Pytania z teorii

Statystyka

Miary statystyczne (część 2)

1. Wyjaśnij pojęcie asymetrii rozkładu.

Miara asymetrii rozkładu to taka miara rozkładu, która dostarcza informacji na temat symetryczności rozkładu. Najogólniej rzecz biorąc, pozwalają określić, czy jednostki zbiorowości mają tendencję do skupiania się przy niskich wartościach cechy, przy wysokich wartościach cechy, czy raczej skupiają się wokół wartości centralnej.

2. Przedstaw trzy znane miary asymetrii rozkładu (podaj nazwy tych miar i wzory).

1. Wskaźnik skośności - Wsk= x - Do

2. Wskaźnik asymetrii Pearsona - Ap= x - Do/s

3. Klasyczny współczynnik asymetrii - As= m₃/s³

3. Wyjaśnij pojęcie koncentracji.

1. Koncentracja jako skupienie poszczególnych wartości cechy wokół średniej arytmetycznej, tzw. Kurtoza. W tym znaczeniu badanie koncentracji sprowadza się do zbadania, czy wartości cechy są skupione wokół średniej, czy też są rozproszone. Jak już zostało powiedziane, istnieje związek pomiędzy koncentracją wokół średniej a miarami zróżnicowania. Im większe jest zróżnicowanie zbiorowości, tym mniejsza jest koncentracja i odwrotnie: im mniejsze zróżnicowanie, tym koncentracja jest większa.

2. Koncentracja jako zjawisko nierównomiernego podziału ogólnej sumy wartości cechy (tzw. Globalnego funduszu wartości). W tym znaczeniu chodzi o opis stopnia nierównomierności rozkładu. Na przykład gdy nieznaczna część pracowników otrzymuje dużą część funduszu premiowego albo gdy w nieznacznej części gospodarstw domowych skupiona jest duża część dóbr luksusowych, powiemy o rozkładzie nierównomiernym (tj. o występowaniu koncentracji)

4. Jakie zachodzą związki między miarami średnimi w rozkładach asymetrycznych lewo- i prawostronnie oraz z rozkładzie symetrycznym. Odpowiedź poprzyj rysunkiem.

W rozkładach asymetrycznych miary średnie różnią się między sobą, przy czym mediana umiejscawia się zawsze pomiędzy średnią arytmetyczną a dominantą. Z tego względu, w celu określenia asymetrii, wystarczy ograniczyć się do porównania dwóch miar z miar średnich, np. średniej arytmetycznej z dominantą, czy też średniej arytmetycznej z medianą. Tak więc (zamiast rysunków ze strony 175)

- x=Me=Do(lub tylko x=Me) - rozkład symetryczny

- Do < Me < x - rozkład o asymetrii prawostronnej (dodatniej)

- x < Me < Do - rozkład o asymetrii lewostronnej (ujemnej)

6. Jakie zachodzą związki między medianą i kwartylami pierwszym i trzecim w rozkładach asymetrycznych lewo- i prawostronnie oraz z rozkładzie symetrycznym. Odpowiedź poprzyj rysunkiem.

(Rysunki znajdują się na stronie 178) W przypadku symetrii rozkładu odległości te są równe, natomiast w rozkładach asymetrycznych różnią się. Gdy rozkład jest prawostronnie asymetryczny, kwartyl pierwszy leży bliżej mediany niż kwartyl trzeci. W przypadku asymetrii lewostronnej, kwartyl pierwszy leży dalej. Tak więc, aby określić kierunek asymetrii, wystarczy porównać odległość Me - Q1 z odległością Q3 - Me. Mamy przy tym:

- Q3 - Me = Me - Q1 - rozkład symetryczny

- Q3 - Me > Me - Q1 - asymetria prawostronna

- Q3 - Me < Me - Q1 - asymetria lewostronna

7. Przedstaw interpretację graficzną dominanty oraz mediany.

- Dane statystyczne przedstawiamy w formie histogramu( słupki przylegające do siebie w układzie współrzędnych).Wyznaczanie dominanty polega na wykreśleniu z górnej podstawy prostokąta odzwierciedlającego przedział dominanty dwóch przekątnych łączących wierzchołki tego prostokąta z przylegającymi wierzchołkami górnych podstaw sąsiednich prostokątów. Rzut punktu przecięcia tych przekątnych na oś odciętych umożliwia odczytanie wartości modalne.

- W układzie prostokątnym wykreślamy skumulowany histogram( lub diagram).na osi rzędnych(Y) znajdujemy wartość numeru mediany( n:2) i przez ten punkt prowadzimy prostą równoległą do osi odciętych(X). Pierwszy prostokąt skumulowanego histogramu, który jest przecięty przez tę prostą to przedział mediany. W prostokącie tym rysujemy przekątną łączącą prawy górny wierzchołek tego prostokąta z prawym górnym wierzchołkiem prostokąta poprzedniego. Prosta równoległa do osi X przecina wyznaczoną przekątną. Rzutując otrzymany punkt na os odciętych, odczytujemy wartość mediany.

8. Przedstaw graficzną metodę wyznaczania dominanty (na konkretnym przykładzie).

Wydatki na zakup prasy w bm. wybranych rodzin w województwie małopolskim.

Wydatki w zł	Liczba rodzin na wsi	Liczba rodzin w mieście
0 - 10	1260	1430
10 -20	1400	1790
20 -30	1610 Dx	1800
30 -40	1300	2500Dx
40 -50	770	1400
Razem	6340	8920

9. Przedstaw graficzną metodę wyznaczania mediany (na konkretnym przykładzie).

Wydatki wybranych rodzin województwa małopolskiego małopolskiego bm. na

zakup prasy,

Wydatki w zł	Liczba rodzin na wsi	Liczba rodzin w mieście	Skumulowana liczba rodzin wiejskich	Skumulowana liczba rodzin miejskich
0 -10	1260	1430	1260	1430
10 -20	1400	1790	2660	3220
20-30	1610	1800	4270	5020
30 -40	1300	2500	5570	7520
40 -50	770	1400	6340	8920
razem	6340	8920	x	x

10. Przedstaw graficzną metodę wyznaczania kwartyli pierwszego i trzeciego (na konkretnym przykładzie).

Wyznaczenie wszystkich kwartyli odbywa się na podstawie wykresu łamanej liczebności skumulowanej (lub czestości skumulowanej). Całość postępowania jest analogiczna jak przy wyznaczaniu mediany. Różna jest tylko pozycja żądanego kwartyna, którą zaznaczamy na osi Y. I tak:

a) na osi Y zaznaczamy punkt określający pozycję odpowiedniego kwartyna,

- dla kwartyna pierwszego Q1 zaznaczamy punkt n/4 ( w przypadku łamanej częstości skumulowanej będzie to punkt 0,25 czyli 25%)

- dla kwartyna trzeciego Q3 zaznaczamy punkt 3n/4 ( w przypadku łamanej częstości skumulowanej będzie to punkt 0,75 czyli 75%)

-b) na sporządzonej łamanej znajdujemy punkty odpowiadające wyznaczonym pozycjom, czyli prowadzimy linię poziomą przecinającą oś Y:

- w punkcie n/4 dla kwartyna pierwszego Q1

- w punkcie 3n/4 dla kwartyna trzeciego Q3

c) punkty znalezione na łamanej rzutujemy na oś X (otwartości cechy),

d) rzuty te wskazują nam wartość poszukiwanych kwartyli, któ®e odczytujemy na osi X z pewnym przybliżeniem. (RYSUNEK I PRZYKŁAD str. 232)

11. Przedstaw wzór Persona przedstawiający związek między średnią arytmetyczną, medianą i dominantą oraz podaj, kiedy może być stosowany.

12. Podaj wzór pozwalający wyznaczyć średnią arytmetyczną z szeregu punktowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

n - liczebność zbiorowości

- oznacza on , że dla każdego wiersza naszej tabeli musimy przemnożyć elementy pierwszej kolumny (x_i) przez elementy drugiej kolumny (n_i) i na końcu wszystko zsumować.

x_i - wartość cechy w i-tej klasie

n_i - liczebność i-tej klasy (tak zwana waga)

13. Wyjaśnij sposób wyznaczania dominanty i mediany z szeregu punktowego.

a) Gdy dysponujemy szeregiem punktowym, wartość dominanty widoczna jest natychmiast. Dominantą jest ta wartość cechy, któ®ej odpowiada największa liczebność(największy wskaźnik struktury)

b) Medianą jest ta wartość cechy, któ®ą ma jednostka środkowa, tzn. jednostka stojąca w środku uporządkowanego ciągu obserwacji. Tak więc, aby wyznaczyć wartość mediany, należy w pierwszej kolejności ustalić numer jednostki środkowej, czyli pozycję mediany. Następnie odczytać z szeregu punktowego wartość cechy, którą ma ta jednostka. Ta właśnie wartość jest medianą

14. Wyjaśnij sposób wyznaczania kwartyli pierwszego i trzeciego z szeregu punktowego.

W pierwszej kolejności ustalamy pozycję poszukiwanego kwartyna. Następnie na podstawie liczebności skumulowanych znajdujemy klasę zawierającą dany kwartyl. Wartość cechy w znalezionej klasie jest poszukiwanym kwartylem. Pozycja poszukiwanych kwartyli: na poziomie n/4 dla kwartyna pierwszego, na poziomie 3n/4 dla kwartyna trzeciego.

15. Podaj wzór pozwalający odchylenie standardowe z szeregu punktowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

S²=[
(x_i-x)*n_i] /n

S2- wariancja

x- średnia arytmetyczna

xi - wartość cechy w i-tej klasie

ni - liczebność i-tej klasy

n- liczebność zbiorowości

16. Podaj wzór pozwalający wyznaczyć średnią arytmetyczną z szeregu przedziałowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

N - liczebność zbiorowości

- środek i-tego przedziału

ni - liczebność i-tego przedziału

17. Podaj wzór pozwalający wyznaczyć dominantę z szeregu przedziałowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

Do = x_ld+n_d-n_d-1/(n_d-n_d-1)+(n_d-n_d+1)*r_d

Do- dominanta

x_ld - lewy koniec przedziału dominanty

n_d - liczebność przedziału dominanty

n_d-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty

n_d+1 - liczebność przedziału po przedziale dominanty

r_d - rozpiętość przedziału dominanty

18. Podaj warunki stosowalności wzoru interpolacyjnego na wyznaczanie dominanty z szeregu przedziałowego.

- Przedział, w którym występuje dominanta oraz oba przedziały z nim sąsiadujące muszą mieć takie same rozpiętości ( a pozostałę przedziały nie powinny mieć rozpiętości mniejszej)

- Liczebności przedziałów sąsiadujących z przedziałem zawierającym dominantę nie mogą być równe zeru (tzn. przedziały te nie mogą być puste)

- Dominanta nie może występować w przedziałach skrajnych (tj. w pierwszym lub ostatnim przedziale), czyli rozkład nie może być skrajnie asymetryczny.

19. Podaj wzór pozwalający wyznaczyć medianę z szeregu przedziałowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

Me= x_lm+[(n/2-n^sk_m-1)/n_m*]r_m

Me- mediana

X_lm - lewy koniec przedziału mediany

N - liczebność zbiorowości

n_m - liczebność przedziału mediany

N^sk_m-1 - liczebność skumulowana przedziału poprzedzającego przedział mediany

R_M - rozpiętość przedziału mediany

20. Podaj wzór pozwalający wyznaczyć kwartyl pierwszy z szeregu przedziałowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

Q₁= X_lq1+[(n/4-n^sk_q1-1)/n_q1]*r_q1

X_lq1 - lewy koniec przedziału zawierającego kwartyl pierwszy

n - liczebność zbioroowści

n_q1 - liczebność przedziału zawierającego kwartyl pierwszy

n^sk_q1-1 - liczebność skumulowana przedzialu poprzedzającego przedzial kwartyna 1

r_q1 - rozpiętość przedzialu zawierającego kwartyl pierwszy

21. Podaj wzór pozwalający wyznaczyć kwartyl trzeci z szeregu przedziałowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

Q₃= X_lq3+[(3n/4-n^sk_q3-1)/n_q3]*r_q3

X_lq3 - lewy koniec przedziału zawierającego kwartyl pierwszy

n - liczebność zbiorowości

n_q3 - liczebność przedziału zawierającego kwartyl pierwszy

n^sk_q3-1 - liczebność skumulowana przedzialu poprzedzającego przedzial kwartyna 1

r_q3 - rozpiętość przedzialu zawierającego kwartyl pierwszy

22. Podaj wzór pozwalający wyznaczyć odchylenie standardowe z szeregu przedziałowego. Wyjaśnij zastosowane w tym wzorze oznaczenia.

S²=[
(
-x)*n_i] /n

S2- wariancja

x- średnia arytmetyczna

- środek i-tego przedziału

ni - liczebność i-tego przedziału-

n - liczebność zbiorowości

Zmienne losowe

23. Wyjaśnij pojęcie zmiennej losowej. Przedstaw przykład zmiennej losowej i podaj formalny zapis tej przykładowej zmiennej.

Zmienną losową nazywamy funkcję przyporządkowującą każdemu zdarzeniu elementarnemu wartość liczbową. Zmienne losowe oznaczać będziemy X, Y, ..., a wartości (tzw. realizacje) tych zmiennych: x, y, ... , X: W ® R, lub inaczej: X (v_i) = x_i, gdzie i = 1, 2, ... W praktyce staramy się, aby to przyporządkowanie było naturalne.

Przykład:

Rzucamy kością do gry jeden raz. W wyniku możemy otrzymać 6 zdarzeń elementarnych. Jeśli zdarzeniu v₁ polegającemu na wyrzuceniu jednego oczka przyporządkujemy liczbę 1, zdarzeniu v₂ polegającemu na wyrzuceniu dwóch oczek przyporządkujemy liczbę 2, itd., to otrzymamy funkcję, która jest zmienną losową o wartościach: 1, 2, ..., 6:

X(v₁) = 1

X(v₂) = 2

.

.

X(v₆) = 6

24. Wymień rodzaje zmiennych losowych. Podaj po jednym przykładzie z każdego rodzaju zmiennych.

Zmienna losowa skokowa to taka zmienna, która przyjmuje tylko niektóre wartości (skończoną lub nieskończoną, ale przeliczalną liczbę wartości). Taką zmienną jest np. liczba osób w grupie studenckiej, liczba przedmiotów wyprodukowanych na danym stanowisku pracy w ciągu jednej zmiany.

Zmienna losowa ciągła to taka zmienna, która przyjmuje wszystkie wartości z pewnego przedziału liczbowego. Zmienną losową ciągłą jest np.: wzrost, waga, wiek poszczególnych osób, ilość energii elektrycznej zużywanej dziennie przez określony zakład pracy, dochód gospodarstwa rolniczego.

25. Co rozumiemy pod pojęciem zmiennej losowej dyskretnej? Podaj przykład takiej zmiennej i naszkicuj jej rozkład.

Zmienną losową X - nazywamy dyskretną (skokową), jeżeli zbiór wartości zmiennej X jest zbiorem skończonym lub przeliczalnym (ciąg liczbowy).

Rzucamy dwiema monetami. Niech zmienną losową X będzie liczba wyrzuconych orłów. Określić rozkład tej zmiennej losowej podając funkcję rozkładu prawdopodobieństwa. Wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej.

Rozwiązanie przykładu:

Rozważana zmienna losowa X może przyjmować wartości: 0, 1, 2.

Mamy cztery zdarzenia elementarne (R oznacza wyrzucenie reszki, O orła):

(R, R) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 0,

(R, O) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 1,

(O, R) - wówczas zmienna losowa również przyjmuje wartość 1,

(O, O) - wówczas zmienna losowa przyjmuje wartość 2.

Obliczamy prawdopodobieństwa:

p₁ = P(X = 0) = 0,25, gdyż realizacji wartości 0 sprzyja jedno zdarzenie elementarne, p₂ = P(X = 1) = 0,5, gdyż wypadnięciu jednego orła sprzyjają dwa zdarzenia elementarne, p₃ = P(X = 2) = 0,25, gdyż pojawieniu się dwóch orłów sprzyja jedno zdarzenie elementarne.

W ten sposób określiliśmy rozkład prawdopodobieństwa za pomocą wzoru. Rozkład zmiennej losowej X można przedstawić tabelą:

xi	x1 = 0	x2 = 1	x3 = 2
pi	p1 = 0,25	P2 = 0,5	p3 = 0,25

Wyznaczmy teraz dystrybuantę rozpatrywanej zmiennej losowej X.

Dla wybranych realizacji zmiennej, wartości dystrybuanty są następujące:

F(0)=P(X <= 0)=P(X = 0)=0,25

F(1)=P(X <= 1)=P(X = 0 lub X = 1)=P(X = 0) + P(X = 1)=0,25+0,50=0,75

F(2)=P(X <= 2)=P(X = 0 lub X = 1 lub X = 2)=0,25+0,50+0,25=1

A zatem ogólna postać dystrybuanty przedstawia się wzorem:

26. Co rozumiemy pod pojęciem zmiennej losowej ciągłej? Podaj przykład takiej zmiennej i naszkicuj jej rozkład.

Zmienną losową X - nazywamy ciągłą, jeżeli zbiór wartości zmiennej X można przedstawić jako przedział liczbowy.

Rozkład zmiennej losowej ciągłej X określa następująca funkcja gęstości:

a) Wyznaczyć wartość k.

b) Podać postać dystrybuanty zmiennej X.

c) Obliczyć P(1 <= X <= 2).

Rozwiązanie przykładu:

a) Wartość k wyznaczymy z własności funkcji gęstości:
.

Mamy więc:

b) Wyznaczamy dystrybuantę:

dla 0 < x £ 4

A zatem:

1. Szukane prawdopodobieństwo obliczamy na podstawie wzorów

P(a < X < b) = F(b) - F(a)

P(a < X < b) = P(a <=X < b) = P(a < X <=b) = P(a <=X <=b)

27. Podaj definicję dystrybuanty zmiennej losowej. Wymień dwie dowolne własności dystrybuanty zmiennej losowej.

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F określoną na zbiorze liczb rzeczywistych taką, że:

F(x) = P(X <= x)

(2.2.1)

Z określenia dystrybuanty wynikają następujące jej własności:

1) 0 <= F(x) <= 1, dla x Î R

2) lim_x->ooF(x) = 0 oraz lim_x->oo F(x) = 1

3) Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą, to znaczy, że dla dowolnych x₁ i x₂ takich, że x₁ < x₂ zachodzi nierówność F(x₁)<=F(x₂).

28. Jaki wartości może przyjmować dystrybuanta zmiennej losowej? Odpowiedź uzupełnij wykresem.

Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F określoną na zbiorze liczb rzeczywistych taką, że:

F(x) = P(X <= x)

Wykresu nie umiem zrobić ziomeczki :P

29. Czy istnieje wartość dystrybuanty dla ujemnych wartości x-sa? Odpowiedź uzupełnij wykresem.

Nie istnieje wartośc dystrybuanty dla ujemnych wartośi x. Ponieważ dystrybuanta przyjmuje wartości nieujemne.

30. Przedstaw dwa wybrane parametry zmiennej losowej i podaj oznaczenia literowe tych parametrów. Podaj interpretację wartości oczekiwanej.

1) miary położenia - najważniejszą z nich jest wartość oczekiwana E(X) (wartość średnia, przeciętna, nadzieja matematyczna),

2) miary zmienności (rozproszenia, dyspersji) - najważniejsze z nich to wariancja D²(X) i odchylenie standardowe D(X), będące pierwiastkiem kwadratowym z wariancji.

Wartość oczekiwaną rozumiemy jako wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnie powtarzanego doświadczenia.

31. Przedstaw dwa wybrane parametry zmiennej losowej i podaj oznaczenia literowe tych parametrów. Podaj interpretację odchylenia standardowego.

Wartości oczekiwana Ex - Wartość oczekiwaną rozumiemy jako wartość, wokół której skupiają się realizacje zmiennej losowej uzyskiwane w wyniku wielokrotnie powtarzanego doświadczenia.

Wariancja D²(X) natomiast jest miarą rozproszenia wartości zmiennej wokół wartości oczekiwanej. Im mniejsza jest wariancja, tym bardziej wartości zmiennej skupiają się wokół wartości oczekiwanej.

Odchylenie standardowe - oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z wariancji. Interpretując odchylenie standardowe ukazuje nam jakie jest przeciętne zróżnicowanie od średniej.

32. Co rozumiemy pod pojęciem funkcji rozkładu prawdopodobieństwa? Podaj formalny zapis tej funkcji i przykładowy wykres.

Funkcja rozkładu to inaczej funkcja podająca prawdopodobieństwo lub gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia danej wartości X.

ciągła funkcja rozkładu F(x) - gęstość prawdopodobieństwa.

dyskretna funkcja rozkładu P(Xi) - prawdopodobieństwo dla n możliwych wartości Xi.

33. Podaj i wyjaśnij definicję dystrybuanty w przypadku zmiennej losowej skokowej. Wyjaśnienie zobrazuj przykładem.

Dystrybuanta rozkładu - F(X) - to funkcja, której wartości jest

prawdopodobieństwo, że zmienna losowa X przyjmie wartości mniejsze od xi. Inaczej

dystrybuanta danej wartości zmiennej jest sumą prawdopodobieństw nie

przekraczając danego prawdopodobieństwa zmiennej.

F(X)=P(X<x)

Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą , F(-) = 0, F(+) = 1, a dla zmiennej

losowej skokowej jest conajmniej lewostronnie ciągła.

Def. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję F(x) określoną na zbiorze liczb rzeczywistych jako:

Dla zmiennej losowej X skokowej, która przyjmuje wartości x1, x2,... z prawdopodobieństwami p1, p2, ..., dystrybuanta ma postać:

34. Podaj i wyjaśnij wzór na wyznaczanie wartości oczekiwanej zmiennej losowej skokowej.

lub

Gdzie Zmienna losowa X typu skokowego przyjmuje wartości ze zbioru {x₁, x₂, x₃,..., x_n}, zaś jego funkcją rozkładu prawdopodobieństwa jest p.

Przykład

1. Zmienna losowa X ma rozkład zadany za pomocą tabelki

	-5	-1	0	3
	0,2	0,1	0,45	0,25

Policzmy wartość oczekiwaną tej zmiennej losowej:




Wartość oczekiwana zmiennej losowej X wynosi -0,35.

35. Podaj i wyjaśnij wzory na wyznaczanie wariancji i odchylenia standardowego zmiennej losowej skokowej.

Wariancja:


Wariancja jest to więc miara rozrzutu zmiennej losowej X.

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy wartość oczekiwaną kwadratu odchylenia zmiennej losowej X od jej wartości oczekiwanej -EX

Jezeli X jest zmienna losowa typu skokowego o rozkładzie

pi = P(X = xi), i 2 {1, 2, . . . }, i wartosci oczekiwanej EX = m, to


Odchyleniem standardowym (odchyleniem średnim) zmiennej losowej skokowej X nazywamy liczbę
(
).




Odchylenie standardowe - oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z wariancji. Interpretując odchylenie standardowe ukazuje nam jakie jest przeciętne zróżnicowanie od średniej.

36. Wymień dwa znane Ci typy rozkładów skokowych i podaj ich funkcje rozkładu prawdopodobieństwa.

Rozkład zero-jedynkowy - Zmienna losowa X ma rozkład zero-jedynkowy, jeśli przyjmuje tylko dwie wartości: 0 i 1. Wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem q = 1 - p.

Rozkład tej zmiennej określają wzory:

P(X = 1) = p,

P(X = 0) = 1 - p = q, przy czym p + q = 1

Parametry rozkładu zero-jedynkowego wynoszą odpowiednio:

E(X) = 0 × q + 1 × p = p

D2 (X) = 02×q + 12 × p - p2 = p - p2 = p (1 - p) = p × q

Rozkład Bernoulliego (dwumianowy)

Zmienna losowa X ma rozkład Bernoulliego, jeśli przyjmuje wartość k (k = 0, 1, 2, ..., n) z prawdopodobieństwem:




(2.6.4)

37. Podaj i wyjaśnij wzory przedstawiające funkcję rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym zero-jedynkowym.

Rozkład tej zmiennej określają wzory:

P(X = 1) = p,

P(X = 0) = 1 - p = q, przy czym p + q = 1

(2.6.1)

Parametry rozkładu zero-jedynkowego wynoszą odpowiednio:

E(X) = 0 × q + 1 × p = p

(2.6.2)

D2 (X) = 02×q + 12 × p - p2 = p - p2 = p (1 - p) = p × q

(2.6.3)

38. Podaj i wyjaśnij wzory przedstawiające funkcję rozkładu prawdopodobieństwa i dystrybuantę zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym.




Wartość oczekiwana:

E(X) = n × p (2.6.5)

Wariancja:

D2(X) = n × p × (1 - p) = n × p × q (2.6.6)

Odchylenie standardowe:

(2.6.7)


39. Podaj i wyjaśnij wzory na wyznaczanie parametrów zmiennej losowej o rozkładzie dwupunktowym zero-jedynkowym.

Parametry rozkładu zero-jedynkowego wynoszą odpowiednio:

E(X) = 0 × q + 1 × p = p (2.6.2)

D2 (X) = 02×q + 12 × p - p2 = p - p2 = p (1 - p) = p × q (2.6.3)

40. Podaj i wyjaśnij wzory na wyznaczanie parametrów zmiennej losowej o rozkładzie dwumianowym.




Wartość oczekiwana:

E(X) = n × p (2.6.5)

Wariancja:

D2(X) = n × p × (1 - p) = n × p × q (2.6.6)

Odchylenie standardowe:

(2.6.7)


41. Co rozumiemy pod pojęciem funkcji gęstości prawdopodobieństwa? Wyjaśnienie poprzyj rysunkiem.

Gęstość prawdopodobieństwa to szansa przyjęcia konkretnej wartości

przez zmienną losową.




42. Podaj i wyjaśnij definicję dystrybuanty w przypadku zmiennej losowej ciągłej. Wyjaśnienie zobrazuj rysunkiem.

Dystrybuanta to szansa przyjęcia przez zmienną

losową wartości nie większej od argumentu.

43. Podaj i wyjaśnij wzór na wyznaczanie wartości oczekiwanej zmiennej losowej ciągłej.

Wartoscia oczekiwana zmiennej losowej X typu ciagłego o funkcji gestosci prawdopodobienstwa f nazywamy

Liczbe


przy załozeniu, ze całka


44. Podaj i wyjaśnij wzory na wyznaczanie wariancji i odchylenia standardowego zmiennej losowej ciągłej.

Wariancja:




— Jezeli X jest zmienna losowa typu ciagłego o funkcji gestosci prawdopodobienstwa f i wartosci oczekiwanej EX =m, to




ODCHYLENIE STANDARDOWE:

Oznaczenia:

ၳ - odchylenie standardowe w populacji

S_x- odchylenie standardowe próby

Definicja: pierwiastek kwadratowy z wariancji







Odchylenie standardowe ma ten sam wymiar co X i jest przyjmowane jako miara przypadkowej niepewności pomiarowej.

45. Przedstaw na rysunku związek między funkcją gęstości dowolnej zmiennej ciągłej a prawdopodobieństwem przyjęcia przez tę zmienną wartości z przedziału [a, b].

46. Podaj i wyjaśnij dwie dowolne własności funkcji gęstości.

Własność funkcji gęstości:

- jest nieujemna

- spełnia


47. Naszkicuj przykładowy wykres dystrybuanty dowolnej zmiennej ciągłej oraz zobrazuj wartość dystrybuanty tej zmiennej na wykresie funkcji gęstości.

48. Ile równe jest pole powierzchni pod wykresem funkcji gęstości? Odpowiedź uzasadnij.

całe pole pod funkcją gęstości ma powierzchnię równą 1

49. Naszkicuj przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego i podaj oznaczenia wartości oczekiwanej i odchylenia standardowego w tym rozkładzie.

50. W jaki sposób parametry rozkładu normalnego wpływają na jego kształt i położenie? Odpowiedź poprzyj rysunkiem.

Rozkład normalny jest dany dwoma parametrami:

wartością średnią m

odchyleniem standardowym

WARTOŚĆ ŚREDNIA DECYDUJE O PRZESUNIĘCIU WYKRESU W LEWO LUB PRAWO

ODCHYLENIE STANDARDOWE DECYDUJE O SMUKŁOŚCI WYKRESU

51. Przedstaw regułę trzech sigm i podaj przykład jej zastosowania. Jaki wniosek wypływa z tej reguły?

Istotną dla rozkładu normalnego jest tzw.: reguła trzech sigm, znana z prawa wielkich liczb. Reguła ta określa biorąc za podstawę odchylenie standardowe z danego rozkładu, czy odpowiednio duża ilość przypadków tego rozkładu znajduje się kolejno w przedziałach: +-1 odchylenie standardowe, +-2 odchylenia standardowe, +-3 odchylenia standardowe. Przypadki w większej liczbie, odstające za trzeci z podanych przedziałów mogą świadczyć o braku normalności rozkładu i uważane są za nietypowe dla danej zbiorowości statystycznej.

52. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym realizuje wartości różniące się od wartości oczekiwanej co najwyżej o jedno odchylenie standardowe? Odpowiedź poprzyj rysunkiem.

53. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym realizuje wartości różniące się od wartości oczekiwanej co najwyżej o dwa odchylenia standardowe? Odpowiedź poprzyj rysunkiem.

54. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa o rozkładzie normalnym realizuje wartości różniące się od wartości oczekiwanej co najwyżej o trzy odchylenia standardowe? Odpowiedź poprzyj rysunkiem.

55. Wyjaśnij pojęcie rozkładu normalnego standaryzowanego. Podaj wartości parametrów w tym rozkładzie i naszkicuj ten rozkład (funkcję gęstości).

Aby mówić o rozkładzie normalnym standaryzowanym, należy w pierwszym rzędzie zająć się zagadnieniem standaryzacji zmiennej losowej. Proces ten jest nieskomplikowany, polega on bowiem na odnalezieniu standaryzowanej zmiennej U, co jest niczym innym, jak obliczeniem jej odchylenia standardowego i kolejnym ilorazom, różnicy każdej z osobna realizacji zmiennej X i jej średniej arytmetycznej, co zapisać można w postaci: U = (X - m)/Odchylenie standardowe X.

Standaryzowany rozkład normalny SN jest określany w całości przez dwa parametry, a mianowicie; wartość oczekiwaną E(U) = 0 oraz przez wariancję i odchylenie standardowe równe: D2(U) = D(U) = 1

56. W jaki sposób przeprowadza się standaryzację rozkładu normalnego? Odpowiedź zilustruj przykładem.

Proces ten jest nieskomplikowany, polega on bowiem na odnalezieniu standaryzowanej zmiennej U, co jest niczym innym, jak obliczeniem jej odchylenia standardowego i kolejnym ilorazom, różnicy każdej z osobna realizacji zmiennej X i jej średniej arytmetycznej, co zapisać można w postaci: U = (X - m)/Odchylenie standardoweX.

57. Wymień znane Ci rozkłady zmiennych ciągłych, których wykresy funkcji gęstości są symetryczne względem osi OY? Odpowiedź zilustruj stosownymi wykresami.

Widmo częstotliwościowe (dyskretne)

58. Jaką własność posiada dystrybuanta w przypadku zmiennych losowych ciągłych mających wartość oczekiwaną równą zero? Odpowiedź uzupełnij rysunkiem.

Dystrybuanta nie posiada gęstości

59. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zmienna losowa ciągła przyjmuje wartość równą a? Odpowiedź uzupełnij rysunkiem. Jakie są konsekwencje przedstawionego przez Ciebie faktu?

---