrany

przez siebie temat. Ku zaskoczeniu jego l pozostałych organi-
zatorów, zazwyczaj nie

miały i niech

tnie przemawiaj

cy przed

publiczno

Wiłe

zapytał, czy nie mógłby na swe wyst

pie-

nie dosta

trzech godzin zamiast jednej.

Przybywaj

c do Cambridge, czterdziestoletni Wiłe

wygl

dał

jak typowy matematyk: biała koszula z niestarannie podwini

tymi r

kawami, okulary w grubej, rogowej oprawie, nieporz

ne kosmyki rzedn

cych, jasnych włosów. Wiłe

urodził si

w Cambridge l był to dla niego bardzo szczególny powrót do
domu, powrót poł

czony ze spełnieniem dzieci

cych marze

W pogoni za tymi marzeniami Andrew Wiłe

dził ostatnie

siedem lat

ycia na własnym poddaszu niemal jak wi

zie

Miał jednak nadziej

e wyrzeczenia, lata zmaga

i długie go-

dziny samotno

ci sko

wkrótce, a on b

dzie mógł wi

cej

czasu sp

dza

i córkami, których przez siedem lat wła-

ciwie prawie nie widywał. Rzadko pokazywał si

na rodzin-

nych obiadach i podwieczorkach, a na kolacj

ąż

ał z ledwo-

. Za to teraz czuł,

e zbierze wszystkie nale

ne mu laury.

Instytut Nauk Matematycznych sir Izaaka Newtona w Cam-
bridge otwarto niedługo przed przyjazdem profesora Wilesa,
który miał tam wygłosi

trzygodzinne wykłady. Instytut jest

przestronny, poło

ony w malowniczym otoczeniu w pewnej od-

legło

ci od Uniwersytetu w Cambridge. Szerokie przestrzenie

na zewn

trz sal wykładowych wyposa

ono w mi

kkie, wygod-

ne krzesła, zaprojektowane z my

, by panom matematykom

ułatwi

nieformaln

wymian

pomysłów, a tym samym rozwi-

nauk

Wiłe

, cho

znał wi

kszo

ść

matematyków przybyłych ze

wiata na bardzo specjalistyczn

konferencj

, trzymał si

uboczu. Gdy kolegów zaciekawiło, dlaczego planuje tak długie
wyst

pienie. Wiłe

odpowiadał,

e powinni sami przyj

ść

na je-

go wykłady po to,

eby dowiedzie

, o czym b

dzie mowa.

Była to tajemniczo

ść

niezwykła nawet jak na matematyka.

Wprawdzie przedstawiciele tej profesji cz

sto pracuj

samotnie

nad dowodami twierdze

i wiadomo powszechnie,

e nie s

najbardziej towarzyskimi lud

mi na

wiecie, ale jednak wyni-

AMIR D, ACZEL • 13
kami swych bada

zazwyczaj si

dziel

. Rezultaty swej pracy

matematycy rozprowadzaj

bez ogranicze

w formie tzw. pre-

printów (wydruków wst

pnych), zbieraj

c dzi

ki temu komen-

tarze otoczenia, pomocne pó

niej, gdy trzeba nada

ostateczn

form

artykułowi tu

przed opublikowaniem. Ale Wiłe

nie

czał preprintów i nie dyskutował o swej pracy. Tytuł jego

wykładów: Formy modułowe, krzywe eliptyczne i reprezentacje
Galois nie pozwalał nawet specjalistom domy

, w któr

stron

zmierza autor. W miar

upływu czasu atmosfera g

st-

niała od plotek.
Ju

pierwszego dnia Wiłe

nagrodził zainteresowanie dwu-

dziestu słuchaczy zebranych w skupieniu na jego wykładzie
nieoczekiwanym l pot

ęż

nym twierdzeniem, a przecie

to byt

dopiero pocz

tek. Zostały mu jeszcze dwa wykłady. Co miały

przynie

ść

? Dla wszystkich stało si

jasne,

e wykłady Wilesa

to miejsce, gdzie nale

y bywa

. Napi

cie rosło w miar

gro-

madzenia si

w sali wykładowej tłumu wyczekuj

cych mate-

matyków.
Drugiego dnia Wiłe

zwi

kszył tempo wykładu, przynosz

ze sob

ponad dwie

cie stron zapełnionych wzorami i rachun-

kami; formułował nowe twierdzenia i ich długie, abstrakcyjne
dowody. Sala była wypełniona po brzegi. Wiłe

znów nie dał ni-

komu pozna

, dok

d wła

ciwie zmierza, pisz

c beznami

tnie

kred

po tablicy. Gdy nadszedł czas na przerw

, znikn

ł z sali.

Nast

pnego dnia, w

rod

23 czerwca 1993 roku, odbył si

jego ostatni wykład. Zbli

c si

do sali wykładowej. Wiłe

musiał torowa

sobie drog

w tłumie. Ludzie stali na zewn

trz,

blokuj

c wej

cie, a sala p

kała w szwach. Wiele osób miało ze

sob

aparaty fotograficzne. Gdy Wiłe

ponownie wypełniał ta-

blic

nie ko

cymi si

wzorami l twierdzeniami, emocje si

ły zenitu. "Wykład Wilesa mógł mie

tylko jedn

kulminacj

tylko jedno zako

czenie" - powiedział ml pó

niej profesor Ken

Ribet z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Wiłe

czył ostatnie linijki swego dowodu enigmatycznej i zawiłej hi-
potezy, tzw. hipotezy Shimury-Taniyamy. A potem dopisał
jeszcze jedn

, ostatni

linijk

, zawieraj

przeformułowa-

wersj

twierdzenia sprzed stuleci, wersj

, która, jak to udo-

14 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wodnił siedem lat wcze

niej Ken Rlbet, wynikałaby z owej hi-

potezy. "I to dowodzi wielkiego twierdzenia Fermata - rzekł
skromnie. - My

e na tym sko

Przez moment na sali panowała pełna zdumienia cisza, po-
tem za

wybuchły spontaniczne gromkie brawa. W błysku

fleszy wszyscy wstawali, by podej

ść

z gratulacjami do rozpro-

mienionego Wilesa. Par

minut pó

niej faksy l poczta elektro-

niczna na całym

wiecie poinformowały o tym,

e najsławniej-

szy problem matematyczny wszech czasów został wła

nie

rozwi

zany.

"Najbardziej nieoczekiwany był potop dziennikarzy, który
zalał nas nast

pnego dnia" - wspominał profesor John Coates,

który zorganizował konferencj

, nie maj

c poj

cia,

e b

dzie

ona scen

tak znamienitych osi

gni

ęć

. Na całym

wiecie posy-

pał si

istny grad gazetowych nagłówków, donosz

cych o nie-

oczekiwanym przełomie. "New York Times" z 24 czerwca
1993 roku obwieszczał na pierwszej stronie: "Nareszcie okrzyk
•eureka!« w sprawie matematycznej tajemnicy sprzed stuleci".
"Washington Post" w du

ym artykule nazwał Wilesa "pogrom-

matematycznych smoków". Wsz

dzie opisywano osob

, któ-

ra najwyra

niej rozwi

zała problem matematyczny, opieraj

ludzkim wysiłkom przez ponad 350 lat. W ci

gu Jednej no-

cy spokojny i ceni

cy sobie prywatno

ść

Andrew Wiłe

trafił na

usta wszystkich.
Pierre de Fermat
Plerre de Fermat byt siedemnastowiecznym francuskim praw-
nikiem, a tak

e miło

nikiem matematyki. Z formalnego punk-

tu widzenia był "amatorem", poniewa

na co dzie

wykonywał

zawód prawnika. Niemniej

cy na pocz

tku dwudziestego

wieku znany historyk matematyki, E. T. Beli, trafnie nazwał
Fermata "ksi

ciem amatorów". Jego zdaniem Fermat miał

ród swych osi

gni

ęć

cej wa

nych rezultatów ni

szo

ść

współczesnych mu "zawodowych" matematyków. Beli

twierdził nawet,

e Fermat to najbardziej płodny matematyk

AMIR-D. ACZEL • 15
siedemnastego stulecia; stulecia, które sk

din

d było aren

działa

kilku najt

ęż

szych matematycznych umysłów wszech

czasów.ł
Na trzyna

cie lat przed urodzeniem slr Izaaka Newtona Fer-

mat rozwin

ł podstawowe idee rachunku ró

niczkowego. Było

to Jedno z jego najbardziej oszałamiaj

cych osi

gni

ęć

. Na ogół

bowiem uwa

a si

e to Newton oraz współczesny mu Got-

tfried Wilhelm Leibniz stworzyli teori

- zwan

dzi

rachun-

kiem ró

niczkowym i całkowym - pozwalaj

na zastosowa-

nie matematyki do opisu ruchu, sił, przyspiesze

, kształtu

orbit ciał niebieskich i innych zjawisk, które podlegaj

głym zmianom.
Fermat fascynował si

dziełami matematycznymi staro

yt-

nych Greków. By

e do swej koncepcji podstaw rachunku

ró

niczkowego doszedł wła

nie podczas studiowania prac kla-

syków matematyki greckiej, Archimedesa i Eudoksosa,

cych odpowiednio w III i IV wieku p.n.e. Dzieła staro

ytnych,

dost

pne wówczas w łaci

skim przekładzie, Fermat czytywał

w ka

dej wolnej chwili. Jako zdolny prawnik pracował, je

wolno tak powiedzie

, na pełnym etacie, lecz du

o czasu

cał swemu hobby. Pasjonowały go próby uogólniania

dzieła staro

ytnych i odnajdywanie nowego pi

kna w ich zapo-

mnianych w ci

gu wielu wieków odkryciach. Kiedy

powie-

dział: "Znalazłem bardzo wiele niezmiernie pi

knych twier-

dze

". Owe twierdzenia Fermat miał zwyczaj notowa

marginesach egzemplarzy tłumacze

staro

ytnych dzieł, które

do niego nale

ały.

Fermat był synem Dominlque'a Fermata, handlarza skóra-
mi i zarazem drugiego konsula2 w mie

cie Beaumont-de-Lo-

magne. Matk

uczonego była Klara de Long, która pochodziła

z rodziny s

dziowskiej. Fermat urodził si

w sierpniu 1601 ro-

ku (ochrzczono go 20 sierpnia w Beaumont-de-Lomagne). Ro-
dzice wykształcili go na prawnika. Chodził do szkoły w Tulu-
1 E. T. Beli: Men of Mathematics. Simon and Schuster, Nowy Jork 1937, s. 56.
2 Mianem konsulów w ówczesnej Francji okre

lano m.in. s

dziów wybranych

Spomi

dzy kupców (przyp. tłum.).

16 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Arichmcticorum Lib. II. 8$
tcrułlloqiudratorum,&Canoaes lidem bi

etiam locum hłbebunt, vi mn.f.-

(luuitlł.
O^ASTl O VIII.
PnorOtiTYM qu*draium -T ON oftiS.yficł^^ayym
diu>derc,nduosquadr.(os. l ^^»s^e-n-^yl.^. i-
Impcratum l" vi 16. diuidnur «., .<«-',»-.,,»
in duos quadracos. Ponatur 'Bl»to^» ArtC A?j«» «(/low-
ptimus« O^Oportr- igicur 16 9p«ty»ret(. <^ i*5t>3i*' o 'BCy-rec
- l CL«q">l" e(rc ^"łdrato. JUwifuusfUlLC. ^Ili *Ut ^'a-
Finzo ouadralum a numens . - i i, o i -.'
quo(quot l.bucrit, cum dcfc- ^ "r ^ •'W^-^
cłu tot vnitaium quot conii- «9 ł»>«JMra>. <r

»MM r •nfa.y,i-

aet latus ipfiut ic. cfto a » N. ror^onfC*. ^(TU> <AfwnA(i4< n-
- 4. ipfe •gitur qu»dr3ius crit rt5r^<i'w^»»?łrV^^-
4 Q.-<- K. - K N. hxc «qiu- /" - .,- f i. --• , >
bunTur ynkaribu. .< -iCL o/•f(l•'^,/3 ^f* ^•,^W
Comniunisadiiciarur virimquc «<»» i wp»)A)»et tran <ftw»^(»ir
dcfetftus , & a fimilibu* aule- ^> ^,''ir[A«'-»Lł (('łr'] ł«JUia im
r.nturfiHulia. ficntJ Q«qu»- . ir^^-^"? W
lei ic N. & fic i N. 7 Entiei- ^~ ^ /' • ~t '-v-J

cnr altrr quadraionim T:-' . after "»" <aXyn(rtAB ^ Ac^.'»^«"
vcró '.','. & vtriufquc fumma cfl ifwm oyLSKt.fiuia.untC u. y-1 loaf
-.•r fen K. & vterque quidr»tui i^y^ y. ^ ^ww, o ^łfl^c
cft. "•'<! •'«a\ '"•
W •MfŁ'mm. i(a| o py rrr f.KCw
wtfJt.iSm. o A ffAfuwnfJi.iKw, 6 dS) f<So •uim3i'mc moSn u
MSfsiHfAT^HmfWi^ksir.iuu Kt»mi'-^ocw»p<t'y»y<5^.
Notka o wielkim twierdzeniu Fermata w wydaniu Arithmettki Diofantosa, opu-
blikowanym przez syna Fermata, Samuela. Oryginalnego egzemplarza ksi

ąż

Diofantosa z odr

cznym zapiskiem Fermata nigdy nie odnaleziono.

złe, a w 1631 roku, gdy miał trzydzie

ci lat, został w tym mie-

cie referendarzem. W tym samym roku o

enił si

z kuzynk

swej matki, Louise Long. Wkrótce na

wiat przyszło trzech sy-

nów i dwie córki. Prace ojca opublikował po jego

mierci jeden

z synów, Clernent Samuel, wykonawca testamentu Fermata.
To wła

nie z wydanej przez niego i przechowywanej do naszych

czasów ksi

ąż

ki, zawieraj

cej prace uczonego, znamy sławne

wielkie twierdzenie Fermata. Clement Samuel de Fermat uznał

AMIR D. ACZEL • 17
nagryzmolone na marginesie twierdzenie za fakt wa

ny i dodał

je do kolejnego wydania Jednego z tłumacze

staro

ytnych

dzieł.
Jak wynika z licznych opisów. Fermat wiódł

ycie spokojne,

stabilne, wolne od nieoczekiwanych i gwałtownych zdarze

Pracował godnie i uczciwie, w roku 1648 został mianowany na
wa

ne stanowisko radcy królewskiego w parlamencie Tuluzy.3

Piastował Je a

mierci w 1665 roku. Bior

c pod uwag

ogrom pracy Fermata na rzecz Korony Francuskiej, słu

któ-

pełnił umiej

tnie, sumiennie i z oddaniem, wielu historyków

Jest zadziwionych,

e starczało mu jeszcze czasu i sił umysłu

na uprawianie pierwszorz

dnej matematyki, i to na du

żą

ska-

. Jeden z ekspertów francuskich sugeruje nawet,

e oficjalna

praca Fermata była cenn

pomoc

w jego matematycznych

studiach, do obowi

zku bowiem francuskich radców parla-

mentarnych nale

ało zmniejszenie do minimum liczby nieofi-

cjalnych kontaktów (po to, by unikn

ąć

pokusy łapownictwa

l innych przekupstw). Poniewa

Fermat z pewno

potrzebo-

wał odpr

ęż

enia po ci

ęż

kiej pracy, a

ycie towarzyskie musiał

ograniczy

, matematyka prawdopodobnie stała si

dla

żą

danym wytchnieniem. Pomysły zwi

zane z rachunkiem ró

niczkowym nie s

bynajmniej jedynym osi

gni

ciem Fermata.

Dzi

ki Fermatowi rozkwitła teoria liczb. Wa

ne miejsce w tej

teorii zajmuje poj

cie liczby pierwszej.

Liczby pierwsze
Liczby jeden, dwa i trzy s

liczbami pierwszymi.4 Liczba cztery

nie jest pierwsza, bo jest iloczynem dwóch dwójek: 2x2=4.
Liczba pi

ęć

Jest pierwsza. Liczba sze

ść

nie jest pierwsza, ponie-

, podobnie jak cztery, jest iloczynem dwóch mniejszych

3 We Francji przed rewolucj

1789 roku nazwa "parlament" oznaczała s

(przyp. tłum.).
4 Zazwyczaj przyjmuje si

e liczba l nie jest ani pierwsza, ani zło

ona - jest

to
kwestia do

ść

powszechnie stosowanej umowy, któr

e Czytelnik pami

ta ze szkoły (przyp. tłum.).

18 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
liczb: 2x3=6. Siedem jest liczb

pierwsz

, osiem ni

nie jest

(2x2x2=8), podobnie jak dziewi

ęć

(3 x 3 = 9) i dziesi

ęć

(2x5

= 10). Ale jedena

cie znów jest liczb

pierwsz

, poniewa

oprócz liii nie ma dwóch liczb naturalnych, których iloczyn
byłby równy 11. T

wyliczank

na przedłu

: 12 nie jest

liczb

pierwsz

, 13 jest, 14 nie jest, 15 nie jest, 16 nie jest, 17

jest l tak dalej. Nie wida

adnej wyra

nej struktury. Nie

na, na przykład, powiedzie

e co czwarta liczba jest

pierwsza; bardziej skomplikowanych prawidłowo

ci te

pierwszy rzut oka dostrzec si

nie da. Ta sprawa fascynuje lu-

dzi od czasów staro

ytnych. Liczby pierwsze odgrywaj

w teorii

liczb Istotn

rol

l ów brak łatwej do zauwa

enia struktury po-

woduje,

e teoria liczb mo

e si

wydawa

dziedzin

niejednoli-

. Z tej samej przyczyny problemy teorii liczb s

izolowane

i trudne; ich zwi

zki z Innymi gał

ziami matematyki wydaj

nie zawsze jasne. Jak powiedział Bany Mazur: "Teoria liczb

produkuje bez wysiłku niezliczone problemy, które wygl

daj

słodko i niewinnie jak kusz

ce kwiatki; mimo to w teorii liczb

roi si

od owadów, które czekaj

tylko, by zwabi

i uk

miło

ników kwiatków, a ci, raz uk

szeni, pobudzani s

pó

niej

do nadmiernych wysiłków".5
Sławny dopisek na marginesie
Fermata zauroczył czar liczb; odnajdywał w nich pi

kno l zna-

czenie. Sformułował wiele twierdze

teorii liczb. Jedno z nich

orzeka na przykład,

e ka

da liczba postaci 22n + l (dwa, pod-

niesione do pot

gi o wykładniku równym dwa do pot

gi n, do-

jeden) jest liczb

pierwsz

. Pó

niej odkryto,

e to twierdze-

nie jest fałszywe. Istniej

bowiem liczby, które spełniaj

powy

szy warunek, ale nie s

pierwsze.

ród łaci

skich przekładów staro

ytnych tekstów Fermat

szczególnie upodobał sobie ksi

ąż

pod tytułem Arithmenca,

s Barry Mazur: Number Theory as Gadfiy, "American Mathematical Monthly"
98 (1991), s. 593.

AMIR D. ACZEL • 19
której autorem był grecki matematyk Diofantos,

cy w III

wieku naszej ery. Na marginesie swojego egzemplarza dzieła
Diofantosa, obok zadania o rozkładaniu kwadratu liczby na
sum

dwóch kwadratów. Fermat umie

cił około 1637 roku na-

puj

cy dopisek po łacinie:

Wiadomo,

e nie mo

na rozło

sze

cianu na dwa sze

cia-

ny ani bikwadratu na dwa bikwadraty, ani

adnej pot

gi,

oprócz kwadratu, na dwie inne pot

gi o tym samym wykład-

niku. Odkryłem prawdziwie cudowny dowód tego faktu, jed-
nak

e ten margines jest zbyt w

ski, by go zmie

To tajemnicze zdanie zapewniło zaj

cie wielu pokoleniom ma-

tematyków, próbuj

cych zrekonstruowa

"prawdziwie cudow-

ny dowód", który rzekomo Fermat znał. Twierdzenie,

e cho

niektóre kwadraty liczb całkowitych mo

na przedstawi

w po-

staci sumy kwadratów dwóch innych liczb całkowitych (na
przykład, kwadrat pi

tki, czyli 25, Jest równy sumie kwadratu

czwórki - 16 - i kwadratu trójki - 9), a nie da si

tego samego

zrobi

z sze

cianami ani

adnymi wy

szymi pot

gami, wygl

złudnie prosto. W pocz

tkach XIX wieku wszystkie inne twier-

dzenia sformułowane przez Fermata były ju

albo udowodnio-

ne, albo obalone. Do rozstrzygni

cia pozostała tylko ta pozor-

nie niewinna kwestia. Nadano jej nazw

wielkiego twierdzenia

Fermata.6 Czy istotnie było ono prawdziwe? Udzielenie twier-
dz

cej odpowiedzi jest w naszym stuleciu zadaniem przekra-

czaj

cym nawet mo

liwo

ci komputerów. Komputer potrafi

sprawdza

twierdzenie dla bardzo du

ych liczb, nie pomo

jednak w sytuacji, gdy trzeba ustali

prawdziwo

ść

czegokol-

wiek dla wszystkich liczb. Mo

na wypróbowa

miliardy liczb,

a l tak do sprawdzenia pozostanie ich niesko

czenie wiele.

Wykładników te

jest niesko

czenie wiele. Dla uzasadnienia

wielkiego twierdzenia Fermata potrzebny jest matematyczny
dowód.
6 W literaturze angloj

zycznej powszechnie u

ywa si

nazwy "ostatnie twierdze-

nie Fermata" (przyp. dum.).

20 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
W XIX wieku akademie nauk we Francji i Niemczech zaofe-
rowały nagrody dla autora dowodu. Od tej pory co roku tysi

matematyków i nawiedzonych amatorów wysyłało "dowody" do
czasopism matematycznych i wydaj

cych os

d ekspertów. Na

pró

no.

Lipiec-sierpie

1993:

wykrycie fatalnego przeoczenia
Gdy Wiłe

schodził z podestu przy tablicy w ow

pami

czerwcow

rod

, w

ród matematyków panował ostro

ny opty-

mizm. Wydawało si

e tajemnica sprzed 350 lat wreszcie

znalazła rozwi

zanie. Długi dowód Wilesa, wymagaj

cy stoso-

wania skomplikowanych poj

ęć

matematycznych i teorii nie

znanych nie tylko w czasach Fermata, lecz tak

e przed nadej-

ciem XX wieku, musiał by

sprawdzony przez niezale

nych

ekspertów. Prac

wysłano do kilku czołowych specjalistów.

e siedem lat samotnych wysiłków w pustelni na stry-

chu miało si

wreszcie Wilesowi opłaci

. Ale rado

ść

trwała

krótko: po paru tygodniach w rozumowaniu Wilesa wykryto
luk

. Próbował j

załata

, ale luka nie chciała tak po prostu

znikn

ąć

. Peter Samak, matematyk z Princeton l bliski przyja-

ciel Wilesa, obserwował jego codzienne, pełne udr

ki zmagania

z dowodem, który dwa miesi

ce wcze

niej został pokazany

w Cambridge całemu

wiatu. "Było to tak, jakby Andrew pró-

bował uło

w pokoju za du

y dywan - tłumaczył Samak. -

Naci

gał go i dywan

wietnie pasował z Jednej strony pokoju,

ale po drugiej stronie właził na

cian

; szedł wi

c tam i

gał

go w dół, a dywan wybrzuszał si

w innym miejscu. Stwierdze-

nie, czy dywan ma rozmiar dopasowany do pokoju, czy nie,
przekraczało jego mo

liwo

ci". Wiłe

wrócił na swój strych,

a reporterzy "New York Timesa" i inni przedstawiciele mediów
pozostawili go sam na sam z Jego zadaniem. Poniewa

czas

płyn

ł, a dowodu nie było, matematycy (i nie tylko) zacz

li si

zastanawia

, czy w ogóle wielkie twierdzenie Fermata jest

prawdziwe. Wiłe

zdołał wprawdzie na chwil

przekona

wiat,

AMIR D. ACZEL • 21

e posiadł cudowny dowód, lecz oto nagle ów dowód stał si

nie bardziej rzeczywisty ni

nie mieszcz

cy si

na zbyt w

skim

marginesie, "prawdziwie cudowny dowód" samego Fermata.
Mi

dzy Tygrysem i Eufratem,

około 2000 roku p. n. e.
Historia wielkiego twierdzenia Fermata jest o wiele starsza ni

jego autor. Jest nawet starsza ni

Diofantos, którego prace

Fermat próbował uogólnia

. Pocz

tki tego nieskomplikowanie

wygl

daj

cego, a mimo to gł

bokiego twierdzenia s

równie

stare jak ludzka cywilizacja. Ich korzenie si

gaj

kultury epoki

zu, która rozwin

ła si

yznych terenach mi

dzy Tygry-

sem i Eufratem, w staro

ytnym Babilonie (dzi

Jest to teren

Iraku). I chocia

wielkie twierdzenie Fermata jest abstrakcyjne

l nie ma

adnych zastosowa

w nauce, technice czy matema-

tyce - nawet w teorii liczb, swej kolebce - rodowód tego twier-
dzenia wi

ąż

e si

z codziennym

yciem ludu, który zamieszki-

wał Mezopotami

około 2000 roku p.n.e.

Okres pomi

dzy 2000 a 600 rokiem p.n.e. w dolinie Mezo-

potamii mo

na nazwa

stwa babilo

skiego. Był to

czas zadziwiaj

cego rozwoju kulturowego, o czym

wiadczy

m.in. stosowanie pisma, u

ycie koła i pocz

tki metalurgii. Do

nawadniania wielkich połaci ziemi mi

dzy dwiema rzekami

wykorzystywano system kanałów. W miar

rozkwitu cywiliza-

cji w

yznej dolinie Babilonu, zamieszkuj

cy tamte niziny

staro

ytny lud nauczył si

prowadzi

handel i budowa

mia-

sta, takie jak Babilon czy Ur (w którym urodził si

biblijny

Abraham). Prymitywne formy pisma rozwin

ły si

zarówno

w Mezopotamii, jak i w dolinie Nilu znacznie wcze

niej, bo ju

w ko

cu czwartego tysi

clecia przed nasz

. W obfituj

cej

w glin

Mezopotamii znaki w kształcie klinów wyciskano

trzcinowym rylcem na glinianych tabliczkach, które pó

niej

wypalano w piecu lub zostawiano, by stwardniały na sło

cu.

Od kształtu znaków na tabliczkach pochodzi nazwa "pismo
klinowe". Pismo klinowe jest najstarsze w

ród wszystkich

22 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
znanych odmian pisma, jakich kiedykolwiek u

ywano na

wiecie.

Rozwój handlu i budownictwa w Babilonie oraz staro

ytnym

Egipcie przyniósł zapotrzebowanie na dokładne pomiary. Uczeni
obu tych społecze

stw epoki br

zu wiedzieli, jak oszacowa

sto-

sunek obwodu kota do jego

rednicy. Posługiwali si

w tym celu

liczb

blisk

tej, któr

dzi

nazywamy n. Budowniczowie pot

ęż

nego zigguratu, biblijnej wie

y Babel l wisz

cych ogrodów Seml-

ramidy, jednego z siedmiu cudów staro

ytnego

wiata, musieli

zna

sposoby obliczania pola powierzchni i obj

ci.

Bogactwo mierzy si

w jednostkach

kwadratowych
W Babilonie rozwini

to do

ść

skomplikowany system Uczenia,

o podstawie sze

ść

dziesi

t. Dzi

ki temu babilo

scy in

yniero-

wie i budowniczowie mogli oblicza

wielko

ci niezb

dne w ich

codziennej pracy. Cho

nie wida

tego na pierwszy rzut oka,

kwadraty liczb pojawiaj

yciu w naturalny sposób. Mo

na powiedzie

e kwadraty liczb przedstawiaj

bogactwo. Dla-

czego? Otó

los rolnika zale

y od ilo

ci zebranych plonów. Plo-

ny zale

żą

z kolei od powierzchni, na której rolnik mo

e sia

Pole powierzchni to iloczyn długo

ci i szeroko

ci obsiewanego

zagonu - tu wła

nie pojawiaj

kwadraty. Zagon o szeroko-

ci i długo

ci równej a ma pole powierzchni równe "a-kwadrat"

(a2). Zatem, przynajmniej w tym sensie, bogactwo mierzy si

w jednostkach kwadratowych.
Babilo

czycy chcieli wiedzie

, kiedy mo

na otrzyma

kwa-i

drat liczby całkowitej, dodaj

c kwadraty innych liczb całkowi-

tych. Rolnik, który miał jedno pole o powierzchni dwudziestu
pi

ciu jednostek kwadratowych, mógł wymieni

Je na dwa pola

w kształcie kwadratu: jedno licz

ce szesna

cie jednostek kwa-

dratowych i drugie, maj

ce dziewi

ęć

jednostek kwadratowych.

Zatem pole pi

ęć

na pi

ęć

jednostek było warte tyle, co dwa pola:

Jedno cztery na cztery i jedno trzy na trzy. Ta wa

na Informacja

pomagała w rozwi

zywaniu praktycznych zagadnie

. Dzisiaj za-

AMIR D. ACZEL • 23
pisaliby

my ten zwi

zek w postaci równania: 52 = 42 + 32.

Trójki takich liczb naturalnych, jak 3, 4 i 5, których kwadraty
spełniaj

ów zwi

zek, nazywamy trójkami pitagorejskimi na

cze

ść

legendarnego greckiego matematyka. Pitagorasa, cho

wiadomo,

e Babilo

czycy znali takie trójki Ju

ponad tysi

lat przed urodzeniem sławnego uczonego. Przekonuje nas
o tym niezwykła gliniana tabliczka, pochodz

ca mniej wi

cej

z 1900 roku p.n.e.
Plimpton 322
Babilo

czycy mieli na punkcie tabliczek swego rodzaju obse-

, a dzi

ki prostej technologii pisma klinowego i obfito

ci gli-

ny mogli ich stworzy

wiele. Glina jest surowcem do

ść

trwałym

l dlatego wiele tabliczek zachowało si

do naszych czasów.

Podczas wykopalisk prowadzonych tylko w jednym miejscu,
w staro

ytnym Nippur, odnaleziono ich ponad pi

ęć

dziesi

tysi

cy. Dzi

znajduj

one w zbiorach muzeów w Yale,

Columbia i na uniwersytecie w Pensylwanii. Wielu z tych tabli-
czek nikt jeszcze nie przeczytał i nie rozszyfrował. W muzeal-
nych piwnicach zaczyna pokrywa

je kurz.

ród odczytanych tabliczek na szczególn

uwag

zasłu-

guje tabliczka, zwana Plimpton 322, znajduj

ca si

w mu-

zeum Uniwersytetu Columbia. Na cał

jej zawarto

ść

składa

tna

cie trójek liczb. Pierwsza liczba ka

dej trójki Jest

pełnym kwadratem, a zarazem sum

dwóch pozostałych liczb

danej trójki, które te

pełnymi kwadratami. Zatem tablicz-

ka Plimpton 322 zawiera kwadraty liczb, tworz

cych pi

tna-

cie trójek pitagorejsklch.7 S

ród nich m.ln. liczby

25 = 16 + 9, odpowiadaj

ce najprostszej trójce pitagorej sklej

(5, 4, 3), a tak

e 169 = 144 + 25, czyli 132 = 122 + 52. Na py-

7 Uwag

społeczno

ci naukowej na tabliczk

Plimpton 322 i zaawansowany

poziom matematyki babilo

skiej zwrócił w 1934 roku Otto Neugebauer. Do-

kładniejszy opis tych kwestii w j

zyku polskim mo

na odnale

źć

np. w pracach:

Marek Kordos: Wykłady z historii matematyki. WSiP, Warszawa 1994; Historio
matematyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975.

24 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Fot. Columbia University. Rare Books and Manuscript Library.
tanie, z jakich powodów staro

ytni Babilo

czycy interesowali

akurat tymi liczbami, historycy nie udzielaj

zgodnych

odpowiedzi. Jedna z teorii głosi,

e to zainteresowanie było

podyktowane czysto praktycznymi wzgl

dami; argumentuje

w niej,

e Babilo

czykom do oblicze

w systemie sze

ść

dziesi

tkowym wygodniej było u

ywa

liczb całkowitych ni

ułamków, a ładne, pełne kwadraty liczb całkowitych przyda-
wały si

do rozwi

zywania praktycznych zada

. Inni eksperci

e zainteresowanie kwadratami liczb całkowitych mog-

ło by

po prostu przejawem zwykłej ciekawo

ci. Niezale

nie

od motywów, wydaje si

e tabliczka Plimpton 322 mogła słu-

- jako swego rodzaju pomoc dydaktyczna - do tłumacze-

nia uczniom rozwi

zada

, w których wyst

powały kwa-

draty liczb całkowitych. Babilo

czycy bowiem nie rozwijali

ogólnych teorii rozwi

zywania takich zada

, lecz tworzyli ta-

bliczki z listami trójek odpowiednich liczb, a zadaniem
uczniów było opanowanie sposobu ich odczytywania i wyko-
rzystywania.

AMIR D, ACZEL • 25
Staro

ytne sprzysi

ęż

enie czcicieli liczb

Pitagoras urodził si

około 580 roku p. n. e. na greckiej wyspie

Samos.8 Zje

dził staro

ytny

wiat wzdłu

i wszerz; odwiedzał

Babilon, Egipt, mo

e nawet Indie. Podczas swych podró

y do

Babilonu Pitagoras nawi

zał kontakty z tamtejszymi mate-

matykami i dowiedział si

o badaniach liczb, które pó

niej

nazwano na jego cze

ść

trójkami pitagorejskimi, a które znane

były wówczas babilo

skim uczonym od ponad 1500 lat.

Pitagoras spotkał te

twórców wspaniałych dzieł sztuki,

a matematyczne aspekty cudów architektury niew

tpliwie

nie uszły jego uwadze. Zetkn

ł si

równie

z filozofi

i religia-

mi Wschodu.
Po powrocie do Grecji opu

cił wysp

Samos i przeniósł si

do le

żą

cej na podeszwie "włoskiego buta" Krotony. Zwró

uwag

na ciekawostk

: Pitagoras zapewne widział wi

kszo

ść

z siedmiu cudów

wiata. Jeden z nich,

tynia Hery, znajdo-

wał si

na jego rodzinnej wyspie Samos. Ruiny wspaniałej

tyni - do dzi

zachowała si

tylko jedna samotna kolum-

na, która ocalała spo

ród setek Innych - s

siaduj

obecnie

z nowoczesnym miastem Pythagorion, nazwanym tak na cze

ść

znamienitego obywatela wyspy. Po drugiej stronie cie

niny,

kilka mil na północ wzdłu

brzegu, na terenie dzisiejszej Turcji

stała ongi

tynia Artemidy w Efezie. Kolos Rodyjski znaj-

dował si

o par

kroków na południe od Samos; w Egipcie Pi-

tagoras widział tamtejsze piramidy i Sfinksa, a w Babilonie uj-
rzał niew

tpliwie wisz

ce ogrody Semiramidy.

Południowa cz

ęść

Półwyspu Apeni

skiego, w tym Krotona,

w której osiedlił si

Pitagoras, była w owym czasie cz

ęś

tzw.

Magna Graecia, czyli Wielkiej Grecji, obejmuj

cej swym zasi

giem liczne kolonie rozrzucone na wybrze

ach wschodniej cz

ci basenu Morza

ródziemnego. Jedn

z takich kolonii stano-

8 Istniej

wprawdzie staro

ytne biografie Pitagorasa, na przykład pióra Dioge-

nesa Laertiosa, lecz nie ma pełnej zgody co do tego, czy Pitagoras naprawd

jest postaci

historyczn

; Arystoteles uwa

ał Pitagorasa jedynie za personifika-

idei pitagorejskiej (przyp. tłum.).

26 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

wiła pó

niej Aleksandria - potomkowie ludno

ci etnicznie

greckiej przetrwali w niej do pocz

tków wieku dwudziestego.

Niedaleko Krotony poło

one były Jaskinie licznych wyroczni,

w tym stawnej wyroczni delficklej, przepowiadaj

cej (czy traf-

nie, to inna sprawa) losy ludzi i narodów.
Wszystko jest liczb

Na jałowych, kamienistych, sk

panych w bezlitosnym sło

terenach Półwyspu Apeni

skiego Pitagoras zało

ył tajemny

zwi

zek, którego celem stało si

studiowanie własno

ci liczb.

Zgodnie z popularnym pogl

dem członkowie tego zwi

zku,

tak zwani pitagorejczycy, stworzyli - pracuj

c w gł

bokiej ta-

jemnicy - solidny kawał matematycznej wiedzy. Uwa

a si

AMIR D. ACZEL • 27
pitagorejczycy wyznawali doktryn

intelektualn

, któr

dobrze

streszcza ich motto: "wszystko jest liczb

". Ró

ne liczby, obda-

rzone wedle pitagorejczyków cechami magicznymi, były dla
nich przedmiotem swoistego kultu. W kr

gu zainteresowa

pitagorejczyków znalazły si

m.in. liczby "doskonałe", pojawia-

ce si

tak

e w badaniach uczonych

redniowiecza i w mistycz-

nej

ydowskiej Kabale. Liczba doskonała to liczba naturalna,

która jest sum

wszystkich (nie licz

c jej samej) swych dzielni-

ków. Najprostszy przykład stanowi szóstka, która jest iloczy-
nem trójki, dwójki i jedynki; w dodatku s

to jej wszystkie (nie

licz

c jej samej) dzielniki. Mamy wi

c 6 = 3 x 2 x l. Zauwa

jednak,

e je

li - zamiast mno

- dodamy te liczby, to wynik

nie zmieni: 6=3+2+ l. To za

oznacza,

e szóstka jest licz-

doskonał

. Inn

liczb

doskonał

jest 28, której dzielnikami

l, 2, 4, 7 i 14; łatwo sprawdzi

e 28 = l + 2 + 4 + 7 + 14.

Pitagorejczycy wiedli ascetyczny tryb

ycia, pełen rozlicz-

nych obwarowa

i zasad. Nie Jedli na przykład bobu, gdy

, ich

zdaniem, swym kształtem przypominał j

dra. Ich zaabsorbo-

wanie liczbami miało charakter religijny; na religijnych pod-
stawach tak

e opierał si

rygorystycznie przez nich przestrze-

gany

cisły wegetarianizm. Nie znamy wprawdzie

adnych

dokumentów pisanych z czasów Pitagorasa, lecz wiele nieco
pó

niejszych

ródeł staro

ytnych przedstawia dzieło mistrza

l jego uczniów, a sam Pitagoras uznawany jest za jednego
z najwi

kszych matematyków staro

ytnych. Przypisuje mu si

odkrycie twierdzenia, zwanego dzi

twierdzeniem Pitagorasa,

mówi

cego o kwadratach długo

ci boków trójk

ta prostok

nego. Ma ono

cisły zwi

zek z trójkami pitagorejskimi, a po-

rednio wi

ąż

e si

z młodszym o dwa tysi

clecia wielkim

twierdzeniem Fermata.
Kwadrat przeciwprostok

tnej Jest równy

sumie kwadratów pozostałych boków...
Samo twierdzenie znane było zapewne ju

w Babilonie, Babl-

czycy bowiem wiedzieli o istnieniu trójek pitagorejsklch.

28 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Y2
Sformułowanie ogólnego zagadnienia geometrycznego, które
ma sens nie tylko wtedy, gdy długo

ci boków s

Liczbami natu-

ralnymi, przypisuje si

jednak pitagorej czy koma. Twierdzenie

Pitagorasa (prosz

spojrze

na rysunek powy

ej) głosi,

e kwa-

drat długo

ci przeciwprostok

tnej jest równy sumie kwadra-

tów długo

ci przyprostok

tnych.

Gdy długo

ść

przeciwprostok

tnej Jest liczb

maturaln

(na

przykład równ

5), to mo

e si

zdarzy

tak,

e w

ród dopusz-

czalnych przez twierdzenie Pitagorasa długo

ci przyprostok

nych znajdziemy par

liczb naturalnych (dla pi-

tki rzeczywi-

cie tak Jest - wystarczy wzi

ąć

trójk

i czwórk

). Innymi słowy,

li długo

ci boków trójk

ta prostok

tnego s

l iczbami natu-

ralnymi, to tworz

trójk

pitagorejsk

(i by

=e znajduj

na tabliczce Plimpton 322, chocia

nie jest to takie pewne,

albowiem ró

nych trójek pitagorejskich Jest niesl-es

czenie wie-

le, a wi

c du

o wi

cej ni

na sławnej tabliczce, która zawiera

ich zaledwie 15).

AMIR D. ACZEL • 29
000

0
0
0
0

0 0

0
0
0

0

0
0

0

Nawiasem mówi

c, pitagorejczycy wiedzieli tak

e kwa-

draty liczb naturalnych s

sumami kolejnych liczb nieparzy-

stych: 22 = 4 = l + 3; 32 =9=1+3+5; 42 = 16 =1+3+5+7
itd. Ilustrowali t

prawidłowo

ść

, rysuj

c kółka układaj

ce si

w kwadratowy wzór. Gdy doło

ymy nieparzyst

liczb

kółek,

umieszczaj

c je wzdłu

dwóch s

siednich boków kwadratu,

powstanie nowy kwadrat.
Liczby naturalne, wymierne i co jeszcze?
Liczby całkowite, a tak

e liczby wymierne (to znaczy liczby ta-

kie, jak 1/2, 1/3, 5/8, 147/1769 itp.) znane były w staro

yt-

ci zarówno w Egipcie, jak i Babilonie. Pitagorejczycy odkry-

li,

e istniej

jeszcze liczby niewymierne - nie mo

na ich

zapisa

w postaci ułamka o liczniku i mianowniku natural-

nym, za

ich rozwini

cia dziesi

tne składaj

z niesko

cze-

nie wielu chaotycznie, nieokresowo rozmieszczonych cyfr. Licz-
b

niewymiern

j est na przykład liczba K = 3,141592653...,

która wyra

a stosunek obwodu koła do jego

rednicy. W uło-

eniu niesko

czenie wielu cyfr, tworz

cych rozwini

cie dzie-

tne liczby TI, nie wida

adnej regularno

ci; wypisanie tych

wszystkich cyfr zaj

łoby cał

wieczno

ść

. Oszcz

dzamy cenny

30 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
czas, u

ywaj

c jako symbolu greckiej litery n. Mo

emy te

po-

słu

przybli

eniem, wypisuj

c sko

czon

liczb

cyfr po

przecinku. W tej chwili, dzi

ki zastosowaniu komputerów,

znamy ich miliony, a nawet miliardy, cho

do wi

kszo

praktycznych celów wystarczy kilka pocz

tkowych.

Ró

ne przybli

enia liczby TC znane były ju

Egipcjanom i Ba-

bilonczykom w drugim tysi

cleciu przed nasz

. Zaintereso-

wanie t

liczb

ąż

e si

w naturalny sposób z wynalezieniem

kota. Przyjmowano,

e n to nieco wi

cej ni

3. Co ciekawe, licz-

ba 7t oddaje te

niektóre proporcje piramidy Cheopsa. Niejaw-

wzmiank

o n odnajdzie te

uwa

ny czytelnik Pierwszej

Ksi

gi Królewskiej Starego Testamentu (l Kri 7, 23),

ledz

zawarty tam opis budowy kolistego zbiornika na wod

. Z poda-

nych warto

ci obwodu i

rednicy mo

emy wnioskowa

przyj

ta przez Izraelitów warto

ść

n równała si

, z grubsza bio-

c, trzy.

Pitagorejczycy odkryli,

e pierwiastek z dwóch jest licz-

niewymiern

. Stosuj

c twierdzenie Pitagorasa do trój-

ta prostok

tnego o dwóch bokach jednostkowej długo-

ci, stwierdzili,

e długo

ść

przeciwprostok

tnej takiego

trójk

ta wyra

a si

dziwn

liczb

: jej kwadrat jest równy

dwójce. Potrafili precyzyjnie wykaza

e nie jest to ani licz-

ba całkowita, ani te

ułamek (mówi

lej: iloraz dwóch

liczb naturalnych). Cyfry rozwini

cia dziesi

tnego pierwiast-

ka z dwóch nie powtarzaj

aden regularny spo-

sób. Podobnie jak w przypadku TI, wypisanie wszystkich
cyfr rozwini

cia trwałoby cał

wieczno

ść

, tworz

bo-

wiem one niesko

czony, jedyny w swoim rodzaju ci

g, w ni-

czym nie przypominaj

cy ci

gu takiego jak na przykład:

1,8571428571428571..., który przecie

łatwo mo

emy do-

kładnie opisa

, nie wymieniaj

c wcale jego wszystkich cyfr.

da liczba, która ma okresowe rozwini

cie dziesi

tne

(w naszym przykładzie okres stanowi powtarzaj

ca si

zbit-

ka sze

ciu cyfr 857142), jest liczb

wymiern

, czyli ilorazem

dwóch liczb naturalnych a l b, a to znaczy,

e mo

emy

zapisa

w postaci ułamka a/bo naturalnym liczniku

l mianowniku. Na przykład iloraz 13/7 jest równy liczbie

AMIR D. ACZEL • 31
1,8571428571428571... - sze

ciocyfrowy ci

g 857142 po-

wtarza si

po przecinku w niesko

czono

ść

Odkrycie niewymiemo

ci pierwiastka z dwóch było dla pita-

gorejczyków - zagorzałych wielbicieli liczb - nieprzyjemn

nie-

spodziank

. Zaprzysi

gli,

e nie podziel

wiadomo

z nikim, kto nie byłby członkiem ich zwi

zku. Tajemnicy nie

udało si

Jednak zachowa

. Jedna z legend głosi,

e zdrajc

który ujawnił

wiatu sekret istnienia dziwnych liczb niewy-

miernych, Pitagoras skazał na

mier

przez utopienie i sam

wykonał wyrok.
Na osi liczbowej znajduj

liczby dwóch rodzajów: wy-

mierne i niewymierne. Razem wypełniaj

one o

liczbow

szczelnie, nie pozostawiaj

c najmniejszej dziurki. Liczby roz-

mieszczone s

w bardzo, bardzo małych (niesko

czenie ma-

łych) odst

pach. Mówi si

e uło

enie liczb niewymiernych

ród liczb rzeczywistych jest g

ste. Oznacza to,

e ka

dy,

cho

by i najmniejszy, odcineczek osi liczbowej zawiera liczby

niewymierne. Co wi

cej, w ka

dym dowolnie małym otoczeniu

dej liczby wymiernej jest niesko

czenie wiele liczb niewy-

miernych, a w ka

dym dowolnie małym otoczeniu liczby nie-

wymiernej jest niesko

czenie wiele liczb wymiernych. Mówi

nieco inaczej, oba podzbiory osi liczbowej - a wi

c liczby

wymierne i liczby niewymierne - s

niesko

czone i bardzo do-

kładnie nawzajem przemieszane. Okazuje si

jednak,

e nie-

sko

czono

ci mog

ró

ne, a liczb niewymiernych jest

w pewnym sensie nieporównywalnie wi

cej ni

wymiernych.

W latach siedemdziesi

tych XIX wieku udowodnił ten fakt

niemiecki matematyk Georg Cantor (1845-1918), który stwo-
rzył nauk

o własno

ciach zbiorów, tzw. teori

mnogo

ci.

Z pocz

tku niewiele osób było skłonnych da

wiar

jego od-

kryciom. Autora teorii, pozwalaj

cej okre

, ile jest liczb wy-

miernych, a ile niewymiernych, wyszydzał i o

mieszał jego ar-

cywróg, Leopold Kronecker (1823-1891), znany ze swego
stwierdzenia: "Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, reszta za

Jest dziełem człowieka". Miało to znaczy

e liczby niewymier-

ne, takie Jak cho

by pierwiastek z dwóch, nie istniej

napraw-

, lecz s

jedynie idealnymi tworami naszej wyobra

ni. Przy-

32 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Mi

dzy dwiema dowolnymi liczbami wyinierryinl

y Jaka

liczba niewymierna.

i t U
o i ? 1 n 2
Liczby wymierne to ułamki o całkowitym liczniku l mianowniku.
pomnijmy: rzecz działa si

ponad dwa tysi

ce lat po odkry-

ciach pitagorejczyków! Oskar

a si

czasem Kr-oneckera o to,

e z powodu jego wrogo

ci Cantor nie obj

ł presti

owej profe-

sury na Uniwersytecie Berli

skim i ostatecznie, po licznych

załamaniach nerwowych, sko

czył w przytułku dla obł

ka-

nych. Dzi

wszyscy matematycy przyznaj

racj

Cantorowi

l zgodnie twierdz

e chocia

oba zbiory, liczb wymiernych

l liczb niewymiernych, s

niesko

czone, to dr-ugi z nich jest

niesko

czenie wiele razy wi

kszy. Lecz czy staro

ytni Grecy to

wszystko wiedzieli?9
Pitagorejskie dziedzictwo
Wa

nym aspektem pitagorej sklej doktryny, ob ok uwielbienia

liczb, nakazów przestrzegania odpowiedniej ddiety oraz owia-
nych nimbem tajemnicy spotka

i rytuałów, było tak

e uzna-

nie studiów filozoficznych i matematycznych za moralny obo-
wi

zek i cel

ycia. Niektórzy twierdz

e słowa "filozofia" (czyli

umiłowanie m

dro

ci) i "matematyka" (pochod

ce od greckle-

9 Cantor w istocie poszedł du

o dalej i postawił hipotez

e- nie istnieje

aden

zbiór, który miałby istotnie wi

cej elementów ni

zbiór liczb* wymiernych i jed-

nocze

nie istotnie mniej ni

zbiór liczb niewymiernych. To zdanie nosi nazw

hi-

potezy continuum. W 1963 roku Pauł Cohen udowodnił niezale

ść

hipotezy

continuum. Oznacza to,

e mo

na bez obaw doł

czy

do i nnych aksjomatów

teorii mnogo

ci albo - równie dobrze - mo

na przyj

ąć

za p ewnik,

e hipoteza

continuum jest fałszywa. Istnienie takich alternatywnych matematycznych

wiatów pozostaje jednym z najdziwniejszych faktów podsta-w matematyki.

AMIR D, ACZEL • 33
go mathem, co znaczy "uczy

" lut) "wiedzie

") utworzył sam

Pitagoras, który zgł

bianie wiedzy matematycznej traktował ja-

ko swego rodzaju d

ąż

enie do wolno

ci i poznania harmonii

wiata.

Pitagoras zmarł około 500 r. p.n.e., nie pozostawiaj

c po so-

bie

adnych dzieł utrwalonych na pi

mie. Szkoła w Krotonie

uległa zniszczeniu, gdy grupa, rywalizuj

ca z pitagorej czykaml

o polityczne wpływy, podczas niespodziewanego napadu wy-
mordowała wi

kszo

ść

członków tej szkoły filozoficznej. Nielicz-

ni, którzy zdołali ocale

, rozproszyli si

po ówczesnym greckim

wiecie wokół basenu Morza

ródziemnego, zabieraj

c ze sob

filozofi

i mistyczn

miło

ść

do liczb. W

ród nowych

uczniów garstki uchod

ców znalazł si

m.in. Filolaos z Taren-

tu, studiuj

cy matematyk

i filozofi

w szkole zało

onej

w owym mie

cie przez pitagorejczyków. Filolaos to pierwszy

z greckich filozofów, który spisał histori

i osi

gni

cia zwi

zku

pitagorejczyków. Wła

nie z jego ksi

ąż

ki Platon poznawał,

a pó

niej sam opisał pitagorejsk

kosmologi

, filozofi

liczby

i mistycyzm.
Znakiem i symbolem zwi

zku pitagorejskiego był penta-

gram, czyli pi

cioramienna gwiazda wpisana w pi

ciok

t fo-

remny. Ramiona gwiazdy to przek

tne pi

ciok

ta, które, prze-

cinaj

c si

, tworz

nast

pny, mniejszy pi

ciok

t foremny

(odwrócony do góry nogami). Gdy narysujemy przek

tne

mniejszego pi

ciok

ta, utworz

one jeszcze jeden pi

ciok

i tak dalej, w niesko

czono

ść

. Pi

ciok

t foremny i gwiazda z je-

go przek

tnych maj

ciekawe własno

ci, które pitagorejczycy

uznawali za magiczne. Punkt przeci

cia dwóch przek

tnych

dzieli ka

z nich na dwie nierówne cz

ęś

ci. Stosunek długo

całej przek

tnej do długo

ci wi

kszego odcinka jest równy sto-

sunkowi długo

ci wi

kszego odcinka do długo

ci mniejszego

odcinka. Ten sam stosunek długo

ci odcinków powtarza si

w kolejnych, coraz mniejszych pi

ciok

tach. Nazywa si

go za-

zwyczaj współczynnikiem złotej proporcji (albo złotego podzia-
łu). Jest to liczba niewymierna 1,61803398... Gdy podzielimy
jedynk

przez t

liczb

, to zostanie tylko cz

ęść

ułamkowa, czyli

0,61803398... Taki sam wynik otrzymaliby

my, odejmuj

c od

34 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

współczynnika złotej proporcji jedynk

. Jak si

przekonamy

nieco pó

niej, złota proporcja wyst

puje w ró

nych zjawiskach

przyrodniczych, a oko ludzkie jest skłonne postrzega

jako

szczególnie pi

. Współczynnik złotej proporcji jest granicz-

warto

stosunków kolejnych liczb Fibonacciego - sław-

nych liczb, które spotkamy ju

wkrótce.

Czytelnik mo

e sprawdzi

e współczynnik złotej proporcji

pojawia si

w Interesuj

cy sposób w wyniku wykonania serii

prostych działa

na kalkulatorze. Trzeba mianowicie zacz

ąć

Jedynki, potem nacisn

ąć

trzy klawisze: +, l, =, pó

niej klawisz

l/x, nast

pnie znów trzy klawisze +, l, =, znowu l/xitd. Je

tylko wystarczy nam cierpliwo

ci, po kilkunastu krokach kal-

kulator zacznie wskazywa

na przemian 1,618... l 0,618...

ksza z tych liczb to wła

nie współczynnik złotej proporcji,

równy w rzeczywisto

ci połowie sumy jedynki i pierwiastka

kwadratowego z pi

ciu. Mo

na si

o tym przekona

, układaj

i rozwi

zuj

c równanie opisuj

ce złot

proporcj

. Z niewymier-

ci pierwiastka kwadratowego z pi

ciu wynika niewymier-

ść

współczynnika złotej proporcji (w do

wiadczeniu z kalku-

latorem obserwujemy w istocie tylko Jego coraz dokładniejsze
wymierne przybli

enia). Temu zjawisku przypatrzymy si

jesz-

cze bli

ej nieco pó

niej.

Pitagorejczycy odkryli tak

e je

li stosunek długo

dwóch napi

tych strun wyra

a si

niewielkimi liczbami natu-

ralnymi, to struny te wydaj

ki przyjemnie współbrzmi

AMIR D. ACZEL • 35
ce. Według Arystotelesa pitagorejczycy wierzyli,

e Wszech-

wiat to przede wszystkim muzyka i liczby. Ich wiara w zasad

zgodnie z któr

wszystko jest liczb

, miała swoje

ródła w kon-

templacji harmonii, widocznej m.in. w muzyce czy geometrii.
Pitagorejczycy s

dzili ponadto,

e wszystkie podstawowe sto-

sunki w muzyce mo

na opisa

liczbami: l, 2, 3 i 4, które s

przez to wa

niejsze od innych. Suma tych liczb to 10; dlatego

wła

nie liczymy w systemie dziesi

tnym. Pitagorejczycy przed-

stawiali liczb

10, rysuj

c trójk

t o nazwie tetraktys:10

O
o o
000
0000
Na tetraktys, uznany za

ść

, pitagorejczycy składali

przysi

gi. Nawiasem mówi

c, Arystoteles, Owidiusz i wielu In-

nych klasycznych autorów podaje,

e liczba dziesi

ęć

jest pod-

staw

systemu liczenia dlatego,

e człowiek ma dziesi

ęć

pal-

ców u r

k. Przypomnijmy jednak,

e Babllo

czycy korzystali

z systemu liczenia o podstawie 60. Pewne

lady innych syste-

mów liczenia przechowały si

do dzisiaj. Francuska nazwa

liczby 80 [au.atre-vin.gt, co znaczy "cztery dwudziestki"11) to
pozostało

ść

dawnego celtyckiego systemu liczenia, opartego

na liczbie 20.
10 D. Wells: Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, Londyn 1987, s. 81.
11 Inne "dwudziestkowe" liczebniki s

ywane do dzi

na przykład w j

zyku

skim (przyp. dum.).

36 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Napinanie liny. Nil i narodziny geometrii
Istotna cz

ęść

naszej wiedzy o matematyce staro

ytnej Grecji

pochodzi z Elementów Euklidesa, który

ył w Aleksandrii oko-

ło 300 roku p.n.e. Przypuszcza si

e pierwsze dwie ksi

Elementów składaj

w cało

ci z rezultatów bada

prowa-

dzonych przez Pitagorasa i członków jego tajemnego bractwa.
Matematyk

w staro

ytnej Grecji uprawiano z powodu jej

kna. Obiektem zainteresowa

były przede wszystkim abs-

trakcyjne figury geometryczne. Grecy rozwin

li pełn

, aksjo-

matyczn

teori

geometrii, któr

do dzi

w niemal nie zmie-

nionym kształcie poznaj

uczniowie szkół całego

wiata.

W Istocie Elementy, czy te

raczej to, co si

z nich do dzi

za-

chowało, uwa

a si

niekiedy za najwspanialszy podr

cznik

wszech czasów.
Słynny historyk staro

ytnej Grecji, Herodot, s

dził,

e geo-

metria powstała w staro

ytnym Egipcie około 3000 lat p.n.e.,

na długo przed dokonaniami Greków z Aleksandrii i innych te-
renów. Opowiada on, jak wylewy Nilu niszczyły granice mi

dzy

poło

onymi w

yznej delcie tej rzeki polami uprawnymi, co po-

wodowało,

e trzeba było dokonywa

skomplikowanych pomia-

rów. W tym celu miemiczowie rozwin

li proste poj

cia geome-

tryczne. W swoich Dziejach Herodot pisał o tym w sposób
nast

puj

cy:

Gdy rzeka zabrała komu

ęść

jego własno

ci, król wysyłał

osoby dla zbadania i dokładnego wymierzenia wielko

owej straty. Praktyka ta doprowadziła, jak s

, do po-

wstania w Egipcie geometrii, a stamt

d przej

li j

Grecy.12

Geometria to badanie kształtów i figur, a wi

c okr

gów, li-

nii prostych, trójk

tów, łuków, a tak

e ich najró

niejszych

przeci

ęć

i konfiguracji. Rozum podpowiada,

e tego rodzaju

wiedza jest w miernictwie niezb

dna. Egipskich geometrów

nazywano "napinaj

cymi lin

", bo linie proste, potrzebne za-

12 C. Boyer: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Nowy Jork 1968, s. 9.

AMIR D. ACZEL • 37
równo podczas budowy piramid i

, jak l przy ponow-

nym wyznaczaniu zniszczonych granic mi

dzy polami upraw-

nymi, wytyczano wła

nie za pomoc

lin. Przypuszcza si

cza-

sem,

e pocz

tki geometrii mog

jeszcze starsze. W

ród

znalezisk z epoki neolitu s

przykłady przystawania i symetrii

rysunków. By

e tam nale

ałoby szuka

pra

ródeł egip-

skiej geometrii, któr

po stuleciach odziedziczyli i wspaniale

rozwin

li staro

ytni Grecy. Rozpatrywane przez Babilo

czy-

ków problemy mierzenia powierzchni pól uprawnych (co, jak
wiemy, prowadzi do pojawienia si

trójek pitagorejskich) były

zapewne przedmiotem zainteresowania Egipcjan, którzy -

obok zagadnie

konstrukcyjnych, wynikłych przy budowie

piramid - musieli przecie

roztrz

podobne zadania zwi

zane z rolnictwem. Niewykluczone wi

e równie

staro

ytni

Egipcjanie wiedzieli o istnieniu trójek pitagorejskich. Jednak
to Grecy zmienili geometri

w dziedzin

rozwa

czysto ma-

tematycznych. Prócz twierdze

formułowali oni bowiem tak

dowody.
Co to jest twierdzenie?
Grecy wprowadzili i przekazali nam poj

cie "twierdzenia".

Twierdzenie to (matematyczne) zdanie zaopatrzone w dowód.
Dowód twierdzenia polega na uzasadnieniu jego prawdziwo

w sposób tak

cisły, by nie mógł podawa

go w w

tpliwo

ść

nikt, kto post

puje zgodnie z regułami logiki i jest gotów uzna

skromny zbiór najprostszych poj

ęć

i rz

cych nimi podsta-

wowych zasad, czyli tak zwanych aksjomatów. Na pocz

tku

pierwszej ksi

gi Elementów Euklidesa podane s

m.in. okre-

lenia punktu i prostej, a tak

e zdanie, z którego wynika,

dwie proste równoległe si

nie przecinaj

. Wychodz

c od ak-

sjomatów i buduj

c ci

gi logicznych rozwa

w rodzaju "je

z A wynika B, a z B wynika C, to wówczas z A wynika C", Gre-
cy udowodnili wiele wa

nych twierdze

, opisuj

cych geometri

trójk

tów, kwadratów, okr

gów, kuł oraz najrozmaitszych wie-

lok

tów czy wlelo

cianów.

38 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
"Eureka! Eureka!"
Wielcy matematycy greccy, Eudoksos (IV wiek p.n.e.) i Archi-
medes (III wiek p.n.e.), rozszerzyli ludzk

wiedz

z zakresu

geometrii, proponuj

c metod

okre

lania pól z wykorzysta-

niem wielko

ci niesko

czenie małych. Eudoksos z Knidos

(408-355 p.n.e.) był uczniem i przyjacielem Platona. Zbyt bied-
ny na to, by mieszka

w ate

skiej Akademii, osiedlił si

w por-

towym mie

cie Pireus, gdzie

ycie było znacznie ta

sze; stam-

d ka

dego dnia docierał do Akademii Plato

skiej. Platon,

cho

sam nie był matematykiem w

cisłym znaczeniu tego sło-

wa, zach

cał swych utalentowanych uczniów, takich jak Eu-

doksos, do prowadzenia bada

matematycznych. Eudoksos

poznawał geometri

zarówno w Grecji, jak i w Egipcie, do któ-

rego podró

ował. Wprowadził do matematyki tzw. metod

wy-

czerpywania, okre

lan

niekiedy mianem całkowania staro

yt-

nych. Był to szalenie zmy

lny sposób znajdowania pól figur

metod

dodawania niesko

czenie wielu pól coraz mniejszych

figur o szczególnie prostym kształcie. Na tym samym polega
w gruncie rzeczy współczesny rachunek całkowy - stosowane
w nim przej

cia graniczne niewiele si

ró

od metody wy-

czerpywania Eudoksosa.
Najbardziej błyskotliwym matematykiem staro

ytno

ci oka-

zał si

jednak bez w

tpienia Archimedes (287-212 p.n.e.), któ-

ył w Syrakuzach na Sycylii. Archimedes, syn astronoma

Fidiasza, był tak

e spokrewniony z królem Syrakuz, Heronem II.

Podobnie jak Eudoksos, Archimedes rozwijał metody oblicza-
nia pól i obj

ci. W jego dziełach mo

na łatwo odnale

źć

lady

pomysłów rodem z rachunku ró

niczkowego i całkowego - był

jednym z prekursorów obu tych dziedzin. Archimedes intere-
sował si

przede wszystkim czyst

matematyk

: liczbami, geo-

metri

, polami figur geometrycznych Itd.; dobrze wiemy tak

o jego osi

gni

ciach w zakresie zastosowa

matematyki. Bar-

dzo znana anegdota13 dotyczy odkrycia przeze

pierwszego

13 Anegdota ta była ch

tnie opowiadana przez dziewi

tnastowiecznych nauczy-

cieli dla ubarwienia postaci Archimedesa (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 39
prawa hydrostatyki, zwanego te

prawem Archimedesa. Mówi,

ono,

e ciało zanurzone w cieczy traci na wadze tyle, ile wa

wyparta przez nie ciecz. Oto historia odkrycia tego prawa;
W owych czasach

ył w Syrakuzach nieuczciwy złotnik. Król

Heron zwrócił si

do swego przyjaciela i krewnego, Archimede-

sa, z pro

o udowodnienie oszustwa czarno na białym.

Archimedes zacz

ledztwo od badania utraty wagi przez

przedmioty zanurzone w wodzie, wykorzystuj

c do ekspery-

mentów m.in. własne ciało. Cz

ęść

pomiarów przeprowadzał

w wannie podczas k

pieli. Gdy odkrył swe prawo, wyskoczył

z wanny rozgor

czkowany i biegł nago ulicami Syrakuz, woła-

c: "Eureka! Eureka!" ("Znalazłem! Znalazłem!").

Archimedes wynalazł pono

tak

rub

, któr

nazwano

jego imieniem. Kiedy kr

ci si

korbk

tego urz

dzenia, pom-

puje ono wod

do góry. Po dzi

dzie

ywaj

go ubodzy wie-

niacy w krajach na południowym wybrze

u Morza

ród-

ziemnego.
W czasie obl

ęż

enia Syrakuz przez legiony rzymskie pod wo-

Marcellusa, w latach 214-212 p.n.e., król Heron po raz

kolejny poprosił znamienitego krewnego o pomoc. Archimedes
wykorzystał sw

wiedz

o działaniu d

wigni i zbudował pot

ęż

ne katapulty. Dzi

ki temu mieszka

cy Syrakuz mogli dzielnie

odpiera

ataki rzymskiej floty. Po pewnym czasie Marcellus

przegrupował siły i zdobył miasto z zaskoczenia. Tym razem
Archimedes nie był nawet

wiadom,

e wła

nie trwa rzymski

atak; siedział spokojnie na pagórku l kre

lił w piasku figury

geometryczne. Gdy nadszedł rzymski

ołnierz i nast

pił na Je-

go rysunek, Archimedes zerwał si

z okrzykiem: "Nie dotykaj

moich kół!" Na te słowa zagniewany legionista dobył miecza
l zabił Archimedesa. Podobno w testamencie Archimedes za

czył sobie, by na jego grobie wyry

figury, które szczególnie po-

dziwiał: walec i wpisan

w niego kul

. Zaniedbany i zapomnia-

ny grób odnalazł i odnowił po wielu latach rzymski mówca
Cyceron. Pó

niej pyl wieków znów zrobił swoje. Dopiero

w 1963 roku, gdy w pobli

u Syrakuz stawiano fundamenty no-

wego hotelu, robotnicy w jednym z wykopów ponownie odkryli
grób Archimedesa.

40 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Ulubione twierdzenie Archimedesa dotyczyło kuli wpisanej
w walec i głosiło,

e powierzchnia boczna owego walca Jest

równa całkowitej powierzchni kuli. Ten rezultat Archimedes
zawarł w pracy O kuli i walcu. Przypuszczano,

e praca ta zagi-

ła, podobnie jak wi

kszo

ść

tekstów staro

ytnych. W roku

1906 du

ski uczony J. L. Heiberg zasłyszał,

e gdzie

w Kon-

stantynopolu znajduje si

pono

wyblakły r

kopis, sporz

dzo-

ny na pergaminie, ze

ladami tekstu matematycznego. Wybrał

c do Konstantynopola i odnalazł 185 pergaminowych

kart. Badania naukowe potwierdziły,

e była to pochodz

z X wieku kopia dzieła Archimedesa, pokryta pó

niej, w XIII

wieku, tekstami prawosławnych modlitw.
Aleksandria, Egipt, około 250 roku n.e.
Około 250 roku n.e. mieszkał w Aleksandrii matematyk Diofan-
tos. O Jego

yciu wiemy tyle tylko, ile wyczyta

na z krótkiego

fragmentu, napisanego około stu lat po

mierci Diofantosa, a za-

mieszczonego w zbiorze tekstów, zwanym Antologi

Palaty

.14

Przechodniu, pod tym nagrobkiem spoczywa Diofantos.
Dzi

ki przedziwnym umiej

tno

ciom zmarłego jego wiek

zdradzi Cl ten głaz. Przez szóst

ęść

ycia Bóg dozwolił mu

pozosta

chłopcem. Gdy znów dwunasta cz

ęść

ywota min

ła, policzki jego okryła broda, a pó

niej, gdy z kolei przebył

siódm

ęść

ywota, zaznał słodyczy mał

stwa. Po pi

ciu

latach

ona powiła mu synka. Niestety, okrutny los prze-

znaczył temu dziecku

ywot dwukrotnie krótszy ni

ojcu,

który po

mierci syna, przez ostatnie cztery lata swego

cia, szukał w

ród liczb ukojenia w bólu. Znajd

odpowiednie

liczby i powiedz, ile lat prze

ył Diofantos.

(Kto rozwi

ąż

e nietrudne zadanie postawione w powy

szym

tek

cie, dowie si

e Diofantos

ył 84 lata).

14 Przedruk wg Barry Mazur, op. cit.

AMIR D. ACZEL • 41
Nie jeste

my dzi

pewni, kiedy wła

ciwie

ył Diofantos. Zna-

my tylko dwa fakty pozwalaj

ce w przybli

eniu wyznaczy

ten

okres. Po pierwsze, w swoich pracach Diofantos cytuje Hipsy-
klesa, który

ył około 150 roku n.e. Po drugie, Diofantosa cytu-

je Teon z Aleksandrii. Za

mienie Sło

ca 16 czerwca 364 roku

miało miejsce za

ycia Teona, a zatem Diofantos z pewno

ył przed rokiem 364, ale po roku 150. Historycy z pewn

do-

wolno

umieszczaj

go w okolicach roku 250.

Diofantos napisał dzieło Arithmetica, w którym rozwin

pewne poj

cia algebraiczne i zapocz

tkował badania szczegól-

nego typu równa

, zwanych dzi

w matematyce równaniami

diofantycznymi. Do naszych czasów przetrwało tylko sze

ść

z pi

tnastu tomów prac autorstwa Diofantosa; reszt

strawił

ar, który zniszczył wspaniał

bibliotek

aleksandryjsk

i przechowywany w niej najznakomitszy ksi

gozbiór staro

yt-

ci. Ocalałe tomy nale

ały do najpó

niej przetłumaczonych

greckich tekstów. Pierwszy znany przekład łaci

ski został wy-

dany dopiero w 1575 roku, a Fermat był wła

cicielem jednego

z egzemplarzy tłumaczenia Claude'a Bacheta wydanego
w 1621 roku. Sławny dopisek na marginesie drugiego tomu
został zainspirowany zadaniem 8, w którym chodziło o to, by
powiedzie

, kiedy i jak mo

na rozło

kwadrat liczby natural-

nej na sum

dwóch kwadratów (Babilo

czycy umieli to zrobi

przynajmniej w niektórych przypadkach, a pitagorejczycy znali
ogólne rozwi

zanie zadania).

Matematyczne osi

gni

cia Diofantosa i jego współczesnych

to ostatni przebłysk staro

ytnej kultury greckiej, do

ywaj

cej

z wolna zmierzchu

wietno

ci.

nie z tysi

ca i jednej nocy

Gdy Europa - pustoszona przez wielk

zaraz

i pochłoni

bez reszty feudalnymi konfliktami i wojnami, które w imieniu
najró

niejszych królów i ksi

ążą

t toczyli ich wasale - zajmowała

organizowaniem kosztownych, siej

cych

mier

wypraw

krzy

owych, Arabowie rz

dzili kwitn

cym królestwem, rozci

42 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
gaj

cym si

od Bliskiego Wschodu po Półwysep Iberyjski.

Obok swych osi

gni

ęć

w medycynie, astronomii i sztuce Ara-

bowie rozwin

li algebr

. W roku 632 n.e. prorok Mahomet za-

ło

ył islamskie pa

stwo ze stolic

w Mekce, która po dzi

dzie

pozostaje religijnym centrum islamu. Jego wojska niemal na-
tychmiast zaatakowały Cesarstwo Bizantyjskie. Po

mierci Ma-

hometa, która miała miejsce w tym samym roku, kontynuowa-
no ofensyw

. W ci

gu zaledwie kilku lat łupem Arabów padły:

Damaszek, Jerozolima i wi

kszo

ść

Mezopotamii. W roku 641

ten sam los spotkał Aleksandri

, matematyczne centrum ów-

czesnego

wiata. Około roku 750, po bitwie pod Poitiers, fala

wojen toczonych przez muzułmanów zarówno mi

dzy sob

, jak

l z reszt

wiata, opadła. W pa

stwie arabskim zapanowała

zgoda mi

dzy Arabami maroka

skimi i pot

ęż

nym kalifatem

bagdadzkim.
Bagdad stał si

wówczas centrum matematycznym. Arabo-

wie przej

li od ludów zamieszkuj

cych podbite tereny nie tylko

wszelkie bogactwa materialne, lecz tak

e idee matematyczne

i wiedz

z zakresu astronomii. W okresie panowania kalifów

z rodu Abbasydów, na pocz

tku IX wieku, napisane zostały Ba-

nie z tysi

ca i Jednej nocy, a wiele dzieł greckich, w tym Ele-

menty Euklidesa, przeło

ono na arabski. Kalifowie stworzyli

w Bagdadzie wspaniały Dom Nauki, w którym pracowali uczeni
z Iranu, Syrii i Aleksandrii. Był w

ród nich Muhammad ibn

Musa al-Chwarizmi (Mohamet, syn Musy z Chorezmu), który,
tak jak Euklides, zapewnił sobie sław

po wsze czasy. Zapo

czaj

c notacj

(system symboli) l niektóre idee od Hindusów,

a geometryczn

l od Euklidesa, al-Chwarizmi pisał ksi

cone arytmetyce i geometrii. Słowo "algorytm" jest znie-

kształcon

form

jego nazwiska, a termin "algebra" to fragment

tytułu najbardziej znanego dzieła al-Chwarizmiego: Hisab al-
-d

abr wa'l mukabala, czyli Sztuka redukcji i przenoszenia.

Wła

nie z tej ksi

ąż

ki Europa miała si

pó

niej po raz pierwszy

uczy

gał

zi matematyki, zwanej algebr

. Idee algebraiczne

tkwi

wprawdzie w Arithmetice Diofantosa, lecz Al-d

abr,

która prezentuje kompletne rozwi

zania równa

liniowych

i kwadratowych, bardziej bezpo

rednio wi

ąż

e si

z dzisiejsz

al-

AMIR D. ACZEL • 43
gebr

. Znamienne,

e szkolna nauka algebry nadal rozpoczyna

od redukcji wyrazów podobnych l przenoszenia wyrazów -

ze zmienionym znakiem - na drug

stron

równania.

Algebr

i geometri

, jak niemal wszystkie zreszt

gał

zie

matematyki, ł

liczne zwi

zki. W dwudziestym wieku na

styku obu tych dziedzin rozwin

ła si

tzw. geometria algebraicz-

na. Bogata sie

powi

dzy teoriami nale

żą

cymi do ró

nych gał

zi matematyki otworzyła Wllesowi drog

do dowodu

wielkiego twierdzenia Fermata.

redniowieczny kupiec i złota proporcja

Kilka stuleci pó

niej, w roku 1225, problem poszukiwania tró-

jek pitagorejskich stał si

powodem napisania kolejnej ksi

ąż

ki:

Liber

uadratorum. Jej autorem był kupiec, Leonardo z Pizy

(ok. 1170-1250), znany lepiej jako Fibonacci, czyli "syn Bonac-
ciego". Fibonacci urodził si

w Pizie. Podczas wypełnionego

handlowymi podró

ami

ycia mieszkał m.in. w Konstantyno-

polu i Afryce Północnej, odwiedził Prowansj

, Sycyli

, Egipt

i Syri

oraz wiele innych terenów poło

onych w basenie Morza

ródziemnego. Dzi

ki kontaktom z ówczesnymi elitami intelek-

tualnymi poznał idee matematyczne Arabów, a tak

e kultur

greck

i rzymsk

. Gdy cesarz Fryderyk II przybył do Pizy, Fibo-

nacci został wprowadzony na jego dwór i znalazł si

w bezpo-

rednim otoczeniu cesarza.

Oprócz Liber quadratorum Fibonacci znany jest tak

e jako

autor ksi

ąż

ki Liber abaci. Zadanie o trójk

tach pitagorejskich

z ksi

ąż

ki Fibonacciego pojawia si

tak

e w bizantyjskim r

ko-

pisie z XI wieku, który obecnie znajduje si

w bibliotece Stare-

go Pałacu w Istambule. By

e to tylko zbieg okoliczno

ci,

wiele wskazuje jednak na to,

e Fibonacci mógł widzie

ów r

kopis podczas jednej ze swych podró

y do Konstantynopola.

Niew

tpliwie najwi

kszy rozgłos zapewnił Fibonacciemu

sławny ci

g liczb, nazwanych od jego nazwiska liczbami Fibo-

nacciego. Liczby te pojawiaj

w zwi

zku z nast

puj

cym

zadaniem z Liber abaci.

44 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Ile par królików mo

na wyhodowa

w ci

gu roku, je

li na

pocz

tku roku mamy Jedn

par

małych królików, ka

para staje si

płodna po miesi

cu i potem po upływie

dego miesi

ca rodzi jedn

par

W ci

gu Fibonacciego, do którego prowadzi rozwi

zanie zada-

nia o królikach, ka

dy wyraz jest sum

dwóch wyrazów po-

przednich. Pierwsze dwa wyrazy to jedynki, a po nich - zgodnie
z powy

szym przepisem - nast

puj

: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,

89, 144, ...
Mo

na oczywi

cie zapomnie

o królikach i wzi

ąć

pod lup

cej wyrazów ci

gu, ni

Jest miesi

cy w roku. Oka

e si

wte-

dy,

e ci

g Fibonacciego charakteryzuje si

istotnymi i nieocze-

kiwanymi własno

ciami. Na przykład kolejne stosunki s

sied-

nich wyrazów ci

gu Fibonacciego, czyli liczby 1/1, 2/1, 3/2,

5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89,
233/144 itd., w zadziwiaj

cy sposób zbli

coraz to bar-

dziej i bardziej do współczynnika złotej proporcji - liczby
(l + \/5^)/2. Rozwini

cia dziesi

tne tych wła

nie liczb (i ich od-

wrotno

ci) widzieli

my Ju

wcze

niej, podczas zabawy z kalku-

latorem i naprzemiennego wciskania klawiszy +, l, = oraz l lx.
Ci

g Fibonacciego wyst

puje powszechnie w przyrodzie. Li

cie

na gał

zkach rosn

w odst

pach, których stosunki odpowiadaj

w przybli

eniu stosunkom liczb Fibonacciego. Liczby Fibonac-

ciego kryj

tak

e w kwiatach: jak si

okazuje, na bardzo wie-

lu kwiatach wyst

puje stała liczba płatków: 3, 5, 8, 13, 21, 34,

55 lub 89. Lilie maj

trzy płatki. Jaskry pi

ęć

, wiele ostró

osiem, nagietki trzyna

cie, astry dwadzie

cia jeden, a stokrotki -

trzydzie

ci cztery, pi

ęć

dziesi

t pi

ęć

lub osiemdziesi

t dziewi

ęć

Liczby Fibonacciego pojawiaj

w kwiatach słoneczni-

ków. Małe ziarenka na tarczy słonecznika układaj

w spiral-

ne wzory. Cz

ęść

spiral zwija si

zgodnie z kierunkiem ruchu

wskazówek zegara, cz

ęść

- w stron

przeciwn

. Liczba spiral bie-

cych do

rodka zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek ze-

gara jest zazwyczaj równa trzydzie

ci cztery. W przeciwn

stron

skr

ca si

w takim przypadku pi

ęć

dziesi

t pi

ęć

spiral. Czasem

odpowiednia para liczb to pi

ęć

dziesi

t pi

ęć

i osiemdziesi

t dzie-

AMIR D. ACZEL • 45

Przedrukowano za zgod

Basie Books.

wle

, a nawet osiemdziesi

t dziewi

ęć

i sto czterdzie

ci cztery.

Wszystkie te pary to kolejne liczby Fibonacciego. łan Stewart
w swojej ksi

ąż

ce zatytułowanej Liczby natury podaje,

e promie-

nie wychodz

ce ze

rodka tarczy słonecznika do kolejno zawi

zu-

cych si

nasionek tworz

t bliski 137,5° (mniejszy z dwóch

tów, które otrzymujemy, dokonuj

c złotego podziału 360 stop-

ni). Nasze oko dostrzega za

raczej nie dług

, ciasno zwini

spi-

ral

, wzdłu

której kolejno układaj

ziarenka, lecz dwie rodzi-

ny spiral lu

niejszych, skr

conych w ró

nych kierunkach.15

Gdy narysujemy tzw. złoty prostok

t (taki, którego boki two-

złot

proporcj

) i odetniemy od niego kwadrat, to otrzyma-

my mniejszy złoty prostok

t, podobny do du

ego prostok

wyj

ciowego: jego boki równie

tworzy

złot

proporcj

Z mniejszym prostok

tem mo

na post

tak samo; gdy ode-

tniemy ode

kwadrat, pozostanie złoty prostok

t. Post

puj

tak dalej, osi

gamy cały czas ten sam efekt. Spirala poprowa-

dzona przez kolejne wierzchołki odcinanych kwadratów jest
łudz

co podobna do tych, które dostrzec mo

na w muszlach,

w deseniach utworzonych przez nasiona słonecznika czy
w uło

eniu li

ci na gał

zkach.

Złoty prostok

t ma proporcje zwracaj

ce uwag

i miłe dla

oka, a złota proporcja wyst

puje nie tylko w naturze, lecz tak

-jako klasyczny ideał pi

kna - w sztuce. Jest w tym wszystkim

boskiego; w rzeczy samej, prezesem działaj

cego współcze

15 łan Stewart: Liczby natury. CIS, Warszawa 1996, s. 163.

46 * WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

nie Towarzystwa Fibonacciego jest ksi

dz, a główn

kwater

Kolegium

w. Marii w Kalifornii. Towarzystwo Fibonacciego sta-

wia sobie za cel poszukiwanie przykładów wyst

powania złotej

proporcji i liczb Fibonacciego w przyrodzie, sztuce i architektu-
rze. Przy

wieca tym poszukiwaniom wiara,

e złoty stosunek to

dar Boga dla

wiata. W roli ideału pi

kna złota proporcja poja-

wia si

w takich miejscach, jak na przykład Partenon w Ate-

nach. Stosunek długo

ci Partenonu do jego wysoko

ci tak

równa si

w przybli

eniu współczynnikowi złotej proporcji.

Wielka piramida w Gizie, zbudowana wieleset lat przed po-
wstaniem greckiego Partenonu, ma stosunek wysoko

ciany

do połowy boku podstawy równy współczynnikowi złotej pro-
porcji. Egipski papirus Rhinda mówi o "

tym stosunku".

W staro

ytnych rze

bach przedstawiaj

cych ludzkie postacie

l na renesansowych obrazach mo

na si

doszuka

złotych (bo-

skich) proporcji.
Złotej proporcji jako ideału pi

kna poszukiwano nie tylko

w kwiatach czy architekturze. Jeden z członków Towarzystwa
Fibonacciego opisał jaki

czas temu w li

cie, jak kto

w poszu-

kiwaniu złotych proporcji poprosił kilkana

cie mał

stw

o udział w eksperymencie: m

ąż

mierzył, na jakiej wysoko

znajduje si

pek

ony, a otrzyman

warto

ść

dzielił przez

wzrost

ony. Autor listu zarzekał si

e wszystkie pary otrzy-

mały wynik bliski 0,618. ;, ,

AMIR D. ACZEL • 47

Ate

ski Partenon.

Poszukiwacze rzeczy nieznanych
Do

redniowiecznej Europy matematyka wkroczyła dzi

ki pra-

com Fibonacciego, a tak

e dziełom al-Chwarizmiego, docieraj

cym na nasz kontynent przez Hiszpani

, która wówczas

w cz

ęś

ci nale

ała do

wiata arabskiego. Głównym tematem

ówczesnej algebry było rozwi

zywanie równa

i znajdowanie

niewiadomych wielko

ci. I dzi

w szkole oznaczamy niewiado-

literk

x i próbujemy rozwi

zywa

równania,

eby dowie-

dzie

, jaka wła

ciwie jest warto

ść

owego iksa. Posłu

my si

przykładem pro

ciutklego równania x - 5 = O i znajd

my war-

ść

niewiadomej, wykonuj

c nieskomplikowane operacje ma-

tematyczne. Dodajmy najpierw 5 do obu stron równania; po le-
wej stronie otrzymamy: x - 5 + 5, a po prawej: 0+5. Zatem

lewa strona jest równa x, a prawa 5. Oczywi

cie, obie strony s

nadal równe, a wi

c (jak zreszt

na było w tym przypadku

zgadn

ąć

od razu) x = 5. Arabowie w czasach al-Chwarizmiego

nazywali niewiadom

wielko

ść

shai, co po arabsku oznacza

"rzecz". Rozwi

zuj

c równania. Arabowie poszukiwali wi

c nie-

48 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
znanych, niewiadomych rzeczy (podobnie jak my przed chwil

szukali

my nieznanej warto

ci x). Gdy te idee dotarły do Euro-

py, arabskie słowo shai przeło

ono na łacin

. Po łacinie "rzecz"

to res, a po włosku - coso. Poniewa

pierwsi algebraicy w Euro-

pie byli Włochami, wi

c do algebry przylgn

ła na pewien czas

nazwa ars cossica, a do uprawiaj

cych j

matematyków -

wspólne miano Cossisti,16 dlatego

e rozwi

zuj

c równania,

zajmowali si

oni przecie

poszukiwaniem nieznanej cosa.17

Tak jak w Babilonie trzy i pół tysi

clecia wcze

niej, w

red-

niowieczu i na pocz

tku renesansu matematyki u

ywano

przede wszystkim Jako narz

dzia pomocnego w handlu. W spo-

łeczno

ciach zajmuj

cych si

w coraz wi

kszym stopniu hand-

lem problemy wyznaczania zysków, kosztów, kursów wymiany
stawały si

z dnia na dzie

bardzo wa

ne. Niekiedy mo

na by-

ło ujmowa

rzecz matematycznie, a to wymagało rozwi

zania

odpowiedniego równania. Włoscy "poszukiwacze rzeczy nie-
znanych", Luca Pacioli (1445-1514), Girolamo Cardano
(1501-1576), Nicolo Fontana (1500-1557), nosz

cy przydomek

Tartaglia (co znaczy J

kała), a wraz z nimi inni mistrzowie roz-

zywania zada

, pozostaj

c w słu

bie u mo

nych tego

wia-

ta, konkurowali ze sob

podczas specjalnych turniejów, wyko-

rzystuj

c potwierdzon

pó

niej sukcesami umiej

tno

ść

pokonywania abstrakcyjnych problemów jako swego rodzaju
reklam

. Poniewa

o mo

nych protektorów i klientów trzeba

było walczy

z konkurencj

, wi

c owi matematycy wkładali

sporo wysiłków i trudu w rozwi

zywanie problemów nowych

i trudnych, w

ród których znalazły si

równania trzeciego

stopnia, tj. równania, w których niewiadoma "rzecz" (nasz x),
pojawia si

w trzeciej pot

dze jako x3. Tak

e w owych czasach

16 Terminy o zbli

onym

ródłosłowie upowszechniły si

tak

e w ówczesnej niem-

czy

nie. U jednego z niemieckich die Cossisten, Johanna Widmanna, około 1460

roku pojawiła si

nazwa Regel Algebr

oder Cosse, a Christoph Rudolf f wydał

w 1525 roku w Strasburgu ksi

ąż

zatytułowan

Szybki i pi

kny rachunek za po-

moc

wymy

lnych reguł algebry zwykle nazywanej Coss. Zob. te

Historia matema-

tyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975 (przyp. tłum.).
17 Michael Mahoney: The Mathematical Career of Pierre de Fermat. Princeton
Uniyersity Press, Princeton 1994, s. 4.

AMIR D. ACZEL • 49
dzi

ki znajomo

ci metod rozwi

zywania problemów teoretycz-

nych zostawało si

cenionym i poszukiwanym ekspertem, spe-

cjalizuj

cym si

w bardziej praktycznych zagadnieniach.

Na pocz

tku XVI wieku Tartaglia odkrył sposób rozwi

zywa-

nia równa

trzeciego stopnia i zachował go w sekrecie, by

utrzyma

przewag

nad konkurentami na przynosz

cym spore

zyski rynku rozwi

zywania zada

. Gdy Tartaglia wygrał turniej

matematyczny, Cardano wymógł na nim, by podzielił si

wiedz

. Tartaglia zgodził si

nauczy

go metody rozwi

zywania

równa

trzeciego stopnia, pod warunkiem

e Cardano docho-

wa tajemnicy przed całym

wiatem. Gdy jednak Cardano

dowiedział si

pó

niej o tym samym sposobie od innego z "po-

szukiwaczy", Scippione del Ferro (1456-1526), przyj

ł natych-

miast,

e Tartaglia nauczył si

wzorów na pierwiastki równa

trzeciego stopnia wła

nie od del Ferro. Uznał wobec tego,

jest zwolniony od obowi

zku dochowania tajemnicy, i opubli-

kował wszystko w swojej ksi

ąż

ce Ars magna, któr

wydal

w 1545 roku. Tartaglia poczuł si

zdradzony i wszcz

ł z Carda-

no gwałtowny spór, w ostatnich latach

ycia wiele czasu po-

caj

c na obmawianie niedawnego przyjaciela. Udało mu

w ten sposób zaszkodzi

reputacji Cardano.

Włoskich "poszukiwaczy nieznanych rzeczy" uwa

a si

ogół za matematyków nie tak wysokiego lotu, jak staro

ytnych

Greków. Zajmowanie si

praktycznymi problemami w pogoni

za pieni

dzem oraz osobiste, niekonstruktywne swary i kłótnie

powstrzymywały ich od prowadzenia bada

naukowych dykto-

wanych ciekawo

i poszukiwaniem pi

kna. Dlatego te

badacze nie rozwin

li zamkni

tych, aksjomatycznych i abs-

trakcyjnych teorii; w poszukiwaniu tego rodzaju matematyki
wci

ąż

nale

ało wraca

do prac staro

ytnych Greków. I wła

nie

do tego doszło w nast

pnym stuleciu.

Renesansowe poszukiwania wiedzy staro

ytnych

Od czasów Diofantosa min

ło trzyna

cie stuleci.

wiat

red-

niowieczny ust

pił pod naporem renesansu l nadchodz

cej

50 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wraz z nim nowej epoki. Po nocy

redniowiecza Europa obu-

dziła si

spragniona wiedzy; uczeni zmieniali zainteresowania

l zaczynali zwraca

uwag

na klasyczne dzieła staro

ytnych.

W nieustaj

cej pogoni za wiedz

i o

wieceniem wszelkie zacho-

wane ksi

ąż

ki staro

ytne tłumaczono na łacin

, j

zyk ludzi wy-

kształconych. Francuski szlachcic, Ciaude Bachet, był tłuma-
czem

ywo zainteresowanym matematyk

. Gdy wpadła mu

w r

ce napisana po grecku Arithmetica Diofantosa, nie zwleka-

c przeło

ył j

i wydał w 1621 roku w Pary

u pod tytułem

Diophantini Alexandrmi arithmeticorum libri sex. Jeden z eg-
zemplarzy wła

nie tego wydania trafił nieco pó

niej do prywat-

nej biblioteki Fermata.
Wielkie twierdzenie Fermata głosi,

e je

li Jako wykładnik

pot

gi we

miemy jak

kolwiek liczb

naturaln

ksz

dwójki, to z pewno

nie znajdziemy

adnych odpowiedników

trójek pitagorejskich. Suma dwóch sze

cianów liczb natural-

nych nigdy nie b

dzie pełnym sze

cianem, suma czwartych

pot

g nie b

dzie czwart

pot

, podobnie rzecz si

ma z pi

ty-

mi, szóstymi i pozostałymi wy

szymi pot

gami. Jak wła

ciwie

Fermat mógł na to wpa

ść

Kwadraty, sze

ciany i wy

sze wymiary

Twierdzenie to zdanie wyposa

one w dowód. Fermat napisał

wprawdzie,

e zna "prawdziwie cudowny dowód" swego twier-

dzenia, ale je

li nie zobaczy si

l nie sprawdzi dowodu takiego

czy innego zdania, nie mo

na go w

adnym razie nazywa

twier-

dzeniem. Zdanie mo

e przekazywa

prawd

niezwykle wa

nie

ść

znacz

ce i gł

bokie tre

ci, ale dopóki nie znamy dowodu

Jego prawdziwo

ci, musimy nazywa

je hipotez

. Gdy si

hipote-

udowodni, zmienia si

ona w twierdzenie (lub lemat, je

li Jest

tylko pomocniczym faktem, słu

żą

cym do udowodnienia innego,

gł

bszego twierdzenia). Proste konsekwencje wypływaj

z udowodnionego twierdzenia nazywa si

wnioskami.

Fermat sformułował wiele hipotez. Jedna z nich orzekała,

e ka

da liczba postaci 22" + l jest liczb

pierwsz

. "Nie Jest to

AMIR D. ACZEL • 1S1

twierdzenie, bo nikt nie podał dowodu prawdziwo

ci; wr

przeciwnie, w nast

pnym wieku sławny szwajcarski matem-a-

tyk Leonard Euler (1707-1783) udowodnił,

e jest to hipoteka

fałszywa.18 Nie było zatem powodu, by wierzy

bezkrytyczmie

w prawdziwo

ść

wielkiego twierdzenia Fermata - była to

w ko

cu jedynie hipoteza, by

e prawdziwa, a by

mo.

fałszywa.
Wielkie twierdzenie Fermata okazałoby si

fałszywe, gdy~by

ktokolwiek wskazał wykładnik pot

gi n, wi

kszy od 2, oraz tr-zy

liczby naturalne o, b, i c spełniaj

ce zale

ść

a" + b" = c". Ta-

kiego przykładu nikomu nie udało si

Jednak znale

źć

(ch o

w pó

niejszych próbach znalezienia dowodu wa

rol

odie-

grało przypuszczenie,

e takie liczby a, b, c oraz n istniej

). BMa

pocz

tku lat dziewi

ęć

dziesi

tych naszego wieku wiadomo by3o,

e dla wykładników n mniejszych od czterech milionów ma

pewno znale

źć

nie mo

na odpowiedniej trójki liczb a, b, c, co

oczywi

cie nie gwarantowało jeszcze wcale,

e pewnego dala

kto

nie poda kontrprzykładu (bior

c pod uwag

kszy wy-

kładnik). Twierdzenie nale

ało udowodni

dla wszystkich •wy-

kładników.
Sam Fermat umiał udowodni

swe wielkie twierdzenie dla

n = 4. U

ył w tym celu pomysłowej metody (tzw. metody spad-

ku lub niesko

czonej regresji) i wykazał,

e nie ma trójki

liczb naturalnych a, b oraz c, które spełniałyby równanie
a4 + b4 = c4.19 Wiedział on te

e z istnienia rozwi

zania dla

wykładnika n wynika istnienie rozwi

zania dla wszystki ch

wykładników, które s

dzielnikami n.20 Aby zatem udowod-

e nie ma rozwi

, wystarczy rozpatrywa

jedynie te

18 Ju

dla n = 5 otrzymujemy liczb

zło

4 294 967 297 (przyp. dum.).

19 W istocie Fermat udowodnił,

e nie istnieje trójk

t prostok

tny, który

miai.łby
boki długo

ci całkowitej i pole, b

ce kwadratem liczby całkowitej. Z jego do-

wodu wypływał wniosek nieco mocniejszy od wielkiego twierdzenia Ferm-ata
dla n = 4, a mianowicie,

e równanie a4 + 64 = c2 nie ma rozwi

ród ILczb

naturalnych (przyp. tłum.).
20 Mówi

c inaczej: z prawdziwo

ci wielkiego twierdzenia Fermata dla pewn"ego

wykładnika k wynika jego prawdziwo

ść

dla wszystkich wykładników, które s

wielokrotno

ciami k (przyp. ttum.).

52 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wykładniki wi

ksze od 2, które s

liczbami pierwszymi (to

znaczy nie dziel

przez

adn

liczb

naturaln

ró

jedynki i od nich samych). Kilka pocz

tkowych liczb pierw-

szych wi

kszych od 2 to: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 - ka

da z nich

dzieli si

bez reszty wył

cznie przez jedynk

i przez sam

sie-

bie. Przykład liczby, która nie jest pierwsza, to 6, która dzieli
si

bez reszty nie tylko przez l i 6, ale tak

e przez 2 i 3. Fer-

mat umiał udowodni

swoje twierdzenie równie

dla n = 3.

W przypadku n = 3 i n = 4 dowód podał tak

e, niezale

nie od

Fermata, Leonard Euler.
W 1828 roku Peter Gustaw Lejeune Dirichlet udowodnił,

teza wielkiego twierdzenia Fermata zachodzi dla n = 5. Jego
wynik powtórzył w 1830 roku Adrien Marie Legendre. Gabriel
Lam

i Henri Lebesgue (1875-1947), który poprawił Jego bł

dy z 1840 roku, stwierdzili,

e teza twierdzenia jest prawdzi-

wa dla n = 7. Zatem po upływie dwustu lat od chwili, gdy
Fermat dopisał swoj

sławn

uwag

na marginesie dzieła

Diofantosa, jego twierdzenie było udowodnione tylko dla wy-
kładników 3, 4, 5, 6 i 7 (i dla ich wielokrotno

ci). Do niesko

czono

ci droga była z tego miejsca daleka, a udowodnienie

prawdziwo

ci twierdzenia dla ka

dego wykładnika n wymaga-

ło jej pokonania. Spraw

mógłby rozstrzygn

ąć

jedynie ogólny

dowód, który potwierdzałby prawdziwo

ść

twierdzenia dla

wszystkich, dowolnie du

ych wykładników. Takiego nie-

uchwytnego, ogólnego dowodu poszukiwało wielu matematy-
ków, znajduj

c, niestety, dowody prawdziwe tylko dla po-

szczególnych wykładników.
Pierwszy rachmistrz o

wiecenia

Rachmistrz to osoba doskonale radz

ca sobie z obliczeniami,

obmy

laj

ca metody ich prowadzenia. Niew

tpliwie Jedn

z ta-

kich osób był płodny matematyk szwajcarski Leonard Euler,
o którym mówiono,

e rachowanie przychodzi mu równie ła-

two, jak innym oddychanie. Lecz Euler byt nie tylko chodz

cym kalkulatorem. To najbardziej produktywny naukowiec

AMIR D. ACZEL • 53t
szwajcarski wszech czasów; autor tylu tomów dzieł matema-
tycznych,

e rz

d szwajcarski ustanowił specjalny fundusz poo

to, aby zebra

wszystkie jego prace. Podobno zdarzało mu si

produkowa

artykuły matematyczne podczas przerw mi

dzy?

kolejnymi wezwaniami na obiad, rozbrzmiewaj

cymi w jego

ym domostwie.

Leonard Euler urodził si

w Bazylei 15 kwietnia 1707 roku..

W nast

pnym roku jego rodzina przeniosła si

na wie

, do

miejscowo

ci Riechen, gdzie ojciec został pastorem obrz

dku^

kalwi

skiego. Gdy młody Leonard chodził do szkoły, ojciec za-

cał go do studiowania teologii, by z biegiem czasu mógFl

zaj

ąć

jego miejsce i zosta

wiejskim pastorem. Lecz Euler wy-

kazywał przede wszystkim uzdolnienia matematyczne. Opieko-
wał si

nim Jan Bemoulli, dobrze wówczas znany matematyl-i

szwajcarski. Daniel i Mikołaj Bemoulli, młodsi członkowie po--
t

ęż

nego matematycznego rodu Bernoullich, zaprzyja

nili si

ęę

z Leonardom i przekonali jego rodziców, by pozwolili synowi -
maj

cemu zadatki na wielkiego uczonego - zajmowa

ma--

tematyk

. Leonard równocze

nie z matematyk

nadal studio -

wał teologi

i przez całe

ycie pozostał człowiekiem bardzo reli--

gijnym.
W ówczesnej Europie, inaczej ni

dzisiaj, badania naukowe

rozwijano głównie poza uniwersytetami, na których zajmowa--
no si

przede wszystkim nauczaniem - aktywno

ść

innego ro-

dzaju nie zostawało wiele czasu. W osiemnastym stuleciu ba_-
dania naukowe prowadzone były w pierwszym rz

dzLe

w królewskich akademiach naukowych. Monarchowie wspie--
raii najlepszych uczonych w poszukiwaniach wiedzy. Cze

bada

miała charakter stosowany i pomagała rz

cym

umacnia

pozycj

stwa, którym władali. Były te

badani a

podstawowe, teoretyczne; prowadzono je nie ze wzgl

du n a

bezpo

rednie korzy

ci, lecz z my

o poszerzeniu granic ludzs-

klej wiedzy. O

wieceni monarchowie hojnie wspierali takie ba-

dania, a uczeni pracuj

cy w akademiach mogli wie

ść

wygodnie

ycie.

Po uko

czeniu na uniwersytecie w Bazylei studiów mate-

matycznych, a tak

e teologii l hebrajskiego, Euler wyst

p*!!

54 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
o przyznanie mu profesury. Pomimo wielkich osi

gni

ęć

, który-

mi ju

mógł pochwali

, jego pro

odrzucono. Tymczasem

jego dwaj przyjaciele. Daniel i Mikołaj, zostali zatrudnieni Jako
matematycy w Królewskiej Akademii Nauk w Sankt Petersbur-

gu w Rosji. Obaj pozostali w kontakcie z Eulerem i obiecali
mu,

e spróbuj

go jako

do siebie

ąć

. Pewnego dnia

młodzi Bernoulli napisali do Eulera list, informuj

c go,

zwolniło si

wła

nie jedno z miejsc w sekcji medycznej peters-

burskiej akademii. Medycyn

wprawdzie Euler nie intere-

sował, lecz desperacko poszukiwał pracy, a poza tym miał na-
dziej

e w ten sposób doł

czy do przyjaciół, którzy w Rosji

mieli wspaniałe stanowiska l mogli zajmowa

wył

cznie

własnymi badaniami.
Matematyk

Euler dostrzegał w ka

dej dziedzinie, któr

zajmował, a wi

c równie

w medycynie. Badania fizjologii

ucha doprowadziły go do skonstruowania matematycznego
modelu rozchodzenia si

fal. W ka

dym razie, zaproszenie

do Sankt Petersburga wkrótce nadeszło i w roku 1727 Euler
doł

czył do obu swych przyjaciół. Niedługo potem, po

mier-

ci Katarzyny,

ony Piotra Wielkiego, pot

ęż

nej wspomo

yciel-

kl i opiekunki bada

naukowych, w Akademii zapanował

chaos. Korzystaj

c z powstałego zamieszania Leonard Euler

zdołał jako

opu

sekcj

medyczn

i przenie

ść

na na-

ne mu sk

din

d miejsce w sekcji matematycznej. Przez

sze

ść

lat starał si

pozosta

w cieniu i ograniczał wszelkie

kontakty towarzyskie,

eby jego podst

p nie wyszedł na jaw.

Przez cały czas jednak nieustannie pracował, produkuj

całe tomy artykułów matematycznych najwy

szej klasy.

W 1733 roku został mianowany na jedno z czołowych stano-
wisk matematycznych w Akademii. Euler najwyra

niej nale-

ał do osób, które umiej

pracowa

zawsze i wsz

dzie. Jego

rodzina systematycznie si

powi

kszała i zdarzało si

uprawiał matematyk

, kołysz

c jednocze

nie które

ze swo-

ich dzieci.
Gdy władz

w Rosji obj

ła bratanica Piotra Wielkiego, Anna

Iwanowa, rozpocz

ł si

okres terroru. Izoluj

c si

od zewn

trz-

nego

wiata, Euler na dziesi

ęć

lat znów pogr

ąż

ył si

w pracy.

AMIR D. ACZEL • 55
W tym czasie zajmował si

dzy innymi trudnym zagadnie-

niem z zakresu astronomii, za którego rozwi

zanie oferowano

w Pary

u nagrod

. Paru matematyków wyst

piło do Akademii

z pro

o kilkumiesi

czne urlopy,

eby móc nad tym zagad-

nieniem pracowa

. Leonard Euler znalazł rozwi

zanie w ci

trzech dni. Za długie okresy koncentracji i wysiłku musiał jed-
nak zapłaci

: o

lepł na prawe oko.

Nieco pó

niej Euler przeniósł si

do Niemiec, by pracowa

w Akademii Berli

skiej. Towarzystwo Niemców, lubi

cych

niezno

nie długie filozoficzne dysputy, nie odpowiadało mu

zbytnio. Tote

gdy w 1766 roku panuj

ca wówczas w Rosji

caryca Katarzyna Wielka zaprosiła go znów do Sankt Peters-
burga, Euler był niezwykle szcz

ęś

liwy z nadarzaj

cej si

oka-

zji do powrotu. W owym czasie na dworze Katarzyny przeby-
wał Denis Diderot, filozof znany ze swych ateistycznych
przekona

. Cesarzowa poprosiła Eulera,

eby spierał si

z Di-

derotem o istnienie Boga. Diderotowi za

powiedziano,

sławny matematyk zna dowód na istnienie Boga. Gdy Euler
zbli

ył si

do Diderota i z powag

na twarzy wypalił: "Panie,

a + b/n = x, a. wi

c Bóg istnieje", Diderot, który o matematyce

nie miał zielonego poj

cia, zrejterował i natychmiast wrócił do

Francji.
Wkrótce po powrocie do Rosji Euler o

lepł na drugie oko.

Mimo to nadal uprawiał matematyk

, korzystaj

c podczas pi-

sania prac z pomocy synów.

lepota zwi

kszyła jego zdolno

do wykonywania w pami

ci skomplikowanych rachunków. Ba-

dania naukowe prowadził Euler jeszcze przez 17 lat. Zmarł
podczas zabawy z wnukiem w 1783 roku.
Wiele spo

ród współcze

nie stosowanych oznacze

ma-

tematycznych zawdzi

czamy wła

nie Eulerowi. To on za-

ł na przykład u

ywa

litery i dla oznaczenia pierwiastka

kwadratowego z -1. Euler darzył szczególnym uwielbieniem
pewien wzór matematyczny, który uznawał za najpi

kniej-

szy i polecił nawet umie

go nad wej

ciem do Akademii.

Ów wzór to:
e"1 + l = O.

56 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Wyst

puj

w nim Oli. fundamentalne w naszym systemie li-

czenia; wyst

puj

trzy działania, dodawanie, mno

enie

i pot

gowanie; dwie słynne liczby niewymierne, e i n, oraz licz-

ba i, jednostka osi urojonej, a oprócz tego wzór jest po prostu
mity dla oka. Czego mo

na chcie

cej?

Siedem mostów w Królewcu
Euler był wprost niewiarygodnym wizjonerem. Pionierskie pra-
ce dotycz

ce liczb zespolonych (i gał

zi matematyki, zwanej

dzi

analiz

zespolon

) nie s

bynajmniej jedynym jego orygi-

nalnym wkładem do matematyki. Euler zapocz

tkował rów-

nie

badania w dziedzinie, która w naszym stuleciu stała si

nieodzownym składnikiem wykształcenia ka

dego matematy-

ka, a tak

e narz

dziem wykorzystywanym podczas prób roz-

zania zagadki Fermata. T

dziedzin

jest topologia, teoria

odwołuj

ca si

do geometrycznej wyobra

ni, rozpatruj

ca figu-

ry przestrzenne i te ich własno

ci, które nie zmieniaj

przy

przekształceniach ci

głych. Topologia polega na badaniu

kształtów i form, obdarzonych cz

stokro

zawiłymi, nieoczeki-

wanymi własno

ciami geometrycznymi i mog

cych wykracza

z naszego zwykłego, trójwymiarowego

wiata w wymiar czwar-

ty, pi

ty, ósmy czy jedenasty. Zetkniemy si

jeszcze z t

fascy-

nuj

dziedzin

podczas omawiania współczesnego podej

cia

do wielkiego twierdzenia Fermata. Topologia, mimo

e wydaje

zupełnie nie zwi

zana z zagadnieniem Fermata, ma wielkie

znaczenie dla jego zrozumienia i rozwi

zania.

Wkład Eulera do topologii, wyprzedzaj

cy o dobre sto kilka-

dziesi

t lat rozwój tej dziedziny, to rozwi

zanie słynnego zada-

nia o siedmiu mostach królewieckich. Wła

nie ta łamigłówka

wzbudziła zainteresowanie topologi

.21 W czasach Eulera pły-

21 Zadanie o siedmiu mostach w Królewcu uwa

a si

na ogót raczej za pocz

tek

teorii grafów, cho

zwi

zków z topologi

na si

tu doszukiwa

. Do teorii

grafów zalicza si

tak

e omawiane dalej przez Autora zagadnienie czterech

barw (przyp. tium.).

AMIR D. ACZEL • 57

n

przez Królewiec Pregoł

przecinało siedem mostów, roz-

mieszczonych tak, jak pokazuje powy

szy rysunek.

Euler postawił pytanie, czy mo

na pój

ść

na taki spacer,

by po ka

dym mo

cie przej

ść

dokładnie raz. Okazuje si

nie mo

na tego zrobi

. Z zadaniem o siedmiu mostach blisko

ążą

ró

norodne zagadnienia o kolorowaniu map;

próbowano je rozwi

w XIX i XX wieku. Wyobra

my sobie

kartografa, który kre

li map

wiata. Ka

de dwa pa

stwa ma-

ce wspólny odcinek granicy powinny by

na tej mapie poko-

lorowane innymi barwami,

eby ułatwi

rozró

nianie s

sia-

dów. Tym samym kolorem mo

na pomalowa

stwa

odległe, które wspólnej granicy nie maj

. Pytanie brzmi: jaka

jest najmniejsza z mo

liwych liczba kolorów, których nale

do pomalowania mapy zgodnie z powy

szymi regułami?

Jest to oczywi

cie problem ogólny - w rozwi

zaniu nie nale

sugerowa

aktualnym wygl

dem mapy politycznej

wiata.

W istocie chodzi o to, by wskaza

, jaka jest najmniejsza liczba

kolorów, która wystarczy do pomalowania dowolnej mapy na
płaszczy

nie (lub globusie) ze sko

czon

liczb

stw. Pól

artem, pół serio mo

na powiedzie

e przy dzisiejszym powi-

kłaniu granic na terenie dawnej Jugosławii czy na Bliskim
Wschodzie, ten ogólny problem ma te

pewne praktyczne za-

stosowania.
Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie barw na-
le

y do szeroko rozumianej topologii. W pa

dzierniku 1852 ro-

ku Francis Guthrie, student uniwersytetu w Londynie, zajmo-
wał si

kolorowaniem poszczególnych hrabstw na mapie

58 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Anglii i zastanawiał si

, z ilu barw nale

y w tym celu skorzy-

sta

. Stwierdził,

e cztery barwy wystarcz

- a skoro wystar-

czaj

do pokolorowania mapy Anglii, to dlaczego nie miałyby

wystarczy

do pokolorowania zupełnie dowolnej mapy? W ro-

ku 1879 udowodniono,

e cztery barwy Istotnie wystarcz

.22

Pó

niej jednak w dowodzie został wykryty bł

d23 i dopiero

w roku 1976 dwaj matematycy, Kenneth Appel oraz Wolfgang
Haken, rozwi

zali problem, który przez ten czas zyskał sobie

nazw

zagadnienia czterech barw. Ich dowód budzi liczne

kontrowersje po dzi

dzie

, opiera si

bowiem nie tylko na

logicznym rozumowaniu, lecz tak

e - i to w znacznym stopniu

- na wynikach działania skomplikowanego programu kompu-
terowego.
Gauss, genialny niemiecki uczony
Kwesti

rzekomego bł

du w podanym przez Eulera dowodzie

wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3 wyja

nił Cari Frie-

drich Gauss (1777-1855). Podczas gdy wi

kszo

ść

renomowa-

nych matematyków owych czasów wywodziła si

z Francji,

Gauss, bez w

tpienia najwi

kszy matematyk dziewi

tnastego

stulecia - a by

e w całej historii matematyki - był Niem-

cem z krwi i ko

ci. W istocie nigdy, cho

by nawet na krótko,

nie wyjechał z Niemiec. Dziadek Gaussa był bardzo biednym
chłopem, a ojciec - robotnikiem w Brunszwiku. Ojciec obcho-
dził si

z synem szorstko, za to matka starała si

go chroni

l wspiera

. Młodym Gaussem opiekował si

wuj Friedrich,

brat jego matki Dorothei. Wuj, który wyrobił sobie pozycj

w bran

y włókienniczej, był zamo

niejszy od rodziców Carla.

Pewnego razu trzyletni Car! obserwował, jak jego wuj dodaje
długie kolumny liczb w ksi

dze handlowej. "Prosz

wuja -

22 Zrobił to najpierw Arthur Bray Kempe, londy

ski adwokat, a po nim Peter

Guthrie Tait (przyp. tłum.).
23 Znalazł go w 1891 roku Percy John Heawood, dowodz

c przy okazji,

e mini-

malna liczba barw, która wystarczy do pomalowania dowolnej mapy na torusie,
czyli na d

tce rowerowej, wynosi siedem (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 59
przerwał Cari - w tych rachunkach jest bł

d". Pocz

wszy od

tego dnia zdumiony wuj robił wszystko, by umo

liwi

młode-

mu geniuszowi zdobycie nale

nego wykształcenia. Chocia

w szkole Gauss zapowiadał si

nadzwyczaj obiecuj

co, jego za-

chowanie pozostawiało czasem wiele do

yczenia. Pewnego

dnia nauczyciel za kar

polecił Gaussowi zosta

w klasie i zna-

źć

sum

wszystkich liczb od l do 100, podczas gdy reszta

uczniów poszła bawi

wie

ym powietrzu. Po dwóch mi-

nutach dziesi

cioletni Gauss beztrosko przył

czył si

do zaba-

wy kolegów. Nauczyciel wrzasn

ł w

ciekle: "Cari Friedrich! Czy

mam cl

ukara

surowiej?! Powiedziałem ci,

e masz siedzie

w klasie, a

sko

czysz dodawa

wszystkie liczby!" "Ale

sko

czyłem - odparł Gauss. - Tu jest odpowied

". Z tymi słowy

Gauss wr

czył nauczycielowi skrawek papieru z napisan

nim liczb

5050, czyli prawidłow

odpowiedzi

. Najwidoczniej

Gauss wpadł na pomysł, by wypisa

dwa rz

dki zawieraj

po 101 liczb:
O l 2 3 ... 97 98 99 100
100 99 98 97 ... 3 2 1 0,
a nast

pnie zauwa

ył,

e suma liczb w ka

dej kolumience jest

równa 100. Kolumienek jest 101, zatem suma wszystkich wy-
pisanych liczb wynosi 101x100 =10100. A suma liczb w ka

dym rz

dku to wła

nie suma, któr

Gauss miał obliczy

(suma

wszystkich liczb od l do 100). Poniewa

potrzebny jest tylko

jeden z dwóch rz

dków, wi

c trzeba wzi

ąć

połow

z 10100,

czyli 5050. Bardzo proste, pomy

lał. Nauczyciel wzi

ł sobie

lekcj

do serca i nigdy wi

cej nie kazał Gaussowi rozwi

zywa

za kar

zada

matematycznych.

tnastoletni Gauss zyskał uznanie ksi

cia Brunszwiku

l dzi

ki ufundowanemu przez niego stypendium mógł uko

czy

renomowany uniwersytet w Getyndze. Tam wła

nie, 30

marca 1796 roku, zapisał pierwsz

stron

w swoim słynnym

dzienniku. Dziennik miał tylko dziewi

tna

cie stron, na któ-

rych Gauss pomie

cił 146 zwi

złych notatek o najwa

niej-

szych wynikach swoich prac. Jak pó

niej stwierdzono, ró

60 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
zapiski w dzienniku Gaussa wyprzedzały wi

kszo

ść

nowych,

nych pomysłów i osi

gni

ęć

, opublikowanych przez mate-

matyków ko

ca XVIII wieku i pierwszej połowy XIX wieku.

Dziennik ujrzał

wiatło dzienne dopiero w 1898 roku, kiedy

odnaleziono go w domu wnuka Gaussa w miejscowo

Hamlin.
Wyniki Gaussa w teorii liczb, o których w regularnie pro-
wadzonej korespondencji informował kolegów po fachu, mia-
ły ogromne znaczenie dla podejmowanych przez wielu mate-
matyków prób udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata.
Cz

ęść

tych rezultatów mo

na odnale

źć

w ksi

ąż

ce Gaussa,

któr

opublikował po łacinie w 1801 roku, gdy miał 24 lata.

Ksi

ąż

ka ta, Disqu.lsition.es arithmeticae, została nast

pnie

przeło

ona na francuski i w 1807 roku wydana w Pary

gdzie cieszyła si

ym zainteresowaniem. Uznawano j

dzieło geniusza. Gauss dedykował j

swemu dobroczy

cy,

ksi

ciu Brunszwiku.

Gauss był równie

wybitnym znawc

zyków klasycznych.

wst

puj

c na uniwersytet, po mistrzowsku posługiwał si

łacin

Zainteresowanie filologi

wywołało swego rodzaju kryzys

w jego karierze: rozmy

lał, czy ma zajmowa

studiowaniem

zyków, czy te

raczej matematyk

. Punkt zwrotny nast

pił

30 marca 1796 roku. Z jego dziennika dowiadujemy si

e te-

go wła

nie dnia młody człowiek postanowił po

mate-

matyce. Gauss wniósł istotny wkład do wielu gał

zi matematy-

ki oraz statystyki. Jest m.in. autorem pomysłowej metody
najmniejszych kwadratów, pozwalaj

cej znale

źć

prost

najle-

piej pasuj

do zbioru wyników pomiaru czy eksperymentu.

Zawsze jednak uwa

ał,

e sercem wszelakiej matematyki jest

teoria liczb.
Dlaczego najwi

kszy geniusz matematyczny

wiata nigdy

nie próbował dowodzi

wielkiego twierdzenia Fermata? Przy-

jaciel Gaussa, astronom H. W. M. Olbers, poinformował go
w li

cie napisanym 7 marca 1816 roku w Bremie,

e Paryska

Akademia Nauk wyznaczyła poka

nagrod

dla tego, kto

udowodni (lub obali) wielkie twierdzenie Fermata. Gaussowi

AMIR D. ACZEL • 61
z pewno

ci^. si

ta sumka przyda, troskliwie podpowiadał

przyjaciel. W owym czasie, jak zreszt

podczas całej swej ka-

riery naukowej, Gauss korzystał z finansowego wsparcia
ksi

cia Brunszwiku i dzi

ki temu mógł zajmowa

mate-

matyk

bez konieczno

ci poszukiwania dodatkowej pracy.

Niemniej do zamo

ci było mu daleko; tymczasem, zgodnie

z sugesti

Olbersa,

aden inny matematyk nie mógł si

z nim

równa

umiej

tno

ciami i do

wiadczeniem. "Uwa

am wi

c za

słuszne, drogi Gaussie, by

tym problemem zaj

ł" - ko

czył Olbers.
Gauss Jednak nie dał si

skusi

. Prawdopodobnie wiedział,

jak złudne jest wielkie twierdzenie Fermata. Obdarzony genial-
n

głow

wietnie znaj

cy teori

liczb, mógł by

jedynym ma-

tematykiem w Europie zdaj

cym sobie spraw

z tego, jak trud-

no b

dzie poda

dowód. Dwa tygodnie pó

niej, w odpowiedzi

na list Olbersa, Gauss zakomunikował mu swoje zdanie na te-
mat wielkiego twierdzenia Fermata: "Jestem Ci niezmiernie
wdzi

czny za wie

ci o paryskiej nagrodzie. Musz

jednak wy-

zna

e twierdzenie Fermata, jako rezultat izolowany, intere-

suje mnie w bardzo niewielkim stopniu. Podobnych stwierdze

mógłbym z łatwo

poda

mnóstwo i nikt nie potrafiłby ich

ani udowodni

, ani obali

". Jak na ironi

losu, Gauss wniósł

wielki wkład do gał

zi matematyki, zwanej analiz

zespolon

dziedziny, która wyrosła z prowadzonych przez Eulera bada

liczb urojonych i zespolonych. Te za

liczby miały w XX wieku

odegra

decyduj

rol

w zrozumieniu kontekstu wielkiego

twierdzenia Fermata.
Liczby urojone i zespolone
Ciało liczb zespolonych tworzy si

, wrzucaj

c do jednego wor-

ka liczby rzeczywiste i liczby urojone; oba rodzaje liczb znał ju

Euler. Na trop liczb zespolonych matematycy wpadli, próbuj

rozwi

równania typu: x2 + l = O. "W rzeczywisto

ci" to pro-

ste równanie nie ma rozwi

, nie Istnieje bowiem

adna licz-

ba rzeczywista, której kwadrat byłby równy -l (tyle wła

nie

62 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
trzeba doda

do jedynki,

eby otrzyma

zero). Gdyby

my jed-

nak umówili si

e istnieje liczba równa pierwiastkowi kwa-

dratowemu z -l, to - cho

nie byłaby to oczywi

cie liczba rze-

czywista - mogliby

my powy

sze równanie rozwi

W taki oto sposób wychodzimy poza o

liczbow

i dorzuca-

my do naszego worka z liczbami liczby urojone, czyli rzeczywi-
ste wielokrotno

ci pierwiastka kwadratowego z -l, oznaczane-

go symbolem L Liczby urojone umieszczamy na ich własnej osi
liczbowej, prostopadłej do osi rzeczywistej. Obie osie razem
tworz

układ współrz

dnych na płaszczy

nie zespolonej, poka-

zany na rysunku poni

ej. Płaszczyzna zespolona ma wiele za-

skakuj

cych własno

ci - na przykład Jej obrót o 90 stopni

odpowiada mno

eniu przez i.

Mno

żą

c przez (, obracamy płaszczyzn

o k

t prosty w kierunku przeciwnym

do ruchu wskazówek zegara.
Płaszczyzna zespolona jest najmniejszym ciałem liczbowym,
zawieraj

cym rozwi

zania wszystkich równa

kwadratowych

AMIR D. ACZEL • 63
o współczynnikach rzeczywistych. Jest te

narz

dziem niewia-

rygodnie wprost u

ytecznym w zastosowaniach matematyki

w ró

nych dziedzinach, m.in. w elektronice i mechanice pły-

nów. W roku 1811, wyprzedzaj

c sw

epok

o kilka dziesi

cio-

leci, Gauss studiował własno

ci funkcji zdefiniowanych na

płaszczy

nie zespolonej. Odkrył wówczas zadziwiaj

ce własno-

ci tak zwanych funkcji analitycznych, stwierdzaj

e s

one

niezwykle regularne, a obliczenia z ich pomoc

na wyko-

nywa

bardzo zgrabnie i elegancko. Funkcje analityczne za-

chowuj

ty mi

dzy krzywymi na płaszczy

nie; t

własno

ść

i Jej konsekwencje zacz

to intensywnie bada

w naszym stule-

ciu. Pewne funkcje analityczne, tak zwane formy modułowe,
miały odegra

kluczow

rol

w nowych podej

ciach do proble-

mu Fermata.
W swojej skromno

ci Gauss nie opublikował owych impo-

nuj

cych wyników. Wspomniał tylko o nich w li

cie do przyja-

ciela, Friedricha Wilhelma Bessela (1784-1846). Gdy po wielu
latach teoria pojawiła si

znów, nikt nie wi

zał jej z nazwi-

skiem Gaussa. Zasługi za odkrycia dotycz

ce funkcji anali-

tycznych, które Gauss rozumiał tak dobrze, przypadły w udziale
innym matematykom.
Sophie Germain
Pewnego dnia Gauss dostał list, pod którym podpisał si

nieja-

ki "Monsleur Leblanc". Leblanc był zafascynowany ksi

ąż

Gaussa Disquisitiones arthmeticae i przysłał jej autorowi swoje
wyniki z zakresu arytmetyki teoretycznej. Pod wpływem na-
wi

zanej korespondencji Gauss nabrał szacunku dla pana Le-

blanca i jego matematycznych osi

gni

ęć

. Uznanie nie zmalało,

gdy Gauss odkrył,

e jego korespondent nie nazywa si

wcale

Leblanc, a w dodatku

aden z niego "Monsieur". Osóbk

pisz

pełne erudycji listy o matematyce była Sophie Germain

(1776-1831), jedna z bardzo nielicznych w owym czasie kobiet
uprawiaj

cych t

dziedzin

wiedzy. Gauss, po wykryciu pod-

pu, pisał do niej tak:

64 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Jak

e mam Pani opisa

podziw i zdumienie, które ogarn

ły

mnie, gdy stwierdziłem,

e mój godzien szacunku korespon-

dent, Mr. Leblanc, zmienił si

w osob

tak znamienit

, tak

promienny przykład czego

, w co trudno mi do tej pory było

uwierzy

...

(Te słowa kierowane do Sophie Germain zostały napisane
w Brunszwiku w dniu urodzin Gaussa;

wiadczy o tym fran-

cuskie zako

czenie listu: Bronsute ce 30 avril 1807 jow de ma

naissance).
Sophie Germain ukryła si

pod m

skim nazwiskiem, by unik-

ąć

powszechnych w owych czasach uprzedze

wobec uprawia-

cych nauk

kobiet i na serio zainteresowa

Gaussa. Podj

ła

jedn

z najpowa

niejszych prób udowodnienia wielkiego twier-

dzenia Fermata i poczyniła znacz

ce post

py. Twierdzenie So-

phie Germain, dzi

ki któremu jego autorka zdobyła spore uzna-

nie, głosi w najprostszej wersji,

e je

li dla wykładnika p = 5

Istnieje trójka liczb tworz

cych rozwi

zanie równania Fermata,

to iloczyn tych liczb dzieli si

przez 5.24 Twierdzenie to, jak po-

kazała Sophie Germain w 1823 roku, zachodzi dla wszystkich
p nazywanych obecnie liczbami pierwszymi Sophie Germain,
czyli dla takich wykładników pierwszych p, dla których 2p + l
te

jest liczb

pierwsz

(np. dla p = 11 lub p = 23, ale nie dla

p = 13). Dzi

ki temu w dowodzie wielkiego twierdzenia Fermata

na rozró

dwa przypadki: tak zwany przypadek pierwszy,

gdy

adna z trójki liczb b

cych rozwi

zaniem równania Fer-

mata nie dzieli si

przez wykładnik p, oraz przypadek drugi, gdy

która

z tych liczb jest podzielna przez p. Wykorzystuj

c wa

wynik Sophie Germain, nietrudno jest, po niewielkich modyfika-
cjach rozumowania, udowodni

e dla nie przekraczaj

cych

100 wykładników pierwszych p wielkie twierdzenie Fermata mo-

e by

fałszywe jedynie w drugim przypadku.25

24 Je

li w dodatku zało

ymy,

e owe trzy liczby s

wzgl

dnie pierwsze, co w ni-

czym nie zmniejsza ogólno

ci rozumowania, to przez 5 dzieli si

dokładnie jedna

z nich (przyp. tłum.).
25 Harold M. Edwards: Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag, Nowy Jork
1977,s. 61-73.

AMIR D, ACZEL • 65
Sophie Germain zmuszona była ujawni

samo

ść

gdy Gauss poprosił przyjaciela "Leblanca" o przysług

. Działo

to w roku 1807, kiedy Napoleon okupował Niemcy. Francu-

zi nało

yli wówczas na Niemców surowe kontrybucje wojenne,

okre

laj

c sum

przypadaj

demu do zapłacenia wedle

tego, jak postrzegali jego zamo

ść

i pozycj

. Gauss, jako

gruba ryba nauki, wybitny astronom i matematyk z Getyngi,
miał spłaci

2000 franków, co przekraczało jego mo

liwo

ci.

Paru francuskich matematyków, którzy przyja

nili si

z wiel-

kim uczonym, zaoferowało sw

pomoc, on jednak odmówił

przyj

cia ich pieni

dzy.

Gauss chciał, by kto

wstawił si

za nim u francuskiego ge-

nerała Pemety'ego, stacjonuj

cego w Hanowerze. Napisał wi

do swego przyjaciela "Leblanca", pytaj

c, czy ten nie mógłby

skontaktowa

z francuskim generałem w jego imieniu. Gdy

Sophie Germain z rado

zastosowała si

do tej pro

by, jej

samo

ść

wyszła na Jaw. Gauss (jak wida

z jego listu - pełen

emocji) podtrzymał korespondencj

, która z czasem obj

ła wie-

le matematycznych tematów. Niestety, obydwoje nigdy si

nie

spotkali. Sophie Germain zmarła w Pary

u w 1831 roku, za-

nim Uniwersytet w Getyndze zd

ąż

ył przyzna

jej honorowy

doktorat, do którego rekomendował j

Gauss.

Obok swego wkładu do prób udowodnienia wielkiego
twierdzenia Fermata, Sophie Germain ma na koncie wiele
osi

gni

ęć

, mi

dzy innymi w zakresie teorii liczb, ale nie tyl-

ko. Aktywnie zajmowała si

równie

teori

plastyczno

oraz akustyk

, a tak

e innymi gał

ziami matematyki czystej

l stosowanej.
Jasna kometa 1811 roku
Gauss prowadził wa

ne badania astronomiczne, zmierzaj

dzy innymi do okre

lenia orbit planet. 22 sierpnia 1811 ro-

ku zaobserwował po raz pierwszy komet

, która była ledwo wi-

doczna na nocnym niebie. Umiał dokładnie wyznaczy

jej tra-

jektori

. Gdy po pewnym czasie kometa zacz

ła jasno

wieci

66 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
na niebie, pro

ci, n

kani wojnami mieszka

cy Europy ch

tnie

widzieli w niej znak niebios, przepowiadaj

cy rychły upadek

Napoleona. Gauss natomiast obserwował, jak potwierdzaj

Jego przewidywania - kometa poruszała si

po orbicie, któr

obliczył z du

żą

dokładno

. Okazało si

jednak,

e w prze-

dnych opowie

ciach niewykształconych mieszka

ców na-

szego globu tkwiło równie

ziarenko prawdy: w nast

pnym ro-

ku Napoleon poniósł kl

i musiał wycofa

swe wojska

z Rosji. Gaussa to nawet bawiło. Po tym, jak Francuzi zdarli
z niego i jego rodaków niemal ostatni grosz, wcale si

nie

zmartwił, widz

c Napoleona na kolanach.

Ucze

Norweski matematyk Niels Henrik Abel przyjechał do Pary

w pa

dzierniku 1826 roku. Próbował tam nawi

kontakty

z innymi kolegami po fachu, poniewa

stolica Francji była

w owym czasie prawdziw

Mekk

matematyków. Do osób naj-

bardziej imponuj

cych Abelowi nale

ał Peter Gustaw Lejeune

Dirichlet (1805-1859), Prusak, który te

odwiedzał Pary

i z sympati

odnosił si

do młodego Norwega, bior

c go pocz

kowo za rodaka z Prus. Abelowi szczególnie spodobało si

to,

e Dirichlet podał dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla

n = 5. Pisał o tym w li

cie do jednego z przyjaciół, wspomina-

e ten sam wynik powtórzył Adrien Marie Legendre

(1752-1833), wedle opisu Abela człowiek niebywale uprzejmy
l bardzo stary. Legendre udowodnił twierdzenie Fermata dla
n = 5 niezale

nie od Dlrlchleta, dwa lata pó

niej od niego. Nie-

stety, podobne odkrycia zdarzały mu si

sto - wiele jego

spó

nionych prac wypierały nowocze

niejsze dzieła młodszych

matematyków.
Dirichlet był przyjacielem i uczniem Gaussa. Nakład słynnej
ksi

ąż

ki Gaussa, Disqu.isition.es arithmeticae, wyczerpał si

wkrótce po jej opublikowaniu. Nawet matematykom pracuj

cym w tej samej co Gauss dziedzinie trudno było zdoby

eg-

zemplarz na własno

ść

. A wielu posiadaczy ksi

ąż

ki i tak nie ro-

AMIR D. ACZEL • 67
zumiało jej do ko

ca. Dirichlet nale

ał do tych szcz

ęś

liwców,

którzy mieli swój egzemplarz. Uczony prawie si

z nim nie roz-

stawał. Ksi

ąż

ka towarzyszyła mu w licznych podró

ach po ca-

łym kontynencie, do Pary

a, Rzymu l innych miast. Dirichlet

dosłownie sypiał z Disquisitiones pod poduszk

. Dzieło Gaussa

nazywano czasem patetycznie ksi

siedmiu piecz

ci. Je

z tym zgodzi

, to utalentowany Dirichlet wiedział niew

tpli-

wie, jak te piecz

cie przełama

. Zrobił wi

cej ni

ktokolwiek In-

ny, by wyja

i wytłumaczy

całemu

wiatu zawarto

ść

dzieła

swego mistrza.
Poza nagła

nianiem i wyja

nianiem tre

ci Disquisitiones

oraz podaniem dowodu wielkiego twierdzenia Fermata dla wy-
kładnika n = 5, Dirichlet udowodnił wiele innych twierdze

Jeden z ciekawszych rezultatów jego bada

dotyczy ci

gu aryt-

metycznego postaci: a, a + b. a + 2b, a + 3b, a + 4b, ... i tak da-
lej, przy czym obie liczby a l b s

całkowite l nie maj

wspólne-

go dzielnika wi

kszego od jedynki (tzn. mog

to by

np. 2 i 3

albo 3 l 5. albo 6 i 35, nie mog

np. 2 i 4, dlatego

obie dziel

przez 2, ani 6 l 9, które maj

wspólny dzielnik

3). Otó

Dirichlet udowodnił,

e w ka

dym ci

gu tej postaci

wyst

puje niesko

czenie wiele liczb pierwszych. Zadziwiaj

cym składnikiem jego dowodu było wykorzystanie metod ana-
lizy matematycznej, wa

nej gał

zi matematyki, która zawiera

w sobie m.ln. rachunek ró

niczkowy i całkowy. W analizie ma-

my do czynienia z obiektami ci

głymi, z funkcjami okre

lony-

mi na contlnuum elementów osi liczbowej. Wydaje si

to bar-

dzo odległe od dyskretnego

wiata liczb całkowitych l liczb

pierwszych - królestwa teorii liczb.
W naszym stuleciu podobny most mi

dzy odległymi z pozo-

ru gał

ziami matematyki zapowiedział nowoczesne spojrzenie

na twierdzenie Fermata, spojrzenie ukoronowane pó

niej do-

wodem. Dirichlet był jednym ze

miałych pionierów, jednocz

cych odległe gał

zie matematyki.

W pó

niejszym czasie ucze

odziedziczył stanowisko swego

mistrza. Gdy Gauss zmarł w 1855 roku, Dirichleta spotkał
wielki zaszczyt: opu

cił on presti

posad

w Berlinie, by

zast

Gaussa w Getyndze.

68 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Matematycy Napoleona
Cesarz Francuzów kochał matematyków, chocia

sam nie

był jednym z nich.26 Bliskie kontakty ł

czyły go w szczegól-

ci z Gaspardem Monge'em (1746-1818) oraz Josephem

Fourierem (1768-1830). W 1798 roku Napoleon zabrał obu
panów do Egiptu, aby pomogli .cywilizowa

" ten staro

ytny

kraj.
Fourier urodził si

w Auxerre, we Francji, 21 marca 1768

roku. Gdy miał osiem lat, został sierot

. Miejscowy biskup po-

mógł mu dosta

do szkoły wojskowej. Ju

w wieku lat dwu-

nastu Fourier wykazywał wielkie zdolno

ci. Zap

dzano go do

pisania tekstów kaza

dla dostojników ko

cielnych z Pary

a ci wygłaszali Je nast

pnie jako swoje własne. Wielka Rewolu-

cja Francuska z 1789 roku oszcz

dziła Fourierowi sp

dzenia

reszty

ycia w zakonnej sukni. Został matematykiem i entuzja-

stycznym stronnikiem rewolucji. Okres jakobi

skiego terroru,

który wkrótce nast

pił, Fourier uznał za odpychaj

co brutal-

ny. Wykorzystywał elokwencj

, wykształcon

przez lata pisa-

nia kaza

, głosz

c swój sprzeciw wobec okrucie

stwa. Talent

wietnego mówcy przydawał mu si

tak

e w nauczaniu mate-

matyki w najlepszych szkołach Pary

Fourier interesował si

ynieri

, matematyk

stosowan

l fizyk

. W słynnej Ecole Polytechmque prowadził rozległe ba-

dania naukowe w tych dziedzinach. Wiele spo

ród jego prac

dost

piło zaszczytu prezentacji w Akademii Nauk. Rosn

sław

Fouriera zainteresował si

sam Napoleon i w 1798 roku

zaprosił go na pokład okr

tu flagowego, płyn

cego na czele

zło

onej z pi

ciuset jednostek floty francuskiej, kieruj

cej si

do Egiptu. Fourier nale

ał do tzw. Legionu Kultury, którego

zadaniem było "obdarzy

naród egipski wszelkimi dobrodziej-

stwami cywilizacji europejskiej". Armada Inwazyjna miała
nie

ść

nie tylko podbój, ale i kultur

...

26 Ten s

d Autora jest dla Napoleona nieco krzywdz

cy. W elementarnej geo-

metrii płaskiej znane jest tzw. twierdzenie Napoleona; czym

podobnym nie mo-

siczyci

Clinton, Jelcyn, Chirac czy Kwa

niewski (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 69
W Egipcie obaj matematycy zało

yli Instytut Egipski, a Fou-

rier wrócił do Francji dopiero po czterech latach, w roku 1802,
by zosta

prefektem regionu poło

onego wokół Grenoble.

Przedsi

wzi

ł tam wiele po

ytecznych inicjatyw, takich jak

osuszenie bagien l zwalczanie malarii. Mimo nawału pracy
Fourier, matematyk, który stał si

administratorem, znajdował

jakim

cudem czas na twórcz

, znakomitej jako

ci prac

na-

ukow

. Arcydziełem Fouriera jest matematyczna teoria prze-

wodnictwa cieplnego, udzielaj

ca odpowiedzi na wa

ne pyta-

nie: jak rozchodzi si

ciepło? Za to dokonanie uczony otrzymał

w 1812 roku Grand Prix Paryskie] Akademii Nauk. Cz

ęść

jego

prac opierała si

na eksperymentach, które przeprowadził na

pustyni podczas lat sp

dzonych w Egipcie. Niektórzy z jego

przyjaciół s

dzili,

e owe eksperymenty - a w szczególno

poddawanie si

działaniu rozpalonego upałem powietrza w za-

mkni

tych pomieszczeniach - spowodowały jego przedwczesn

mier

w wieku 62 lat.

Ostatnie lata

ycia Fourier sp

dził, snuj

c opowie

ci o Na-

poleonie i historii swojej z nim znajomo

ci, zarówno podczas

pobytu w Egipcie, jak i pó

niej, po ucieczce Napoleona z Elby.

Unie

miertelniła go jednak nie przyja

źń

z cesarzem, ale prace

o rozchodzeniu si

ciepła i stworzona przeze

teoria funkcji

okresowych. Odpowiedni szereg funkcji okresowych, który
mo

na wykorzysta

do przybli

ania innej funkcji lub szacowa-

nia jej warto

ci, nazywamy szeregiem Fouriera.

Funkcje okresowe
Najprostszego przykładu funkcji okresowej dostarcza tradycyj-
ny zegarek. Minuta po minucie du

a wskazówka okr

ąż

a tar-

, by po godzinie wróci

do miejsca, z którego rozpoczynała

drówk

. Potem wszystko zaczyna si

od nowa; po kolejnych

sze

ść

dziesi

ciu minutach wskazówka znów powraca w to samo

miejsce. (Oczywi

cie, w miar

upływu kolejnych godzin mała

wskazówka zmienia swoje poło

enie na tarczy zegarka). Poło-

enie wskazówki minutowej na tarczy zegarka to okresowa

70 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
funkcja czasu. Jej okres stanowi równo sze

ść

dziesi

t minut.

na powiedzie

e przestrze

wszystkich minut

wiata -

niesko

czenie wielu minut, które upłyn

od teraz do wieczno-

ci - jest nakładana przez du

żą

wskazówk

na tarcz

zegarka,

zupełnie tak, jak nitka nawija si

na szpulk

Zastanówmy si

teraz nad innym przykładem i przypatrzmy

cej po torach lokomotywie. Rami

, przekazuj

ce nap

z silnika na koło, porusza si

wci

ąż

w gór

i w dół, gdy koło si

obraca. Po ka

dym pełnym obrocie koła rami

powraca do pozy-

cji wyj

ciowej -jego ruch te

jest okresowy. Je

li przyjmiemy,

promie

koła lokomotywy ma jednostkow

długo

ść

, to wówczas

odległo

ść

ca ramienia od poziomej płaszczyzny zawieraj

cej

wyra

a si

za pomoc

funkcji sinus. (To jedna z elementar-

nych funkcji okresowych, o których uczymy si

w szkole). Za

pomoc

cosinusa mo

na okre

odległo

ść

ca ramienia od

przechodz

cej przez o

płaszczyzny pionowej. Zarówno sinus,

jak i cosinus s

funkcjami k

ta mi

dzy poziom

lini

przebiega-

przez

rodki kół lokomotywy a promieniem poprowadzo-

nym do ko

ca ramienia.

Gdy poci

g porusza si

do przodu, stoj

cy obserwator widzi,

jak koniec ramienia zakre

la falist

krzyw

, podobn

do wi-

docznej na rysunku na nast

pnej stronie. Krzywa ta jest okre-

sowa. Okres to 360 stopni, co odpowiada pełnemu obrotowi
koła. Z pocz

tku koniec ramienia znajduje si

na umownej wy-

AMIR D. ACZEL • 71

soko

ci zerowej, potem wznosi si

po grzbiecie falistej krzywej

na wysoko

ść

jeden, nast

pnie z powrotem opada do zera l ni-

ej, a

do minus jedynki, a na koniec w

druje w gór

, do zera.

Potem cały cykl zaczyna si

od nowa.

Fourier odkrył,

e prawie wszystkie w miar

porz

dne funk-

cje mo

na z dowoln

dokładno

przybli

sumami wielu

(teoretycznie niesko

czenie wielu, gdy chcemy osi

ąć

do-

kładno

ść

niemal doskonał

) sinusów i cosinusów. Mówi o tynu

sławne twierdzenie o szeregach Fouriera. Rozwini

cie dowolnej!

funkcji w sum

wielu sinusów i cosinusów stosuje si

w mate-

matyce w bardzo wielu sytuacjach, gdy wyra

enie, z którymi

mamy do czynienia, jest zawiłe i trudne do zbadania - nato-
miast suma wielu sinusów i cosinusów, pomno

onych przez

odpowiednio dobrane współczynniki, łatwo poddaje si

rozma-

itym manipulacjom l obliczeniom. Jest to szczególnie praktycz--
ne, gdy do oblicze

wykorzystujemy komputer. Dziedzina ma -

tematyki, któr

nazywa si

analiz

numeryczn

, zajmuje sia

technikami sprawnego obliczania warto

ci najró

niejszycin

funkcji i wyra

. Istotn

ęś

analizy numerycznej jes-t

tzw. analiza fourierowska. Za pomoc

rozwini

ęć

w szeregi Fom-

riera bada ona skomplikowane problemy, których rozwi

zani a

nie wyra

prostymi, jawnymi wzorami. Po pionierskic

pracach Fouriera zacz

to te

stosowa

rozwini

cia, wykorzy-

stuj

ce inne, stosunkowo proste funkcje, głównie rozmaite

wielomiany (to znaczy sumy rosn

cych pot

g zmiennej: kwa-

dratów, sze

cianów Itd.). Gdy obliczamy na kalkulatorze pierr-

wiastek kwadratowy z jakiej

liczby, to poznajemy w istocie

tylko jego przybli

enie znalezione tego rodzaju metod

72 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Zło

one z sinusów i cosinusów szeregi Fouriera s

szczegól-

nie przydatne do badania zjawisk, w których sumy funkcji
okresowych pojawiaj

tak czy Inaczej w naturalny sposób.

Dotyczy to na przykład muzyki. Utwór muzyczny mo

na rozło-

na składowe, proste d

ki. Przypływy i odpływy morza

czy kolejne fazy Ksi

ęż

yca to te

zjawiska okresowe.

Cho

zastosowa

szeregów Fouriera do opisu zjawisk natu-

ralnych oraz w ró

norodnych technikach obliczeniowych nie

na w

adnym razie przemilcze

, naprawd

zaskakuj

ce jest

dopiero to,

e zarówno szeregów Fouriera, jak i analizy fourie-

rowskiej u

ywa si

w czystej matematyce, która nigdy nie nale-

ała do kr

gu głównych zainteresowa

Fouriera. W XX wieku

Góro Shimura wykorzystał szeregi Fouriera w swoich pracach
teorioliczbowych jako swego rodzaju narz

dzie do przenoszenia

obiektów matematycznych z jednego obszaru w inny. (Przypo-
mnijmy: dowód hipotezy Shimury to samo sedno dowodu wiel-
kiego twierdzenia Fermata). Dzi

ki badaniu przedłu

funkcji

okresowych na płaszczyzn

zespolon

- ł

cemu dwie gał

zie

analizy matematycznej - inny uczony francuski, Henri Poin-
care, doszedł na pocz

tku XX wieku do odkrycia funkcji auto-

morficznych oraz form modułowych, które pó

niej miały decy-

duj

cy wpływ na losy wielkiego twierdzenia Fermata.

Kulawy dowód Lamego
Pierwszego marca 1847 roku, na posiedzeniu Paryskiej Akade-
mii Nauk, matematyk Gabriel Lam

27 (1795-1870), szalenie

podekscytowany, obwie

cił wszystkim,

e znalazł dowód wiel-

kiego twierdzenia Fermata dla ogólnego przypadku. Przedtem

badano Jedynie przypadki pojedynczych wykładników n; do-
wód był znany dla n = 3, 4, 5, 6 i 7. Lam

zaproponował ogólne

podej

cie do zagadnienia Fermata, które -jak s

dził - powinno

prawdziwe dla dowolnego wykładnika n. Jego metoda pole-

27 Nieprzetłumaczalna gra słów: pozbawione akcentu nad e nazwisko "Lam

i angielskie słowo "kulawy" wygl

daj

identycznie (prayp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 73
gala na tym, by wykorzystuj

c liczby zespolone, rozło

lew

stron

rozpatrywanego równania (x" + y") na iloczyn czynni-

ków liniowych. Lam

stwierdził te

skromnie,

e sława powin-

na spłyn

ąć

nie tylko na niego, gdy

wspomnianej metody na-

uczył si

przy innej okazji od Josepha Liouville'a (1809-1882).

Llouville jednak wszedł na mównic

bezpo

rednio po Łamem

l kategorycznie odmówił przyj

cia jakichkolwiek pochwał.

Stwierdził ze spokojem,

e Lam

wcale nie udowodnił wielkiego

twierdzenia Fermata, bowiem zastosowany przeze

rozkład na

czynniki wcale nie jest jednoznaczny (to znaczy,

e mo

na go

wykona

na wiele sposobów), a zatem nie prowadzi do rozwi

zania. Była to wi

c próba odwa

na i pełna fantazji, i

cie kawa-

leryjska, tyle

e - jak wiele innych - zupełnie bezowocna. Jed-

nak

e z samego pomysłu, by zapisa

lew

stron

równania-

w postaci iloczynu n czynników liniowych, uczyniono powtór-
ny u

ytek.

Liczby idealne
Jako drugi rozkładu na czynniki spróbował Ernst EduarcB
Kummer (1810-1893), człowiek, który do rozwi

zania proble-

mu Fermata w przypadku ogólnym zbli

ył si

bardziej ni

kto-

kolwiek z jemu współczesnych. W istocie Kummer, próbuj

udowodni

wielkie twierdzenie Fermata, stworzył now

teori

matematyczn

, tzw. teori

liczb idealnych.

Matka Kummera owdowiała, gdy miał on zaledwie trzy lata_,
l wykształcenie syna musiała okupi

ęż

prac

. W wieku la_t

osiemnastu młody Kummer wst

pił na Uniwersytet w Hall«^

w Niemczech z zamiarem studiowania teologii i przygotowania
si

ycia w słu

bie Ko

cioła. Pewien dalekowzroczny profe--

sor matematyki, entuzjastycznie podchodz

cy do algebry i teon-

rii liczb, zdołał zainteresowa

tymi dziedzinami Kummera, tem

wkrótce porzucił teologi

dla matematyki. Podczas trzecie;-

go roku studiów rozwi

zał trudny problem matematyczny, z. a

który oferowano nagrod

. Dzi

ki temu sukcesowi zdobył

doktorat z matematyki w wieku dwudziestu jeden lat.

74 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Mimo to Kummer nie mógł znale

źć

pracy na

adnym z nie-

mieckich uniwersytetów i musiał zadowoli

posad

nauczy-

ciela w szkole

redniej, do której sam kiedy

chodził. Nauczy-

cielem był przez dziesi

ęć

lat, prowadz

c jednocze

nie rozliczne

badania naukowe, które cz

ęś

ciowo publikował, a cz

ęś

ciowo

opisywał w listach kierowanych do czołowych matematyków.
Przyjaciele zdawali sobie oczywi

cie spraw

e los utalentowa-

nego matematyka, zmuszonego do wykonywania zawodu na-
uczyciela w szkole

redniej, jest niewesoły. Dzi

ki wstawien-

nictwu i pomocy kilku wpływowych matematyków Kummer
otrzymał profesur

na Uniwersytecie we Wrocławiu. W rok

pó

niej zmarł Gauss. Jego miejsce w Getyndze zaj

ł Dirlchlet,

opuszczaj

c sw

katedr

na słynnym Uniwersytecie Berli

skim. Kummera wybrano, by zast

pił Dirichleta w Berlinie.

Piastował to stanowisko a

do emerytury.

Kummer zajmował si

najró

niejszymi zagadnieniami mate-

matycznymi, od bardzo abstrakcyjnych do bardzo praktycz-
nych - pracował nawet nad zastosowaniami matematyki do
techniki wojennej. Najwi

ksz

sław

przyniosły mu jednak

szeroko zakrojone prace nad wielkim twierdzeniem Fermata.
Zajmował si

nim tak jak sławny francuski matematyk Augu-

stin Louis Cauchy (1789-1857), któremu wielokrotnie wyda-
wało si

e wpadł na trop ogólnego rozwi

zania problemu Fer-

mata. Lecz Cauchy był te

niecierpliwy i niedbały; za ka

dym

razem okazywało si

e problem jest daleko trudniejszy ni

przypuszczał: liczbom po prostu brakowało własno

ci, których

do swych rozumowa

potrzebował Cauchy. Z czasem wi

Cauchy porzucił wielkie twierdzenie Fermata i zaj

ł si

innymi

zagadnieniami.
Kummer, owładni

ty natr

tnymi my

lami o wielkim twier-

dzeniu Fermata, kroczył z pocz

tku szlakiem daremnych usi-

łowa

Cauchy'ego. Nie porzucił jednak nadziei, gdy raz za ra-

zem okazywało si

e u

ywanym przeze

ciałom liczbowym

brakuje tej czy innej własno

ci. Zamiast rozpacza

, stworzył

inne, nowe liczby, które miały niezb

dne cechy. Nazwał je licz-

bami idealnymi. W ten sposób Kummer, wychodz

c od zera,

zbudował zupełnie now

teori

i wykorzystywał j

, próbuj

AMIR D, ACZEL • 75.
udowodni

wielkie twierdzenie Fermata. W pewnym momencie-

Kummer my

lał nawet,

e wreszcie znalazł ogólny dowód. Oka-

zało si

, niestety,

e cel pozostał poza zasi

giem jego stara

Niemniej Kummer, atakuj

c problem Fermata, poczynił ol-

brzymie post

py. Dzi

ki zastosowaniu swoich liczb idealnych

zdołał udowodni

wielkie twierdzenie Fermata dla wszystklcn

wykładników nale

żą

cych do bardzo obszernej klasy tak zw

nych regularnych liczb pierwszych. Na przykład w

ród liczba

pierwszych mniejszych od 100 nie s

regularne tylko trzy: 37",

59 i 67. Tym samym wiadomo było,

e twierdzenie zachodzi

równie

dla ka

dego z niesko

czenie wielu wykładników, któr' e

dziel

cho

by przez jedn

z regularnych liczb pierwszych.218

Liczby nieregularne wymkn

ły si

z sieci rozwa

Kummera.

Nieco pó

niej rozpracował on jednak oddzielnie przypadki nie-

których nieregularnych liczb pierwszych, w tym wspomniame
37, 59 i 67. W efekcie, pod koniec lat pi

ęć

dziesi

tych XIX wie-

ku, dzi

ki niewiarygodnemu przełomowi, dokonanemu przez

Kummera, wiadomo było,

e wielkie twierdzenie Fermata jest

prawdziwe dla wszystkich wykładników mniejszych od 100
(l dla niesko

czonego zbioru wykładników zło

onego z wszys-t-

kich wielokrotno

ci liczb pierwszych mniejszych od 100). Cho

nie był to wymarzony ogólny dowód, a prawdziwo

ść

twierdz-e-

nia pozostawała nie rozstrzygni

ta dla niesko

czenie wielu

wykładników, prace Kummera nale

y uzna

za istotne osi.

gni

cie.

W 1816 roku Francuska Akademia Nauk ufundowała n^a-
grod

dla tego, kto udowodni wielkie twierdzenie Fermata.

W roku 1850 Akademia ponowiła propozycj

, oferuj

c złcoty

medal i sum

3000 franków matematykowi, który po<ia

dowód wielkiego twierdzenia Fermata. W roku 1856 zdecydo-
wano nagrod

wycofa

, nie wydawało si

bowiem,

eby roz-

zanie problemu Fermata miało si

pojawi

w bliskiej przy-

szło

ci. Zamiast tego Akademia postanowiła,

e nagrod

",za

28 Do dzi

nie wiemy, czy regularnych liczb pierwszych jest niesko

czenie wi-

ele;
pewne jest natomiast to,

e nieregularnych liczb pierwszych jest niesko

czenie

wiele, co udowodnil w 1915 roku K. L. Jensen (przyp. tłum.).

76 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
przepi

kne badania liczb zespolonych, utworzonych z pier-

wiastków z jedynki i liczb całkowitych" otrzyma Ernst Eduard
Kummer. I tak oto Kummer dostał nagrod

, o któr

wcale

nie ubiegał.
Kummer niestrudzenie kontynuował próby znalezienia do-
wodu wielkiego twierdzenia Fermata. Zaprzestał ich dopiero
w 1874 roku. Kummer był równie

autorem pionierskich

prac z geometrii przestrzeni czterowymiarowej. Niektóre
z uzyskanych przez niego wyników stosowane s

obecnie

w mechanice kwantowej, jednej z gał

zi współczesnej fizyki.

W roku 1893, po przekroczeniu osiemdziesi

tki, Kummer

zmarł na gryp

Samo wprowadzenie liczb idealnyc.h jest przez matematy-
ków uznawane za wi

kszy sukces Kummera ni

ich zastoso-

wanie do cz

ęś

ciowego rozwi

zania zagadnienia Fermata. Fakt

powstania tej warto

ciowej teorii wskutek prób udowodnienia

wielkiego twierdzenia Fermata obrazuje prawidłowo

ść

ogólniej-

: zmaganie z jednym problemem mo

e prowadzi

do rozwo-

ju zupełnie nowych dziedzin nauki. W istocie, teoria liczb ide-
alnych Kummera stała si

pocz

tkiem współczesnej teorii

obiektów, zwanych ideałami. Bez niej nie byłoby dwudziesto-
wiecznych prac Wilesa i innych matematyków, zajmuj

cych

zagadnieniem Fermata.

Kolejna nagroda
W 1908 roku w Niemczech ufundowano dla autora ogólnego
dowodu wielkiego twierdzenia Fermata tzw. nagrod

Wolfskehia

w wysoko

ci stu tysi

cy marek. W pierwszym roku od ustano-

wienia nagrody pojawiło si

621 "rozwi

". Wszystkie zawie-

rały bł

dy. W kolejnych latach podejmowano kolejne setki i ty-

ce podobnych prób. W latach dwudziestych naszego wieku,

wskutek panuj

cej w Niemczech hiperinflacji, realna warto

ść

sumy 100 000 marek spadła niemal do zera. Mimo to fałszywe
dowody wielkiego twierdzenia Fermata nadal napływały szero-
k

fal

AMIR D. ACZEL • 77
Geometria bez Euklidesa
Wiek XIX przyniósł w matematyce wiele nowych osi

gni

ęć

. W

gier, Janos Bolyai (1802-1860), i Rosjanin, Mikołaj Iwanowicz-
Łobaczewski (1793-1856), zmienili oblicze geometrii. Odrzucili.
tzw. pi

ty postulat Euklidesa, który głosił,

e dwie proste rów--

nolegle na płaszczy

nie nie przecinaj

, i niezale

nie od sie-

bie zbudowali

wiat nowej geometrii, pod wieloma wzgl

dami!

podobny do euklidesowego, lecz dopuszczaj

cy, by proste rów-

noległe przecinały si

w niesko

czono

ci. Z geometri

tego ro-

dzaju mamy do czynienia cho

by w przypadku sfery. Dobregco

przykładu dostarcza powierzchnia globu ziemskiego. Rol

pro-

stych odgrywaj

na sferze łuki wielkich kół, na przykład połu-

dniki. Łatwo zaobserwowa

e w pobli

u równika ró

ne połu-

dniki s

równoległe. Gdy jednak pow

drujemy wzdłu

nich aS,

do bieguna północnego, zauwa

ymy,

e si

tam one spotkaj

Wiele sytuacji, które przed nadej

ciem geometrii nieeuklideso-

wej wydawało si

niejasnych i tajemniczych, mo

na obecnie zei

jej pomoc

opisa

i wytłumaczy

Tragiczne dzieje twórcy niezwykłej teorii
Algebra abstrakcyjna, dziedzina matematyki, której korzenie
si

gaj

dobrze znanej, słu

żą

cej do rozwi

zywania prostyc:h

równa

algebry szkolnej, narodziła si

w XIX wieku. Do alges-

78 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
bry abstrakcyjnej zalicza si

dzy innymi wspaniał

teori

Galois.
Evariste Galois urodził si

w 1811 roku pod Pary

em, w ma-

łej mie

cinie Bourg-la-Reine.29 Jego ojciec był burmistrzem

miasteczka i jednocze

nie zagorzałym republikaninem. Młody

Evariste od pocz

tku stykał si

z Ideałami wolno

ci i demokra-

cji. Niestety, niemal cała Francja w owym czasie zmierzała
w przeciwnym kierunku. Wielka Rewolucja Francuska prze-
szła ju

do historii, podobnie Jak dokonania Napoleona. Nie

wszystkie marzenia o wolno

ci, równo

ci i braterstwie zostały

spełnione. Rój ali

ci cieszyli si

z powrotu do

ycia publicznego

we Francji, na której tronie znów zasiadał jeden z Burbonów,
rz

c tym razem wspólnie z przedstawicielami ludu.

ycie Evariste'a przesi

kni

te było wzniosłymi Ideałami re-

wolucji. Wygłaszał o nich nawet publiczne, porywaj

ce mowy,

a równocze

nie był genialnym matematykiem o niezrównanych

liwo

ciach. Jako nastolatek wchłaniał teorie algebraiczne

równie szybko i łatwo, jak najznakomitsi ówcze

ni matematy-

cy. B

c jeszcze chłopcem, stworzył własn

, pełn

teori

ma-

tematyczn

, znan

dzi

jako teoria Galois. Niestety, podczas

tragicznie krótkiego

ycia nie dane mu było cieszy

uzna-

niem Innych.
Galois chodził do szkoły z internatem. Noce, które jego kole-
dzy smacznie przesypiali, sp

dzał, spisuj

c sw

teori

. Gotowy

kopis wysłał do Francuskiej Akademii Nauk, do Cauchy'ego,

z nadziej

e ten pomo

e mu w opublikowaniu dotychczaso-

wych wyników bada

. Cauchy był jednak nie tylko człowie-

kiem niezwykle zaj

tym; był te

arogancki i niedbały. Błyskot-

liwa praca Galois trafiła nieczytana do kosza.
Galois spróbował jeszcze raz, z podobnym skutkiem. W tym
czasie oblał te

egzaminy wst

pne do Ecole Polytechnique, któ-

ra wykształciła wi

kszo

ść

słynnych matematyków fran-

cuskich. Galois zazwyczaj pracował nad matematyk

, u

ywa-

c jedynie własnej głowy. Nic nie notował l nie zapisywał, do-

29 Miasteczko to znajduje si

przy drodze do Tuluzy, dzi

niedaleko lotniska

Orły
(przyp. tłum.).

AMIR D, ACZEL • 7S»
póki nie miał w głowie gotowego wyniku. Koncentrował si

ra-

czej na ideach, ni

na detalach, do których, prawd

powie--

dziawszy, nie miał zbytniej cierpliwo

ci i uznawał je za mato

Interesuj

ce. Naprawd

ciekawiły go wielkie pomysły, pi

knoo

rozległych teorii. Nic dziwnego,

e kto

taki nie czuł si

najle -

piej, odpowiadaj

c przy tablicy na szczegółowe pytania. Z te=j

wła

nie przyczyny dwukrotnie nie udało mu si

dosta

do wy-

marzonej szkoły. Dwukrotnie postawiony pod tablic

rednio

radził sobie z zapisywaniem rozumowa

i Irytował si

, pytan^y

o detale, które po prostu uznawał za niewa

ne. Było to tragiczs-

ne nieporozumienie: niewiarygodnie inteligentnego młodeg.o
człowieka przepytywali daleko mniej uzdolnieni egzaminatoo-
rzy, bior

c niech

ęć

do podawania banalnych szczegółów za

niewiedz

. Gdy Galois zdał sobie spraw

e za chwil

obieg e

egzamin po raz drugi (i ostatni, poniewa

cej razy nie wolnio

było zdawa

), a wrota Ecole Polytechnique zamkn

prze-d

nim na zawsze, cisn

cierk

do tablicy w twarz jednego z eg-

zaminatorów.
Pozostała mu druga pod wzgl

dem atrakcyjno

ci uczelnia,

Ecole Normale. Lecz nawet tam nie wiodło mu si

dobrze. O*]-

ciec Galois, burmistrz Bourg-la-Reine, był w miasteczk-u
obiektem klerykalnych Intryg. Pewien pozbawiony skrupułów
ksi

dz rozpowszechniał pornograficzne wierszydła, sygnuj

c _je

nazwiskiem burmistrza. Po paru miesi

cach prze

ladowa

oj-

ciec Galois stracił pewno

ść

siebie l nabrał przekonania,

e ca_ly

wiat sprzysi

gł si

przeciw niemu. Trac

c stopniowo kontaikt

z rzeczywisto

, pojechał do Pary

a. Tam, w mieszkandu

o par

ulic od miejsca, gdzie studiował jego syn, popełnił s a-

mobójstwo. Po tej tragedii młody Galois nigdy ju

nie doszesdl

do siebie. Zdesperowany przegran

spraw

rewolucji 1830 r-o-

ku, sfrustrowany działaniami dyrektora Ecole, którego uwa

sał

za poplecznika rojalistów i kleryka! ów, Galois napisał zjadinwy,
krytykuj

cy dyrektora list. Wpadł na ten pomysł po trzech

dniach ulicznych zamieszek, kiedy to studenci całego Pary

burzyli si

przeciwko re

imowi. Galois i jego koledzy, nie rrno-

c wdrapa

na wysoki płot, uwi

zieni byli przez jaki

cz:as

na terenie uczelni. Rozzłoszczony Galois wysłał swój ci

ty, p3o-

80 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
mienny list krytykuj

cy dyrektora do "Gazette des Ecoles".

Zyskał tyle,

e go z uczelni wydalono. Nie zra

ony tym Galols

napisał do "Gazette" drugi list, wzywaj

c studentów uczelni,

by stan

li po stronie honoru i sumienia. Odzewu nie było.

Wyrzucony z uczelni Galois próbował z pocz

tku dawa

pry-

watne lekcje. Maj

c ledwie dziewi

tna

cie lat, chciał poza mu-

rami francuskich szkół uczy

własnych teorii matematycz-

nych. Nie znalazł jednak ch

tnych do pobierania nauki - jego

teorie były zbyt zaawansowane, a on sam wyprzedzał o wiele
lat sw

epok

Stoj

c przed niepewn

przyszło

, jakby dotkni

ty jakim

przekle

stwem, które nie pozwalało mu zdobywa

rzetelnego

wykształcenia w normalny sposób, zdesperowany Galois wst

pił do oddziałów artylerii francuskiej Gwardii Narodowej.
W Gwardii Narodowej, dowodzonej niegdy

przez samego La-

fayette'a, wielu młodych ludzi nastawionych było liberalnie
i wyznawało pogl

dy polityczne zbli

one do Galois. Słu

żą

w Gwardii, Galois spróbował po raz ostatni opublikowa

wyni-

ki swych prac. Napisał artykuł po

cony ogólnym własno-

ciom rozwi

równa

wielomianowych - dzi

uznawany za

opis

wietnej teorii Galois - i posłał go do Francuskiej Akade-

mii Nauk, na r

ce Simeona-Denisa Poissona (1781-1840). Po-

Isson prac

przeczytał, lecz stwierdził,

e jest "niezrozumiała".

Jeszcze raz si

okazało,

e dzłewi

tnastolatek przerósł mate-

matyków francuskich starszej generacji tak bardzo,

e nie byli

oni w stanie ogarn

ąć

jego nowych, efektownych teorii. Po tym

wiadczeniu Galois postanowił porzuci

matematyk

i zo-

sta

zawodowym rewolucjonist

. Powiedział podobno,

e je

do zaanga

owania ludzi w rewolucj

potrzebne jest jakie

spe-

cjalne ciało, to on mo

e ofiarowa

własne.

Dziewi

tego maja 1831 roku dwustu młodych republikanów

urz

dziło bankiet, by protestowa

przeciw królewskiemu roz-

kazowi, rozwi

zuj

cemu oddziały artylerii Gwardii Narodowej.

Pito za zdrowie bohaterów Wielkiej Rewolucji Francuskiej i za
rewolucj

1830 roku. W pewnym momencie Galois wstał

l wzniósł toast: POLU- Louis Philippe! za ksi

cia Orleanu i ówcze-

snego króla Francji. Wymawiaj

c te słowa i wznosz

c jedn

AMIR D. ACZEL • 81
k

kielich, w drugiej r

ce Galois trzymał wysoko otwarty nó

kieszonkowy. Poniewa

francuskie pour mo

e znaczy

zarówno

"za", jak i "na" lub "dla", wi

c całe zdarzenie zostało potrakto-

wane jako zagro

enie

ycia króla. Nast

pnego dnia Galois zo-

stał aresztowany.
Podczas sprawy o spowodowanie zagro

enia

ycia monarchy

adwokat Galois utrzymywał,

e jego klient powiedział w rzeczy-

wisto

ci: "Dla Ludwika Filipa, gdyby okazał si

zdrajc

". Po-

twierdziły to zeznania niektórych zaprzyja

nionych z Galois ar-

tylerzystów, a s

dziowie przysi

gli uznali go za niewinnego.

Galois spokojnie zabrał swój scyzoryk ze stolika z dowodami,
zło

ył go i schował do kieszeni, odchodz

c jako wolny czło-

wiek. Niestety, wolno

nie cieszył si

zbyt długo. Po miesi

cu aresztowano go jako "niebezpiecznego republikanina"
i przetrzymywano bez postawienia konkretnego zarzutu w wi

zieniu, poszukuj

c jednocze

nie czego

, o co mo

na by go

oskar

. W ko

cu wytoczono mu proces o noszenie munduru

rozwi

zanych oddziałów artylerii. Galois został skazany na

sze

ść

miesi

cy wi

zienia. Rojali

ci cieszyli si

e w ko

cu uda-

ło si

usun

ąć

dwudziestolatka, uznanego za gro

nego wroga

systemu. Po pewnym czasie Galois został zwolniony warunko-
wo. To, co si

stało pó

niej, wci

ąż

budzi w

tpliwo

ci. B

c na

zwolnieniu warunkowym, Galois poznał młod

kobiet

, w któ-

rej si

zakochał. Niektórzy s

e wpadł w pułapk

zasta-

wion

przez wrogich mu rojalistów, chc

cych raz na zawsze-

poło

kres jego rewolucyjnej działalno

ci. W ka

dym razie

zwi

zał si

z kobiet

o w

tpliwej reputacji (une co

uette de boy

etage]. Gdy zostali kochankami, zjawił si

pewien rojalista, by-

"ratowa

zagro

ony honor" i wyzwał Galois na pojedynek. Mło-

dy matematyk znalazł si

w sytuacji bez wyj

cia. Próbował:

wszelkimi sposobami wyperswadowa

przeciwnikowi pojedy-

nek. Na pró

no.

W nocy przed pojedynkiem Galois napisał kilka listów. Owe=
listy do przyjaciół zdaj

potwierdza

tez

e Galois padtt

ofiar

uknutej przez rojalistów intrygi. Sam twierdził,

e wy-

zwali go na pojedynek dwaj rojali

ci, którzy wymogli na ninu

słowo honoru, by nie wspomniał o całej sprawie republika

82 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
skim przyjaciołom: "Zgin

jako ofiara niesławnej kokietki. Moje

ycie ga

nie przez

ałosn

burd

. Czemu

umiera

dla rzeczy

równie banalnej, czemu

umiera

z równie nikczemnego powo-

du!" Lecz wi

kszo

ść

ostatniej nocy przed pojedynkiem Galois

cił na staranne przelewanie na papier swej matematycz-

nej teorii. Wysłał J

przyjacielowi, Auguste'owl Chevalierowl.

wicie 30 maja 1832 roku Galois stan

ł na ubitej ziemi na-

przeciw swego adwersarza. Dostał postrzał w brzuch i pozosta-
wiony w agonii le

ał samotnie na polu. Nikt nie zatroszczył si

o lekarza. Dopiero jaki

wie

niak odnalazł go i zawiózł do szpi-

tala, gdzie Galois umarł nazajutrz rano. Nie miał Jeszcze dwu-
dziestu jeden lat.
W roku 1846 matematyk Joseph Liouvllle zredagował
i wydał drukiem notatki Evarlste'a Galois, opisuj

ce niezwy-

kle interesuj

teori

. Półtora wieku pó

niej teoria Galois

miała sta

jednym z kluczy do wielkiego twierdzenia

Fermata.
Kolejna ofiara
Niedbalstwo l arogancja Cauchy'ego zrujnowały

ycie co naj-

mniej jeszcze jednemu błyskotliwemu matematykowi. Niels
Henrik Abel (1802-1829) był synem pastora z norweskiej
miejscowo

ci Findó. Gdy miał szesna

cie lat, nauczyciel za-

cił go do przeczytania sławnych Disquisitiones Gaussa.

Abelowi udało si

nawet uzupełni

szczegóły w niektórych do-

wodach. Lecz w dwa lata pó

niej zmarł jego ojciec. Młody Abel

musiał zawiesi

na jaki

czas studia matematyczne i zaj

ąć

na powa

nie utrzymywaniem rodziny. Mimo wielu trudno

ci,

zdołał odrobin

czasu po

matematyce. Gdy miał dzie-

tna

cie lat, dokonał nawet znacz

cego matematycznego

odkrycia.
W roku 1824 opublikował prac

, w której udowodnił,

e roz-

równania wielomianowego pi

tego stopnia nie mo

wyrazi

poprzez współczynniki równania

adnym wzorem ogól-

nym, polegaj

cym na wykonywaniu sko

czonej liczby działa

AMIR D. ACZEL • 83
arytmetycznych i pierwiastkowa

. Rozwi

zał tym samym jeden-

z najsłynniejszych otwartych problemów ówczesnej matematy-
ki. Niemniej jednak utalentowany młodzieniec ci

gle nie mógł:

zdoby

adnej stałej akademickiej posady, której sk

din

bardzo potrzebował, by zapewni

rodzinie

rodki do

ycia. Po-

słał wi

c swe wyniki Cauchy'emu, z pro

o opini

i ewentual-

pomoc w ich opublikowaniu. Jednak

e Cauchy artykuł:

Abela, zawieraj

cy twierdzenia nadzwyczaj ogólne i wa

ne, po»

prostu zgubił. Gdy po paru latach praca ukazała si

drukiem,.

na pomaganie Abelowi było ju

za pó

no. W 1829 roku zmarli

on na gru

lic

, spowodowan

przez n

, w jak

popadtt

wspieraj

c rodzin

, która znajdowała si

w skrajnie trudnymi

poło

eniu. W dwa dni po jego

mierci przyszedł zaadresowanym

do niego list z informacj

e przyznano mu profesur

na Uni-

wersytecie Berli

skim.

Pisane mał

liter

słowo "abelowy" to dzi

powszechnie-

przez matematyków u

ywany przymiotnik. Poj

cie grupy abe-

Iowej - w której wynik działania, umownie zwanego mno

niem, nie zale

y od kolejno

ci czynników - zajmuje poczesne;

miejsce we współczesnej algebrze; odegrało ono te

rol

w ostatecznym rozwi

zaniu zagadnienia Fermata. Jeszcze bar-

dziej abstrakcyjnymi tworami s

rozmaito

ci abelowe, równieS

wykorzystywane we współczesnych podej

ciach do dowodm

wielkiego twierdzenia Fermata.
Ideały Dedekinda
Dziedzictwo Carla Friedricha Gaussa przetrwało stulecia. Jed-
nym z najsłynniejszych matematycznych spadkobierców
Gaussa był Richard Dedekind (1831-1916), urodzony równie

w Brunszwiku, tym samym mie

cie, z którego pochodził wielkil

mistrz. Dedekind jednak, w przeciwie

stwie do Gaussa-,

w dzieci

stwie nie wykazywał ani zainteresowa

, ani specjał -

nych uzdolnie

w dziedzinie matematyki. Bardziej zajmowały

go fizyka i chemia, a matematyk

traktował jedynie jako nauk^

słu

ebn

wobec tych dziedzin wiedzy. W wieku siedemnastL-i

84 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
lat Dedekind zacz

ł ucz

szcza

do Liceum Karoliny, tej samej

szkoły, w której podstawy matematycznego wykształcenia ode-
brał Gauss. W znacz

cy sposób wpłyn

ło to na jego przyszło

ść

Skierował sw

uwag

ku matematyce i w

lad za owym zainte-

resowaniem pojechał do Getyngi, gdzie wykładał Gauss. To
z jego r

k w 1852 roku dwudziestojednoletni Dedekind otrzy-

mał doktorat. Mistrz stwierdził,

e po

cona analizie mate-

matycznej dysertacja ucznia Jest "w pełni zadowalaj

ca". Nie

był to wielki komplement. W istocie geniusz Dedekinda nie za-
cz

ł si

jeszcze przejawia

W roku 1854 Dedekind otrzymał w Getyndze posad

wykła-

dowcy. Gdy w 1855 roku zmarł Gauss, a z Berlina przybył na
jego miejsce Dirichlet, Dedekind pilnie chodził na wszystkie je-
go wykłady, a tak

e zredagował pionierski traktat Dirichleta,

cony teorii liczb, dodaj

c don suplement oparty na jego

własnych pracach. Suplement zawierał zarys rozwini

tej przez

Dedekinda teorii liczb algebraicznych - to znaczy rozwi

równa

wielomianowych z wymiernymi współczynnikami.

W skład zbioru liczb algebraicznych wchodz

obok liczb wy-

miernych tak

e na przykład pierwiastki kwadratowe czy sze-

cienne z liczb naturalnych. Powstaj

ce przy okazji studiowa-

nia rozmaitych równa

ciała liczbowe, zawarte w zbiorze liczb

algebraicznych, odgrywaj

rol

w badaniu równania

Fermata. Dedekind stworzył wi

c istotny dział teorii liczb.

Najwi

kszym wkładem Dedekinda do współczesnych bada

conych wielkiemu twierdzeniu Fermata była rozwini

przeze

teoria ideałów - czysto abstrakcyjnych odpowiedników

liczb idealnych Kummera. Ideały, w stulecie po ich wprowa-
dzeniu przez Dedekinda, natchn

ły Barry'ego Mazura. Z prac

Mazura czerpał pó

niej pomysły Andrew Wiłe

W roku akademickim 1857/58 Richard Dedekind poprowa-
dził pierwszy wykład teorii Galois. Dedekind pojmował mate-
matyk

w sposób szalenie abstrakcyjny. Teori

grup wzniósł

w zasadzie na ten sam poziom, na którym w dzisiejszych cza-
sach uczy si

jej studentów. Warsztat algebry abstrakcyjnej

umo

liwił dwudziestowieczny atak na problem Fermata. Prze-

łomowy wykład Dedekinda, po

cony teorii Galois (na który

AMIR D. ACZEL • 85
chodziło tylko dwóch studentów), był wa

nym krokiem w tym

kierunku.
Pó

niej w karierze Dedekinda nast

pił dziwny zwrot. Wyje-

chał z Getyngi, by obj

ąć

posad

w Zurychu, a stamt

d po pi

ciu latach, w 1862 roku, wrócił do Brunszwiku, gdzie nast

nie przez pi

ęć

dziesi

t lat wykładał na politechnice. Nikt nie

zdołał przekonuj

co wyja

, dlaczego

wietny matematyk,

który wprowadził algebr

na niewiarygodnie wysoki poziom

abstrakcji i ogólno

ci, porzucił nagle jedn

z najbardziej pre-

sti

owych posad profesorskich w całej Europie, by przez reszt

ycia uczy

na mało znanej politechnice. Dedekind nigdy si

nie o

enił. Przez wiele lat mieszkał razem z siostr

. Zmarł

w 1916 roku, zachowuj

c do ostatnich dni przenikliwy, aktyw-

ny umysł.
Fin de siecle
Pod koniec XIX wieku

ył we Francji matematyk obdarzony"

wlelkimi zdolno

ciami w nadspodziewanie wielu rozmaitych

dziedzinach. Rozległa wiedza Henn Poincarego (1854-1912)
si

gała równie

poza matematyk

. Pocz

wszy od roku 1902,

gdy był ju

bardzo sławnym uczonym, pisał popularne ksi

eczki o matematyce. Znajome, tanie, mi

kkie okładki mo

nai.

było dostrzec w kafejkach i parkach całego Pary

a, w r

kach*

ludzi w najró

niejszym wieku.

Poincare pochodził z rodziny o wielkich tradycjach. Jego ku-

zyn, Raymond Poincare, piastował podczas pierwszej wojnyy

wiatowej godno

ść

prezydenta Francji. Inni członkowie rodu tefi

zajmowali we Francji wa

ne stanowiska rz

dowe i publiczne.

w dzieci

stwie Henri odznaczał si

wspaniał

pami

Mógł recytowa

od wskazanej strony dowoln

ksi

ąż

, któr

wła

nie czytał. Legendarne było równie

jego roztargnienie .

Pewnego razu pewien fi

ski matematyk przebył dług

drog

Pary

a, by spotka

Poincarego i przedyskutowa

z nim ró

matematyczne kwestie. W przedpokoju go

ść

oczekiwał na wej-

cie do gabinetu Poincarego bite trzy godziny. W tym cz

stce

86 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
roztargniony Francuz przechadzał si

w zamy

leniu w t

i z powrotem - miał taki zwyczaj przez całe swoje zawodowe

cie. W ko

cu Poincare wyjrzał do przedpokoju i wykrzykn

ł:

"Prosz

Pana, Pan mi przeszkadza!" Na te słowa go

ść

pospiesz-

nie wyjechał i nigdy wi

cej go w Pary

u nie widziano.

Błyskotliwe talenty Poincarego dostrze

ono ju

w szkole

podstawowej. Poniewa

jednak był szalenie wszechstronny -

jak prawdziwy człowiek renesansu - jego szczególne uzdolnie-
nia matematyczne jeszcze si

nie ujawniły. W młodym wieku

wyró

niał si

przede wszystkim

wietnym piórem. Nauczyciel,

który odkrył jego zdolno

ci i wspierał ich rozkwit, pieczołowicie

przechowywał jego szkolne wypracowania. W pewnym momen-
cie troskliwy nauczyciel musiał jednak przestrzec młodego ge-
niusza: "Nie rób tego, prosz

, tak dobrze... Spróbuj by

bar-

dziej pospolity". T

propozycj

składał nie bez powodu.

Francuski system o

wiatowy najwyra

niej wyci

ł pewne

wnioski z nieszcz

ęść

Galois sprzed półwiecza - nauczyciele

stwierdzili,

e utalentowani uczniowie cz

stokro

ponosz

ski przed obliczem zimnych, pozbawionych wyobra

ni egzami-

natorów. Nauczyciel Poincarego szczerze si

obawiał,

e Henri

jest wystarczaj

co błyskotliwy, by obla

egzaminy wst

pne.

jako dziecko Poincare był roztargniony. Cz

sto przepadały

mu posiłki - nie przychodził w por

, bo nie pami

tał, czy jadł

, czy nie.

Młody Poincare interesował si

przedmiotami klasycznymi

i nauczył si

znakomicie pisa

. Jako nastolatek zacz

ł si

inte-

resowa

matematyk

i błyskawicznie osi

ł doskonały po-

ziom. Rozwi

zywał problemy wył

cznie w pami

ci, krocz

c po

pokoju; dopiero pó

niej siadał i bardzo niecierpliwie wszystko

zapisywał. Podobny był w tym do Galois i Eulera. Gdy wreszcie
Poincare przyst

pił do egzaminów wst

pnych na Ecole Poty-

technique, niewiele brakowało, a nie zdałby egzaminu z mate-
matyki, zgodnie z dawnymi obawami nauczyciela z podsta-
wówki. Przepuszczono go jednak wył

cznie dlatego,

e -

w wieku siedemnastu lat! - cieszył si

jako matematyk ta-

kim uznaniem, i

nikt z egzaminatorów nie o

mielił si

go ob-

. "Gdyby to nie był Poincar

, tylko ktokolwiek inny, to do-

AMIR D. ACZEL . 87
stałby pałk

" - zadeklarował przewodnicz

cy komisji egzami-

nacyjnej, podejmuj

c decyzj

o wpuszczeniu w mury Ecole Po-

lytechnique studenta, który miał zosta

najsławniejszym fran-

cuskim matematykiem swoich czasów.
Poincare jest autorem dziesi

tek ksi

ąż

ek po

conych ma-

tematyce, fizyce matematycznej, astronomii i popularyzacji na-
uki. Napisał grubo ponad pi

ęć

set stron prac naukowych o no-

wych poj

ciach, które wprowadził do matematyki. Wniósł

bardzo znacz

cy wkład do zapocz

tkowanej przez Eulera topo-

logii. Jego wyniki były na tyle istotne,

e cz

sto za wła

ciwy

pocz

tek topologii uznaje si

dopiero rok 1895, dat

wydania

dzieła Poincarego pod tytułem Anałysis situs. Topologia (bada-
nie kształtów, powierzchni, funkcji ci

głych) była niezb

dna

dla podj

tej u schyłku XX wieku próby udowodnienia wielkie-

go twierdzenia Fermata. Znacznie wa

niejsz

rol

w tych pró-

bach odegrała jednak inna dziedzina zapocz

tkowana równie

przez Poincarego.
Formy modułowe
Poincare badał własno

ci funkcji okresowych, takich jak si-

nusy i cosinusy Fouriera, nie na prostej rzeczywistej, jak ro-
bił to Fourier, lecz na płaszczy

nie zespolonej. Funkcja si-

nus, oznaczana sin x, okre

la pionow

współrz

punktu

poło

onego na okr

gu o promieniu długo

ci l, gdy k

t mi

dzy promieniem wodz

cym owego punktu a prost

poziom

jest równy x. Sinus to funkcja okresowa: jej warto

ci powta-

rzaj

nieustannie, gdy k

t wzrasta o wielokrotno

ść

zasad-

niczego okresu funkcji - 360°. Okresowo

ść

to swego rodzaju

symetria.
Poincare badał płaszczyzn

zespolon

, zawieraj

na osi

poziomej liczby rzeczywiste, a na osi pionowej - liczby urojone.
W tym przypadku mo

na rozpatrywa

funkcje, które s

okresowe w dwóch kierunkach, na przykład wzdłu

osi rzeczy-

wistej i urojonej. Warto

ci takich funkcji powtarzaj

w nie-

sko

czenie wielu równoległobokach tworz

cych na płaszczy

88 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
nie zespolonej uko

kratk

, przedstawion

na poni

szym ry-

sunku.

Poincare poszedł dalej i postulował istnienie funkcji o jesz-
cze szerszym wachlarzu symetrii. Miały to by

funkcje, które

nie zmieniaj

warto

ci, gdy zmienn

zespolon

z b

dziemy

przekształca

według przepisu f[z) ->f((az + b)/(cz + d)). Ró

nych podstawie

tej postaci mo

e by

niesko

czenie wiele.

Liczby a, b, c, d, uło

one w macierz (kwadratow

tabel

2x2),

tworz

obiekt algebraiczny, zwany grup

. Porz

dek wykonywa-

nia podstawie

nie gra roli; funkcja f jest niezmiennicza wzgl

dem owej grupy przekształce

. Takie dziwne, niesamowite

funkcje Poincare nazwał formami automorflcznymi.
Formy automorficzne skrywaj

w sobie liczne wewn

trzne

symetrie; zaiste, to twory bardzo, bardzo niezwykłe. Poincare
nie był do ko

ca przekonany o ich istnieniu. Opisuj

c swoj

prac

, opowiadał,

e przez dwa tygodnie co rano po przebudze-

niu zasiadał na par

godzin przy biurku i próbował przekona

sam siebie,

e formy automorficzne, które wymy

lił, nie mog

Istnie

. Pi

tnastego dnia zdał sobie spraw

e si

mylił. Te

dziwne, trudne do wyobra

enia i ogarni

cia rozumem funkcje

naprawd

istniały. Poincar

wprowadził te

nieco ogólniejsze,

jeszcze bardziej skomplikowane, formy modułowe. Formy mo-
dułowe maj

racj

bytu na górnej połówce płaszczyzny zespo-

lonej, w

wiecie geometrii hiperbolicznej, a wi

c w dziwnej

przestrzeni, gdzie zamiast reguł Euklidesa obowi

zuj

reguły

AMIR D. ACZEL . 89
Bolyala i Łobaczewsklego. Przez ka

dy punkt górnej półplasz-

czyzny przechodzi wiele "prostych" równoległych do "prostej"

danej.
Dziwne formy modułowe odznaczaj

wiecie geome-

trii hiperbolicznej nieoczekiwanie licznymi symetriami, do
których nale

żą

na przykład przesuni

cia czy branie odwrot-

ci liczby zespolonej. Na rysunku poni

ej przedstawiony

jest wykorzystuj

cy te symetrie parkieta

górnej półpłaszczy-

90 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
zny. W hiperbolicznym

wiecie wszystkie "wielok

ty" s

iden-

tyczne.
Poincare wkrótce porzucił obdarzone symetriami formy au-
tomorficzne i jeszcze bardziej zawiłe formy modułowe, by za-
j

ąć

inn

matematyk

. Zaprz

tała go masa zagadnie

, cz

stokro

po kilka naraz z ró

nych dziedzin; nie miał czasu

przesiadywa

, kontempluj

c pi

kno tylko jednego rodzaju

trudno wyobra

alnych i niesko

czenie symetrycznych obiek-

tów. I chocia

tego nie wiedział, zasiał jedno z ziaren, z które-

go miał kiedy

wykiełkowa

ostateczny dowód wielkiego

twierdzenia Fermata.
Nieoczekiwane skojarzenie z obwarzankiem
W 1922 roku angielski matematyk Louis J. Mordell odkrył co

co wskazało na dziwny zwi

zek mi

dzy topologi

i rozwi

zania-

mi równa

algebraicznych. Przedmiotem zainteresowania topo-

logii s

ró

norodne przestrzenie i powierzchnie. (Gdy topolog

mówi "powierzchnia", czasem ma na my

li dwuwymiarowy

obiekt umieszczony w trójwymiarowym

wiecie, podobny do

klasycznych figur rozwa

anych w geometrii staro

ytnych Gre-

ków, czasem za

chodzi mu o do

ść

niezwykły twór poło

ony

w przestrzeni o wi

kszej liczbie wymiarów). Topologia bada włas-

ci tych przestrzeni i okre

lonych na nich przekształce

głych. Mordell natrafił na fragment topologii, dotycz

cy po-

wierzchni w przestrzeni trójwymiarowej. Jedn

z najprostszych

powierzchni stanowi sfera, na przykład powierzchnia piłki do
koszykówki. Piłka Jest wprawdzie trójwymiarowa, ale jej nie-
sko

czenie cienka powierzchnia to obiekt jedynie dwuwymiaro-

wy. We

my teraz pod uwag

kul

ziemsk

. Cała Ziemia jest trój-

wymiarowa -

eby umiejscowi

dowolny jej punkt (czy to na

powierzchni, czy wewn

trz globu), trzeba poda

trzy współrz

ne: długo

ść

i szeroko

ść

geograficzn

oraz gł

boko

ść

pod po-

wierzchni

. Pozbawiona gł

boko

ci powierzchnia Ziemi jest jed-

nak dwuwymiarowa. By okre

poło

enie dowolnego punktu,

wystarczy poda

dwie liczby: długo

ść

i szeroko

ść

geograficzn

AMIR D. ACZEL • 91

genus = O
genus = 1
genus = 2
Dwuwymiarowe powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni
mo

na rozró

nia

, podaj

c ich genus (albo inaczej rodzaj). Ge-

nus to liczba dziur w powierzchni. Genus sfery, w której nie
ma

adnych dziur, równa si

zero. Obwarzanek ma w

rodku

jedn

dziur

. Zatem powierzchnia obwarzanka (któr

matema-

tycy nazywaj

torusem) ma genus równy jeden. Gdy mówimy

"dziura", mamy na my

li otwór na wylot, przez który mo

na by

na przykład przewlec nitk

. Powierzchnia fili

anki z dwojgiem

uszu ma w sobie dwie dziury na wylot. Zatem jej genus jeat-
równy dwa.
Powierzchni

ustalonego genusu mo

na w sposób wzajem-

nie jednoznaczny i ci

gły przekształci

na dowoln

, inn

po-

wierzchni

tego samego genusu. Wystarczy sobie wyobrazi

obie s

wykonane z niesko

czenie rozci

gliwej gumy. Je

li jed-

funkcja ci

gła

funkcja nieci

gta

92 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
nak chcemy przekształci

powierzchni

jednego genusu w po-

wierzchni

genusu innego rodzaju, to musimy niektóre dziury

stworzy

lub zniszczy

. Nie mo

na tego dokona

jednocze

nie

w sposób i ró

nowarto

ciowy, i ci

gły, bo zmiana liczby dziur

wymaga albo meci

głego rozdzierania powierzchni, albo nie-

ró

nowarto

ciowego sklejania Jej ró

nych punktów.

Wró

my jednak do Mordella. Otó

wpadł on na trop dziwnej,

całkowicie nieoczekiwanej zale

ci: liczby dziur (genusu) po-

wierzchni odpowiadaj

cej przestrzeni rozwi

równania za-

żą

tylko od tego, czy równanie ma sko

czenie, czy te

nie-

sko

czenie wiele rozwi

. Otó

li powierzchnia opisana

przez równanie, le

żą

ca w pewnej do

ść

specjalnej przestrzeni,

tak zwanej dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni rzutowej,
ma przynajmniej dwie dziury (czyli genus równy dwa lub wi

cej), to wtedy równanie posiada w

ród liczb całkowitych tylko

sko

czenie wiele istotnie ró

nych rozwi

. Odkrycia tego

Mordell nie umiał, niestety, udowodni

. Zacz

to je wi

c nazy-

hipotez

Mordella.

Dowód Faltingsa
W 1983 roku dwudziestosiedmioletni matematyk niemiecki,
Gerd Faltings, pracuj

cy wówczas na Uniwersytecie w Wup-

pertalu, udowodnił hipotez

Mordella. Faltings nie interesował

wielkim twierdzeniem Fermata, uwa

c je za izolowany

problem teorii liczb. Mimo to z Jego niezwykle pomysłowego do-
wodu, wykorzystuj

cego pot

ęż

dwudziestowieczn

maszyne-

geometrii algebraicznej, wypływały wa

ne wnioski, zmienia-

ce status quo wielkiego twierdzenia Fermata. Powierzchnia

opisana równaniem Fermata ma dla n wi

kszych od 3 genus

co najmniej równy 2. Zatem z prawdziwo

ci hipotezy Mordella

jasno wynika,

e je

li w ogóle istniej

trójki liczb całkowitych

spełniaj

ce to równanie, to jest Ich tylko sko

czenie wiele.30

30 Przy ustalonym wykładniku n i przy zało

eniu,

e liczby wchodz

ce w skład

trójki nie maj

wspólnych dzielników (przyp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 9.3
Ów pocieszaj

cy wynik uzmysłowił przynajmniej,

e liczba roz;-

jest ograniczona. Wkrótce potem dwaj matematycy,

Granville i Heath-Brown, skorzystali z wyniku Faltingsa, by
udowodni

e je

li w ogóle istniej

rozwi

zania równania Fer~-

mata, to ich liczba nie ro

nie wraz ze wzrostem wykładnika m.

Pokazali oni,

e gdy n ro

nie nieograniczenie, to w

ród wykładl-

ników mniejszych od n jest niemal sto procent takich, dla któ-
rych wielkie twierdzenie Fermata zachodzi.
Innymi słowy, okazało si

e wielkie twierdzenie Fermat.a

jest "niemal zawsze" prawdziwe. Je

li istniałyby rozwl

zani«a

równania Fermata (to znaczy w przypadku, gdyby wielkie twier"-
dzenie Fermata okazało si

Jednak fałszywe), to byłoby ich, p. o

pierwsze, "niewiele", a po drugie - istniałyby tylko dla "niewie--
lu" wykładników. Zatem status wielkiego twierdzenia Fermatsa
w roku 1983 przedstawiał si

nast

puj

co. Twierdzenie byt" o

udowodnione dla wszystkich wykładników n nie przekraczaj

cych miliona (w 1992 roku t

granic

podniesiono do czterecBi

milionów). Dla wi

kszych wykładników n wiadomo było,

e Je

li!

w ogóle istniej

rozwi

zania równania Fermata, to jest ich mat'o

- w pewnym sensie tym mniej, im wi

kszy jest wykładnik.

Tajemniczy grecki generał o zabawnym nazwisku!
Istniej

cale tuziny

wietnych ksi

ąż

ek o matematyce, wyda-

nych we Francji i napisanych po francusku przez niejakieg.o
Nicolasa Bourbakiego. W swoim czasie

ył grecki generał no-

cy nazwisko Bourbaki (1816-1897); w 1862 roku oferowa-

no mu tron grecki, ale odmówił. Generał odegrał wa

rolL

w wojnie francusko-pruskiej i dzi

ki temu ma pomnik we fran-

cuskim mie

cie Nancy. Kłopot polega na tym,

e generał Bouir-

bakl z matematyk

nie miał nic wspólnego l nigdy nie napisał

adnej ksi

ąż

ki - ani matematycznej, ani jakiejkolwiek inneJ.

Kto wi

c jest autorem licznych tomów, opatrzonych na okładce

Jego nazwiskiem?
Odpowiedzi na to pytanie nale

y szuka

w beztroskim, rados-

nym

yciu Pary

a w dwudziestoleciu mi

dzywojennym, kledły

94 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Hemingway, Picasso l Matisse, jak wielu innych mieszka

ców

tego miasta, uwielbiali przesiadywa

w kawiarniach, spotyka

przyjaciół, przygl

przypadkowym przechodniom i sa-

memu by

przedmiotem ludzkich obserwacji. W owym czasie,

w otoczeniu kafejek Dzielnicy Łaci

skiej l na Sorbonie,

ycie

tniło te

ród barwnej społeczno

ci matematyków. Profeso-

rowie uniwersytetu równie

lubili spotyka

przyjaciół i w do-

brej kawiarni na bulwarze St. Michel, przy fili

ance kawy

z mlekiem lub szklaneczce any

ówki, o dwa kroki od pi

knych

Ogrodów Luksemburskich, podyskutowa

... o matematyce.

Paryska wiosna inspirowała pisarzy, artystów l matematyków.
Wyobra

my sobie,

e w słoneczny dzie

zebrała si

w przy-

jemnej kafejce grupa

ywo rozprawiaj

cych matematyków.

Podczas ognistych dysput o subtelno

ciach takiej czy innej

teorii pojawiło si

stopniowo uczucie braterstwa. Heming-

wayowi, który pisał,

e lubił pracowa

w kawiarni, hała

liwe

rozmowy zapewne by przeszkadzały, zmuszaj

c go do przenie-

sienia si

do Jednej z knajpek rezerwowych, ju

nie tak przez

niego lubianych. Kto jednak zwracałby uwag

na samotnego

brodacza w k

cie? Matematycy ceni

sobie własne towarzy-

stwo i upojn

atmosfer

kawiarni pełnej kolegów po fachu,

mówi

cych tym samym, symbolicznym J

zykiem liczb, funkcji

i przestrzeni. "Tak wła

nie musieli si

czu

pitagorejczycy, roz-

prawiaj

c o matematyce" - rzucił by

e Jeden z seniorów,

wznosz

c kieliszek w toa

cie. "No tak, ale oni nie pijali any-

ówki" - odparł kto

inny, wzbudzaj

c salw

miechu. "Mogli-

my pój

ść

ich

ladem - rzekł pierwszy z rozmówców. - Dla-

czego wła

ciwie nie stworzymy własnego bractwa? Naturalnie

w tajemnicy". Dookoła zabrzmiały głosy poparcia. Kto

wpadł

na pomysł, by posłu

nazwiskiem starego generała Bour-

bakiego - by

e dlatego,

e w owym czasie na Wydziale Ma-

tematyki na Sorbonie panował obyczaj zapraszania co roku za-
wodowego aktora, który audytorium profesorów i studentów
przedstawiał si

jako Nicolas Bourbaki i - operuj

c matema-

tycznym

argonem - wygłaszał nast

pnie długi, dwuznaczny

monolog. Publiczno

ść

bawiła si

na ogół

wietnie, gdy

w bo-

gatych współczesnych teoriach matematycznych u

ywa si

AMIR D. ACZEL • 95
zwi

złego opisu ró

nych poj

ęć

bardzo wielu słów, cz

sto w zna-

czeniu zupełnie odmiennym od potocznego. Jednym z takich!
słów jest przymiotnik "g

sty". Zdanie,

e "zbiór liczb wymier-

nych jest g

sty w

ród liczb rzeczywistych", znaczy, i

w ka

dym otoczeniu dowolnej liczby (zarówno wymiernej, Jak i nie-
wymiernej) znajduj

liczby wymierne. W codziennym

yciu-i

słowo "g

sty" ma wiele innych znacze

Doktoranci wydziałów matematyki równie

i dzi

w chwilachł

braku lepszego zaj

cia zabawiaj

słownymi grami, opowia-

daj

c na przykład histori

dywizora, który ma odwiedzi

pew-

rozmaito

ść

i sprawdzi

, czy wszystkie snopy s

wiotkie, czy

kkie (słowa "dywizor", "rozmaito

ść

", "snop", "wiotki"*,

"mi

kki" maj

w matematyce

le okre

lone znaczenie, dale--

kie od ewentualnych skojarze

Czytelnika, nie posiadaj

ceg«o

szego wykształcenia w tej dziedzinie).31

Ksi

ąż

ki napisane wspólnie przez matematyków z owego

francuskiego stowarzyszenia nosz

na okładce nazwisko Nico»-

lasa Bourbakiego. Równocze

nie zainicjowano seminariunm

Bourbakiego, na którym cz

sto omawiane były nowe idee i teo-

rie matematyczne. Członkostwo w stowarzyszeniu było z załoa-

enia anonimowe, a zasług

za uzyskane razem wyniki przypa-

sywano nie konkretnym osobom wymienionym z nazwisksa,
lecz wła

nie Bourbakiemu.

Członkom stowarzyszenia Bourbakiego daleko jednak był: o
do pitagorejczyków. Wprawdzie autorem podr

czników mienił

Bourbaki, lecz wyniki bada

, czyli twierdzenia i ich dowodly

- maj

ce z reguły wi

kszy wpływ na presti

i pozycj

matema-

tyka ni

napisane przeze

ksi

ąż

ki - podpisywali własnymi na-

zwiskami ci członkowie grupy, do których dane osi

gni

cie

w istocie nale

ało. Jednym z pierwszych członków stowarzy-

szenia był Andre Well (1906-), który pó

niej przeniósł si

dio

Stanów Zjednoczonych, do sławnego Institute for Advance-d
31 Angielska gra słów w oryginale: beautiful Poły Nomifil who meets a smooth
ope-
rator Curly Pi, traci po polsku swój urok. W naszym kraju specjalistami w dzBe-
dzinie słownych zabaw z terminologi

matematyczn

tradycyjnie studenci

Uniwersytetu Jagiello

skiego, pisz

cy cale opowiadania zło

one wyl

czm.ie

z dwuznacznych zda

, naje

onych niezrozumiałym

argonem (przyp. tłum.).

96 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Study w Princeton. Jego nazwisko zawsze pojawiało si

w po-

bli

u wa

nej hipotezy, prowadz

cej do rozwi

zania problemu

Fermata.
Do zało

ycieli bractwa Bourbakiego nale

ał tak

e Jean

Dieudonne, który - podobnie Jak wi

kszo

ść

pozostałych człon-

ków tego towarzystwa "tylko dla Francuzów" - przeniósł si

z czasem na ziele

sze pastwiska uniwersytetów ameryka

skich. Dieudonne, główny autor wielu spo

ród ksi

ąż

ek podpi-

sanych przez Bourbakiego,

wietnie uosabia starcie indywidual-

nych ambicji bourbakistów z ich d

ąż

eniem do zachowania

anonimowo

ci członków stowarzyszenia. Pewnego razu Dieu-

donne opublikował prac

podpisan

nazwiskiem Bourbakiego.

Jak si

okazało, praca zawierała bł

d, wi

c Dieudonne napisał

notk

zatytułowan

"O pewnym bł

dzie N. Bourbakiego" i pod-

pisał j

własnym nazwiskiem.32

Nieco schizofreniczny charakter stowarzyszenia (wszyscy je-
go członkowie byli Francuzami, ale wi

kszo

ść

z nich mieszkała

w Stanach Zjednoczonych) przejawiał si

w adresie do kore-

spondencji, umieszczanym przez Bourbakiego w publikacjach.
Zazwyczaj wynika z niego,

e autor, Nicolas Bourbaki, pracuje

na uniwersytecie w nie istniej

cym mie

cie Nancago, którego

nazwa bierze swój pocz

tek od francuskiego Nancy, a ko

ców-

od Chicago. Bourbaki publikuje jednak wył

cznie po fran-

cusku, a gdy spotykaj

członkowie stowarzyszenia (zazwy-

czaj dzieje si

to w jednym z francuskich kurortów), bywa,

rozmowa toczy si

nawet w specyficznym

argonie paryskich

studentów. W

ycie owych matematyków francuskich, miesz-

kaj

cych w Ameryce, wkroczył szowinizm. Andre Weił, jeden

z zało

ycieli grupy bourbakistów, opublikował wprawdzie wiele

Istotnych prac po angielsku, ale jego Dziel

zebrane, maj

pewien zwi

zek z hipotez

, z której wynika wielkie twierdzenie

Fermata, ukazały si

po francusku, jako Oeuures.33 W wy-

32 Wi

kszo

ść

powszechnie znanych faktów o sekretnym towarzystwie Bourba-

kiego pochodzi z artykułu Paula R. Halmosa: Nicolas Bourbaki, "Scientific
American", t. 196, maj 1957, s. 88-97.
33 Andre Weił: Oeuures, t. I-III. Springer-Verlag, Pary

1979.

AMIR D. ACZEL • 97
niku niezwykłych działa

Weila skrzywdzony został jeden

z pierwszoplanowych aktorów naszej historii, czego Well nie
chciał zreszt

uzna

Trzeba przyzna

e członkowie towarzystwa Bourbakiego

byli obdarzeni poczuciem humoru. Przed około czterdziestu la-
ty do Ameryka

skiego Towarzystwa Matematycznego (Ameri-

can Mathematical Society, w skrócie AMS) wpłyn

ło podanie

Nicolasa Bourbakiego z pro

o przyj

cie w poczet członków.

Niewzruszony sekretarz towarzystwa odpisał,

e je

li Bourbaki

chce zosta

członkiem AMS, musi ubiega

o członkostwo

jako instytucja (z czym, oczywi

cie, wi

zały si

o -wy

sze

składki). Na ten list Bourbaki nie odpowiedział.
Krzywe eliptyczne
Zagadnienia diofantyczne, wi

ążą

ce si

z równaniami podobny-

mi do tych, które w III wieku naszej ery rozpatrywał Diofantos,
w XX wieku stały si

przedmiotem intensywnych bada

, pro-

wadzonych m.ln. z u

yciem obiektów, które matematyk nazywa

krzywymi eliptycznymi. Krzywe eliptyczne wbrew pozorom nie-
wiele maj

wspólnego z elipsami. Najpierw, w dziewi

tnastym

stuleciu u

ywano ich w zwi

zku z tzw. funkcjami eliptycznymi,

wymy

lonymi z kolei po to, by ułatwi

obliczanie obwodu elip-

sy. Jak w przypadku wielu ró

nych innowacji w matematyce,

pionierem w tej dziedzinie był nie kto inny, tylko Gauss.
Cho

nazwa zdaje si

sugerowa

co innego, krzywe eliptycz-

ne nie s

ani elipsami, ani funkcjami eliptycznymi. Mówi

najpro

ciej, s

wielomianami trzeciego stopnia zale

nymi od

dwóch zmiennych; fachowcy widz

krzywe eliptyczne w napi-

sach postaci y2 = ox3 + Łyc2 + c, gdzie liczby a, b i c s

całkowi-

te lub wymierne. Przykłady krzywych eliptycznych pokazuj

rysunki.34
34 Wg artykułu Kennetha A. Ribeta i Briana Hayesa: Fermat's Last Theorem
and Modern Arithmetic, "American Scientist", t. 82, marzec-kwiecie

1994,

s. 144-156.

98 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Gdy spogl

damy na punkty wymierne na krzywej eliptycz-

nej - czyli tylko na te pary liczb wymiernych [x. y), spełniaj

powy

sze równanie, w których zarówno x, jak i y s

liczbami

wymiernymi (

adnych niewymierno

ci w rodzaju n czy pier-

wiastka z dwóch do rozwa

nie dopuszczamy) - okazuje si

AMIR D. ACZEL • 99*

e owe punkty tworz

grup

. Znaczy to,

e maj

one ciekawe-

własno

ci. Dwa rozwi

zania mo

na w pewnym sensie "doda

",.

a wynik te

dzie rozwi

zaniem (a wi

c punktem krzywej).-

Specjali

ci w dziedzinie teorii liczb fascynuj

krzywymi!

eliptycznymi, dzi

ki nim bowiem mog

rozwikła

wiele proble-

mów dotycz

cych ró

norodnych równa

i ich rozwi

. Krzy-

we eliptyczne stanowi

w teorii liczb jedno z najpot

ęż

niejszychi

narz

dzi badawczych.35

Dziwna hipoteza wisi w powietrzu
Eksperci w dziedzinie teorii liczb, studiuj

cy krzywe eliptycz-

ne, wiedzieli od pewnego czasu,

e niektóre z nich s

modulo-

we. Innymi słowy, niektóre krzywe eliptyczne zwi

zane byty/

w szczególny sposób z formami modułowymi, z płaszczyzn

ze-

spolon

l niezwykle symetrycznymi funkcjami w przestrze

hiperbollcznej. Charakter oraz przyczyny tego zwi

zku pozo-

stawały jednak niejasne. To wszystko stało si

przedmiotem

zainteresowania matematyki bardzo zawiłej nawet dla specjali-
stów. Jej bogat

, niezwykle harmonijn

struktur

wewn

trzn

niełatwo było zrozumie

. Te krzywe eliptyczne, o których wie-

dziano,

e s

modułowe, miały ciekawe własno

ci. Dlaczegóz

by wi

c nie postawi

miałej hipotezy,

e wszystkie krzywe?

eliptyczne s

modułowe?

Aby zrozumie

, na czym polega Istota modułowo

ci, poj

cia

dotycz

cego nieeuklidesowej geometrii górnej półpłaszczyzny -

wiata, w którym symetrie odbiegaj

bardzo daleko od

codziennych przyzwyczaje

naszej wyobra

ni - wygodnie jes t

posłu

prost

analogi

. Rozpatrzmy dla przykładu krzy-

, która wcale nie jest eliptyczna; zamiast równania trzeciego

stopnia mamy tylko równanie kwadratowe. Nasza krzywa.
to zwykły okr

g. Równanie okr

gu o promieniu a i

rodki-i

żą

cym w pocz

tku układu współrz

dnych ma posta

3S Dobrym wprowadzeniem do tematu jest ksi

ąż

ka Josepha H. Silvermana i Jol-i-

na Tate'a: Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, Nowy Jork 1992.

100 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
x1 + y2 = a2. We

my teraz dwie nieskomplikowane funkcje

okresowe zmiennej t: x = a cos t oraz y = a sin t. Mo

na je

wstawi

do równania okr

gu w miejsce xi y i nic złego si

nie

stanie. B

dzie tak, jakby

my pomno

yli obie strony znanej to

samo

ci trygonometrycznej cos2 t + sin2 t = l przez liczb

a2.

W tym sensie równanie okr

gu jest modułowe.

Modułowa krzywa eliptyczna to poj

cie ogólniejsze, otrzyma-

ne dzi

ki przeniesieniu powy

szego prostego pomysłu na

płaszczyzn

zespolon

, w

wiat geometrii nieeuklidesowej. Ro-

sinusa i cosinusa -

wietnie znanych funkcji okresowych,

a zarazem symetrii wzgl

dem jednej zmiennej t - przejmuj

formy modułowe (lub automorficzne), kryj

ce w sobie symetrie

wzgl

dem znacznie bogatszego zestawu skomplikowanych

przekształce

, maj

cych posta

f [z] ->f((az + b)/(cz + d)).

Tokio, Japonia, pocz

tek lat pi

ęć

dziesi

tych

Na pocz

tku lat pi

ęć

dziesi

tych naszego wieku Japonia była

krajem podnosz

cym si

stopniowo z wojennych zniszcze

Nikt ju

nie głodował, ale niemal wszyscy nadal byli biedni;

przeci

tny Japo

czyk ci

ęż

ko zmagał si

z codzienno

, pró-

buj

c prze

kolejny dzie

, tydzie

czy miesi

c. Mimo to

odbudowywano z gruzów fabryki, otwierano na powrót przed-
si

biorstwa i ubijano nowe interesy. Z nadziej

patrzono

w przyszło

ść

W tym czasie

ycie uniwersyteckie w Japonii te

było nieła-

twe. Studenci zaciekle współzawodniczyli ze sob

: dobre stop-

nie oznaczały lepsz

prac

po zrobieniu dyplomu. Ta reguła

dotyczyła zwłaszcza doktorantów specjalizuj

cych si

w czystej

matematyce, albowiem etatów na uniwersytetach, mimo ni-
skiej płacy, brakowało dla wszystkich ch

tnych. Jednym z ta-

kich doktorantów był Yutaka Taniyama. Urodził si

12 listopa-

da 1927 roku Jako najmłodsze, ósme z kolei dziecko w rodzinie
prowincjonalnego lekarza w mie

cie Kisai, poło

onym około 50

kilometrów od Tokio. W młodo

ci zacz

ł studiowa

matematy-

, a

lej mówi

c, geometri

zespolon

rozmaito

ci abelo-

AMIR D. ACZEL • 10 1
wych. Wiedziano wówczas o tej trudnej dziedzinie niewiel e
i Taniyama napotykał w swej pracy mnóstwo trudno

ci. C. o

gorsza, przekonał si

e wszelkie porady starszych profesorów?

Uniwersytetu Tokijskiego s

niemal całkowicie bezu

yteczne.

Do ka

dego drobiazgu musiał dochodzi

samodzielnie; kolejme

kroki swoich bada

matematycznych opisywał, u

ywaj

c czte-

rech chi

skich znaków, które oznaczaj

"ci

ęż

walk

" i "gorz-

kie zmagania".

ycie młodego Yutaki Taniyamy nie było usłanie

ró

ami.

Taniyama zakwaterował si

w jednopokojowym mieszkaniiu

o powierzchni około 9 metrów kwadratowych. Na ka

dej kom-

dygnacji budynku była tylko jedna toaleta, wspólna dHa
wszystkich mieszka

ców pi

tra.

eby si

wyk

, Taniyama

musiał chodzi

do odległej ła

ni publicznej. Podły i n

dzny bu-

dynek mieszkalny, stoj

cy przy ruchliwej ulicy, o dwa kroki od

wiaduktu kolejowego, po którym co kilka minut przeje

-ał

poci

g, jak na ironi

był nazywany "Will

Spokojnych Gon"".

Zapewne dlatego, by łatwiej si

skoncentrowa

na badaniac:h,

młody Yutaka pracował głównie w nocy, cz

sto kład

c si

odo

łó

ka dopiero o szóstej rano, gdy rozpoczynał si

kolejny, hała»

llwy dzie

. Prawie codziennie, z wyj

tkiem letnich upałów, Ta-

niyama nosił ten sam niebiesko-zielony garnitur z metalicz-
nym połyskiem. Jak wyja

nił swemu bliskiemu przyj aclelo'\.-vi,

Góro Shimurze, jego ojciec kupił ów materiał okazyjnie, nne-
zwykle tanio, od handlarza starzyzny. Niestety, nikt w całej n-o-
dzinie nie miał ochoty na

wiec

ce ubranie. Yutaka, który mi

dbał zbytnio o swój wygl

d, zgłosił si

w ko

cu na ochotnilrfa.

Z materiału uszyto mu garnitur, który stał si

jego codzien-

nym strojem.
Taniyama uko

czył Uniwersytet Tokijski w 1953 roku l do-

stał na tamtejszym Wydziale Matematyki posad

asysten-ta.

Jego przyjaciel Shimura uko

czył uniwersytet rok wcze

miej

i zajmował podobne stanowisko na Wydziale Pedagogicznym,
po drugiej stronie kampusu. Ich przyja

źń

zapocz

tkował Inst,

który jeden z nich napisał do drugiego, prosz

c o zwrot do bi-

blioteki egzemplarza czasopisma matematycznego, interesuj

cego, jak si

okazało, obu młodych ludzi. Cz

sto jadali razem

102
WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Tokio, rok 1955. Matematycy w tramwaju, w drodze na konferencj

. Od lewej:

T. Tamagawa, J.-P. Serre, Y. Taniyama l A. Well.
w niedrogich restauracyjkach, które serwowały podobno stop-
niowo zdobywaj

ce w Japonii popularno

ść

dania kuchni za-

chodniej, w rodzaju na przykład duszonego ozorka.36
W owym czasie w Japonii pozostało niewielu dobrych mate-
matyków. Kto tylko zdobył nieco uznania i renomy, natych-
miast próbował przenie

ść

na Jaki

uniwersytet ameryka

ski czy europejski, poniewa

i matematycy cieszyli si

tam

ksz

reputacj

l w dodatku mo

na było nawi

kontakty

z lud

mi prowadz

cymi badania w tej samej dziedzinie. Takie

zy s

ne, gdy usiłuje si

zgł

bia

ezoteryczne obszary

wiedzy, o których wiadomo niewiele lub zgoła nic. By utworzy

zal

ąż

ek kontaktów naukowych z lud

mi, którzy wiedzieli co

nieco o dziedzinie ich zainteresowa

, dwaj młodzi przyjaciele

zorganizowali we wrze

niu 1955 roku Tokijskie Sympozjum

Algebraicznej Teorii Liczb. Niektóre wygłoszone podczas tej
małej konferencji stwierdzenia miały przez długi czas pozosta

niejasne, by - koniec ko

ców - po prawie czterdziestu latach

doprowadzi

do rezultatów wielkiej wagi, a tak

e do ostrych

kontrowersji.
36 Wi

kszo

ść

informacji o

yciu Yutaki Taniyamy pochodzi z artykułu: Góro Slu-

niura, Yataka Taniyama and His Time: Very Personal Recollections, "Bulledn
of the London Mathematical Society", tom 21 (1989), s. 184-196.

AMIR D. ACZEL • 10 3
Pełen nadziei pocz

tek

Obaj przyjaciele wypełnili niezb

dne papiery l formularze-,

wynaj

li odpowiednie pomieszczenia i wysłali zaproszenia doo

tych matematyków japo

skich i zagranicznych, których spo -

dziewali si

zainteresowa

tematem konferencji. Na li

cie za-

proszonych znalazł si

Andre Well, który w owym czasie wyje -

chał Ju

z Francji i został profesorem na Uniwersytecie

w Chicago. Pi

ęć

lat wcze

niej, podczas Mi

dzynarodowego

Kongresu Matematyków, Well zwrócił uwag

społeczno

ci ma-

tematycznej na nieznan

hipotez

niejakiego Hassego, doty-

"funkcji dzeta na rozmaito

ci nad ciałem liczbowym" .

Niejasne przypuszczenie niosło w sobie tre

ci interesuj

ce dla.

badaczy teorii liczb. Well najwyra

niej kolekcjonował ró

ne hi-

potetyczne pomysły dotycz

ce teorii liczb; ten akurat umie

ciB

w swych Dziełach zebranych, przypisuj

c zasług

jego sformu-

łowania Hassemu.
Dzi

ki zainteresowaniu ró

nymi rezultatami bada

w owej

dziedzinie, Well był dla Shimury l Taniyamy atrakcyjnym go-

ciem. Ucieszyli si

obaj, gdy przyj

ł zaproszenie do udziałm

w Ich konferencji. W Tokio oczekiwano te

Innego cudzoziem-

ca, młodszego od Weila matematyka francuskiego, Jean-Pier-
re'a Serre'a. Nie byt on jeszcze wówczas członkiem towarzy-
stwa Bourbakiego, przyjmowano bowiem do niego tylko*
matematyków bardzo dobrze znanych; miał on jednak zosta

bourbakist

wkrótce. Serre, opisywany przez niektórych-

matematyków jako ambitny i zaciekły wyczynowiec, przyje-
chał na tokijskie sympozjum, by dowiedzie

tyle, ile si

tyl-

ko da. Japo

czycy o teorii liczb wiedzieli sporo, a niektóre wy-

niki publikowali w pracach dost

pnych tylko po japo

sku.

skrywaj

c je tym samym przed reszt

wiata. Nadarzała si

c wspaniała okazja,

eby pozna

owe rezultaty, tym bar-

dziej

e oficjalnym j

zykiem konferencji miał by

angielski.

W gronie konferencyjnych go

ci Serre był jednym z niewielu

cudzoziemców orientuj

cych si

w prezentowanej tematyce.

Sprawozdanie z konferencji ukazało si

tylko po Japo

ski!.

Gdy wi

c dwadzie

cia lat pó

niej Serre zwrócił uwag^ na nie-

104 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
które wydarzenia z tokijsklego sympozjum,

wiat poznał po-

tkowo jego wersj

, a nie t

, któr

zapisano w japo

skich

sprawozdaniach.
Sprawozdania zawieraj

trzydzie

ci sze

ść

problemów. Pro-

blemy o numerach 10, 11, 12 i 13, zapisane przez Yutak

Ta-

niyam

, tworzyły wspólnie pewn

hipotez

o funkcjach typu

dzeta, przypominaj

nieco idee Hassego. Wydawało si

Taniyama chce w jaki

sposób powi

funkcje automorficz-

ne na płaszczy

nie zespolonej z funkcj

typu dzeta, okre

lon

na krzywej eliptycznej. W tych usiłowaniach było co

tajemni-

czego: dlaczegó

dowolna krzywa eliptyczna miała by

w jaki

sposób powi

zana z czym

na płaszczy

nie zespolonej?

"Przepraszam, co Pan powiedział...?"
Hipoteza, wypływaj

ca z owych czterech problemów, była

mglista; Taniyama sformułował je niezbyt Jasno, zapewne dla-
tego,

e nie był do ko

ca pewien. Jakiego wła

ciwie zwi

zku

chciałby si

doszuka

. Ale tkwił tam rdze

pomysłu; swego ro-

dzaju intuicja, instynktowne przeczucie,

e funkcje automor-

ficzne zmiennej zespolonej i ich bogate symetrie s

w jaki

sposób zwi

zane z równaniami diofantycznymi. Z pewno

nie było to oczywiste. Taniyama próbował odnale

źć

ukryte

przej

cie, ł

ce dwie bardzo odległe gał

zie matematyki.

Andre Weił chciał dokładnie wiedzie

, co wła

ciwie Taniy-

ama miał na my

li. Jak mo

na wyczyta

w protokole z obrad

konferencji, opublikowanym ł

cznie z Japo

skimi sprawozda-

niami, pewnego dnia odbyta si

nast

puj

ca wymiana zda

obu panów:37
WEIŁ: Czy s

dzi Pan,

e wszystkie funkcje eliptyczne s

uni-

formizowane przez funkcje modułowe?
TANIYAMA: Same funkcje modułowe nie wystarcz

. My

potrzebne s

inne, specjalne typy funkcji automorflcznych.

37 Zob. japo

skie czasopismo "Sugaku" z maja 1956 roku, s. 227-231. •

AMIR D. ACZEL • 1 05
WEIŁ: Oczywi

cie, z niektórymi zapewne mo

na sobie w ten

sposób poradzi

. W ogólnym przypadku wygl

daj

o»ne

jednak tajemniczo i zupełnie Inaczej.
Z tej rozmowy wynikaj

jasno dwie sprawy. Po pierwsze, TTa-

nlyama mówił,

e z krzywymi eliptycznymi wi

ążą

raczej

"funkcje automorficzne", a nie "same funkcje modułowe". Po
drugie, Weił nie wierzył, by w ogólnym przypadku taki zwi

zsek

mógł mie

miejsce. Pó

niej ow

niewiar

Weił wyra

ał znaczmie

dobitniej, dlatego jeszcze bardziej zaskakuje fakt,

e to wła

mie

jego nazwisko zostało w ko

cu przypisane do hipotezy, kto-rej

ani sam nie postawił, ani nigdy w Jej prawdziwo

ść

nie wierz=ył.

Jednak

e koleje losu bywaj

nieoczekiwane; w przyszłoa

miały wyj

ść

na jaw jeszcze dziwniejsze wydarzenia.

Na to, by owe sprawy nabrały wagi, trzeba było odczelsa

kilkadziesi

t lat. Współcze

ni historycy nauki oddaliby wie=le,

eby szczegółowo pozna

tre

ść

wypowiedzi l my

li Taniyanny.

Lecz, niestety, Taniyama, podobnie jak wielu innych młodych

matematycznych geniuszy, sko

czył

ycie młodo l tragicznie-.

Po paru latach Góro Shimura wyjechał z Tokio, najpierw do
Pary

a, a potem do Institute for Advanced Study w Princeton.

Obaj przyjaciele regularnie ze sob

korespondowali. We wrzae

niu 1958 roku Góro Shimura otrzymał od Yutaki Taniyaany
ostatni list. Rankiem 17 listopada 1958, pi

ęć

dni po jego trzy-

dziestych pierwszych urodzinach, Yutak

Taniyam

znalezio»no

w mieszkaniu martwego. Na biurku le

ał list po

egnalny.

Hipoteza Shimury
Od tokijskiej konferencji upłyn

ło dziesi

ęć

lat. Góro Shimmra

swoje badania w teorii liczb, koncentruj

ce si

na funkcji d:ze-

ta i krzywych eliptycznych, prowadził teraz w Princeton. Zrro-
zumiał, w których miejscach mylił si

nie

cy przyjacilel,

l dzi

ki własnym badaniom oraz poszukiwaniu harmonii skzry-

tej we wn

trzu matematyki doszedł do hipotezy innej,

milel-

szej, dobitnej sformułowanej. Jego hipoteza głosiła,

e ka

106 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
krzywa eliptyczna nad ciałem liczb wymiernych Jest uniformi-
zowana przez pewn

form

modułow

. Formy modułowe s

płaszczy

nie zespolonej tworami bardziej konkretnymi ni

funkcje automorficzne, z których chciał korzysta

Taniyama.

Shimura dokonał te

kilku innych wa

nych zmian i poprawek,

dzy innymi doprecyzował,

e dziedzin

powinny stanowi

liczby wymierne.
Hipotez

Shimury mo

na spróbowa

wyja

, wykorzystu-

c taki oto rysunek:

li zwiniemy płaszczyzn

zespolon

w torus, czyli tak, by

otrzyma

powierzchni

obwarzanka z rysunku,38 to owa po-

wierzchnia skrywa

dzie w sobie wszystkie krzywe eliptycz-'

ne nad liczbami wymiernymi. Ka

da taka krzywa odpowiada

z kolei pewnemu rozwi

zaniu równania diofantycznego. Je

istniałoby rozwi

zanie równania Fermata, x" + y" = z", to od-

powiadaj

ca mu krzywa eliptyczna te

byłaby ukryta w na-

szym torusie. Ten fakt miał pó

niej odegra

rol

w do-

wodzie wielkiego twierdzenia Fermata. Shimura postawił
hipotez

e ka

da krzywa eliptyczna o współczynnikach wy-

miernych ma "kole

ank

" na rozpatrywanej przez Poincarego

górnej półpłaszczy

nie, wyposa

onej w nieeuklidesow

, hiper-

38 Trzeba sobie wyobrazi

e najpierw zwijamy płaszczyzn

w bardzo dług

rurk

a potem jeden koniec rurki wkładamy w drugi i zwijamy dalej, jakby

my chcieli

z kawałka gumowego w

ęż

a zrobi

kółko przypominaj

ce d

(przyp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 10'7
bollczn

geometri

. .Kole

ank

" danej krzywej eliptycznej miaa-

ła by

konkretna funkcja zmiennej zespolonej, nieczuła na do-

konywanie najró

niejszych (wspomnianych ju

nieco wcze-

niej) podstawie

postaci z -> [a

+ b)/(cz + d), tworz

cych h

grup

o nieoczekiwanie bogatej symetrii. Wszystko to było ba«--

dzo techniczne, szalenie skomplikowane i - jak przez kilkra
dziesi

cioleci s

dziło wielu matematyków - nie do udowodnie-

nia w daj

cej si

przewidzie

przyszło

ci.

Hipotez

Shimury mo

na pokaza

w sposób nieco bardzitej

obrazowy l uzna

e ka

da krzywa eliptyczna jest czym

w ro-

dzaju czubka góry lodowej, widocznego nad powierzchni

wo-

dy. Pod wod

kryje si

zawiła struktura.

eby udowodnB

hipotez

, nale

ało wykaza

e ka

da góra lodowa ma cz

podwodn

. Wiedziano wprawdzie,

e wiele gór lodowych talc

podwodn

ęść

posiada, ale poniewa

gór lodowych było niee-

sko

czenie wiele, wi

c nie dawało si

, ot tak, po kolei, obejrze

dej od spodu. Nale

ało znale

źć

ogóln

reguł

, z której wyn-1-

kałoby,

e góra lodowa bez podwodnej cz

ęś

ci nie mo

e po pro-

stu istnie

. I wła

nie podanie takiego ogólnego dowodu matae-

matycy uwa

ali za niezwykle trudn

rzecz.

Intryga i zdrada
Na pocz

tku lat sze

ść

dziesi

tych, na przyj

ciu w Institute fcor

Advanced Study w Princeton, Góro Shimura i Jean-Piera-e
Serre spotkali si

powtórnie. Według Shimury Serre zbli

ył s.i

do niego z do

ść

aroganck

min

. "Nie s

, by Pana wyniDri

o krzywych modułowych były w jakikolwiek sposób po

ytecz-

ne - powiedział. - Nie mo

na Ich przecie

zastosowa

do ka_

dej krzywej eliptycznej". W odpowiedzi Shimura dokładn-le
sformułował sw

hipotez

: "Taka krzywa, jak przypuszczani!,

zawsze jest uniformizowana przez pewn

krzyw

moduło-

".39 Nieco pó

niej Serre zło

ył relacj

ze swojej rozmowy

39 Shimura sformułował zatem sw

hipotez

; dziel

c si

po raz pierwszy, uf.

al,

e Serre uzna go za jej autora.

108 . WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
z Shimur

Weilowi, który na przyj

ciu nie był, lecz, jako jeden

z pracowników Instytutu, mieszkał w pobli

u. Zaintrygowany

Weił odwiedził potem Shimur

. "Czy Pan naprawd

to powie-

dział?" - zapytał. "Tak - odparł Shimura. - Nie s

dzi Pan,

e to

prawdopodobne?" Po dziesi

ciu latach od pierwszego spotka-

nia z Taniyam

Andre Weił nadal nie wierzył w prawdziwo

ść

którejkolwiek wersji hipotezy. Odparł: "Nie widz

niczego, co

wiadczyłoby o nieprawdziwo

ci tej hipotezy, oba bowiem

zbiory s

przeliczalne; nie widz

jednak niczego, co przema-

wiałoby na Jej korzy

ść

". Wypowiedziane przy tej okazji przez

Weila słowa Serge Lang, matematyk z Yale University, który
tak zwan

"teczk

Shimury-Taniyamy", zawieraj

kopie

dwóch tuzinów listów i jego własne do nich komentarze, roz-
powszechnił w

ród około pi

ęć

dziesi

ciu matematyków na ca-

łym

wiecie okre

lił pó

niej jako "bezmy

lne" i "głupie". To, co

Weił odpowiedział Shimurze, było równoznaczne mniej wi

cej

nast

puj

cemu stwierdzeniu: Je

li w pokoju znajduje si

sie-

dem kobiet i siedmiu m

ęż

czyzn, a Pan twierdzi,

e to siedem

mał

stw, to nie widz

w tym od razu sprzeczno

ci, poniewa

liczba m

ęż

czyzn zgadza si

z liczb

kobiet. Nie dostrzegam

jednak równie

niczego, co

wiadczyłoby za pa

hipotez

e to sami kawalerowie i same panny. Lang nazwał t

wypowied

głupi

zapewne dlatego,

e argument, polegaj

na liczeniu, nie znajdował tu wcale zastosowania. "Przeliczal-
ny" znaczy bowiem z grubsza tyle, co "niesko

czony, lecz da-

cy si

policzy

" (]'ak na przykład zbiór wszystkich liczb natu-

ralnych: l, 2, 3, 4, ...), a ustawianie w pary dwóch takich
niesko

czonych kolekcji rozmaitych obiektów nie nale

y do

prostych zada

W ka

dym razie było oczywiste,

e Andre Well nie wierzył

w prawdziwo

ść

snutych przez Shimur

teorii. Przyznał pó

niej,

e wspomniana rozmowa - mniejsza o to, czy głupia

i bezmy

lna, czy te

nie - istotnie miała miejsce, a nawet j

zacytował. Zdarzyło si

to jednak dopiero w roku 1979, kiedy

Weił napisał:40
40 Andr

Weił: Oeuwes, op. cit., t. m, s. 450.

AMIR D. ACZEL • 109
Quelques annees plus tarci, a Princeton, Shimura me deman-
da sije trouuais plausible que toute courbe ellipti

ue sur

Q jut con.ten.ue dans lejacobienne d'une courbe deflnie par
une sous-groupe de congruence du groupe modulaire;je lut
repondis, ii me semble, que je n'y uoyais pas d'empeche'
ment, puisque l'un et 1'autre ensemble est denombrable, ma-
Isje ne uoyais rien non plus qui parlat enfaveur de cette hy-
pothese.
[Kilka lat pó

niej, w Princeton, Shimura zapytał mnie, czy

uwa

am za prawdopodobne,

e ka

da krzywa eliptyczna nad

Q zawiera si

w jakobianie krzywej wyznaczonej przez podgru-

kongruencji grupy modułowej; odpowiedziałem mu,

e, jak

mi si

wydaje, nie dostrzegam przeszkód, poniewa

jeden

i drugi zbiór jest przeliczalny, lecz nie widz

niczego, co

przemawiałoby za ow

hipotez

Niemniej nawet wówczas Weił, pisz

c o stwierdzeniu, które

Jest hipotez

Shimury, wolał u

zwrotu "Shimura zapytał

mnie", a nie "Shimura powiedział mi". Weił opublikował kilka
prac na zbli

one tematy; chocia

sam nie wierzył w teori

Shi-

mury, jego nazwisko zacz

to z ni

czy

. Wielu matematyków

ten bł

d powielało, powołuj

c si

we własnych artykułach na

stwierdzenia zawarte w pracach kolegów. Bł

dne cytowania

na napotka

do dzi

; nie znaj

cy historii autorzy pisz

o hipotezie Taniyamy-Weila zamiast o hipotezie Shimury-Ta-
niyamy. Weilowi najwidoczniej podobało si

to poł

czenie jego

nazwiska z niejasnym, lecz pi

knym przypuszczeniem; sam

wprawdzie w jego prawdziwo

ść

nie wierzył, lecz wedle os

kszo

ci matematyków niezb

dne dowody miały pojawi

pewnego dnia w odległej przyszło

ci.

W miar

upływu kolejnych dziesi

cioleci znajdowano coraz

cej poszlak,

wiadcz

cych o istnieniu tajemniczego zwi

ku. Hipoteza, gdy si

udowodni, zmienia si

w solidn

mate-

matyczn

teori

. Weił prowadził badania w dziedzinach przyle-

gaj

cych do hipotezy, a uzyskiwane przez niego matematyczne

wyniki nigdy nie byty zbyt odległe od teorii form modułowych
na płaszczy

nie zespolonej i krzywych eliptycznych odpowla-

110 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
daj

cych równaniom diofantycznym. I mimo

e z pewno

wiedział o kluczowej roli Shimury, nie wspominał o niej przez
blisko dwadzie

cia lat. Potem bez wi

kszych ceregieli napo-

mkn

ł o Shimurze w przypadkowej rozmowie i - niemal prze-

lotnie - wymienił jego nazwisko w jednej ze swych opublikowa-
nych prac. Równocze

nie we Francji Serre pracował bardzo

aktywnie, dokładaj

c wszelkich stara

, by powi

z hipotez

nazwisko Andre Weila, a nie Góro Shimury.
"

wiczenie dla zainteresowanego Czytelnika"

W 1967 roku Andre Weił napisał po niemiecku artykuł,41
w którym znalazły si

nast

puj

ce słowa:

Ob sich diese Dtnge immer, d.h.fu.rJede uber Q deftnierte Ku-
rve C, so uerhalten, scheint im. Moment noch problematisch
zu sein und mag dem interessierten Leser als Ubungsaufga-
be empfohten werden.
(Czy tak si

sprawy maj

, tzn. czy jest tak dla ka

dej krzywej

C okre

lonej nad Q, wydaje si

w chwili obecnej problematycz-

ne i mo

e by

wiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika].

Akapit ten mówi o krzywych eliptycznych nad liczbami wy-
miernymi (zbiór wszystkich liczb wymiernych matematycy na

całym

wiecie oznaczaj

liter

Q), a słowa so uerhalten odno-

do tego, czy krzywe s

modułowe, czy te

nie. A zatem

Weił pisze o hipotezie Shimury, po raz kolejny nie wymieniaj

nazwiska jej autora (wspomniał o nim dopiero 12 lat pó

niej,

a i wówczas, jak pokazali

my przed chwil

, u

ył nie do ko

prawdziwych słów "Shimura zapytał mnie"). W pracy opubliko-
wanej w "Mathematische Annalen" Well mówi o hipotezie,

Jest "problematyczna", by zaraz potem zrobi

dziwnego -

uczyni

wiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika (und

41 Andre Weił: Ober die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktional-
gleichungen, "Mathematische Annalen", tom 168 (1967), s. 165-172.'

MIR D. ACZEL •111

mag dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe empfohie-n
werden). Próby rozwi

zania owego

wiczenia dla "zaintereso-

wanego Czytelnika" miały zaj

ąć

jednemu z naj

wietniej szy

matematyków

wiata siedem lat pracy w samotno

ci. Kiedły

matematyk nazywa co

wiczeniem (Ubungsaufgabe), zwykle

zna rozwi

zanie problemu i nie tyle wierzy, co wie z cał

pevw-

e przytoczone stwierdzenie jest prawdziwe, a nie, jai.k

napisał Weił, "problematyczne".
Jest taka stara anegdota o profesorze matematyki, którzy,
omawiaj

c pewne poj

cie podczas wykładu, mówi: "to jest

oczywiste". Studenci patrz

po sobie zakłopotani, rzecz bo-

wiem wcale nie Jest oczywista, i wreszcie jeden z nich o

miela

zapyta

: "Dlaczego?" Profesor na to zaczyna co

rysowa

zawzi

cie jedn

i pisa

na brze

ku tablicy, zasłaniaj

c li-

tery i formuły drug

, a gdy mu brak miejsca, szybko

wszystko

ciera. Po mniej wi

cej dziesi

ciu minutach bazgra-

nia ukradkiem profesor

ciera tablic

do czysta i obwieszcza

zdumionym studentom: "Tak, to było oczywiste".
Kłamstwo
W latach siedemdziesi

tych problemy Taniyamy, sformuł o-

wane podczas tokijskiej konferencji, zostały upowszechnLo-
ne. Równocze

nie, poniewa

Well pisał o tej hipotezie (w któ-

tpił), modułowe krzywe eliptyczne zacz

to nazyw-a

"krzywymi Weila". Gdy na Zachodzie poznano lepiej problemy
Taniyamy, hipoteza dotycz

ca modułowo

ci krzywych elLp-

tycznych zyskała nazw

"hipotezy Taniyamy-Weila"; o nazwi-

sku Shimury nawet nie wspominano. Od kiedy jednak poja-
wiło si

nazwisko Taniyamy, Weił zacz

ł t

wszellile

hipotezy na ten temat. W 1979 roku wyraził swój sprzeciw
wobec "tak zwanej hipotezy Mordella o równaniach dlofai.n-
tycznych" (zaledwie cztery lata pó

niej udowodnił j

Ge-rd

Faltings), mówi

c: "Byłoby miło, gdyby okazało si

to pra_w-

, i wolałbym si

zało

e jest to prawda, a nie fałsz. S

to jednak tylko pobo

yczenia, nie ma bowiem nawet

112 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
strz

pka dowodu - ani za, ani przeciw". Niemniej równie

i wówczas Weił si

mylił. Matematycy rosyjscy, mi

dzy Inny-

mi Szafarewicz i Parszyn, ju

na pocz

tku lat siedemdziesi

tych otrzymywali rezultaty, które mogty

wiadczy

o prawdzi-

ci hipotezy Mordella. W roku 1983 Gerd Faltings

najzwyczajniej w

wiecie t

hipotez

udowodnił, pokazuj

tym samym,

e wielkie twierdzenie Fermata jest "prawie za-

wsze prawdziwe".
Gdy Andre Weił wytoczył wojn

wszelkim nie udowodnio-

nym przypuszczeniom, a z hipotez

, zwan

teraz przez wielu

matematyków hipotez

Taniyamy-Weila, wi

zano ju

nie tylko

jego nazwisko, w Pary

u Serre dokładał stara

, by nazwiska

Shimury nikt nadal z owym s

dem nie ł

czył. W 1986 roku, na

przyj

ciu zorganizowanym na Uniwersytecie Kalifornijskim

w Berkeley, Jean-Pierre Serre przy

wiadkach powiedział Ser-

ge'owi Langowi,

e Andre Weił wspomniał o rozmowie, któr

w swoim czasie odbył z Shimur

. Według Serre'a, Weił powie-

dział mu o nast

puj

cej wymianie zda

WEIŁ: Dlaczego Taniyama s

dził,

e wszystkie krzywe elip-

tyczne s

modułowe?

SHIMUR

: Sam mu Pan tak powiedział, a potem Pan zapo-

mniał.
W tym momencie Lang, który sam bezwiednie u

ywał nazw

"krzywa Weila" i "hipoteza Taniyamy-Weila", zacz

ł co

podej-

rzewa

. Postanowił pozna

prawd

i niezwłocznie napisał

zarówno do Weila, jak i do Shimury, a potem do Serre'a. Shi-
mur

zdecydowanie zaprzeczył, jakoby taka rozmowa kiedy-

kolwiek si

odbyła, podaj

c obfite uzasadnienie swego stano-

wiska. Well nie odpowiedział od razu, Serre za

w swojej

odpowiedzi skrytykował podj

te przez Langa próby ustalenia

do prawdy. Na seminarium zorganizowanym przez towarzy-
stwo Bourbakiego w czerwcu 1995 roku Serre wci

ąż

jeszcze,

mówi

c o "hipotezie Taniyamy-Weila", opuszczał nazwisko jej

prawdziwego autora, który przed trzydziestu laty obdarzył go
zaufaniem i powierzył swe przypuszczenia.

AMIR D. ACZEL .113
Well odpowiedział dopiero po drugiej próbie nawi

zania

kontaktu. Oto jego list:42
3 grudnia 19SS6
Drogi Panie Lang,
Nie przypominam sobie w tej chwili, kiedy i gdzie otrzyma-
łem pa

ski list z dnia 9 sierpnia. Gdy si

to stało, zaprz

ty byłem (i nadal jestem) daleko wa

niejszymi sprawami!.

skimi sugestiami, jakobym kiedykolwiek usiłował p>o-

mniejszy

zasługi przypadaj

ce w udziale Taniyamle l Srni-

murze, mog

jedynie gł

boko oburzony. Ciesz

re,

podobnie jak ja, podziwia Pan tych uczonych.
Opowie

ci o rozmowach sprzed lat bywaj

ródłem nieporo-

zumie

. Postanowił Pan uzna

je za

ródło historyczne, kt-ó-

rym nie s

. W najlepszym razie to anegdoty. Co si

tyc:zy

kontrowersji, któr

zdecydował si

Pan podnie

ść

, listy Shi-

mury kład

jej, moim zdaniem, kres.

li za

chodzi o przypisywanie nazwisk poj

ciom, twier-

dzeniom czy (?] hipotezom, cz

sto podkre

lałem,

e (a) g*<ly

jakie

nazwisko ł

czy si

z, powiedzmy, konkretnym poj|

clem, nie znaczy to nigdy,

e autor, o którym mowa, mflał

z tym poj

ciem cokolwiek wspólnego; znacznie cz

ęś

ciej jest

cz przeciwnie. Pitagoras ze "swoim" twierdzeniem

i Fuchs z funkcjami Fuchsa maj

nie wi

cej wspólnego mi

August Comte z ulic

Augusta Comte'a; (b) nazwiska cz

s-to,

całkiem zreszt

słusznie, zast

powane s

przez bardz-iej

wła

ciwe nazwy; ci

g Leraya-Koszula nazywany jest obecmie

giem spektralnym (zgodnie z tym, co swego czasu Sieg^el

powiedział Erdósowi, nawet przymiotnik "abelowy" pisze ssie
teraz mał

liter

42 List Weila do Langa oraz opis chronologii wielu z przedstawionych tu wyda-
rze

, w tym liczne prywatne rozmowy i listy, mo

na odnale

źć

w artykule Ser-

ge'a Langa: Some History of the Taniyama-Shimura Conjecture, "Notices ot the
American Mathematical Society", listopad 1995, s. 1301-1307. Jest zasług

Lan-

ga,

e ten artykuł i "teczka Taniyamy-Shimury", któr

rozpowszechniał w

ród

matematyków przez 10 lat, zaczynaj

wreszcie przywraca

Góro Shimurze uzna-

nie, które mu si

słusznie nale

114 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Dlaczego nie miałbym od czasu do czasu robi

"głupich", jak

raczy Pan mówi

, uwag? Cho

istotnie, wyra

c w 1979

roku pewien sceptycyzm wobec hipotezy Mordella, byłem
"poza" - nie wiedziałem wówczas nic o pracach Rosjan (Par-
szyn itd.), prowadzonych w tym kierunku. Je

li mog

mle

na swoje usprawiedliwienie, to chyba tylko to,

e gdy

w 1972 roku wiodłem z Szafarewiczem długie rozmowy,
o

adnej z owych prac słowem nie wspomniał.

Z nale

nym szacunkiem,

A. Well
P.S. Je

li zechce Pan przepu

ten list przez sw

kopiark

prosz

czu

do tego upowa

nionym. Ciekaw jestem, co

firma Xerox pocz

łaby bez Pana i podobnych osób.

W gł

bi Czarnego Lasu, jesie

1984

Podczas gdy w Berkeley, New Haven, Princeton i po drugiej
stronie Atlantyku, w Pary

u, toczyły si

ciekłe spory o au-

torstwo hipotezy Shimury-Taniyamy, w gł

bi Czarnego Lasu,

w południowo-zachodnich Niemczech, wydarzyło si

zupeł-

nie nieoczekiwanego.
Gerhard Frey zrobił dyplom na Uniwersytecie w Tybindze,
a doktorat na Uniwersytecie w Heidelbergu, gdzie, b

c pod

wpływem prac Hassego i Weila, studiował teori

liczb. Freya

fascynowało wzajemne oddziaływanie teorii liczb i geometrii al-
gebraicznej, dziedziny matematyki rozwini

tej w ostatnim pół-

wieczu. Interesował si

on te

geometri

arytmetyczn

. To wła-

nie zwi

zki mi

dzy teori

liczb i nowszymi dziedzinami,

geometri

arytmetyczn

i algebraiczn

, doprowadziły go do do-

wodu zaskakuj

cego twierdzenia. W latach siedemdziesi

tych

Frey zajmował si

intensywnie krzywymi algebraicznymi i rów-

naniami diofantycznymi. W roku 1978 przeczytał artykuł Bar-
ry'ego Mazura z Uniwersytetu Harvarda, zatytułowany "Krzywe
modułowe i ideał Elsensteina", i przez jaki

czas był nim bar-

dzo poruszony, podobnie jak wielu innych specjalistów w dzie-

AMIR D, ACZEL • 1 15
dzinie teorii liczb, w tym Kenneth Rlbet z Berkeley l Andnew
Wiłe

z Princeton. Nabrał przekonania,

e powinien bardzo po-

nie pomy

o zastosowaniach teorii krzywych modu ło-

wych i reprezentacji Galols w teorii krzywych eliptycznych.
Stwierdził,

e takie rozwa

ania w niemal nieunikniony spossób

prowadz

do zagadnie

diofantycznych, blisko zwi

zanych

z równaniami Fermata. Ów nagły i pot

ęż

ny przebłysk intuiicji

Frey próbował wykorzysta

i doprecyzowa

W 1981 roku Frey sp

dził par

tygodni na Uniwersytecie

Harvarda, odbywaj

c kilka dyskusji z Barrym Mazurem. WLele

rzeczy zdołał dzi

ki tym rozmowom wyja

. G

sta mgła, spo-

wijaj

ca trudne do uchwycenia zwi

zki równa

podobnych do

równania Fermata z formami modułowymi l krzywymi eliptycz-
nymi, zaczynała si

z wolna rozst

powa

. Frey pojechał ma-

pnie do Berkeley, gdzie rozmawiał z Kenem Ribetem, błys-

kotliwym specjalist

w zakresie teorii liczb, który w swoim

czasie uko

czył Uniwersytet Harvarda i wspólnie z Mazur-em

pracował nad zbli

onymi zagadnieniami. Z Berkeley Frey rpo-

wrócii do ojczystych Niemiec. W trzy lata pó

niej otrzymał za-

proszenie do wygłoszenia wykładu w Oberwolfach, miejscowro-

ci zagubionej po

ród wzgórz Czarnego Lasu.

W Oberwolfach mie

ci si

matematyczne centrum konfe-

rencyjne, poło

one w pi

knej, spokojnej okolicy, z dala od

miast i zaludniaj

cych je tłumów. Ka

dego roku odbywa si

tam około pi

ęć

dziesi

ciu mi

dzynarodowych konferencji, po-

conych ró

nym dziedzinom matematyki. Aby mie

w Obe-

rwolfach wykład czy cho

by po prostu uczestniczy

w j

drnym

ze spotka

, nale

y wpierw otrzyma

zaproszenie. W centr-um

dokłada si

wszelkich stara

, by ekspertom z ró

nych krajów

ułatwi

wymian

pomysłów. W 1984 roku Gerhard Frey, p»od-

czas swego wykładu na zorganizowanej tam konferencji z tteo-
rii liczb, wygłosił twierdzenie z pozoru zwariowane. Z wypeł-
nionych wzorami, powielonych i rozdawanych uczestnilcom
notatek najwyra

niej wynikało,

e je

li hipoteza Shimury-Ta-

niyamy rzeczywi

cie jest prawdziwa, to zachodzi tak

e wie Ikle

twierdzenie Fermata. Na pierwszy rzut oka zdawało si

e nie

ma w tym ani za grosz sensu. Gdy Ken Ribet po raz pierwszy

116 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
dowiedział si

o twierdzeniu Freya, s

dził,

e to

art - có

bo-

wiem modułowo

ść

krzywych eliptycznych mo

e mle

wspólne-

go z wielkim twierdzeniem Fermata? Wi

cej o tym dziwnym

stwierdzeniu nie my

lał i wrócił do swych codziennych zaj

ęć

Lecz wypowied

Freya, pozbawiona dowodu i Jakby niepełna.

zainteresowała kilka osób w Pary

u i gdzie indziej. Jean-Pier-

re Serre napisał list do matematyka o nazwisku J.-F. Mestre.
List dotarł do wiadomo

ci publicznej, a wówczas Serre opubli-

kował artykuł powtarzaj

cy hipotezy zawarte w li

cie do Me-

stre'a.43
Twierdzenie Ribeta
Ken Rlbet, który z pocz

tku uznał wszystko za

art, zacz

o hipotezach Serre'a l doszedł do wniosku,

e przypo-

minaj

mu one kilka my

nania Fermata xf1 + y" = z" w zbiorze
liczb całkowitych dodatnich. Owemu rozwi

zaniu, czyli trójce

liczb a, b i c, odpowiada pewna krzywa eliptyczna. Frey wypi-
sał ogóln

posta

równania takiej krzywej utworzonej z rozwi

zania równania Fermata. Hipoteza, zaprezentowana przeze

w Oberwolfach, orzekała,

e ta akurat krzywa eliptyczna, dzi

43 Jean-Pierre Serre: Lettre a J.-F. Mestre. Przedruk w: Current Trends in
Arith-
metical Algebraic Geometry, "American Mathematical Society", Proyidence RI,
1987,s. 263-268.

AMIR D, ACZEL . -117
nazywana krzyw

Freya, jest bardzo osobliwym zjawiskiem;

w rzeczy samej na tyle dziwnym,

e nie mogłaby Istnie

. Co

niejsze, krzywa eliptyczna, któr

na by skonstruowa

w razie fałszywo

ci wielkiego twierdzenia Fermata, z pewno-

nie była modułowa. A gdyby za prawdziw

uzna

hipottez

Shimury-Taniyamy, to wszystkie krzywe eliptyczne musiałaby
by

modułowe. Krzywa eliptyczna, która nie jest moduło~wa,

nie mogłaby zatem istnie

. Wynikałoby wi

c st

e krzywa

Freya - krzywa eliptyczna, która ma bardzo wiele dziwn^ych
własno

ci i nie jest przy tym modułowa - nie mo

e istnie

. Za-

tem nie mo

e by

tak

e rozwi

równania Fermata. Ozna-

czałoby to,

e wielkie twierdzenie Fermata (które głosi przecie

e rozwi

nie ma, o ile wykładnik Jest wi

kszy od 2) jest

prawdziwe. Był to skomplikowany ci

g implikacji, ale do loagikl

pewnego rodzaju dowodów matematycznych pasował dosko-
nale. Chodzi tu o rozumowanie w nast

puj

cej postaci: z A

wynika B, a wi

c, je

li B nie jest prawdziwe, to równie

A» nie

e by

prawdziwe. Kłopot polegał jednak na tym,

e w rozu-

mowaniu brakowało jednego ogniwa. Dlatego mówi

było jedynie o kolejnej hipotezie - tym razem o hipotezie F-reya
- głosz

cej,

e z prawdziwo

ci hipotezy Shimury-Taniyamy" wy-

nika wielkie twierdzenie Fermata. Dwa kolejne przypuszcz-enia
sformułowane przez Serre'a w li

cie do Mestre'a pozw oliły

Kenowi Ribetowi o hipotezie Freya my

w sposób ba-rdzo

konkretny.
Ken Rlbet nigdy przedtem nie zajmował si

wielkim twier-

dzeniem Fermata. Zaczynał od studiowania chemii na 'Uni-
wersytecie Browna; jednak pod wpływem swego opiekruna,
Kennetha F. Irelanda, zwrócił si

w stron

matematyki i zain-

teresował funkcjami typu dzeta i teori

liczb. Wielkie twierdze-

nie Fermata lekcewa

ył jako "jeden z tych problemów, o któ-

rych nic ju

naprawd

nego powiedzie

nie da". Wielu

matematyków podzielało ten pogl

d, gdy

problemy teorii liczb

sto s

izolowane, nie ł

ich jednolite schematy i ni-e wi-

kryj

cych si

za nimi ogólnych zasad l prawidłowo

ci- Nie-

mniej, w losach wielkiego twierdzenia Fermata zawarte zostały
kawałki wła

ciwie całej historii matematyki, od zarania cywlll-

118 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
zacji a

do naszych czasów. Ostateczne rozwi

zanie problemu

wymagało poł

czenia w jedno rozległych dziedzin: teorii

liczb, algebry, analizy, geometrii i topologii, praktycznie wi

niemal całej matematyki.
Rlbet zacz

ł nast

pnie pracowa

nad doktoratem z matema-

tyki na Uniwersytecie Harvarda. Tam - z pocz

tku po

rednio,

a potem, bli

ej ko

ca studiów doktoranckich, bezpo

rednio -

trafił pod skrzydła Barry'ego Mazura, wielkiego geometry, spe-
cjalisty w dziedzinie teorii liczb i wizjonera inspiruj

cego

wszystkich matematyków w najmniejszym cho

by stopniu za-

anga

owanych w wysiłki zmierzaj

ce do udowodnienia wielkie-

go twierdzenia Fermata. Praca Mazura po

cona ideałowi

Eisensteina przenosiła na grunt współczesnej matematyki
i geometrii algebraicznej dziewi

tnastowieczn

, rozwini

przez Emsta Kummera, teori

liczb idealnych, proponuj

c no-

we, geometryczne podej

cie do teorii liczb.44

Ken Rlbet został koniec ko

ców profesorem matematyki na

Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i zacz

ł prowadzi

badania w dziedzinie teorii liczb. W 1985 roku usłyszał
o Freyu i Jego "szale

czym" pogl

dzie,

e je

li istniałoby roz-

zanie równania Fermata (czyli gdyby wielkie twierdzenie

Fermata było fałszywe), to mo

na by z jego pomoc

skonstru-

owa

dziwaczn

krzyw

. Owa krzywa Freya byłaby eliptycz-

na, lecz nie modułowa. Skojarzona z ni

para hipotez zawar-

tych w li

cie Serre'a do Mestre'a spowodowała,

e Ribet

zacz

ł powa

nie my

o udowodnieniu hipotezy Freya.

I chocia

wielkim twierdzeniem Fermata naprawd

nie in-

teresował, zdawał sobie spraw

z tego,

e jest to pal

cy pro-

blem, w dodatku mieszcz

cy si

w kr

gu tematów dobrze mu

znanych. W ci

gu tygodnia od 18 do 24 sierpnia 1985 roku

Rlbet uczestniczył w konferencji z geometrii arytmetycznej
l algebraicznej w Arcata, w Kalifornii. Zacz

ł rozmy

o hi-

potezie Freya i problem ten zaprz

tał jego głow

przez cały

nast

pny rok. Gdy na pocz

tku lata 1986 roku uwolnił si

44 Barry Mazur: Modular Curves and the Eisenstein Ideał, The Matematical Pu-
blications of IHES, tom 47 (1977), s. 33-186.

AMIR D, ACZEL • 119
obowi

zków dydaktycznych w Berkeley, poleciał do Nieimlec,

gdzie miał prowadzi

badania naukowe w Instytucie Mlaxa

Plancka, sławnym na cały

wiat o

rodku matematyczn^ym.

Wkrótce po przybyciu do Instytutu dokonał wielkiego prz:eło-
mu. Mógł teraz przeprowadzi

prawie kompletny dowód h-lpo-

tezy Freya.
W rozumowaniu nadal jednak brakowało kilku szczegó łów,
które nale

ało dopracowa

. Wkrótce po powrocie do Berlseley

Rlbet wpadł przypadkowo na Barry'ego Mazura, który przyje-
chał akurat z Uniwersytetu Harvarda. "Chod

my na kaw

Barry" - zaproponował Ribet. Pow

drowali wspólnie do poopu-

larnej kawiarni w pobli

u kampusu Uniwersytetu Kalifo mij-

skiego. Popijaj

c kaw

z mlekiem, Ribet zwierzył si

Mazurowi:

"Próbuj

uogólni

to, co zrobiłem wcze

niej,

eby udowodni

hipotez

Freya. Nie mog

upora

tylko z t

jedn

rzecz

...".

Mazur rzucił okiem na podsuni

te przez Rlbeta formuły. "Ale

przecie

to zrobiłe

, Ken - odparł. - Musisz tylko dorzuci

ten drobiazg, przeprowadzi

powtórnie całe rozumowanie^ l po

wszystkim!" Zamy

lony Ribet spojrzał na Mazura, na sw

fili-

ank

z kaw

l jeszcze raz, z niedowierzaniem, na Mazura.

"Masz

racj

!" - zawołał. Nieco pó

niej wrócił do s-wego

gabinetu, by dopracowa

do ko

ca dowód. "Ken wpadł nsa ka-

pitalny pomysł" - opowiadał potem z szerokim u

miechem Ma-

zur, opisuj

c zr

czny, ju

opublikowany i znany w mat-ema-

tycznym

wiecie dowód Kena Ribeta.

Ribet sformułował i udowodnił twierdzenie, które glosi-ło,

li prawdziwa jest hipoteza Shimury-Tantyamy, to, jako bez-

redni wniosek, wypływa z niej natychmiast wielkie twier-

dzenie Fermata. Człowiek, który jedynie rok wcze

nie) u^wa

ał

sugesti

Freya za

art, udowodnił teraz,

e to nie

aden dow-

cip, tylko matematyczna rzeczywisto

ść

. Drzwi do protolemu

Fermata, umo

liwiaj

ce atak z wykorzystaniem całego ar-sena-

łu nowoczesnych metod geometrii algebraicznej i arytm«etycz-
nej, zostały szeroko otwarte.

wiat potrzebował teraz tylko

kogo

, kto udowodniłby pozornie nieosi

galn

hipoteze

Shi-

mury-Tantyamy. Wielkie twierdzenie Fermata byłoby wó-wczas
prawdziwe.

120 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Dzieci

ce marzenie

Andrew Wiłe

był człowiekiem, który chciał to wła

nie zrobi

Gdy miał dziesi

ęć

lat, poszedł do biblioteki publicznej w swoim

miasteczku w Anglii i zajrzał do ksi

ąż

ki o matematyce. Prze-

czytał w niej o wielkim twierdzeniu Fermata. Twierdzenie było
w ksi

ąż

ce przedstawione tak prosto,

e jego tre

ść

mogło zrozu-

mie

dziecko. Oddajmy zreszt

głos samemu Wilesowi:

Było tam napisane,

e nigdy nie znajd

takie liczby x,

y i z,

e x3 + y3 = z3.

eby nie wiem jak wytrwale szuka

nigdy, przenigdy si

takich liczb nie znajdzie. I było te

napi-

sane,

e tak samo jest dla .x4 + y4 = Z4 i dla .x5 + y5 = z5, i tak

dalej... Wydawało si

to takie proste, a autor ksi

ąż

ki twier-

dził,

e przez ponad trzysta lat nikt nie zdołał tego udowod-

. Zapragn

łem wi

c znale

źć

dowód...

W latach siedemdziesi

tych Andrew Wiłe

wst

pił na uni-

wersytet. Gdy sko

czył studia, przyj

to go na Wydział Mate-

matyki w Cambridge, gdzie pod opiek

Johna Coatesa zacz

pracowa

nad doktoratem. Marzenie swego dzieci

stwa, by

udowodni

wielkie twierdzenie Fermata, Wiłe

musiał porzu-

. Badania nad tym problemem nieuchronnie okazałyby si

strat

czasu, na któr

nie mógłby sobie pozwoli

aden dok-

torant. A poza tym, jaki

promotor zgodziłby si

opiekowa

studentem pracuj

cym nad tak

starodawn

łamigłówk

wci

ąż

nie rozwi

zan

mimo trzystuletnich wysiłków n

wietniej szych umysłów

wiata? W latach siedemdziesi

tych

naszego wieku Fermat stał si

niemodny. Prawdziwie gor

cym tematem bada

, tematem "w dobrym tonie", były wów-

czas w teorii liczb krzywe eliptyczne. Adrew Wiłe

zacz

ł wi

swój czas na badania krzywych eliptycznych

oraz dziedziny, zwanej teori

Iwasawy. Napisał prac

doktor-

, a po jej obronie otrzymał posad

na Wydziale Matematy-

ki Uniwersytetu w Princeton l przeniósł si

do Stanów Zjed-

noczonych, by nadal bada

krzywe eliptyczne i zgł

bia

teori

Iwasawy.

A.MIR D. ACZEL • 121
Dawny ogie

bucha nowym

arem

Był ciepły letni wieczór, a Andrew Wiłe

czył wła

nie mro

herbat

w domu przyjaciela. Nagle, w

rodku rozmowy, przyj a-

ciel rzekł: ,A tak przy okazji, czy słyszałe

e Ken Ribet wła

rale

udowodnił hipotez

epsilonow

?" Mianem hipotezy epsilono\wej

specjali

ci od teorii liczb okre

lali mi

dzy sob

zmodyfikowała

przez Serre'a wersj

hipotezy Freya, mówi

o zwi

zku pomti

dzy wielkim twierdzeniem Fermata i hipotez

Shimury-Tamyya-

my. Wilesa przeszył pr

d. Czuł w tamtej chwili,

e jego

ycie asie

zmienia. Dawne dzieci

ce marzenia, by udowodni

wlell-rie

twierdzenie Fermata, marzenia, które przyszło mu porzuci

rzecz "rozs

dniej szych" bada

naukowych, powróciły naggie

z niewiarygodn

sił

. Wrócił do domu l zacz

ł my

nad tym,

w jaki sposób udowodni

hipotez

Shimury-Taniyamy.

"Przez pierwszych kilka lat - zwierzył si

pó

niej - nie mi.la-

łem

adnej konkurencji; wiedziałem bowiem,

e nikt, wł

cza-

c w to mnie samego, nie ma poj

cia, od czego zacz

ąć

". WLIes

postanowił pracowa

samotnie i w całkowitej tajemnicy. "Ule

na si

skupi

, gdy kibiców jest zbyt wielu, a odkryl-em

szybko,

e wystarczy tylko słówkiem wspomnie

o Fermacie,

by natychmiast wzbudzi

niezdrowe zainteresowanie". Oczywi-

cie, zdolnych, utalentowanych matematyków nie braku-ije,

szczególnie w takich miejscach jak Princeton. Istnieje powa

niebezpiecze

stwo,

e rozpocz

przez nas prac

uko

czy

kto

inny, w dodatku robi

c to lepiej od nas.

W ka

dym razie Wiłe

zamkn

ł si

w swym gabinecie na

strychu i zabrał do pracy. Porzucił wszelkie inne projekty ba-
dawcze,

eby swój czas w cało

ci przeznaczy

na problem Fer-

mata. Zamierzał zu

ytkowa

cał

pot

maszynerii współczes-

nej algebry, geometrii, analizy l innych gał

zi matematyki.

Planował wykorzysta

ne rezultaty matematyczne, uzyska-

ne zarówno przez współczesnych mu badaczy, jak i przez jjego
historycznych poprzedników. Chciał u

cznych metod

z dowodów Ribeta, pragn

ł wł

czy

do pracy teorie Barry-'ego

Mazura oraz idee Shimury, Freya, Serre'a, Andr

Weila i w&elu,

wielu innych matematyków.

122 . WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Wielko

ść

Wilesa, jak powie pó

niej Gerhard Frey, polegała

na tym,

e wierzył w to, co robi, podczas gdy praktycznie

aden

matematyk na

wiecie nie s

dził,

eby w XX wieku ktokolwiek

był w stanie udowodni

hipotez

Shimury-Taniyamy.

Andrew Wiłe

wiedział,

e aby udowodni

hipotez

Shimury-

-Taniyamy, musi wykaza

, ii ka

da krzywa eliptyczna jest mo-

dułowa; musi udowodni

, i

da krzywa eliptyczna, której

punkty le

żą

na powierzchni obwarzanka, jest w istocie form

modułow

w przebraniu. Powierzchnia obwarzanka miała Jak-

by skrywa

w sobie t

przestrze

obdarzonych zawiłymi syme-

triami obiektów rodem z płaszczyzny zespolonej, które nazywa
si

formami modułowymi. Nikt nie wiedział, jak wykaza

ist-

nienie tak dziwnego zwi

zku mi

dzy tworami na pozór tak bar-

dzo ró

nymi.

Wiłe

doszedł do wniosku,

e najlepiej b

dzie spróbowa

po-

liczy

, ile jest krzywych eliptycznych, nast

pnie za

policzy

Ile Jest modułowych krzywych eliptycznych, a na koniec
sprawdzi

, czy jest ich tyle samo. Byłoby wtedy wiadomo,

krzywe eliptyczne i modułowe krzywe eliptyczne to jedno i to
samo (a zatem ka

da krzywa eliptyczna rzeczywi

cie jest mo-

dułowa, jak orzeka hipoteza Shimury-Taniyamy).
Ponadto, Wiłe

wiadamiał sobie dwie kwestie. Po pierw-

sze, nie musiał wcale dowodzi

hipotezy Shimury-Taniyamy

w całej ogólno

ci, lecz tylko w szczególnym przypadku, dla se-

mistabllnych krzywych eliptycznych o współczynnikach wy-
miernych. Wykazanie,

e hipoteza zachodzi dla tej nieco

niniejszej klasy krzywych eliptycznych, w zupełno

ci wystar-

czyłoby do uzasadnienia wielkiego twierdzenia Fermata.
Po drugie. Wiłe

wiedział,

e zwykłe "liczenie" na nic si

nie

przyda - miał bowiem do czynienia ze zbiorami niesko

czony-

mi. Zbiór semistabilnych krzywych eliptycznych jest niesko

czony. Ró

nym wymiernym współczynnikom postaci a/b,

gdzie a i b s

liczbami całkowitymi, odpowiadaj

ró

ne krzywe

eliptyczne (nad liczbami wymiernymi). Poniewa

liczb wymier-

nych jest niesko

czenie wiele (licznik a i mianownik b ka

de-

go współczynnika mo

na dowolnie wybiera

spo

ród niesko

czenie wielu liczb l, 2, 3, 4, ...), niesko

czenie wiele jest tak

AMIR D. ACZEL • 1123
krzywych eliptycznych. Zatem liczenie jako takie nic tu mi

pomo

y problem podzieli

na kilka mniejszych
Wiłe

lał,

e mógłby spróbowa

skupi

uwag

na mniej-

szych problemach, po jednym naraz. By

e byłby wówc^zas

w stanie przypatrze

mniejszym klasom krzywych eliptycz-

nych l sprawdzi

, co si

da z nimi zrobi

. Wydawało si

ejjest

to nie najgorsze podej

cie, poniewa

w ten sposób mógł zrrnie-

rza

do celu krok po kroku, stopniowo ogarniaj

c ró

ne klasy.

Przede wszystkim wiedziano ju

wówczas,

e niektóre krzywe

eliptyczne s

modułowe (wynikało to z wa

nych rezultatów ba-

, uzyskanych przez innych specjalistów od teorii licazb).

Wkrótce jednak Andrew Wiłe

zdał sobie spraw

e sa-mo

przypatrywanie si

ró

nym krzywym eliptycznym i wynajdywa-

nie dla ka

dej z nich z osobna "kole

anki" do pary w

ród form

modułowych nie jest zapewne najlepsz

drog

- miał w koncu

do czynienia ze zbiorami niesko

czonymi. W istocie, nie zmaj-

dowal si

bli

ej rozwi

zania ni

sceptyczny Andre Weił, który

kategorycznie o

wiadczał: "Nie widz

nic, co stałoby na prze-

szkodzie, oba bowiem zbiory s

przeliczalne [to znaczy mie-

sko

czone i tego samego "rozmiaru", co zbiór liczb całkowitych

czy wymiernych, za

o mniejsze ni

na przykład zbiór

wszystkich liczb niewymiernych lub jakikolwiek inny zbnór
mocy continuum], nie widz

jednak niczego, co przemaka-

łoby na korzy

ść

tej hipotezy..." Po dwóch latach w

drówki do-

nik

d Wiłe

spróbował nowego podej

cia. Pomy

lał,

e mógłby

zast

krzywe eliptyczne ich reprezentacjami Galois, a forrmy

modułowe dobiera

potem do tych reprezentacji.

Pomysł, cho

nie do ko

ca oryginalny, był

wietny. Za tym

posuni

ciem kryje si

ciekawa zasada. Otó

specjali

ci w dizie-

dzinie teorii liczb zajmuj

znajdowaniem rozwi

równa

takich jak na przykład równanie Fermata. Matematyczna teo-
ria ciał liczbowych umieszcza ów problem w kontek

cie roz-sze-

124 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
r

ciał. Ciała s

wielkimi, cz

sto niesko

czonymi kolekcjami

elementów, niełatwo poddaj

cymi si

analizie. By temu zara-

dzi

, specjali

ci nierzadko wykorzystuj

stworzon

przez Eva-

riste'a Galois tak zwan

teori

Galols, by przeło

problemy

ze skomplikowanego j

zyka ciał na prostszy j

zyk obiektów

znanych pod nazw

grup. Grupa cz

sto jest generowana przez

sko

czony (a nie niesko

czony) zbiór elementów. Wykorzysta-

nie teorii Galois pozwala zatem specjalistom od teorii liczb
przenie

ść

rozwa

ania z niesko

czonej kolekcji na tak

, która

jest w pełni wyznaczona przez sko

czony zbiór generatorów.

To przesuni

cie problemu w inny obszar stanowi olbrzymi

krok naprzód, poniewa

ze sko

czonym zbiorem generatorów

grupy mo

na sobie radzi

nieporównanie łatwiej ni

z niesko

czonym zbiorem elementów ciała. Ju

cho

by samo liczenie

ma sens tylko dla zbiorów sko

czonych.

Wydawało si

z pocz

tku,

e to podej

cie działa dla niektó-

rych klas krzywych eliptycznych. Był to swego rodzaju prze-
tom. Tymczasem po upływie kolejnego roku Wiłe

znów stan

w miejscu.
Praca Flacha
Andrew Wiłe

próbował teraz ustawi

w pary elementy dwóch

zbiorów: form modułowych i reprezentacji Galois, odpowiada-
j

cych semistabilnym krzywym eliptycznym; wszystko to

w tym celu, by sprawdzi

e s

one takie same. W tej pracy

posługiwał si

tzw. horyzontaln

teori

Iwasawy, dziedzin

z której napisał doktorat l w której czuł si

ekspertem. Próbo-

wał z niej korzysta

po to, by uzyska

wzór na liczb

klas ide-

ałów, rezultat potrzebny mu do "liczenia". Znów jednak stan

przez murem. Nic z tego, co robił, nie przybli

ało go do rozwi

zania.
Latem 1991 roku Wiłe

uczestniczył w konferencji w Bosto-

nie, gdzie spotkał swego byłego promotora z Cambridge, Johna
Coatesa. Profesor Coates powiedział Wilesowi,

e jeden z jego

studentów, Matthlas Flach, bazuj

c na wcze

niejszych pra-

AMIR D. ACZEL • 125
cach matematyka rosyjskiego o nazwisku Koływagin, podczsas
próby dowodu wzoru na liczb

klas Ideałów obmy

lił i sko n-

struował tzw. system Eulera (nazywany tak od nazwiska Le-
onarda Eulera). Tego wła

nie potrzebował Wiłe

do swego do-

wodu hipotezy Shimury-Taniyamy (pod warunkiem,

potrafiłby cz

ęś

ciowe wyniki Flacha rozszerzy

tak, by otrzynua

pełny wzór na liczb

klas ideałów). Coates, mówi

c Wlleso»wi

o pracy Flacha, wprawił go w dobry nastrój. "Było to skrojo»ne
na miar

mojego problemu" - powiedział Wiłe

; zupełnie tak,

jakby Matthlas Flach cał

prac

wykonał wył

cznie dla n-ie-

go. Wiłe

natychmiast zarzucił dotychczasowe próby u

ycia

horyzontalnej teorii Iwasawy, by na całe dnie i noce pogr

w pracach Koływagina i Flacha. Gdyby si

okazało,

stworzony przez nich "system Eulera" naprawd

działa, WLłes

mógłby mie

nadziej

e dostanie do r

ki wzór na liczb

kJas

ideałów, a hipoteza Shimury-Taniyamy zostanie udowodnicona
dla semistabilnych krzywych eliptycznych. To wystarczy, by
udowodni

wielkie twierdzenie Fermata.

Była to jednak ci

ęż

ka praca, wykraczaj

ca poza tak dób r

żę

Wilesowi znan

teori

Iwasawy. Wiłe

zacz

ł coraz cz

ęś

ciej "od-

czuwa

potrzeb

znalezienia kogo

, z kim mógłby poroznna-

wla

. Szukał powiernika, który sprawdziłby, jak daleko Wfiles

eglował na nieznanych wodach, a jednocze

nie nie zdraodzll

przed nikim ani słowem.

Dobry przyjaciel
Wiłe

musiał w ko

cu podj

ąć

decyzj

l zdecydowa

, czy

ma nadal utrzymywa

wszystko w tajemnicy, jak robił to ju

od dawna, czy te

złama

swe postanowienie i zacz

ąć

rozn-na-

wia

z kim

dobrze si

znaj

cym na teorii liczb? Zdecydował

ostatecznie,

e zachowuj

c tajemnic

, nie post

pi najlepiej.

Jak sam mówił, mo

na całe

ycie pracowa

nad jakim

pro-

blemem i nigdy nie ujrze

tego efektów. Potrzeba pokazania

notatek innej osobie przewa

yła wi

c w ko

cu nad silnym

pragnieniem zachowania wszystkiego tylko dla siebie. Piozo-

126 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
stało jednak pytanie: kto? Kto jest godzien zaufania, kto do-
chowa tajemnicy?
W styczniu 1993 roku, po sze

ciu latach samotnej pracy,

gł

boko zakonspirowany Wiłe

nawi

zał pierwszy kontakt.

Zwrócił si

do profesora Nicka Katza, jednego ze swych kole-

gów na Wydziale Matematyki w Princeton. Katz

wietnie znał

na wielu teoriach wchodz

cych do arsenału

rodków wy-

korzystywanych w dowodzie wzoru na liczb

klas Ideałów. Co

niejsze, wygl

dało na to,

e mo

na mu było bezgranicznie

ufa

; nigdy nie zdradziłby, co Andrew Wiłe

zamierza zrobi

Ta ocena, jak si

pó

niej okazało, była trafna. Nick Katz trzy-

mał j

zyk za z

bami cały czas, przez wszystkie miesi

współpracy z Wilesem, a

do ko

ca przedsi

wzi

cia. Ich

wspólni koledzy w małym matematycznym

wiatku w Prince-

ton nie podejrzewali niczego ani przez chwil

, nawet wówczas,

gdy widzieli obu przyjaciół, wiod

cych gdzie

w k

ciku słyn-

nego Commons Room

ciszone, wielogodzinne rozmowy przy

kawie.
Lecz Andrew Wiłe

nadal si

martwił,

e kto

mógłby

odgadn

ąć

, nad czym wła

nie pracuje. Nie chciał ryzykowa

Uknuł wi

c plan maj

cy na celu ukrycie tego,

e bardzo inten-

sywnie pracuje nad "czym

" wspólnie z Nickiem Katzem.

W wiosennym semestrze 1993 zaoferował nowy wykład mono-
graficzny dla doktorantów, wykład, na który Nick Katz miał
chodzi

jako jeden ze słuchaczy, co pozwoliłoby im obu praco-

wspólnie, nie budz

c podejrze

innych. Tak przynajmniej

powiedział Wiłe

. Doktoranci nie b

mogli podejrzewa

za tre

wykładów kryje si

droga do wielkiego twierdzenia

Fermata, a Wiłe

, przy pomocy swego dobrego przyjaciela Katza,

dzie mógł u

ich mózgów do wyszukiwania ewentualnych

słabych punktów rozumowania.
Pojawiły si

ogłoszenia o wykładzie, którego przedmiotem

miały by

"obliczenia dla krzywych eliptycznych", tytuł wystar-

czaj

co niewinny, by nikt niczego nie podejrzewał. Na pierw-

szych zaj

ciach profesor Wiłe

powiedział,

e celem wykładów

dzie zaprezentowanie i studiowanie pewnej nowej pracy

Matthiasa Flacha, dotycz

cej wzoru na liczb

klas ideałów.

MIR D ACZEL • 127

O Fermacie czy Shimurze nie padło ani jedno słowo; nikt n:le
mógł przeczuwa

, ze wzór na liczb

klas ideałów był kluczo-

wym punktem dowodu wielkiego twierdzenia Fermata. I nilkt
nie miał poj

cia,

e prawdziwym celem wykładów nie bySo

uczenie doktorantów matematyki, lecz umo

liwienie Wileso\-vl

l Katzowi wspólnej l nie budz

cej podejrze

kolegów pracy nead

owym problemem, przy jednoczesnym wykorzystaniu niczego
nie podejrzewaj

cych doktorantów do sprawdzania niektórych

oblicze

Jednak

e po paru tygodniach wszyscy doktoranci stopniowo

opuszczali zaj

cia. Nie mogli dotrzyma

kroku wykładom, kt-ó-

re nie miały jasno okre

lonego celu. Jedynym "studentenn",

który zdawał si

wiedzie

cokolwiek i aktywnie uczestniczmy!

w wykładach, był drugi profesor matematyki, siedz

cy w ławice

obok nich. Tak wi

c po pewnym czasie Nick Katz został jeoiy-

nym słuchaczem. Ale Wiłe

najzwyczajniej w

wiecie kontyn-zi-

ewał wykłady, korzystaj

c z nich, by krok po kroku wypis, a

na tablicy cały swój długi dowód wzoru na liczb

klas ideałó~w,

podczas gdy Nick Katz na kolejnych zaj

ciach sprawdzał pao-

szczególne fragmenty rozumowania.
Wykłady nie ujawniły

adnych bł

dów. Wydawało si

e cflo-

wód wzoru na liczb

klas ideałów działa bez zarzutu, a WiUes

jest na najlepszej drodze do rozwi

zania problemu Fermałta.

I tak, pó

wiosn

roku 1993, gdy wykład zbli

ał si

do kai

ca, Andrew Wiłe

niemal zako

czył sw

prac

. Zmagał si

jesz-

cze tylko z jedn

, jedyn

, ostatni

przeszkod

. Umiał wpra_w-

dzie udowodni

e prawie wszystkie krzywe eliptyczne s

modułowe, lecz kilka z nich nadal wymykało si

z ła

cucha ar-

gumentów. S

dził,

e wkrótce pokona owe trudno

ci l, ogólnie

rzecz bior

c, byt w optymistycznym nastroju. Wiłe

czuł,

nadeszła pora, by porozmawia

z jeszcze jedn

osob

, l tym

samym spróbowa

nieco lepiej zrozumie

ostatni

stój gac

przed nim trudno

ść

. Zwrócił si

c do profesora Petera S.ar-

naka, innego kolegi na Wydziale Matematyki w Princeton
l równie

zobowi

zał go do zachowania tajemnicy. "S

wkrótce doko

dowód wielkiego twierdzenia Fermata" - yo-

wiedział zdumionemu Samakowi.

128 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
"Było to co

niewiarygodnego - wspominał pó

niej Samak. -

Czułem si

osłupiały, rozradowany, wytr

cony z równowagi.

Chc

powiedzie

... pami

tam,

e tamtej nocy po prostu nie

mogłem spa

". Tak wi

c teraz ju

dwóch kolegów próbowało

pomóc Wllesowi w doko

czeniu dowodu. I mimo

e nikt nie

domy

lał si

, nad czym wła

ciwie cała trójka pracuje, przecie

ludzie zacz

li co

zauwa

. A Sarnak, cho

zaklinał si

nikt si

od niego niczego nie dowiedział, przyznał pó

niej, i

i ówdzie poczynił "by

e kilka aluzji..."

Ostatni kawałek układanki
W maju 1993 roku Andrew Wiłe

przesiadywał samotnie przy

biurku. Z wolna ogarniała go frustracja. Wydawało si

e do

schwytania tych kilku wymykaj

cych si

z zarzuconej sieci

krzywych eliptycznych nie zbli

ył si

ani o włos. Najzwyczaj-

niej nie mógł udowodni

e s

modułowe. A przecie

potrze-

bował to potwierdzi

, by wykaza

e wszystkie (semistabilne)

krzywe eliptyczne s

modułowe i tym samym udowodni

wiel-

kie twierdzenie Fermata. Rozwa

enie wi

kszo

ci semistabil-

nych krzywych eliptycznych było samo w sobie wspaniałym
matematycznym wynikiem, ale nie wystarczało do osi

gni

cia

celu. By odrobin

odetchn

ąć

od intensywnych, prowadz

cych

donik

d poszukiwa

. Wiłe

ł po star

prac

wielkiego

mistrza, Barry'ego Mazura z Uniwersytetu Harvarda. Niektóre
odkrycia Mazura w teorii liczb były przełomowe; jego wyniki
Inspirowały wielu ekspertów w tej dziedzinie, w tym Ribeta
l Freya, których prace wytyczyły drog

Wilesowl. Artykuł Ma-

zura, który Wiłe

czytał teraz powtórnie, stanowił rozszerzenie

teorii ideałów, maj

cej swe pocz

tki w pracach Dedekinda

l Kummera, a rozwijanej nast

pnie przez innego dziewi

tna-

stowiecznego matematyka, Ferdinanda Gottholda Eisenstelna
(1823-1852). Eisenstein, mimo

e zmarł młodo, dokonał

w teorii liczb wielkich odkry

. Podobno, Gauss powiedział

kiedy

e było "tylko trzech epokowych matematyków: Archl-

medes, Newton i Eisenstein".

AMIR D. ACZEL • -129
Jedna z linijek w po

conej ideałowi Eisenstelna praacy

Mazura45 przykuła teraz uwag

Wilesa. Mazur najwyra

miej

twierdził,

e mo

na przeł

czy

z jednego zbioru krzywych

eliptycznych na inny. "Przeł

cznik" wykorzystywał liczby

pierwsze. Mazur twierdził,

e gdy si

ma do czynienia z krrzy-

wymi eliptycznymi zwi

zanymi z liczb

trzy, mo

na prze-

kształci

je w taki sposób, by dało si

studiowa

ich wias no-

ci, wykorzystuj

c pi

zamiast trójki. Wła

nie taki'ego

"przeł

cznika" z trójki na pi

potrzebował Wiłe

. Utlcn

w miejscu, nie mog

c udowodni

e krzywe eliptyczne p ew-

nej klasy, zwi

zane z liczb

trzy, s

modułowe. I oto Ma-zur

orzekał,

e wystarczy u

czarodziejskiej ró

ki i zmienia

w krzywe zwi

zane z inn

liczb

pierwsz

, mianowicie z Licz-

ęć

. A owe krzywe zwi

zane z pi

, jak ju

wcze

rniej

Wiłe

udowodnił, s

modułowe. Zatem cała sztuka polegała

na zastosowaniu "przeł

cznika" z trójki na pi

. Wrzucało

do niego sprawiaj

ce kłopoty krzywe eliptyczne zwi

z-ane

z trójk

, a wyjmowało krzywe zwi

zane z pi

, o któr-ych

wiadomo ju

było,

e s

modułowe. Po raz kolejny

wietny

pomysł innego matematyka pomógł Wilesowi obej

ść

prze-

szkod

z pozoru nie do pokonania. Andrew Wiłe

uko

-czył

wreszcie swe dzieło i w dodatku zrobił to w znakomitym mo-
mencie.
W nast

pnym miesi

cu, w czerwcu, jego były promotor JTohn

Coates b

dzie go

cił w Cambridge uczestników konferencjiL po-

conej teorii liczb. Z pewno

przyjad

wówczas wszystkie

matematyczne sławy. Cambridge było rodzinnym miastem- Wl-
lesa; wła

nie tam obronił doktorat. Czy

nie byłoby znakomi-

cie, gdyby przedstawił swój dowód wielkiego twierdzenia Fer-
mata w tym miejscu? Wiłe

prowadził teraz wy

cig z czasem.

Musiał zredagowa

i spisa

cały swój dowód prawdziwo

ść

;! hi-

potezy Shimury-Taniyamy dla semistabilnych krzywych -elip-
tycznych. Wynikało z niego,

e krzywa Freya nie istnieje. S3ioro

nie istnieje krzywa Freya, to nie istniej

rozwi

ąż

; ania

równania Fermata dla n > 2, a zatem wielkie twierdzenie
45 Barry Mazur, op. cit.

130 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Fermata Jest udowodnione. Przepisany na czysto dowód zaj

Wllesowi 200 stron. Sko

czył prac

akurat w por

, by zd

ąż

na samolot do Anglii. I na zako

czenie ostatniego ze swych wy-

kładów na konferencji w Cambridge stan

ł dumnie i zwyci

sko

ród gło

nych braw, reporterów l błysku fleszy.

Co było potem?
Przyszła teraz pora na recenzje. Nowy wynik matematyczny
(a wła

ciwie ka

de odkrycie naukowe) składa si

zwykle do pu-

blikacji w "recenzowanym czasopi

mie". Takie recenzowane cza-

sopisma okre

laj

poziom. Jaki powinny mie

publikowane pra-

ce naukowców. Zadaniem redakcji czasopisma jest wysłanie
przedło

onego materiału do innych specjalistów w odpowiedniej

dziedzinie, którzy oceniaj

zawarto

ść

pracy, sprawdzaj

, czy jest

ona poprawna i czy stanowi godzien opublikowania wkład w na-
uk

. Recenzowane artykuły w czasopismach to w

yciu uniwer-

sytetów l akademii chleb powszedni. Od liczby l jako

ci produ-

kowanych przez uczonego artykułów w recenzowanych
czasopismach zale

żą

stanowiska, profesura, awanse, wreszcie

wysoko

ść

wynagrodzenia ł podwy

ki.

Andrew Wiłe

wybrał Jednak inn

drog

. Zamiast zło

swój dowód do publikacji w profesjonalnym matematycznym
czasopi

mie - co zrobiłby na jego miejscu niemal ka

dy - za-

prezentował go na konferencji. Powody po temu były zapewne
dwojakie. Przez wszystkie lata pracy nad dowodem Wilesowi
towarzyszyła obsesja zachowania tajemnicy. Gdyby zło

ył

dowód w jakim

czasopi

mie, wysłano by go do kilku recen-

zentów wybranych przez redakcj

, a jeden z nich lub który

z redaktorów mógłby co

ujawni

. Wiłe

obawiał si

praw-

dopodobnie,

e kto

, kto przeczytałby zło

ony do publikacji do-

wód, mógłby dokona

kradzie

y i wysła

go do publikacji po-

wtórnie, pod własnym nazwiskiem. To si

, niestety, w

yciu

akademickim zdarza. Drugi powód wi

zał si

z pierwszym.

Wiłe

chciał, by prezentacji dowodu w Cambridge towarzyszyło

narastaj

ce napi

cie i ciekawo

ść

słuchaczy.

AMIR D. ACZEL • 131
Lecz mimo to, mimo zaprezentowania rezultatów na konfe-
rencji, praca Wilesa musiała by

poddana recenzji. Jego Ikole-

dzy po fachu, Inni specjali

ci w dziedzinie teorii liczb, bied

brn

ąć

przez dowód i wpatrywa

linijka po linijce, by

potwierdzi

, czy rzeczywi

cie Wiłe

udowodnił to, co sobi«e za-

mierzył.
Nad przepa

Dwustustronicow

prac

Wilesa wysłano do kilku czoło\-vych

ekspertów w dziedzinie teorii liczb. Niektórzy z nich szybko wy-
razili zaniepokojenie, lecz ogólnie rzecz bior

c matemaatycy

uwa

ali,

e dowód najprawdopodobniej jest poprawny. Trzeba

było jednak poczeka

na werdykt ekspertów. "O tak! - powie-

dział Ken Rlbet, gdy zapytałem go, czy wierzył w prawdzr-wo

ść

dowodu Wilesa. - Nie mogłem zrozumie

tego, co niektórzy

mówili wkrótce po przeczytaniu dowodu, a mianowicie,

*e nie

ma tam

adnego systemu Eulera".

ród ekspertów wybranych do prze

ledzenia dowodu ^Vlle-

sa znalazł si

jego przyjaciel z Princeton, Nick Katz. Przez- dwa

nieprzerwane miesi

ce, lipiec l sierpie

1993 roku, prorfesor

Katz zajmował si

wył

cznie studiowaniem dowodu. Codzien-

nie zasiadał przy biurku i powoli wczytywał si

w ka

linijk

dy matematyczny znaczek, ka

implikacj

, by upe-wni

, czy wszystko ma sens i czy rzeczywi

cie ka

dy czytaj

dowód matematyk zaakceptowałby go bez zastrze

. Ra-z czy

dwa dziennie Katz wysyłał do Wilesa, który tego lata przebywał
poza Princeton, poczt

elektroniczn

cik, pytaj

c: "Co miasz

na my

li w tej i tej linijce, na tej i na tej stronie?" albo "Disacze-

go ta implikacja wynika z poprzedniej? Nie rozumiem". Wiłe

wysyłał swoje odpowiedzi poczt

elektroniczn

albo, je

li trze-

ba było poda

cej szczegółów, faksem.

Pewnego dnia, po przebrni

ciu przez mniej wi

cej dwie trze-

cie długiego maszynopisu Wilesa, Katz napotkał problem.
Z pocz

tku wygl

dało to raczej niewinnie, jak jedna z wielu

kwestii, na które Wiłe

poprzednio odpowiedział ku jego p"ełne-

132 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
mu zadowoleniu. Lecz tym razem stało si

inaczej. W

tpliwo

Katza Wiłe

próbował wyja

korzystaj

c z poczty elektro-

nicznej. Katz jednak musiał wystuka

na swojej klawiaturze

odpowied

: "Nadal tego nie rozumiem, Andrew". Tym razem

Wiłe

wysłał faks, próbuj

c powi

wszystko w logiczn

ca-

ło

ść

. Katz ci

gle nie był przekonany. Co

najzwyczajniej było

nie w porz

dku, dokładnie w miejscu, które Wiłe

i Katz sta-

rannie sprawdzili wiosn

, gdy Wiłe

prowadził swój "wykład".

Wszelkie niejasno

ci i zmarszczki powinny ulec ju

wygładze-

niu, lecz najwidoczniej luka w rozumowaniu Wilesa umkn

ła

uwadze ich obu. Mo

e gdyby doktoranci do ko

ca słuchali wy-

kładów, jeden z nich u

wiadomiłby dwójce matematyków,

Jest nie tak...

Mniej wi

cej w tym samym czasie, gdy Katz znalazł bł

d, in-

ni matematycy w ró

nych miejscach

wiata wychwycili ten

sam kłopotliwy moment w dowodzie Wilesa. Po prostu nie było
tu

adnego systemu Eulera i cała maszyneria nie chciała dzia-

ła

. Bez systemu Eulera, który miał podobno by

uogólnie-

niem wcze

niejszych prac Flacha i Koływagina, trudno mówi

o wzorze na liczb

klas ideałów. Bez wzoru na liczb

klas ide-

ałów nie dawało si

"ustawia

w pary" form modułowych i re-

prezentacji Galois krzywych eliptycznych, a wi

c nie było uza-

sadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy. A skoro nic nie
wiadomo o prawdziwo

ci hipotezy Shimury-Taniyamy, to nie

ma dowodu wielkiego twierdzenia Fermata... Krótko mówi

z powodu luki w systemie Eulera cała konstrukcja waliła si

niczym domek z kart.
Agonia
Zakłopotany, zdenerwowany, zły, sfrustrowany i upokorzony
Andrew Wiłe

wrócił do Princeton jesieni

1993 roku. Obiecał

wiatu dowód wielkiego twierdzenia Fermata, a okazało si

nie jest w stanie go dostarczy

. W matematyce, jak w niemal

dej dziedzinie, nie wr

cza si

nagród pocieszenia; "srebr-

nych medalistów" spotyka zapomnienie. Str

cony ze szczytu

AMIR D. ACZEL • 133
Wiłe

trafił z powrotem na swój strych, próbuj

c poprawie do-

wód. "

ył wtedy jak kto

, kto ukrywa przed

wiatem tajemmlc

- wspominał Nick Katz. - S

e w tej roli musiał si

czu

bardzo niezr

cznie". Pomóc Wllesowi próbowali koledzy, mi

dzy innymi jego były student, Richard Taylor, który mczył
w Cambridge, lecz przybył do Princeton wesprze

Wilesa -^v je-

go próbach załatania dowodu.
"Przez pierwsze siedem lat pracy w całkowitej samotno

cieszyłem si

chwil

- wspominał Wiłe

- bez wzgl

na to, jak trudne czy niemo

liwe z pozoru do pokonania na-

potykałem przeszkody. Teraz jednak przyszło mi upra_wia

matematyk

publicznie, w nazbyt odsłoni

ty sposób; z pew-

nie było to w moim stylu. Nie chciałbym kiedykolwiek

wiadcza

tego powtórnie". Tymczasem przykre do

wiad-

czenia wci

ąż

trwały. Richard Taylor, któremu sko

czył si

urlop naukowy, wrócił do Cambridge, a Wiłe

nadal ni e wi-

dział

wiatła w tunelu. Spojrzenia jego kolegów wyra

ały mie-

szanin

niecierpliwo

ci, nadziel i lito

ci, a jego clerpieni.e do-

strzegali wszyscy dookoła. Ludzie chcieli wiedzie

; ctnciell

usłysze

dobr

nowin

, lecz zapyta

, jak Wiłe

radzi -sobie

z dowodem, nie o

mielał si

nikt. Zarówno jego wydziaH, jak

l cały

wiat zamarli w oczekiwaniu. W nocy 4 grudnia 1993 ro-

ku Wiłe

wysłał poczt

elektroniczn

list do abonentów kom-

puterowej listy adresowej Sci.math, w

ród których bytto te

kilkunastu specjalistów w dziedzinie teorii liczb i innycł-i ma-
tematyków:
Z uwagi na liczne spekulacje w kwestii stanu moich, prac
nad hipotez

Shimury-Taniyamy i wielkim twierdze-niem

Fermata składam krótk

relacj

, jak si

sprawy maj

.. Pod-

czas recenzowania wypłyn

ło kilka problemów; wi

k-szo

ść

z nich została wyja

niona, lecz Jednego nie zdołałenn roz-

strzygn

ąć

... Ufam,

e w niedalekiej przyszło

ci b

w stanie

uko

czy

prac

, wykorzystuj

c pomysły, które omówiłem

podczas wykładów w Cambridge. Mój maszynopis wymaga
jeszcze du

ego nakładu pracy i z tego wzgl

du nie nadaje si

do rozpowszechnienia w postaci preprintu. Podczas wykła-

134 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
dów w Princeton, które rozpoczn

w lutym, przedstawi

mo-

prac

w cało

ci.

Andrew Wiłe

Post niortem
Optymizm Andrew Wilesa był przedwczesny. Zaplanowane na
Uniwersytecie w Princeton wykłady nie przyniosły

adnego

rozwi

zania. Gdy od krótkotrwałego triumfu w Cambridge mi-

ł ponad rok, Andrew Wiłe

bliski był porzucenia wszelkiej

nadziei i zapomnienia o swym kalekim dowodzie.
W poniedziałek rano, 19 wrze

nia 1994 roku, Wiłe

sie-

dział przy swoim zasłanym stertami papierów biurku na Uni-
wersytecie w Princeton. Postanowił,

e zanim ci

nie wszystko

precz i porzuci wszelk

nadziej

, zerknie jeszcze po raz ostat-

ni na swój dowód. Chciał dokładnie zrozumie

, dlaczego nie

mógł skonstruowa

systemu Eulera. Chciał wiedzie

- cho

by dla własnej satysfakcji - dlaczego poniósł pora

; chciał

precyzyjnie okre

w dowodzie ten techniczny szczegół, któ-

ry powodował,

e wszystko si

waliło. Czuł,

e je

li ma si

podda

, to przynajmniej nale

y mu si

wyja

nienie, dlaczego

pomylił.

Wiłe

studiował rozło

one na biurku papiery, koncentruj

bardzo mocno przez niemal dwadzie

cia minut. I wtedy na-

gle zobaczył jak na dłoni, dlaczego dowód nie działa. Zrozumiał
wreszcie, gdzie tkwił bł

d. "To była najwa

niejsza chwila w ca-

łym moim zawodowym

yciu - opisywał pó

niej to uczucie. -

Nagle, zupełnie nieoczekiwanie, naszło mnie to niewiarygodne
objawienie. Nic, co kiedykolwiek jeszcze zrobi

, nie b

dzie

..." W tym momencie głos Wilesa zadr

ał ze wzruszenia,

a w jego oku wezbrała łza.46 To, co Wiłe

zrozumiał w owej

brzemiennej w skutki chwili, było "tak nieopisanie pi

kne, tak

46 Nie jest to literacka metafora; Izy w oczach Wilesa istotnie zarejestrowała
ka-

mera telewizji BBC podczas kr

cenia zdj

ęć

do programu, o którym Autor wspo-

mina w posiowiu (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL - 135
eleganckie l proste... A ja tylko wpatrywałem si

w to, ^ełen

niedowierzania". Wiłe

zrozumiał,

e system Eulera zawodzi

z tej samej przyczyny, dzi

ki której mogłoby zadziała

podej-

cie wykorzystuj

ce horyzontaln

teori

Iwasawy, zaniec-hane

przeze

trzy lata wcze

niej. Długo wpatrywał si

w swoj

i pra-

. Pomy

lał,

e chyba

ni, bo wszystko wygl

dało zbyt pi

nie, by mogło by

prawdziwe. Pó

niej jednak mówił,

e wszyst-

ko wygl

dało zbyt pi

knie, by mogło by

fałszywe. Odisrycle

było tak pot

ęż

ne i tak pi

kne,

e po prostu musiało by

yraw-

dziwe.
Wiłe

spacerował po wydziale przez kilka godzin. Nie wie-

dział, czy to jawa, czy sen. Co pewien czas wracał do swego
biurka, zerkn

ąć

, czyjego fantastyczne znalezisko nadal jest na

miejscu. Było. Poszedł wi

c do domu. Musiał si

przespało; by

e rano odnajdzie w nowym rozumowaniu jak

ąś

luk

. Rok

ycia pod presj

wywieran

przez cały

wiat, rok pełen frustru-

cych, nieudanych prób zachwiał wiar

Wilesa we własn e siły.

Rano wrócił do biurka; niezwykły klejnot znaleziony poprzed-
niego dnia nadal tam był. Po prostu czekał na niego.
Wiłe

przepisał na czysto nowy dowód, oparty na skorygo-

wanym podej

ciu, wykorzystuj

cym horyzontaln

teoric

Iwa-

sawy. Wszystkie kawałki układanki wreszcie znalazły si

swoich miejscach. Podej

cie, którego u

ywał przed trzemsa laty,

było poprawne. Wiedział o tym dlatego,

e droga Flacha i- Koły-

wagina, któr

jednocze

nie próbował kroczy

, zawiodła g^o do-

nik

d. Maszynopis pracy był gotowy do wysyłki. Wiłe

w- rado-

snym nastroju siedział przy klawiaturze swojego komp utera.
Po nitkach paj

czyny Intemetu biegły w

wiat, do innych ma-

tematyków, jednobrzmi

ce wiadomo

ci: "Spodziewaj si

-w naj-

bli

szych dniach przesyłki ekspresowej".

Jak obiecał swemu przyjacielowi Richardowi Taylorow?!, któ-
ry przybył z Anglii specjalnie po to, by pomóc mu popra'wl

je-

go dowód, nowa praca, koryguj

ca sposób wykorzystania teorii

Iwasawy, była podpisana nazwiskami ich obu, cho

faktycznie

Wiłe

otrzymał wynik ju

po wyje

dzie Taylora. W nast

pnych

paru tygodniach matematycy, którzy dostali od Wilesa uzupeł-
nion

wersj

prac z Cambridge, sprawdzali wszystkie szczegó-

136 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
ty. Nikt nie znalazł

adnego bł

du. Wiłe

tym razem skorzystał

ze zwyczajowego sposobu prezentowania wyników matema-
tycznych. Zamiast robi

to samo, co półtora roku wcze

niej

w Cambridge, wysłał obie prace do redakcji profesjonalnego
czasopisma, "Annals of Mathematics"47, gdzie mogły zosta

poddane recenzji Innych matematyków. Recenzje zabrały kilka
miesi

cy, lecz tym razem nie znaleziono

adnych usterek.

Majowy numer "Annals of Mathematics" z 1995 roku zawiera
pierwotn

prac

Wilesa z Cambridge oraz prac

z poprawkami

Taylora i Wilesa.48
Wielkie twierdzenie Fermata mo

na wreszcie zostawi

w spokoju.
Czy Fermat znal dowód?
Andrew Wiłe

opisuje swój dowód Jako "dowód dwudziesto-

wieczny". Wiłe

wykorzystał osi

gni

cia wielu matematyków

XX wieku; spo

ytkował te

jednak prace kilku uczonych

cych wcze

niej. Wszystkie niezliczone elementy monumental-

nej konstrukcji Wilesa istniej

dzi

ki wkładowi innych mate-

matyków. Tak wi

c przeprowadzony przez Wilesa dowód

wielkiego twierdzenia Fermata jest w pewnym sensie osi

gni

ciem sporej grupy matematyków XX wieku, a tak

e ich po-

przedników, którzy zmagali si

z problemem od czasów Fermata.

47 "Annals of Mathematics" uznawane jest powszechnie przez matematyków,
obok szwedzkiego "Acta Mathematica", za najlepsze na

wiecie czasopismo;

opini

potwierdzaj

wyniki indeksu cytowa

(przyp. tłum.).

48 Pierwsza i wa

niejsza z obu prac - Andrew Wiłe

: Modular Elliptic Curves

and Fermat's Last Theorem, "Annals of Mathematics", tom 142 (1995),
s. 443-551 - przytacza na pocz

tku łaci

ski tekst marginesowej notki Fermata

ze sformułowaniem jego twierdzenia: Cubum autem in duos cubos aut

uadrato-

uadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra

quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dwidere: cuius rei demon-
strationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Pierre de
Fermat. Cały nakład "Annals of Mathematics" sprzedano na pniu jeszcze przed
dat

publikacji, a czasopismo po raz pierwszy nało

yło dodatkow

opłat

w wy-

soko

ci 14 dolarów za numer.

AMIR D. ACZEL • 137
Wedle Wilesa, Fermat nie mógł zna

tego dowodu, gdy uimiesz-

czał sw

sławn

notk

na marginesie tłumacze

Badieta.

Cho

by dlatego,

e hipoteza Shimury-Taniyamy nie istailala

przed nadej

ciem XX wieku. Ale czy Fermat nie mógł mle

li innego dowodu?

Odpowied

brzmi: prawdopodobnie nie. Nie wiemy je-dnak

tego na pewno i nigdy wiedzie

nie b

dziemy. Z jednej sLrony,

po zapisaniu swego twierdzenia na marginesie Fermat pn-ze

ył

jeszcze 28 lat i nigdy wi

cej nie wspomniał o tym ani sto wem.

e wi

c wiedział,

e nie potrafi poda

dowodu. Mó-gł te

bł

dnie s

dzi

e metod

spadku, u

przeze

w nie trud-

nym dowodzie dla n = 4, da si

zastosowa

do rozpatrzenia

przypadku ogólnego. A mo

e po prostu zapomniał o twierdze-

niu i zaj

ł si

innymi sprawami.

Udowodnienie twierdzenia w taki sposób, w jaki to w 1-ro

zrobiono w latach dziewi

ęć

dziesi

tych naszego stulecia, wyma-

gało wiedzy matematycznej znacznie szerszej ni

ta, któr

mógł dysponowa

Fermat. Gł

boka natura twierdzenia polega

nie tylko na tym,

e jego historia rozpi

ta jest w czasie nównie

szeroko, jak historia naszej cywilizacji. Ostateczne rozwi

zanie

problemu wymagało zaprz

gni

cia - i w pewnym sensie- zjed-

noczenia - całej pot

gi matematyki. To wła

nie owo zjedmocze-

nie całkowicie z pozoru odmiennych dziedzin umo

liwiło

w ko

cu pokonanie problemu. I mimo

e to Andrew Wił es był

osob

, która wykonała ogromn

, wie

dzieło, kortcow

ęść

pracy nad twierdzeniem, dowodz

c potrzebnej d o jego

uzasadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy, cale przedsi

wzi

cie stało si

udziałem wielu osób. To dzi

ki wkładowi praicy ich

wszystkich rozwi

zanie w ogóle było mo

liwe. Bez prac Emsta

Kummera nie byłoby teorii Ideałów, a bez ideałów nie isttniała-
by praca Barry'ego Mazura. Bez dokona

Mazura nie byłoby

hipotezy Freya, a bez tej kluczowej hipotezy, bez dokonanego
przez Serre'a jej u

lenia, Ribet nie udowodniłby,

e z 1-iipote-

zy Shimury-Taniyamy wynika wielkie twierdzenie Ferrmata.
Wydaje si

wreszcie,

aden dowód wielkiego twi erdze-

nia Fermata nie byłby mo

liwy bez hipotezy, wysi-mi

tej

w 1955 roku na pami

tnym tokijskim sympozjum przez

138 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Od lewej: John Coates, Andrew Wiłe

, Ken Rlbet l Kar! Rubin bezpo

rednio po

historycznym wykładzie Wilesa w Cambridge

tuj

sukces.

Yutak

Taniyam

, a pó

niej udoskonalonej i doprecyzowanej

przez Góro Shimur

. Ale mo

e to nie do ko

ca prawda?

Fermat oczywi

cie nie mógł postawi

równie dalekosi

ęż

nej

hipotezy, spinaj

cej w jedno dwie bardzo ró

ne gał

zie mate-

matyki. Ale sk

d my to wiemy? A mo

e jednak mógł? Nic nie

jest pewne. Potrafimy tylko powiedzie

e twierdzenie zostało

w ko

cu udowodnione, a ka

dy, najmniejszy nawet szczegół

w dowodzie został obejrzany i sprawdzony przez dziesi

tki ma-

tematyków na całym

wiecie. Lecz sam fakt,

e istniej

cy do-

wód jest szalenie zaawansowany i skomplikowany technicznie,
nie oznacza, i

nie mo

na znale

źć

dowodu prostszego. W isto-

cie, Rlbet w jednej ze swoich prac wskazuje kierunek wiod

e do dowodu wielkiego twierdzenia Fermata z pomini

ciem dowodu hipotezy Shimury-Taniyamy. Niewykluczone,

Fermat znał wiele faktów nale

żą

cych do pot

ęż

nej, "współcze-

snej" matematyki, a tylko

lad po tym zagin

ł (kopii dzieł Dio-

fantosa w tłumaczeniu Bacheta, w której przypuszczalnie
umie

cił swój dopisek na marginesie, nigdy przecie

nie odna-

leziono). Czy wi

c Fermat rzeczywi

cie odkrył "prawdziwie cu-

downy" dowód swego twierdzenia, dowód nie mieszcz

cy si

marginesie ksi

ąż

ki, pozostanie na zawsze jego tajemnic

OD AUTORA
Pisz

c t

ksi

ąż

eczk

, zaczerpn

łem wiele wiadomo

ci hi-

storycznych z ró

nych

ródeł. W

ród nich najpesiniej-

szym, najbardziej oryginalnym była moja ulubiona kssi

ąż

E. T. Bella Men of Mathematics (nie podoba mi si

jedm-ak jej

myl

cy, pełen seksizmu tytuł - w

ród bohaterów Bella s

dwie

kobiety; ksi

ąż

ka pochodzi z roku 1937). Najwyra

niej u»ni hi-

storycy matematyki czerpali gar

ciami Informacje z Bellał., wi

nie b

ich tu wymieniał z nazwiska. Wszystkie

ródła s

wy-

mienione w przypisach. Skorzystałem ponadto z artykułów
Jocełyn Savani z Uniwersytetu w Princeton ("Princeton W^eekły
Bulletin", 6 wrze

nia 1993). Dzi

kuj

jej tak

e za przesłamie mi

kopii programu BBC, po

conego wielkiemu twierdzeniu

Fermata.
C. J. Mozzochiemu wdzi

czny jestem za zdj

cia mate-maty-

ków, uczestnicz

cych w tworzeniu dowodu wielkiego twi-erdze-

nia Fermata. Bardzo gor

co dzi

kuj

profesorowi Kennethowi

A. Ribetowi z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley za po-
uczaj

ce wywiady i wiele cennych informacji o jego pracach,

które zostały wykorzystane podczas przeprowadzania dcowodu
twierdzenia Fermata. Gł

boko wdzi

czny Jestem profesorowi

Góro Shimurze z Uniwersytetu w Princeton za po

cony mi

czas l dost

p do niezwykle wa

nych Informacji o jego pracach

140 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
l hipotezie, bez której nie byłoby dowodu wielkiego twierdzenia
Fermata. Dzi

kuj

profesorowi Gerhardowi Freyowi z Uni-

wersytetu w Essen w Niemczech za prowokuj

ce wywiady

l gł

bokie przemy

lenia. Podzi

kowania za tłumaczenie mi

nych poj

ęć

geometrii i teorii liczb nale

żą

profesorowi

Barry'emu Mazurowi z Uniwersytetu Harvarda. Wszelkie bł

dy, które Czytelnik zdoła w ksi

ąż

ce odnale

źć

, s

zawinione wy-

cznie przeze mnie.

Memu wydawcy, Johnowi Oakesowi, dzi

kuj

za zach

l wsparcie. Dzi

kuj

Jill EHyn Riley l Kathryn Belden z wy-

dawnictwa Four Walls Eight Windows. Na koniec wyrazy gł

bokiej wdzi

czno

ci otrzymuje moja

ona, Debra.

INDEKS
Abel, Niels Henrik 66, 82-83
abelowe grupy 83
- rozmaito

ci 83

aksjomaty 37
Al-Chwarizmi. Mohamet Ibn Musa 42
algebra 42-43, 47-50
- abstrakcyjna 77-78
algebraiczne liczby 84
algorytm 42
Ameryka

skie Towarzystwo

Matematyczne 97
analityczne funkcje 63
analiza 67
- numeryczna 71
- zespolona 56, 61-63
Analysis situs (Poincare) 87
.Annals of Mathematlcs" 136
Archimedes 15, 38-40
Archimedesa

ruba 39

Arithmetica (Diofantos) 16, 18-19,41,
50
Ars magna (Cardano) 49
Arystoteles 35
automorflczne formy 88, 104-105
Babilon 21-24
babilo

ski system Uczenia 22-23

Bachet, Ciaude 50
Beli, E. T. 14
Bemoulll, Daniel 53, 54
Bemoulli, Jan 53
Bemoulli, Mikołaj 53, 54
Bessel, Friedrich Wilhelm 63
Bolyai, Janos 77
Bourbakl, Nicolas 93-97, 103
Cantor, Georg31
Cardano, Girolamo 48-49
Cauchy, Augustin Louls 74, 78., 82-83
Chevaller, Auguste 82
ciało liczb zespolonych 61
Coates.John 11, 14, 120, 125,. 129
Conway, John 11
Cossisti (Cossisten) 48-49
Cycero 39
Dedekind, Richard 83-85
Diderot. Denis 55
Dieudonne, Jean 96
Diofantos 16, 19, 40-41, 50
Dirlchlet, Peter Gustav Le)eunee 52,
66-67, 74,84-85
Disquisitione arithmetlcae (Gamss) 60,
66-67, 82
dowód
- hipotezy Freya 119

142 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
- hipotezy Shimuty-TanIyamy
121-130
Dzieje (Herodot) 36
Elsenstein, Ferdinand Gotthold
128-129
Elsenstelna Idea} 114
Elementy (Euklides) 36, 37
Eudoksos z Knidos 15, 38-39
Euklides 36, 37
Euler, Leonard 51, 52-58
Eulera system 125, 132, 134-I3B
Faltings. Gerd 92, 111
Fermat, element Samuel de 16
Fermat, Domlnlque 15
Fermat, Plerre de 14-17, 18, 50, 51,
136-138
Ferro, Scipplone del 49
Fibonacci (Leonardo z Pizy) 43
Fibonacciego liczby (Fibonacciego ci

44-45
Fibonacciego Towarzystwo 46
Fllolaos z Tarentu 33
Flach, Matthlas 124-125, 126
Fourier, Joseph 68-72
Fouriera szeregi 71-72
fourierowska analiza 72
Francuska Akademia Nauk 75
Frey. Gerhard 114-119, 122
funkcje
- analityczne 63
- automorflczne 88, 104-105
- dzeta 103, 104, 105
- okresowe 69-72
- zdefiniowane na plaszczy

nie

zespolonej 62-63
Galols teoria 78-80, 85, 115, 123-124
Galols, Evariste 78-82, 124
Gauss, Cari Friedrich 58-61, 63-66.
67, 88, 84,97,128
genus91-92
geometria
- algebraiczna 43, 114
- arytmetyczna 114
- euklidesowa 37
- nieeuklidesowa 77, 88-89
- pocz

tki 36-37

Germain, Sophle 63-65
grupy macierzowe 88
Guthrie, Francis 57
Helberg, J. L. 40
Herodot 36
Heron II, król Syrakuz 38-39
hipoteza 50
- epsilonowa 121
horyzonatalna teoria Iwasawy 124, 135
ideały 84
Ireland, Kenneth F. 117
Katz, Nick 126-127. 131-132

kometa 65-66
Kronecker, Leopold 31-32
krzywe eliptyczne 97-100, 120
- funkcje dzeta na krzywych
eliptycznych 104-105
- nad ciałem liczb wymiernych
105-106
- przetaczanie 129
- semistabilne 122-130
- zwi

zek z formami modułowymi

99-100,104-105, 106-110,
122-130
Kummer, Emst Eduard 73-76
Lam

, Gabriel 52, 72-73

Lang, Serge 108, 112-113
Lebesgue, Henri 52
Legendre, Adrien-Marie 52, 66
Leibniz. Gottfried Wilhelm von 15
lemat 50
Liber abaci (Fibonacci) 43
Liber quadratorum (Fibonacci) 43
liczby doskonale 27
- idealne 74
- pierwsze nieregularne 75
-urojone 56, 61-66
-wymierne 30-31
Liouville, Joseph 73, 82 ;

INDEKS • 143
Łobaczewski, Mikołaj Iwanowicz 77
Mahomet 42
Marcellus 39
Mazur, Barry 18. 84, 115. 118-119, 129
Mestre.J.-F. 116
metoda spadku 51
- wyczerpywania 38
Mezopotamia 21-24
modułowe formy 63, 88-90, 99-100,
104, 105,106-110, 115
modulowo

ść

Monge, Gaspard 68
Mordell, LoulsJ. 90-92
Mordella hipoteza 92, 111
Newton, Izaak 15
O fculi (walcu (Archimedcs) 40
Olbers. H. W. M. 60-61
Owidiusz 35
Pacioli, Luca 48
Partenon 47
pentagram 23-24
Pitagoras 23, 25-27, 33
Pitagorasa twierdzenie 27-29
pitagorejczycy 28-30, 32-35
pttagorejskie trójki 22-24, 28
Platon 33. 38
ptaszczyzna zespolona 62
Poincare, Henri 85-90, 106
Poisson, Simeon-Denis 80
prawo Archimedesa (pierwsze prawo
hydrostatykl) 39

rachunek całkowy 38
- ró

niczkowy 38

Rlbet, Kenneth 13-14, 115, 116-119,
131.138
równania diofantyczne 41, 97, 114
- trzeciego stopnia 48-49
Samak, Peter 20, 127-128
semistabilne krzywe eliptyczne
122-129
Serre, Jean-Pierre 103, 107-108, 110,
112. 116,121
Shimura, Góro 72, 102, 105-1" 07
Shimury-Taniyamy hipoteza 105-107
-dowód 121-130
Stewart. łan 45
Taniyama, Yutaka 100-105
TartagUa (Fontana Nicolo) 48-°49
Taylor, Richard 133, 137
teoria liczb 60, 65, 115, 117
tetraktys 35
Tokijskie Sympozjum Algebraicznej
Teorii Liczb 102-105
topologia 56, 90
torus91
twierdzenie 37
Well, Andre 95-96, 102, 103,
104-105,108-114, 123
Weila krzywe 111
wielkie twierdzenie Fermata
- Gauss o wielkim twierdzeniu!
Fermata 60-61
- nagrody oferowane za dowócB 75, 76
-notka na marginesie 16. 18-1S, 41, 138
- próby udowodnienia 19-20, 50-52,
72-73.74-76
- twierdzenie Sophie Gennain 64
- zwi

zki z równaniami

diofantycznymi 115
Wiłe

, Andrew 115

- luka w dowodzie 20-21, 13L--136
- wykłady na konferencji w Cambridge
11-14.129-130
- zainteresowanie wielkim
twierdzeniem Fermata 120-122
Wolsfkehia nagroda 76
wzór na liczb

klas ideałów 124-125,

126
zadanie o siedmiu mostach
królewlecklch 56-58
zagadnienie czterech barw 57"
złota proporcja (złoty podział) 33-35,
44-46

NA

CIE

KACH

NAUKI
W 1995 roku w serii ukazały si

Igor Nowikow; Czarne dziury i Wszech

wiat

Marcin Ryszkiewicz: Ziemia i

ycie. Rozwa

ania o ewolucji i ekologii

Roger Highfieid, Pauł Carter: Prywatne

ycie Alberta Einsteina

Frank Drak

, Dava Sobel: Czy jest tam kto? Nauka w poszukiwaniu

cywilizacji pozaziemskich
James D. Watson: Podwójna helisa. Historia odkrycia struktury DNA
Michio Kaku: Hiperprzestrze

. Naukowa podró

przez wszech

wiaty

równoległe, p

tle czasowe i dziesi

ty wymiar

jane Goodal l: Przez dziurk

od klucza. 30 lat obserwacji szympansów

nad potokiem Combe
Jerzy Sikorski: Prywatne

ycie Mikołaja Kopernika

Peter Ward: Kres ewolucji. Dinozaury, wielkie wymierania
i bioró

norodnos

George Gamow: Pan Tompkins w Krainie Czarów
W 1996 roku w serii ukazały si

Leon Lederman, Dick Teresi: Boska Cz

stka. Je

li Wszech

wiat

jest odpowiedzi

, jak brzmi pytanie^

Stanisław M, Ufam: Przygody matematyka
Richard Dawkins: Samolubny gen
John D. Barrow: 71 razy drzwi. Szkice o liczeniu, my

leniu i istnieniu

Harry Y. McSween, Jr.: Od gwiezdnego pyłu do planet.
Geologiczna podró

przez Układ Słoneczny

Jay Ingram: Płon

cy dom. Odkrywaj

c tajemnice mózgu

Lawrence M. Krauss: Fizyka podró

y mi

dzygwiezdnych

CarI Sagan: Bł

kitna kropka. Człowiek i jego miejsce w kosmosie

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Aczel Amir D Wielkie twierdzenie Fermata
Aczel Amir Wielkie twierdzenie Fermata
1990 13 Blokada wielkiej twierdzy
Amir D Aczel Prawdopodobieństwo = 1
Ryszard Rogiński Blokada wielkiej twierdzy
4 PPOO Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne(1)
06 Wyklad 6 cz II Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczneid 6439
06 Wyklad 6. cz. II Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne
Cykl 'Świat Czarownic ~ Wielkie Poruszenie I' tom II 'Morska Twierdza'
Aczel Amir D Prawdopodobieństwo = 1
Krol i jego twierdze Fryderyk Wielki i pruskie fortyfikacje stale w latach 17401786 Podruczny Grzeg
Norton Andre ŚC 3 02 Wielkie Poruszenie Morska Twierdza
5 tydzień, V Niedziela Wielkiego postu C
Tales twierdzenie

więcej podobnych podstron