W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

5

5

O

O

P

P

I

I

S

S

R

R

U

U

C

C

H

H

U

U

,

,

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

I

I

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

A

A

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

D

D

L

L

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

U

U

P

P

A

A

S

S

C

C

A

A

L

L

A

A

.

.

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

O

O

P

P

I

I

S

S

R

R

U

U

C

C

H

H

U

U

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

U

U

P

P

A

A

S

S

C

C

A

A

L

L

A

A

Tensor naprężenia dla płynu Pascala:

Równania opisujące ruch – równania Eulera:

Obowiązuje prawo zachowania masy

i k

i

k

p

p

e e

i, k

1, 2,3



   



dv

1

F

p

dt



  

( v)

0

t







  





Bilans energii:









2

d

v

u

v

F v

T

Q

dt

2

















  

 

    

















Pole sił zewnętrznych

F

i gęstość mocy

Q

uważamy za zadane

.

Mamy 5 równań i 5 niewiadomych (

v

1

, v

2

, v

3

, p, ρ

)

Aby rozwiązać opisany układ:



Określamy obszar, w którym poszukujemy rozwiązań



Formułujemy warunki początkowe – określamy

v

1

, v

2

, v

3

,

p, ρ

w chwili

t=0



Formułujemy warunki brzegowe – opisujemy ruch i stan

płynu na powierzchni brzegowej

Czy istnieje

rozwiązanie

przedstawionego

układu równań?

Czy

, jeśli istnieje

rozwiązanie to jest

jedynym?

Czy

mała zmiana

warunków

początkowych lub

brzegowych powoduje

małą zmianę rozwiązania

naszego uk

ładu ?

U

U

P

P

R

R

O

O

S

S

Z

Z

C

C

Z

Z

O

O

N

N

E

E

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

D

D

L

L

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

U

U

P

P

A

A

S

S

C

C

A

A

L

L

A

A

–

–

B

B

E

E

Z

Z

P

P

R

R

Z

Z

E

E

W

W

O

O

D

D

Z

Z

E

E

N

N

I

I

A

A

C

C

I

I

E

E

P

P

Ł

Ł

A

A

,

,

Ź

Ź

R

R

Ó

Ó

D

D

E

E

Ł

Ł

I

I

P

P

R

R

O

O

M

M

I

I

E

E

N

N

I

I

O

O

W

W

A

A

N

N

I

I

A

A

O

kreślmy iloczyn

v



występujący w bilansie energii:

Wstawmy wynik do równania energii pomijając przewodzenie
ciepła, źródła i promieniowanie:









ik

i

k

j

j

j ik

i

k

j

j ik

i

kj

j

ik

kj

j

j

v

p

e e

v e

pv

e e

e

pv

e

pv

pv e

pv





 

 

  



 







 

 

 

 

2

d

v

u

p v

F v

dt

2















  





















Przekształćmy je wykorzystując definicję pochodnej
substancjalnej:

Nat

omiast na mocy równania ciągłości wiemy, że

Wobec tego

p d

p

v

dt





  

 

2

p d

1 dp

1 p

p v

dt

dt

t

















 

 















 

dp

p

p v

p

v v

p

p

v

dt

t





      





Co pozwala przepisać nam równanie energii w sposób
następujący:

2

d

v

p

p

u

F v

dt

2

t













 



 











Wiemy, że entalpia właściwa to zatem przedstawimy
powyższe równanie w postaci:

2

d

v

p

i

F v

dt

2

t











 

 











Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu.

p

i

u



 

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

A

A

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

Za

kładamy:



Potencjalność pola sił zewnętrznych:

F



 



Niezależność od czasu pól ciśnienia, masy właściwej i pola sił

zewnętrznych

Niezależność od czasu pola

F

implikuje



niezależne od czasu i

0

t









.

Możemy, zatem

napisać

d

d

v F

v

dt

t

dt















   















R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

P

P

O

O

D

D

O

O

D

D

A

A

T

T

K

K

O

O

W

W

Y

Y

M

M

U

U

P

P

R

R

O

O

S

S

Z

Z

C

C

Z

Z

E

E

N

N

I

I

U

U

C

C

A

A

Ł

Ł

K

K

A

A

E

E

N

N

E

E

R

R

G

G

I

I

I

I

D

D

L

L

A

A

R

R

U

U

C

C

H

H

U

U

U

U

S

S

T

T

A

A

L

L

O

O

N

N

E

E

G

G

O

O

2

na linii pradu

v

i

const

2



  

energia

kinetyczna

entalpia

jednostkowej

masy

energia

potencjalna

entalpia

całkowita

oznaczana jako i

0

2

v

v grad

i

0

2











 











Wzdłuż linii prądu (…) jest

stały

2

d

v

i

0

dt

2









 











Przydatne definicje:

0

p

p

s

dp

i







p

i





o

gólna definicja entalpii przy stałej entropii

definicja entalpii dla płynu nieściśliwego (ciecze)

ρ = const, s = const

definicja entalpii dla płynu
ściśliwego (gazy) ρ ≠ const i
bez założenia o stałości s

0

T

p

0

p

T

i

c dT

i

c T



 



C

p

-

średnie lub stałe ciepło właściwe