2. Układy współrzędnych i wektor położenia

Przy opisie ruchu posługujemy się pojęciem układu współrzędnych, który wiążemy z wybranym przez nas układem odniesienia. Opis ruchu polega na przyporządkowaniu danemu punktowi
  zespołu liczb określających w każdej chwili czasu w jednoznaczny sposób jego położenie w przestrzeni oraz kierunek i wartość jego prędkości i przyspieszenia. Wybór układu odniesienia oraz odpowiedniego układu współrzędnych zależy od rodzaju opisywanego ruchu. Specyfika ruchu często sugeruje wybór odpowiedniego układu współrzędnych.

 

Rys. 2.1. Punkt i jego współrzędne w przestrzeni trójwymiarowej.

Na Rys.2.1. pokazane są wielkości określające położenie punktu w przestrzeni trójwymiarowej  za pomocą  wektora położenia
(zwanego też promieniem wodzącym). Początek tego wektora znajduje się w początku układu współrzędnych, a koniec w danym punkcie przestrzeni. Na rysunku, dla przykładu, kolorem niebieskim pokazany jest wektor położenia punktu P.  Kolorem czerwonym zaznaczone są wersory, czyli wektory o jednostkowych długościach, określające kierunki osi układu współrzędnych prostokątnych. Symbole
omówione będą poniżej.

 Położenie ciała w układzie współrzędnych prostokątnych określone jest przez podanie trzech liczb określających współrzędne wektora położenia
względem początku układu
na trzech przecinających się w tym punkcie prostopadłych do siebie prostych zwanych osiami
. Układ jest prawoskrętny, kiedy obrót osi
w kierunku osi
wyznacza kierunek osi
zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Pokazany na rysunku układ jest układem prawoskrętnym.

Wektor położenia w układzie prostokątnym jest więc sumą wektorową wersorów
pomnożonych przez odpowiadające im składowe promienia wodzącego:

(2.1)

Długość wektora położenia jest liczbą dodatnią i wynosi

(2.2)

Położenie ciała określone jest tu przez podanie długości promienia wodzącego
oraz dwóch kątów
  i
, jakie promień 
tworzy z osią
i odpowiednio rzut promienia
na płaszczyznę
  z osią
.Wersor współrzędnej
skierowany jest zawsze wzdłuż promienia wodzącego, a wersory obu kątów skierowane są w strony określone przez aktualne kierunki ich przyrostów (patrz - Rys.2.2). Jest to istotna różnica pomiędzy układem sferycznym a prostokątnym, gdzie kierunki wersorów są na stałe związane z osiami układu współrzędnych.  

	Wektor położenia w układzie sferycznym:
			(2.3)
		Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne sferyczne:
			(2.4)
		Współrzędne w układzie sferycznym wyrażone przez współrzędne prostokątne:
			(2.5)
Rys. 2.2. Punkt i jego położenie w układzie współrzędnych sferycznych.

Układ współrzędnych sferycznych będziemy stosować do opisu ruchu ciał wokół zadanego punktu w przestrzeni trójwymiarowej i w przypadkach, kiedy siły działające w przestrzeni mają symetrię sferyczną.

W układzie tym położenie ciała określone jest przez podanie długości rzutu promienia wodzącego na płaszczyznę 
oznaczonego jako
, kąta
  jaki tworzy rzut
z osią
oraz współrzędnej 
.  Wersor współrzędnej
  skierowany jest zawsze wzdłuż kierunku rzutu promienia wodzącego na płaszczyznę
, kierunek wersora kąta 
określony jest przez aktualny kierunek  zmiany tego kąta, wersor współrzędnej
zachowuje stały kierunek, podobnie jak w układzie współrzędnych prostokątnych. (patrz Rys.2.3)

	Wektor położenia w układzie współrzędnych cylindrycznych:
			(2.6)
		Współrzędne w układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne cylindryczne:
			(2.7)
		Współrzędne w układzie cylindrycznym wyrażone przez współrzędne prostokątne:
			(2.8)
Rys. 2.3. Punkt i jego położenie w układzie współrzędnych cylindrycznych.

Układ współrzędnych cylindrycznych będziemy stosować do opisu ruchu ciał wokół zadanej osi w przestrzeni trójwymiarowej i w przypadkach, kiedy siły działające w przestrzeni mają symetrię walcową.

Kiedy ruch odbywa się w jednej płaszczyźnie nazywamy go ruchem płaskim. Możemy zawsze tak dobrać osie układu współrzędnych, by odbywał się w płaszczyźnie przez nas zadanej, np.
.  Ruch płaski możemy traktować jako szczególny przypadek ruchu przestrzennego, kiedy w układzie prostokątnym i cylindrycznym współrzędna  równa jest zeru, a w układzie sferycznym kąt   równy jest 

Do opisu ruch płaskiego stosujemy często układ współrzędnych biegunowych. W układzie tym położenie punktu wyrażone jest przez dwie liczby: długość promienia wodzącego r i kąt obrotu , liczony względem osi X. Wersor promienia wodzącego skierowany jest wzdłuż jego kierunku; wersor kąta  jest  do niego prostopadły (patrz Rys.2.4)

 

	Wektor położenia w układzie współrzędnych biegunowych:
			(2.9)
		Współrzędne w dwuwymiarowym układzie prostokątnym wyrażone przez współrzędne biegunowe:
			(2.10)
		Współrzędne w układzie biegunowym wyrażone przez współrzędne prostokątne:
			(2.11)
Rys. 2.4. Punkt i jego położenie w układzie współrzędnych biegunowych.

Układ współrzędnych biegunowych będziemy stosować do opisu ruchu ciał wokół zadanego punktu  w przestrzeni dwuwymiarowej i w przypadkach, kiedy siły działające w płaszczyźnie mają symetrię obrotową.

---