1
Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej
1
Wybrane rozkłady zmiennej losowej skoko-
wej
(1) Rozkład dwupunktowy (zero-jedynkowy)
(2) Rozkład dwumianowy
(3) Rozkład Poissona
(Ad.1) Rozkład dwupunktowy
Zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie
dwie wartości, oznaczmy je jako x
1
oraz x
2
, z prawdopodobieństwami
P (X = x
1
) = p
P (X = x
2
) = q,
gdzie p + q = 1.
W przypadku szczególnym, gdy x
1
= 1, x
2
= 0, mówimy, że ZL X ma rozkład
zero-jedynkowy z prawdopodobieństwem sukcesu p. Funkcja rozkładu ZL
X zero-jedynkowej określona jest następująco
x
i
0
1
P (X = x
i
)
q
p
Dystrybuanta ma postać
x
(−∞, 0]
(0, 1]
(1, ∞)
F (x)
0
q
1
Wartość oczekiwana i warjancja ZL X zero-jedynkowej są równe
E(X) = p,
D
2
(X) = pq.
Przykład Obserwujemy kobietę na Oddziale Położniczym. Urodzeniu
chłopca przyporządkowujemy liczbę 1, a urodzeniu dziewczynki zero. W tym
doświadczeniu mamy doczynienia ze ZL zero-jedynkową z prawdopodobień-
stwem p równym 0, 5. Oznacza to, że P (X = 1) = 0, 5, P (X = 0) = 0, 5,
E(X) = 0, 5, D
2
(X) = 0, 25.
Magdalena Górajska, CMF 1
1
Wybrane rozkłady zmiennej losowej skokowej
(Ad.2) Rozkład dwumianowy
Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej
funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:
P (X = k) =
n
k
!
p
k
(1 − p)
n−k
dla k = 0, 1, 2, ..., n,
gdzie p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu.
W rozkładzie dwumianowym:
E(X) = np,
D
2
(X) = np(1 − p).
W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakładamy, że ekspery-
ment losowy polega na wykonaniu doświadczeń Bernoulliego.
Doświadczenia Bernoulliego to ciąg n identycznych doświadczeń losowych,
spełniających warunki:
1. Są możliwe dwa wyniki sukces i porażka każdego doświadczenia.
2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane jest symbolem p, jest ono w
każdym doświadczeniu stałe.
3. Doświadczenia są niezależne.
Przykład Eksperyment polega na trzykrotnym strzale do bramki, przez
strzelca, który trafia z prawdopodobieństwem 0, 8. Zdefiniujmy ZL X jako
liczbę celnych strzałów. Wówczas X = {0, 1, 2, 3}. Eksperyment spełnia wa-
runki schematu Bernoulliego, zatem P (X = 0) = 0, 008, P (X = 1) = 0, 096,
P (X = 2) = 0, 384, P (X = 3) = 0, 512. Wartość oczekiwana jest równa
E(X) = 0, 24, a wariancja D
2
(X) = 3 · 0, 8 · 0, 2 = 0, 48.
(Ad.3) Rozkład Poissona
Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej
funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem:
P (X = k) =
λ
k
k!
e
−λ
; dla k = 0, 1, 2, ..., n.
Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn.
jeśli w rozkładzie dwumianowym liczba prób n jest duża i prawdopodo-
bieństwo sukcesu p jest małe takie, że np = const, to prawdopodobieństwo
Magdalena Górajska, CMF 2
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
P (X = k) w rozkładzie dwumianowym można wyznaczać z powyższego wzo-
ru, przyjmując λ = np. W rozkładzie Poissona
E(X) = λ,
D
2
(X) = λ.
Przykład Pewne przedsiębiorstwo importuje banany. Uzgodniono, że w par-
tii towaru nie powinno się znaleźć więcej niż 0, 1% bananów nieodpowiadają-
cym nomom jakości. Pobrano próbę licząca 500 bananów. Stosując właściwy
rozkład obliczyć:
a) prawdopodobieństwo, że w losowo pobranej próbie bananów liczącej 500
sztuk, znajdziemy jednego banana nieodpowiadającego normie jakości,
b) prawdopodobieństwo, że w losowo pobranej próbie, będą co najwyżej dwa
banany zepsute,
c) obliczyć parametry rozkładu owoców wadliwych tzn. wartość oczekiwaną
i wariancję.
Rozwiązanie:
Ad. a) n = 500,
p = 0, 001, zatem λ = n · p = 500 · 0, 001 = 0, 5. Ze wzoru
P (X = k) =
λ
k
k!
e
−λ
,
dla λ = 0, 5 i k = 1 otrzymujemy
P (X = 1) =
(0, 5)
1
1!
e
−0,5
≈ 0, 3.
Prawdopodobieństwo tego, że w próbie 500 bananów będzie jeden zepsuty
wynosi 0, 3.
Ad. b) P (X ¬ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2),
P (X = 0) =
(0,5)
0
0!
e
−0,5
≈ 0, 606,
P (X = 1) =
(0,5)
1
1!
e
−0,5
≈ 0, 303,
P (X =
2) =
(0,5)
2
2!
e
−0,5
≈ 0, 076, stąd P (X ¬ 2) = 0, 985. Prawdopodobieństwo
tego, że w próbie 500 bananów znajdziemy co najwyżej dwa banany nie
odpowiadające normom jakości wynosi 0, 985.
Ad. c)E(X) = λ,
D
2
(X) = λ, zatem E(X) = 0, 5,
D
2
(X) = 0, 5.
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
(1) Rozkład jednostajny
Magdalena Górajska, CMF 3
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
(2) Rozkład normalny
(3) Rozkład chi-kwadrat
(4) Rozkład Studenta
(Ad.1) Rozkład jednostajny
Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja
gęstości określona jest wzorem
f (x) =
1
b−a
dla x ∈ [a, b]
0
dla x /
∈ [a, b]
Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu jednostajnego wyrażają się nastę-
pującymi wzorami:
EX =
a+b
2
,
V arX =
(b−a)
2
12
.
Przykład Czas oczekiwania na wydrukowanie książki przez Wydawnictwo
PŁ jest zmienną losową o rozkładzie jednostajnym w przedziale [8 miesięcy,
20 miesięcy].
(Ad.2) Rozkład normalny
Rozkład normalny zwany też rozkładem Gaussa jest jednym z najważniej-
szych rozkładów prawdopodobieństwa. Zmienna losowa ciągła X ma rozkład
normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:
f (x) =
1
σ
√
2π
e
−
(x−µ)2
2σ2
dla x ∈ (−∞, ∞),
gdzie µ i σ są dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ ∈ R, a σ > 0.
W rozkładzie normalnym:
E(X) = µ,
D
2
(X) = σ
2
.
Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, to ozna-
czamy go symbolem N (µ; σ) (w skrócie piszemy X ∼ N (µ; σ)).
Krzywa rozkładu normalnego zmiennej losowej X ∼ N (µ, σ)
Magdalena Górajska, CMF 4
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego
• Funkcja gęstości przyjmuje wartości nieujemne, a całkowite pole pod
krzywą gęstości jest równe 1.
• Wartość oczekiwana E(X) = µ określa wartość przeciętną zmiennej X.
• Krzywa gęstości zmiennej losowej normalnej X jest symetryczna wzglę-
dem prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt x = µ. Stąd pola
pod krzywą na lewo i na prawo od punktu µ są równe
1
2
.
• Krzywa gęstości rozkładu normalnego osiąga maksimum równe
1
σ
√
2π
dla x = µ.
• Finkcja gestości f (x) ma punkty przegięcia dla x = µ−σ oraz x = µ+σ.
Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego
REGUŁA TRZECH SIGM
P (µ − σ < X < µ + σ) = 0, 683
Magdalena Górajska, CMF 5
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) = 0, 955
P (µ − 3σ < X < µ + 3σ) = 0, 997
Rozkład normalny standaryzowany
Zmienna losowa U ma rozkład normalny standaryzowany, gdy µ = 0 i σ = 1,
wówczas jej funkcja gęstości wyraża się wzorem:
f (u) =
1
√
2π
e
−
u2
2
dla u ∈ (−∞, ∞).
W rozkładzie normalnym standaryzowanym:
E(U ) = 0,
D
2
(U ) = 1.
Jeśli zmienna losowa U ma rozkład normalny standaryzowany, to oznaczamy
go w skrócie symbolem N (0; 1). Jego dystrybuantę oznaczamy literą Φ i
wyraża się ona wzorem Φ(u) = P (U < u) =
1
√
2π
R
u
−∞
e
−
t2
2
dt.
Zobrazowanie wartości dystrybuanty Φ(u)
Rozkład gestości prawdopodobieństwa i dystrybuanta ZL o rozkładzie
normalnym standaryzowanym
W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N (0; 1) prawdziwe są następu-
jąca równość:
Magdalena Górajska, CMF 6
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
1)
P (U < u) = Φ(u),
2)
P (U u) = 1 − P (U < u) = 1 − Φ(u),
3)
P (a < U < b) = Φ(b) − Φ(a),
4)
Φ(−u) = 1 − Φ(u),
Reguła trzech sigm dla rozkładu normalnego standaryzowanego
P (−1 < X < 1) = 0, 683
P (−2 < X < 2) = 0, 955
P (−3 < X < 3) = 0, 997
W celu znalezienia P (U < u) = Φ(u) korzysta się z tablic statystycznych,
które zawierają obliczone prawdopodobieństwa dla różnych u.
Tablica wartości dystrybuanty Φ(u)
Standaryzacja dowolnego rozkładu normalnego
Jeśli zmienna losowa X ∼ N (µ, σ) jest o wartościach parametrów innych
niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzy-
staniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twier-
dzenia o standaryzacji.
X ∼ N (µ, σ)
−→
U =
X − µ
σ
−→
U ∼ N (0, 1)
Magdalena Górajska, CMF 7
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
Przykład Niech X ∼ N (10, 2), wówczas U =
X−10
2
i U ∼ N (0, 1).
(Ad.3) Rozkład chi-kwadrat
Zmienna losowa X ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody,
jeśli jest sumą kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie
normalnym standaryzowanym.
X =
k
X
i=1
U
2
i
,
gdzie U
1
, U
2
, ..., U
k
są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz U
i
∼ N (0; 1).
W rozkładzie chi-kwadrat:
E(X) = k,
D
2
(X) = 2k.
Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat
Magdalena Górajska, CMF 8
2
Wybrane rozkłady zmiennej losowej ciągłej
(Ad.4) Rozkład t-studenta
Zmienna losowa t ma rozkład t-sudenta o k stopniach swobody, jeśli jest
opisana wzorem
t =
U
√
X
√
k,
gdzie U ∼ N (0, 1), a X ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody oraz
U i X są niezależnymi zmiennymi losowymi.
Rozkład ten po raz pierwszy wyprowadził William Gosset pod pseudoni-
mem Student. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjątkowo małą literą t
(od ostatniej litery nazwiska autora). W rozkładzie Studenta:
E(t) = 0,
D
2
(t) =
k
k − 2
,
o ile k > 2.
Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu t-studenta
Magdalena Górajska, CMF 9