Elementy teorii potencjału

grawitacyjnego i ciężkościowego

2

Prawo grawitacji

r

r

r

m

m

G

F





2

2

1





r

















2

3

s

k g

m

G

Newton
(1643-1727)

Cavendlish (1798),
wyznaczenie na drodze
doświadzczalnej

2

1

3

14

10

)

1

.

4

6672

(













s

kg

m

G

2

3

8

10

)

5

.

0

3986005

(









s

m

GM

Z

w GRS80 (Canberra, ZG MUGiG, 1979):

3









n

i

i

i

i

r

r

r

m

G

F

1

2

.

1











dM

r

r

r

G

F

i

i





2

1

.

2

 





1

2

2

1

2

1

.

3

M M

i

i

dM

dM

r

r

r

G

F





Przypadki grawitacji (przyciągania) od różnie zdefiniowanych mas :

- masa składającej się z grupy n-dyskretnych
mas punktowych

- masa w postaci ciągłej

- dwie masy ciągłe

4

Natężenie pola grawitacyjnego:



















r

r

m

G

m

F

J

3

1

2

Potencjał siły przyciągania (grawitacyjny, newtonowski):

)

,

,

(

z

y

x

V





M

r

dM

G

V

r

m

G

V



1

Siłę przyciągania działającą na
jednostkową masę m

2

=1kg nazywa się

natężeniem pola grawitacyjnego
pochodzącym od masy m

1

Pole grawitacyjne jest polem
potencjalnym co oznacza, że w każdym
punkcie można zdefiniować funkcje
skalarną V(x,y,z) zwaną potencjałem
grawitacyjnym













2

2

s

m

- potencjał od punktu materialnego

5





















x

x

m

F

x

F

m

F

x

r

r

dM

G

x

V



)

,

cos(

2





















y

y

m

F

y

F

m

F

y

r

r

dM

G

y

V



)

,

cos(

2





















z

z

m

F

z

F

m

F

z

r

r

dM

G

z

V



)

,

cos(

2

s

F

s

F

m

F

ds

dV





)

,

cos(

)

,

cos(

s

F

ds

dV







Pochodne potencjału grawitacyjnego w kierunku osi X,Y,Z:

Przyspieszenie siły przyciągania:





z

y

x









,

,





































2

s

m

kg

N

M

F

2

6

2

5

2

2

10

1

10

1

10

1

s

m

Gal

s

m

mGal

s

m

Gal















W dowolnym kierunku (wektora s):

Przyrost potencjału grawitacyjnego na drodze (ds):

6

Praktyczna definicja potencjału grawitacyjnego

- jako pracy związanej z przesunięcie masy punktowej (m) w polu
grawitacyjnym masy (M) do nieskończoności:

m

V

R

Mm

G

r

dr

GMm

L

R













2

Własności potencjału grawitacyjnego:

1. V i dV – jest funkcją ciągłą

2. Powierzchnia pozioma ekwipotencjalna (V=const.) i kierunek pionowy

(linia pionu)

3. Odstęp powierzchni poziomych

F

n

F

F

dn

dV







)

,

cos(



dV

F

dV

dn









4. Potencjał jako funkcja harmoniczna - równanie Laplace`a:

0

2

2

2

2

2

2























y

V

y

V

x

V

V

e

e

e

e





G

V

w

4







- twierdzenie Brunsa

7

Własności potencjału grawitacynego od jednorodnej kuli

(M-masa, R-promień)

:

R

M

G

V

z



- w przestrzeni zewnętrznej

(hiperbola: V(R))

Funkcja ciągła, bo dla



=R



V

z

=V

w

.=V

0

Potencjał odśrodkowy dla kuli obracającej się wyraża się jedną funkcją:

1. Funkcja potencjału:

na granicy



=R, :





G

y

V

y

V

x

V

4

2

2

2

2

2

2





















)

3

1

(

2

3

2

2

R

R

GM

V

w







- w przestrzeni wewnętrznej

(parabola), gdzie



- odległość od środka kuli

2

2

2

1

r

u





2. Pierwsze pochodne są ciągłe w całej przestrzeni:

2

)

(

R

M

G

d

dV

z









3

)

(

R

GM

d

dV

w



3. Drugie pochodne nie są ciągłe w całej przestrzeni:

2

)

0

(

R

M

G

d

dV





R

M

G

V



0

3

)

(

2

2

2

R

GM

d

V

d

z







3

)

(

2

2

R

GM

d

V

d

w











G

d

V

d

z

3

8

)

(

2

2











G

d

V

d

w

3

4

)

(

2

2



3

3

4

R

M





4. Potencjał spełnia równanie Laplace’a w przestrzeni zewnętrznej

i równanie Poissona w przestrzeni wewnętrznej:

0

2

2

2

2

2

2



















y

V

y

V

x

V

8

dz

d

r

G

r

dM

G

dV







2





dM

d



dz

H

a



A

h

A

0

Z

r

Potencjał pierścienia (



,



,d



,dz):





)

(

)

(

2

)

(

2

)

(

2

2

0

2

2

h

z

h

z

a

dz

G

d

h

z

dz

G

A

V

a

kr

































Potencjał krążka

(o promieniu a)

:

9

Składowa pionowa potencjału

(przyspieszenie)

:

a) przyciąganie krążka:

dz

h

z

a

h

z

G

z

V

A

g

kr

kr

































2

2

)

(

1

2

)

(







b) przyciąganie walca (z



H):





2

2

2

2

0

2

2

)

(

2

)

(

1

2

)

(

h

H

a

h

a

H

G

dz

h

z

a

h

z

G

A

g

H

w

















































Zastosowania 1:

(h=0) oraz dla a>>H :

H

G

A

g

wr







2

)

(



...

2

1

2

2

1

2

2

2

2

























a

H

a

a

H

a

H

a

-

przyciąganie punktu na jednorodnej warstwie (H,



) – podstawa

redukcji grawimetrycznej ze względu na przyciąganie jednorodnej
warstwy (R

B

– redukcja Bouguere’a):

]

[

]

][

/

[

0419

.

0

3

mGal

m

cm

g

H

g

wr









rozwinięcie w szereg Newtona



(jednorodna warstwa)

10

a

H

z

r

A

Przyciaganie stożka (a,H):











 





















a

H

H

G

H

a

H

H

G

A

g

st

1

2

1

2

)

(

2

2











dz

h

z

a

h

z

G

z

V

A

g

kr

kr

































2

2

)

(

1

2

)

(







)

;

;

0

(

0







H

H

z

a

r

h

Przyciąganie czaszy kulistej (a,h):

a

h



















a

h

H

G

A

g

ck

3

2

1

2

)

(







11































st

i

ij

i

ij

i

i

i

sk

j

t

t

mGal

H

r

H

r

r

r

sk

R

g

1

2

2

2

2

1

1

1

]

[

)

(

0419

.

0





Zastosowania 2:

Przyciąganie mas topograficznych -

redukcja (poprawka) terenowa (R

t

) i (R

t’

):















































st

i

ij

ij

i

ij

ij

i

ij

i

ij

i

sk

j

t

mGal

H

H

r

H

H

r

H

r

H

r

sk

R

1

2

2

1

2

2

2

2

1

2

2

1

'

]

[

)

ˆ

(

)

ˆ

(

ˆ

ˆ

(

0419

.

0



12

Zastosowania 3:

a)

Przyciąganie mas topograficznych – potencjał zakłócający (T) od bryły

g

g

z

y

x

xdxdydz

G

g

x

T

x

xyz

b

x































2

3

)

(

2

2

2

g

g

z

y

x

ydxdydz

G

g

y

T

y

xyz

b

y































2

3

)

(

2

2

2

















xyz

b

z

z

y

x

zdxdydz

G

g

z

T

2

3

)

(

2

2

2



b) Składowe poziome przyciągania – lokalna zmiana kierunku linii pionu:

- wychylenie linii pionu w kierunku osi X
(składowa południkowa)

- wychylenie linii pionu w kierunku osi Y
(składowa poprzeczna)

13

Przykład „zastosowania 3b” - obszar kopalni odkrywkowej

14

Rozmiary prostopadłościanów aproksymujących wykop

Rozmiary prostopadłościanów aproksymujących nadkład

15

Obserwowane wychylenia kierunku linii pionu dla wykopu

16

Obserwowane wychylenia kierunku linii pionu dla nadkładu

17

Izolinie wychylenia południkowej składowej (



) linii pionu

na obszarze wykopu i nadkładu w [



]

18

Izolinie wychylenia poprzecznej składowej (



) linii pionu

na obszarze wykopu i nadkładu w [



]

19

Izolinie zmian przyspieszenia siły ciężkości w [mGal]

20

Mapa deformacji powierzchni ekwipotencjalnej w [mm]

21

Problem wychylenia linii pionu dotyczy dyslokacji dużych
mas dla obiektów inżynierskich:

a) kopalnie odkrywkowe – okolice wykopów i nadkładów
b) zbiorniki wodne – okolice zapory zbiornika,
c) osadniki przykopalniane,
d) narastające dyslokacje mas w kopalniach podziemnych,
... ale również
a) strome, wysokie ściany skalne,

22

Temat 1

Zmiany grawitacji wywołane przez jednorodne bryły –
wychylenie linii pionu

......................................

23

r

v

A(x,y,z)

R







x

y

z



Potencjał siły odśrodkowej i potencjał siły ciężkości

r

v

m

P

2



r

v













r

m

P

2





24





















r

m

P

J

2

Natężenie siły odśrodkowej – przyspieszenie siły odśrodkowej:

Funkcja w postaci:





2

2

2

2

2

2

1

2

1

y

x

r

u











x

x

x

u















2

x

x

2









const

u











2

2

2

2

2

2

sin

2

1

cos

2

1

R

R

u





Składowe wektora natężenia (przyspieszenia) siły odśrodkowej:

y

y

2









0





z



jest potencjałem siły odśrodkowej

(jej pochodne są składowymi przyspieszenia odśrodkowymi)

Potencjał podaje się również w zależności od współrzędnych sferycznych:

y

y

y

u















2

z

z

u













0

m

u

Pdr

L

r











0

Praca przeciwko sile odśrodkowej (do osi obrotu):

Powierzchnie ekwipotencjalne są pobocznicami walca

)

90

(











25

)

(

)

(

)

(

A

u

A

V

A

W





Potencjał siły ciężkości w punkcie A:

2

2

2

1

)

(

r

dM

G

A

W

M











P

F

R











g

















x

x

V

x

W

g

x

2

















y

y

V

y

W

g

y

2

















z

V

z

W

g

z













gdzie:



- odległość punktu A od elementu dM masy przyciągającej

Siła ciężkości (R) działająca na punkt położony na masie M i
pozostający w ruchu wirowym z prędkością



:

Przyspieszenie siły ciężkości (g) jest sumą przyspieszenia
grawitacyjnego i odśrodkowego:

Składowe przyspieszenia ciężkościowego (gdy oś obrotu masy (punktu))
pokrywa się z osią Z:

26

Przyspieszenie ciężkościowe w kierunku normalnej (n) do powierzchni:

(dla kierunku stycznego do powierzchni
W=const.



cos=0)

)

,

cos(

s

g

g

g

n

s







dn

du

dn

dV

dn

dW

g

n







Przyspieszenie ciężkościowe w dowolnym kierunku (s):

(kierunek pionowy)

Kształt powierzchni ekwipotencjalnej W=const.:

- powierzchnie zamknięte (sferyczne), gdy:

- powierzchnie otwarte (wlcowe), gdy:

(graniczna odległość: )

















Z

R

r

89

.

5











27

Spłaszczenie powierzchni ekwipotencjalnych

Ze względu na ruch obrotowy Ziemi grawitacyjne powierzchnie
ekwipotencjalne doznają spłaszczenia rzędu 1/300.

9

.

288

1

3

2







z

e

GM

a

q



1

)

(

1

)

(

1

1

C

W

C

W

B

A





Stosunek siły odśrodkowej do siły ciężkości na równiku:

W bliskiej przestrzeni powierzchnie W=const są zamknięte i elipsoidalne.
Na wybranej powierzchni przyspieszenie ciężkościowe jest zmienne, skierowane
prostopadle (pionowo) do powierzchni, do wewnątrz. W punktach A i B, dla dwóch
powierzchni ekwipotencjalnych (1) i (2) prawdziwe jest:

)

(









r

const

C

C

dW

W

C

dW

W

W

C

dW

W

B

B

A

A



















1

2

)

(

2

)

(

)

(

2

)

(

2

1

2

1

Przyrost potencjału między dwoma powierzchniami jest proporcjonalny do przyrostu
odstępu między tymi powierzchniami:

.

2

1

2

1

const

dh

g

dh

g

dW

B

B

A

A













2

1

2

1







A

B

B

A

dh

dh

g

g

Im większa wartość g, tym „ciaśniej” są położone powierzchnie ekwipotencjalne (bieguny na
Ziemi). Zmiana potencjału zachodzi najszybciej w kierunku normalnej (kierunek pionu).

28

Rozwinięcie potencjału grawitacyjnego w szereg funkcji kulistych - zarys

















)

2

(

)

,

,

(

)

,

,

(

)

1

(

0

)

,

,

(

z

y

x

f

k

kz

ky

kx

f

z

y

x

f

n

n

n

n

Wielomian harmoniczny stopnia n spełnia równanie Laplace’a (1). Jest on funkcją
jednorodną jeśli spełnia warunek (2).

)

,

(

)

,

,

(









n

n

n

Y

r

r

f



Oba równania mają 2n+1 rozwiązań, które pomnożone przez dowolne współczynniki i
zsumowane dają ogólne rozwiązanie układu.

We współrzędnych sferycznych: (r – promień,



- odległość biegunowa,



- odległość

kątowa) rozwiązaniem jest funkcja:

Po zastąpieniu cos



= t funkcja ta ma postać:

gdzie jest powierzchniową funkcją kulistą.

)

,

(





n

Y



















n

t

P

b

k

t

P

b

t

P

b

n

t

P

a

k

t

P

a

t

P

a

t

P

a

t

Y

Y

nm

nm

nk

nk

n

n

nm

nn

nk

nk

n

n

n

n

n

n

sin

)

(

...

sin

)

(

...

sin

)

(

cos

)

(

...

cos

)

(

...

cos

)

(

)

(

)

,

(

)

,

(

1

1

1

1































dla k = 0…n

29

Funkcja P

n

(t) to wielomian Legendre’a:

Jedna z ważnych własności wielomianu ma postać:















0

2

)

(

)

2

1

(

2

1

n

n

n

t

P

x

x

xt

n

n

n

n

n

dt

t

d

n

t

P

)

1

(

!

2

1

)

(

2





dla

1



x



















0

)

1

(

2

)

(

)

2

1

(

2

1

n

n

n

t

P

x

x

xt

dla

1



x

Wielomiany

Legendre’a są wykorzystywane do przedstawienia potencjału

grawitacyjnego Ziemi w tzw. rozwinięciu w szereg funkcji kulistych względem
współrzędnych sferycznych.

30

Potencjał grawitacyjny bryły Ziemi





M

r

dM

G

V

- w funkcji parametrów geometrycznych ciała

)

90

(















cos

2

1

2

2

1

2

r

r

r

r







2

1

cos

2

1

1

1

1

2

2

1

























r

r

r

r

r

Z wzoru Carnota:

z

A

(r,



,



)

r



x

1

Y

X





dM

(r

1

,



1

,



1

)







1



1

y

x

y

1

z

1

z

r

1





















0

1

)

cos(

1

1

n

n

n

P

r

r

r





1

1

1

1

2

1

sin

dr

d

d

r

d

dM

















własność wielomianu Legendre’a

31

Ciągła funkcja f(



,



) może być przedstawiona za pomocą funkcji sferycznych

Laplace’a

gdzie:

Po uwzględnieniu obu powyższych zależności we wzorze na potencjał grawitacyjny, jego wartość
można przedstawić wzorem:









0

)

,

(

)

,

(

n

n

Y

f















S

n

n

ds

P

f

n

Y

)

cos(

)

,

(

4

1

2

)

,

(

1

1







































0

0

1

)

(cos

)

sin

cos

1

)

,

,

(

n

n

k

nk

nk

nk

n

P

k

E

k

D

r

r

V











Po dodaniu potencjału siły odśrodkowej otrzymuje się potencjał ciężkościowy:





)

(cos

1

)

(cos

)

sin

cos

1

)

,

,

(

20

3

0

0

1

2

2















P

P

k

E

k

D

r

r

W

r

n

n

k

nk

nk

nk

n













































d

P

r

G

D

np

n

n

n

)

(cos

:

.

1

0

1

0

32

Od stopnia i rzędu współczynników harmonicznych D i E zależy szczegółowość opisu
niejednorodnego rozkładu masy i tym samym dokładność wartości potencjału.

Zmiany potencjału zależne tylko od szerokości



=90



-



związane są ze współczynnikami o

indeksie k=0, czyli tzw. główne wielomiany Legendre’a. Te składniki (strefowe harmoniki) są
symetryczne względem osi obrotu.. Parzyste n=2i są symetryczne z kolei względem równika. A
nieparzyste n=2i+1 wyrażają niesymetryczność w rozkładzie masy względem płaszczyzny równika
(przeciwny znak).

Wzór na potencjał grawitacyjny Ziemi przedstawia się też w postaci, w której zamiast
mianowanych współczynników D

nk

i E

nk

występują współczynniki niemianowane c

nk

i s

nk

, np.

Potencjał ciężkościowy dla bryły (Ziemi) o symetrycznej budowie tj. o symetrii względem osi
obrotu i względem płaszczyzny równika, po uzupełnieniu o potencjał odśrodkowy wyraża się
uproszczonym wzorem :

gdzie: J

n

=-c

n0

Wybrane współczynniki w systemie GRS80 :
J

2

= 10826.3



10

7

; J

4

= -23.70912



10

7

; J

6

= 0.0608347



10

7

; J

8

= -0.1427



10

10

;

oblicza się na podstawie łącznego opracowania obserwacji satelitarnych i naziemnych.























































1

2

3

3

2

2

2

2

)]

(cos

1

[

3

)

(cos

1

)

,

(

n

n

n

n

P

a

r

GM

a

P

J

r

a

r

GM

r

V









n

nk

nk

GMa

D

c



n

nk

nk

GMa

E

s



33

T

U

W





Normalny potencjał siły ciężkości

Wybór elipsoidy ziemskiej musi spełniać dwa warunki:
- najlepszego dopasowania do bryły określonej przez średni poziom mórz (pozbawiony pływów),
- potencjał normalny powinien być jak najbliższy potencjałowi rzeczywistemu Ziemi (T



0, czyli

bryle geoidy, której powierzchnia jest w każdym punkcie prostopadła do kierunku siły ciężkości).

Zdefiniowanie normalnego pola grawitacyjnego umożliwia wydzielenie z ziemskiego
(rzeczywistego) pola grawitacyjnego podstawowej i dominującej części, która może
stanowić wygodny model wykorzystywany do dalszych analiz . W szczególności dotyczy to
głównego zadania geodezji wyższej, jakim jest wyznaczenie kształtu i rozmiaru Ziemi.
Badanie kształtu może w tym przypadku odbywać się względem ustalonego modelu .

Model Ziemi normalnej (elipsoidy ziemskiej) może być wykorzystywany zarówno do
wyznaczania przestrzennego (geometrycznego) położenia punktów względem wybranej
powierzchni (ekwipotencjalnej), a także do wyznaczania wysokości (fizycznych) od tej
powierzchni.

Związek potencjału rzeczywistego i normalnego zawiera się w równaniu:

34

Zakładając, że:
- prędkość kątowa obrotu elipsoidy będzie taka jak Ziemi,
- osie geoidy i elipsoidy pokrywają się,
- a odstęp obu powierzchni jest minimalny,
można uznać, że potencjał zakłócający wynika jedynie z różnicy potencjałów grawitacyjnych geoidy
i elipsoidy:


Z powyższego wynika, że potencjał zkłócający ma wszystkie cechy potencjału grawitacyjnego.
Potencjał zakłócający charakteryzuje anormalność ziemskiego pola grawitacyjnego.

Wyznaczenie potencjału normalnego U realizowane jest dwiema metodami.
- pierwsza polega na przyjęciu pewnej powierzchni i obliczeniu dla niej potencjału U(r,



,



) (Stoks),

- druga polega na przedstawieniu potencjału za pomocą funkcji kulistych (Helmert).

el

el

u

V

U





Ciężkościowy potencjał normalny elipsoidy można przedstawić ogólnie jako sumę
potencjału grawitacyjnego i odśrodkowego:

el

V

V

T





35











2

2

2

2

3

0

sin

2

2

1

cos

2

3

)

(

)

,

,

(

r

C

A

r

G

r

GM

U

r

U

m

























const

U

e



Potencjał normalny na powierzchni elipsoidy poziomowej jest stały:



















3

3

1

q

a

GM

U

e



2

2

3

q

Ma

A

C

m









e

a

q





2



Am – średni równikowy moment bezwładności

Wprowadzając współczynnik q będący stosunkiem siły odśrodkowej
do siły ciężkości na równiku:

można otrzymać potencjał tzw. elipsoidy poziomowej, czyli potencjał na jej powierzchni:

gdzie: pokazuje związek między kształtem geometrycznym elipsoidy
i rozkładem sił w polu ciężkościowym.

Wniosek:
do obliczenia potencjału normalnego wymagana jest znajomość:
- grawitacyjnej stałej geometrycznej GM,
- parametrów geometrycznych elipsoidy (półosi równikowej a

e

i spłaszczenia



),

- prędkości obrotu Ziemi



.

(z dokładnością rzędu spłaszczenia geometrycznego 1/300)

Stosując metodę Helmerta dla przy ograniczeniu do funkcji sferycznych 2-go i 4-go stopnia:

36

n

U







0

0



Przyspieszenie normalne:

r

U







0

0



(n,r)

max



11



(



szerokość geocentryczna i elipsoidalna)



















































2

2

0

0

cos

2

5

2

3

1

q

q

a

GM

r

U



















q

e

e

p

2

5

(r = a

e

)

Obliczając z powyższego wzoru przyspieszenie na równiku (



=90



) oraz na biegunie (



=0



)

otrzymamy spłaszczenie grawimetryczne (Ziemi normalnej) – II prawo Clairaut’a:

























































2

2

2

2

3

2

2

2695

236

77

24

1

6

11

5

1

3

2

1

3

1

15

2

3

1



















e

e

e

e

e

e

a

a

a

a

GM

U

Wzór dokładniejszy na potencjał normalny ma postać:

)

sin

1

(

)

cos

1

(

2

2

0























e

e

Z niego wynika kolejny wzór Clairaut’a - na przyspieszenie normalne na elipsoidzie:

37

























2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

0

sin

cos

)

sin

cos

(

sin

cos

)

sin

cos

(

c

b

a

c

b

a

c

b

a











Przyspieszenie normalne na elipsoidzie trójosiowej

(C.Mineo, 1928)

:















2

2

2

2

2

2

0

sin

cos

sin

cos

b

a

b

a

b

a







Z powyższego, dla elipsoidy dwuosiowej (obrotowej)

(C.Somigliana, 1929)

:

...)

2

sin

sin

1

(

2

1

2

0





















e







4

1

8

1

2

1







- liczone od południka większej półosi równikowej

lub w postaci podobnej do równania Clairaut’a:

38

1

0

,

,

,

,

,

,

,











a

U

GM

e

W systemie GRS80:





















2

2

2

2

2

2

0

56

9

14

9

8

27

2

3

1

q

qJ

J

J

q

a

GM



Dynamiczne parametry normalnego potencjału (GM,J

2

,c

nk

,s

nk

):

2

2

2

2

2

56

117

14

75

8

9

2

3

2

q

qJ

J

J

q













2

2

2

2

2

56

11

14

3

8

9

2

2

3

q

qJ

J

q

J













2

22

2

2

4Ma

A

B

c

Ma

A

C

J

m









22

6ac

b

a





]

[

)

sin

0000000007

.

0

sin

0000001262

.

0

sin

0000232718

.

0

sin

0052790414

.

0

1

(

67715

.

978032

8

6

4

2

80

0

mGal

B

B

B

B

GRS











