Kinematyka: opis ruchu

Fizyka I (B+C)

Wykład IV:

• Ruch jednostajnie przyspieszony

• Ruch harmoniczny

• Ruch po okr ęgu

Klasyfikacja ruchów

Ze wzgl ędu na tor wybrane przypadki szczególne

• prostoliniowy, odbywający si ę wzdłuż lini prostej Zawsze możemy tak wybra ć układ współrz ędnych aby y(t) = z(t) = 0 ⇒ ~

r(t) = ~ix · x(t)

• płaski, odbywający si ę w ustalonej płaszczyźnie z(t) = 0 ⇒ ~

r(t) = ~ix · x(t) + ~iy · y(t)

• po okr ęgu

Ze wzgl ędu na przyspieszenie

• jednostajny ⇒ wartość pr ędkości pozostaje stała: |~

V | = const

• jednostajnie przyspieszony ⇒ przyspieszenie jest stałe: ~a = const A.F. Żarnecki

Wykład IV

1

Ruch jednostajnie przyspieszony

Prostoliniowy

Pr ędkość jest liniową funkcją czasu: t

Z

V

= V0 +

a dt = V0 + a · (t − t0)

t0

Położenie jest kwadratową funkcją czasu: t

t

Z

Z

x = x0 +

V dt = x0 +

[V0 + a · (t − t0)] dt

t0

t0

1

= x0 + V0 · (t − t0) +

a · (t − t0)2

2

Drogi w kolejnych odcinkach czasu mają si ę do siebie jak kolejne liczby nieparzyste: x1 : x2 : x3 : ... = 1 : 3 : 5 : 7 : ...

A.F. Żarnecki

Wykład IV

2

Ruch jednostajnie przyspieszony

W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy.

~

V

= ~

V0 + ~a · (t − t0)

1

~

r = ~

r0 + ~

V0 · (t − t0) +

~a · (t − t0)2

2

Ruch b ędzie si ę odbywał w płaszczyźnie przechodzącej przez ~

r0

i wyznaczonej przez kierunki wektorów ~

V0 i ~a.

Możemy wybrać układ współrz ędnych tak aby:

~ix ⊥ ~a

~iy || ~a

⇒ ruch jednostajny (X) ⊕ ruch jednostajnie przyspieszony (Y) ⊕ spoczynek (Z): ax = 0

Vx = Vx,0 = const

x = x0 + Vx,0 · (t − t0)

a

1

y

= a

Vy = Vy,0 + a t

y = y0 + Vy,0 · (t − t0) +

a · (t − t0)2

a

2

z

= 0

Vz = 0

z = 0

A.F. Żarnecki

Wykład IV

3

Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch w polu grawitacyjnym

Ruch ciala w jednorodnym polu grawitacyjnym: y

~a = ~g = (0, −g, 0)

V0

g

Θ

(wygodny wybór układu współrz ędnych) h

Pole grawitacyjne Ziemi możemy przyją ć za jednorodne, jeśli badamy ruch na odległo ściach |∆~

r| RZ

Rodzaje ruchu:

x

• spadek swobodny: V0 = 0 (ruch prostoliniowy)

• rzut pionowy: θ = ±π/2 (ruch prostoliniowy)

• rzut poziomy: θ = 0

• rzut ukośny: θ 6= 0, π/2, ...

A.F. Żarnecki

Wykład IV

4

Ruch jednostajnie przyspieszony

Spadek swobodny

y

g

x

Położenie zależy kwadratowo od czasu: g

y = h −

· t2

y(0) = h, Vy(0) = 0

2

A.F. Żarnecki

Wykład IV

5

Ruch jednostajnie przyspieszony

Spadek swobodny

Wyniki “domowych” pomiarów:

][m 0

y

g = 9.7 ± 0.7 m/s2

-0.2

-0.4

-0.6

0

0.1

0.2

0.3

t [s]

A.F. Żarnecki

Wykład IV

6

Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch w polu grawitacyjnym

y

V

Niezależność ruchów:

t

0

0 = 0, x0 = 0, y0 = h

h

Θ

x = Vx,0 · t = V0 cos θ · t

⇒ ruch w poziomie zależy tylko od Vx,0

g

y = h + V

l

x

y,0 · t −

· t2

2 g

= h + V0 sin θ · t −

· t2

2

⇒ ruch w pionie zależy tylko od Vy,0

r

Rzut poziomy θ = 0 ⇒ V

2h

y,0 ⇒ czas spadania nie zale ży od V0: t =

g

(1)

(2)

(1)

(2)

Dwa ciała o tym samym Vx,0 = Vx,0 ⇒ taki sam ruch w poziomie: x (t) = x (t) A.F. Żarnecki

Wykład IV

7

Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch w polu grawitacyjnym

y

V0

h

Θ

l

x

g

Tor w rzucie ukośnym: ⇒ y = h + x · tan θ − x2 ·

⇒ parabola

2V 2

0 cos2 θ2

V 2

π

Zasi ęg dla h=0 ⇒ l =

0 sin(2θ) ⇒ największy zasięg dla θ =

(45◦)

g

4

A.F. Żarnecki

Wykład IV

8

Ruch harmoniczny

Szczególny przykład ruchu drgającego: x

x = A · sin(ωt + φ)

1

0.5

Parametry

0

1

2

t

• amplituda A

-0.5

•

-1

cz ęstość kołowa ω2π

okres drga ń T = ω

• faza początkowa φ

dx

Pr ędkość: V =

= ω A · cos(ωt + φ)

dt

dV

Przyspieszenie: a =

= −ω2 A · sin(ωt + φ) = −ω2 · x

dt

A.F. Żarnecki

Wykład IV

9

Ruch harmoniczny

Równanie oscylatora harmonicznego:

d2x = −ω2 x

dt2

d2~r = −ω2 ~r

dt2

Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie wielu układów fizycznych:

• ci ężarek na spr ężynie

• wahadło matematyczne (dla małych wychyle ń)

• kamerton, struna, itp...

A.F. Żarnecki

Wykład IV

10

Równiania rózniczkowe

Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania różniczkowego Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest cz ęsto w postaci równan różniczkowych (równa ń ruchu). Aby znaleź ć opis ruchu ciała trzeba te równania rozwiąza ć.

Równania rz ędu pierwszego

Postać ogólna:

Jeśli potrafimy rozdzieli ć zmienne

F (x, y, y0) = 0

dy

y0 =

= f (x) · g(y)

dx

Najłatwiej rozwiąza ć problemy, które dają to rozwiązanie równania sprowadza si ę do si ę sprowadzić do postaci rozwikłanej całkowania:

wzgl ędem pochodnej:

Z

dy

Z

=

f (x) dx + C

y0 = f (x, y)

g(y)

lub (postać równoważna):

a(x, y) dx + b(x, y) dy = 0

A.F. Żarnecki

Wykład IV

11

Równiania rózniczkowe

Przykład

Równanie liniowe

(w y i y0)

Rozpad promieniotwórczy.

Ogólna postać dla rz ędu pierwszego: Liczba rozpadów w jednostce czasu jest dy

proporcjonalna do liczby atomów izotopu:

+ P (x) · y = Q(x)

dx

dN = −αN α > 0

dt

• rozwiązujemy równanie jednorodne:

rozpady oznaczają zmniejszanie si ę

dv

liczby atomów izotopu

+ P (x) · v = 0

dx

Rozwiązanie:

Z

dN

Z

=

−α dt + C

• podstawiając do wyj ściowego równania N

y = u · v dostajemy

ln N = −αt + C

du

R P (x)dx

= C · Q(x) e

N (t) = N0 e−αt

dx

gdzie N0 ≡ N(0) = eC

A.F. Żarnecki

Wykład IV

12

Równiania rózniczkowe

d2x

Równanie oscylatora harmonicznego

= − ω2 x

dt2

Jest równaniem rz ędu drugiego.

Ale

Nast ępnie możemy wróci ć do zależności od eliminując czas możemy sprowadzi ć je do czasu:

równania rz ędu pierwszego:

dx

q

= ± ω

a2 − x2

d2x

dv

dv dx

dv

dt

=

=

·

=

· v

Z

dx

Z

dt2

dt

dx dt

dx

⇒

= ± ω

dt

q

dv

a2 − x2

⇒

v

= −ω2 x

dx

x

⇒

arcsin

= ± ωt + C

które możemy wycałkowa ć:

a

Z

Z

v dv = −ω2

x dx

⇒

x = a sin(ωt + C)

v = a ω cos(ωt + C)

q

⇒

v = ± ω

a2 − x2

A.F. Żarnecki

Wykład IV

13

Ruch po okr ęgu

Położenie ciała może by ć opisane

Y

V

jedną zmienną:

• kąt w płaszczyźnie XY - φ

s

r

φ

• długość łuku okr ęgu - s = r · φ

X

Pr ędkość:

ds

dφ

V

=

= r

= r ω

dt

dt

pr ędkość kątowa ω = dφ

dt

dω

d2φ

Przyspieszenie kątowe: α =

=

dt

dt2

Ruch jednostajny po okr ęgu: α = 0

⇒

ω = const

⇒

V = const

ale ~

V 6= const

⇒

~a 6= 0 !?

A.F. Żarnecki

Wykład IV

14

Ruch po okr ęgu

Pr ędkość w zapisie wektorowym:

Z

~

ω

V = ~

ω × ~r

Y

Przyspieszenie:

r

φ

d~

V

d~

ω

d~

r

V

~a =

=

× ~

r + ~

ω ×

s

dt

dt

dt

X

=

~

α × ~

r + ~

ω × ~

V

=

~

at

+

~

an

Oprócz przyspieszenia stycznego ~

at ↑ ~

V , opisującego zmian ę | ~

V |,

jest też przyspieszenie normalne ~

an, odpowiedzialne za zmian ę kierunku ~

V w czasie.

~

an = ~ω × (~ω × ~r) = −ω2 · ~r

A × (B × C) = (A · C) · B − (A · B) · C

przyspieszenie do środkowe

A.F. Żarnecki

Wykład IV

15

Ruch po okr ęgu

Ruch jednostajny po okr ęgu ⇔ przyspieszenie styczne:

~

at = 0

⇒

~a = ~

an = −ω2 · ~r

Y

V

Ruch jednostajny po okr ęgu jest złożeniem dwóch niezależnych ruchów harmionicznych:

s

r

π

φ

x = r · cos(ω · t) = r · sin(ω · t +

)

X

2

y = r · sin(ω · t)

Ruch po okr ęgu

⇐⇒

różnica faz ∆φ = ±π

2

Ciekawostka:

Ruch harmoniczny można przedstawi ć jako złożenie dwóch ruchów po okr ęgu...

A.F. Żarnecki

Wykład IV

16