WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

NA
ŚCIEŻKACH
NAUKI
W 1997 roku w serii ukazały się:
Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki
Rudolf Kippenhahn: Na tropie tajemnic Słońca
Ken Croswell: Alchemia nieba. Opowieść o Drodze Mlecznej,
gwiazdach i astronomach
Francis Crick: Zdumiewająca Hipoteza, czyli nauka w poszukiwaniu
duszy
Robert Zubrin, Richard Wagner: Czas Marsa. Dlaczego i w jaki sposób
musimy skolonizować Czerwoną Planetę
Peter Coveney, Richard Highfieid: Granice złożoności. Poszukiwania
porządku w chaotycznym świecie
Roger Penrose: Makroświat, mikroświat i ludzki umysł
Susan Quinn: Życie Marii Curie
>-^^-sffV^-
W 1998 roku w serii ukazały się:
James Shreeve: Zagadka neandertalczyka. W poszukiwaniu rodowodu
współczesnego człowieka
Donald Goidsmith: Największa pomyłka Einsteina? Stała kosmologiczna
i inne niewiadome w fizyce Wszechświata
Frank E. Manuel: Portret Izaaka Newtona
J. D. Macdougall: Krótka historia Ziemi. Góry, ssaki, ogień i lód
W przygotowaniu:
Michael White, )ohn Gribbin: Darwin. Żywot uczonego
Igor Nowikow: Rzeka czasu

AMIR D. ACZEL
WIELKIE TWIERDZENIE
FERMATA
Rozwiązanie zagadki
starego matematycznego problemu
Przełożył
Paweł Strzelecki
Prószy^ski i ^l<a
Warszawa 1998

Tytuł oryginału
FERMATS LAST THEOREM
Uniocking the Secret
of an Ancient Mathematical
Problem
Copyright(c)1996
by Amir D. Aczel
Ali rights reserved
Projekt okładki
Katarzyna A. jarnuszkiewicz
Zdjęcie na okładce
Science Photo Library/EAST NEWS
Rysunki na podstawie
wydania amerykańskiego
Krzysztof Biatkowski

ISBN 83-7180-655-8
Wydawca
Prószyński i S-ka
02-651 Warszawa,
ul. Garażowa 7
Druk i oprawa
Łódzka Drukarnia Dziełowa
Spółka Akcyjna
ul. Rewolucji 1905 r. nr 45, Łódź

Pierrre de Fermat (1601-1665).

SŁOWO WSTĘPNE
W czerwcu 1993 roku stary przyjaciel z Kalifornii, Tom
Schulte, odwiedził mnie w Bostonie. Siedzieliśmy
w słonecznej kawiarni na chodniku Newburry Street, a przed
nami stały napoje w wysokich, oszronionych szklankach. Tom
przerwał głębokie rozmyślania nad niedawnym rozwodem,
zwrócił się w moją stronę i rzekł: "Przy okazji, właśnie udowod-
niono wielkie twierdzenie Fermata". Pomyślałem, że to na pew-
no jakiś nowy żart, a Tom z powrotem zaczął wpatrywać się
w chodnik.
Dwadzieścia lat wcześniej Tom i ja byliśmy studentami ma-
tematyki na Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i dzielili-
śmy ten sam pokój w akademiku. Wielkie twierdzenie Fermata
było częstym tematem naszych rozmów. Dyskutowaliśmy też
o funkcjach, zbiorach, ciałach i topologii. Kto był studentem
matematyki, nie sypiał wiele, gdyż nasza droga życiowa jeżyła
się wprost od trudności. To właśnie odróżniało nas od studen-
tów większości innych dziedzin. Czasem nawet dręczyły nas
nocą matematyczne koszmary - trzeba było udowodnić to czy
inne twierdzenie, zanim nadejdzie ranek. Ale wielkie twierdze-
nie Fermata? Nikt nigdy nie wierzył, że zostanie udowodnione
za naszego życia. Twierdzenie było tak trudne l tak wielu ludzi
próbowało się z nim zmierzyć przez ponad trzysta lat. Mieliśmy

8 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
też świadomość, że poszukiwania dowodu doprowadziły do
rozwinięcia nowych gałęzi matematyki. Ale próby, jedna za
drugą, wiodły donikąd, a wielkie twierdzenie Fermata stało się
symbolem nieosiągalnego.
Pewnego razu owa aura nieosiągalności i niemożności przy-
niosła ml nawet korzyść. Było to parę lat później, również
w Berkeley, gdy ukończyłem już matematykę i robiłem właśnie
magisterium z badań operacyjnych. Pewien arogant szykujący
doktorat z matematyki, nieświadomy mojego przygotowania
w tej dziedzinie, zaoferował mi pomoc, gdy spotkaliśmy się
w miejscu wspólnego zamieszkania, w International House:
"Zajmuję się matematyką teoretyczną. Gdybyś miał kiedykol-
wiek jakieś zadanie z matematyki, którego nie umiesz rozwią-
zać, wal do mnie jak w dym". Chciał odejść, gdy powiedziałem:
"Hmmm, no tak... Jest coś, w czym mógłbyś mi pomóc..."
Zwrócił się w moją stronę, mówiąc: "Jasne, pokaż, o co cho-
dzi", a Ja na rozpostartej serwetce (byliśmy właśnie w jadami)

napisałem powoli:
x" + y" = z" nie ma żadnych rozwiązań całkowitych
dodatnich, gdy n. jest większe od 2.
"Od wczorajszego wieczoru usiłuję to udowodnić" - powiedzia-
łem, podając mu serwetkę. Widziałem, jak zbladł, a potem
burknął: "Wielkie twierdzenie Fermata". "Tak - odparłem. -
Zajmujesz się matematyką teoretyczną, czy mógłbyś mi po-
móc?" Nigdy więcej nie oglądałem Jego twarzy z bliska.
"Mówię poważnie - powiedział Tom, kończąc drinka. - An-
drew Wiłeś. Udowodnił wielkie twierdzenie Fermata w Cam-
bridge w zeszłym miesiącu. Zapamiętaj to nazwisko, jeszcze
o nim usłyszysz". Wieczorem Tom poleciał z powrotem do Kali-
fornii, a ja w ciągu następnych miesięcy przekonałem się, że
przyjaciel wcale ze mnie nie żartował. Na moich oczach Wiłeś
najpierw był oklaskiwany i wychwalany, potem znaleziono
lukę w jego dowodzie, potem wycofał się i ukrył na rok, by
wreszcie pojawić się znów z poprawionym dowodem. Śledząc tę
niekończącą się opowieść, dowiedziałem się również, że Tom

SŁOWO WSTĘPNE • 9
nie miał racji. Zwracać uwagę należało nie tylko na nazwisko
Andrew Wilesa. Powinienem był - albo raczej powinniśmy byli
wszyscy - wiedzieć, że dowód wielkiego twierdzenia Fermata
wykracza daleko poza pracę jednego matematyka. Na równi
z Wilesem laury należą się także Renowi Rlbetowi, Bany'emu
Mazurowi, Góro Shimurze, Yutace Taniyamie, Gerhardowi
Freyowi i wielu innym. Ta książka opowie Warn całą historię,
także tę zakulisową, rozgrywającą się z dala od świateł sceny
l gazetowego zgiełku. Będzie to także historia intryg, podstępu
oraz zdrady.

Moje wtasne doświadczenia z uprawianiem
matematyki można chyba najlepiej oddać, porów-
nując je do zwiedzania ciemnego gmaszyska.
Wchodzę do pierwszego pokoju; jest ciemno,
zupełnie ciemno. Drepczę w kotko i wpadam
na meble, dowiadując się stopniowo, gdzie są
ustawione. Po jakichś sześciu miesiącach znaj-
duję wyłącznik i naciskam go. Światło zalewa na-
gle wszystko i wreszcie mogę zobaczyć, gdzie je-
stem. A potem wchodzę do następnego ciemnego
pokoju...
Tymi słowami profesor Andrew Wiłeś opisywał swo-
je siedmioletnie poszukiwania matematycznego
świętego Graala.

Tuż przed świtem 23 czerwca 1993 roku profesor John
Conway przyszedł na pogrążony w ciemnościach Wydział
Matematyki Uniwersytetu w Princeton. Otworzył drzwi fronto-
we własnym kluczem i wbiegł szybko po schodach do swojego
gabinetu. W ciągu tygodni poprzedzających wyjazd Jego kolegi,
Andrew Wilesa, do Anglii w światku matematyków uporczywie
krążyły niejasne plotki. Conway oczekiwał więc, że wydarzy się
coś ważnego (nie miał jednak pojęcia co). Włączył swój kompu-
ter l zasiadł do biurka, gapiąc się w ekran. O 5:53 z drugiej
strony Atlantyku nadeszła lakoniczna wiadomość, przesłana

pocztą elektroniczną: "Wiłeś dowodzi WTF".
Cambridge, Anglia, czerwiec 1993
W drugiej połowie czerwca 1993 roku profesor Andrew Wiłeś
poleciał do Anglii. Wracał na Uniwersytet w Cambridge, gdzie
przed dwudziestu laty był doktorantem. Jego ówczesny promo-
tor, profesor John Coates, organizował w Cambridge konferen-
cję poświęconą teorii Iwasawy, o której Wiłeś wiedział bardzo
dużo, jego doktorat bowiem dotyczył tego właśnie fragmentu
teorii liczb. Coates poprosił swego byłego studenta, by zechciał

12 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wygłosić na konferencji krótki, godzinny wykład na wybrany
przez siebie temat. Ku zaskoczeniu jego l pozostałych organi-
zatorów, zazwyczaj nieśmiały i niechętnie przemawiający przed
publicznością Wiłeś zapytał, czy nie mógłby na swe wystąpie-
nie dostać trzech godzin zamiast jednej.
Przybywając do Cambridge, czterdziestoletni Wiłeś wyglądał
jak typowy matematyk: biała koszula z niestarannie podwinię-
tymi rękawami, okulary w grubej, rogowej oprawie, nieporząd-
ne kosmyki rzednących, jasnych włosów. Wiłeś urodził się
w Cambridge l był to dla niego bardzo szczególny powrót do
domu, powrót połączony ze spełnieniem dziecięcych marzeń.
W pogoni za tymi marzeniami Andrew Wiłeś spędził ostatnie
siedem lat życia na własnym poddaszu niemal jak więzień.
Miał jednak nadzieję, że wyrzeczenia, lata zmagań i długie go-
dziny samotności skończą się wkrótce, a on będzie mógł więcej
czasu spędzać z żoną i córkami, których przez siedem lat wła-
ściwie prawie nie widywał. Rzadko pokazywał się na rodzin-
nych obiadach i podwieczorkach, a na kolację zdążał z ledwo-
ścią. Za to teraz czuł, że zbierze wszystkie należne mu laury.
Instytut Nauk Matematycznych sir Izaaka Newtona w Cam-
bridge otwarto niedługo przed przyjazdem profesora Wilesa,
który miał tam wygłosić trzygodzinne wykłady. Instytut jest
przestronny, położony w malowniczym otoczeniu w pewnej od-
ległości od Uniwersytetu w Cambridge. Szerokie przestrzenie
na zewnątrz sal wykładowych wyposażono w miękkie, wygod-
ne krzesła, zaprojektowane z myślą, by panom matematykom
ułatwić nieformalną wymianę pomysłów, a tym samym rozwi-
jać naukę.
Wiłeś, choć znał większość matematyków przybyłych ze
świata na bardzo specjalistyczną konferencję, trzymał się na
uboczu. Gdy kolegów zaciekawiło, dlaczego planuje tak długie
wystąpienie. Wiłeś odpowiadał, że powinni sami przyjść na je-
go wykłady po to, żeby dowiedzieć się, o czym będzie mowa.
Była to tajemniczość niezwykła nawet jak na matematyka.
Wprawdzie przedstawiciele tej profesji często pracują samotnie
nad dowodami twierdzeń i wiadomo powszechnie, że nie są
najbardziej towarzyskimi ludźmi na świecie, ale jednak wyni-

AMIR D, ACZEL • 13
kami swych badań zazwyczaj się dzielą. Rezultaty swej pracy
matematycy rozprowadzają bez ograniczeń w formie tzw. pre-
printów (wydruków wstępnych), zbierając dzięki temu komen-
tarze otoczenia, pomocne później, gdy trzeba nadać ostateczną
formę artykułowi tuż przed opublikowaniem. Ale Wiłeś nie
wręczał preprintów i nie dyskutował o swej pracy. Tytuł jego
wykładów: Formy modułowe, krzywe eliptyczne i reprezentacje

Galois nie pozwalał nawet specjalistom domyślić się, w którą
stronę zmierza autor. W miarę upływu czasu atmosfera gęst-
niała od plotek.
Już pierwszego dnia Wiłeś nagrodził zainteresowanie dwu-
dziestu słuchaczy zebranych w skupieniu na jego wykładzie
nieoczekiwanym l potężnym twierdzeniem, a przecież to byt
dopiero początek. Zostały mu jeszcze dwa wykłady. Co miały
przynieść? Dla wszystkich stało się jasne, że wykłady Wilesa
to miejsce, gdzie należy bywać. Napięcie rosło w miarę gro-
madzenia się w sali wykładowej tłumu wyczekujących mate-
matyków.
Drugiego dnia Wiłeś zwiększył tempo wykładu, przynosząc
ze sobą ponad dwieście stron zapełnionych wzorami i rachun-
kami; formułował nowe twierdzenia i ich długie, abstrakcyjne
dowody. Sala była wypełniona po brzegi. Wiłeś znów nie dał ni-
komu poznać, dokąd właściwie zmierza, pisząc beznamiętnie
kredą po tablicy. Gdy nadszedł czas na przerwę, zniknął z sali.
Następnego dnia, w środę 23 czerwca 1993 roku, odbył się
jego ostatni wykład. Zbliżając się do sali wykładowej. Wiłeś
musiał torować sobie drogę w tłumie. Ludzie stali na zewnątrz,
blokując wejście, a sala pękała w szwach. Wiele osób miało ze
sobą aparaty fotograficzne. Gdy Wiłeś ponownie wypełniał ta-
blicę nie kończącymi się wzorami l twierdzeniami, emocje sięg-
nęły zenitu. "Wykład Wilesa mógł mieć tylko jedną kulminację,
tylko jedno zakończenie" - powiedział ml później profesor Ken
Ribet z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley. Wiłeś koń-
czył ostatnie linijki swego dowodu enigmatycznej i zawiłej hi-
potezy, tzw. hipotezy Shimury-Taniyamy. A potem dopisał
jeszcze jedną, ostatnią już linijkę, zawierającą przeformułowa-
ną wersję twierdzenia sprzed stuleci, wersję, która, jak to udo-

14 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wodnił siedem lat wcześniej Ken Rlbet, wynikałaby z owej hi-
potezy. "I to dowodzi wielkiego twierdzenia Fermata - rzekł
skromnie. - Myślę, że na tym skończę".
Przez moment na sali panowała pełna zdumienia cisza, po-
tem zaś wybuchły spontaniczne gromkie brawa. W błysku
fleszy wszyscy wstawali, by podejść z gratulacjami do rozpro-
mienionego Wilesa. Parę minut później faksy l poczta elektro-
niczna na całym świecie poinformowały o tym, że najsławniej-
szy problem matematyczny wszech czasów został właśnie
rozwiązany.
"Najbardziej nieoczekiwany był potop dziennikarzy, który
zalał nas następnego dnia" - wspominał profesor John Coates,
który zorganizował konferencję, nie mając pojęcia, że będzie
ona sceną tak znamienitych osiągnięć. Na całym świecie posy-
pał się istny grad gazetowych nagłówków, donoszących o nie-
oczekiwanym przełomie. "New York Times" z 24 czerwca
1993 roku obwieszczał na pierwszej stronie: "Nareszcie okrzyk
•eureka!« w sprawie matematycznej tajemnicy sprzed stuleci".
"Washington Post" w dużym artykule nazwał Wilesa "pogrom-
cą matematycznych smoków". Wszędzie opisywano osobę, któ-
ra najwyraźniej rozwiązała problem matematyczny, opierający
się ludzkim wysiłkom przez ponad 350 lat. W ciągu Jednej no-
cy spokojny i ceniący sobie prywatność Andrew Wiłeś trafił na
usta wszystkich.
Pierre de Fermat
Plerre de Fermat byt siedemnastowiecznym francuskim praw-

nikiem, a także miłośnikiem matematyki. Z formalnego punk-
tu widzenia był "amatorem", ponieważ na co dzień wykonywał
zawód prawnika. Niemniej żyjący na początku dwudziestego
wieku znany historyk matematyki, E. T. Beli, trafnie nazwał
Fermata "księciem amatorów". Jego zdaniem Fermat miał
wśród swych osiągnięć więcej ważnych rezultatów niż więk-
szość współczesnych mu "zawodowych" matematyków. Beli
twierdził nawet, że Fermat to najbardziej płodny matematyk

AMIR-D. ACZEL • 15
siedemnastego stulecia; stulecia, które skądinąd było areną
działań kilku najtęższych matematycznych umysłów wszech
czasów.ł
Na trzynaście lat przed urodzeniem slr Izaaka Newtona Fer-
mat rozwinął podstawowe idee rachunku różniczkowego. Było
to Jedno z jego najbardziej oszałamiających osiągnięć. Na ogół
bowiem uważa się, że to Newton oraz współczesny mu Got-
tfried Wilhelm Leibniz stworzyli teorię - zwaną dziś rachun-
kiem różniczkowym i całkowym - pozwalającą na zastosowa-
nie matematyki do opisu ruchu, sił, przyspieszeń, kształtu
orbit ciał niebieskich i innych zjawisk, które podlegają cią-
głym zmianom.
Fermat fascynował się dziełami matematycznymi starożyt-
nych Greków. Być może do swej koncepcji podstaw rachunku
różniczkowego doszedł właśnie podczas studiowania prac kla-
syków matematyki greckiej, Archimedesa i Eudoksosa, żyją-
cych odpowiednio w III i IV wieku p.n.e. Dzieła starożytnych,
dostępne wówczas w łacińskim przekładzie, Fermat czytywał
w każdej wolnej chwili. Jako zdolny prawnik pracował, jeśli
wolno tak powiedzieć, na pełnym etacie, lecz dużo czasu
poświęcał swemu hobby. Pasjonowały go próby uogólniania
dzieła starożytnych i odnajdywanie nowego piękna w ich zapo-
mnianych w ciągu wielu wieków odkryciach. Kiedyś powie-
dział: "Znalazłem bardzo wiele niezmiernie pięknych twier-
dzeń". Owe twierdzenia Fermat miał zwyczaj notować na
marginesach egzemplarzy tłumaczeń starożytnych dzieł, które
do niego należały.
Fermat był synem Dominlque'a Fermata, handlarza skóra-
mi i zarazem drugiego konsula2 w mieście Beaumont-de-Lo-
magne. Matką uczonego była Klara de Long, która pochodziła
z rodziny sędziowskiej. Fermat urodził się w sierpniu 1601 ro-
ku (ochrzczono go 20 sierpnia w Beaumont-de-Lomagne). Ro-
dzice wykształcili go na prawnika. Chodził do szkoły w Tulu-
1 E. T. Beli: Men of Mathematics. Simon and Schuster, Nowy Jork 1937, s. 56.
2 Mianem konsulów w ówczesnej Francji określano m.in. sędziów wybranych
Spomiędzy kupców (przyp. tłum.).

16 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Arichmcticorum Lib. II. 8$
tcrułlloqiudratorum,&Canoaes lidem bić etiam locum hłbebunt, vi mn.f.-
(luuitlł.
O^ASTl O VIII.
PnorOtiTYM qu*draium -T ON oftiS.yficł^^ayym
diu>derc,nduosquadr.(os. l ^^»s^e-n-^yl.^. i-
Impcratum l" vi 16. diuidnur «., .<«-',»-.,,»
in duos quadracos. Ponatur 'Bl»to^» ArtC A?j«» «(/low-
ptimus« O^Oportr- igicur 16 9p«ty»ret(. <^ i*5t>3i*' o 'BCy-rec

- l CL«q">l" e(rc ^"łdrato. JUwifuusfUlLC. ^Ili *Ut ^'a-
Finzo ouadralum a numens . - i i, o i -.'
quo(quot l.bucrit, cum dcfc- ^ "r ^ •'W^-^
cłu tot vnitaium quot conii- «9 ł»>«JMra>. <rĄ»MM r •nfa.y,i-
aet latus ipfiut ic. cfto a » N. ror^onfC*. ^(TU> <AfwnA(i4< n-
- 4. ipfe •gitur qu»dr3ius crit rt5r^<i'w^»»?łrV^^-
4 Q.-<- K. - K N. hxc «qiu- /" - .,- f i. --• , >
bunTur ynkaribu. .< -iCL o/•f(l•'^,/3 ^f* ^•,^W
Comniunisadiiciarur virimquc «<»» i wp»)A)»et tran <ftw»^(»ir
dcfetftus , & a fimilibu* aule- ^> ^,''ir[A«'-»Lł (('łr'] ł«JUia im
r.nturfiHulia. ficntJ Q«qu»- . ir^^-^"? W
lei ic N. & fic i N. 7 Entiei- ^~ ^ /' • ~t '-v-J
cnr altrr quadraionim T:-' . after "»" <aXyn(rtAB ^ Ac^.'»^«"
vcró '.','. & vtriufquc fumma cfl ifwm oyLSKt.fiuia.untC u. y-1 loaf
-.•r fen K. & vterque quidr»tui i^y^ y. ^ ^ww, o ^łfl^c
cft. "•'<! •'«a\ '"•
W •MfŁ'mm. i(a| o py rrr f.KCw
wtfJt.iSm. o A ffAfuwnfJi.iKw, 6 dS) f<So •uim3i'mc moSn u
MSfsiHfAT^HmfWi^ksir.iuu Kt»mi'-^ocw»p<t'y»y<5^.
Notka o wielkim twierdzeniu Fermata w wydaniu Arithmettki Diofantosa, opu-
blikowanym przez syna Fermata, Samuela. Oryginalnego egzemplarza książki
Diofantosa z odręcznym zapiskiem Fermata nigdy nie odnaleziono.
złe, a w 1631 roku, gdy miał trzydzieści lat, został w tym mie-
ście referendarzem. W tym samym roku ożenił się z kuzynką
swej matki, Louise Long. Wkrótce na świat przyszło trzech sy-
nów i dwie córki. Prace ojca opublikował po jego śmierci jeden
z synów, Clernent Samuel, wykonawca testamentu Fermata.
To właśnie z wydanej przez niego i przechowywanej do naszych
czasów książki, zawierającej prace uczonego, znamy sławne
wielkie twierdzenie Fermata. Clement Samuel de Fermat uznał

AMIR D. ACZEL • 17
nagryzmolone na marginesie twierdzenie za fakt ważny i dodał
je do kolejnego wydania Jednego z tłumaczeń starożytnych
dzieł.
Jak wynika z licznych opisów. Fermat wiódł życie spokojne,
stabilne, wolne od nieoczekiwanych i gwałtownych zdarzeń.
Pracował godnie i uczciwie, w roku 1648 został mianowany na
ważne stanowisko radcy królewskiego w parlamencie Tuluzy.3
Piastował Je aż do śmierci w 1665 roku. Biorąc pod uwagę
ogrom pracy Fermata na rzecz Korony Francuskiej, służbę któ-
rą pełnił umiejętnie, sumiennie i z oddaniem, wielu historyków
Jest zadziwionych, że starczało mu jeszcze czasu i sił umysłu
na uprawianie pierwszorzędnej matematyki, i to na dużą ska-
lę. Jeden z ekspertów francuskich sugeruje nawet, że oficjalna
praca Fermata była cenną pomocą w jego matematycznych
studiach, do obowiązku bowiem francuskich radców parla-
mentarnych należało zmniejszenie do minimum liczby nieofi-
cjalnych kontaktów (po to, by uniknąć pokusy łapownictwa
l innych przekupstw). Ponieważ Fermat z pewnością potrzebo-
wał odprężenia po ciężkiej pracy, a życie towarzyskie musiał
ograniczyć, matematyka prawdopodobnie stała się dlań pożą-
danym wytchnieniem. Pomysły związane z rachunkiem róż-
niczkowym nie są bynajmniej jedynym osiągnięciem Fermata.
Dzięki Fermatowi rozkwitła teoria liczb. Ważne miejsce w tej
teorii zajmuje pojęcie liczby pierwszej.
Liczby pierwsze
Liczby jeden, dwa i trzy są liczbami pierwszymi.4 Liczba cztery

nie jest pierwsza, bo jest iloczynem dwóch dwójek: 2x2=4.
Liczba pięć Jest pierwsza. Liczba sześć nie jest pierwsza, ponie-
waż, podobnie jak cztery, jest iloczynem dwóch mniejszych
3 We Francji przed rewolucją 1789 roku nazwa "parlament" oznaczała sąd
(przyp. tłum.).
4 Zazwyczaj przyjmuje się, że liczba l nie jest ani pierwsza, ani złożona - jest to
kwestia dość powszechnie stosowanej umowy, którą być może Czytelnik pamię-
ta ze szkoły (przyp. tłum.).

18 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
liczb: 2x3=6. Siedem jest liczbą pierwszą, osiem nią nie jest
(2x2x2=8), podobnie jak dziewięć (3 x 3 = 9) i dziesięć (2x5
= 10). Ale jedenaście znów jest liczbą pierwszą, ponieważ
oprócz liii nie ma dwóch liczb naturalnych, których iloczyn
byłby równy 11. Tę wyliczankę można przedłużyć: 12 nie jest
liczbą pierwszą, 13 jest, 14 nie jest, 15 nie jest, 16 nie jest, 17
jest l tak dalej. Nie widać tu żadnej wyraźnej struktury. Nie
można, na przykład, powiedzieć, że co czwarta liczba jest
pierwsza; bardziej skomplikowanych prawidłowości też na
pierwszy rzut oka dostrzec się nie da. Ta sprawa fascynuje lu-
dzi od czasów starożytnych. Liczby pierwsze odgrywają w teorii
liczb Istotną rolę l ów brak łatwej do zauważenia struktury po-
woduje, że teoria liczb może się wydawać dziedziną niejednoli-
tą. Z tej samej przyczyny problemy teorii liczb są izolowane
i trudne; ich związki z Innymi gałęziami matematyki wydają
się nie zawsze jasne. Jak powiedział Bany Mazur: "Teoria liczb
produkuje bez wysiłku niezliczone problemy, które wyglądają
słodko i niewinnie jak kuszące kwiatki; mimo to w teorii liczb
aż roi się od owadów, które czekają tylko, by zwabić i ukąsić
miłośników kwiatków, a ci, raz ukąszeni, pobudzani są później
do nadmiernych wysiłków".5
Sławny dopisek na marginesie
Fermata zauroczył czar liczb; odnajdywał w nich piękno l zna-
czenie. Sformułował wiele twierdzeń teorii liczb. Jedno z nich
orzeka na przykład, że każda liczba postaci 22n + l (dwa, pod-
niesione do potęgi o wykładniku równym dwa do potęgi n, do-
dać jeden) jest liczbą pierwszą. Później odkryto, że to twierdze-
nie jest fałszywe. Istnieją bowiem liczby, które spełniają
powyższy warunek, ale nie są pierwsze.
Wśród łacińskich przekładów starożytnych tekstów Fermat
szczególnie upodobał sobie książkę pod tytułem Arithmenca,
s Barry Mazur: Number Theory as Gadfiy, "American Mathematical Monthly"
98 (1991), s. 593.

AMIR D. ACZEL • 19
której autorem był grecki matematyk Diofantos, żyjący w III
wieku naszej ery. Na marginesie swojego egzemplarza dzieła
Diofantosa, obok zadania o rozkładaniu kwadratu liczby na
sumę dwóch kwadratów. Fermat umieścił około 1637 roku na-
stępujący dopisek po łacinie:
Wiadomo, że nie można rozłożyć sześcianu na dwa sześcia-
ny ani bikwadratu na dwa bikwadraty, ani żadnej potęgi,
oprócz kwadratu, na dwie inne potęgi o tym samym wykład-
niku. Odkryłem prawdziwie cudowny dowód tego faktu, jed-
nakże ten margines jest zbyt wąski, by go zmieścić.
To tajemnicze zdanie zapewniło zajęcie wielu pokoleniom ma-
tematyków, próbujących zrekonstruować "prawdziwie cudow-

ny dowód", który rzekomo Fermat znał. Twierdzenie, że choć
niektóre kwadraty liczb całkowitych można przedstawić w po-
staci sumy kwadratów dwóch innych liczb całkowitych (na
przykład, kwadrat piątki, czyli 25, Jest równy sumie kwadratu
czwórki - 16 - i kwadratu trójki - 9), a nie da się tego samego
zrobić z sześcianami ani żadnymi wyższymi potęgami, wygląda
złudnie prosto. W początkach XIX wieku wszystkie inne twier-
dzenia sformułowane przez Fermata były już albo udowodnio-
ne, albo obalone. Do rozstrzygnięcia pozostała tylko ta pozor-
nie niewinna kwestia. Nadano jej nazwę wielkiego twierdzenia
Fermata.6 Czy istotnie było ono prawdziwe? Udzielenie twier-
dzącej odpowiedzi jest w naszym stuleciu zadaniem przekra-
czającym nawet możliwości komputerów. Komputer potrafi
sprawdzać twierdzenie dla bardzo dużych liczb, nie pomoże
jednak w sytuacji, gdy trzeba ustalić prawdziwość czegokol-
wiek dla wszystkich liczb. Można wypróbować miliardy liczb,
a l tak do sprawdzenia pozostanie ich nieskończenie wiele.
Wykładników też jest nieskończenie wiele. Dla uzasadnienia
wielkiego twierdzenia Fermata potrzebny jest matematyczny
dowód.
6 W literaturze anglojęzycznej powszechnie używa się nazwy "ostatnie twierdze-
nie Fermata" (przyp. dum.).

20 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
W XIX wieku akademie nauk we Francji i Niemczech zaofe-
rowały nagrody dla autora dowodu. Od tej pory co roku tysiące
matematyków i nawiedzonych amatorów wysyłało "dowody" do
czasopism matematycznych i wydających osąd ekspertów. Na
próżno.
Lipiec-sierpień 1993:
wykrycie fatalnego przeoczenia
Gdy Wiłeś schodził z podestu przy tablicy w ową pamiętną
czerwcową środę, wśród matematyków panował ostrożny opty-
mizm. Wydawało się, że tajemnica sprzed 350 lat wreszcie
znalazła rozwiązanie. Długi dowód Wilesa, wymagający stoso-
wania skomplikowanych pojęć matematycznych i teorii nie
znanych nie tylko w czasach Fermata, lecz także przed nadej-
ściem XX wieku, musiał być sprawdzony przez niezależnych
ekspertów. Pracę wysłano do kilku czołowych specjalistów.
Być może siedem lat samotnych wysiłków w pustelni na stry-
chu miało się wreszcie Wilesowi opłacić. Ale radość trwała
krótko: po paru tygodniach w rozumowaniu Wilesa wykryto
lukę. Próbował ją załatać, ale luka nie chciała tak po prostu
zniknąć. Peter Samak, matematyk z Princeton l bliski przyja-
ciel Wilesa, obserwował jego codzienne, pełne udręki zmagania
z dowodem, który dwa miesiące wcześniej został pokazany
w Cambridge całemu światu. "Było to tak, jakby Andrew pró-
bował ułożyć w pokoju za duży dywan - tłumaczył Samak. -
Naciągał go i dywan świetnie pasował z Jednej strony pokoju,
ale po drugiej stronie właził na ścianę; szedł więc tam i ściągał
go w dół, a dywan wybrzuszał się w innym miejscu. Stwierdze-
nie, czy dywan ma rozmiar dopasowany do pokoju, czy nie,
przekraczało jego możliwości". Wiłeś wrócił na swój strych,
a reporterzy "New York Timesa" i inni przedstawiciele mediów
pozostawili go sam na sam z Jego zadaniem. Ponieważ czas
płynął, a dowodu nie było, matematycy (i nie tylko) zaczęli się
zastanawiać, czy w ogóle wielkie twierdzenie Fermata jest
prawdziwe. Wiłeś zdołał wprawdzie na chwilę przekonać świat,

AMIR D. ACZEL • 21
że posiadł cudowny dowód, lecz oto nagle ów dowód stał się
nie bardziej rzeczywisty niż nie mieszczący się na zbyt wąskim
marginesie, "prawdziwie cudowny dowód" samego Fermata.
Między Tygrysem i Eufratem,
około 2000 roku p. n. e.
Historia wielkiego twierdzenia Fermata jest o wiele starsza niż
jego autor. Jest nawet starsza niż Diofantos, którego prace
Fermat próbował uogólniać. Początki tego nieskomplikowanie
wyglądającego, a mimo to głębokiego twierdzenia są równie
stare jak ludzka cywilizacja. Ich korzenie sięgają kultury epoki
brązu, która rozwinęła się na żyznych terenach między Tygry-
sem i Eufratem, w starożytnym Babilonie (dziś Jest to teren
Iraku). I chociaż wielkie twierdzenie Fermata jest abstrakcyjne
l nie ma żadnych zastosowań w nauce, technice czy matema-
tyce - nawet w teorii liczb, swej kolebce - rodowód tego twier-
dzenia wiąże się z codziennym życiem ludu, który zamieszki-
wał Mezopotamię około 2000 roku p.n.e.
Okres pomiędzy 2000 a 600 rokiem p.n.e. w dolinie Mezo-
potamii można nazwać erą państwa babilońskiego. Był to
czas zadziwiającego rozwoju kulturowego, o czym świadczy
m.in. stosowanie pisma, użycie koła i początki metalurgii. Do
nawadniania wielkich połaci ziemi między dwiema rzekami
wykorzystywano system kanałów. W miarę rozkwitu cywiliza-
cji w żyznej dolinie Babilonu, zamieszkujący tamte niziny
starożytny lud nauczył się prowadzić handel i budować mia-
sta, takie jak Babilon czy Ur (w którym urodził się biblijny
Abraham). Prymitywne formy pisma rozwinęły się zarówno
w Mezopotamii, jak i w dolinie Nilu znacznie wcześniej, bo już
w końcu czwartego tysiąclecia przed naszą erą. W obfitującej
w glinę Mezopotamii znaki w kształcie klinów wyciskano
trzcinowym rylcem na glinianych tabliczkach, które później
wypalano w piecu lub zostawiano, by stwardniały na słońcu.
Od kształtu znaków na tabliczkach pochodzi nazwa "pismo
klinowe". Pismo klinowe jest najstarsze wśród wszystkich

22 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
znanych odmian pisma, jakich kiedykolwiek używano na
świecie.
Rozwój handlu i budownictwa w Babilonie oraz starożytnym
Egipcie przyniósł zapotrzebowanie na dokładne pomiary. Uczeni
obu tych społeczeństw epoki brązu wiedzieli, jak oszacować sto-
sunek obwodu kota do jego średnicy. Posługiwali się w tym celu
liczbą bliską tej, którą dziś nazywamy n. Budowniczowie potęż-
nego zigguratu, biblijnej wieży Babel l wiszących ogrodów Seml-
ramidy, jednego z siedmiu cudów starożytnego świata, musieli
znać sposoby obliczania pola powierzchni i objętości.
Bogactwo mierzy się w jednostkach
kwadratowych
W Babilonie rozwinięto dość skomplikowany system Uczenia,
o podstawie sześćdziesiąt. Dzięki temu babilońscy inżyniero-
wie i budowniczowie mogli obliczać wielkości niezbędne w ich
codziennej pracy. Choć nie widać tego na pierwszy rzut oka,
kwadraty liczb pojawiają się w życiu w naturalny sposób. Moż-
na powiedzieć, że kwadraty liczb przedstawiają bogactwo. Dla-
czego? Otóż los rolnika zależy od ilości zebranych plonów. Plo-

ny zależą z kolei od powierzchni, na której rolnik może siać.
Pole powierzchni to iloczyn długości i szerokości obsiewanego
zagonu - tu właśnie pojawiają się kwadraty. Zagon o szeroko-
ści i długości równej a ma pole powierzchni równe "a-kwadrat"
(a2). Zatem, przynajmniej w tym sensie, bogactwo mierzy się
w jednostkach kwadratowych.
Babilończycy chcieli wiedzieć, kiedy można otrzymać kwa-i
drat liczby całkowitej, dodając kwadraty innych liczb całkowi-
tych. Rolnik, który miał jedno pole o powierzchni dwudziestu
pięciu jednostek kwadratowych, mógł wymienić Je na dwa pola
w kształcie kwadratu: jedno liczące szesnaście jednostek kwa-
dratowych i drugie, mające dziewięć jednostek kwadratowych.
Zatem pole pięć na pięć jednostek było warte tyle, co dwa pola:
Jedno cztery na cztery i jedno trzy na trzy. Ta ważna Informacja
pomagała w rozwiązywaniu praktycznych zagadnień. Dzisiaj za-

AMIR D. ACZEL • 23
pisalibyśmy ten związek w postaci równania: 52 = 42 + 32.
Trójki takich liczb naturalnych, jak 3, 4 i 5, których kwadraty
spełniają ów związek, nazywamy trójkami pitagorejskimi na
cześć legendarnego greckiego matematyka. Pitagorasa, choć
wiadomo, że Babilończycy znali takie trójki Już ponad tysiąc
lat przed urodzeniem sławnego uczonego. Przekonuje nas
o tym niezwykła gliniana tabliczka, pochodząca mniej więcej
z 1900 roku p.n.e.
Plimpton 322
Babilończycy mieli na punkcie tabliczek swego rodzaju obse-
sję, a dzięki prostej technologii pisma klinowego i obfitości gli-
ny mogli ich stworzyć wiele. Glina jest surowcem dość trwałym
l dlatego wiele tabliczek zachowało się aż do naszych czasów.
Podczas wykopalisk prowadzonych tylko w jednym miejscu,
w starożytnym Nippur, odnaleziono ich ponad pięćdziesiąt
tysięcy. Dziś znajdują się one w zbiorach muzeów w Yale,
Columbia i na uniwersytecie w Pensylwanii. Wielu z tych tabli-
czek nikt jeszcze nie przeczytał i nie rozszyfrował. W muzeal-
nych piwnicach zaczyna pokrywać je kurz.
Wśród odczytanych tabliczek na szczególną uwagę zasłu-
guje tabliczka, zwana Plimpton 322, znajdująca się w mu-
zeum Uniwersytetu Columbia. Na całą jej zawartość składa
się piętnaście trójek liczb. Pierwsza liczba każdej trójki Jest
pełnym kwadratem, a zarazem sumą dwóch pozostałych liczb
danej trójki, które też są pełnymi kwadratami. Zatem tablicz-
ka Plimpton 322 zawiera kwadraty liczb, tworzących piętna-
ście trójek pitagorejsklch.7 Są wśród nich m.ln. liczby
25 = 16 + 9, odpowiadające najprostszej trójce pitagorej sklej
(5, 4, 3), a także 169 = 144 + 25, czyli 132 = 122 + 52. Na py-
7 Uwagę społeczności naukowej na tabliczkę Plimpton 322 i zaawansowany
poziom matematyki babilońskiej zwrócił w 1934 roku Otto Neugebauer. Do-
kładniejszy opis tych kwestii w języku polskim można odnaleźć np. w pracach:
Marek Kordos: Wykłady z historii matematyki. WSiP, Warszawa 1994; Historio
matematyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975.

24 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Fot. Columbia University. Rare Books and Manuscript Library.
tanie, z jakich powodów starożytni Babilończycy interesowali

się akurat tymi liczbami, historycy nie udzielają zgodnych
odpowiedzi. Jedna z teorii głosi, że to zainteresowanie było
podyktowane czysto praktycznymi względami; argumentuje
się w niej, że Babilończykom do obliczeń w systemie sześć-
dziesiątkowym wygodniej było używać liczb całkowitych niż
ułamków, a ładne, pełne kwadraty liczb całkowitych przyda-
wały się do rozwiązywania praktycznych zadań. Inni eksperci
sądzą, że zainteresowanie kwadratami liczb całkowitych mog-
ło być po prostu przejawem zwykłej ciekawości. Niezależnie
od motywów, wydaje się, że tabliczka Plimpton 322 mogła słu-
żyć - jako swego rodzaju pomoc dydaktyczna - do tłumacze-
nia uczniom rozwiązań zadań, w których występowały kwa-
draty liczb całkowitych. Babilończycy bowiem nie rozwijali
ogólnych teorii rozwiązywania takich zadań, lecz tworzyli ta-
bliczki z listami trójek odpowiednich liczb, a zadaniem
uczniów było opanowanie sposobu ich odczytywania i wyko-
rzystywania.

AMIR D, ACZEL • 25
Starożytne sprzysiężenie czcicieli liczb
Pitagoras urodził się około 580 roku p. n. e. na greckiej wyspie
Samos.8 Zjeździł starożytny świat wzdłuż i wszerz; odwiedzał
Babilon, Egipt, może nawet Indie. Podczas swych podróży do
Babilonu Pitagoras nawiązał kontakty z tamtejszymi mate-
matykami i dowiedział się o badaniach liczb, które później
nazwano na jego cześć trójkami pitagorejskimi, a które znane
były wówczas babilońskim uczonym od ponad 1500 lat.
Pitagoras spotkał też twórców wspaniałych dzieł sztuki,
a matematyczne aspekty cudów architektury niewątpliwie
nie uszły jego uwadze. Zetknął się również z filozofią i religia-
mi Wschodu.
Po powrocie do Grecji opuścił wyspę Samos i przeniósł się
do leżącej na podeszwie "włoskiego buta" Krotony. Zwróćmy
uwagę na ciekawostkę: Pitagoras zapewne widział większość
z siedmiu cudów świata. Jeden z nich, świątynia Hery, znajdo-
wał się na jego rodzinnej wyspie Samos. Ruiny wspaniałej
świątyni - do dziś zachowała się tylko jedna samotna kolum-
na, która ocalała spośród setek Innych - sąsiadują obecnie
z nowoczesnym miastem Pythagorion, nazwanym tak na cześć
znamienitego obywatela wyspy. Po drugiej stronie cieśniny,
kilka mil na północ wzdłuż brzegu, na terenie dzisiejszej Turcji
stała ongiś świątynia Artemidy w Efezie. Kolos Rodyjski znaj-
dował się o parę kroków na południe od Samos; w Egipcie Pi-
tagoras widział tamtejsze piramidy i Sfinksa, a w Babilonie uj-
rzał niewątpliwie wiszące ogrody Semiramidy.
Południowa część Półwyspu Apenińskiego, w tym Krotona,
w której osiedlił się Pitagoras, była w owym czasie częścią tzw.
Magna Graecia, czyli Wielkiej Grecji, obejmującej swym zasię-
giem liczne kolonie rozrzucone na wybrzeżach wschodniej czę-
ści basenu Morza Śródziemnego. Jedną z takich kolonii stano-
8 Istnieją wprawdzie starożytne biografie Pitagorasa, na przykład pióra Dioge-
nesa Laertiosa, lecz nie ma pełnej zgody co do tego, czy Pitagoras naprawdę
jest postacią historyczną; Arystoteles uważał Pitagorasa jedynie za personifika-
cję idei pitagorejskiej (przyp. tłum.).

26 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

wiła później Aleksandria - potomkowie ludności etnicznie
greckiej przetrwali w niej do początków wieku dwudziestego.
Niedaleko Krotony położone były Jaskinie licznych wyroczni,
w tym stawnej wyroczni delficklej, przepowiadającej (czy traf-
nie, to inna sprawa) losy ludzi i narodów.
Wszystko jest liczbą
Na jałowych, kamienistych, skąpanych w bezlitosnym słońcu
terenach Półwyspu Apenińskiego Pitagoras założył tajemny
związek, którego celem stało się studiowanie własności liczb.
Zgodnie z popularnym poglądem członkowie tego związku,
tak zwani pitagorejczycy, stworzyli - pracując w głębokiej ta-
jemnicy - solidny kawał matematycznej wiedzy. Uważa się, że

AMIR D. ACZEL • 27
pitagorejczycy wyznawali doktrynę intelektualną, którą dobrze
streszcza ich motto: "wszystko jest liczbą". Różne liczby, obda-
rzone wedle pitagorejczyków cechami magicznymi, były dla
nich przedmiotem swoistego kultu. W kręgu zainteresowań
pitagorejczyków znalazły się m.in. liczby "doskonałe", pojawia-
jące się także w badaniach uczonych średniowiecza i w mistycz-
nej żydowskiej Kabale. Liczba doskonała to liczba naturalna,
która jest sumą wszystkich (nie licząc jej samej) swych dzielni-
ków. Najprostszy przykład stanowi szóstka, która jest iloczy-
nem trójki, dwójki i jedynki; w dodatku są to jej wszystkie (nie
licząc jej samej) dzielniki. Mamy więc 6 = 3 x 2 x l. Zauważmy
jednak, że jeśli - zamiast mnożyć - dodamy te liczby, to wynik
się nie zmieni: 6=3+2+ l. To zaś oznacza, że szóstka jest licz-
bą doskonałą. Inną liczbą doskonałą jest 28, której dzielnikami
są l, 2, 4, 7 i 14; łatwo sprawdzić, że 28 = l + 2 + 4 + 7 + 14.
Pitagorejczycy wiedli ascetyczny tryb życia, pełen rozlicz-
nych obwarowań i zasad. Nie Jedli na przykład bobu, gdyż, ich
zdaniem, swym kształtem przypominał jądra. Ich zaabsorbo-
wanie liczbami miało charakter religijny; na religijnych pod-
stawach także opierał się rygorystycznie przez nich przestrze-
gany ścisły wegetarianizm. Nie znamy wprawdzie żadnych
dokumentów pisanych z czasów Pitagorasa, lecz wiele nieco
późniejszych źródeł starożytnych przedstawia dzieło mistrza
l jego uczniów, a sam Pitagoras uznawany jest za jednego
z największych matematyków starożytnych. Przypisuje mu się
odkrycie twierdzenia, zwanego dziś twierdzeniem Pitagorasa,
mówiącego o kwadratach długości boków trójkąta prostokąt-
nego. Ma ono ścisły związek z trójkami pitagorejskimi, a po-
średnio wiąże się też z młodszym o dwa tysiąclecia wielkim
twierdzeniem Fermata.
Kwadrat przeciwprostokątnej Jest równy
sumie kwadratów pozostałych boków...
Samo twierdzenie znane było zapewne już w Babilonie, Babl-
lończycy bowiem wiedzieli o istnieniu trójek pitagorejsklch.

28 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Y2
Sformułowanie ogólnego zagadnienia geometrycznego, które
ma sens nie tylko wtedy, gdy długości boków są Liczbami natu-
ralnymi, przypisuje się jednak pitagorej czy koma. Twierdzenie

Pitagorasa (proszę spojrzeć na rysunek powyżej) głosi, że kwa-
drat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadra-
tów długości przyprostokątnych.
Gdy długość przeciwprostokątnej Jest liczbą maturalną (na
przykład równą 5), to może się zdarzyć tak, że wśród dopusz-
czalnych przez twierdzenie Pitagorasa długości przyprostokąt-
nych znajdziemy parę liczb naturalnych (dla pi-ątki rzeczywi-
ście tak Jest - wystarczy wziąć trójkę i czwórkę). Innymi słowy,
jeśli długości boków trójkąta prostokątnego są l iczbami natu-
ralnymi, to tworzą trójkę pitagorejską (i być moż=e znajdują się
na tabliczce Plimpton 322, chociaż nie jest to takie pewne,
albowiem różnych trójek pitagorejskich Jest niesl-esńczenie wie-
le, a więc dużo więcej niż na sławnej tabliczce, która zawiera
ich zaledwie 15).

AMIR D. ACZEL • 29
000

0
0
0
0

0 0

0
0
0

0

0
0

0

Nawiasem mówiąc, pitagorejczycy wiedzieli także, że kwa-
draty liczb naturalnych są sumami kolejnych liczb nieparzy-
stych: 22 = 4 = l + 3; 32 =9=1+3+5; 42 = 16 =1+3+5+7
itd. Ilustrowali tę prawidłowość, rysując kółka układające się
w kwadratowy wzór. Gdy dołożymy nieparzystą liczbę kółek,
umieszczając je wzdłuż dwóch sąsiednich boków kwadratu,
powstanie nowy kwadrat.
Liczby naturalne, wymierne i co jeszcze?
Liczby całkowite, a także liczby wymierne (to znaczy liczby ta-
kie, jak 1/2, 1/3, 5/8, 147/1769 itp.) znane były w starożyt-
ności zarówno w Egipcie, jak i Babilonie. Pitagorejczycy odkry-
li, że istnieją jeszcze liczby niewymierne - nie można ich
zapisać w postaci ułamka o liczniku i mianowniku natural-

nym, zaś ich rozwinięcia dziesiętne składają się z nieskończe-
nie wielu chaotycznie, nieokresowo rozmieszczonych cyfr. Licz-
bą niewymierną j est na przykład liczba K = 3,141592653...,
która wyraża stosunek obwodu koła do jego średnicy. W uło-
żeniu nieskończenie wielu cyfr, tworzących rozwinięcie dzie-
siętne liczby TI, nie widać żadnej regularności; wypisanie tych
wszystkich cyfr zajęłoby całą wieczność. Oszczędzamy cenny

30 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
czas, używając jako symbolu greckiej litery n. Możemy też po-
służyć się przybliżeniem, wypisując skończoną liczbę cyfr po
przecinku. W tej chwili, dzięki zastosowaniu komputerów,
znamy ich miliony, a nawet miliardy, choć do większości
praktycznych celów wystarczy kilka początkowych.
Różne przybliżenia liczby TC znane były już Egipcjanom i Ba-
bilonczykom w drugim tysiącleciu przed naszą erą. Zaintereso-
wanie tą liczbą wiąże się w naturalny sposób z wynalezieniem
kota. Przyjmowano, że n to nieco więcej niż 3. Co ciekawe, licz-
ba 7t oddaje też niektóre proporcje piramidy Cheopsa. Niejaw-
ną wzmiankę o n odnajdzie też uważny czytelnik Pierwszej
Księgi Królewskiej Starego Testamentu (l Kri 7, 23), śledząc
zawarty tam opis budowy kolistego zbiornika na wodę. Z poda-
nych wartości obwodu i średnicy możemy wnioskować, że
przyjęta przez Izraelitów wartość n równała się, z grubsza bio-
rąc, trzy.
Pitagorejczycy odkryli, że pierwiastek z dwóch jest licz-
bą niewymierną. Stosując twierdzenie Pitagorasa do trój-
kąta prostokątnego o dwóch bokach jednostkowej długo-
ści, stwierdzili, że długość przeciwprostokątnej takiego
trójkąta wyraża się dziwną liczbą: jej kwadrat jest równy
dwójce. Potrafili precyzyjnie wykazać, że nie jest to ani licz-
ba całkowita, ani też ułamek (mówiąc ściślej: iloraz dwóch
liczb naturalnych). Cyfry rozwinięcia dziesiętnego pierwiast-
ka z dwóch nie powtarzają się w żaden regularny spo-
sób. Podobnie jak w przypadku TI, wypisanie wszystkich
cyfr rozwinięcia trwałoby całą wieczność, tworzą bo-
wiem one nieskończony, jedyny w swoim rodzaju ciąg, w ni-
czym nie przypominający ciągu takiego jak na przykład:
1,8571428571428571..., który przecież łatwo możemy do-
kładnie opisać, nie wymieniając wcale jego wszystkich cyfr.
Każda liczba, która ma okresowe rozwinięcie dziesiętne
(w naszym przykładzie okres stanowi powtarzająca się zbit-
ka sześciu cyfr 857142), jest liczbą wymierną, czyli ilorazem
dwóch liczb naturalnych a l b, a to znaczy, że możemy
ją zapisać w postaci ułamka a/bo naturalnym liczniku
l mianowniku. Na przykład iloraz 13/7 jest równy liczbie

AMIR D. ACZEL • 31
1,8571428571428571... - sześciocyfrowy ciąg 857142 po-
wtarza się po przecinku w nieskończoność.
Odkrycie niewymiemości pierwiastka z dwóch było dla pita-
gorejczyków - zagorzałych wielbicieli liczb - nieprzyjemną nie-
spodzianką. Zaprzysięgli, że nie podzielą się tą wiadomością
z nikim, kto nie byłby członkiem ich związku. Tajemnicy nie
udało się Jednak zachować. Jedna z legend głosi, że zdrajcę,
który ujawnił światu sekret istnienia dziwnych liczb niewy-
miernych, Pitagoras skazał na śmierć przez utopienie i sam

wykonał wyrok.
Na osi liczbowej znajdują się liczby dwóch rodzajów: wy-
mierne i niewymierne. Razem wypełniają one oś liczbową
szczelnie, nie pozostawiając najmniejszej dziurki. Liczby roz-
mieszczone są w bardzo, bardzo małych (nieskończenie ma-
łych) odstępach. Mówi się, że ułożenie liczb niewymiernych
wśród liczb rzeczywistych jest gęste. Oznacza to, że każdy,
choćby i najmniejszy, odcineczek osi liczbowej zawiera liczby
niewymierne. Co więcej, w każdym dowolnie małym otoczeniu
każdej liczby wymiernej jest nieskończenie wiele liczb niewy-
miernych, a w każdym dowolnie małym otoczeniu liczby nie-
wymiernej jest nieskończenie wiele liczb wymiernych. Mówiąc
nieco inaczej, oba podzbiory osi liczbowej - a więc liczby
wymierne i liczby niewymierne - są nieskończone i bardzo do-
kładnie nawzajem przemieszane. Okazuje się jednak, że nie-
skończoności mogą być różne, a liczb niewymiernych jest
w pewnym sensie nieporównywalnie więcej niż wymiernych.
W latach siedemdziesiątych XIX wieku udowodnił ten fakt
niemiecki matematyk Georg Cantor (1845-1918), który stwo-
rzył naukę o własnościach zbiorów, tzw. teorię mnogości.
Z początku niewiele osób było skłonnych dać wiarę jego od-
kryciom. Autora teorii, pozwalającej określić, ile jest liczb wy-
miernych, a ile niewymiernych, wyszydzał i ośmieszał jego ar-
cywróg, Leopold Kronecker (1823-1891), znany ze swego
stwierdzenia: "Liczby naturalne stworzył dobry Bóg, reszta zaś
Jest dziełem człowieka". Miało to znaczyć, że liczby niewymier-
ne, takie Jak choćby pierwiastek z dwóch, nie istnieją napraw-
dę, lecz są jedynie idealnymi tworami naszej wyobraźni. Przy-

32 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Między dwiema dowolnymi liczbami wyinierryinl
leży Jakaś liczba niewymierna.
i t U
o i ? 1 n 2
Liczby wymierne to ułamki o całkowitym liczniku l mianowniku.
pomnijmy: rzecz działa się ponad dwa tysiące lat po odkry-
ciach pitagorejczyków! Oskarża się czasem Kr-oneckera o to,
że z powodu jego wrogości Cantor nie objął prestiżowej profe-
sury na Uniwersytecie Berlińskim i ostatecznie, po licznych
załamaniach nerwowych, skończył w przytułku dla obłąka-
nych. Dziś wszyscy matematycy przyznają rację Cantorowi
l zgodnie twierdzą, że chociaż oba zbiory, liczb wymiernych
l liczb niewymiernych, są nieskończone, to dr-ugi z nich jest
nieskończenie wiele razy większy. Lecz czy starożytni Grecy to
wszystko wiedzieli?9
Pitagorejskie dziedzictwo
Ważnym aspektem pitagorej sklej doktryny, ob ok uwielbienia
liczb, nakazów przestrzegania odpowiedniej ddiety oraz owia-
nych nimbem tajemnicy spotkań i rytuałów, było także uzna-
nie studiów filozoficznych i matematycznych za moralny obo-
wiązek i cel życia. Niektórzy twierdzą, że słowa "filozofia" (czyli
umiłowanie mądrości) i "matematyka" (pochodź ące od greckle-
9 Cantor w istocie poszedł dużo dalej i postawił hipotezę, że- nie istnieje żaden
zbiór, który miałby istotnie więcej elementów niż zbiór liczb* wymiernych i jed-
nocześnie istotnie mniej niż zbiór liczb niewymiernych. To zdanie nosi nazwę hi-
potezy continuum. W 1963 roku Pauł Cohen udowodnił niezależność hipotezy
continuum. Oznacza to, że można bez obaw dołączyć ją do i nnych aksjomatów
teorii mnogości albo - równie dobrze - można przyjąć za p ewnik, że hipoteza

continuum jest fałszywa. Istnienie takich alternatywnych matematycznych
światów pozostaje jednym z najdziwniejszych faktów podsta-w matematyki.

AMIR D, ACZEL • 33
go mathem, co znaczy "uczyć się" lut) "wiedzieć") utworzył sam
Pitagoras, który zgłębianie wiedzy matematycznej traktował ja-
ko swego rodzaju dążenie do wolności i poznania harmonii
świata.
Pitagoras zmarł około 500 r. p.n.e., nie pozostawiając po so-
bie żadnych dzieł utrwalonych na piśmie. Szkoła w Krotonie
uległa zniszczeniu, gdy grupa, rywalizująca z pitagorej czykaml
o polityczne wpływy, podczas niespodziewanego napadu wy-
mordowała większość członków tej szkoły filozoficznej. Nielicz-
ni, którzy zdołali ocaleć, rozproszyli się po ówczesnym greckim
świecie wokół basenu Morza Śródziemnego, zabierając ze sobą
swą filozofię i mistyczną miłość do liczb. Wśród nowych
uczniów garstki uchodźców znalazł się m.in. Filolaos z Taren-
tu, studiujący matematykę i filozofię w szkole założonej
w owym mieście przez pitagorejczyków. Filolaos to pierwszy
z greckich filozofów, który spisał historię i osiągnięcia związku
pitagorejczyków. Właśnie z jego książki Platon poznawał,
a później sam opisał pitagorejską kosmologię, filozofię liczby
i mistycyzm.
Znakiem i symbolem związku pitagorejskiego był penta-
gram, czyli pięcioramienna gwiazda wpisana w pięciokąt fo-
remny. Ramiona gwiazdy to przekątne pięciokąta, które, prze-
cinając się, tworzą następny, mniejszy pięciokąt foremny
(odwrócony do góry nogami). Gdy narysujemy przekątne
mniejszego pięciokąta, utworzą one jeszcze jeden pięciokąt
i tak dalej, w nieskończoność. Pięciokąt foremny i gwiazda z je-
go przekątnych mają ciekawe własności, które pitagorejczycy
uznawali za magiczne. Punkt przecięcia dwóch przekątnych
dzieli każdą z nich na dwie nierówne części. Stosunek długości
całej przekątnej do długości większego odcinka jest równy sto-
sunkowi długości większego odcinka do długości mniejszego
odcinka. Ten sam stosunek długości odcinków powtarza się
w kolejnych, coraz mniejszych pięciokątach. Nazywa się go za-
zwyczaj współczynnikiem złotej proporcji (albo złotego podzia-
łu). Jest to liczba niewymierna 1,61803398... Gdy podzielimy
jedynkę przez tę liczbę, to zostanie tylko część ułamkowa, czyli
0,61803398... Taki sam wynik otrzymalibyśmy, odejmując od

34 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

współczynnika złotej proporcji jedynkę. Jak się przekonamy
nieco później, złota proporcja występuje w różnych zjawiskach
przyrodniczych, a oko ludzkie jest skłonne postrzegać ją jako
szczególnie piękną. Współczynnik złotej proporcji jest granicz-
ną wartością stosunków kolejnych liczb Fibonacciego - sław-
nych liczb, które spotkamy już wkrótce.
Czytelnik może sprawdzić, że współczynnik złotej proporcji
pojawia się w Interesujący sposób w wyniku wykonania serii
prostych działań na kalkulatorze. Trzeba mianowicie zacząć od
Jedynki, potem nacisnąć trzy klawisze: +, l, =, później klawisz
l/x, następnie znów trzy klawisze +, l, =, znowu l/xitd. Jeśli
tylko wystarczy nam cierpliwości, po kilkunastu krokach kal-

kulator zacznie wskazywać na przemian 1,618... l 0,618...
Większa z tych liczb to właśnie współczynnik złotej proporcji,
równy w rzeczywistości połowie sumy jedynki i pierwiastka
kwadratowego z pięciu. Można się o tym przekonać, układając
i rozwiązując równanie opisujące złotą proporcję. Z niewymier-
ności pierwiastka kwadratowego z pięciu wynika niewymier-
ność współczynnika złotej proporcji (w doświadczeniu z kalku-
latorem obserwujemy w istocie tylko Jego coraz dokładniejsze
wymierne przybliżenia). Temu zjawisku przypatrzymy się jesz-
cze bliżej nieco później.
Pitagorejczycy odkryli także, że jeśli stosunek długości
dwóch napiętych strun wyraża się niewielkimi liczbami natu-
ralnymi, to struny te wydają dźwięki przyjemnie współbrzmią-

AMIR D. ACZEL • 35
ce. Według Arystotelesa pitagorejczycy wierzyli, że Wszech-
świat to przede wszystkim muzyka i liczby. Ich wiara w zasadę,
zgodnie z którą wszystko jest liczbą, miała swoje źródła w kon-
templacji harmonii, widocznej m.in. w muzyce czy geometrii.
Pitagorejczycy sądzili ponadto, że wszystkie podstawowe sto-
sunki w muzyce można opisać liczbami: l, 2, 3 i 4, które są
przez to ważniejsze od innych. Suma tych liczb to 10; dlatego
właśnie liczymy w systemie dziesiętnym. Pitagorejczycy przed-
stawiali liczbę 10, rysując trójkąt o nazwie tetraktys:10
O
o o
000
0000
Na tetraktys, uznany za świętość, pitagorejczycy składali
przysięgi. Nawiasem mówiąc, Arystoteles, Owidiusz i wielu In-
nych klasycznych autorów podaje, że liczba dziesięć jest pod-
stawą systemu liczenia dlatego, że człowiek ma dziesięć pal-
ców u rąk. Przypomnijmy jednak, że Babllończycy korzystali
z systemu liczenia o podstawie 60. Pewne ślady innych syste-
mów liczenia przechowały się aż do dzisiaj. Francuska nazwa
liczby 80 [au.atre-vin.gt, co znaczy "cztery dwudziestki"11) to
pozostałość dawnego celtyckiego systemu liczenia, opartego
na liczbie 20.
10 D. Wells: Curious and Interesting Numbers. Penguin Books, Londyn 1987, s. 81.
11 Inne "dwudziestkowe" liczebniki są używane do dziś na przykład w języku
duńskim (przyp. dum.).

36 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Napinanie liny. Nil i narodziny geometrii
Istotna część naszej wiedzy o matematyce starożytnej Grecji
pochodzi z Elementów Euklidesa, który żył w Aleksandrii oko-
ło 300 roku p.n.e. Przypuszcza się, że pierwsze dwie księgi
Elementów składają się w całości z rezultatów badań prowa-
dzonych przez Pitagorasa i członków jego tajemnego bractwa.
Matematykę w starożytnej Grecji uprawiano z powodu jej
piękna. Obiektem zainteresowań były przede wszystkim abs-
trakcyjne figury geometryczne. Grecy rozwinęli pełną, aksjo-
matyczną teorię geometrii, którą do dziś w niemal nie zmie-
nionym kształcie poznają uczniowie szkół całego świata.
W Istocie Elementy, czy też raczej to, co się z nich do dziś za-
chowało, uważa się niekiedy za najwspanialszy podręcznik
wszech czasów.

Słynny historyk starożytnej Grecji, Herodot, sądził, że geo-
metria powstała w starożytnym Egipcie około 3000 lat p.n.e.,
na długo przed dokonaniami Greków z Aleksandrii i innych te-
renów. Opowiada on, jak wylewy Nilu niszczyły granice między
położonymi w żyznej delcie tej rzeki polami uprawnymi, co po-
wodowało, że trzeba było dokonywać skomplikowanych pomia-
rów. W tym celu miemiczowie rozwinęli proste pojęcia geome-
tryczne. W swoich Dziejach Herodot pisał o tym w sposób
następujący:
Gdy rzeka zabrała komuś część jego własności, król wysyłał
osoby dla zbadania i dokładnego wymierzenia wielkości
owej straty. Praktyka ta doprowadziła, jak sądzę, do po-
wstania w Egipcie geometrii, a stamtąd przejęli ją Grecy.12
Geometria to badanie kształtów i figur, a więc okręgów, li-
nii prostych, trójkątów, łuków, a także ich najróżniejszych
przecięć i konfiguracji. Rozum podpowiada, że tego rodzaju
wiedza jest w miernictwie niezbędna. Egipskich geometrów
nazywano "napinającymi linę", bo linie proste, potrzebne za-
12 C. Boyer: A History of Mathematics. John Wiley & Sons, Nowy Jork 1968, s. 9.

AMIR D. ACZEL • 37
równo podczas budowy piramid i świątyń, jak l przy ponow-
nym wyznaczaniu zniszczonych granic między polami upraw-
nymi, wytyczano właśnie za pomocą lin. Przypuszcza się cza-
sem, że początki geometrii mogą być jeszcze starsze. Wśród
znalezisk z epoki neolitu są przykłady przystawania i symetrii
rysunków. Być może tam należałoby szukać praźródeł egip-
skiej geometrii, którą po stuleciach odziedziczyli i wspaniale
rozwinęli starożytni Grecy. Rozpatrywane przez Babilończy-
ków problemy mierzenia powierzchni pól uprawnych (co, jak
wiemy, prowadzi do pojawienia się trójek pitagorejskich) były
też zapewne przedmiotem zainteresowania Egipcjan, którzy -
obok zagadnień konstrukcyjnych, wynikłych przy budowie
piramid - musieli przecież roztrząsać podobne zadania zwią-
zane z rolnictwem. Niewykluczone więc, że również starożytni
Egipcjanie wiedzieli o istnieniu trójek pitagorejskich. Jednak
to Grecy zmienili geometrię w dziedzinę rozważań czysto ma-
tematycznych. Prócz twierdzeń formułowali oni bowiem także
dowody.
Co to jest twierdzenie?
Grecy wprowadzili i przekazali nam pojęcie "twierdzenia".
Twierdzenie to (matematyczne) zdanie zaopatrzone w dowód.
Dowód twierdzenia polega na uzasadnieniu jego prawdziwości
w sposób tak ścisły, by nie mógł podawać go w wątpliwość
nikt, kto postępuje zgodnie z regułami logiki i jest gotów uznać
skromny zbiór najprostszych pojęć i rządzących nimi podsta-
wowych zasad, czyli tak zwanych aksjomatów. Na początku
pierwszej księgi Elementów Euklidesa podane są m.in. okre-
ślenia punktu i prostej, a także zdanie, z którego wynika, że
dwie proste równoległe się nie przecinają. Wychodząc od ak-
sjomatów i budując ciągi logicznych rozważań w rodzaju "jeśli
z A wynika B, a z B wynika C, to wówczas z A wynika C", Gre-
cy udowodnili wiele ważnych twierdzeń, opisujących geometrię
trójkątów, kwadratów, okręgów, kuł oraz najrozmaitszych wie-
lokątów czy wlelościanów.

38 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

"Eureka! Eureka!"
Wielcy matematycy greccy, Eudoksos (IV wiek p.n.e.) i Archi-
medes (III wiek p.n.e.), rozszerzyli ludzką wiedzę z zakresu
geometrii, proponując metodę określania pól z wykorzysta-
niem wielkości nieskończenie małych. Eudoksos z Knidos
(408-355 p.n.e.) był uczniem i przyjacielem Platona. Zbyt bied-
ny na to, by mieszkać w ateńskiej Akademii, osiedlił się w por-
towym mieście Pireus, gdzie życie było znacznie tańsze; stam-
tąd każdego dnia docierał do Akademii Platońskiej. Platon,
choć sam nie był matematykiem w ścisłym znaczeniu tego sło-
wa, zachęcał swych utalentowanych uczniów, takich jak Eu-
doksos, do prowadzenia badań matematycznych. Eudoksos
poznawał geometrię zarówno w Grecji, jak i w Egipcie, do któ-
rego podróżował. Wprowadził do matematyki tzw. metodę wy-
czerpywania, określaną niekiedy mianem całkowania starożyt-
nych. Był to szalenie zmyślny sposób znajdowania pól figur
metodą dodawania nieskończenie wielu pól coraz mniejszych
figur o szczególnie prostym kształcie. Na tym samym polega
w gruncie rzeczy współczesny rachunek całkowy - stosowane
w nim przejścia graniczne niewiele się różnią od metody wy-
czerpywania Eudoksosa.
Najbardziej błyskotliwym matematykiem starożytności oka-
zał się jednak bez wątpienia Archimedes (287-212 p.n.e.), któ-
ry żył w Syrakuzach na Sycylii. Archimedes, syn astronoma
Fidiasza, był także spokrewniony z królem Syrakuz, Heronem II.
Podobnie jak Eudoksos, Archimedes rozwijał metody oblicza-
nia pól i objętości. W jego dziełach można łatwo odnaleźć ślady
pomysłów rodem z rachunku różniczkowego i całkowego - był
jednym z prekursorów obu tych dziedzin. Archimedes intere-
sował się przede wszystkim czystą matematyką: liczbami, geo-
metrią, polami figur geometrycznych Itd.; dobrze wiemy także
o jego osiągnięciach w zakresie zastosowań matematyki. Bar-
dzo znana anegdota13 dotyczy odkrycia przezeń pierwszego
13 Anegdota ta była chętnie opowiadana przez dziewiętnastowiecznych nauczy-
cieli dla ubarwienia postaci Archimedesa (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 39
prawa hydrostatyki, zwanego też prawem Archimedesa. Mówi,
ono, że ciało zanurzone w cieczy traci na wadze tyle, ile waży
wyparta przez nie ciecz. Oto historia odkrycia tego prawa;
W owych czasach żył w Syrakuzach nieuczciwy złotnik. Król
Heron zwrócił się do swego przyjaciela i krewnego, Archimede-
sa, z prośbą o udowodnienie oszustwa czarno na białym.
Archimedes zaczął śledztwo od badania utraty wagi przez
przedmioty zanurzone w wodzie, wykorzystując do ekspery-
mentów m.in. własne ciało. Część pomiarów przeprowadzał
w wannie podczas kąpieli. Gdy odkrył swe prawo, wyskoczył
z wanny rozgorączkowany i biegł nago ulicami Syrakuz, woła-
jąc: "Eureka! Eureka!" ("Znalazłem! Znalazłem!").
Archimedes wynalazł ponoć także śrubę, którą nazwano
jego imieniem. Kiedy kręci się korbką tego urządzenia, pom-
puje ono wodę do góry. Po dziś dzień używają go ubodzy wie-
śniacy w krajach na południowym wybrzeżu Morza Śród-
ziemnego.
W czasie oblężenia Syrakuz przez legiony rzymskie pod wo-
dzą Marcellusa, w latach 214-212 p.n.e., król Heron po raz
kolejny poprosił znamienitego krewnego o pomoc. Archimedes
wykorzystał swą wiedzę o działaniu dźwigni i zbudował potęż-

ne katapulty. Dzięki temu mieszkańcy Syrakuz mogli dzielnie
odpierać ataki rzymskiej floty. Po pewnym czasie Marcellus
przegrupował siły i zdobył miasto z zaskoczenia. Tym razem
Archimedes nie był nawet świadom, że właśnie trwa rzymski
atak; siedział spokojnie na pagórku l kreślił w piasku figury
geometryczne. Gdy nadszedł rzymski żołnierz i nastąpił na Je-
go rysunek, Archimedes zerwał się z okrzykiem: "Nie dotykaj
moich kół!" Na te słowa zagniewany legionista dobył miecza
l zabił Archimedesa. Podobno w testamencie Archimedes zaży-
czył sobie, by na jego grobie wyryć figury, które szczególnie po-
dziwiał: walec i wpisaną w niego kulę. Zaniedbany i zapomnia-
ny grób odnalazł i odnowił po wielu latach rzymski mówca
Cyceron. Później pyl wieków znów zrobił swoje. Dopiero
w 1963 roku, gdy w pobliżu Syrakuz stawiano fundamenty no-
wego hotelu, robotnicy w jednym z wykopów ponownie odkryli
grób Archimedesa.

40 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Ulubione twierdzenie Archimedesa dotyczyło kuli wpisanej
w walec i głosiło, że powierzchnia boczna owego walca Jest
równa całkowitej powierzchni kuli. Ten rezultat Archimedes
zawarł w pracy O kuli i walcu. Przypuszczano, że praca ta zagi-
nęła, podobnie jak większość tekstów starożytnych. W roku
1906 duński uczony J. L. Heiberg zasłyszał, że gdzieś w Kon-
stantynopolu znajduje się ponoć wyblakły rękopis, sporządzo-
ny na pergaminie, ze śladami tekstu matematycznego. Wybrał
się więc do Konstantynopola i odnalazł 185 pergaminowych
kart. Badania naukowe potwierdziły, że była to pochodząca
z X wieku kopia dzieła Archimedesa, pokryta później, w XIII
wieku, tekstami prawosławnych modlitw.
Aleksandria, Egipt, około 250 roku n.e.
Około 250 roku n.e. mieszkał w Aleksandrii matematyk Diofan-
tos. O Jego życiu wiemy tyle tylko, ile wyczytać można z krótkiego
fragmentu, napisanego około stu lat po śmierci Diofantosa, a za-
mieszczonego w zbiorze tekstów, zwanym Antologią Palatyńską.14
Przechodniu, pod tym nagrobkiem spoczywa Diofantos.
Dzięki przedziwnym umiejętnościom zmarłego jego wiek
zdradzi Cl ten głaz. Przez szóstą część życia Bóg dozwolił mu
pozostać chłopcem. Gdy znów dwunasta część żywota minę-
ła, policzki jego okryła broda, a później, gdy z kolei przebył
siódmą część żywota, zaznał słodyczy małżeństwa. Po pięciu
latach żona powiła mu synka. Niestety, okrutny los prze-
znaczył temu dziecku żywot dwukrotnie krótszy niż ojcu,
który po śmierci syna, przez ostatnie cztery lata swego ży-
cia, szukał wśród liczb ukojenia w bólu. Znajdź odpowiednie
liczby i powiedz, ile lat przeżył Diofantos.
(Kto rozwiąże nietrudne zadanie postawione w powyższym
tekście, dowie się, że Diofantos żył 84 lata).
14 Przedruk wg Barry Mazur, op. cit.

AMIR D. ACZEL • 41
Nie jesteśmy dziś pewni, kiedy właściwie żył Diofantos. Zna-
my tylko dwa fakty pozwalające w przybliżeniu wyznaczyć ten
okres. Po pierwsze, w swoich pracach Diofantos cytuje Hipsy-
klesa, który żył około 150 roku n.e. Po drugie, Diofantosa cytu-
je Teon z Aleksandrii. Zaćmienie Słońca 16 czerwca 364 roku
miało miejsce za życia Teona, a zatem Diofantos z pewnością

żył przed rokiem 364, ale po roku 150. Historycy z pewną do-
wolnością umieszczają go w okolicach roku 250.
Diofantos napisał dzieło Arithmetica, w którym rozwinął
pewne pojęcia algebraiczne i zapoczątkował badania szczegól-
nego typu równań, zwanych dziś w matematyce równaniami
diofantycznymi. Do naszych czasów przetrwało tylko sześć
z piętnastu tomów prac autorstwa Diofantosa; resztę strawił
pożar, który zniszczył wspaniałą bibliotekę aleksandryjską
i przechowywany w niej najznakomitszy księgozbiór starożyt-
ności. Ocalałe tomy należały do najpóźniej przetłumaczonych
greckich tekstów. Pierwszy znany przekład łaciński został wy-
dany dopiero w 1575 roku, a Fermat był właścicielem jednego
z egzemplarzy tłumaczenia Claude'a Bacheta wydanego
w 1621 roku. Sławny dopisek na marginesie drugiego tomu
został zainspirowany zadaniem 8, w którym chodziło o to, by
powiedzieć, kiedy i jak można rozłożyć kwadrat liczby natural-
nej na sumę dwóch kwadratów (Babilończycy umieli to zrobić
przynajmniej w niektórych przypadkach, a pitagorejczycy znali
ogólne rozwiązanie zadania).
Matematyczne osiągnięcia Diofantosa i jego współczesnych
to ostatni przebłysk starożytnej kultury greckiej, dożywającej
z wolna zmierzchu świetności.
Baśnie z tysiąca i jednej nocy
Gdy Europa - pustoszona przez wielką zarazę i pochłonięta
bez reszty feudalnymi konfliktami i wojnami, które w imieniu
najróżniejszych królów i książąt toczyli ich wasale - zajmowała
się organizowaniem kosztownych, siejących śmierć wypraw
krzyżowych, Arabowie rządzili kwitnącym królestwem, rozcią-

42 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
gającym się od Bliskiego Wschodu po Półwysep Iberyjski.
Obok swych osiągnięć w medycynie, astronomii i sztuce Ara-
bowie rozwinęli algebrę. W roku 632 n.e. prorok Mahomet za-
łożył islamskie państwo ze stolicą w Mekce, która po dziś dzień
pozostaje religijnym centrum islamu. Jego wojska niemal na-
tychmiast zaatakowały Cesarstwo Bizantyjskie. Po śmierci Ma-
hometa, która miała miejsce w tym samym roku, kontynuowa-
no ofensywę. W ciągu zaledwie kilku lat łupem Arabów padły:
Damaszek, Jerozolima i większość Mezopotamii. W roku 641
ten sam los spotkał Aleksandrię, matematyczne centrum ów-
czesnego świata. Około roku 750, po bitwie pod Poitiers, fala
wojen toczonych przez muzułmanów zarówno między sobą, jak
l z resztą świata, opadła. W państwie arabskim zapanowała
zgoda między Arabami marokańskimi i potężnym kalifatem
bagdadzkim.
Bagdad stał się wówczas centrum matematycznym. Arabo-
wie przejęli od ludów zamieszkujących podbite tereny nie tylko
wszelkie bogactwa materialne, lecz także idee matematyczne
i wiedzę z zakresu astronomii. W okresie panowania kalifów
z rodu Abbasydów, na początku IX wieku, napisane zostały Ba-
śnie z tysiąca i Jednej nocy, a wiele dzieł greckich, w tym Ele-
menty Euklidesa, przełożono na arabski. Kalifowie stworzyli
w Bagdadzie wspaniały Dom Nauki, w którym pracowali uczeni
z Iranu, Syrii i Aleksandrii. Był wśród nich Muhammad ibn
Musa al-Chwarizmi (Mohamet, syn Musy z Chorezmu), który,
tak jak Euklides, zapewnił sobie sławę po wsze czasy. Zapoży-
czając notację (system symboli) l niektóre idee od Hindusów,
a geometryczną myśl od Euklidesa, al-Chwarizmi pisał księgi

poświęcone arytmetyce i geometrii. Słowo "algorytm" jest znie-
kształconą formą jego nazwiska, a termin "algebra" to fragment
tytułu najbardziej znanego dzieła al-Chwarizmiego: Hisab al-
-dżabr wa'l mukabala, czyli Sztuka redukcji i przenoszenia.
Właśnie z tej książki Europa miała się później po raz pierwszy
uczyć gałęzi matematyki, zwanej algebrą. Idee algebraiczne
tkwią już wprawdzie w Arithmetice Diofantosa, lecz Al-dżabr,
która prezentuje kompletne rozwiązania równań liniowych
i kwadratowych, bardziej bezpośrednio wiąże się z dzisiejszą al-

AMIR D. ACZEL • 43
gebrą. Znamienne, że szkolna nauka algebry nadal rozpoczyna
się od redukcji wyrazów podobnych l przenoszenia wyrazów -
ze zmienionym znakiem - na drugą stronę równania.
Algebrę i geometrię, jak niemal wszystkie zresztą gałęzie
matematyki, łączą liczne związki. W dwudziestym wieku na
styku obu tych dziedzin rozwinęła się tzw. geometria algebraicz-
na. Bogata sieć powiązań między teoriami należącymi do róż-
nych gałęzi matematyki otworzyła Wllesowi drogę do dowodu
wielkiego twierdzenia Fermata.
Średniowieczny kupiec i złota proporcja
Kilka stuleci później, w roku 1225, problem poszukiwania tró-
jek pitagorejskich stał się powodem napisania kolejnej książki:
Liber ąuadratorum. Jej autorem był kupiec, Leonardo z Pizy
(ok. 1170-1250), znany lepiej jako Fibonacci, czyli "syn Bonac-
ciego". Fibonacci urodził się w Pizie. Podczas wypełnionego
handlowymi podróżami życia mieszkał m.in. w Konstantyno-
polu i Afryce Północnej, odwiedził Prowansję, Sycylię, Egipt
i Syrię oraz wiele innych terenów położonych w basenie Morza
Śródziemnego. Dzięki kontaktom z ówczesnymi elitami intelek-
tualnymi poznał idee matematyczne Arabów, a także kulturę
grecką i rzymską. Gdy cesarz Fryderyk II przybył do Pizy, Fibo-
nacci został wprowadzony na jego dwór i znalazł się w bezpo-
średnim otoczeniu cesarza.
Oprócz Liber quadratorum Fibonacci znany jest także jako
autor książki Liber abaci. Zadanie o trójkątach pitagorejskich
z książki Fibonacciego pojawia się także w bizantyjskim ręko-
pisie z XI wieku, który obecnie znajduje się w bibliotece Stare-
go Pałacu w Istambule. Być może to tylko zbieg okoliczności,
wiele wskazuje jednak na to, że Fibonacci mógł widzieć ów rę-
kopis podczas jednej ze swych podróży do Konstantynopola.
Niewątpliwie największy rozgłos zapewnił Fibonacciemu
sławny ciąg liczb, nazwanych od jego nazwiska liczbami Fibo-
nacciego. Liczby te pojawiają się w związku z następującym
zadaniem z Liber abaci.

44 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Ile par królików można wyhodować w ciągu roku, jeśli na
początku roku mamy Jedną parę małych królików, każda
zaś para staje się płodna po miesiącu i potem po upływie
każdego miesiąca rodzi jedną parę?
W ciągu Fibonacciego, do którego prowadzi rozwiązanie zada-
nia o królikach, każdy wyraz jest sumą dwóch wyrazów po-
przednich. Pierwsze dwa wyrazy to jedynki, a po nich - zgodnie
z powyższym przepisem - następują: 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,
89, 144, ...
Można oczywiście zapomnieć o królikach i wziąć pod lupę

więcej wyrazów ciągu, niż Jest miesięcy w roku. Okaże się wte-
dy, że ciąg Fibonacciego charakteryzuje się istotnymi i nieocze-
kiwanymi własnościami. Na przykład kolejne stosunki sąsied-
nich wyrazów ciągu Fibonacciego, czyli liczby 1/1, 2/1, 3/2,
5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89,
233/144 itd., w zadziwiający sposób zbliżają się coraz to bar-
dziej i bardziej do współczynnika złotej proporcji - liczby
(l + \/5^)/2. Rozwinięcia dziesiętne tych właśnie liczb (i ich od-
wrotności) widzieliśmy Już wcześniej, podczas zabawy z kalku-
latorem i naprzemiennego wciskania klawiszy +, l, = oraz l lx.
Ciąg Fibonacciego występuje powszechnie w przyrodzie. Liście
na gałązkach rosną w odstępach, których stosunki odpowiadają
w przybliżeniu stosunkom liczb Fibonacciego. Liczby Fibonac-
ciego kryją się także w kwiatach: jak się okazuje, na bardzo wie-
lu kwiatach występuje stała liczba płatków: 3, 5, 8, 13, 21, 34,
55 lub 89. Lilie mają trzy płatki. Jaskry pięć, wiele ostróżek
osiem, nagietki trzynaście, astry dwadzieścia jeden, a stokrotki -
trzydzieści cztery, pięćdziesiąt pięć lub osiemdziesiąt dziewięć.
Liczby Fibonacciego pojawiają się też w kwiatach słoneczni-
ków. Małe ziarenka na tarczy słonecznika układają się w spiral-
ne wzory. Część spiral zwija się zgodnie z kierunkiem ruchu
wskazówek zegara, część - w stronę przeciwną. Liczba spiral bie-
gnących do środka zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek ze-
gara jest zazwyczaj równa trzydzieści cztery. W przeciwną stronę
skręca się w takim przypadku pięćdziesiąt pięć spiral. Czasem
odpowiednia para liczb to pięćdziesiąt pięć i osiemdziesiąt dzie-

AMIR D. ACZEL • 45

Przedrukowano za zgodą Basie Books.
wleć, a nawet osiemdziesiąt dziewięć i sto czterdzieści cztery.
Wszystkie te pary to kolejne liczby Fibonacciego. łan Stewart
w swojej książce zatytułowanej Liczby natury podaje, że promie-
nie wychodzące ze środka tarczy słonecznika do kolejno zawiązu-
jących się nasionek tworzą kąt bliski 137,5° (mniejszy z dwóch
kątów, które otrzymujemy, dokonując złotego podziału 360 stop-
ni). Nasze oko dostrzega zaś raczej nie długą, ciasno zwiniętą spi-
ralę, wzdłuż której kolejno układają się ziarenka, lecz dwie rodzi-
ny spiral luźniejszych, skręconych w różnych kierunkach.15
Gdy narysujemy tzw. złoty prostokąt (taki, którego boki two-
rzą złotą proporcję) i odetniemy od niego kwadrat, to otrzyma-
my mniejszy złoty prostokąt, podobny do dużego prostokąta
wyjściowego: jego boki również będą tworzyć złotą proporcję.
Z mniejszym prostokątem można postąpić tak samo; gdy ode-
tniemy odeń kwadrat, pozostanie złoty prostokąt. Postępując
tak dalej, osiągamy cały czas ten sam efekt. Spirala poprowa-
dzona przez kolejne wierzchołki odcinanych kwadratów jest
łudząco podobna do tych, które dostrzec można w muszlach,
w deseniach utworzonych przez nasiona słonecznika czy
w ułożeniu liści na gałązkach.
Złoty prostokąt ma proporcje zwracające uwagę i miłe dla
oka, a złota proporcja występuje nie tylko w naturze, lecz także
-jako klasyczny ideał piękna - w sztuce. Jest w tym wszystkim
coś boskiego; w rzeczy samej, prezesem działającego współcześ-
15 łan Stewart: Liczby natury. CIS, Warszawa 1996, s. 163.

46 * WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

nie Towarzystwa Fibonacciego jest ksiądz, a główną kwaterą -
Kolegium św. Marii w Kalifornii. Towarzystwo Fibonacciego sta-
wia sobie za cel poszukiwanie przykładów występowania złotej
proporcji i liczb Fibonacciego w przyrodzie, sztuce i architektu-
rze. Przyświeca tym poszukiwaniom wiara, że złoty stosunek to
dar Boga dla świata. W roli ideału piękna złota proporcja poja-
wia się w takich miejscach, jak na przykład Partenon w Ate-
nach. Stosunek długości Partenonu do jego wysokości także
równa się w przybliżeniu współczynnikowi złotej proporcji.
Wielka piramida w Gizie, zbudowana wieleset lat przed po-
wstaniem greckiego Partenonu, ma stosunek wysokości ściany
do połowy boku podstawy równy współczynnikowi złotej pro-
porcji. Egipski papirus Rhinda mówi o "świętym stosunku".
W starożytnych rzeźbach przedstawiających ludzkie postacie
l na renesansowych obrazach można się doszukać złotych (bo-
skich) proporcji.
Złotej proporcji jako ideału piękna poszukiwano nie tylko
w kwiatach czy architekturze. Jeden z członków Towarzystwa
Fibonacciego opisał jakiś czas temu w liście, jak ktoś w poszu-
kiwaniu złotych proporcji poprosił kilkanaście małżeństw
o udział w eksperymencie: mąż mierzył, na jakiej wysokości
znajduje się pępek żony, a otrzymaną wartość dzielił przez
wzrost żony. Autor listu zarzekał się, że wszystkie pary otrzy-
mały wynik bliski 0,618. ;, ,

AMIR D. ACZEL • 47

Ateński Partenon.
Poszukiwacze rzeczy nieznanych
Do średniowiecznej Europy matematyka wkroczyła dzięki pra-
com Fibonacciego, a także dziełom al-Chwarizmiego, docierają-
cym na nasz kontynent przez Hiszpanię, która wówczas
w części należała do świata arabskiego. Głównym tematem
ówczesnej algebry było rozwiązywanie równań i znajdowanie
niewiadomych wielkości. I dziś w szkole oznaczamy niewiado-
mą literką x i próbujemy rozwiązywać równania, żeby dowie-
dzieć się, jaka właściwie jest wartość owego iksa. Posłużmy się
przykładem prościutklego równania x - 5 = O i znajdźmy war-
tość niewiadomej, wykonując nieskomplikowane operacje ma-
tematyczne. Dodajmy najpierw 5 do obu stron równania; po le-
wej stronie otrzymamy: x - 5 + 5, a po prawej: 0+5. Zatem
lewa strona jest równa x, a prawa 5. Oczywiście, obie strony są
nadal równe, a więc (jak zresztą można było w tym przypadku
zgadnąć od razu) x = 5. Arabowie w czasach al-Chwarizmiego
nazywali niewiadomą wielkość shai, co po arabsku oznacza
"rzecz". Rozwiązując równania. Arabowie poszukiwali więc nie-

48 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
znanych, niewiadomych rzeczy (podobnie jak my przed chwilą
szukaliśmy nieznanej wartości x). Gdy te idee dotarły do Euro-
py, arabskie słowo shai przełożono na łacinę. Po łacinie "rzecz"
to res, a po włosku - coso. Ponieważ pierwsi algebraicy w Euro-
pie byli Włochami, więc do algebry przylgnęła na pewien czas

nazwa ars cossica, a do uprawiających ją matematyków -
wspólne miano Cossisti,16 dlatego że rozwiązując równania,
zajmowali się oni przecież poszukiwaniem nieznanej cosa.17
Tak jak w Babilonie trzy i pół tysiąclecia wcześniej, w śred-
niowieczu i na początku renesansu matematyki używano
przede wszystkim Jako narzędzia pomocnego w handlu. W spo-
łecznościach zajmujących się w coraz większym stopniu hand-
lem problemy wyznaczania zysków, kosztów, kursów wymiany
stawały się z dnia na dzień bardzo ważne. Niekiedy można by-
ło ujmować rzecz matematycznie, a to wymagało rozwiązania
odpowiedniego równania. Włoscy "poszukiwacze rzeczy nie-
znanych", Luca Pacioli (1445-1514), Girolamo Cardano
(1501-1576), Nicolo Fontana (1500-1557), noszący przydomek
Tartaglia (co znaczy Jąkała), a wraz z nimi inni mistrzowie roz-
wiązywania zadań, pozostając w służbie u możnych tego świa-
ta, konkurowali ze sobą podczas specjalnych turniejów, wyko-
rzystując potwierdzoną później sukcesami umiejętność
pokonywania abstrakcyjnych problemów jako swego rodzaju
reklamę. Ponieważ o możnych protektorów i klientów trzeba
było walczyć z konkurencją, więc owi matematycy wkładali
sporo wysiłków i trudu w rozwiązywanie problemów nowych
i trudnych, wśród których znalazły się równania trzeciego
stopnia, tj. równania, w których niewiadoma "rzecz" (nasz x),
pojawia się w trzeciej potędze jako x3. Także w owych czasach
16 Terminy o zbliżonym źródłosłowie upowszechniły się także w ówczesnej niem-
czyźnie. U jednego z niemieckich die Cossisten, Johanna Widmanna, około 1460
roku pojawiła się nazwa Regel Algebrę oder Cosse, a Christoph Rudolf f wydał
w 1525 roku w Strasburgu książkę zatytułowaną Szybki i piękny rachunek za po-
mocą wymyślnych reguł algebry zwykle nazywanej Coss. Zob. też Historia matema-
tyki, pod red. A. P. Juszkiewicza. PWN, Warszawa 1975 (przyp. tłum.).
17 Michael Mahoney: The Mathematical Career of Pierre de Fermat. Princeton
Uniyersity Press, Princeton 1994, s. 4.

AMIR D. ACZEL • 49
dzięki znajomości metod rozwiązywania problemów teoretycz-
nych zostawało się cenionym i poszukiwanym ekspertem, spe-
cjalizującym się w bardziej praktycznych zagadnieniach.
Na początku XVI wieku Tartaglia odkrył sposób rozwiązywa-
nia równań trzeciego stopnia i zachował go w sekrecie, by
utrzymać przewagę nad konkurentami na przynoszącym spore
zyski rynku rozwiązywania zadań. Gdy Tartaglia wygrał turniej
matematyczny, Cardano wymógł na nim, by podzielił się swą
wiedzą. Tartaglia zgodził się nauczyć go metody rozwiązywania
równań trzeciego stopnia, pod warunkiem że Cardano docho-
wa tajemnicy przed całym światem. Gdy jednak Cardano
dowiedział się później o tym samym sposobie od innego z "po-
szukiwaczy", Scippione del Ferro (1456-1526), przyjął natych-
miast, że Tartaglia nauczył się wzorów na pierwiastki równań
trzeciego stopnia właśnie od del Ferro. Uznał wobec tego, że
jest zwolniony od obowiązku dochowania tajemnicy, i opubli-
kował wszystko w swojej książce Ars magna, którą wydal
w 1545 roku. Tartaglia poczuł się zdradzony i wszczął z Carda-
no gwałtowny spór, w ostatnich latach życia wiele czasu po-
święcając na obmawianie niedawnego przyjaciela. Udało mu
się w ten sposób zaszkodzić reputacji Cardano.
Włoskich "poszukiwaczy nieznanych rzeczy" uważa się na
ogół za matematyków nie tak wysokiego lotu, jak starożytnych
Greków. Zajmowanie się praktycznymi problemami w pogoni

za pieniądzem oraz osobiste, niekonstruktywne swary i kłótnie
powstrzymywały ich od prowadzenia badań naukowych dykto-
wanych ciekawością i poszukiwaniem piękna. Dlatego też ci
badacze nie rozwinęli zamkniętych, aksjomatycznych i abs-
trakcyjnych teorii; w poszukiwaniu tego rodzaju matematyki
wciąż należało wracać do prac starożytnych Greków. I właśnie
do tego doszło w następnym stuleciu.
Renesansowe poszukiwania wiedzy starożytnych
Od czasów Diofantosa minęło trzynaście stuleci. Świat śred-
niowieczny ustąpił pod naporem renesansu l nadchodzącej

50 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wraz z nim nowej epoki. Po nocy średniowiecza Europa obu-
dziła się spragniona wiedzy; uczeni zmieniali zainteresowania
l zaczynali zwracać uwagę na klasyczne dzieła starożytnych.
W nieustającej pogoni za wiedzą i oświeceniem wszelkie zacho-
wane książki starożytne tłumaczono na łacinę, język ludzi wy-
kształconych. Francuski szlachcic, Ciaude Bachet, był tłuma-
czem żywo zainteresowanym matematyką. Gdy wpadła mu
w ręce napisana po grecku Arithmetica Diofantosa, nie zwleka-
jąc przełożył ją i wydał w 1621 roku w Paryżu pod tytułem
Diophantini Alexandrmi arithmeticorum libri sex. Jeden z eg-
zemplarzy właśnie tego wydania trafił nieco później do prywat-
nej biblioteki Fermata.
Wielkie twierdzenie Fermata głosi, że jeśli Jako wykładnik
potęgi weźmiemy jakąkolwiek liczbę naturalną większą od
dwójki, to z pewnością nie znajdziemy żadnych odpowiedników
trójek pitagorejskich. Suma dwóch sześcianów liczb natural-
nych nigdy nie będzie pełnym sześcianem, suma czwartych
potęg nie będzie czwartą potęgą, podobnie rzecz się ma z piąty-
mi, szóstymi i pozostałymi wyższymi potęgami. Jak właściwie
Fermat mógł na to wpaść?
Kwadraty, sześciany i wyższe wymiary
Twierdzenie to zdanie wyposażone w dowód. Fermat napisał
wprawdzie, że zna "prawdziwie cudowny dowód" swego twier-
dzenia, ale jeśli nie zobaczy się l nie sprawdzi dowodu takiego
czy innego zdania, nie można go w żadnym razie nazywać twier-
dzeniem. Zdanie może przekazywać prawdę niezwykle ważną,
nieść znaczące i głębokie treści, ale dopóki nie znamy dowodu
Jego prawdziwości, musimy nazywać je hipotezą. Gdy się hipote-
zę udowodni, zmienia się ona w twierdzenie (lub lemat, jeśli Jest
tylko pomocniczym faktem, służącym do udowodnienia innego,
głębszego twierdzenia). Proste konsekwencje wypływające
z udowodnionego twierdzenia nazywa się wnioskami.
Fermat sformułował wiele hipotez. Jedna z nich orzekała,
że każda liczba postaci 22" + l jest liczbą pierwszą. "Nie Jest to

AMIR D. ACZEL • 1S1
twierdzenie, bo nikt nie podał dowodu prawdziwości; wrę cz
przeciwnie, w następnym wieku sławny szwajcarski matem-a-
tyk Leonard Euler (1707-1783) udowodnił, że jest to hipoteka
fałszywa.18 Nie było zatem powodu, by wierzyć bezkrytyczmie
w prawdziwość wielkiego twierdzenia Fermata - była to
w końcu jedynie hipoteza, być może prawdziwa, a być mo.że
fałszywa.
Wielkie twierdzenie Fermata okazałoby się fałszywe, gdy~by
ktokolwiek wskazał wykładnik potęgi n, większy od 2, oraz tr-zy

liczby naturalne o, b, i c spełniające zależność a" + b" = c". Ta-
kiego przykładu nikomu nie udało się Jednak znaleźć (ch oć
w późniejszych próbach znalezienia dowodu ważną rolę odie-
grało przypuszczenie, że takie liczby a, b, c oraz n istnieją). BMa
początku lat dziewięćdziesiątych naszego wieku wiadomo by3o,
że dla wykładników n mniejszych od czterech milionów ma
pewno znaleźć nie można odpowiedniej trójki liczb a, b, c, co
oczywiście nie gwarantowało jeszcze wcale, że pewnego dala
ktoś nie poda kontrprzykładu (biorąc pod uwagę większy wy-
kładnik). Twierdzenie należało udowodnić dla wszystkich •wy-
kładników.
Sam Fermat umiał udowodnić swe wielkie twierdzenie dla
n = 4. Użył w tym celu pomysłowej metody (tzw. metody spad-
ku lub nieskończonej regresji) i wykazał, że nie ma trójki
liczb naturalnych a, b oraz c, które spełniałyby równanie
a4 + b4 = c4.19 Wiedział on też, że z istnienia rozwiązania dla
wykładnika n wynika istnienie rozwiązania dla wszystki ch
wykładników, które są dzielnikami n.20 Aby zatem udowod-
nić, że nie ma rozwiązań, wystarczy rozpatrywać jedynie te
18 Już dla n = 5 otrzymujemy liczbę złożoną 4 294 967 297 (przyp. dum.).
19 W istocie Fermat udowodnił, że nie istnieje trójkąt prostokątny, który miai.łby
boki długości całkowitej i pole, będące kwadratem liczby całkowitej. Z jego do-
wodu wypływał wniosek nieco mocniejszy od wielkiego twierdzenia Ferm-ata
dla n = 4, a mianowicie, że równanie a4 + 64 = c2 nie ma rozwiązań wśród ILczb
naturalnych (przyp. tłum.).
20 Mówiąc inaczej: z prawdziwości wielkiego twierdzenia Fermata dla pewn"ego
wykładnika k wynika jego prawdziwość dla wszystkich wykładników, które są
wielokrotnościami k (przyp. ttum.).

52 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
wykładniki większe od 2, które są liczbami pierwszymi (to
znaczy nie dzielą się przez żadną liczbę naturalną różną od
jedynki i od nich samych). Kilka początkowych liczb pierw-
szych większych od 2 to: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 - każda z nich
dzieli się bez reszty wyłącznie przez jedynkę i przez samą sie-
bie. Przykład liczby, która nie jest pierwsza, to 6, która dzieli
się bez reszty nie tylko przez l i 6, ale także przez 2 i 3. Fer-
mat umiał udowodnić swoje twierdzenie również dla n = 3.
W przypadku n = 3 i n = 4 dowód podał także, niezależnie od
Fermata, Leonard Euler.
W 1828 roku Peter Gustaw Lejeune Dirichlet udowodnił, że
teza wielkiego twierdzenia Fermata zachodzi dla n = 5. Jego
wynik powtórzył w 1830 roku Adrien Marie Legendre. Gabriel
Lamę i Henri Lebesgue (1875-1947), który poprawił Jego błę-
dy z 1840 roku, stwierdzili, że teza twierdzenia jest prawdzi-
wa dla n = 7. Zatem po upływie dwustu lat od chwili, gdy
Fermat dopisał swoją sławną uwagę na marginesie dzieła
Diofantosa, jego twierdzenie było udowodnione tylko dla wy-
kładników 3, 4, 5, 6 i 7 (i dla ich wielokrotności). Do nieskoń-
czoności droga była z tego miejsca daleka, a udowodnienie
prawdziwości twierdzenia dla każdego wykładnika n wymaga-
ło jej pokonania. Sprawę mógłby rozstrzygnąć jedynie ogólny
dowód, który potwierdzałby prawdziwość twierdzenia dla
wszystkich, dowolnie dużych wykładników. Takiego nie-
uchwytnego, ogólnego dowodu poszukiwało wielu matematy-
ków, znajdując, niestety, dowody prawdziwe tylko dla po-
szczególnych wykładników.
Pierwszy rachmistrz oświecenia

Rachmistrz to osoba doskonale radząca sobie z obliczeniami,
obmyślająca metody ich prowadzenia. Niewątpliwie Jedną z ta-
kich osób był płodny matematyk szwajcarski Leonard Euler,
o którym mówiono, że rachowanie przychodzi mu równie ła-
two, jak innym oddychanie. Lecz Euler byt nie tylko chodzą-
cym kalkulatorem. To najbardziej produktywny naukowiec

AMIR D. ACZEL • 53t
szwajcarski wszech czasów; autor tylu tomów dzieł matema-
tycznych, że rząd szwajcarski ustanowił specjalny fundusz poo
to, aby zebrać wszystkie jego prace. Podobno zdarzało mu się?
produkować artykuły matematyczne podczas przerw między?
kolejnymi wezwaniami na obiad, rozbrzmiewającymi w jego
dużym domostwie.
Leonard Euler urodził się w Bazylei 15 kwietnia 1707 roku..
W następnym roku jego rodzina przeniosła się na wieś, do
miejscowości Riechen, gdzie ojciec został pastorem obrządku^
kalwińskiego. Gdy młody Leonard chodził do szkoły, ojciec za-
chęcał go do studiowania teologii, by z biegiem czasu mógFl
zająć jego miejsce i zostać wiejskim pastorem. Lecz Euler wy-
kazywał przede wszystkim uzdolnienia matematyczne. Opieko-
wał się nim Jan Bemoulli, dobrze wówczas znany matematyl-i
szwajcarski. Daniel i Mikołaj Bemoulli, młodsi członkowie po--
tężnego matematycznego rodu Bernoullich, zaprzyjaźnili sięę
z Leonardom i przekonali jego rodziców, by pozwolili synowi -
mającemu zadatki na wielkiego uczonego - zajmować się ma--
tematyką. Leonard równocześnie z matematyką nadal studio -
wał teologię i przez całe życie pozostał człowiekiem bardzo reli--
gijnym.
W ówczesnej Europie, inaczej niż dzisiaj, badania naukowe
rozwijano głównie poza uniwersytetami, na których zajmowa--
no się przede wszystkim nauczaniem - aktywność innego ro-
dzaju nie zostawało wiele czasu. W osiemnastym stuleciu ba_-
dania naukowe prowadzone były w pierwszym rzędzLe
w królewskich akademiach naukowych. Monarchowie wspie--
raii najlepszych uczonych w poszukiwaniach wiedzy. Cześ ć
badań miała charakter stosowany i pomagała rządzącym
umacniać pozycję państwa, którym władali. Były też badani a
podstawowe, teoretyczne; prowadzono je nie ze względu n a
bezpośrednie korzyści, lecz z myślą o poszerzeniu granic ludzs-
klej wiedzy. Oświeceni monarchowie hojnie wspierali takie ba-
dania, a uczeni pracujący w akademiach mogli wieść wygodnie
życie.
Po ukończeniu na uniwersytecie w Bazylei studiów mate-
matycznych, a także teologii l hebrajskiego, Euler wystąp*!!

54 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
o przyznanie mu profesury. Pomimo wielkich osiągnięć, który-
mi już się mógł pochwalić, jego prośbę odrzucono. Tymczasem
jego dwaj przyjaciele. Daniel i Mikołaj, zostali zatrudnieni Jako
matematycy w Królewskiej Akademii Nauk w Sankt Petersbur-
gu w Rosji. Obaj pozostali w kontakcie z Eulerem i obiecali
mu, że spróbują go jakoś do siebie ściągnąć. Pewnego dnia
młodzi Bernoulli napisali do Eulera list, informując go, że
zwolniło się właśnie jedno z miejsc w sekcji medycznej peters-
burskiej akademii. Medycyną się wprawdzie Euler nie intere-
sował, lecz desperacko poszukiwał pracy, a poza tym miał na-

dzieję, że w ten sposób dołączy do przyjaciół, którzy w Rosji
mieli wspaniałe stanowiska l mogli zajmować się wyłącznie
własnymi badaniami.
Matematykę Euler dostrzegał w każdej dziedzinie, którą
się zajmował, a więc również w medycynie. Badania fizjologii
ucha doprowadziły go do skonstruowania matematycznego
modelu rozchodzenia się fal. W każdym razie, zaproszenie
do Sankt Petersburga wkrótce nadeszło i w roku 1727 Euler
dołączył do obu swych przyjaciół. Niedługo potem, po śmier-
ci Katarzyny, żony Piotra Wielkiego, potężnej wspomożyciel-
kl i opiekunki badań naukowych, w Akademii zapanował
chaos. Korzystając z powstałego zamieszania Leonard Euler
zdołał jakoś opuścić sekcję medyczną i przenieść się na na-
leżne mu skądinąd miejsce w sekcji matematycznej. Przez
sześć lat starał się pozostać w cieniu i ograniczał wszelkie
kontakty towarzyskie, żeby jego podstęp nie wyszedł na jaw.
Przez cały czas jednak nieustannie pracował, produkując
całe tomy artykułów matematycznych najwyższej klasy.
W 1733 roku został mianowany na jedno z czołowych stano-
wisk matematycznych w Akademii. Euler najwyraźniej nale-
żał do osób, które umieją pracować zawsze i wszędzie. Jego
rodzina systematycznie się powiększała i zdarzało się, że
uprawiał matematykę, kołysząc jednocześnie któreś ze swo-
ich dzieci.
Gdy władzę w Rosji objęła bratanica Piotra Wielkiego, Anna
Iwanowa, rozpoczął się okres terroru. Izolując się od zewnętrz-
nego świata, Euler na dziesięć lat znów pogrążył się w pracy.

AMIR D. ACZEL • 55
W tym czasie zajmował się między innymi trudnym zagadnie-
niem z zakresu astronomii, za którego rozwiązanie oferowano
w Paryżu nagrodę. Paru matematyków wystąpiło do Akademii
z prośbą o kilkumiesięczne urlopy, żeby móc nad tym zagad-
nieniem pracować. Leonard Euler znalazł rozwiązanie w ciągu
trzech dni. Za długie okresy koncentracji i wysiłku musiał jed-
nak zapłacić: oślepł na prawe oko.
Nieco później Euler przeniósł się do Niemiec, by pracować
w Akademii Berlińskiej. Towarzystwo Niemców, lubiących
nieznośnie długie filozoficzne dysputy, nie odpowiadało mu
zbytnio. Toteż gdy w 1766 roku panująca wówczas w Rosji
caryca Katarzyna Wielka zaprosiła go znów do Sankt Peters-
burga, Euler był niezwykle szczęśliwy z nadarzającej się oka-
zji do powrotu. W owym czasie na dworze Katarzyny przeby-
wał Denis Diderot, filozof znany ze swych ateistycznych
przekonań. Cesarzowa poprosiła Eulera, żeby spierał się z Di-
derotem o istnienie Boga. Diderotowi zaś powiedziano, że
sławny matematyk zna dowód na istnienie Boga. Gdy Euler
zbliżył się do Diderota i z powagą na twarzy wypalił: "Panie,
a + b/n = x, a. więc Bóg istnieje", Diderot, który o matematyce
nie miał zielonego pojęcia, zrejterował i natychmiast wrócił do
Francji.
Wkrótce po powrocie do Rosji Euler oślepł na drugie oko.
Mimo to nadal uprawiał matematykę, korzystając podczas pi-
sania prac z pomocy synów. Ślepota zwiększyła jego zdolności
do wykonywania w pamięci skomplikowanych rachunków. Ba-
dania naukowe prowadził Euler jeszcze przez 17 lat. Zmarł
podczas zabawy z wnukiem w 1783 roku.
Wiele spośród współcześnie stosowanych oznaczeń ma-

tematycznych zawdzięczamy właśnie Eulerowi. To on za-
czął na przykład używać litery i dla oznaczenia pierwiastka
kwadratowego z -1. Euler darzył szczególnym uwielbieniem
pewien wzór matematyczny, który uznawał za najpiękniej-
szy i polecił nawet umieścić go nad wejściem do Akademii.
Ów wzór to:
e"1 + l = O.

56 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Występują w nim Oli. fundamentalne w naszym systemie li-
czenia; występują też trzy działania, dodawanie, mnożenie
i potęgowanie; dwie słynne liczby niewymierne, e i n, oraz licz-
ba i, jednostka osi urojonej, a oprócz tego wzór jest po prostu
mity dla oka. Czego można chcieć więcej?
Siedem mostów w Królewcu
Euler był wprost niewiarygodnym wizjonerem. Pionierskie pra-
ce dotyczące liczb zespolonych (i gałęzi matematyki, zwanej
dziś analizą zespoloną) nie są bynajmniej jedynym jego orygi-
nalnym wkładem do matematyki. Euler zapoczątkował rów-
nież badania w dziedzinie, która w naszym stuleciu stała się
nieodzownym składnikiem wykształcenia każdego matematy-
ka, a także narzędziem wykorzystywanym podczas prób roz-
wiązania zagadki Fermata. Tą dziedziną jest topologia, teoria
odwołująca się do geometrycznej wyobraźni, rozpatrująca figu-
ry przestrzenne i te ich własności, które nie zmieniają się przy
przekształceniach ciągłych. Topologia polega na badaniu
kształtów i form, obdarzonych częstokroć zawiłymi, nieoczeki-
wanymi własnościami geometrycznymi i mogących wykraczać
z naszego zwykłego, trójwymiarowego świata w wymiar czwar-
ty, piąty, ósmy czy jedenasty. Zetkniemy się jeszcze z tą fascy-
nującą dziedziną podczas omawiania współczesnego podejścia
do wielkiego twierdzenia Fermata. Topologia, mimo że wydaje
się zupełnie nie związana z zagadnieniem Fermata, ma wielkie
znaczenie dla jego zrozumienia i rozwiązania.
Wkład Eulera do topologii, wyprzedzający o dobre sto kilka-
dziesiąt lat rozwój tej dziedziny, to rozwiązanie słynnego zada-
nia o siedmiu mostach królewieckich. Właśnie ta łamigłówka
wzbudziła zainteresowanie topologią.21 W czasach Eulera pły-
21 Zadanie o siedmiu mostach w Królewcu uważa się na ogót raczej za początek
teorii grafów, choć związków z topologią też można się tu doszukiwać. Do teorii
grafów zalicza się także omawiane dalej przez Autora zagadnienie czterech
barw (przyp. tium.).

AMIR D. ACZEL • 57

nącą przez Królewiec Pregołę przecinało siedem mostów, roz-
mieszczonych tak, jak pokazuje powyższy rysunek.
Euler postawił pytanie, czy można pójść na taki spacer, że-
by po każdym moście przejść dokładnie raz. Okazuje się, że
nie można tego zrobić. Z zadaniem o siedmiu mostach blisko
wiążą się też różnorodne zagadnienia o kolorowaniu map;
próbowano je rozwiązać w XIX i XX wieku. Wyobraźmy sobie
kartografa, który kreśli mapę świata. Każde dwa państwa ma-
jące wspólny odcinek granicy powinny być na tej mapie poko-
lorowane innymi barwami, żeby ułatwić rozróżnianie sąsia-
dów. Tym samym kolorem można pomalować państwa

odległe, które wspólnej granicy nie mają. Pytanie brzmi: jaka
jest najmniejsza z możliwych liczba kolorów, których należy
użyć do pomalowania mapy zgodnie z powyższymi regułami?
Jest to oczywiście problem ogólny - w rozwiązaniu nie należy
się sugerować aktualnym wyglądem mapy politycznej świata.
W istocie chodzi o to, by wskazać, jaka jest najmniejsza liczba
kolorów, która wystarczy do pomalowania dowolnej mapy na
płaszczyźnie (lub globusie) ze skończoną liczbą państw. Pól
żartem, pół serio można powiedzieć, że przy dzisiejszym powi-
kłaniu granic na terenie dawnej Jugosławii czy na Bliskim
Wschodzie, ten ogólny problem ma też pewne praktyczne za-
stosowania.
Z matematycznego punktu widzenia zagadnienie barw na-
leży do szeroko rozumianej topologii. W październiku 1852 ro-
ku Francis Guthrie, student uniwersytetu w Londynie, zajmo-
wał się kolorowaniem poszczególnych hrabstw na mapie

58 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Anglii i zastanawiał się, z ilu barw należy w tym celu skorzy-
stać. Stwierdził, że cztery barwy wystarczą - a skoro wystar-
czają do pokolorowania mapy Anglii, to dlaczego nie miałyby
wystarczyć do pokolorowania zupełnie dowolnej mapy? W ro-
ku 1879 udowodniono, że cztery barwy Istotnie wystarczą.22
Później jednak w dowodzie został wykryty błąd23 i dopiero
w roku 1976 dwaj matematycy, Kenneth Appel oraz Wolfgang
Haken, rozwiązali problem, który przez ten czas zyskał sobie
nazwę zagadnienia czterech barw. Ich dowód budzi liczne
kontrowersje po dziś dzień, opiera się bowiem nie tylko na
logicznym rozumowaniu, lecz także - i to w znacznym stopniu
- na wynikach działania skomplikowanego programu kompu-
terowego.
Gauss, genialny niemiecki uczony
Kwestię rzekomego błędu w podanym przez Eulera dowodzie
wielkiego twierdzenia Fermata dla n = 3 wyjaśnił Cari Frie-
drich Gauss (1777-1855). Podczas gdy większość renomowa-
nych matematyków owych czasów wywodziła się z Francji,
Gauss, bez wątpienia największy matematyk dziewiętnastego
stulecia - a być może w całej historii matematyki - był Niem-
cem z krwi i kości. W istocie nigdy, choćby nawet na krótko,
nie wyjechał z Niemiec. Dziadek Gaussa był bardzo biednym
chłopem, a ojciec - robotnikiem w Brunszwiku. Ojciec obcho-
dził się z synem szorstko, za to matka starała się go chronić
l wspierać. Młodym Gaussem opiekował się też wuj Friedrich,
brat jego matki Dorothei. Wuj, który wyrobił sobie pozycję
w branży włókienniczej, był zamożniejszy od rodziców Carla.
Pewnego razu trzyletni Car! obserwował, jak jego wuj dodaje
długie kolumny liczb w księdze handlowej. "Proszę wuja -
22 Zrobił to najpierw Arthur Bray Kempe, londyński adwokat, a po nim Peter
Guthrie Tait (przyp. tłum.).
23 Znalazł go w 1891 roku Percy John Heawood, dowodząc przy okazji, że mini-
malna liczba barw, która wystarczy do pomalowania dowolnej mapy na torusie,
czyli na dętce rowerowej, wynosi siedem (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 59
przerwał Cari - w tych rachunkach jest błąd". Począwszy od
tego dnia zdumiony wuj robił wszystko, by umożliwić młode-
mu geniuszowi zdobycie należnego wykształcenia. Chociaż

w szkole Gauss zapowiadał się nadzwyczaj obiecująco, jego za-
chowanie pozostawiało czasem wiele do życzenia. Pewnego
dnia nauczyciel za karę polecił Gaussowi zostać w klasie i zna-
leźć sumę wszystkich liczb od l do 100, podczas gdy reszta
uczniów poszła bawić się na świeżym powietrzu. Po dwóch mi-
nutach dziesięcioletni Gauss beztrosko przyłączył się do zaba-
wy kolegów. Nauczyciel wrzasnął wściekle: "Cari Friedrich! Czy
mam clę ukarać surowiej?! Powiedziałem ci, że masz siedzieć
w klasie, aż skończysz dodawać wszystkie liczby!" "Ależ już
skończyłem - odparł Gauss. - Tu jest odpowiedź". Z tymi słowy
Gauss wręczył nauczycielowi skrawek papieru z napisaną na
nim liczbą 5050, czyli prawidłową odpowiedzią. Najwidoczniej
Gauss wpadł na pomysł, by wypisać dwa rządki zawierające
po 101 liczb:
O l 2 3 ... 97 98 99 100
100 99 98 97 ... 3 2 1 0,
a następnie zauważył, że suma liczb w każdej kolumience jest
równa 100. Kolumienek jest 101, zatem suma wszystkich wy-
pisanych liczb wynosi 101x100 =10100. A suma liczb w każ-
dym rządku to właśnie suma, którą Gauss miał obliczyć (suma
wszystkich liczb od l do 100). Ponieważ potrzebny jest tylko
jeden z dwóch rządków, więc trzeba wziąć połowę z 10100,
czyli 5050. Bardzo proste, pomyślał. Nauczyciel wziął sobie
ową lekcję do serca i nigdy więcej nie kazał Gaussowi rozwią-
zywać za karę zadań matematycznych.
Piętnastoletni Gauss zyskał uznanie księcia Brunszwiku
l dzięki ufundowanemu przez niego stypendium mógł ukoń-
czyć renomowany uniwersytet w Getyndze. Tam właśnie, 30
marca 1796 roku, zapisał pierwszą stronę w swoim słynnym
dzienniku. Dziennik miał tylko dziewiętnaście stron, na któ-
rych Gauss pomieścił 146 zwięzłych notatek o najważniej-
szych wynikach swoich prac. Jak później stwierdzono, różne

60 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
zapiski w dzienniku Gaussa wyprzedzały większość nowych,
ważnych pomysłów i osiągnięć, opublikowanych przez mate-
matyków końca XVIII wieku i pierwszej połowy XIX wieku.
Dziennik ujrzał światło dzienne dopiero w 1898 roku, kiedy
odnaleziono go w domu wnuka Gaussa w miejscowości
Hamlin.
Wyniki Gaussa w teorii liczb, o których w regularnie pro-
wadzonej korespondencji informował kolegów po fachu, mia-
ły ogromne znaczenie dla podejmowanych przez wielu mate-
matyków prób udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata.
Część tych rezultatów można odnaleźć w książce Gaussa,
którą opublikował po łacinie w 1801 roku, gdy miał 24 lata.
Książka ta, Disqu.lsition.es arithmeticae, została następnie
przełożona na francuski i w 1807 roku wydana w Paryżu,
gdzie cieszyła się dużym zainteresowaniem. Uznawano ją za
dzieło geniusza. Gauss dedykował ją swemu dobroczyńcy,
księciu Brunszwiku.
Gauss był również wybitnym znawcą języków klasycznych.
Już wstępując na uniwersytet, po mistrzowsku posługiwał się
łaciną.
Zainteresowanie filologią wywołało swego rodzaju kryzys
w jego karierze: rozmyślał, czy ma zajmować się studiowaniem
języków, czy też raczej matematyką. Punkt zwrotny nastąpił
30 marca 1796 roku. Z jego dziennika dowiadujemy się, że te-

go właśnie dnia młody człowiek postanowił poświęcić się mate-
matyce. Gauss wniósł istotny wkład do wielu gałęzi matematy-
ki oraz statystyki. Jest m.in. autorem pomysłowej metody
najmniejszych kwadratów, pozwalającej znaleźć prostą najle-
piej pasującą do zbioru wyników pomiaru czy eksperymentu.
Zawsze jednak uważał, że sercem wszelakiej matematyki jest
teoria liczb.
Dlaczego największy geniusz matematyczny świata nigdy
nie próbował dowodzić wielkiego twierdzenia Fermata? Przy-
jaciel Gaussa, astronom H. W. M. Olbers, poinformował go
w liście napisanym 7 marca 1816 roku w Bremie, że Paryska
Akademia Nauk wyznaczyła pokaźną nagrodę dla tego, kto
udowodni (lub obali) wielkie twierdzenie Fermata. Gaussowi

AMIR D. ACZEL • 61
z pewności^. się ta sumka przyda, troskliwie podpowiadał
przyjaciel. W owym czasie, jak zresztą podczas całej swej ka-
riery naukowej, Gauss korzystał z finansowego wsparcia
księcia Brunszwiku i dzięki temu mógł zajmować się mate-
matyką bez konieczności poszukiwania dodatkowej pracy.
Niemniej do zamożności było mu daleko; tymczasem, zgodnie
z sugestią Olbersa, żaden inny matematyk nie mógł się z nim
równać umiejętnościami i doświadczeniem. "Uważam więc za
słuszne, drogi Gaussie, byś się tym problemem zajął" - koń-
czył Olbers.
Gauss Jednak nie dał się skusić. Prawdopodobnie wiedział,
jak złudne jest wielkie twierdzenie Fermata. Obdarzony genial-
ną głową, świetnie znający teorię liczb, mógł być jedynym ma-
tematykiem w Europie zdającym sobie sprawę z tego, jak trud-
no będzie podać dowód. Dwa tygodnie później, w odpowiedzi
na list Olbersa, Gauss zakomunikował mu swoje zdanie na te-
mat wielkiego twierdzenia Fermata: "Jestem Ci niezmiernie
wdzięczny za wieści o paryskiej nagrodzie. Muszę jednak wy-
znać, że twierdzenie Fermata, jako rezultat izolowany, intere-
suje mnie w bardzo niewielkim stopniu. Podobnych stwierdzeń
mógłbym z łatwością podać mnóstwo i nikt nie potrafiłby ich
ani udowodnić, ani obalić". Jak na ironię losu, Gauss wniósł
wielki wkład do gałęzi matematyki, zwanej analizą zespoloną ~
dziedziny, która wyrosła z prowadzonych przez Eulera badań
liczb urojonych i zespolonych. Te zaś liczby miały w XX wieku
odegrać decydującą rolę w zrozumieniu kontekstu wielkiego
twierdzenia Fermata.
Liczby urojone i zespolone
Ciało liczb zespolonych tworzy się, wrzucając do jednego wor-
ka liczby rzeczywiste i liczby urojone; oba rodzaje liczb znał już
Euler. Na trop liczb zespolonych matematycy wpadli, próbując
rozwiązać równania typu: x2 + l = O. "W rzeczywistości" to pro-
ste równanie nie ma rozwiązań, nie Istnieje bowiem żadna licz-
ba rzeczywista, której kwadrat byłby równy -l (tyle właśnie

62 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
trzeba dodać do jedynki, żeby otrzymać zero). Gdybyśmy jed-
nak umówili się, że istnieje liczba równa pierwiastkowi kwa-
dratowemu z -l, to - choć nie byłaby to oczywiście liczba rze-
czywista - moglibyśmy powyższe równanie rozwiązać.
W taki oto sposób wychodzimy poza oś liczbową i dorzuca-
my do naszego worka z liczbami liczby urojone, czyli rzeczywi-

ste wielokrotności pierwiastka kwadratowego z -l, oznaczane-
go symbolem L Liczby urojone umieszczamy na ich własnej osi
liczbowej, prostopadłej do osi rzeczywistej. Obie osie razem
tworzą układ współrzędnych na płaszczyźnie zespolonej, poka-
zany na rysunku poniżej. Płaszczyzna zespolona ma wiele za-
skakujących własności - na przykład Jej obrót o 90 stopni
odpowiada mnożeniu przez i.

Mnożąc przez (, obracamy płaszczyznę o kąt prosty w kierunku przeciwnym
do ruchu wskazówek zegara.
Płaszczyzna zespolona jest najmniejszym ciałem liczbowym,
zawierającym rozwiązania wszystkich równań kwadratowych

AMIR D. ACZEL • 63
o współczynnikach rzeczywistych. Jest też narzędziem niewia-
rygodnie wprost użytecznym w zastosowaniach matematyki
w różnych dziedzinach, m.in. w elektronice i mechanice pły-
nów. W roku 1811, wyprzedzając swą epokę o kilka dziesięcio-
leci, Gauss studiował własności funkcji zdefiniowanych na
płaszczyźnie zespolonej. Odkrył wówczas zadziwiające własno-
ści tak zwanych funkcji analitycznych, stwierdzając, że są one
niezwykle regularne, a obliczenia z ich pomocą można wyko-
nywać bardzo zgrabnie i elegancko. Funkcje analityczne za-
chowują kąty między krzywymi na płaszczyźnie; tę własność
i Jej konsekwencje zaczęto intensywnie badać w naszym stule-
ciu. Pewne funkcje analityczne, tak zwane formy modułowe,
miały odegrać kluczową rolę w nowych podejściach do proble-
mu Fermata.
W swojej skromności Gauss nie opublikował owych impo-
nujących wyników. Wspomniał tylko o nich w liście do przyja-
ciela, Friedricha Wilhelma Bessela (1784-1846). Gdy po wielu
latach teoria pojawiła się znów, nikt nie wiązał jej z nazwi-
skiem Gaussa. Zasługi za odkrycia dotyczące funkcji anali-
tycznych, które Gauss rozumiał tak dobrze, przypadły w udziale
innym matematykom.
Sophie Germain
Pewnego dnia Gauss dostał list, pod którym podpisał się nieja-
ki "Monsleur Leblanc". Leblanc był zafascynowany książką
Gaussa Disquisitiones arthmeticae i przysłał jej autorowi swoje
wyniki z zakresu arytmetyki teoretycznej. Pod wpływem na-
wiązanej korespondencji Gauss nabrał szacunku dla pana Le-
blanca i jego matematycznych osiągnięć. Uznanie nie zmalało,
gdy Gauss odkrył, że jego korespondent nie nazywa się wcale
Leblanc, a w dodatku żaden z niego "Monsieur". Osóbką piszą-
cą pełne erudycji listy o matematyce była Sophie Germain
(1776-1831), jedna z bardzo nielicznych w owym czasie kobiet
uprawiających tę dziedzinę wiedzy. Gauss, po wykryciu pod-
stępu, pisał do niej tak:

64 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Jakże mam Pani opisać podziw i zdumienie, które ogarnęły
mnie, gdy stwierdziłem, że mój godzien szacunku korespon-
dent, Mr. Leblanc, zmienił się w osobę tak znamienitą, tak
promienny przykład czegoś, w co trudno mi do tej pory było
uwierzyć...
(Te słowa kierowane do Sophie Germain zostały napisane

w Brunszwiku w dniu urodzin Gaussa; świadczy o tym fran-
cuskie zakończenie listu: Bronsute ce 30 avril 1807 jow de ma
naissance).
Sophie Germain ukryła się pod męskim nazwiskiem, by unik-
nąć powszechnych w owych czasach uprzedzeń wobec uprawia-
jących naukę kobiet i na serio zainteresować Gaussa. Podjęła
jedną z najpoważniejszych prób udowodnienia wielkiego twier-
dzenia Fermata i poczyniła znaczące postępy. Twierdzenie So-
phie Germain, dzięki któremu jego autorka zdobyła spore uzna-
nie, głosi w najprostszej wersji, że jeśli dla wykładnika p = 5
Istnieje trójka liczb tworzących rozwiązanie równania Fermata,
to iloczyn tych liczb dzieli się przez 5.24 Twierdzenie to, jak po-
kazała Sophie Germain w 1823 roku, zachodzi dla wszystkich
p nazywanych obecnie liczbami pierwszymi Sophie Germain,
czyli dla takich wykładników pierwszych p, dla których 2p + l
też jest liczbą pierwszą (np. dla p = 11 lub p = 23, ale nie dla
p = 13). Dzięki temu w dowodzie wielkiego twierdzenia Fermata
można rozróżnić dwa przypadki: tak zwany przypadek pierwszy,
gdy żadna z trójki liczb będących rozwiązaniem równania Fer-
mata nie dzieli się przez wykładnik p, oraz przypadek drugi, gdy
któraś z tych liczb jest podzielna przez p. Wykorzystując ważny
wynik Sophie Germain, nietrudno jest, po niewielkich modyfika-
cjach rozumowania, udowodnić, że dla nie przekraczających
100 wykładników pierwszych p wielkie twierdzenie Fermata mo-
że być fałszywe jedynie w drugim przypadku.25
24 Jeśli w dodatku założymy, że owe trzy liczby są względnie pierwsze, co w ni-
czym nie zmniejsza ogólności rozumowania, to przez 5 dzieli się dokładnie jedna
z nich (przyp. tłum.).
25 Harold M. Edwards: Fermat's Last Theorem. Springer-Verlag, Nowy Jork
1977,s. 61-73.

AMIR D, ACZEL • 65
Sophie Germain zmuszona była ujawnić swą tożsamość,
gdy Gauss poprosił przyjaciela "Leblanca" o przysługę. Działo
się to w roku 1807, kiedy Napoleon okupował Niemcy. Francu-
zi nałożyli wówczas na Niemców surowe kontrybucje wojenne,
określając sumę przypadającą każdemu do zapłacenia wedle
tego, jak postrzegali jego zamożność i pozycję. Gauss, jako
gruba ryba nauki, wybitny astronom i matematyk z Getyngi,
miał spłacić 2000 franków, co przekraczało jego możliwości.
Paru francuskich matematyków, którzy przyjaźnili się z wiel-
kim uczonym, zaoferowało swą pomoc, on jednak odmówił
przyjęcia ich pieniędzy.
Gauss chciał, by ktoś wstawił się za nim u francuskiego ge-
nerała Pemety'ego, stacjonującego w Hanowerze. Napisał więc
do swego przyjaciela "Leblanca", pytając, czy ten nie mógłby
skontaktować się z francuskim generałem w jego imieniu. Gdy
Sophie Germain z radością zastosowała się do tej prośby, jej
tożsamość wyszła na Jaw. Gauss (jak widać z jego listu - pełen
emocji) podtrzymał korespondencję, która z czasem objęła wie-
le matematycznych tematów. Niestety, obydwoje nigdy się nie
spotkali. Sophie Germain zmarła w Paryżu w 1831 roku, za-
nim Uniwersytet w Getyndze zdążył przyznać jej honorowy
doktorat, do którego rekomendował ją Gauss.
Obok swego wkładu do prób udowodnienia wielkiego
twierdzenia Fermata, Sophie Germain ma na koncie wiele
osiągnięć, między innymi w zakresie teorii liczb, ale nie tyl-
ko. Aktywnie zajmowała się również teorią plastyczności

oraz akustyką, a także innymi gałęziami matematyki czystej
l stosowanej.
Jasna kometa 1811 roku
Gauss prowadził ważne badania astronomiczne, zmierzające
między innymi do określenia orbit planet. 22 sierpnia 1811 ro-
ku zaobserwował po raz pierwszy kometę, która była ledwo wi-
doczna na nocnym niebie. Umiał dokładnie wyznaczyć jej tra-
jektorię. Gdy po pewnym czasie kometa zaczęła jasno świecić

66 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
na niebie, prości, nękani wojnami mieszkańcy Europy chętnie
widzieli w niej znak niebios, przepowiadający rychły upadek
Napoleona. Gauss natomiast obserwował, jak potwierdzają się
Jego przewidywania - kometa poruszała się po orbicie, którą
obliczył z dużą dokładnością. Okazało się jednak, że w prze-
sądnych opowieściach niewykształconych mieszkańców na-
szego globu tkwiło również ziarenko prawdy: w następnym ro-
ku Napoleon poniósł klęskę i musiał wycofać swe wojska
z Rosji. Gaussa to nawet bawiło. Po tym, jak Francuzi zdarli
z niego i jego rodaków niemal ostatni grosz, wcale się nie
zmartwił, widząc Napoleona na kolanach.
Uczeń
Norweski matematyk Niels Henrik Abel przyjechał do Paryża
w październiku 1826 roku. Próbował tam nawiązać kontakty
z innymi kolegami po fachu, ponieważ stolica Francji była
w owym czasie prawdziwą Mekką matematyków. Do osób naj-
bardziej imponujących Abelowi należał Peter Gustaw Lejeune
Dirichlet (1805-1859), Prusak, który też odwiedzał Paryż
i z sympatią odnosił się do młodego Norwega, biorąc go począt-
kowo za rodaka z Prus. Abelowi szczególnie spodobało się to,
że Dirichlet podał dowód wielkiego twierdzenia Fermata dla
n = 5. Pisał o tym w liście do jednego z przyjaciół, wspomina-
jąc, że ten sam wynik powtórzył Adrien Marie Legendre
(1752-1833), wedle opisu Abela człowiek niebywale uprzejmy
l bardzo stary. Legendre udowodnił twierdzenie Fermata dla
n = 5 niezależnie od Dlrlchleta, dwa lata później od niego. Nie-
stety, podobne odkrycia zdarzały mu się często - wiele jego
spóźnionych prac wypierały nowocześniejsze dzieła młodszych
matematyków.
Dirichlet był przyjacielem i uczniem Gaussa. Nakład słynnej
książki Gaussa, Disqu.isition.es arithmeticae, wyczerpał się
wkrótce po jej opublikowaniu. Nawet matematykom pracują-
cym w tej samej co Gauss dziedzinie trudno było zdobyć eg-
zemplarz na własność. A wielu posiadaczy książki i tak nie ro-

AMIR D. ACZEL • 67
zumiało jej do końca. Dirichlet należał do tych szczęśliwców,
którzy mieli swój egzemplarz. Uczony prawie się z nim nie roz-
stawał. Książka towarzyszyła mu w licznych podróżach po ca-
łym kontynencie, do Paryża, Rzymu l innych miast. Dirichlet
dosłownie sypiał z Disquisitiones pod poduszką. Dzieło Gaussa
nazywano czasem patetycznie księgą siedmiu pieczęci. Jeśli
się z tym zgodzić, to utalentowany Dirichlet wiedział niewątpli-
wie, jak te pieczęcie przełamać. Zrobił więcej niż ktokolwiek In-
ny, by wyjaśnić i wytłumaczyć całemu światu zawartość dzieła
swego mistrza.
Poza nagłaśnianiem i wyjaśnianiem treści Disquisitiones

oraz podaniem dowodu wielkiego twierdzenia Fermata dla wy-
kładnika n = 5, Dirichlet udowodnił wiele innych twierdzeń.
Jeden z ciekawszych rezultatów jego badań dotyczy ciągu aryt-
metycznego postaci: a, a + b. a + 2b, a + 3b, a + 4b, ... i tak da-
lej, przy czym obie liczby a l b są całkowite l nie mają wspólne-
go dzielnika większego od jedynki (tzn. mogą to być np. 2 i 3
albo 3 l 5. albo 6 i 35, nie mogą zaś być np. 2 i 4, dlatego że
obie dzielą się przez 2, ani 6 l 9, które mają wspólny dzielnik
3). Otóż Dirichlet udowodnił, że w każdym ciągu tej postaci
występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Zadziwiają-
cym składnikiem jego dowodu było wykorzystanie metod ana-
lizy matematycznej, ważnej gałęzi matematyki, która zawiera
w sobie m.ln. rachunek różniczkowy i całkowy. W analizie ma-
my do czynienia z obiektami ciągłymi, z funkcjami określony-
mi na contlnuum elementów osi liczbowej. Wydaje się to bar-
dzo odległe od dyskretnego świata liczb całkowitych l liczb
pierwszych - królestwa teorii liczb.
W naszym stuleciu podobny most między odległymi z pozo-
ru gałęziami matematyki zapowiedział nowoczesne spojrzenie
na twierdzenie Fermata, spojrzenie ukoronowane później do-
wodem. Dirichlet był jednym ze śmiałych pionierów, jednoczą-
cych odległe gałęzie matematyki.
W późniejszym czasie uczeń odziedziczył stanowisko swego
mistrza. Gdy Gauss zmarł w 1855 roku, Dirichleta spotkał
wielki zaszczyt: opuścił on prestiżową posadę w Berlinie, by
zastąpić Gaussa w Getyndze.

68 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Matematycy Napoleona
Cesarz Francuzów kochał matematyków, chociaż sam nie
był jednym z nich.26 Bliskie kontakty łączyły go w szczegól-
ności z Gaspardem Monge'em (1746-1818) oraz Josephem
Fourierem (1768-1830). W 1798 roku Napoleon zabrał obu
panów do Egiptu, aby pomogli .cywilizować" ten starożytny
kraj.
Fourier urodził się w Auxerre, we Francji, 21 marca 1768
roku. Gdy miał osiem lat, został sierotą. Miejscowy biskup po-
mógł mu dostać się do szkoły wojskowej. Już w wieku lat dwu-
nastu Fourier wykazywał wielkie zdolności. Zapędzano go do
pisania tekstów kazań dla dostojników kościelnych z Paryża,
a ci wygłaszali Je następnie jako swoje własne. Wielka Rewolu-
cja Francuska z 1789 roku oszczędziła Fourierowi spędzenia
reszty życia w zakonnej sukni. Został matematykiem i entuzja-
stycznym stronnikiem rewolucji. Okres jakobińskiego terroru,
który wkrótce nastąpił, Fourier uznał za odpychająco brutal-
ny. Wykorzystywał elokwencję, wykształconą przez lata pisa-
nia kazań, głosząc swój sprzeciw wobec okrucieństwa. Talent
świetnego mówcy przydawał mu się także w nauczaniu mate-
matyki w najlepszych szkołach Paryża.
Fourier interesował się Inżynierią, matematyką stosowaną
l fizyką. W słynnej Ecole Polytechmque prowadził rozległe ba-
dania naukowe w tych dziedzinach. Wiele spośród jego prac
dostąpiło zaszczytu prezentacji w Akademii Nauk. Rosnącą
sławą Fouriera zainteresował się sam Napoleon i w 1798 roku
zaprosił go na pokład okrętu flagowego, płynącego na czele
złożonej z pięciuset jednostek floty francuskiej, kierującej się
do Egiptu. Fourier należał do tzw. Legionu Kultury, którego
zadaniem było "obdarzyć naród egipski wszelkimi dobrodziej-

stwami cywilizacji europejskiej". Armada Inwazyjna miała
nieść nie tylko podbój, ale i kulturę...
26 Ten sąd Autora jest dla Napoleona nieco krzywdzący. W elementarnej geo-
metrii płaskiej znane jest tzw. twierdzenie Napoleona; czymś podobnym nie mo-
gą się siczycić Clinton, Jelcyn, Chirac czy Kwaśniewski (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL • 69
W Egipcie obaj matematycy założyli Instytut Egipski, a Fou-
rier wrócił do Francji dopiero po czterech latach, w roku 1802,
by zostać prefektem regionu położonego wokół Grenoble.
Przedsięwziął tam wiele pożytecznych inicjatyw, takich jak
osuszenie bagien l zwalczanie malarii. Mimo nawału pracy
Fourier, matematyk, który stał się administratorem, znajdował
jakimś cudem czas na twórczą, znakomitej jakości pracę na-
ukową. Arcydziełem Fouriera jest matematyczna teoria prze-
wodnictwa cieplnego, udzielająca odpowiedzi na ważne pyta-
nie: jak rozchodzi się ciepło? Za to dokonanie uczony otrzymał
w 1812 roku Grand Prix Paryskie] Akademii Nauk. Część jego
prac opierała się na eksperymentach, które przeprowadził na
pustyni podczas lat spędzonych w Egipcie. Niektórzy z jego
przyjaciół sądzili, że owe eksperymenty - a w szczególności
poddawanie się działaniu rozpalonego upałem powietrza w za-
mkniętych pomieszczeniach - spowodowały jego przedwczesną
śmierć w wieku 62 lat.
Ostatnie lata życia Fourier spędził, snując opowieści o Na-
poleonie i historii swojej z nim znajomości, zarówno podczas
pobytu w Egipcie, jak i później, po ucieczce Napoleona z Elby.
Unieśmiertelniła go jednak nie przyjaźń z cesarzem, ale prace
o rozchodzeniu się ciepła i stworzona przezeń teoria funkcji
okresowych. Odpowiedni szereg funkcji okresowych, który
można wykorzystać do przybliżania innej funkcji lub szacowa-
nia jej wartości, nazywamy szeregiem Fouriera.
Funkcje okresowe
Najprostszego przykładu funkcji okresowej dostarcza tradycyj-
ny zegarek. Minuta po minucie duża wskazówka okrąża tar-
czę, by po godzinie wrócić do miejsca, z którego rozpoczynała
wędrówkę. Potem wszystko zaczyna się od nowa; po kolejnych
sześćdziesięciu minutach wskazówka znów powraca w to samo
miejsce. (Oczywiście, w miarę upływu kolejnych godzin mała
wskazówka zmienia swoje położenie na tarczy zegarka). Poło-
żenie wskazówki minutowej na tarczy zegarka to okresowa

70 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
funkcja czasu. Jej okres stanowi równo sześćdziesiąt minut.
Można powiedzieć, że przestrzeń wszystkich minut świata -
nieskończenie wielu minut, które upłyną od teraz do wieczno-
ści - jest nakładana przez dużą wskazówkę na tarczę zegarka,
zupełnie tak, jak nitka nawija się na szpulkę:

Zastanówmy się teraz nad innym przykładem i przypatrzmy
się pędzącej po torach lokomotywie. Ramię, przekazujące napęd
z silnika na koło, porusza się wciąż w górę i w dół, gdy koło się
obraca. Po każdym pełnym obrocie koła ramię powraca do pozy-
cji wyjściowej -jego ruch też jest okresowy. Jeśli przyjmiemy, że
promień koła lokomotywy ma jednostkową długość, to wówczas
odległość końca ramienia od poziomej płaszczyzny zawierającej

oś wyraża się za pomocą funkcji sinus. (To jedna z elementar-
nych funkcji okresowych, o których uczymy się w szkole). Za
pomocą cosinusa można określić odległość końca ramienia od
przechodzącej przez oś płaszczyzny pionowej. Zarówno sinus,
jak i cosinus są funkcjami kąta między poziomą linią przebiega-
jącą przez środki kół lokomotywy a promieniem poprowadzo-
nym do końca ramienia.
Gdy pociąg porusza się do przodu, stojący obserwator widzi,
jak koniec ramienia zakreśla falistą krzywą, podobną do wi-
docznej na rysunku na następnej stronie. Krzywa ta jest okre-
sowa. Okres to 360 stopni, co odpowiada pełnemu obrotowi
koła. Z początku koniec ramienia znajduje się na umownej wy-

AMIR D. ACZEL • 71

sokości zerowej, potem wznosi się po grzbiecie falistej krzywej
na wysokość jeden, następnie z powrotem opada do zera l ni-
żej, aż do minus jedynki, a na koniec wędruje w górę, do zera.
Potem cały cykl zaczyna się od nowa.
Fourier odkrył, że prawie wszystkie w miarę porządne funk-
cje można z dowolną dokładnością przybliżać sumami wielu
(teoretycznie nieskończenie wielu, gdy chcemy osiągnąć do-
kładność niemal doskonałą) sinusów i cosinusów. Mówi o tynu
sławne twierdzenie o szeregach Fouriera. Rozwinięcie dowolnej!
funkcji w sumę wielu sinusów i cosinusów stosuje się w mate-
matyce w bardzo wielu sytuacjach, gdy wyrażenie, z którymi
mamy do czynienia, jest zawiłe i trudne do zbadania - nato-
miast suma wielu sinusów i cosinusów, pomnożonych przez
odpowiednio dobrane współczynniki, łatwo poddaje się rozma-
itym manipulacjom l obliczeniom. Jest to szczególnie praktycz--
ne, gdy do obliczeń wykorzystujemy komputer. Dziedzina ma -
tematyki, którą nazywa się analizą numeryczną, zajmuje siaę
technikami sprawnego obliczania wartości najróżniejszycin
funkcji i wyrażeń. Istotną częścią analizy numerycznej jes-t
tzw. analiza fourierowska. Za pomocą rozwinięć w szeregi Fom-
riera bada ona skomplikowane problemy, których rozwiązani a
nie wyrażają się prostymi, jawnymi wzorami. Po pionierskicżh
pracach Fouriera zaczęto też stosować rozwinięcia, wykorzy-
stujące inne, stosunkowo proste funkcje, głównie rozmaite
wielomiany (to znaczy sumy rosnących potęg zmiennej: kwa-
dratów, sześcianów Itd.). Gdy obliczamy na kalkulatorze pierr-
wiastek kwadratowy z jakiejś liczby, to poznajemy w istocie
tylko jego przybliżenie znalezione tego rodzaju metodą.

72 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Złożone z sinusów i cosinusów szeregi Fouriera są szczegól-
nie przydatne do badania zjawisk, w których sumy funkcji
okresowych pojawiają się tak czy Inaczej w naturalny sposób.
Dotyczy to na przykład muzyki. Utwór muzyczny można rozło-
żyć na składowe, proste dźwięki. Przypływy i odpływy morza
czy kolejne fazy Księżyca to też zjawiska okresowe.
Choć zastosowań szeregów Fouriera do opisu zjawisk natu-
ralnych oraz w różnorodnych technikach obliczeniowych nie
można w żadnym razie przemilczeć, naprawdę zaskakujące jest
dopiero to, że zarówno szeregów Fouriera, jak i analizy fourie-
rowskiej używa się w czystej matematyce, która nigdy nie nale-

żała do kręgu głównych zainteresowań Fouriera. W XX wieku
Góro Shimura wykorzystał szeregi Fouriera w swoich pracach
teorioliczbowych jako swego rodzaju narzędzie do przenoszenia
obiektów matematycznych z jednego obszaru w inny. (Przypo-
mnijmy: dowód hipotezy Shimury to samo sedno dowodu wiel-
kiego twierdzenia Fermata). Dzięki badaniu przedłużeń funkcji
okresowych na płaszczyznę zespoloną - łączącemu dwie gałęzie
analizy matematycznej - inny uczony francuski, Henri Poin-
care, doszedł na początku XX wieku do odkrycia funkcji auto-
morficznych oraz form modułowych, które później miały decy-
dujący wpływ na losy wielkiego twierdzenia Fermata.
Kulawy dowód Lamego
Pierwszego marca 1847 roku, na posiedzeniu Paryskiej Akade-
mii Nauk, matematyk Gabriel Lamę27 (1795-1870), szalenie
podekscytowany, obwieścił wszystkim, że znalazł dowód wiel-
kiego twierdzenia Fermata dla ogólnego przypadku. Przedtem
badano Jedynie przypadki pojedynczych wykładników n; do-
wód był znany dla n = 3, 4, 5, 6 i 7. Lamę zaproponował ogólne
podejście do zagadnienia Fermata, które -jak sądził - powinno
być prawdziwe dla dowolnego wykładnika n. Jego metoda pole-
27 Nieprzetłumaczalna gra słów: pozbawione akcentu nad e nazwisko "Lamę"
i angielskie słowo "kulawy" wyglądają identycznie (prayp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 73
gala na tym, by wykorzystując liczby zespolone, rozłożyć lewą
stronę rozpatrywanego równania (x" + y") na iloczyn czynni-
ków liniowych. Lamę stwierdził też skromnie, że sława powin-
na spłynąć nie tylko na niego, gdyż wspomnianej metody na-
uczył się przy innej okazji od Josepha Liouville'a (1809-1882).
Llouville jednak wszedł na mównicę bezpośrednio po Łamem
l kategorycznie odmówił przyjęcia jakichkolwiek pochwał.
Stwierdził ze spokojem, że Lamę wcale nie udowodnił wielkiego
twierdzenia Fermata, bowiem zastosowany przezeń rozkład na
czynniki wcale nie jest jednoznaczny (to znaczy, że można go
wykonać na wiele sposobów), a zatem nie prowadzi do rozwią-
zania. Była to więc próba odważna i pełna fantazji, iście kawa-
leryjska, tyle że - jak wiele innych - zupełnie bezowocna. Jed-
nakże z samego pomysłu, by zapisać lewą stronę równania-
w postaci iloczynu n czynników liniowych, uczyniono powtór-
ny użytek.
Liczby idealne
Jako drugi rozkładu na czynniki spróbował Ernst EduarcB
Kummer (1810-1893), człowiek, który do rozwiązania proble-
mu Fermata w przypadku ogólnym zbliżył się bardziej niż kto-
kolwiek z jemu współczesnych. W istocie Kummer, próbując
udowodnić wielkie twierdzenie Fermata, stworzył nową teorię
matematyczną, tzw. teorię liczb idealnych.
Matka Kummera owdowiała, gdy miał on zaledwie trzy lata_,
l wykształcenie syna musiała okupić ciężką pracą. W wieku la_t
osiemnastu młody Kummer wstąpił na Uniwersytet w Hall«^
w Niemczech z zamiarem studiowania teologii i przygotowania
się do życia w służbie Kościoła. Pewien dalekowzroczny profe--
sor matematyki, entuzjastycznie podchodzący do algebry i teon-
rii liczb, zdołał zainteresować tymi dziedzinami Kummera, tem
zaś wkrótce porzucił teologię dla matematyki. Podczas trzecie;-
go roku studiów rozwiązał trudny problem matematyczny, z. a
który oferowano nagrodę. Dzięki temu sukcesowi zdobył
doktorat z matematyki w wieku dwudziestu jeden lat.

74 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Mimo to Kummer nie mógł znaleźć pracy na żadnym z nie-
mieckich uniwersytetów i musiał zadowolić się posadą nauczy-
ciela w szkole średniej, do której sam kiedyś chodził. Nauczy-
cielem był przez dziesięć lat, prowadząc jednocześnie rozliczne
badania naukowe, które częściowo publikował, a częściowo
opisywał w listach kierowanych do czołowych matematyków.
Przyjaciele zdawali sobie oczywiście sprawę, że los utalentowa-
nego matematyka, zmuszonego do wykonywania zawodu na-
uczyciela w szkole średniej, jest niewesoły. Dzięki wstawien-
nictwu i pomocy kilku wpływowych matematyków Kummer
otrzymał profesurę na Uniwersytecie we Wrocławiu. W rok
później zmarł Gauss. Jego miejsce w Getyndze zajął Dirlchlet,
opuszczając swą katedrę na słynnym Uniwersytecie Berliń-
skim. Kummera wybrano, by zastąpił Dirichleta w Berlinie.
Piastował to stanowisko aż do emerytury.
Kummer zajmował się najróżniejszymi zagadnieniami mate-
matycznymi, od bardzo abstrakcyjnych do bardzo praktycz-
nych - pracował nawet nad zastosowaniami matematyki do
techniki wojennej. Największą sławę przyniosły mu jednak
szeroko zakrojone prace nad wielkim twierdzeniem Fermata.
Zajmował się nim tak jak sławny francuski matematyk Augu-
stin Louis Cauchy (1789-1857), któremu wielokrotnie wyda-
wało się, że wpadł na trop ogólnego rozwiązania problemu Fer-
mata. Lecz Cauchy był też niecierpliwy i niedbały; za każdym
razem okazywało się, że problem jest daleko trudniejszy niż
przypuszczał: liczbom po prostu brakowało własności, których
do swych rozumowań potrzebował Cauchy. Z czasem więc
Cauchy porzucił wielkie twierdzenie Fermata i zajął się innymi
zagadnieniami.
Kummer, owładnięty natrętnymi myślami o wielkim twier-
dzeniu Fermata, kroczył z początku szlakiem daremnych usi-
łowań Cauchy'ego. Nie porzucił jednak nadziei, gdy raz za ra-
zem okazywało się, że używanym przezeń ciałom liczbowym
brakuje tej czy innej własności. Zamiast rozpaczać, stworzył
inne, nowe liczby, które miały niezbędne cechy. Nazwał je licz-
bami idealnymi. W ten sposób Kummer, wychodząc od zera,
zbudował zupełnie nową teorię i wykorzystywał ją, próbując

AMIR D, ACZEL • 75.
udowodnić wielkie twierdzenie Fermata. W pewnym momencie-
Kummer myślał nawet, że wreszcie znalazł ogólny dowód. Oka-
zało się, niestety, że cel pozostał poza zasięgiem jego starań.
Niemniej Kummer, atakując problem Fermata, poczynił ol-
brzymie postępy. Dzięki zastosowaniu swoich liczb idealnych
zdołał udowodnić wielkie twierdzenie Fermata dla wszystklcn
wykładników należących do bardzo obszernej klasy tak zwą -
nych regularnych liczb pierwszych. Na przykład wśród liczba
pierwszych mniejszych od 100 nie są regularne tylko trzy: 37",
59 i 67. Tym samym wiadomo było, że twierdzenie zachodzi
również dla każdego z nieskończenie wielu wykładników, któr' e
dzielą się choćby przez jedną z regularnych liczb pierwszych.218
Liczby nieregularne wymknęły się z sieci rozważań Kummera.
Nieco później rozpracował on jednak oddzielnie przypadki nie-
których nieregularnych liczb pierwszych, w tym wspomniame
37, 59 i 67. W efekcie, pod koniec lat pięćdziesiątych XIX wie-

ku, dzięki niewiarygodnemu przełomowi, dokonanemu przez
Kummera, wiadomo było, że wielkie twierdzenie Fermata jest
prawdziwe dla wszystkich wykładników mniejszych od 100
(l dla nieskończonego zbioru wykładników złożonego z wszys-t-
kich wielokrotności liczb pierwszych mniejszych od 100). Choć
nie był to wymarzony ogólny dowód, a prawdziwość twierdz-e-
nia pozostawała nie rozstrzygnięta dla nieskończenie wielu
wykładników, prace Kummera należy uznać za istotne osi. ą-
gnięcie.
W 1816 roku Francuska Akademia Nauk ufundowała n^a-
grodę dla tego, kto udowodni wielkie twierdzenie Fermata.
W roku 1850 Akademia ponowiła propozycję, oferując złcoty
medal i sumę 3000 franków matematykowi, który po<ia
dowód wielkiego twierdzenia Fermata. W roku 1856 zdecydo-
wano nagrodę wycofać, nie wydawało się bowiem, żeby roz-
wiązanie problemu Fermata miało się pojawić w bliskiej przy-
szłości. Zamiast tego Akademia postanowiła, że nagrodę ",za
28 Do dziś nie wiemy, czy regularnych liczb pierwszych jest nieskończenie wi-ele;
pewne jest natomiast to, że nieregularnych liczb pierwszych jest nieskończenie
wiele, co udowodnil w 1915 roku K. L. Jensen (przyp. tłum.).

76 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
przepiękne badania liczb zespolonych, utworzonych z pier-
wiastków z jedynki i liczb całkowitych" otrzyma Ernst Eduard
Kummer. I tak oto Kummer dostał nagrodę, o którą się wcale
nie ubiegał.
Kummer niestrudzenie kontynuował próby znalezienia do-
wodu wielkiego twierdzenia Fermata. Zaprzestał ich dopiero
w 1874 roku. Kummer był również autorem pionierskich
prac z geometrii przestrzeni czterowymiarowej. Niektóre
z uzyskanych przez niego wyników stosowane są obecnie
w mechanice kwantowej, jednej z gałęzi współczesnej fizyki.
W roku 1893, po przekroczeniu osiemdziesiątki, Kummer
zmarł na grypę.
Samo wprowadzenie liczb idealnyc.h jest przez matematy-
ków uznawane za większy sukces Kummera niż ich zastoso-
wanie do częściowego rozwiązania zagadnienia Fermata. Fakt
powstania tej wartościowej teorii wskutek prób udowodnienia
wielkiego twierdzenia Fermata obrazuje prawidłowość ogólniej-
szą: zmaganie z jednym problemem może prowadzić do rozwo-
ju zupełnie nowych dziedzin nauki. W istocie, teoria liczb ide-
alnych Kummera stała się początkiem współczesnej teorii
obiektów, zwanych ideałami. Bez niej nie byłoby dwudziesto-
wiecznych prac Wilesa i innych matematyków, zajmujących
się zagadnieniem Fermata.
Kolejna nagroda
W 1908 roku w Niemczech ufundowano dla autora ogólnego
dowodu wielkiego twierdzenia Fermata tzw. nagrodę Wolfskehia
w wysokości stu tysięcy marek. W pierwszym roku od ustano-
wienia nagrody pojawiło się 621 "rozwiązań". Wszystkie zawie-
rały błędy. W kolejnych latach podejmowano kolejne setki i ty-
siące podobnych prób. W latach dwudziestych naszego wieku,
wskutek panującej w Niemczech hiperinflacji, realna wartość
sumy 100 000 marek spadła niemal do zera. Mimo to fałszywe
dowody wielkiego twierdzenia Fermata nadal napływały szero-
ką falą.

AMIR D. ACZEL • 77
Geometria bez Euklidesa
Wiek XIX przyniósł w matematyce wiele nowych osiągnięć. Wę-
gier, Janos Bolyai (1802-1860), i Rosjanin, Mikołaj Iwanowicz-
Łobaczewski (1793-1856), zmienili oblicze geometrii. Odrzucili.
tzw. piąty postulat Euklidesa, który głosił, że dwie proste rów--
nolegle na płaszczyźnie nie przecinają się, i niezależnie od sie-
bie zbudowali świat nowej geometrii, pod wieloma względami!
podobny do euklidesowego, lecz dopuszczający, by proste rów-
noległe przecinały się w nieskończoności. Z geometrią tego ro-
dzaju mamy do czynienia choćby w przypadku sfery. Dobregco
przykładu dostarcza powierzchnia globu ziemskiego. Rolę pro-
stych odgrywają na sferze łuki wielkich kół, na przykład połu-
dniki. Łatwo zaobserwować, że w pobliżu równika różne połu-
dniki są równoległe. Gdy jednak powędrujemy wzdłuż nich aS,
do bieguna północnego, zauważymy, że się tam one spotkają .
Wiele sytuacji, które przed nadejściem geometrii nieeuklideso-
wej wydawało się niejasnych i tajemniczych, można obecnie zei
jej pomocą opisać i wytłumaczyć.

Tragiczne dzieje twórcy niezwykłej teorii
Algebra abstrakcyjna, dziedzina matematyki, której korzenie
sięgają dobrze znanej, służącej do rozwiązywania prostyc:h
równań algebry szkolnej, narodziła się w XIX wieku. Do alges-

78 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
bry abstrakcyjnej zalicza się między innymi wspaniałą teorię
Galois.
Evariste Galois urodził się w 1811 roku pod Paryżem, w ma-
łej mieścinie Bourg-la-Reine.29 Jego ojciec był burmistrzem
miasteczka i jednocześnie zagorzałym republikaninem. Młody
Evariste od początku stykał się z Ideałami wolności i demokra-
cji. Niestety, niemal cała Francja w owym czasie zmierzała
w przeciwnym kierunku. Wielka Rewolucja Francuska prze-
szła już do historii, podobnie Jak dokonania Napoleona. Nie
wszystkie marzenia o wolności, równości i braterstwie zostały
spełnione. Rój aliści cieszyli się z powrotu do życia publicznego
we Francji, na której tronie znów zasiadał jeden z Burbonów,
rządząc tym razem wspólnie z przedstawicielami ludu.
Życie Evariste'a przesiąknięte było wzniosłymi Ideałami re-
wolucji. Wygłaszał o nich nawet publiczne, porywające mowy,
a równocześnie był genialnym matematykiem o niezrównanych
możliwościach. Jako nastolatek wchłaniał teorie algebraiczne
równie szybko i łatwo, jak najznakomitsi ówcześni matematy-
cy. Będąc jeszcze chłopcem, stworzył własną, pełną teorię ma-
tematyczną, znaną dziś jako teoria Galois. Niestety, podczas
tragicznie krótkiego życia nie dane mu było cieszyć się uzna-
niem Innych.
Galois chodził do szkoły z internatem. Noce, które jego kole-
dzy smacznie przesypiali, spędzał, spisując swą teorię. Gotowy
rękopis wysłał do Francuskiej Akademii Nauk, do Cauchy'ego,
z nadzieją, że ten pomoże mu w opublikowaniu dotychczaso-
wych wyników badań. Cauchy był jednak nie tylko człowie-
kiem niezwykle zajętym; był też arogancki i niedbały. Błyskot-
liwa praca Galois trafiła nieczytana do kosza.
Galois spróbował jeszcze raz, z podobnym skutkiem. W tym
czasie oblał też egzaminy wstępne do Ecole Polytechnique, któ-

ra wykształciła większość słynnych matematyków fran-
cuskich. Galois zazwyczaj pracował nad matematyką, używa-
jąc jedynie własnej głowy. Nic nie notował l nie zapisywał, do-
29 Miasteczko to znajduje się przy drodze do Tuluzy, dziś niedaleko lotniska Orły
(przyp. tłum.).

AMIR D, ACZEL • 7S»
póki nie miał w głowie gotowego wyniku. Koncentrował się ra-
czej na ideach, niż na detalach, do których, prawdę powie--
dziawszy, nie miał zbytniej cierpliwości i uznawał je za mato
Interesujące. Naprawdę ciekawiły go wielkie pomysły, pięknoo
rozległych teorii. Nic dziwnego, że ktoś taki nie czuł się najle -
piej, odpowiadając przy tablicy na szczegółowe pytania. Z te=j
właśnie przyczyny dwukrotnie nie udało mu się dostać do wy-
marzonej szkoły. Dwukrotnie postawiony pod tablicą średnio
radził sobie z zapisywaniem rozumowań i Irytował się, pytan^y
o detale, które po prostu uznawał za nieważne. Było to tragiczs-
ne nieporozumienie: niewiarygodnie inteligentnego młodeg.o
człowieka przepytywali daleko mniej uzdolnieni egzaminatoo-
rzy, biorąc niechęć do podawania banalnych szczegółów za
niewiedzę. Gdy Galois zdał sobie sprawę, że za chwilę obieg e
egzamin po raz drugi (i ostatni, ponieważ więcej razy nie wolnio
było zdawać), a wrota Ecole Polytechnique zamkną się prze-d
nim na zawsze, cisnął ścierką do tablicy w twarz jednego z eg-
zaminatorów.
Pozostała mu druga pod względem atrakcyjności uczelnia,
Ecole Normale. Lecz nawet tam nie wiodło mu się dobrze. O*]-
ciec Galois, burmistrz Bourg-la-Reine, był w miasteczk-u
obiektem klerykalnych Intryg. Pewien pozbawiony skrupułów
ksiądz rozpowszechniał pornograficzne wierszydła, sygnując _je
nazwiskiem burmistrza. Po paru miesiącach prześladowań oj-
ciec Galois stracił pewność siebie l nabrał przekonania, że ca_ly
świat sprzysiągł się przeciw niemu. Tracąc stopniowo kontaikt
z rzeczywistością, pojechał do Paryża. Tam, w mieszkandu
o parę ulic od miejsca, gdzie studiował jego syn, popełnił s a-
mobójstwo. Po tej tragedii młody Galois nigdy już nie doszesdl
do siebie. Zdesperowany przegraną sprawą rewolucji 1830 r-o-
ku, sfrustrowany działaniami dyrektora Ecole, którego uważsał
za poplecznika rojalistów i kleryka! ów, Galois napisał zjadinwy,
krytykujący dyrektora list. Wpadł na ten pomysł po trzech
dniach ulicznych zamieszek, kiedy to studenci całego Paryża
burzyli się przeciwko reżimowi. Galois i jego koledzy, nie rrno-
gąc wdrapać się na wysoki płot, uwięzieni byli przez jakiś cz:as
na terenie uczelni. Rozzłoszczony Galois wysłał swój cięty, p3o-

80 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
mienny list krytykujący dyrektora do "Gazette des Ecoles".
Zyskał tyle, że go z uczelni wydalono. Nie zrażony tym Galols
napisał do "Gazette" drugi list, wzywając studentów uczelni,
by stanęli po stronie honoru i sumienia. Odzewu nie było.
Wyrzucony z uczelni Galois próbował z początku dawać pry-
watne lekcje. Mając ledwie dziewiętnaście lat, chciał poza mu-
rami francuskich szkół uczyć własnych teorii matematycz-
nych. Nie znalazł jednak chętnych do pobierania nauki - jego
teorie były zbyt zaawansowane, a on sam wyprzedzał o wiele
lat swą epokę.
Stojąc przed niepewną przyszłością, jakby dotknięty jakimś

przekleństwem, które nie pozwalało mu zdobywać rzetelnego
wykształcenia w normalny sposób, zdesperowany Galois wstą-
pił do oddziałów artylerii francuskiej Gwardii Narodowej.
W Gwardii Narodowej, dowodzonej niegdyś przez samego La-
fayette'a, wielu młodych ludzi nastawionych było liberalnie
i wyznawało poglądy polityczne zbliżone do Galois. Służąc
w Gwardii, Galois spróbował po raz ostatni opublikować wyni-
ki swych prac. Napisał artykuł poświęcony ogólnym własno-
ściom rozwiązań równań wielomianowych - dziś uznawany za
opis świetnej teorii Galois - i posłał go do Francuskiej Akade-
mii Nauk, na ręce Simeona-Denisa Poissona (1781-1840). Po-
Isson pracę przeczytał, lecz stwierdził, że jest "niezrozumiała".
Jeszcze raz się okazało, że dzłewiętnastolatek przerósł mate-
matyków francuskich starszej generacji tak bardzo, że nie byli
oni w stanie ogarnąć jego nowych, efektownych teorii. Po tym
doświadczeniu Galois postanowił porzucić matematykę i zo-
stać zawodowym rewolucjonistą. Powiedział podobno, że jeśli
do zaangażowania ludzi w rewolucję potrzebne jest jakieś spe-
cjalne ciało, to on może ofiarować własne.
Dziewiątego maja 1831 roku dwustu młodych republikanów
urządziło bankiet, by protestować przeciw królewskiemu roz-
kazowi, rozwiązującemu oddziały artylerii Gwardii Narodowej.
Pito za zdrowie bohaterów Wielkiej Rewolucji Francuskiej i za
rewolucję 1830 roku. W pewnym momencie Galois wstał
l wzniósł toast: POLU- Louis Philippe! za księcia Orleanu i ówcze-
snego króla Francji. Wymawiając te słowa i wznosząc jedną rę-

AMIR D. ACZEL • 81
ką kielich, w drugiej ręce Galois trzymał wysoko otwarty nóż
kieszonkowy. Ponieważ francuskie pour może znaczyć zarówno
"za", jak i "na" lub "dla", więc całe zdarzenie zostało potrakto-
wane jako zagrożenie życia króla. Następnego dnia Galois zo-
stał aresztowany.
Podczas sprawy o spowodowanie zagrożenia życia monarchy
adwokat Galois utrzymywał, że jego klient powiedział w rzeczy-
wistości: "Dla Ludwika Filipa, gdyby okazał się zdrajcą". Po-
twierdziły to zeznania niektórych zaprzyjaźnionych z Galois ar-
tylerzystów, a sędziowie przysięgli uznali go za niewinnego.
Galois spokojnie zabrał swój scyzoryk ze stolika z dowodami,
złożył go i schował do kieszeni, odchodząc jako wolny czło-
wiek. Niestety, wolnością nie cieszył się zbyt długo. Po miesią-
cu aresztowano go jako "niebezpiecznego republikanina"
i przetrzymywano bez postawienia konkretnego zarzutu w wię-
zieniu, poszukując jednocześnie czegoś, o co można by go
oskarżyć. W końcu wytoczono mu proces o noszenie munduru
rozwiązanych oddziałów artylerii. Galois został skazany na
sześć miesięcy więzienia. Rojaliści cieszyli się, że w końcu uda-
ło się usunąć dwudziestolatka, uznanego za groźnego wroga
systemu. Po pewnym czasie Galois został zwolniony warunko-
wo. To, co się stało później, wciąż budzi wątpliwości. Będąc na
zwolnieniu warunkowym, Galois poznał młodą kobietę, w któ-
rej się zakochał. Niektórzy sądzą, że wpadł w pułapkę zasta-
wioną przez wrogich mu rojalistów, chcących raz na zawsze-
położyć kres jego rewolucyjnej działalności. W każdym razie
związał się z kobietą o wątpliwej reputacji (une coąuette de boy
etage]. Gdy zostali kochankami, zjawił się pewien rojalista, by-
"ratować zagrożony honor" i wyzwał Galois na pojedynek. Mło-
dy matematyk znalazł się w sytuacji bez wyjścia. Próbował:

wszelkimi sposobami wyperswadować przeciwnikowi pojedy-
nek. Na próżno.
W nocy przed pojedynkiem Galois napisał kilka listów. Owe=
listy do przyjaciół zdają się potwierdzać tezę, że Galois padtt
ofiarą uknutej przez rojalistów intrygi. Sam twierdził, że wy-
zwali go na pojedynek dwaj rojaliści, którzy wymogli na ninu
słowo honoru, by nie wspomniał o całej sprawie republikań-

82 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
skim przyjaciołom: "Zginę jako ofiara niesławnej kokietki. Moje
życie gaśnie przez żałosną burdę. Czemuż umierać dla rzeczy
równie banalnej, czemuż umierać z równie nikczemnego powo-
du!" Lecz większość ostatniej nocy przed pojedynkiem Galois
poświęcił na staranne przelewanie na papier swej matematycz-
nej teorii. Wysłał Ją przyjacielowi, Auguste'owl Chevalierowl.
O świcie 30 maja 1832 roku Galois stanął na ubitej ziemi na-
przeciw swego adwersarza. Dostał postrzał w brzuch i pozosta-
wiony w agonii leżał samotnie na polu. Nikt nie zatroszczył się
o lekarza. Dopiero jakiś wieśniak odnalazł go i zawiózł do szpi-
tala, gdzie Galois umarł nazajutrz rano. Nie miał Jeszcze dwu-
dziestu jeden lat.
W roku 1846 matematyk Joseph Liouvllle zredagował
i wydał drukiem notatki Evarlste'a Galois, opisujące niezwy-
kle interesującą teorię. Półtora wieku później teoria Galois
miała stać się jednym z kluczy do wielkiego twierdzenia
Fermata.
Kolejna ofiara
Niedbalstwo l arogancja Cauchy'ego zrujnowały życie co naj-
mniej jeszcze jednemu błyskotliwemu matematykowi. Niels
Henrik Abel (1802-1829) był synem pastora z norweskiej
miejscowości Findó. Gdy miał szesnaście lat, nauczyciel za-
chęcił go do przeczytania sławnych Disquisitiones Gaussa.
Abelowi udało się nawet uzupełnić szczegóły w niektórych do-
wodach. Lecz w dwa lata później zmarł jego ojciec. Młody Abel
musiał zawiesić na jakiś czas studia matematyczne i zająć się
na poważnie utrzymywaniem rodziny. Mimo wielu trudności,
zdołał odrobinę czasu poświęcać matematyce. Gdy miał dzie-
więtnaście lat, dokonał nawet znaczącego matematycznego
odkrycia.
W roku 1824 opublikował pracę, w której udowodnił, że roz-
wiązań równania wielomianowego piątego stopnia nie można
wyrazić poprzez współczynniki równania żadnym wzorem ogól-
nym, polegającym na wykonywaniu skończonej liczby działań

AMIR D. ACZEL • 83
arytmetycznych i pierwiastkowań. Rozwiązał tym samym jeden-
z najsłynniejszych otwartych problemów ówczesnej matematy-
ki. Niemniej jednak utalentowany młodzieniec ciągle nie mógł:
zdobyć żadnej stałej akademickiej posady, której skądinąd-
bardzo potrzebował, by zapewnić rodzinie środki do życia. Po-
słał więc swe wyniki Cauchy'emu, z prośbą o opinię i ewentual-
ną pomoc w ich opublikowaniu. Jednakże Cauchy artykuł:
Abela, zawierający twierdzenia nadzwyczaj ogólne i ważne, po»
prostu zgubił. Gdy po paru latach praca ukazała się drukiem,.
na pomaganie Abelowi było już za późno. W 1829 roku zmarli
on na gruźlicę, spowodowaną przez nędzę, w jaką popadtt
wspierając rodzinę, która znajdowała się w skrajnie trudnymi

położeniu. W dwa dni po jego śmierci przyszedł zaadresowanym
do niego list z informacją, że przyznano mu profesurę na Uni-
wersytecie Berlińskim.
Pisane małą literą słowo "abelowy" to dziś powszechnie-
przez matematyków używany przymiotnik. Pojęcie grupy abe-
Iowej - w której wynik działania, umownie zwanego mnoże-
niem, nie zależy od kolejności czynników - zajmuje poczesne;
miejsce we współczesnej algebrze; odegrało ono też rolę?
w ostatecznym rozwiązaniu zagadnienia Fermata. Jeszcze bar-
dziej abstrakcyjnymi tworami są rozmaitości abelowe, równieS
wykorzystywane we współczesnych podejściach do dowodm
wielkiego twierdzenia Fermata.
Ideały Dedekinda
Dziedzictwo Carla Friedricha Gaussa przetrwało stulecia. Jed-
nym z najsłynniejszych matematycznych spadkobierców
Gaussa był Richard Dedekind (1831-1916), urodzony również
w Brunszwiku, tym samym mieście, z którego pochodził wielkil
mistrz. Dedekind jednak, w przeciwieństwie do Gaussa-,
w dzieciństwie nie wykazywał ani zainteresowań, ani specjał -
nych uzdolnień w dziedzinie matematyki. Bardziej zajmowały
go fizyka i chemia, a matematykę traktował jedynie jako nauk^
służebną wobec tych dziedzin wiedzy. W wieku siedemnastL-i

84 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
lat Dedekind zaczął uczęszczać do Liceum Karoliny, tej samej
szkoły, w której podstawy matematycznego wykształcenia ode-
brał Gauss. W znaczący sposób wpłynęło to na jego przyszłość.
Skierował swą uwagę ku matematyce i w ślad za owym zainte-
resowaniem pojechał do Getyngi, gdzie wykładał Gauss. To
z jego rąk w 1852 roku dwudziestojednoletni Dedekind otrzy-
mał doktorat. Mistrz stwierdził, że poświęcona analizie mate-
matycznej dysertacja ucznia Jest "w pełni zadowalająca". Nie
był to wielki komplement. W istocie geniusz Dedekinda nie za-
czął się jeszcze przejawiać.
W roku 1854 Dedekind otrzymał w Getyndze posadę wykła-
dowcy. Gdy w 1855 roku zmarł Gauss, a z Berlina przybył na
jego miejsce Dirichlet, Dedekind pilnie chodził na wszystkie je-
go wykłady, a także zredagował pionierski traktat Dirichleta,
poświęcony teorii liczb, dodając don suplement oparty na jego
własnych pracach. Suplement zawierał zarys rozwiniętej przez
Dedekinda teorii liczb algebraicznych - to znaczy rozwiązań
równań wielomianowych z wymiernymi współczynnikami.
W skład zbioru liczb algebraicznych wchodzą obok liczb wy-
miernych także na przykład pierwiastki kwadratowe czy sze-
ścienne z liczb naturalnych. Powstające przy okazji studiowa-
nia rozmaitych równań ciała liczbowe, zawarte w zbiorze liczb
algebraicznych, odgrywają ważną rolę w badaniu równania
Fermata. Dedekind stworzył więc istotny dział teorii liczb.
Największym wkładem Dedekinda do współczesnych badań
poświęconych wielkiemu twierdzeniu Fermata była rozwinięta
przezeń teoria ideałów - czysto abstrakcyjnych odpowiedników
liczb idealnych Kummera. Ideały, w stulecie po ich wprowa-
dzeniu przez Dedekinda, natchnęły Barry'ego Mazura. Z prac
Mazura czerpał później pomysły Andrew Wiłeś.
W roku akademickim 1857/58 Richard Dedekind poprowa-
dził pierwszy wykład teorii Galois. Dedekind pojmował mate-
matykę w sposób szalenie abstrakcyjny. Teorię grup wzniósł
w zasadzie na ten sam poziom, na którym w dzisiejszych cza-

sach uczy się jej studentów. Warsztat algebry abstrakcyjnej
umożliwił dwudziestowieczny atak na problem Fermata. Prze-
łomowy wykład Dedekinda, poświęcony teorii Galois (na który

AMIR D. ACZEL • 85
chodziło tylko dwóch studentów), był ważnym krokiem w tym
kierunku.
Później w karierze Dedekinda nastąpił dziwny zwrot. Wyje-
chał z Getyngi, by objąć posadę w Zurychu, a stamtąd po pię-
ciu latach, w 1862 roku, wrócił do Brunszwiku, gdzie następ-
nie przez pięćdziesiąt lat wykładał na politechnice. Nikt nie
zdołał przekonująco wyjaśnić, dlaczego świetny matematyk,
który wprowadził algebrę na niewiarygodnie wysoki poziom
abstrakcji i ogólności, porzucił nagle jedną z najbardziej pre-
stiżowych posad profesorskich w całej Europie, by przez resztę
życia uczyć na mało znanej politechnice. Dedekind nigdy się
nie ożenił. Przez wiele lat mieszkał razem z siostrą. Zmarł
w 1916 roku, zachowując do ostatnich dni przenikliwy, aktyw-
ny umysł.
Fin de siecle
Pod koniec XIX wieku żył we Francji matematyk obdarzony"
wlelkimi zdolnościami w nadspodziewanie wielu rozmaitych
dziedzinach. Rozległa wiedza Henn Poincarego (1854-1912)
sięgała również poza matematykę. Począwszy od roku 1902,
gdy był już bardzo sławnym uczonym, pisał popularne ksią-
żeczki o matematyce. Znajome, tanie, miękkie okładki możnai.
było dostrzec w kafejkach i parkach całego Paryża, w rękach*
ludzi w najróżniejszym wieku.
Poincare pochodził z rodziny o wielkich tradycjach. Jego ku-
zyn, Raymond Poincare, piastował podczas pierwszej wojnyy
światowej godność prezydenta Francji. Inni członkowie rodu tefi
zajmowali we Francji ważne stanowiska rządowe i publiczne.
Już w dzieciństwie Henri odznaczał się wspaniałą pamięcią..
Mógł recytować od wskazanej strony dowolną książkę, którą
właśnie czytał. Legendarne było również jego roztargnienie .
Pewnego razu pewien fiński matematyk przebył długą drogę do
Paryża, by spotkać Poincarego i przedyskutować z nim różne
matematyczne kwestie. W przedpokoju gość oczekiwał na wej-
ście do gabinetu Poincarego bite trzy godziny. W tym cząstce

86 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
roztargniony Francuz przechadzał się w zamyśleniu w tę
i z powrotem - miał taki zwyczaj przez całe swoje zawodowe ży-
cie. W końcu Poincare wyjrzał do przedpokoju i wykrzyknął:
"Proszę Pana, Pan mi przeszkadza!" Na te słowa gość pospiesz-
nie wyjechał i nigdy więcej go w Paryżu nie widziano.
Błyskotliwe talenty Poincarego dostrzeżono już w szkole
podstawowej. Ponieważ jednak był szalenie wszechstronny -
jak prawdziwy człowiek renesansu - jego szczególne uzdolnie-
nia matematyczne jeszcze się nie ujawniły. W młodym wieku
wyróżniał się przede wszystkim świetnym piórem. Nauczyciel,
który odkrył jego zdolności i wspierał ich rozkwit, pieczołowicie
przechowywał jego szkolne wypracowania. W pewnym momen-
cie troskliwy nauczyciel musiał jednak przestrzec młodego ge-
niusza: "Nie rób tego, proszę, tak dobrze... Spróbuj być bar-
dziej pospolity". Tę propozycję składał nie bez powodu.
Francuski system oświatowy najwyraźniej wyciągnął pewne

wnioski z nieszczęść Galois sprzed półwiecza - nauczyciele
stwierdzili, że utalentowani uczniowie częstokroć ponoszą klę-
ski przed obliczem zimnych, pozbawionych wyobraźni egzami-
natorów. Nauczyciel Poincarego szczerze się obawiał, że Henri
jest wystarczająco błyskotliwy, by oblać egzaminy wstępne.
Już jako dziecko Poincare był roztargniony. Często przepadały
mu posiłki - nie przychodził w porę, bo nie pamiętał, czy jadł
już, czy nie.
Młody Poincare interesował się przedmiotami klasycznymi
i nauczył się znakomicie pisać. Jako nastolatek zaczął się inte-
resować matematyką i błyskawicznie osiągnął doskonały po-
ziom. Rozwiązywał problemy wyłącznie w pamięci, krocząc po
pokoju; dopiero później siadał i bardzo niecierpliwie wszystko
zapisywał. Podobny był w tym do Galois i Eulera. Gdy wreszcie
Poincare przystąpił do egzaminów wstępnych na Ecole Poty-
technique, niewiele brakowało, a nie zdałby egzaminu z mate-
matyki, zgodnie z dawnymi obawami nauczyciela z podsta-
wówki. Przepuszczono go jednak wyłącznie dlatego, że -
w wieku siedemnastu lat! - cieszył się Już jako matematyk ta-
kim uznaniem, iż nikt z egzaminatorów nie ośmielił się go ob-
lać. "Gdyby to nie był Poincarć, tylko ktokolwiek inny, to do-

AMIR D. ACZEL . 87
stałby pałkę" - zadeklarował przewodniczący komisji egzami-
nacyjnej, podejmując decyzję o wpuszczeniu w mury Ecole Po-
lytechnique studenta, który miał zostać najsławniejszym fran-
cuskim matematykiem swoich czasów.
Poincare jest autorem dziesiątek książek poświęconych ma-
tematyce, fizyce matematycznej, astronomii i popularyzacji na-
uki. Napisał grubo ponad pięćset stron prac naukowych o no-
wych pojęciach, które wprowadził do matematyki. Wniósł
bardzo znaczący wkład do zapoczątkowanej przez Eulera topo-
logii. Jego wyniki były na tyle istotne, że często za właściwy
początek topologii uznaje się dopiero rok 1895, datę wydania
dzieła Poincarego pod tytułem Anałysis situs. Topologia (bada-
nie kształtów, powierzchni, funkcji ciągłych) była niezbędna
dla podjętej u schyłku XX wieku próby udowodnienia wielkie-
go twierdzenia Fermata. Znacznie ważniejszą rolę w tych pró-
bach odegrała jednak inna dziedzina zapoczątkowana również
przez Poincarego.
Formy modułowe
Poincare badał własności funkcji okresowych, takich jak si-
nusy i cosinusy Fouriera, nie na prostej rzeczywistej, jak ro-
bił to Fourier, lecz na płaszczyźnie zespolonej. Funkcja si-
nus, oznaczana sin x, określa pionową współrzędną punktu
położonego na okręgu o promieniu długości l, gdy kąt mię-
dzy promieniem wodzącym owego punktu a prostą poziomą
jest równy x. Sinus to funkcja okresowa: jej wartości powta-
rzają się nieustannie, gdy kąt wzrasta o wielokrotność zasad-
niczego okresu funkcji - 360°. Okresowość to swego rodzaju
symetria.
Poincare badał płaszczyznę zespoloną, zawierającą na osi
poziomej liczby rzeczywiste, a na osi pionowej - liczby urojone.
W tym przypadku można rozpatrywać funkcje, które są,
okresowe w dwóch kierunkach, na przykład wzdłuż osi rzeczy-
wistej i urojonej. Wartości takich funkcji powtarzają się w nie-
skończenie wielu równoległobokach tworzących na płaszczyź-

88 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
nie zespolonej ukośną kratkę, przedstawioną na poniższym ry-
sunku.

Poincare poszedł dalej i postulował istnienie funkcji o jesz-
cze szerszym wachlarzu symetrii. Miały to być funkcje, które
nie zmieniają wartości, gdy zmienną zespoloną z będziemy
przekształcać według przepisu f[z) ->f((az + b)/(cz + d)). Róż-
nych podstawień tej postaci może być nieskończenie wiele.
Liczby a, b, c, d, ułożone w macierz (kwadratową tabelę 2x2),
tworzą obiekt algebraiczny, zwany grupą. Porządek wykonywa-
nia podstawień nie gra roli; funkcja f jest niezmiennicza wzglę-
dem owej grupy przekształceń. Takie dziwne, niesamowite
funkcje Poincare nazwał formami automorflcznymi.
Formy automorficzne skrywają w sobie liczne wewnętrzne
symetrie; zaiste, to twory bardzo, bardzo niezwykłe. Poincare
nie był do końca przekonany o ich istnieniu. Opisując swoją
pracę, opowiadał, że przez dwa tygodnie co rano po przebudze-
niu zasiadał na parę godzin przy biurku i próbował przekonać
sam siebie, że formy automorficzne, które wymyślił, nie mogą
Istnieć. Piętnastego dnia zdał sobie sprawę, że się mylił. Te
dziwne, trudne do wyobrażenia i ogarnięcia rozumem funkcje
naprawdę istniały. Poincarć wprowadził też nieco ogólniejsze,
jeszcze bardziej skomplikowane, formy modułowe. Formy mo-
dułowe mają rację bytu na górnej połówce płaszczyzny zespo-
lonej, w świecie geometrii hiperbolicznej, a więc w dziwnej
przestrzeni, gdzie zamiast reguł Euklidesa obowiązują reguły

AMIR D. ACZEL . 89
Bolyala i Łobaczewsklego. Przez każdy punkt górnej półplasz-
czyzny przechodzi wiele "prostych" równoległych do "prostej"
danej.
Dziwne formy modułowe odznaczają się w świecie geome-
trii hiperbolicznej nieoczekiwanie licznymi symetriami, do
których należą na przykład przesunięcia czy branie odwrot-
ności liczby zespolonej. Na rysunku poniżej przedstawiony
jest wykorzystujący te symetrie parkietaż górnej półpłaszczy-

90 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
zny. W hiperbolicznym świecie wszystkie "wielokąty" są iden-
tyczne.
Poincare wkrótce porzucił obdarzone symetriami formy au-
tomorficzne i jeszcze bardziej zawiłe formy modułowe, by za-
jąć się inną matematyką. Zaprzątała go masa zagadnień, czę-
stokroć po kilka naraz z różnych dziedzin; nie miał czasu
przesiadywać, kontemplując piękno tylko jednego rodzaju
trudno wyobrażalnych i nieskończenie symetrycznych obiek-
tów. I chociaż tego nie wiedział, zasiał jedno z ziaren, z które-
go miał kiedyś wykiełkować ostateczny dowód wielkiego
twierdzenia Fermata.
Nieoczekiwane skojarzenie z obwarzankiem
W 1922 roku angielski matematyk Louis J. Mordell odkrył coś,
co wskazało na dziwny związek między topologią i rozwiązania-

mi równań algebraicznych. Przedmiotem zainteresowania topo-
logii są różnorodne przestrzenie i powierzchnie. (Gdy topolog
mówi "powierzchnia", czasem ma na myśli dwuwymiarowy
obiekt umieszczony w trójwymiarowym świecie, podobny do
klasycznych figur rozważanych w geometrii starożytnych Gre-
ków, czasem zaś chodzi mu o dość niezwykły twór położony
w przestrzeni o większej liczbie wymiarów). Topologia bada włas-
ności tych przestrzeni i określonych na nich przekształceń cią-
głych. Mordell natrafił na fragment topologii, dotyczący po-
wierzchni w przestrzeni trójwymiarowej. Jedną z najprostszych
powierzchni stanowi sfera, na przykład powierzchnia piłki do
koszykówki. Piłka Jest wprawdzie trójwymiarowa, ale jej nie-
skończenie cienka powierzchnia to obiekt jedynie dwuwymiaro-
wy. Weźmy teraz pod uwagę kulę ziemską. Cała Ziemia jest trój-
wymiarowa - żeby umiejscowić dowolny jej punkt (czy to na
powierzchni, czy wewnątrz globu), trzeba podać trzy współrzęd-
ne: długość i szerokość geograficzną oraz głębokość pod po-
wierzchnią. Pozbawiona głębokości powierzchnia Ziemi jest jed-
nak dwuwymiarowa. By określić położenie dowolnego punktu,
wystarczy podać dwie liczby: długość i szerokość geograficzną.

AMIR D. ACZEL • 91

genus = O
genus = 1
genus = 2
Dwuwymiarowe powierzchnie w trójwymiarowej przestrzeni
można rozróżniać, podając ich genus (albo inaczej rodzaj). Ge-
nus to liczba dziur w powierzchni. Genus sfery, w której nie
ma żadnych dziur, równa się zero. Obwarzanek ma w środku
jedną dziurę. Zatem powierzchnia obwarzanka (którą matema-
tycy nazywają torusem) ma genus równy jeden. Gdy mówimy
"dziura", mamy na myśli otwór na wylot, przez który można by
na przykład przewlec nitkę. Powierzchnia filiżanki z dwojgiem
uszu ma w sobie dwie dziury na wylot. Zatem jej genus jeat-
równy dwa.
Powierzchnię ustalonego genusu można w sposób wzajem-
nie jednoznaczny i ciągły przekształcić na dowolną, inną po-
wierzchnię tego samego genusu. Wystarczy sobie wyobrazić, że
obie są wykonane z nieskończenie rozciągliwej gumy. Jeśli jed-

funkcja ciągła
funkcja nieciągta

92 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
nak chcemy przekształcić powierzchnię jednego genusu w po-
wierzchnię genusu innego rodzaju, to musimy niektóre dziury
stworzyć lub zniszczyć. Nie można tego dokonać jednocześnie
w sposób i różnowartościowy, i ciągły, bo zmiana liczby dziur
wymaga albo meciągłego rozdzierania powierzchni, albo nie-
różnowartościowego sklejania Jej różnych punktów.
Wróćmy jednak do Mordella. Otóż wpadł on na trop dziwnej,
całkowicie nieoczekiwanej zależności: liczby dziur (genusu) po-

wierzchni odpowiadającej przestrzeni rozwiązań równania za-
leżą tylko od tego, czy równanie ma skończenie, czy też nie-
skończenie wiele rozwiązań. Otóż jeśli powierzchnia opisana
przez równanie, leżąca w pewnej dość specjalnej przestrzeni,
tak zwanej dwuwymiarowej zespolonej przestrzeni rzutowej,
ma przynajmniej dwie dziury (czyli genus równy dwa lub wię-
cej), to wtedy równanie posiada wśród liczb całkowitych tylko
skończenie wiele istotnie różnych rozwiązań. Odkrycia tego
Mordell nie umiał, niestety, udowodnić. Zaczęto je więc nazy-
wać hipotezą Mordella.
Dowód Faltingsa
W 1983 roku dwudziestosiedmioletni matematyk niemiecki,
Gerd Faltings, pracujący wówczas na Uniwersytecie w Wup-
pertalu, udowodnił hipotezę Mordella. Faltings nie interesował
się wielkim twierdzeniem Fermata, uważając je za izolowany
problem teorii liczb. Mimo to z Jego niezwykle pomysłowego do-
wodu, wykorzystującego potężną dwudziestowieczną maszyne-
rię geometrii algebraicznej, wypływały ważne wnioski, zmienia-
jące status quo wielkiego twierdzenia Fermata. Powierzchnia
opisana równaniem Fermata ma dla n większych od 3 genus
co najmniej równy 2. Zatem z prawdziwości hipotezy Mordella
jasno wynika, że jeśli w ogóle istnieją trójki liczb całkowitych
spełniające to równanie, to jest Ich tylko skończenie wiele.30
30 Przy ustalonym wykładniku n i przy założeniu, że liczby wchodzące w skład
trójki nie mają wspólnych dzielników (przyp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 9.3
Ów pocieszający wynik uzmysłowił przynajmniej, że liczba roz;-
wiązań jest ograniczona. Wkrótce potem dwaj matematycy,
Granville i Heath-Brown, skorzystali z wyniku Faltingsa, by
udowodnić, że jeśli w ogóle istnieją rozwiązania równania Fer~-
mata, to ich liczba nie rośnie wraz ze wzrostem wykładnika m.
Pokazali oni, że gdy n rośnie nieograniczenie, to wśród wykładl-
ników mniejszych od n jest niemal sto procent takich, dla któ-
rych wielkie twierdzenie Fermata zachodzi.
Innymi słowy, okazało się, że wielkie twierdzenie Fermat.a
jest "niemal zawsze" prawdziwe. Jeśli istniałyby rozwlązani«a
równania Fermata (to znaczy w przypadku, gdyby wielkie twier"-
dzenie Fermata okazało się Jednak fałszywe), to byłoby ich, p. o
pierwsze, "niewiele", a po drugie - istniałyby tylko dla "niewie--
lu" wykładników. Zatem status wielkiego twierdzenia Fermatsa
w roku 1983 przedstawiał się następująco. Twierdzenie byt" o
udowodnione dla wszystkich wykładników n nie przekraczają-
cych miliona (w 1992 roku tę granicę podniesiono do czterecBi
milionów). Dla większych wykładników n wiadomo było, że Jeśli!
w ogóle istnieją rozwiązania równania Fermata, to jest ich mat'o
- w pewnym sensie tym mniej, im większy jest wykładnik.
Tajemniczy grecki generał o zabawnym nazwisku!
Istnieją cale tuziny świetnych książek o matematyce, wyda-
nych we Francji i napisanych po francusku przez niejakieg.o
Nicolasa Bourbakiego. W swoim czasie żył grecki generał no-
szący nazwisko Bourbaki (1816-1897); w 1862 roku oferowa-
no mu tron grecki, ale odmówił. Generał odegrał ważną rolLę
w wojnie francusko-pruskiej i dzięki temu ma pomnik we fran-
cuskim mieście Nancy. Kłopot polega na tym, że generał Bouir-
bakl z matematyką nie miał nic wspólnego l nigdy nie napisał
żadnej książki - ani matematycznej, ani jakiejkolwiek inneJ.
Kto więc jest autorem licznych tomów, opatrzonych na okładce

Jego nazwiskiem?
Odpowiedzi na to pytanie należy szukać w beztroskim, rados-
nym życiu Paryża w dwudziestoleciu międzywojennym, kledły

94 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Hemingway, Picasso l Matisse, jak wielu innych mieszkańców
tego miasta, uwielbiali przesiadywać w kawiarniach, spotykać
przyjaciół, przyglądać się przypadkowym przechodniom i sa-
memu być przedmiotem ludzkich obserwacji. W owym czasie,
w otoczeniu kafejek Dzielnicy Łacińskiej l na Sorbonie, życie
tętniło też wśród barwnej społeczności matematyków. Profeso-
rowie uniwersytetu również lubili spotykać przyjaciół i w do-
brej kawiarni na bulwarze St. Michel, przy filiżance kawy
z mlekiem lub szklaneczce anyżówki, o dwa kroki od pięknych
Ogrodów Luksemburskich, podyskutować... o matematyce.
Paryska wiosna inspirowała pisarzy, artystów l matematyków.
Wyobraźmy sobie, że w słoneczny dzień zebrała się w przy-
jemnej kafejce grupa żywo rozprawiających matematyków.
Podczas ognistych dysput o subtelnościach takiej czy innej
teorii pojawiło się stopniowo uczucie braterstwa. Heming-
wayowi, który pisał, że lubił pracować w kawiarni, hałaśliwe
rozmowy zapewne by przeszkadzały, zmuszając go do przenie-
sienia się do Jednej z knajpek rezerwowych, już nie tak przez
niego lubianych. Kto jednak zwracałby uwagę na samotnego
brodacza w kącie? Matematycy cenią sobie własne towarzy-
stwo i upojną atmosferę kawiarni pełnej kolegów po fachu,
mówiących tym samym, symbolicznym Językiem liczb, funkcji
i przestrzeni. "Tak właśnie musieli się czuć pitagorejczycy, roz-
prawiając o matematyce" - rzucił być może Jeden z seniorów,
wznosząc kieliszek w toaście. "No tak, ale oni nie pijali any-
żówki" - odparł ktoś inny, wzbudzając salwę śmiechu. "Mogli-
byśmy pójść ich śladem - rzekł pierwszy z rozmówców. - Dla-
czego właściwie nie stworzymy własnego bractwa? Naturalnie
w tajemnicy". Dookoła zabrzmiały głosy poparcia. Ktoś wpadł
na pomysł, by posłużyć się nazwiskiem starego generała Bour-
bakiego - być może dlatego, że w owym czasie na Wydziale Ma-
tematyki na Sorbonie panował obyczaj zapraszania co roku za-
wodowego aktora, który audytorium profesorów i studentów
przedstawiał się jako Nicolas Bourbaki i - operując matema-
tycznym żargonem - wygłaszał następnie długi, dwuznaczny
monolog. Publiczność bawiła się na ogół świetnie, gdyż w bo-
gatych współczesnych teoriach matematycznych używa się do

AMIR D. ACZEL • 95
zwięzłego opisu różnych pojęć bardzo wielu słów, często w zna-
czeniu zupełnie odmiennym od potocznego. Jednym z takich!
słów jest przymiotnik "gęsty". Zdanie, że "zbiór liczb wymier-
nych jest gęsty wśród liczb rzeczywistych", znaczy, iż w każ-
dym otoczeniu dowolnej liczby (zarówno wymiernej, Jak i nie-
wymiernej) znajdują się liczby wymierne. W codziennym życiu-i
słowo "gęsty" ma wiele innych znaczeń.
Doktoranci wydziałów matematyki również i dziś w chwilachł
braku lepszego zajęcia zabawiają się słownymi grami, opowia-
dając na przykład historię dywizora, który ma odwiedzić pew-
ną rozmaitość i sprawdzić, czy wszystkie snopy są wiotkie, czy
też miękkie (słowa "dywizor", "rozmaitość", "snop", "wiotki"*,
"miękki" mają w matematyce ściśle określone znaczenie, dale--

kie od ewentualnych skojarzeń Czytelnika, nie posiadaj ąceg«o
wyższego wykształcenia w tej dziedzinie).31
Książki napisane wspólnie przez matematyków z owego
francuskiego stowarzyszenia noszą na okładce nazwisko Nico»-
lasa Bourbakiego. Równocześnie zainicjowano seminariunm
Bourbakiego, na którym często omawiane były nowe idee i teo-
rie matematyczne. Członkostwo w stowarzyszeniu było z załoa-
żenia anonimowe, a zasługę za uzyskane razem wyniki przypa-
sywano nie konkretnym osobom wymienionym z nazwisksa,
lecz właśnie Bourbakiemu.
Członkom stowarzyszenia Bourbakiego daleko jednak był: o
do pitagorejczyków. Wprawdzie autorem podręczników mienił
się Bourbaki, lecz wyniki badań, czyli twierdzenia i ich dowodly
- mające z reguły większy wpływ na prestiż i pozycję matema-
tyka niż napisane przezeń książki - podpisywali własnymi na-
zwiskami ci członkowie grupy, do których dane osiągnięcie
w istocie należało. Jednym z pierwszych członków stowarzy-
szenia był Andre Well (1906-), który później przeniósł się dio
Stanów Zjednoczonych, do sławnego Institute for Advance-d
31 Angielska gra słów w oryginale: beautiful Poły Nomifil who meets a smooth ope-
rator Curly Pi, traci po polsku swój urok. W naszym kraju specjalistami w dzBe-
dzinie słownych zabaw z terminologią matematyczną są tradycyjnie studenci
Uniwersytetu Jagiellońskiego, piszący cale opowiadania złożone wylączm.ie
z dwuznacznych zdań, najeżonych niezrozumiałym żargonem (przyp. tłum.).

96 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Study w Princeton. Jego nazwisko zawsze pojawiało się w po-
bliżu ważnej hipotezy, prowadzącej do rozwiązania problemu
Fermata.
Do założycieli bractwa Bourbakiego należał także Jean
Dieudonne, który - podobnie Jak większość pozostałych człon-
ków tego towarzystwa "tylko dla Francuzów" - przeniósł się
z czasem na zieleńsze pastwiska uniwersytetów amerykań-
skich. Dieudonne, główny autor wielu spośród książek podpi-
sanych przez Bourbakiego, świetnie uosabia starcie indywidual-
nych ambicji bourbakistów z ich dążeniem do zachowania
anonimowości członków stowarzyszenia. Pewnego razu Dieu-
donne opublikował pracę podpisaną nazwiskiem Bourbakiego.
Jak się okazało, praca zawierała błąd, więc Dieudonne napisał
notkę zatytułowaną "O pewnym błędzie N. Bourbakiego" i pod-
pisał ją własnym nazwiskiem.32
Nieco schizofreniczny charakter stowarzyszenia (wszyscy je-
go członkowie byli Francuzami, ale większość z nich mieszkała
w Stanach Zjednoczonych) przejawiał się też w adresie do kore-
spondencji, umieszczanym przez Bourbakiego w publikacjach.
Zazwyczaj wynika z niego, że autor, Nicolas Bourbaki, pracuje
na uniwersytecie w nie istniejącym mieście Nancago, którego
nazwa bierze swój początek od francuskiego Nancy, a końców-
kę od Chicago. Bourbaki publikuje jednak wyłącznie po fran-
cusku, a gdy spotykają się członkowie stowarzyszenia (zazwy-
czaj dzieje się to w jednym z francuskich kurortów), bywa, że
rozmowa toczy się nawet w specyficznym żargonie paryskich
studentów. W życie owych matematyków francuskich, miesz-
kających w Ameryce, wkroczył szowinizm. Andre Weił, jeden
z założycieli grupy bourbakistów, opublikował wprawdzie wiele
Istotnych prac po angielsku, ale jego Dzielą zebrane, mające
pewien związek z hipotezą, z której wynika wielkie twierdzenie
Fermata, ukazały się już po francusku, jako Oeuures.33 W wy-

32 Większość powszechnie znanych faktów o sekretnym towarzystwie Bourba-
kiego pochodzi z artykułu Paula R. Halmosa: Nicolas Bourbaki, "Scientific
American", t. 196, maj 1957, s. 88-97.
33 Andre Weił: Oeuures, t. I-III. Springer-Verlag, Paryż 1979.

AMIR D. ACZEL • 97
niku niezwykłych działań Weila skrzywdzony został jeden
z pierwszoplanowych aktorów naszej historii, czego Well nie
chciał zresztą uznać.
Trzeba przyznać, że członkowie towarzystwa Bourbakiego
byli obdarzeni poczuciem humoru. Przed około czterdziestu la-
ty do Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego (Ameri-
can Mathematical Society, w skrócie AMS) wpłynęło podanie
Nicolasa Bourbakiego z prośbą o przyjęcie w poczet członków.
Niewzruszony sekretarz towarzystwa odpisał, że jeśli Bourbaki
chce zostać członkiem AMS, musi ubiegać się o członkostwo
jako instytucja (z czym, oczywiście, wiązały się dużo -wyższe
składki). Na ten list Bourbaki nie odpowiedział.
Krzywe eliptyczne
Zagadnienia diofantyczne, wiążące się z równaniami podobny-
mi do tych, które w III wieku naszej ery rozpatrywał Diofantos,
w XX wieku stały się przedmiotem intensywnych badań, pro-
wadzonych m.ln. z użyciem obiektów, które matematyk nazywa
krzywymi eliptycznymi. Krzywe eliptyczne wbrew pozorom nie-
wiele mają wspólnego z elipsami. Najpierw, w dziewiętnastym
stuleciu używano ich w związku z tzw. funkcjami eliptycznymi,
wymyślonymi z kolei po to, by ułatwić obliczanie obwodu elip-
sy. Jak w przypadku wielu różnych innowacji w matematyce,
pionierem w tej dziedzinie był nie kto inny, tylko Gauss.
Choć nazwa zdaje się sugerować co innego, krzywe eliptycz-
ne nie są ani elipsami, ani funkcjami eliptycznymi. Mówiąc
najprościej, są wielomianami trzeciego stopnia zależnymi od
dwóch zmiennych; fachowcy widzą krzywe eliptyczne w napi-
sach postaci y2 = ox3 + Łyc2 + c, gdzie liczby a, b i c są całkowi-
te lub wymierne. Przykłady krzywych eliptycznych pokazują
rysunki.34
34 Wg artykułu Kennetha A. Ribeta i Briana Hayesa: Fermat's Last Theorem
and Modern Arithmetic, "American Scientist", t. 82, marzec-kwiecień 1994,
s. 144-156.

98 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Gdy spoglądamy na punkty wymierne na krzywej eliptycz-
nej - czyli tylko na te pary liczb wymiernych [x. y), spełniające
powyższe równanie, w których zarówno x, jak i y są liczbami
wymiernymi (żadnych niewymierności w rodzaju n czy pier-
wiastka z dwóch do rozważań nie dopuszczamy) - okazuje się,

AMIR D. ACZEL • 99*
że owe punkty tworzą grupę. Znaczy to, że mają one ciekawe-
własności. Dwa rozwiązania można w pewnym sensie "dodać",.
a wynik też będzie rozwiązaniem (a więc punktem krzywej).-
Specjaliści w dziedzinie teorii liczb fascynują się krzywymi!
eliptycznymi, dzięki nim bowiem mogą rozwikłać wiele proble-
mów dotyczących różnorodnych równań i ich rozwiązań. Krzy-

we eliptyczne stanowią w teorii liczb jedno z najpotężniejszychi
narzędzi badawczych.35
Dziwna hipoteza wisi w powietrzu
Eksperci w dziedzinie teorii liczb, studiujący krzywe eliptycz-
ne, wiedzieli od pewnego czasu, że niektóre z nich są modulo-
we. Innymi słowy, niektóre krzywe eliptyczne związane byty/
w szczególny sposób z formami modułowymi, z płaszczyzną ze-
spoloną l niezwykle symetrycznymi funkcjami w przestrzeń:!
hiperbollcznej. Charakter oraz przyczyny tego związku pozo-
stawały jednak niejasne. To wszystko stało się przedmiotem
zainteresowania matematyki bardzo zawiłej nawet dla specjali-
stów. Jej bogatą, niezwykle harmonijną strukturę wewnętrzną
niełatwo było zrozumieć. Te krzywe eliptyczne, o których wie-
dziano, że są modułowe, miały ciekawe własności. Dlaczegóz
by więc nie postawić śmiałej hipotezy, że wszystkie krzywe?
eliptyczne są modułowe?
Aby zrozumieć, na czym polega Istota modułowości, pojęcia
dotyczącego nieeuklidesowej geometrii górnej półpłaszczyzny -
świata, w którym symetrie odbiegają bardzo daleko od
codziennych przyzwyczajeń naszej wyobraźni - wygodnie jes t
posłużyć się prostą analogią. Rozpatrzmy dla przykładu krzy-
wą, która wcale nie jest eliptyczna; zamiast równania trzeciego
stopnia mamy tylko równanie kwadratowe. Nasza krzywa.
to zwykły okrąg. Równanie okręgu o promieniu a i środki-i
leżącym w początku układu współrzędnych ma postać
3S Dobrym wprowadzeniem do tematu jest książka Josepha H. Silvermana i Jol-i-
na Tate'a: Rational Points on Elliptic Curves. Springer-Verlag, Nowy Jork 1992.

100 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
x1 + y2 = a2. Weźmy teraz dwie nieskomplikowane funkcje
okresowe zmiennej t: x = a cos t oraz y = a sin t. Można je
wstawić do równania okręgu w miejsce xi y i nic złego się nie
stanie. Będzie tak, jakbyśmy pomnożyli obie strony znanej toż-
samości trygonometrycznej cos2 t + sin2 t = l przez liczbę a2.
W tym sensie równanie okręgu jest modułowe.
Modułowa krzywa eliptyczna to pojęcie ogólniejsze, otrzyma-
ne dzięki przeniesieniu powyższego prostego pomysłu na
płaszczyznę zespoloną, w świat geometrii nieeuklidesowej. Ro-
lę sinusa i cosinusa - świetnie znanych funkcji okresowych,
a zarazem symetrii względem jednej zmiennej t - przejmują tu
formy modułowe (lub automorficzne), kryjące w sobie symetrie
względem znacznie bogatszego zestawu skomplikowanych
przekształceń, mających postać f [z] ->f((az + b)/(cz + d)).
Tokio, Japonia, początek lat pięćdziesiątych
Na początku lat pięćdziesiątych naszego wieku Japonia była
krajem podnoszącym się stopniowo z wojennych zniszczeń.
Nikt już nie głodował, ale niemal wszyscy nadal byli biedni;
przeciętny Japończyk ciężko zmagał się z codziennością, pró-
bując przeżyć kolejny dzień, tydzień czy miesiąc. Mimo to
odbudowywano z gruzów fabryki, otwierano na powrót przed-
siębiorstwa i ubijano nowe interesy. Z nadzieją patrzono
w przyszłość.
W tym czasie życie uniwersyteckie w Japonii też było nieła-
twe. Studenci zaciekle współzawodniczyli ze sobą: dobre stop-
nie oznaczały lepszą pracę po zrobieniu dyplomu. Ta reguła
dotyczyła zwłaszcza doktorantów specjalizujących się w czystej
matematyce, albowiem etatów na uniwersytetach, mimo ni-
skiej płacy, brakowało dla wszystkich chętnych. Jednym z ta-

kich doktorantów był Yutaka Taniyama. Urodził się 12 listopa-
da 1927 roku Jako najmłodsze, ósme z kolei dziecko w rodzinie
prowincjonalnego lekarza w mieście Kisai, położonym około 50
kilometrów od Tokio. W młodości zaczął studiować matematy-
kę, a ściślej mówiąc, geometrię zespoloną rozmaitości abelo-

AMIR D. ACZEL • 10 1
wych. Wiedziano wówczas o tej trudnej dziedzinie niewiel e
i Taniyama napotykał w swej pracy mnóstwo trudności. C. o
gorsza, przekonał się, że wszelkie porady starszych profesorów?
Uniwersytetu Tokijskiego są niemal całkowicie bezużyteczne.
Do każdego drobiazgu musiał dochodzić samodzielnie; kolejme
kroki swoich badań matematycznych opisywał, używając czte-
rech chińskich znaków, które oznaczają "ciężką walkę" i "gorz-
kie zmagania". Życie młodego Yutaki Taniyamy nie było usłanie
różami.
Taniyama zakwaterował się w jednopokojowym mieszkaniiu
o powierzchni około 9 metrów kwadratowych. Na każdej kom-
dygnacji budynku była tylko jedna toaleta, wspólna dHa
wszystkich mieszkańców piętra. Żeby się wykąpać, Taniyama
musiał chodzić do odległej łaźni publicznej. Podły i nędzny bu-
dynek mieszkalny, stojący przy ruchliwej ulicy, o dwa kroki od
wiaduktu kolejowego, po którym co kilka minut przejeżdż-ał
pociąg, jak na ironię był nazywany "Willą Spokojnych Gon"".
Zapewne dlatego, by łatwiej się skoncentrować na badaniac:h,
młody Yutaka pracował głównie w nocy, często kładąc się odo
łóżka dopiero o szóstej rano, gdy rozpoczynał się kolejny, hała»ś-
llwy dzień. Prawie codziennie, z wyjątkiem letnich upałów, Ta-
niyama nosił ten sam niebiesko-zielony garnitur z metalicz-
nym połyskiem. Jak wyjaśnił swemu bliskiemu przyj aclelo'\.-vi,
Góro Shimurze, jego ojciec kupił ów materiał okazyjnie, nne-
zwykle tanio, od handlarza starzyzny. Niestety, nikt w całej n-o-
dzinie nie miał ochoty na świecące ubranie. Yutaka, który mię
dbał zbytnio o swój wygląd, zgłosił się w końcu na ochotnilrfa.
Z materiału uszyto mu garnitur, który stał się jego codzien-
nym strojem.
Taniyama ukończył Uniwersytet Tokijski w 1953 roku l do-
stał na tamtejszym Wydziale Matematyki posadę asysten-ta.
Jego przyjaciel Shimura ukończył uniwersytet rok wcześmiej
i zajmował podobne stanowisko na Wydziale Pedagogicznym,
po drugiej stronie kampusu. Ich przyjaźń zapoczątkował Inst,
który jeden z nich napisał do drugiego, prosząc o zwrot do bi-
blioteki egzemplarza czasopisma matematycznego, interesują-
cego, jak się okazało, obu młodych ludzi. Często jadali razem

102
WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Tokio, rok 1955. Matematycy w tramwaju, w drodze na konferencję. Od lewej:
T. Tamagawa, J.-P. Serre, Y. Taniyama l A. Well.
w niedrogich restauracyjkach, które serwowały podobno stop-
niowo zdobywające w Japonii popularność dania kuchni za-
chodniej, w rodzaju na przykład duszonego ozorka.36
W owym czasie w Japonii pozostało niewielu dobrych mate-
matyków. Kto tylko zdobył nieco uznania i renomy, natych-
miast próbował przenieść się na Jakiś uniwersytet amerykań-

ski czy europejski, ponieważ i matematycy cieszyli się tam
większą reputacją l w dodatku można było nawiązać kontakty
z ludźmi prowadzącymi badania w tej samej dziedzinie. Takie
więzy są ważne, gdy usiłuje się zgłębiać ezoteryczne obszary
wiedzy, o których wiadomo niewiele lub zgoła nic. By utworzyć
zalążek kontaktów naukowych z ludźmi, którzy wiedzieli co
nieco o dziedzinie ich zainteresowań, dwaj młodzi przyjaciele
zorganizowali we wrześniu 1955 roku Tokijskie Sympozjum
Algebraicznej Teorii Liczb. Niektóre wygłoszone podczas tej
małej konferencji stwierdzenia miały przez długi czas pozostać
niejasne, by - koniec końców - po prawie czterdziestu latach
doprowadzić do rezultatów wielkiej wagi, a także do ostrych
kontrowersji.
36 Większość informacji o życiu Yutaki Taniyamy pochodzi z artykułu: Góro Slu-
niura, Yataka Taniyama and His Time: Very Personal Recollections, "Bulledn
of the London Mathematical Society", tom 21 (1989), s. 184-196.

AMIR D. ACZEL • 10 3
Pełen nadziei początek
Obaj przyjaciele wypełnili niezbędne papiery l formularze-,
wynajęli odpowiednie pomieszczenia i wysłali zaproszenia doo
tych matematyków japońskich i zagranicznych, których spo -
dziewali się zainteresować tematem konferencji. Na liście za-
proszonych znalazł się Andre Well, który w owym czasie wyje -
chał Już z Francji i został profesorem na Uniwersytecie
w Chicago. Pięć lat wcześniej, podczas Międzynarodowego
Kongresu Matematyków, Well zwrócił uwagę społeczności ma-
tematycznej na nieznaną hipotezę niejakiego Hassego, doty-
czącą "funkcji dzeta na rozmaitości nad ciałem liczbowym" .
Niejasne przypuszczenie niosło w sobie treści interesujące dla.
badaczy teorii liczb. Well najwyraźniej kolekcjonował różne hi-
potetyczne pomysły dotyczące teorii liczb; ten akurat umieściB
w swych Dziełach zebranych, przypisując zasługę jego sformu-
łowania Hassemu.
Dzięki zainteresowaniu różnymi rezultatami badań w owej
dziedzinie, Well był dla Shimury l Taniyamy atrakcyjnym go-
ściem. Ucieszyli się obaj, gdy przyjął zaproszenie do udziałm
w Ich konferencji. W Tokio oczekiwano też Innego cudzoziem-
ca, młodszego od Weila matematyka francuskiego, Jean-Pier-
re'a Serre'a. Nie byt on jeszcze wówczas członkiem towarzy-
stwa Bourbakiego, przyjmowano bowiem do niego tylko*
matematyków bardzo dobrze znanych; miał on jednak zostać-
bourbakistą już wkrótce. Serre, opisywany przez niektórych-
matematyków jako ambitny i zaciekły wyczynowiec, przyje-
chał na tokijskie sympozjum, by dowiedzieć się tyle, ile się tyl-
ko da. Japończycy o teorii liczb wiedzieli sporo, a niektóre wy-
niki publikowali w pracach dostępnych tylko po japońsku.
skrywając je tym samym przed resztą świata. Nadarzała się
więc wspaniała okazja, żeby poznać owe rezultaty, tym bar-
dziej że oficjalnym językiem konferencji miał być angielski.
W gronie konferencyjnych gości Serre był jednym z niewielu
cudzoziemców orientujących się w prezentowanej tematyce.
Sprawozdanie z konferencji ukazało się tylko po Japoński!.
Gdy więc dwadzieścia lat później Serre zwrócił uwag^ na nie-

104 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
które wydarzenia z tokijsklego sympozjum, świat poznał po-

czątkowo jego wersję, a nie tę, którą zapisano w japońskich
sprawozdaniach.
Sprawozdania zawierają trzydzieści sześć problemów. Pro-
blemy o numerach 10, 11, 12 i 13, zapisane przez Yutakę Ta-
niyamę, tworzyły wspólnie pewną hipotezę o funkcjach typu
dzeta, przypominającą nieco idee Hassego. Wydawało się, że
Taniyama chce w jakiś sposób powiązać funkcje automorficz-
ne na płaszczyźnie zespolonej z funkcją typu dzeta, określoną
na krzywej eliptycznej. W tych usiłowaniach było coś tajemni-
czego: dlaczegóż dowolna krzywa eliptyczna miała być w jakiś
sposób powiązana z czymś na płaszczyźnie zespolonej?
"Przepraszam, co Pan powiedział...?"
Hipoteza, wypływająca z owych czterech problemów, była
mglista; Taniyama sformułował je niezbyt Jasno, zapewne dla-
tego, że nie był do końca pewien. Jakiego właściwie związku
chciałby się doszukać. Ale tkwił tam rdzeń pomysłu; swego ro-
dzaju intuicja, instynktowne przeczucie, że funkcje automor-
ficzne zmiennej zespolonej i ich bogate symetrie są w jakiś
sposób związane z równaniami diofantycznymi. Z pewnością
nie było to oczywiste. Taniyama próbował odnaleźć ukryte
przejście, łączące dwie bardzo odległe gałęzie matematyki.
Andre Weił chciał dokładnie wiedzieć, co właściwie Taniy-
ama miał na myśli. Jak można wyczytać w protokole z obrad
konferencji, opublikowanym łącznie z Japońskimi sprawozda-
niami, pewnego dnia odbyta się następująca wymiana zdań
obu panów:37
WEIŁ: Czy sądzi Pan, że wszystkie funkcje eliptyczne są uni-
formizowane przez funkcje modułowe?
TANIYAMA: Same funkcje modułowe nie wystarczą. Myślę, że
potrzebne są inne, specjalne typy funkcji automorflcznych.
37 Zob. japońskie czasopismo "Sugaku" z maja 1956 roku, s. 227-231. •

AMIR D. ACZEL • 1 05
WEIŁ: Oczywiście, z niektórymi zapewne można sobie w ten
sposób poradzić. W ogólnym przypadku wyglądają o»ne
jednak tajemniczo i zupełnie Inaczej.
Z tej rozmowy wynikają jasno dwie sprawy. Po pierwsze, TTa-
nlyama mówił, że z krzywymi eliptycznymi wiążą się raczej
"funkcje automorficzne", a nie "same funkcje modułowe". Po
drugie, Weił nie wierzył, by w ogólnym przypadku taki związsek
mógł mieć miejsce. Później ową niewiarę Weił wyrażał znaczmie
dobitniej, dlatego jeszcze bardziej zaskakuje fakt, że to właśmie
jego nazwisko zostało w końcu przypisane do hipotezy, kto-rej
ani sam nie postawił, ani nigdy w Jej prawdziwość nie wierz=ył.
Jednakże koleje losu bywają nieoczekiwane; w przyszłoaści
miały wyjść na jaw jeszcze dziwniejsze wydarzenia.
Na to, by owe sprawy nabrały wagi, trzeba było odczelsać
kilkadziesiąt lat. Współcześni historycy nauki oddaliby wie=le,
żeby szczegółowo poznać treść wypowiedzi l myśli Taniyanny.
Lecz, niestety, Taniyama, podobnie jak wielu innych młodych
matematycznych geniuszy, skończył życie młodo l tragicznie-.
Po paru latach Góro Shimura wyjechał z Tokio, najpierw do
Paryża, a potem do Institute for Advanced Study w Princeton.
Obaj przyjaciele regularnie ze sobą korespondowali. We wrzaeś-
niu 1958 roku Góro Shimura otrzymał od Yutaki Taniyaany
ostatni list. Rankiem 17 listopada 1958, pięć dni po jego trzy-
dziestych pierwszych urodzinach, Yutakę Taniyamę znalezio»no
w mieszkaniu martwego. Na biurku leżał list pożegnalny.

Hipoteza Shimury
Od tokijskiej konferencji upłynęło dziesięć lat. Góro Shimmra
swoje badania w teorii liczb, koncentrujące się na funkcji d:ze-
ta i krzywych eliptycznych, prowadził teraz w Princeton. Zrro-
zumiał, w których miejscach mylił się nieżyjący przyjacilel,
l dzięki własnym badaniom oraz poszukiwaniu harmonii skzry-
tej we wnętrzu matematyki doszedł do hipotezy innej, śmilel-
szej, dobitnej sformułowanej. Jego hipoteza głosiła, że każda

106 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
krzywa eliptyczna nad ciałem liczb wymiernych Jest uniformi-
zowana przez pewną formę modułową. Formy modułowe są na
płaszczyźnie zespolonej tworami bardziej konkretnymi niż
funkcje automorficzne, z których chciał korzystać Taniyama.
Shimura dokonał też kilku innych ważnych zmian i poprawek,
między innymi doprecyzował, że dziedzinę powinny stanowić
liczby wymierne.
Hipotezę Shimury można spróbować wyjaśnić, wykorzystu-
jąc taki oto rysunek:

Jeśli zwiniemy płaszczyznę zespoloną w torus, czyli tak, by
otrzymać powierzchnię obwarzanka z rysunku,38 to owa po-
wierzchnia skrywać będzie w sobie wszystkie krzywe eliptycz-'
ne nad liczbami wymiernymi. Każda taka krzywa odpowiada
z kolei pewnemu rozwiązaniu równania diofantycznego. Jeśli
istniałoby rozwiązanie równania Fermata, x" + y" = z", to od-
powiadająca mu krzywa eliptyczna też byłaby ukryta w na-
szym torusie. Ten fakt miał później odegrać ważną rolę w do-
wodzie wielkiego twierdzenia Fermata. Shimura postawił
hipotezę, że każda krzywa eliptyczna o współczynnikach wy-
miernych ma "koleżankę" na rozpatrywanej przez Poincarego
górnej półpłaszczyźnie, wyposażonej w nieeuklidesową, hiper-
38 Trzeba sobie wyobrazić, że najpierw zwijamy płaszczyznę w bardzo długą rurkę,
a potem jeden koniec rurki wkładamy w drugi i zwijamy dalej, jakbyśmy chcieli
z kawałka gumowego węża zrobić kółko przypominające dętkę (przyp. dum.).

AMIR D. ACZEL • 10'7
bollczną geometrię. .Koleżanką" danej krzywej eliptycznej miaa-
ła być konkretna funkcja zmiennej zespolonej, nieczuła na do-
konywanie najróżniejszych (wspomnianych już nieco wcze-
śniej) podstawień postaci z -> [aż + b)/(cz + d), tworzących h
grupę o nieoczekiwanie bogatej symetrii. Wszystko to było ba«--
dzo techniczne, szalenie skomplikowane i - jak przez kilkra
dziesięcioleci sądziło wielu matematyków - nie do udowodnie-
nia w dającej się przewidzieć przyszłości.
Hipotezę Shimury można pokazać w sposób nieco bardzitej
obrazowy l uznać, że każda krzywa eliptyczna jest czymś w ro-
dzaju czubka góry lodowej, widocznego nad powierzchnią wo-
dy. Pod wodą zaś kryje się zawiła struktura. Żeby udowodnBć
hipotezę, należało wykazać, że każda góra lodowa ma częSć
podwodną. Wiedziano wprawdzie, że wiele gór lodowych talcą
podwodną część posiada, ale ponieważ gór lodowych było niee-
skończenie wiele, więc nie dawało się, ot tak, po kolei, obejrzeć
każdej od spodu. Należało znaleźć ogólną regułę, z której wyn-1-
kałoby, że góra lodowa bez podwodnej części nie może po pro-
stu istnieć. I właśnie podanie takiego ogólnego dowodu matae-

matycy uważali za niezwykle trudną rzecz.
Intryga i zdrada
Na początku lat sześćdziesiątych, na przyjęciu w Institute fcor
Advanced Study w Princeton, Góro Shimura i Jean-Piera-e
Serre spotkali się powtórnie. Według Shimury Serre zbliżył s.ię
do niego z dość arogancką miną. "Nie sądzę, by Pana wyniDri
o krzywych modułowych były w jakikolwiek sposób pożytecz-
ne - powiedział. - Nie można Ich przecież zastosować do ka_ź-
dej krzywej eliptycznej". W odpowiedzi Shimura dokładn-le
sformułował swą hipotezę: "Taka krzywa, jak przypuszczani!,
zawsze jest uniformizowana przez pewną krzywą moduło-
wą".39 Nieco później Serre złożył relację ze swojej rozmowy
39 Shimura sformułował zatem swą hipotezę; dzieląc się nią po raz pierwszy, uf. al,
że Serre uzna go za jej autora.

108 . WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
z Shimurą Weilowi, który na przyjęciu nie był, lecz, jako jeden
z pracowników Instytutu, mieszkał w pobliżu. Zaintrygowany
Weił odwiedził potem Shimurę. "Czy Pan naprawdę to powie-
dział?" - zapytał. "Tak - odparł Shimura. - Nie sądzi Pan, że to
prawdopodobne?" Po dziesięciu latach od pierwszego spotka-
nia z Taniyamą Andre Weił nadal nie wierzył w prawdziwość
którejkolwiek wersji hipotezy. Odparł: "Nie widzę niczego, co
świadczyłoby o nieprawdziwości tej hipotezy, oba bowiem
zbiory są przeliczalne; nie widzę jednak niczego, co przema-
wiałoby na Jej korzyść". Wypowiedziane przy tej okazji przez
Weila słowa Serge Lang, matematyk z Yale University, który
tak zwaną "teczkę Shimury-Taniyamy", zawierającą kopie
dwóch tuzinów listów i jego własne do nich komentarze, roz-
powszechnił wśród około pięćdziesięciu matematyków na ca-
łym świecie określił później jako "bezmyślne" i "głupie". To, co
Weił odpowiedział Shimurze, było równoznaczne mniej więcej
następującemu stwierdzeniu: Jeśli w pokoju znajduje się sie-
dem kobiet i siedmiu mężczyzn, a Pan twierdzi, że to siedem
małżeństw, to nie widzę w tym od razu sprzeczności, ponieważ
liczba mężczyzn zgadza się z liczbą kobiet. Nie dostrzegam
jednak również niczego, co świadczyłoby za pańską hipotezą -
być może to sami kawalerowie i same panny. Lang nazwał tę
wypowiedź głupią zapewne dlatego, że argument, polegający
na liczeniu, nie znajdował tu wcale zastosowania. "Przeliczal-
ny" znaczy bowiem z grubsza tyle, co "nieskończony, lecz da-
jący się policzyć" (]'ak na przykład zbiór wszystkich liczb natu-
ralnych: l, 2, 3, 4, ...), a ustawianie w pary dwóch takich
nieskończonych kolekcji rozmaitych obiektów nie należy do
prostych zadań.
W każdym razie było oczywiste, że Andre Well nie wierzył
w prawdziwość snutych przez Shimurę teorii. Przyznał póź-
niej, że wspomniana rozmowa - mniejsza o to, czy głupia
i bezmyślna, czy też nie - istotnie miała miejsce, a nawet ją
zacytował. Zdarzyło się to jednak dopiero w roku 1979, kiedy
Weił napisał:40
40 Andrć Weił: Oeuwes, op. cit., t. m, s. 450.

AMIR D. ACZEL • 109
Quelques annees plus tarci, a Princeton, Shimura me deman-
da sije trouuais plausible que toute courbe elliptiąue sur
Q jut con.ten.ue dans lejacobienne d'une courbe deflnie par

une sous-groupe de congruence du groupe modulaire;je lut
repondis, ii me semble, que je n'y uoyais pas d'empeche'
ment, puisque l'un et 1'autre ensemble est denombrable, ma-
Isje ne uoyais rien non plus qui parlat enfaveur de cette hy-
pothese.
[Kilka lat później, w Princeton, Shimura zapytał mnie, czy
uważam za prawdopodobne, że każda krzywa eliptyczna nad
Q zawiera się w jakobianie krzywej wyznaczonej przez podgru-
pę kongruencji grupy modułowej; odpowiedziałem mu, że, jak
mi się wydaje, nie dostrzegam przeszkód, ponieważ jeden
i drugi zbiór jest przeliczalny, lecz nie widzę też niczego, co
przemawiałoby za ową hipotezą).
Niemniej nawet wówczas Weił, pisząc o stwierdzeniu, które
Jest hipotezą Shimury, wolał użyć zwrotu "Shimura zapytał
mnie", a nie "Shimura powiedział mi". Weił opublikował kilka
prac na zbliżone tematy; chociaż sam nie wierzył w teorię Shi-
mury, jego nazwisko zaczęto z nią łączyć. Wielu matematyków
ten błąd powielało, powołując się we własnych artykułach na
stwierdzenia zawarte w pracach kolegów. Błędne cytowania
można napotkać do dziś; nie znający historii autorzy piszą
o hipotezie Taniyamy-Weila zamiast o hipotezie Shimury-Ta-
niyamy. Weilowi najwidoczniej podobało się to połączenie jego
nazwiska z niejasnym, lecz pięknym przypuszczeniem; sam
wprawdzie w jego prawdziwość nie wierzył, lecz wedle osądu
większości matematyków niezbędne dowody miały pojawić się
pewnego dnia w odległej przyszłości.
W miarę upływu kolejnych dziesięcioleci znajdowano coraz
więcej poszlak, świadczących o istnieniu tajemniczego związ-
ku. Hipoteza, gdy się ją udowodni, zmienia się w solidną mate-
matyczną teorię. Weił prowadził badania w dziedzinach przyle-
gających do hipotezy, a uzyskiwane przez niego matematyczne
wyniki nigdy nie byty zbyt odległe od teorii form modułowych
na płaszczyźnie zespolonej i krzywych eliptycznych odpowla-

110 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
dających równaniom diofantycznym. I mimo że z pewnością
wiedział o kluczowej roli Shimury, nie wspominał o niej przez
blisko dwadzieścia lat. Potem bez większych ceregieli napo-
mknął o Shimurze w przypadkowej rozmowie i - niemal prze-
lotnie - wymienił jego nazwisko w jednej ze swych opublikowa-
nych prac. Równocześnie we Francji Serre pracował bardzo
aktywnie, dokładając wszelkich starań, by powiązać z hipotezą
nazwisko Andre Weila, a nie Góro Shimury.
"Ćwiczenie dla zainteresowanego Czytelnika"
W 1967 roku Andre Weił napisał po niemiecku artykuł,41
w którym znalazły się następujące słowa:
Ob sich diese Dtnge immer, d.h.fu.rJede uber Q deftnierte Ku-
rve C, so uerhalten, scheint im. Moment noch problematisch
zu sein und mag dem interessierten Leser als Ubungsaufga-
be empfohten werden.
(Czy tak się sprawy mają, tzn. czy jest tak dla każdej krzywej
C określonej nad Q, wydaje się w chwili obecnej problematycz-
ne i może być ćwiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika].
Akapit ten mówi o krzywych eliptycznych nad liczbami wy-
miernymi (zbiór wszystkich liczb wymiernych matematycy na
całym świecie oznaczają literą Q), a słowa so uerhalten odno-
szą się do tego, czy krzywe są modułowe, czy też nie. A zatem
Weił pisze o hipotezie Shimury, po raz kolejny nie wymieniając

nazwiska jej autora (wspomniał o nim dopiero 12 lat później,
a i wówczas, jak pokazaliśmy przed chwilą, użył nie do końca
prawdziwych słów "Shimura zapytał mnie"). W pracy opubliko-
wanej w "Mathematische Annalen" Well mówi o hipotezie, że
Jest "problematyczna", by zaraz potem zrobić coś dziwnego -
uczynić ją ćwiczeniem dla zainteresowanego Czytelnika (und
41 Andre Weił: Ober die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktional-
gleichungen, "Mathematische Annalen", tom 168 (1967), s. 165-172.'

ĄMIR D. ACZEL •111
mag dem interessierten Leser als Ubungsaufgabe empfohie-n
werden). Próby rozwiązania owego ćwiczenia dla "zaintereso-
wanego Czytelnika" miały zająć jednemu z naj świetniej szyć h
matematyków świata siedem lat pracy w samotności. Kiedły
matematyk nazywa coś ćwiczeniem (Ubungsaufgabe), zwykle
zna rozwiązanie problemu i nie tyle wierzy, co wie z całą pevw-
nością, że przytoczone stwierdzenie jest prawdziwe, a nie, jai.k
napisał Weił, "problematyczne".
Jest taka stara anegdota o profesorze matematyki, którzy,
omawiając pewne pojęcie podczas wykładu, mówi: "to jest
oczywiste". Studenci patrzą po sobie zakłopotani, rzecz bo-
wiem wcale nie Jest oczywista, i wreszcie jeden z nich ośmiela
się zapytać: "Dlaczego?" Profesor na to zaczyna coś rysować
zawzięcie jedną ręką i pisać na brzeżku tablicy, zasłaniając li-
tery i formuły drugą ręką, a gdy mu brak miejsca, szybko
wszystko ściera. Po mniej więcej dziesięciu minutach bazgra-
nia ukradkiem profesor ściera tablicę do czysta i obwieszcza
zdumionym studentom: "Tak, to było oczywiste".
Kłamstwo
W latach siedemdziesiątych problemy Taniyamy, sformuł o-
wane podczas tokijskiej konferencji, zostały upowszechnLo-
ne. Równocześnie, ponieważ Well pisał o tej hipotezie (w któ-
rą wątpił), modułowe krzywe eliptyczne zaczęto nazyw-ać
"krzywymi Weila". Gdy na Zachodzie poznano lepiej problemy
Taniyamy, hipoteza dotycząca modułowości krzywych elLp-
tycznych zyskała nazwę "hipotezy Taniyamy-Weila"; o nazwi-
sku Shimury nawet nie wspominano. Od kiedy jednak poja-
wiło się nazwisko Taniyamy, Weił zaczął tępić wszellile
hipotezy na ten temat. W 1979 roku wyraził swój sprzeciw
wobec "tak zwanej hipotezy Mordella o równaniach dlofai.n-
tycznych" (zaledwie cztery lata później udowodnił ją Ge-rd
Faltings), mówiąc: "Byłoby miło, gdyby okazało się to pra_w-
dą, i wolałbym się założyć, że jest to prawda, a nie fałsz. Są
to jednak tylko pobożne życzenia, nie ma bowiem nawet

112 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
strzępka dowodu - ani za, ani przeciw". Niemniej również
i wówczas Weił się mylił. Matematycy rosyjscy, między Inny-
mi Szafarewicz i Parszyn, już na początku lat siedemdziesią-
tych otrzymywali rezultaty, które mogty świadczyć o prawdzi-
wości hipotezy Mordella. W roku 1983 Gerd Faltings
najzwyczajniej w świecie tę hipotezę udowodnił, pokazując
tym samym, że wielkie twierdzenie Fermata jest "prawie za-
wsze prawdziwe".
Gdy Andre Weił wytoczył wojnę wszelkim nie udowodnio-
nym przypuszczeniom, a z hipotezą, zwaną teraz przez wielu
matematyków hipotezą Taniyamy-Weila, wiązano już nie tylko

jego nazwisko, w Paryżu Serre dokładał starań, by nazwiska
Shimury nikt nadal z owym sądem nie łączył. W 1986 roku, na
przyjęciu zorganizowanym na Uniwersytecie Kalifornijskim
w Berkeley, Jean-Pierre Serre przy świadkach powiedział Ser-
ge'owi Langowi, że Andre Weił wspomniał o rozmowie, którą
w swoim czasie odbył z Shimurą. Według Serre'a, Weił powie-
dział mu o następującej wymianie zdań:
WEIŁ: Dlaczego Taniyama sądził, że wszystkie krzywe elip-
tyczne są modułowe?
SHIMURĄ: Sam mu Pan tak powiedział, a potem Pan zapo-
mniał.
W tym momencie Lang, który sam bezwiednie używał nazw
"krzywa Weila" i "hipoteza Taniyamy-Weila", zaczął coś podej-
rzewać. Postanowił poznać prawdę i niezwłocznie napisał
zarówno do Weila, jak i do Shimury, a potem do Serre'a. Shi-
murą zdecydowanie zaprzeczył, jakoby taka rozmowa kiedy-
kolwiek się odbyła, podając obfite uzasadnienie swego stano-
wiska. Well nie odpowiedział od razu, Serre zaś w swojej
odpowiedzi skrytykował podjęte przez Langa próby ustalenia
do prawdy. Na seminarium zorganizowanym przez towarzy-
stwo Bourbakiego w czerwcu 1995 roku Serre wciąż jeszcze,
mówiąc o "hipotezie Taniyamy-Weila", opuszczał nazwisko jej
prawdziwego autora, który przed trzydziestu laty obdarzył go
zaufaniem i powierzył swe przypuszczenia.

AMIR D. ACZEL .113
Well odpowiedział dopiero po drugiej próbie nawiązania
kontaktu. Oto jego list:42
3 grudnia 19SS6
Drogi Panie Lang,
Nie przypominam sobie w tej chwili, kiedy i gdzie otrzyma-
łem pański list z dnia 9 sierpnia. Gdy się to stało, zaprząt-
nięty byłem (i nadal jestem) daleko ważniejszymi sprawami!.
Pańskimi sugestiami, jakobym kiedykolwiek usiłował p>o-
mniejszyć zasługi przypadające w udziale Taniyamle l Srni-
murze, mogę być jedynie głęboko oburzony. Cieszę się, żre,
podobnie jak ja, podziwia Pan tych uczonych.
Opowieści o rozmowach sprzed lat bywają źródłem nieporo-
zumień. Postanowił Pan uznać je za źródło historyczne, kt-ó-
rym nie są. W najlepszym razie to anegdoty. Co się tyc:zy
kontrowersji, którą zdecydował się Pan podnieść, listy Shi-
mury kładą jej, moim zdaniem, kres.
Jeśli zaś chodzi o przypisywanie nazwisk pojęciom, twier-
dzeniom czy (?] hipotezom, często podkreślałem, że (a) g*<ly
jakieś nazwisko łączy się z, powiedzmy, konkretnym poj|ę-
clem, nie znaczy to nigdy, że autor, o którym mowa, mflał
z tym pojęciem cokolwiek wspólnego; znacznie częściej jest
wręcz przeciwnie. Pitagoras ze "swoim" twierdzeniem
i Fuchs z funkcjami Fuchsa mają nie więcej wspólnego miź
August Comte z ulicą Augusta Comte'a; (b) nazwiska częs-to,
całkiem zresztą słusznie, zastępowane są przez bardz-iej
właściwe nazwy; ciąg Leraya-Koszula nazywany jest obecmie
ciągiem spektralnym (zgodnie z tym, co swego czasu Sieg^el
powiedział Erdósowi, nawet przymiotnik "abelowy" pisze ssie
teraz małą literą).
42 List Weila do Langa oraz opis chronologii wielu z przedstawionych tu wyda-
rzeń, w tym liczne prywatne rozmowy i listy, można odnaleźć w artykule Ser-
ge'a Langa: Some History of the Taniyama-Shimura Conjecture, "Notices ot the

American Mathematical Society", listopad 1995, s. 1301-1307. Jest zasługą Lan-
ga, że ten artykuł i "teczka Taniyamy-Shimury", którą rozpowszechniał wśród
matematyków przez 10 lat, zaczynają wreszcie przywracać Góro Shimurze uzna-
nie, które mu się słusznie należy.

114 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Dlaczego nie miałbym od czasu do czasu robić "głupich", jak
raczy Pan mówić, uwag? Choć istotnie, wyrażając w 1979
roku pewien sceptycyzm wobec hipotezy Mordella, byłem
"poza" - nie wiedziałem wówczas nic o pracach Rosjan (Par-
szyn itd.), prowadzonych w tym kierunku. Jeśli mogę mleć
coś na swoje usprawiedliwienie, to chyba tylko to, że gdy
w 1972 roku wiodłem z Szafarewiczem długie rozmowy,
o żadnej z owych prac słowem nie wspomniał.
Z należnym szacunkiem,
A. Well
P.S. Jeśli zechce Pan przepuścić ten list przez swą kopiarkę,
proszę czuć się do tego upoważnionym. Ciekaw jestem, co
firma Xerox poczęłaby bez Pana i podobnych osób.
W głębi Czarnego Lasu, jesień 1984
Podczas gdy w Berkeley, New Haven, Princeton i po drugiej
stronie Atlantyku, w Paryżu, toczyły się wściekłe spory o au-
torstwo hipotezy Shimury-Taniyamy, w głębi Czarnego Lasu,
w południowo-zachodnich Niemczech, wydarzyło się coś zupeł-
nie nieoczekiwanego.
Gerhard Frey zrobił dyplom na Uniwersytecie w Tybindze,
a doktorat na Uniwersytecie w Heidelbergu, gdzie, będąc pod
wpływem prac Hassego i Weila, studiował teorię liczb. Freya
fascynowało wzajemne oddziaływanie teorii liczb i geometrii al-
gebraicznej, dziedziny matematyki rozwiniętej w ostatnim pół-
wieczu. Interesował się on też geometrią arytmetyczną. To wła-
śnie związki między teorią liczb i nowszymi dziedzinami,
geometrią arytmetyczną i algebraiczną, doprowadziły go do do-
wodu zaskakującego twierdzenia. W latach siedemdziesiątych
Frey zajmował się intensywnie krzywymi algebraicznymi i rów-
naniami diofantycznymi. W roku 1978 przeczytał artykuł Bar-
ry'ego Mazura z Uniwersytetu Harvarda, zatytułowany "Krzywe
modułowe i ideał Elsensteina", i przez jakiś czas był nim bar-
dzo poruszony, podobnie jak wielu innych specjalistów w dzie-

AMIR D, ACZEL • 1 15
dzinie teorii liczb, w tym Kenneth Rlbet z Berkeley l Andnew
Wiłeś z Princeton. Nabrał przekonania, że powinien bardzo po-
ważnie pomyśleć o zastosowaniach teorii krzywych modu ło-
wych i reprezentacji Galols w teorii krzywych eliptycznych.
Stwierdził, że takie rozważania w niemal nieunikniony spossób
prowadzą do zagadnień diofantycznych, blisko związanych
z równaniami Fermata. Ów nagły i potężny przebłysk intuiicji
Frey próbował wykorzystać i doprecyzować.
W 1981 roku Frey spędził parę tygodni na Uniwersytecie
Harvarda, odbywając kilka dyskusji z Barrym Mazurem. WLele
rzeczy zdołał dzięki tym rozmowom wyjaśnić. Gęsta mgła, spo-
wijająca trudne do uchwycenia związki równań podobnych do
równania Fermata z formami modułowymi l krzywymi eliptycz-
nymi, zaczynała się z wolna rozstępować. Frey pojechał ma-
stępnie do Berkeley, gdzie rozmawiał z Kenem Ribetem, błys-
kotliwym specjalistą w zakresie teorii liczb, który w swoim

czasie ukończył Uniwersytet Harvarda i wspólnie z Mazur-em
pracował nad zbliżonymi zagadnieniami. Z Berkeley Frey rpo-
wrócii do ojczystych Niemiec. W trzy lata później otrzymał za-
proszenie do wygłoszenia wykładu w Oberwolfach, miejscowro-
ści zagubionej pośród wzgórz Czarnego Lasu.
W Oberwolfach mieści się matematyczne centrum konfe-
rencyjne, położone w pięknej, spokojnej okolicy, z dala od
miast i zaludniających je tłumów. Każdego roku odbywa się
tam około pięćdziesięciu międzynarodowych konferencji, po-
święconych różnym dziedzinom matematyki. Aby mieć w Obe-
rwolfach wykład czy choćby po prostu uczestniczyć w jędrnym
ze spotkań, należy wpierw otrzymać zaproszenie. W centr-um
dokłada się wszelkich starań, by ekspertom z różnych krajów
ułatwić wymianę pomysłów. W 1984 roku Gerhard Frey, p»od-
czas swego wykładu na zorganizowanej tam konferencji z tteo-
rii liczb, wygłosił twierdzenie z pozoru zwariowane. Z wypeł-
nionych wzorami, powielonych i rozdawanych uczestnilcom
notatek najwyraźniej wynikało, że jeśli hipoteza Shimury-Ta-
niyamy rzeczywiście jest prawdziwa, to zachodzi także wie Ikle
twierdzenie Fermata. Na pierwszy rzut oka zdawało się, że nie
ma w tym ani za grosz sensu. Gdy Ken Ribet po raz pierwszy

116 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
dowiedział się o twierdzeniu Freya, sądził, że to żart - cóż bo-
wiem modułowość krzywych eliptycznych może mleć wspólne-
go z wielkim twierdzeniem Fermata? Więcej o tym dziwnym
stwierdzeniu nie myślał i wrócił do swych codziennych zajęć.
Lecz wypowiedź Freya, pozbawiona dowodu i Jakby niepełna.
zainteresowała kilka osób w Paryżu i gdzie indziej. Jean-Pier-
re Serre napisał list do matematyka o nazwisku J.-F. Mestre.
List dotarł do wiadomości publicznej, a wówczas Serre opubli-
kował artykuł powtarzający hipotezy zawarte w liście do Me-
stre'a.43
Twierdzenie Ribeta
Ken Rlbet, który z początku uznał wszystko za żart, zaczął
myśleć o hipotezach Serre'a l doszedł do wniosku, że przypo-
minają mu one kilka myśl

nania Fermata xf1 + y" = z" w zbiorze
liczb całkowitych dodatnich. Owemu rozwiązaniu, czyli trójce
liczb a, b i c, odpowiada pewna krzywa eliptyczna. Frey wypi-
sał ogólną postać równania takiej krzywej utworzonej z rozwią-
zania równania Fermata. Hipoteza, zaprezentowana przezeń
w Oberwolfach, orzekała, że ta akurat krzywa eliptyczna, dziś
43 Jean-Pierre Serre: Lettre a J.-F. Mestre. Przedruk w: Current Trends in Arith-
metical Algebraic Geometry, "American Mathematical Society", Proyidence RI,
1987,s. 263-268.

AMIR D, ACZEL . -117
nazywana krzywą Freya, jest bardzo osobliwym zjawiskiem;
w rzeczy samej na tyle dziwnym, że nie mogłaby Istnieć. Co
ważniejsze, krzywa eliptyczna, którą można by skonstruować
w razie fałszywości wielkiego twierdzenia Fermata, z pewno-
ścią nie była modułowa. A gdyby za prawdziwą uznać hipottezę
Shimury-Taniyamy, to wszystkie krzywe eliptyczne musiałaby
być modułowe. Krzywa eliptyczna, która nie jest moduło~wa,
nie mogłaby zatem istnieć. Wynikałoby więc stąd, że krzywa

Freya - krzywa eliptyczna, która ma bardzo wiele dziwn^ych
własności i nie jest przy tym modułowa - nie może istnieć. Za-
tem nie może być także rozwiązań równania Fermata. Ozna-
czałoby to, że wielkie twierdzenie Fermata (które głosi przecież,
że rozwiązań nie ma, o ile wykładnik Jest większy od 2) jest
prawdziwe. Był to skomplikowany ciąg implikacji, ale do loagikl
pewnego rodzaju dowodów matematycznych pasował dosko-
nale. Chodzi tu o rozumowanie w następującej postaci: z A
wynika B, a więc, jeśli B nie jest prawdziwe, to również A» nie
może być prawdziwe. Kłopot polegał jednak na tym, że w rozu-
mowaniu brakowało jednego ogniwa. Dlatego mówić można
było jedynie o kolejnej hipotezie - tym razem o hipotezie F-reya
- głoszącej, że z prawdziwości hipotezy Shimury-Taniyamy" wy-
nika wielkie twierdzenie Fermata. Dwa kolejne przypuszcz-enia
sformułowane przez Serre'a w liście do Mestre'a pozw oliły
Kenowi Ribetowi o hipotezie Freya myśleć w sposób ba-rdzo
konkretny.
Ken Rlbet nigdy przedtem nie zajmował się wielkim twier-
dzeniem Fermata. Zaczynał od studiowania chemii na 'Uni-
wersytecie Browna; jednak pod wpływem swego opiekruna,
Kennetha F. Irelanda, zwrócił się w stronę matematyki i zain-
teresował funkcjami typu dzeta i teorią liczb. Wielkie twierdze-
nie Fermata lekceważył jako "jeden z tych problemów, o któ-
rych nic już naprawdę ważnego powiedzieć się nie da". Wielu
matematyków podzielało ten pogląd, gdyż problemy teorii liczb
często są izolowane, nie łączą ich jednolite schematy i ni-e wi-
dać kryjących się za nimi ogólnych zasad l prawidłowości- Nie-
mniej, w losach wielkiego twierdzenia Fermata zawarte zostały
kawałki właściwie całej historii matematyki, od zarania cywlll-

118 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
zacji aż do naszych czasów. Ostateczne rozwiązanie problemu
też wymagało połączenia w jedno rozległych dziedzin: teorii
liczb, algebry, analizy, geometrii i topologii, praktycznie więc
niemal całej matematyki.
Rlbet zaczął następnie pracować nad doktoratem z matema-
tyki na Uniwersytecie Harvarda. Tam - z początku pośrednio,
a potem, bliżej końca studiów doktoranckich, bezpośrednio -
trafił pod skrzydła Barry'ego Mazura, wielkiego geometry, spe-
cjalisty w dziedzinie teorii liczb i wizjonera inspirującego
wszystkich matematyków w najmniejszym choćby stopniu za-
angażowanych w wysiłki zmierzające do udowodnienia wielkie-
go twierdzenia Fermata. Praca Mazura poświęcona ideałowi
Eisensteina przenosiła na grunt współczesnej matematyki
i geometrii algebraicznej dziewiętnastowieczną, rozwiniętą
przez Emsta Kummera, teorię liczb idealnych, proponując no-
we, geometryczne podejście do teorii liczb.44
Ken Rlbet został koniec końców profesorem matematyki na
Uniwersytecie Kalifornijskim w Berkeley i zaczął prowadzić
badania w dziedzinie teorii liczb. W 1985 roku usłyszał
o Freyu i Jego "szaleńczym" poglądzie, że jeśli istniałoby roz-
wiązanie równania Fermata (czyli gdyby wielkie twierdzenie
Fermata było fałszywe), to można by z jego pomocą skonstru-
ować dziwaczną krzywą. Owa krzywa Freya byłaby eliptycz-
na, lecz nie modułowa. Skojarzona z nią para hipotez zawar-
tych w liście Serre'a do Mestre'a spowodowała, że Ribet
zaczął poważnie myśleć o udowodnieniu hipotezy Freya.
I chociaż wielkim twierdzeniem Fermata naprawdę się nie in-

teresował, zdawał sobie sprawę z tego, że jest to palący pro-
blem, w dodatku mieszczący się w kręgu tematów dobrze mu
znanych. W ciągu tygodnia od 18 do 24 sierpnia 1985 roku
Rlbet uczestniczył w konferencji z geometrii arytmetycznej
l algebraicznej w Arcata, w Kalifornii. Zaczął rozmyślać o hi-
potezie Freya i problem ten zaprzątał jego głowę przez cały
następny rok. Gdy na początku lata 1986 roku uwolnił się od
44 Barry Mazur: Modular Curves and the Eisenstein Ideał, The Matematical Pu-
blications of IHES, tom 47 (1977), s. 33-186.

AMIR D, ACZEL • 119
obowiązków dydaktycznych w Berkeley, poleciał do Nieimlec,
gdzie miał prowadzić badania naukowe w Instytucie Mlaxa
Plancka, sławnym na cały świat ośrodku matematyczn^ym.
Wkrótce po przybyciu do Instytutu dokonał wielkiego prz:eło-
mu. Mógł teraz przeprowadzić prawie kompletny dowód h-lpo-
tezy Freya.
W rozumowaniu nadal jednak brakowało kilku szczegó łów,
które należało dopracować. Wkrótce po powrocie do Berlseley
Rlbet wpadł przypadkowo na Barry'ego Mazura, który przyje-
chał akurat z Uniwersytetu Harvarda. "Chodźmy na kawę,
Barry" - zaproponował Ribet. Powędrowali wspólnie do poopu-
larnej kawiarni w pobliżu kampusu Uniwersytetu Kalifo mij-
skiego. Popijając kawę z mlekiem, Ribet zwierzył się Mazurowi:
"Próbuję uogólnić to, co zrobiłem wcześniej, żeby udowodnić
hipotezę Freya. Nie mogę się uporać tylko z tą jedną rzecz ą...".
Mazur rzucił okiem na podsunięte przez Rlbeta formuły. "Ale
przecież już to zrobiłeś, Ken - odparł. - Musisz tylko dorzucić
ten drobiazg, przeprowadzić powtórnie całe rozumowanie^ l po
wszystkim!" Zamyślony Ribet spojrzał na Mazura, na swą fili-
żankę z kawą l jeszcze raz, z niedowierzaniem, na Mazura.
"Masz świętą rację!" - zawołał. Nieco później wrócił do s-wego
gabinetu, by dopracować do końca dowód. "Ken wpadł nsa ka-
pitalny pomysł" - opowiadał potem z szerokim uśmiechem Ma-
zur, opisując zręczny, już opublikowany i znany w mat-ema-
tycznym świecie dowód Kena Ribeta.
Ribet sformułował i udowodnił twierdzenie, które glosi-ło, że
jeśli prawdziwa jest hipoteza Shimury-Tantyamy, to, jako bez-
pośredni wniosek, wypływa z niej natychmiast wielkie twier-
dzenie Fermata. Człowiek, który jedynie rok wcześnie) u^ważał
sugestię Freya za żart, udowodnił teraz, że to nie żaden dow-
cip, tylko matematyczna rzeczywistość. Drzwi do protolemu
Fermata, umożliwiające atak z wykorzystaniem całego ar-sena-
łu nowoczesnych metod geometrii algebraicznej i arytm«etycz-
nej, zostały szeroko otwarte. Świat potrzebował teraz tylko
kogoś, kto udowodniłby pozornie nieosiągalną hipotezeę Shi-
mury-Tantyamy. Wielkie twierdzenie Fermata byłoby wó-wczas
prawdziwe.

120 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Dziecięce marzenie
Andrew Wiłeś był człowiekiem, który chciał to właśnie zrobić.
Gdy miał dziesięć lat, poszedł do biblioteki publicznej w swoim
miasteczku w Anglii i zajrzał do książki o matematyce. Prze-
czytał w niej o wielkim twierdzeniu Fermata. Twierdzenie było
w książce przedstawione tak prosto, że jego treść mogło zrozu-
mieć dziecko. Oddajmy zresztą głos samemu Wilesowi:

Było tam napisane, że nigdy nie znajdą się takie liczby x,
y i z, że x3 + y3 = z3. Żeby nie wiem jak wytrwale szukać,
nigdy, przenigdy się takich liczb nie znajdzie. I było też napi-
sane, że tak samo jest dla .x4 + y4 = Z4 i dla .x5 + y5 = z5, i tak
dalej... Wydawało się to takie proste, a autor książki twier-
dził, że przez ponad trzysta lat nikt nie zdołał tego udowod-
nić. Zapragnąłem więc znaleźć dowód...
W latach siedemdziesiątych Andrew Wiłeś wstąpił na uni-
wersytet. Gdy skończył studia, przyjęto go na Wydział Mate-
matyki w Cambridge, gdzie pod opieką Johna Coatesa zaczął
pracować nad doktoratem. Marzenie swego dzieciństwa, by
udowodnić wielkie twierdzenie Fermata, Wiłeś musiał porzu-
cić. Badania nad tym problemem nieuchronnie okazałyby się
stratą czasu, na którą nie mógłby sobie pozwolić żaden dok-
torant. A poza tym, jakiż promotor zgodziłby się opiekować
studentem pracującym nad taką starodawną łamigłówką,
wciąż nie rozwiązaną mimo trzystuletnich wysiłków nąj-
świetniej szych umysłów świata? W latach siedemdziesiątych
naszego wieku Fermat stał się niemodny. Prawdziwie gorą-
cym tematem badań, tematem "w dobrym tonie", były wów-
czas w teorii liczb krzywe eliptyczne. Adrew Wiłeś zaczął więc
poświęcać swój czas na badania krzywych eliptycznych
oraz dziedziny, zwanej teorią Iwasawy. Napisał pracę doktor-
ską, a po jej obronie otrzymał posadę na Wydziale Matematy-
ki Uniwersytetu w Princeton l przeniósł się do Stanów Zjed-
noczonych, by nadal badać krzywe eliptyczne i zgłębiać
teorię Iwasawy.

A.MIR D. ACZEL • 121
Dawny ogień bucha nowym żarem
Był ciepły letni wieczór, a Andrew Wiłeś sączył właśnie mrożomą
herbatę w domu przyjaciela. Nagle, w środku rozmowy, przyj a-
ciel rzekł: ,A tak przy okazji, czy słyszałeś, że Ken Ribet właśrale
udowodnił hipotezę epsilonową?" Mianem hipotezy epsilono\wej
specjaliści od teorii liczb określali między sobą zmodyfikowała
przez Serre'a wersję hipotezy Freya, mówiącą o związku pomtię-
dzy wielkim twierdzeniem Fermata i hipotezą Shimury-Tamyya-
my. Wilesa przeszył prąd. Czuł w tamtej chwili, że jego życie asie
zmienia. Dawne dziecięce marzenia, by udowodnić wlell-rie
twierdzenie Fermata, marzenia, które przyszło mu porzucić na
rzecz "rozsądniej szych" badań naukowych, powróciły naggie
z niewiarygodną siłą. Wrócił do domu l zaczął myśleć nad tym,
w jaki sposób udowodnić hipotezę Shimury-Taniyamy.
"Przez pierwszych kilka lat - zwierzył się później - nie mi.la-
łem żadnej konkurencji; wiedziałem bowiem, że nikt, włącza-
jąc w to mnie samego, nie ma pojęcia, od czego zacząć". WLIes
postanowił pracować samotnie i w całkowitej tajemnicy. "Ule
można się skupić, gdy kibiców jest zbyt wielu, a odkryl-em
szybko, że wystarczy tylko słówkiem wspomnieć o Fermacie,
by natychmiast wzbudzić niezdrowe zainteresowanie". Oczywi-
ście, zdolnych, utalentowanych matematyków nie braku-ije,
szczególnie w takich miejscach jak Princeton. Istnieje poważne
niebezpieczeństwo, że rozpoczętą przez nas pracę ukoń czy
ktoś inny, w dodatku robiąc to lepiej od nas.
W każdym razie Wiłeś zamknął się w swym gabinecie na
strychu i zabrał do pracy. Porzucił wszelkie inne projekty ba-
dawcze, żeby swój czas w całości przeznaczyć na problem Fer-
mata. Zamierzał zużytkować całą potęgę maszynerii współczes-

nej algebry, geometrii, analizy l innych gałęzi matematyki.
Planował wykorzystać ważne rezultaty matematyczne, uzyska-
ne zarówno przez współczesnych mu badaczy, jak i przez jjego
historycznych poprzedników. Chciał użyć zręcznych metod
z dowodów Ribeta, pragnął włączyć do pracy teorie Barry-'ego
Mazura oraz idee Shimury, Freya, Serre'a, Andrć Weila i w&elu,
wielu innych matematyków.

122 . WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Wielkość Wilesa, jak powie później Gerhard Frey, polegała
na tym, że wierzył w to, co robi, podczas gdy praktycznie żaden
matematyk na świecie nie sądził, żeby w XX wieku ktokolwiek
był w stanie udowodnić hipotezę Shimury-Taniyamy.
Andrew Wiłeś wiedział, że aby udowodnić hipotezę Shimury-
-Taniyamy, musi wykazać, ii każda krzywa eliptyczna jest mo-
dułowa; musi udowodnić, iż każda krzywa eliptyczna, której
punkty leżą na powierzchni obwarzanka, jest w istocie formą
modułową w przebraniu. Powierzchnia obwarzanka miała Jak-
by skrywać w sobie tę przestrzeń obdarzonych zawiłymi syme-
triami obiektów rodem z płaszczyzny zespolonej, które nazywa
się formami modułowymi. Nikt nie wiedział, jak wykazać ist-
nienie tak dziwnego związku między tworami na pozór tak bar-
dzo różnymi.
Wiłeś doszedł do wniosku, że najlepiej będzie spróbować po-
liczyć, ile jest krzywych eliptycznych, następnie zaś policzyć,
Ile Jest modułowych krzywych eliptycznych, a na koniec
sprawdzić, czy jest ich tyle samo. Byłoby wtedy wiadomo, że
krzywe eliptyczne i modułowe krzywe eliptyczne to jedno i to
samo (a zatem każda krzywa eliptyczna rzeczywiście jest mo-
dułowa, jak orzeka hipoteza Shimury-Taniyamy).
Ponadto, Wiłeś uświadamiał sobie dwie kwestie. Po pierw-
sze, nie musiał wcale dowodzić hipotezy Shimury-Taniyamy
w całej ogólności, lecz tylko w szczególnym przypadku, dla se-
mistabllnych krzywych eliptycznych o współczynnikach wy-
miernych. Wykazanie, że hipoteza zachodzi dla tej nieco
niniejszej klasy krzywych eliptycznych, w zupełności wystar-
czyłoby do uzasadnienia wielkiego twierdzenia Fermata.
Po drugie. Wiłeś wiedział, że zwykłe "liczenie" na nic się nie
przyda - miał bowiem do czynienia ze zbiorami nieskończony-
mi. Zbiór semistabilnych krzywych eliptycznych jest nieskoń-
czony. Różnym wymiernym współczynnikom postaci a/b,
gdzie a i b są liczbami całkowitymi, odpowiadają różne krzywe
eliptyczne (nad liczbami wymiernymi). Ponieważ liczb wymier-
nych jest nieskończenie wiele (licznik a i mianownik b każde-
go współczynnika można dowolnie wybierać spośród nieskoń-
czenie wielu liczb l, 2, 3, 4, ...), nieskończenie wiele jest także

AMIR D. ACZEL • 1123
krzywych eliptycznych. Zatem liczenie jako takie nic tu mię
pomoże.
Duży problem podzielić
na kilka mniejszych
Wiłeś myślał, że mógłby spróbować skupić uwagę na mniej-
szych problemach, po jednym naraz. Być może byłby wówc^zas
w stanie przypatrzeć się mniejszym klasom krzywych eliptycz-
nych l sprawdzić, co się da z nimi zrobić. Wydawało się, żejjest
to nie najgorsze podejście, ponieważ w ten sposób mógł zrrnie-

rzać do celu krok po kroku, stopniowo ogarniając różne klasy.
Przede wszystkim wiedziano już wówczas, że niektóre krzywe
eliptyczne są modułowe (wynikało to z ważnych rezultatów ba-
dań, uzyskanych przez innych specjalistów od teorii licazb).
Wkrótce jednak Andrew Wiłeś zdał sobie sprawę, że sa-mo
przypatrywanie się różnym krzywym eliptycznym i wynajdywa-
nie dla każdej z nich z osobna "koleżanki" do pary wśród form
modułowych nie jest zapewne najlepszą drogą - miał w koncu
do czynienia ze zbiorami nieskończonymi. W istocie, nie zmaj-
dowal się bliżej rozwiązania niż sceptyczny Andre Weił, który
kategorycznie oświadczał: "Nie widzę nic, co stałoby na prze-
szkodzie, oba bowiem zbiory są przeliczalne [to znaczy mie-
skończone i tego samego "rozmiaru", co zbiór liczb całkowitych
czy wymiernych, zaś dużo mniejsze niż na przykład zbiór
wszystkich liczb niewymiernych lub jakikolwiek inny zbnór
mocy continuum], nie widzę też jednak niczego, co przemaka-
łoby na korzyść tej hipotezy..." Po dwóch latach wędrówki do-
nikąd Wiłeś spróbował nowego podejścia. Pomyślał, że mógłby
zastąpić krzywe eliptyczne ich reprezentacjami Galois, a forrmy
modułowe dobierać potem do tych reprezentacji.
Pomysł, choć nie do końca oryginalny, był świetny. Za tym
posunięciem kryje się ciekawa zasada. Otóż specjaliści w dizie-
dzinie teorii liczb zajmują się znajdowaniem rozwiązań równań
takich jak na przykład równanie Fermata. Matematyczna teo-
ria ciał liczbowych umieszcza ów problem w kontekście roz-sze-

124 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
rżeń ciał. Ciała są wielkimi, często nieskończonymi kolekcjami
elementów, niełatwo poddającymi się analizie. By temu zara-
dzić, specjaliści nierzadko wykorzystują stworzoną przez Eva-
riste'a Galois tak zwaną teorię Galols, by przełożyć problemy
ze skomplikowanego języka ciał na prostszy język obiektów
znanych pod nazwą grup. Grupa często jest generowana przez
skończony (a nie nieskończony) zbiór elementów. Wykorzysta-
nie teorii Galois pozwala zatem specjalistom od teorii liczb
przenieść rozważania z nieskończonej kolekcji na taką, która
jest w pełni wyznaczona przez skończony zbiór generatorów.
To przesunięcie problemu w inny obszar stanowi olbrzymi
krok naprzód, ponieważ ze skończonym zbiorem generatorów
grupy można sobie radzić nieporównanie łatwiej niż z nieskoń-
czonym zbiorem elementów ciała. Już choćby samo liczenie
ma sens tylko dla zbiorów skończonych.
Wydawało się z początku, że to podejście działa dla niektó-
rych klas krzywych eliptycznych. Był to swego rodzaju prze-
tom. Tymczasem po upływie kolejnego roku Wiłeś znów stanął
w miejscu.
Praca Flacha
Andrew Wiłeś próbował teraz ustawić w pary elementy dwóch
zbiorów: form modułowych i reprezentacji Galois, odpowiada-
jących semistabilnym krzywym eliptycznym; wszystko to
w tym celu, by sprawdzić, że są one takie same. W tej pracy
posługiwał się tzw. horyzontalną teorią Iwasawy, dziedziną,
z której napisał doktorat l w której czuł się ekspertem. Próbo-
wał z niej korzystać po to, by uzyskać wzór na liczbę klas ide-
ałów, rezultat potrzebny mu do "liczenia". Znów jednak stanął
przez murem. Nic z tego, co robił, nie przybliżało go do rozwią-
zania.
Latem 1991 roku Wiłeś uczestniczył w konferencji w Bosto-

nie, gdzie spotkał swego byłego promotora z Cambridge, Johna
Coatesa. Profesor Coates powiedział Wilesowi, że jeden z jego
studentów, Matthlas Flach, bazując na wcześniejszych pra-

AMIR D. ACZEL • 125
cach matematyka rosyjskiego o nazwisku Koływagin, podczsas
próby dowodu wzoru na liczbę klas Ideałów obmyślił i sko n-
struował tzw. system Eulera (nazywany tak od nazwiska Le-
onarda Eulera). Tego właśnie potrzebował Wiłeś do swego do-
wodu hipotezy Shimury-Taniyamy (pod warunkiem, że
potrafiłby częściowe wyniki Flacha rozszerzyć tak, by otrzynuać
pełny wzór na liczbę klas ideałów). Coates, mówiąc Wlleso»wi
o pracy Flacha, wprawił go w dobry nastrój. "Było to skrojo»ne
na miarę mojego problemu" - powiedział Wiłeś; zupełnie tak,
jakby Matthlas Flach całą tę pracę wykonał wyłącznie dla n-ie-
go. Wiłeś natychmiast zarzucił dotychczasowe próby użycia
horyzontalnej teorii Iwasawy, by na całe dnie i noce pogrąSyć
się w pracach Koływagina i Flacha. Gdyby się okazało, że
stworzony przez nich "system Eulera" naprawdę działa, WLłes
mógłby mieć nadzieję, że dostanie do ręki wzór na liczbę kJas
ideałów, a hipoteza Shimury-Taniyamy zostanie udowodnicona
dla semistabilnych krzywych eliptycznych. To wystarczy, by
udowodnić wielkie twierdzenie Fermata.
Była to jednak ciężka praca, wykraczająca poza tak dób rżę
Wilesowi znaną teorię Iwasawy. Wiłeś zaczął coraz częściej "od-
czuwać potrzebę znalezienia kogoś, z kim mógłby poroznna-
wlać. Szukał powiernika, który sprawdziłby, jak daleko Wfiles
pożeglował na nieznanych wodach, a jednocześnie nie zdraodzll
się przed nikim ani słowem.
Dobry przyjaciel
Wiłeś musiał w końcu podjąć decyzję l zdecydować się, czy
ma nadal utrzymywać wszystko w tajemnicy, jak robił to już
od dawna, czy też złamać swe postanowienie i zacząć rozn-na-
wiać z kimś dobrze się znającym na teorii liczb? Zdecydował
ostatecznie, że zachowując tajemnicę, nie postąpi najlepiej.
Jak sam mówił, można całe życie pracować nad jakimś pro-
blemem i nigdy nie ujrzeć tego efektów. Potrzeba pokazania
notatek innej osobie przeważyła więc w końcu nad silnym
pragnieniem zachowania wszystkiego tylko dla siebie. Piozo-

126 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
stało jednak pytanie: kto? Kto jest godzien zaufania, kto do-
chowa tajemnicy?
W styczniu 1993 roku, po sześciu latach samotnej pracy,
głęboko zakonspirowany Wiłeś nawiązał pierwszy kontakt.
Zwrócił się do profesora Nicka Katza, jednego ze swych kole-
gów na Wydziale Matematyki w Princeton. Katz świetnie znał
się na wielu teoriach wchodzących do arsenału środków wy-
korzystywanych w dowodzie wzoru na liczbę klas Ideałów. Co
ważniejsze, wyglądało na to, że można mu było bezgranicznie
ufać; nigdy nie zdradziłby, co Andrew Wiłeś zamierza zrobić.
Ta ocena, jak się później okazało, była trafna. Nick Katz trzy-
mał język za zębami cały czas, przez wszystkie miesiące
współpracy z Wilesem, aż do końca przedsięwzięcia. Ich
wspólni koledzy w małym matematycznym światku w Prince-
ton nie podejrzewali niczego ani przez chwilę, nawet wówczas,
gdy widzieli obu przyjaciół, wiodących gdzieś w kąciku słyn-

nego Commons Room ściszone, wielogodzinne rozmowy przy
kawie.
Lecz Andrew Wiłeś nadal się martwił, że ktoś mógłby
odgadnąć, nad czym właśnie pracuje. Nie chciał ryzykować.
Uknuł więc plan mający na celu ukrycie tego, że bardzo inten-
sywnie pracuje nad "czymś" wspólnie z Nickiem Katzem.
W wiosennym semestrze 1993 zaoferował nowy wykład mono-
graficzny dla doktorantów, wykład, na który Nick Katz miał
chodzić jako jeden ze słuchaczy, co pozwoliłoby im obu praco-
wać wspólnie, nie budząc podejrzeń innych. Tak przynajmniej
powiedział Wiłeś. Doktoranci nie będą mogli podejrzewać, że
za treścią wykładów kryje się droga do wielkiego twierdzenia
Fermata, a Wiłeś, przy pomocy swego dobrego przyjaciela Katza,
będzie mógł użyć ich mózgów do wyszukiwania ewentualnych
słabych punktów rozumowania.
Pojawiły się ogłoszenia o wykładzie, którego przedmiotem
miały być "obliczenia dla krzywych eliptycznych", tytuł wystar-
czająco niewinny, by nikt niczego nie podejrzewał. Na pierw-
szych zajęciach profesor Wiłeś powiedział, że celem wykładów
będzie zaprezentowanie i studiowanie pewnej nowej pracy
Matthiasa Flacha, dotyczącej wzoru na liczbę klas ideałów.

ĄMIR D ACZEL • 127
O Fermacie czy Shimurze nie padło ani jedno słowo; nikt n:le
mógł przeczuwać, ze wzór na liczbę klas ideałów był kluczo-
wym punktem dowodu wielkiego twierdzenia Fermata. I nilkt
nie miał pojęcia, że prawdziwym celem wykładów nie bySo
uczenie doktorantów matematyki, lecz umożliwienie Wileso\-vl
l Katzowi wspólnej l nie budzącej podejrzeń kolegów pracy nead
owym problemem, przy jednoczesnym wykorzystaniu niczego
nie podejrzewających doktorantów do sprawdzania niektórych
obliczeń.
Jednakże po paru tygodniach wszyscy doktoranci stopniowo
opuszczali zajęcia. Nie mogli dotrzymać kroku wykładom, kt-ó-
re nie miały jasno określonego celu. Jedynym "studentenn",
który zdawał się wiedzieć cokolwiek i aktywnie uczestniczmy!
w wykładach, był drugi profesor matematyki, siedzący w ławice
obok nich. Tak więc po pewnym czasie Nick Katz został jeoiy-
nym słuchaczem. Ale Wiłeś najzwyczajniej w świecie kontyn-zi-
ewał wykłady, korzystając z nich, by krok po kroku wypis, ać
na tablicy cały swój długi dowód wzoru na liczbę klas ideałó~w,
podczas gdy Nick Katz na kolejnych zajęciach sprawdzał pao-
szczególne fragmenty rozumowania.
Wykłady nie ujawniły żadnych błędów. Wydawało się, że cflo-
wód wzoru na liczbę klas ideałów działa bez zarzutu, a WiUes
jest na najlepszej drodze do rozwiązania problemu Fermałta.
I tak, późną wiosną roku 1993, gdy wykład zbliżał się do kaiń-
ca, Andrew Wiłeś niemal zakończył swą pracę. Zmagał się jesz-
cze tylko z jedną, jedyną, ostatnią przeszkodą. Umiał wpra_w-
dzie udowodnić, że prawie wszystkie krzywe eliptyczne są
modułowe, lecz kilka z nich nadal wymykało się z łańcucha ar-
gumentów. Sądził, że wkrótce pokona owe trudności l, ogólnie
rzecz biorąc, byt w optymistycznym nastroju. Wiłeś czuł, że
nadeszła pora, by porozmawiać z jeszcze jedną osobą, l tym
samym spróbować nieco lepiej zrozumieć ostatnią stój gacą
przed nim trudność. Zwrócił się więc do profesora Petera S.ar-
naka, innego kolegi na Wydziale Matematyki w Princeton
l również zobowiązał go do zachowania tajemnicy. "Sądzę, że

wkrótce dokończę dowód wielkiego twierdzenia Fermata" - yo-
wiedział zdumionemu Samakowi.

128 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
"Było to coś niewiarygodnego - wspominał później Samak. -
Czułem się osłupiały, rozradowany, wytrącony z równowagi.
Chcę powiedzieć... pamiętam, że tamtej nocy po prostu nie
mogłem spać". Tak więc teraz już dwóch kolegów próbowało
pomóc Wllesowi w dokończeniu dowodu. I mimo że nikt nie
domyślał się, nad czym właściwie cała trójka pracuje, przecież
ludzie zaczęli coś zauważać. A Sarnak, choć zaklinał się, że
nikt się od niego niczego nie dowiedział, przyznał później, iż tu
i ówdzie poczynił "być może kilka aluzji..."
Ostatni kawałek układanki
W maju 1993 roku Andrew Wiłeś przesiadywał samotnie przy
biurku. Z wolna ogarniała go frustracja. Wydawało się, że do
schwytania tych kilku wymykających się z zarzuconej sieci
krzywych eliptycznych nie zbliżył się ani o włos. Najzwyczaj-
niej nie mógł udowodnić, że są modułowe. A przecież potrze-
bował to potwierdzić, by wykazać, że wszystkie (semistabilne)
krzywe eliptyczne są modułowe i tym samym udowodnić wiel-
kie twierdzenie Fermata. Rozważenie większości semistabil-
nych krzywych eliptycznych było samo w sobie wspaniałym
matematycznym wynikiem, ale nie wystarczało do osiągnięcia
celu. By odrobinę odetchnąć od intensywnych, prowadzących
donikąd poszukiwań. Wiłeś sięgnął po starą pracę wielkiego
mistrza, Barry'ego Mazura z Uniwersytetu Harvarda. Niektóre
odkrycia Mazura w teorii liczb były przełomowe; jego wyniki
Inspirowały wielu ekspertów w tej dziedzinie, w tym Ribeta
l Freya, których prace wytyczyły drogę Wilesowl. Artykuł Ma-
zura, który Wiłeś czytał teraz powtórnie, stanowił rozszerzenie
teorii ideałów, mającej swe początki w pracach Dedekinda
l Kummera, a rozwijanej następnie przez innego dziewiętna-
stowiecznego matematyka, Ferdinanda Gottholda Eisenstelna
(1823-1852). Eisenstein, mimo że zmarł młodo, dokonał
w teorii liczb wielkich odkryć. Podobno, Gauss powiedział
kiedyś, że było "tylko trzech epokowych matematyków: Archl-
medes, Newton i Eisenstein".

AMIR D. ACZEL • -129
Jedna z linijek w poświęconej ideałowi Eisenstelna praacy
Mazura45 przykuła teraz uwagę Wilesa. Mazur najwyraźmiej
twierdził, że można przełączyć się z jednego zbioru krzywych
eliptycznych na inny. "Przełącznik" wykorzystywał liczby
pierwsze. Mazur twierdził, że gdy się ma do czynienia z krrzy-
wymi eliptycznymi związanymi z liczbą trzy, można prze-
kształcić je w taki sposób, by dało się studiować ich wias no-
ści, wykorzystując piątkę zamiast trójki. Właśnie taki'ego
"przełącznika" z trójki na piątkę potrzebował Wiłeś. Utlcnął
w miejscu, nie mogąc udowodnić, że krzywe eliptyczne p ew-
nej klasy, związane z liczbą trzy, są modułowe. I oto Ma-zur
orzekał, że wystarczy użyć czarodziejskiej różdżki i zmieniać Je
w krzywe związane z inną liczbą pierwszą, mianowicie z Licz-
bą pięć. A owe krzywe związane z piątką, jak już wcześrniej
Wiłeś udowodnił, są modułowe. Zatem cała sztuka polegała
na zastosowaniu "przełącznika" z trójki na piątkę. Wrzucało
się do niego sprawiające kłopoty krzywe eliptyczne związ-ane

z trójką, a wyjmowało krzywe związane z piątką, o któr-ych
wiadomo już było, że są modułowe. Po raz kolejny świetny
pomysł innego matematyka pomógł Wilesowi obejść prze-
szkodę z pozoru nie do pokonania. Andrew Wiłeś ukoń-czył
wreszcie swe dzieło i w dodatku zrobił to w znakomitym mo-
mencie.
W następnym miesiącu, w czerwcu, jego były promotor JTohn
Coates będzie gościł w Cambridge uczestników konferencjiL po-
święconej teorii liczb. Z pewnością przyjadą wówczas wszystkie
matematyczne sławy. Cambridge było rodzinnym miastem- Wl-
lesa; właśnie tam obronił doktorat. Czyż nie byłoby znakomi-
cie, gdyby przedstawił swój dowód wielkiego twierdzenia Fer-
mata w tym miejscu? Wiłeś prowadził teraz wyścig z czasem.
Musiał zredagować i spisać cały swój dowód prawdziwość;! hi-
potezy Shimury-Taniyamy dla semistabilnych krzywych -elip-
tycznych. Wynikało z niego, że krzywa Freya nie istnieje. S3ioro
zaś nie istnieje krzywa Freya, to nie istnieją też rozwiąż; ania
równania Fermata dla n > 2, a zatem wielkie twierdzenie
45 Barry Mazur, op. cit.

130 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
Fermata Jest udowodnione. Przepisany na czysto dowód zajął
Wllesowi 200 stron. Skończył pracę akurat w porę, by zdążyć
na samolot do Anglii. I na zakończenie ostatniego ze swych wy-
kładów na konferencji w Cambridge stanął dumnie i zwycięsko
wśród głośnych braw, reporterów l błysku fleszy.
Co było potem?
Przyszła teraz pora na recenzje. Nowy wynik matematyczny
(a właściwie każde odkrycie naukowe) składa się zwykle do pu-
blikacji w "recenzowanym czasopiśmie". Takie recenzowane cza-
sopisma określają poziom. Jaki powinny mieć publikowane pra-
ce naukowców. Zadaniem redakcji czasopisma jest wysłanie
przedłożonego materiału do innych specjalistów w odpowiedniej
dziedzinie, którzy oceniają zawartość pracy, sprawdzają, czy jest
ona poprawna i czy stanowi godzien opublikowania wkład w na-
ukę. Recenzowane artykuły w czasopismach to w życiu uniwer-
sytetów l akademii chleb powszedni. Od liczby l jakości produ-
kowanych przez uczonego artykułów w recenzowanych
czasopismach zależą stanowiska, profesura, awanse, wreszcie
wysokość wynagrodzenia ł podwyżki.
Andrew Wiłeś wybrał Jednak inną drogę. Zamiast złożyć
swój dowód do publikacji w profesjonalnym matematycznym
czasopiśmie - co zrobiłby na jego miejscu niemal każdy - za-
prezentował go na konferencji. Powody po temu były zapewne
dwojakie. Przez wszystkie lata pracy nad dowodem Wilesowi
towarzyszyła obsesja zachowania tajemnicy. Gdyby złożył
dowód w jakimś czasopiśmie, wysłano by go do kilku recen-
zentów wybranych przez redakcję, a jeden z nich lub któryś
z redaktorów mógłby coś ujawnić. Wiłeś obawiał się też praw-
dopodobnie, że ktoś, kto przeczytałby złożony do publikacji do-
wód, mógłby dokonać kradzieży i wysłać go do publikacji po-
wtórnie, pod własnym nazwiskiem. To się, niestety, w życiu
akademickim zdarza. Drugi powód wiązał się z pierwszym.
Wiłeś chciał, by prezentacji dowodu w Cambridge towarzyszyło
narastające napięcie i ciekawość słuchaczy.

AMIR D. ACZEL • 131

Lecz mimo to, mimo zaprezentowania rezultatów na konfe-
rencji, praca Wilesa musiała być poddana recenzji. Jego Ikole-
dzy po fachu, Inni specjaliści w dziedzinie teorii liczb, biedą
brnąć przez dowód i wpatrywać się weń linijka po linijce, by
potwierdzić, czy rzeczywiście Wiłeś udowodnił to, co sobi«e za-
mierzył.
Nad przepaścią
Dwustustronicową pracę Wilesa wysłano do kilku czoło\-vych
ekspertów w dziedzinie teorii liczb. Niektórzy z nich szybko wy-
razili zaniepokojenie, lecz ogólnie rzecz biorąc matemaatycy
uważali, że dowód najprawdopodobniej jest poprawny. Trzeba
było jednak poczekać na werdykt ekspertów. "O tak! - powie-
dział Ken Rlbet, gdy zapytałem go, czy wierzył w prawdzr-wość
dowodu Wilesa. - Nie mogłem zrozumieć tego, co niektórzy
mówili wkrótce po przeczytaniu dowodu, a mianowicie, ż*e nie
ma tam żadnego systemu Eulera".
Wśród ekspertów wybranych do prześledzenia dowodu ^Vlle-
sa znalazł się jego przyjaciel z Princeton, Nick Katz. Przez- dwa
nieprzerwane miesiące, lipiec l sierpień 1993 roku, prorfesor
Katz zajmował się wyłącznie studiowaniem dowodu. Codzien-
nie zasiadał przy biurku i powoli wczytywał się w każdą linijkę,
każdy matematyczny znaczek, każdą implikację, by upe-wnić
się, czy wszystko ma sens i czy rzeczywiście każdy czytający
dowód matematyk zaakceptowałby go bez zastrzeżeń. Ra-z czy
dwa dziennie Katz wysyłał do Wilesa, który tego lata przebywał
poza Princeton, pocztą elektroniczną liścik, pytając: "Co miasz
na myśli w tej i tej linijce, na tej i na tej stronie?" albo "Disacze-
go ta implikacja wynika z poprzedniej? Nie rozumiem". Wiłeś
wysyłał swoje odpowiedzi pocztą elektroniczną albo, jeśli trze-
ba było podać więcej szczegółów, faksem.
Pewnego dnia, po przebrnięciu przez mniej więcej dwie trze-
cie długiego maszynopisu Wilesa, Katz napotkał problem.
Z początku wyglądało to raczej niewinnie, jak jedna z wielu
kwestii, na które Wiłeś poprzednio odpowiedział ku jego p"ełne-

132 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
mu zadowoleniu. Lecz tym razem stało się inaczej. Wątpliwości
Katza Wiłeś próbował wyjaśnić korzystając z poczty elektro-
nicznej. Katz jednak musiał wystukać na swojej klawiaturze
odpowiedź: "Nadal tego nie rozumiem, Andrew". Tym razem
Wiłeś wysłał faks, próbując powiązać wszystko w logiczną ca-
łość. Katz ciągle nie był przekonany. Coś najzwyczajniej było
nie w porządku, dokładnie w miejscu, które Wiłeś i Katz sta-
rannie sprawdzili wiosną, gdy Wiłeś prowadził swój "wykład".
Wszelkie niejasności i zmarszczki powinny ulec już wygładze-
niu, lecz najwidoczniej luka w rozumowaniu Wilesa umknęła
uwadze ich obu. Może gdyby doktoranci do końca słuchali wy-
kładów, jeden z nich uświadomiłby dwójce matematyków, że
coś Jest nie tak...
Mniej więcej w tym samym czasie, gdy Katz znalazł błąd, in-
ni matematycy w różnych miejscach świata wychwycili ten
sam kłopotliwy moment w dowodzie Wilesa. Po prostu nie było
tu żadnego systemu Eulera i cała maszyneria nie chciała dzia-
łać. Bez systemu Eulera, który miał podobno być uogólnie-
niem wcześniejszych prac Flacha i Koływagina, trudno mówić
o wzorze na liczbę klas ideałów. Bez wzoru na liczbę klas ide-
ałów nie dawało się "ustawiać w pary" form modułowych i re-
prezentacji Galois krzywych eliptycznych, a więc nie było uza-

sadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy. A skoro nic nie
wiadomo o prawdziwości hipotezy Shimury-Taniyamy, to nie
ma dowodu wielkiego twierdzenia Fermata... Krótko mówiąc,
z powodu luki w systemie Eulera cała konstrukcja waliła się
niczym domek z kart.
Agonia
Zakłopotany, zdenerwowany, zły, sfrustrowany i upokorzony
Andrew Wiłeś wrócił do Princeton jesienią 1993 roku. Obiecał
światu dowód wielkiego twierdzenia Fermata, a okazało się, że
nie jest w stanie go dostarczyć. W matematyce, jak w niemal
każdej dziedzinie, nie wręcza się nagród pocieszenia; "srebr-
nych medalistów" spotyka zapomnienie. Strącony ze szczytu

AMIR D. ACZEL • 133
Wiłeś trafił z powrotem na swój strych, próbując poprawie do-
wód. "Żył wtedy jak ktoś, kto ukrywa przed światem tajemmlcę
- wspominał Nick Katz. - Sądzę, że w tej roli musiał się czuć
bardzo niezręcznie". Pomóc Wllesowi próbowali koledzy, mię-
dzy innymi jego były student, Richard Taylor, który mczył
w Cambridge, lecz przybył do Princeton wesprzeć Wilesa -^v je-
go próbach załatania dowodu.
"Przez pierwsze siedem lat pracy w całkowitej samotności
cieszyłem się każdą chwilą - wspominał Wiłeś - bez względu
na to, jak trudne czy niemożliwe z pozoru do pokonania na-
potykałem przeszkody. Teraz jednak przyszło mi upra_wiać
matematykę publicznie, w nazbyt odsłonięty sposób; z pew-
nością nie było to w moim stylu. Nie chciałbym kiedykolwiek
doświadczać tego powtórnie". Tymczasem przykre doświad-
czenia wciąż trwały. Richard Taylor, któremu skończył się
urlop naukowy, wrócił do Cambridge, a Wiłeś nadal ni e wi-
dział światła w tunelu. Spojrzenia jego kolegów wyrażały mie-
szaninę niecierpliwości, nadziel i litości, a jego clerpieni.e do-
strzegali wszyscy dookoła. Ludzie chcieli wiedzieć; ctnciell
usłyszeć dobrą nowinę, lecz zapytać, jak Wiłeś radzi -sobie
z dowodem, nie ośmielał się nikt. Zarówno jego wydziaH, jak
l cały świat zamarli w oczekiwaniu. W nocy 4 grudnia 1993 ro-
ku Wiłeś wysłał pocztą elektroniczną list do abonentów kom-
puterowej listy adresowej Sci.math, wśród których bytto też
kilkunastu specjalistów w dziedzinie teorii liczb i innycł-i ma-
tematyków:
Z uwagi na liczne spekulacje w kwestii stanu moich, prac
nad hipotezą Shimury-Taniyamy i wielkim twierdze-niem
Fermata składam krótką relację, jak się sprawy mają.. Pod-
czas recenzowania wypłynęło kilka problemów; więk-szość
z nich została wyjaśniona, lecz Jednego nie zdołałenn roz-
strzygnąć... Ufam, że w niedalekiej przyszłości będę w stanie
ukończyć pracę, wykorzystując pomysły, które omówiłem
podczas wykładów w Cambridge. Mój maszynopis wymaga
jeszcze dużego nakładu pracy i z tego względu nie nadaje się
do rozpowszechnienia w postaci preprintu. Podczas wykła-

134 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
dów w Princeton, które rozpocznę w lutym, przedstawię mo-
ją pracę w całości.
Andrew Wiłeś
Post niortem
Optymizm Andrew Wilesa był przedwczesny. Zaplanowane na

Uniwersytecie w Princeton wykłady nie przyniosły żadnego
rozwiązania. Gdy od krótkotrwałego triumfu w Cambridge mi-
nął ponad rok, Andrew Wiłeś bliski był porzucenia wszelkiej
nadziei i zapomnienia o swym kalekim dowodzie.
W poniedziałek rano, 19 września 1994 roku, Wiłeś sie-
dział przy swoim zasłanym stertami papierów biurku na Uni-
wersytecie w Princeton. Postanowił, że zanim ciśnie wszystko
precz i porzuci wszelką nadzieję, zerknie jeszcze po raz ostat-
ni na swój dowód. Chciał dokładnie zrozumieć, dlaczego nie
mógł skonstruować systemu Eulera. Chciał wiedzieć - choć-
by dla własnej satysfakcji - dlaczego poniósł porażkę; chciał
precyzyjnie określić w dowodzie ten techniczny szczegół, któ-
ry powodował, że wszystko się waliło. Czuł, że jeśli ma się
poddać, to przynajmniej należy mu się wyjaśnienie, dlaczego
się pomylił.
Wiłeś studiował rozłożone na biurku papiery, koncentrując
się bardzo mocno przez niemal dwadzieścia minut. I wtedy na-
gle zobaczył jak na dłoni, dlaczego dowód nie działa. Zrozumiał
wreszcie, gdzie tkwił błąd. "To była najważniejsza chwila w ca-
łym moim zawodowym życiu - opisywał później to uczucie. -
Nagle, zupełnie nieoczekiwanie, naszło mnie to niewiarygodne
objawienie. Nic, co kiedykolwiek jeszcze zrobię, nie będzie
już..." W tym momencie głos Wilesa zadrżał ze wzruszenia,
a w jego oku wezbrała łza.46 To, co Wiłeś zrozumiał w owej
brzemiennej w skutki chwili, było "tak nieopisanie piękne, tak
46 Nie jest to literacka metafora; Izy w oczach Wilesa istotnie zarejestrowała ka-
mera telewizji BBC podczas kręcenia zdjęć do programu, o którym Autor wspo-
mina w posiowiu (przyp. tłum.).

AMIR D. ACZEL - 135
eleganckie l proste... A ja tylko wpatrywałem się w to, ^ełen
niedowierzania". Wiłeś zrozumiał, że system Eulera zawodzi
z tej samej przyczyny, dzięki której mogłoby zadziałać podej-
ście wykorzystujące horyzontalną teorię Iwasawy, zaniec-hane
przezeń trzy lata wcześniej. Długo wpatrywał się w swojąi pra-
cę. Pomyślał, że chyba śni, bo wszystko wyglądało zbyt pięk-
nie, by mogło być prawdziwe. Później jednak mówił, że wszyst-
ko wyglądało zbyt pięknie, by mogło być fałszywe. Odisrycle
było tak potężne i tak piękne, że po prostu musiało być yraw-
dziwe.
Wiłeś spacerował po wydziale przez kilka godzin. Nie wie-
dział, czy to jawa, czy sen. Co pewien czas wracał do swego
biurka, zerknąć, czyjego fantastyczne znalezisko nadal jest na
miejscu. Było. Poszedł więc do domu. Musiał się przespało; być
może rano odnajdzie w nowym rozumowaniu jakąś lukę. Rok
życia pod presją wywieraną przez cały świat, rok pełen frustru-
jących, nieudanych prób zachwiał wiarą Wilesa we własn e siły.
Rano wrócił do biurka; niezwykły klejnot znaleziony poprzed-
niego dnia nadal tam był. Po prostu czekał na niego.
Wiłeś przepisał na czysto nowy dowód, oparty na skorygo-
wanym podejściu, wykorzystującym horyzontalną teoricę Iwa-
sawy. Wszystkie kawałki układanki wreszcie znalazły się na
swoich miejscach. Podejście, którego używał przed trzemsa laty,
było poprawne. Wiedział o tym dlatego, że droga Flacha i- Koły-
wagina, którą jednocześnie próbował kroczyć, zawiodła g^o do-
nikąd. Maszynopis pracy był gotowy do wysyłki. Wiłeś w- rado-
snym nastroju siedział przy klawiaturze swojego komp utera.
Po nitkach pajęczyny Intemetu biegły w świat, do innych ma-

tematyków, jednobrzmiące wiadomości: "Spodziewaj się -w naj-
bliższych dniach przesyłki ekspresowej".
Jak obiecał swemu przyjacielowi Richardowi Taylorow?!, któ-
ry przybył z Anglii specjalnie po to, by pomóc mu popra'wlć je-
go dowód, nowa praca, korygująca sposób wykorzystania teorii
Iwasawy, była podpisana nazwiskami ich obu, choć faktycznie
Wiłeś otrzymał wynik już po wyjeździe Taylora. W następnych
paru tygodniach matematycy, którzy dostali od Wilesa uzupeł-
nioną wersję prac z Cambridge, sprawdzali wszystkie szczegó-

136 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
ty. Nikt nie znalazł żadnego błędu. Wiłeś tym razem skorzystał
ze zwyczajowego sposobu prezentowania wyników matema-
tycznych. Zamiast robić to samo, co półtora roku wcześniej
w Cambridge, wysłał obie prace do redakcji profesjonalnego
czasopisma, "Annals of Mathematics"47, gdzie mogły zostać
poddane recenzji Innych matematyków. Recenzje zabrały kilka
miesięcy, lecz tym razem nie znaleziono żadnych usterek.
Majowy numer "Annals of Mathematics" z 1995 roku zawiera
pierwotną pracę Wilesa z Cambridge oraz pracę z poprawkami
Taylora i Wilesa.48
Wielkie twierdzenie Fermata można wreszcie zostawić
w spokoju.
Czy Fermat znal dowód?
Andrew Wiłeś opisuje swój dowód Jako "dowód dwudziesto-
wieczny". Wiłeś wykorzystał osiągnięcia wielu matematyków
XX wieku; spożytkował też jednak prace kilku uczonych żyją-
cych wcześniej. Wszystkie niezliczone elementy monumental-
nej konstrukcji Wilesa istnieją dzięki wkładowi innych mate-
matyków. Tak więc przeprowadzony przez Wilesa dowód
wielkiego twierdzenia Fermata jest w pewnym sensie osiągnię-
ciem sporej grupy matematyków XX wieku, a także ich po-
przedników, którzy zmagali się z problemem od czasów Fermata.
47 "Annals of Mathematics" uznawane jest powszechnie przez matematyków,
obok szwedzkiego "Acta Mathematica", za najlepsze na świecie czasopismo;
opinię tę potwierdzają wyniki indeksu cytowań (przyp. tłum.).
48 Pierwsza i ważniejsza z obu prac - Andrew Wiłeś: Modular Elliptic Curves
and Fermat's Last Theorem, "Annals of Mathematics", tom 142 (1995),
s. 443-551 - przytacza na początku łaciński tekst marginesowej notki Fermata
ze sformułowaniem jego twierdzenia: Cubum autem in duos cubos aut ąuadrato-
ąuadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra
quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dwidere: cuius rei demon-
strationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. Pierre de
Fermat. Cały nakład "Annals of Mathematics" sprzedano na pniu jeszcze przed
datą publikacji, a czasopismo po raz pierwszy nałożyło dodatkową opłatę w wy-
sokości 14 dolarów za numer.

AMIR D. ACZEL • 137
Wedle Wilesa, Fermat nie mógł znać tego dowodu, gdy uimiesz-
czał swą sławną notkę na marginesie tłumaczeń Badieta.
Choćby dlatego, że hipoteza Shimury-Taniyamy nie istailala
przed nadejściem XX wieku. Ale czy Fermat nie mógł mleć na
myśli innego dowodu?
Odpowiedź brzmi: prawdopodobnie nie. Nie wiemy je-dnak
tego na pewno i nigdy wiedzieć nie będziemy. Z jednej sLrony,
po zapisaniu swego twierdzenia na marginesie Fermat pn-zeżył
jeszcze 28 lat i nigdy więcej nie wspomniał o tym ani sto wem.

Być może więc wiedział, że nie potrafi podać dowodu. Mó-gł też
błędnie sądzić, że metodę spadku, użytą przezeń w nie trud-
nym dowodzie dla n = 4, da się zastosować do rozpatrzenia
przypadku ogólnego. A może po prostu zapomniał o twierdze-
niu i zajął się innymi sprawami.
Udowodnienie twierdzenia w taki sposób, w jaki to w 1-rońcu
zrobiono w latach dziewięćdziesiątych naszego stulecia, wyma-
gało wiedzy matematycznej znacznie szerszej niż ta, którą
mógł dysponować Fermat. Głęboka natura twierdzenia polega
nie tylko na tym, że jego historia rozpięta jest w czasie nównie
szeroko, jak historia naszej cywilizacji. Ostateczne rozwiązanie
problemu wymagało zaprzęgnięcia - i w pewnym sensie- zjed-
noczenia - całej potęgi matematyki. To właśnie owo zjedmocze-
nie całkowicie z pozoru odmiennych dziedzin umożliwiło
w końcu pokonanie problemu. I mimo że to Andrew Wił es był
osobą, która wykonała ogromną, wieńczącą dzieło, kortcową
część pracy nad twierdzeniem, dowodząc potrzebnej d o jego
uzasadnienia hipotezy Shimury-Taniyamy, cale przedsięwzię-
cie stało się udziałem wielu osób. To dzięki wkładowi praicy ich
wszystkich rozwiązanie w ogóle było możliwe. Bez prac Emsta
Kummera nie byłoby teorii Ideałów, a bez ideałów nie isttniała-
by praca Barry'ego Mazura. Bez dokonań Mazura nie byłoby
hipotezy Freya, a bez tej kluczowej hipotezy, bez dokonanego
przez Serre'a jej uściślenia, Ribet nie udowodniłby, że z 1-iipote-
zy Shimury-Taniyamy wynika wielkie twierdzenie Ferrmata.
Wydaje się wreszcie, że żaden dowód wielkiego twi erdze-
nia Fermata nie byłby możliwy bez hipotezy, wysi-miętej
w 1955 roku na pamiętnym tokijskim sympozjum przez

138 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA

Od lewej: John Coates, Andrew Wiłeś, Ken Rlbet l Kar! Rubin bezpośrednio po
historycznym wykładzie Wilesa w Cambridge świętują sukces.
Yutakę Taniyamę, a później udoskonalonej i doprecyzowanej
przez Góro Shimurę. Ale może to nie do końca prawda?
Fermat oczywiście nie mógł postawić równie dalekosiężnej
hipotezy, spinającej w jedno dwie bardzo różne gałęzie mate-
matyki. Ale skąd my to wiemy? A może jednak mógł? Nic nie
jest pewne. Potrafimy tylko powiedzieć, że twierdzenie zostało
w końcu udowodnione, a każdy, najmniejszy nawet szczegół
w dowodzie został obejrzany i sprawdzony przez dziesiątki ma-
tematyków na całym świecie. Lecz sam fakt, że istniejący do-
wód jest szalenie zaawansowany i skomplikowany technicznie,
nie oznacza, iż nie można znaleźć dowodu prostszego. W isto-
cie, Rlbet w jednej ze swoich prac wskazuje kierunek wiodący
być może do dowodu wielkiego twierdzenia Fermata z pominię-
ciem dowodu hipotezy Shimury-Taniyamy. Niewykluczone, że
Fermat znał wiele faktów należących do potężnej, "współcze-
snej" matematyki, a tylko ślad po tym zaginął (kopii dzieł Dio-
fantosa w tłumaczeniu Bacheta, w której przypuszczalnie
umieścił swój dopisek na marginesie, nigdy przecież nie odna-
leziono). Czy więc Fermat rzeczywiście odkrył "prawdziwie cu-
downy" dowód swego twierdzenia, dowód nie mieszczący się na
marginesie książki, pozostanie na zawsze jego tajemnicą.

OD AUTORA

Pisząc tę książeczkę, zaczerpnąłem wiele wiadomości hi-
storycznych z różnych źródeł. Wśród nich najpesiniej-
szym, najbardziej oryginalnym była moja ulubiona kssiążka
E. T. Bella Men of Mathematics (nie podoba mi się jedm-ak jej
mylący, pełen seksizmu tytuł - wśród bohaterów Bella są dwie
kobiety; książka pochodzi z roku 1937). Najwyraźniej u»ni hi-
storycy matematyki czerpali garściami Informacje z Bellał., więc
nie będę ich tu wymieniał z nazwiska. Wszystkie źródła są wy-
mienione w przypisach. Skorzystałem ponadto z artykułów
Jocełyn Savani z Uniwersytetu w Princeton ("Princeton W^eekły
Bulletin", 6 września 1993). Dziękuję jej także za przesłamie mi
kopii programu BBC, poświęconego wielkiemu twierdzeniu
Fermata.
C. J. Mozzochiemu wdzięczny jestem za zdjęcia mate-maty-
ków, uczestniczących w tworzeniu dowodu wielkiego twi-erdze-
nia Fermata. Bardzo gorąco dziękuję profesorowi Kennethowi
A. Ribetowi z Uniwersytetu Kalifornijskiego w Berkeley za po-
uczające wywiady i wiele cennych informacji o jego pracach,
które zostały wykorzystane podczas przeprowadzania dcowodu
twierdzenia Fermata. Głęboko wdzięczny Jestem profesorowi
Góro Shimurze z Uniwersytetu w Princeton za poświęcony mi
czas l dostęp do niezwykle ważnych Informacji o jego pracach

140 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
l hipotezie, bez której nie byłoby dowodu wielkiego twierdzenia
Fermata. Dziękuję też profesorowi Gerhardowi Freyowi z Uni-
wersytetu w Essen w Niemczech za prowokujące wywiady
l głębokie przemyślenia. Podziękowania za tłumaczenie mi
ważnych pojęć geometrii i teorii liczb należą się profesorowi
Barry'emu Mazurowi z Uniwersytetu Harvarda. Wszelkie błę-
dy, które Czytelnik zdoła w książce odnaleźć, są zawinione wy-
łącznie przeze mnie.
Memu wydawcy, Johnowi Oakesowi, dziękuję za zachętę
l wsparcie. Dziękuję też Jill EHyn Riley l Kathryn Belden z wy-
dawnictwa Four Walls Eight Windows. Na koniec wyrazy głę-
bokiej wdzięczności otrzymuje moja żona, Debra.

INDEKS
Abel, Niels Henrik 66, 82-83
abelowe grupy 83
- rozmaitości 83
aksjomaty 37
Al-Chwarizmi. Mohamet Ibn Musa 42
algebra 42-43, 47-50
- abstrakcyjna 77-78
algebraiczne liczby 84
algorytm 42
Amerykańskie Towarzystwo
Matematyczne 97
analityczne funkcje 63
analiza 67
- numeryczna 71
- zespolona 56, 61-63
Analysis situs (Poincare) 87
.Annals of Mathematlcs" 136
Archimedes 15, 38-40
Archimedesa śruba 39

Arithmetica (Diofantos) 16, 18-19,41,
50
Ars magna (Cardano) 49
Arystoteles 35
automorflczne formy 88, 104-105
Babilon 21-24
babiloński system Uczenia 22-23
Bachet, Ciaude 50
Beli, E. T. 14
Bemoulll, Daniel 53, 54
Bemoulli, Jan 53
Bemoulli, Mikołaj 53, 54
Bessel, Friedrich Wilhelm 63
Bolyai, Janos 77
Bourbakl, Nicolas 93-97, 103
Cantor, Georg31
Cardano, Girolamo 48-49
Cauchy, Augustin Louls 74, 78., 82-83
Chevaller, Auguste 82
ciało liczb zespolonych 61
Coates.John 11, 14, 120, 125,. 129
Conway, John 11
Cossisti (Cossisten) 48-49
Cycero 39
Dedekind, Richard 83-85
Diderot. Denis 55
Dieudonne, Jean 96
Diofantos 16, 19, 40-41, 50
Dirlchlet, Peter Gustav Le)eunee 52,
66-67, 74,84-85
Disquisitione arithmetlcae (Gamss) 60,
66-67, 82
dowód
- hipotezy Freya 119

142 • WIELKIE TWIERDZENIE FERMATA
- hipotezy Shimuty-TanIyamy
121-130
Dzieje (Herodot) 36
Elsenstein, Ferdinand Gotthold
128-129
Elsenstelna Idea} 114
Elementy (Euklides) 36, 37
Eudoksos z Knidos 15, 38-39
Euklides 36, 37
Euler, Leonard 51, 52-58
Eulera system 125, 132, 134-I3B
Faltings. Gerd 92, 111
Fermat, element Samuel de 16
Fermat, Domlnlque 15
Fermat, Plerre de 14-17, 18, 50, 51,
136-138
Ferro, Scipplone del 49
Fibonacci (Leonardo z Pizy) 43
Fibonacciego liczby (Fibonacciego ciągi
44-45
Fibonacciego Towarzystwo 46
Fllolaos z Tarentu 33

Flach, Matthlas 124-125, 126
Fourier, Joseph 68-72
Fouriera szeregi 71-72
fourierowska analiza 72
Francuska Akademia Nauk 75
Frey. Gerhard 114-119, 122
funkcje
- analityczne 63
- automorflczne 88, 104-105
- dzeta 103, 104, 105
- okresowe 69-72
- zdefiniowane na plaszczyźnie
zespolonej 62-63
Galols teoria 78-80, 85, 115, 123-124
Galols, Evariste 78-82, 124
Gauss, Cari Friedrich 58-61, 63-66.
67, 88, 84,97,128
genus91-92
geometria
- algebraiczna 43, 114
- arytmetyczna 114
- euklidesowa 37
- nieeuklidesowa 77, 88-89
- początki 36-37
Germain, Sophle 63-65
grupy macierzowe 88
Guthrie, Francis 57
Helberg, J. L. 40
Herodot 36
Heron II, król Syrakuz 38-39
hipoteza 50
- epsilonowa 121
horyzonatalna teoria Iwasawy 124, 135
ideały 84
Ireland, Kenneth F. 117
Katz, Nick 126-127. 131-132
kometa 65-66
Kronecker, Leopold 31-32
krzywe eliptyczne 97-100, 120
- funkcje dzeta na krzywych
eliptycznych 104-105
- nad ciałem liczb wymiernych
105-106
- przetaczanie 129
- semistabilne 122-130
- związek z formami modułowymi
99-100,104-105, 106-110,
122-130
Kummer, Emst Eduard 73-76
Lamę, Gabriel 52, 72-73
Lang, Serge 108, 112-113
Lebesgue, Henri 52
Legendre, Adrien-Marie 52, 66
Leibniz. Gottfried Wilhelm von 15
lemat 50
Liber abaci (Fibonacci) 43
Liber quadratorum (Fibonacci) 43
liczby doskonale 27
- idealne 74

- pierwsze nieregularne 75
-urojone 56, 61-66
-wymierne 30-31
Liouville, Joseph 73, 82 ;

INDEKS • 143
Łobaczewski, Mikołaj Iwanowicz 77
Mahomet 42
Marcellus 39
Mazur, Barry 18. 84, 115. 118-119, 129
Mestre.J.-F. 116
metoda spadku 51
- wyczerpywania 38
Mezopotamia 21-24
modułowe formy 63, 88-90, 99-100,
104, 105,106-110, 115
modulowość 99
Monge, Gaspard 68
Mordell, LoulsJ. 90-92
Mordella hipoteza 92, 111
Newton, Izaak 15
O fculi (walcu (Archimedcs) 40
Olbers. H. W. M. 60-61
Owidiusz 35
Pacioli, Luca 48
Partenon 47
pentagram 23-24
Pitagoras 23, 25-27, 33
Pitagorasa twierdzenie 27-29
pitagorejczycy 28-30, 32-35
pttagorejskie trójki 22-24, 28
Platon 33. 38
ptaszczyzna zespolona 62
Poincare, Henri 85-90, 106
Poisson, Simeon-Denis 80
prawo Archimedesa (pierwsze prawo
hydrostatykl) 39
rachunek całkowy 38
- różniczkowy 38
Rlbet, Kenneth 13-14, 115, 116-119,
131.138
równania diofantyczne 41, 97, 114
- trzeciego stopnia 48-49
Samak, Peter 20, 127-128
semistabilne krzywe eliptyczne
122-129
Serre, Jean-Pierre 103, 107-108, 110,
112. 116,121
Shimura, Góro 72, 102, 105-1" 07
Shimury-Taniyamy hipoteza 105-107
-dowód 121-130
Stewart. łan 45
Taniyama, Yutaka 100-105
TartagUa (Fontana Nicolo) 48-°49
Taylor, Richard 133, 137
teoria liczb 60, 65, 115, 117
tetraktys 35
Tokijskie Sympozjum Algebraicznej

Teorii Liczb 102-105
topologia 56, 90
torus91
twierdzenie 37
Well, Andre 95-96, 102, 103,
104-105,108-114, 123
Weila krzywe 111
wielkie twierdzenie Fermata
- Gauss o wielkim twierdzeniu!
Fermata 60-61
- nagrody oferowane za dowócB 75, 76
-notka na marginesie 16. 18-1S, 41, 138
- próby udowodnienia 19-20, 50-52,
72-73.74-76
- twierdzenie Sophie Gennain 64
- związki z równaniami
diofantycznymi 115
Wiłeś, Andrew 115
- luka w dowodzie 20-21, 13L--136
- wykłady na konferencji w Cambridge
11-14.129-130
- zainteresowanie wielkim
twierdzeniem Fermata 120-122
Wolsfkehia nagroda 76
wzór na liczbę klas ideałów 124-125,
126
zadanie o siedmiu mostach
królewlecklch 56-58
zagadnienie czterech barw 57"
złota proporcja (złoty podział) 33-35,
44-46

NA ŚCIEŻKACH
NAUKI
W 1995 roku w serii ukazały się:
Igor Nowikow; Czarne dziury i Wszechświat
Marcin Ryszkiewicz: Ziemia i życie. Rozważania o ewolucji i ekologii
Roger Highfieid, Pauł Carter: Prywatne życie Alberta Einsteina
Frank Drakę, Dava Sobel: Czy jest tam kto? Nauka w poszukiwaniu
cywilizacji pozaziemskich
James D. Watson: Podwójna helisa. Historia odkrycia struktury DNA
Michio Kaku: Hiperprzestrzeń. Naukowa podróż przez wszechświaty
równoległe, pętle czasowe i dziesiąty wymiar
jane Goodal l: Przez dziurkę od klucza. 30 lat obserwacji szympansów
nad potokiem Combe
Jerzy Sikorski: Prywatne życie Mikołaja Kopernika
Peter Ward: Kres ewolucji. Dinozaury, wielkie wymierania
i bioróźnorodnosć
George Gamow: Pan Tompkins w Krainie Czarów
W 1996 roku w serii ukazały się
Leon Lederman, Dick Teresi: Boska Cząstka. Jeśli Wszechświat
jest odpowiedzią, jak brzmi pytanie^
Stanisław M, Ufam: Przygody matematyka
Richard Dawkins: Samolubny gen
John D. Barrow: 71 razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniu i istnieniu
Harry Y. McSween, Jr.: Od gwiezdnego pyłu do planet.

Geologiczna podróż przez Układ Słoneczny
Jay Ingram: Płonący dom. Odkrywając tajemnice mózgu
Lawrence M. Krauss: Fizyka podróży międzygwiezdnych
CarI Sagan: Błękitna kropka. Człowiek i jego miejsce w kosmosie