EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/1
x
z
y
OPIS RUCHU
Wektor położenia, promień wodzący
0
Równanie ruchu
( )
( )
( )
( )
ˆ
ˆ
ˆ
r t
x t
x
y t
y
z t
z
=
⋅ +
⋅ +
⋅
Eliminując z tych równań czas otrzymujemy
równanie toru
z = F (x, y)
r
( )
t
r
r
=
( )
( )
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
ˆ
( )
x t
x t x
y t
y t y
z t
z t z
=
=
=
z
z
y
y
x
x
r
ˆ
ˆ
ˆ
⋅
+
⋅
+
⋅
=
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/2
PRĘDKOŚĆ
Prędkość średnia
2
1
2
1
r
r
r
r
v
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
prędkość średnia punktu
w czasie
1
2
t
t
t
−
=
∆
Prędkość
(prędkość chwilowa)
∆t → 0
dt
r
d
t
r
v
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dr
v
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
dx
dy
dz
v
x
y
z
dt
dt
dt
=
+
+
prędkość jest zawsze
styczna do toru
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/3
PRZYSPIESZENIE
Przyspieszenie średnie
2
1
2
1
sr
v
v
v
a
t
t
t
−
∆
=
=
−
∆
Przyspieszenie
∆t → 0
dt
v
d
t
v
a
t
=
∆
∆
=
→
∆
0
lim
dv
a
dt
=
ˆ
ˆ
ˆ
y
x
z
dv
dv
dv
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
2
2
d r
a
dt
=
2
2
2
2
2
2
ˆ
ˆ
ˆ
d x
d y
d z
a
x
y
z
dt
dt
dt
=
⋅ +
⋅ +
⋅
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/4
d t
v
d
a
=
SKŁADOWE PRZYSPIESZENIA
Przyspieszenie ma składowe
a
x
, a
y
i
a
z
x
y
z
a
a
a
a
=
+
+
oraz
a
s
i
a
n
n
s
a
a
a
+
=
przyspieszenie styczne do toru, opisujące zmiany
wartości prędkości
dt
dv
a
s
=
v - wartość prędkości
przyspieszenie normalne, prostopadłe do toru –
opisujące zmiany kierunku prędkości
2
ρ
v
a
n
=
ρ
- promień krzywizny toru.
a
n
a
s
a
a
a
a
a
a
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/5
CAŁKA NIEOZNACZONA - FUNKCJA
FUNKCJĄ PIERWOTNĄ
danej funkcji f(x) nazywamy funkcję F(x) taką, że
F’(x) = f(x)
Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do
stałej
F
1
(x) = F(x) + C
1
CAŁKA NIEOZNACZONA
Całka nieoznaczona jest to taka funkcja,
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
której pochodna równa jest funkcji podcałkowej f(x)
f(x)dx
- wyrażenie podcałkowe, x - zmienna całowania
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/6
CAŁKI NIEOZNACZONE
Wzory na całkowanie można otrzymać przez
odwrócenie wzorów na różniczkowanie:
( )
1
n
n
d
x
nx
dx
−
=
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
dla m
≠
-1
)
ln(
1
x
dx
x
=
∫
x
xdx
cos
sin
−
=
∫
x
xdx
sin
cos
=
∫
•
Reguły całkowania:
∫
∫
=
dx
x
f
a
dx
x
f
a
)
(
)
(
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
wdx
vdx
udx
dx
w
v
u
)
(
na przykład
2
1
2
xdx
x
=
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/7
CAŁKA OZNACZONA - LICZBA
(a,b) dzielimy na n przedziałów
∆
x
i
= x
i
-
x
i -1
wewnątrz każdego przedziału wybieramy punkt
ξ
i
∑
∫
=
→
→
∆
∆
=
n
i
i
i
n
x
b
a
x
f
dx
x
f
i
1
0
0
)
(
lim
)
(
ξ
Jeżeli istnieje granica i nie zależy od wyboru punktów x
i
i
ξ
i
,
to nazywamy ją całką oznaczoną.
Całka oznaczona
( )
b
a
f x dx
∫
jest to liczba równa wartości pola powierzchni wyznaczonej
przez funkcje f(x) oraz proste: y = 0, x = a, x = b
f
(x)dx
- wyrażenie podcałkowe
a - dolna granica
b - górna granica
x - zmienna całowania
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/8
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA
∫
∫
−
=
a
b
b
a
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
0
)
(
=
∫
a
a
dx
x
f
∫
∫
∫
+
=
b
c
c
a
b
a
dx
x
f
dx
x
f
dx
x
f
)
(
)
(
)
(
∫
∫
⋅
=
⋅
b
a
b
a
dx
x
f
c
dx
x
f
c
)
(
)
(
[
]
∫
∫
∫
∫
−
+
=
−
+
b
a
b
a
b
a
b
a
dx
x
w
dx
x
v
dx
x
u
dx
x
w
x
v
x
u
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/9
TWIERDZENIE O WARTOŚCI
ŚREDNIEJ
Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale (a, b) to
istnieje punkt
ξ
taki, że
)
(
)
(
)
(
ξ
f
a
b
dx
x
f
b
a
⋅
−
=
∫
f(
ξ
) - wartość średnia f(x) w przedziale (a, b)
PODSTAWOWE TWIERDZENIE
RACHUNKU CAŁKOWEGO
Jeżeli
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
)
(
)
(
to
( )
( )
( )
( )
b
b
a
a
f x dx
F b
F a
F x
=
−
≡
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/10
r
x
ˆ
przykłady ruchu:
RUCH PROSTOLINIOWY
Wybieramy układ współrzędnych tak, aby
,
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
ˆ
(1)
ˆ
ˆ
(2)
ˆ
ˆ
(3)
r t
x t
x
dx
v t
x
v t
x
dt
dv
a t
x
a t
x
dt
=
⋅
=
⋅ =
⋅
=
⋅ =
⋅
dx
v
dt
dv
a
dt
→
=
→
=
i zajmujemy się tylko wartościami wektorów x(t), v(t) i a(t)
•
ze wzoru (2)
dx = v
⋅
dt
→
( )
∫
∫
=
t
t
t
x
x
vdt
dx
0
0
0
0
t
t
x
x
vdt
=
+
∫
( )
0
0
x
x t
=
•
ze wzoru (3)
dv = a
⋅
dt
→
0
0
( )
v t
t
v
t
d v
a d t
=
∫
∫
0
0
t
t
v
v
adt
=
+
∫
( )
0
0
v
v t
=
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/11
RUCH JEDNOSTAJNY PROSTOLINIOWY
a = 0, v = const.
0
0
t
t
x
x
vdt
= +
∫
0
0
1
t
t
x
x
v
dt
= +
∫
(
)
0
0
x
x
v t
t
= +
−
dla m ≠ -1
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
1 =
t
0
0
0 1
1
0 1
t dt
t
t
+
=
=
+
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/12
(
)
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
1
at
t
v
x
x
dt
at
v
x
vdt
x
x
at
v
adt
v
v
t
t
t
+
+
=
+
+
=
+
=
+
=
+
=
∫
∫
∫
RUCH JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
a = const
.
oraz t
0
= 0
dla m ≠ -1
1
1
1
+
+
=
∫
m
m
x
m
dx
x
1
1 1
2
1
1
1 1
2
t dt
t
t
+
=
=
+
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/13
przykłady ruchu:
RUCH KRZYWOLINIOWY
dt
r
d
v
=
r
d
dt
v
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
r
r
t
r
d
dt
v
)
0
(
)
(
0
r
t
r
dt
v
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
dt
v
d
a
=
v
d
dt
a
=
∫
∫
=
)
(
)
0
(
0
t
v
v
t
v
d
dt
a
)
0
(
)
(
0
v
t
v
dt
a
t
−
=
∫
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/14
JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
const.
a
=
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
∫
+
=
t
dt
a
v
t
v
0
0
)
(
t
a
v
v
+
=
0
∫
+
=
t
dt
v
r
t
r
0
0
)
(
(
)
∫
+
+
=
t
dt
t
a
v
r
t
r
0
0
0
)
(
( )
∫
∫
+
+
=
t
t
dt
t
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
∫
∫
+
+
=
t
t
tdt
a
dt
v
r
t
r
0
0
0
0
)
(
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
0
t
dt
t
=
∫
2
0
1
2
t
tdt
t
=
∫
EWR 2008 F1a_ opis ruchu
/15
RUCH KRZYWOLINIOWY
JEDNOSTAJNIE PRZYSPIESZONY
const.
a
=
t
a
v
v
+
=
0
2
0
0
2
1
t
a
t
v
r
r
+
+
=
Wektory prędkości i przyspieszenia nie muszą być
równoległe.
Wektor prędkości leży w płaszczyźnie wyznaczonej
przez wektory a i v
0
i przechodzącej przez punkt
zdefiniowany przez wektor r
0.
Ruch odbywający się ze stałym przyspieszeniem jest
ruchem płaskim. Torem ruchu jest w ogólnym
przypadku parabola.
Przykładem takiego ruchu jest ruch w pobliżu
powierzchni ziemi ze stałym przyspieszeniem, czyli
tzw. "rzut ukośny”
.
const
g
=
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
19 Pojecie i opis ruchu falowego (2)
Fizyka 1 3 opis ruchu pochodne
Opis ruchu
Fizyka 1 3 opis ruchu pochodne
FM2 opis ruchu
05 Opis ruchu & Rownanie energi Nieznany (2)
Pełny klasyczny i kwantowy opis ruchu w wirującej pułapce harmonicznej
FM2 opis ruchu
02 - Opis ruchu, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, FIZA
wyklad04, kinematyka, opis ruchu
Wykl Mechanika Budowli 15 Opis Ruchu Drgania Wlasne Tlumione
FM2 opis ruchu(1)
f1 opis ruchu fo RBU4AC5YJVXTPTII7P6QAO633K7EHOVWYYLNBAQ
Fizyka opis ruchu całki
Kinematyka opis ruchu
19 Pojecie i opis ruchu falowego (2)
więcej podobnych podstron