Wektor położenia
w różnych układach odniesienia

Rozpatrzmy najbardziej ogólny przypadek zilustrowany na Rys.7.1. Punkt P porusza się z dowolną prędkością i przyspieszeniem zarówno co do wartości jak i kierunku w określonym okładzie odniesienia. Układ ten porusza się sam względem innego układu odniesienia, który uważamy za nieruchomy. (Zakładamy jednak, że rozważane prędkości są dużo mniejsze od prędkości światła. Przypadek prędkości bliskich prędkości światła rozpatrzymy później.) Przykładem ruchu rozpatrywanego przez nas jest ruch pasażera w wagonie jadącego pociągu. Wagon jest ruchomym układem odniesienia, a stacja kolejowa - układem nieruchomym.

Rys.7.1. Punkt P w dwóch układach odniesienia

Na Rys. 7.1 położenie punktu P (pasażera) określone jest w układzie brązowym (wagon), który porusza się,  oraz granatowym (stacja), który uważamy za nieruchomy . Kierunki w układzie ruchomym pokazane są strzałkami pełnymi, w układzie nieruchomym,  pustymi.  Wielkości w układzie ruchomym mają górny indeks  "prim" ( ' ) - nie mają go zaś wielkości w układzie nieruchomym. Kolorem czerwonym oznaczony jest promień wodzący punktu P w układzie ruchomym, a kolorem zielonym - w układzie spoczywającym. Promień wodzący jednego układu względem drugiego pokazany jest kolorem fioletowym. Na osiach układu ruchomego zaznaczone są składowe wektora położenia punktu P w tym układzie (np. określające aktualne położenia pasażera względem danego punktu w wagonie).

Relacje pomiędzy promieniami wodzącymi punktu P w obu układach możemy zapisać w postaci . (7.1)

Zwróćmy uwagę, że ta  oczywista na pierwszy rzut oka relacja zawiera w sobie jedno z dwóch fundamentalnych założeń, na których opiera się newtonowski sposób opisu ruchu; tj., że wektory (lub odległości) mierzone w dwóch różnych układach odniesienia dodają się tak, jak wektory mierzone w jednym i tym samym układzie.

Układ ruchomy może się  zarówno obracać jak i przesuwać względem układu nieruchomego. Może też wykonywać oba te ruchy równocześnie.  

Jeśli zaś punkt P przemieszczał się także względem układu ruchomego, to jego przemieszczenie w układzie nieruchomym zapiszemy w postaci (7.2) gdzie pierwszy człon po prawej stronie opisuje przemieszczenie punktu w układzie ruchomym, a dwa pozostałe - przemieszczenie układu ruchomego względem nieruchomego.

Przesunięcie równoległe (translację) oznaczyliśmy indeksem trans, zaś obrót (rotację) indeksem rot.  Zwróćmy przy tym uwagę, że przesunięcie równoległe jest zawsze takie samo dla wszystkich punktów układu ruchomego, ale kąt obrotu przy danym przemieszczeniu wzajemnym układów będzie zależał od położenia punktu w układzie ruchomym. Zawsze jednak możemy zdefiniować chwilową oś obrotu i względem niej wyrazić kąt obrotu niezbędny do opisania danego przemieszczenia. 

---