Kinematyka opis ruchu

Pojęcia podstawowe

Punkt materialny

Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać.

Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest to jednak konieczne! Przykłady: wagon kolejowy na torach albo "wózek" na torze powietrznym. Ważne jest, żeby ciało nie miało dodatkowych "stopni swobody" (np. obroty, drgania własne, stany wzbudzone).

Położenie punktu materialnego całkowicie określa jego "stan".

⇒ pojęcie punktu materialnego umożliwia prosty opis wielu sytuacji fizycznych.

Naogół przyjmujemy, że punkt materialny obdarzony jest masą.

Ruch

Zmiana położenia ciała względem wybranego układu odniesienia.

Z punktu widzenia fizyki nie możemy nic powiedzieć o ruchu obserwowanego ciała póki nie odniesiemy go do jakiegoś innego obiektu. Oczywiście sami możemy uznać się za właściwy układ odniesienia, ale jest to wybór, który może istotnie wpłynąć na opisywany ruch…

Układ odniesienia

Musimy wybrać ciało, które potraktujemy jako "punkt odniesienia". Najczęściej jest nim Ziemia… Układ odniesienia można też zdefiniować określając jego położenie (lub ruch) względem wybranego ciała lub grupy ciał.

Przykład:

Układ współrzędnych

Układ współrzędnych

Służy do określenia położenia ciała w danym układzie odniesienia.

Położenie możemy zapisać na wiele różnych sposobów:

Tor ruchu

Tor ruchu

Opisuje zmianę położenia ciała w czasie. W ogólnym przypadku tor zapisujemy w tzw. postaci parametrycznej:

Wektor położenia ciała (wszystkie jego współrzędne) wyrażamy jako funkcje czasu.

W szczególnych przypadkach możliwe jest odwrócenie jednej z zależności, na przykład:

Gdy czas wyrazimy jako funkcję współrzędnej możemy uzyskać postać uwikłaną toru:

Funkcje

W fizyce bardzo często staramy się opisać zależności pomiędzy różnymi wielkościami w postaci funkcyjnej. Na ogół do oznaczania funkcji używamy symbolu odpowiadającego danej wielkości fizycznej, np.:

Postać funkcyjna zależy jednak od wyboru argumentu funkcji! W przypadku opisu toru należy zauważyć, że y(t) i y(x) to dwie różne funkcje(!) choć opisują tą samą wielkość fizyczną.

Prędkość średnia

Prędkość średnia

W odstępie czasu:

punkt materialny przemieścił się o:

Prędkość średnią definiujemy jako

Prędkość chwilowa

Praktycznie każdy pomiar prędkości musi trwać skończony okres czasu. Prawie zawsze mierzymy więc prędkość średnią.

Prędkość chwilowa

Pojęcie prędkości chwilowej wprowadzamy jako graniczną wartość prędkości średniej dla nieskończenie krótkiego czasu pomiaru, Δt→0:

Matematycznie odpowiada to definicji pochodnej:

Pochodna wektora ≡ wektor pochodnych składowych tego wektora

Wartość prędkości:

Wektor prędkości chwilowej jest zawsze styczny do toru!

Przyspieszenie średnie

Przyspieszenie średnie

W odstępie czasu Δt12 = t2t1 prędkość zmienia się o:

Przyspieszenie średnie definiujemy (podobnie jak prędkość średnią) jako stosunek przyrostu prędkości do odstępu czasu:

Przyspieszenie chwilowe

Przyspieszenie chwilowe

Podobnie jak w przypadku prędkości, przyspieszenie chwilowe definiujemy jako graniczną wartość przyspieszenia średniego dla nieskończenie krótkiego przedziału czasu:

Przyspieszenie chwilowe jest pochodną po czasie prędkości chwilowej:

Przyspieszenie opisuje "tempo" zmian prędkości…

Klasyfikacja ruchów

Ze względu na tor

Tor ruchu ciała może zakreślać dowolną krzywą w przestrzeni. W wielu zagadnieniach mamy jednak do czynienia z torem, który jest dodatkowo ograniczony przez symetrię zagadnienia lub warunki początkowe. Najchętniej zajmujemy się właśnie takimi przypadkami. W szczególności tor może być:

Ze względu na przyspieszenie

⇒ wartość prędkości pozostaje stała: = const

⇒ przyspieszenie jest stałe: = const

Ruch jednostajny prostoliniowy

Najprostszy możliwy przypadek ruchu:

* Jednostajny: = const
* Prostoliniowy: = const

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym

Wektor prędkości jest stały (nie zmienia wartości ani kierunku) czyli nie ma przyspieszenia.

Przyjmując, że ruch odbywa się wzdłuż osi X:

Położenie (przebyta droga) jest liniową funkcją czasu.

Drogi przebyte w równych odcinkach czasu są sobie równe.

Ruch prostoliniowy

Zależność drogi od prędkości

Wyznaczanie drogi z zależności prędkości od czasu

Przypadek ogólny ruchu prostoliniowego:

Możemy sumować przesunięcia dx po krótkich przedziałach czasu dt.

Przesunięcie ciała w czasie Δt = tt0:

Przechodząc do granicy dt→0:

Zależność położenia od czasu wyraża się przez całkę oznaczoną. Pojęcie całki oznaczonej ma bardzo prostą interpretację graficzną: jest to pole pod krzywą zależności prędkości od czasu.

Ruch jednostajnie przyspieszony

Jednostajnie przyspieszony zdefiniowany jest poprzez warunek: = const

Przyspieszenie opisuje zależność prędkości od czasu. Jeśli przyspieszenie jest stałe to prędkość musi rosnąć liniowo z czasem:

Ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy

Jaki warunek musi być spełniony, żeby ruch jednostajnie przyspieszony był prostoliniowy?

Ruch jest prostoliniowy wtedy gdy kierunek prędkości jest stały:

= const = const

Aby ruch był prostoliniowy przyspieszenie musi mieć kierunek zgodny z kierunkiem prędkości.

Ruch prostoliniowy można opisać jako ruch jednowymiarowy wybierając oś układu odniesienia wzdłuż kierunku ruchu

Przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Prędkość jest liniową funkcją czasu:

Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym

Położenie jest kwadratową funkcją czasu:

Przyjmijmy, że w chwili t0 = 0 ciało spoczywa:

V0 = V(t0) = 0.

Mierzymy drogę jaką ciało przebywa w równych przedziałach czasu:

Przebyta droga:

Uzyskujemy uniwersalną relację opisującą ruch jednostajnie przyspieszony prostoliniowy:

Drogi w kolejnych odcinkach czasu mają się do siebie jak kolejne liczby nieparzyste:

Przypadek ogólny

W ogólnym przypadku ruch jednostajnie przyspieszony nie jest prostoliniowy.

Ruch będzie się odbywał w płaszczyźnie przechodzącej przez i wyznaczonej przez kierunki wektorów i .

Możemy wybrać układ współrzędnych tak aby:

Ruch w przestrzeni można wtedy opisać jako złożenie:

Formalnie możemy zapisać zależności współrzędnych przyspieszenia, prędkości i położenia od czasu jako:

Ruch w polu grawitacyjnym

Rzut w polu grawitacyjnym

Ruch ciała poruszającego się swobodnie w jednorodnym polu grawitacyjnym odbywa się ze stałym przyspieszeniem:

gdzie dokonaliśmy wyboru układu współrzędnych jak na rysunku (oś X poziomo, oś Y pionowo).

Pole grawitacyjne Ziemi możemy przyjąć za jednorodne, jeśli badamy ruch na odległościach

W zależności od warunków początkowych wyróżniamy następujące rodzaje ruchu:

Spadek swobodny

Zdjęcie złożone z kolejnych klatek filmu, pokazujące spadek swobodny małej piłki na tle miarki:

Wyniki "domowych" pomiarów (odczytane ze zdjęcia):

Położenie zależy kwadratowo od czasu:

zakładając:

Rzut ukośny

Rzut ukośny

Zakładamy, ze w chwili t0 = 0 ciało wyrzucono z punktu x0 = 0, y0 = h z prędkością V0 skierowaną pod kątem Θ do poziomu.

Niezależność ruchów:

Konsekwencje niezależności ruchów w X i Y:

⇒ czas spadania nie zależy od V0:

⇒ taki sam ruch w poziomie:

Tor ruchu strugi wody

Tor w rzucie ukośnym:

⇒ torem ruchu jest parabola

Zasięg dla h=0:

⇒ największy zasięg dla (czyli )

Ruch harmoniczny

Zależność położenia od czasu w ruchu harmonicznym

Szczególny przykład ruchu drgającego. W ruchu harmonicznym zależność położenia od czasu jest postaci:

Parametry

okres drgań

Prędkość:

Przyspieszenie:

W ruchu harmonicznym spełniona jest zależność, którą nazywamy równaniem oscylatora harmonicznego

Równanie oscylatora dobrze opisuje zachowanie bardzo wielu układów fizycznych:

Równanie oscylatora harmonicznego jest przykładem równania różniczkowego.

Nasza wiedza nt. ruchu ciała przedstawiana jest często w postaci równan różniczkowych (równań ruchu). Aby znaleźć opis ruchu ciała trzeba te równania rozwiązać.

Najczęsciej są to równania typu:

Ruch po okręgu

Położenie ciała może być opisane jedną zmienną:

Wartość prędkości:

gdzie prędkość kątowa jest zdefiniowana jako pochodna kąta φ po czasie:

Przyspieszenie kątowe definiujemy jako:

Ruch jednostajny po okręgu to ruch w którym przyspieszenie kątowe znika:

α = 0 ω = const V = const
ale const
0 (!!!)

Prędkość w ruchu po okręgu w zapisie wektorowym:

Przyspieszenie liczymy jako pochodną (iloczynu):

Oprócz przyspieszenia stycznego , opisującego zmianę ,
jest też przyspieszenie normalne , odpowiedzialne za zmianę kierunku w czasie.

A×(B×C) = (AC)⋅B − (AB)⋅C

Ruch jednostajny po okręgu

Ruch jednostajny po okręgu to ruch w którym przyspieszenie styczne znika:

Ruch jednostajny po okręgu jest złożeniem dwóch niezależnych ruchów harmionicznych:

Ruch po okręgu różnica faz

Ciekawostka:

Ruch harmoniczny można przedstawić jako złożenie dwóch ruchów po okręgu…

Efekt Dopplera

W przypadku fal dźwiękowych znamy z codziennego doświadczenia…

Jeśli źródło dźwięku jest nieruchome względem obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o niezmienionej częstości.

Jeśli źródło dźwięku porusza się względem obserwatora, obserwator słyszy dźwięk o wyższej lub niższej częstości

Ruchome źródło

Przyjmijmy, że źródło dżwięku o częstości f poruszające się z prędkością v
względem ośrodka w którym prędkość dźwięku wynosi c.

Dla uproszczenia: krótkie impulsy wysyłane co Δt = 1 / f:

t1 — wysłanie pierwszego impulsu

t2 — wysłanie drugiego impulsu

odległość między impulsami mierzona przez obserwatora jest sumą wkładów wynikających z propagacji impulsu (z prędkością c) i ruchu źródła (z prędkością v):

Częstość dźwięku i długość fali
mierzona przez obserwatora nieruchomego względem ośrodka:

Ruchomy obserwator

Rozważmy teraz sytuacje, w której obserwator porusza się z prędkością v względem ośrodka i źródła dżwięku

aby dogonić obserwatora kolejny impuls musi pokonać odległość równą sumie początkowej odległości między impulsami i drogi jaką w tym czasie pokona obserwator

Mierzona częstość:

W klasycznym efekcie Dopplera zmiana częstości zależy nie tylko od względnej
prędkości źródła i obserwatora ale i ruchu względem ośrodka.

Ruch ośrodka

Przyjmijmy, że źródło dźwięku i obserwator są względem siebie w spoczynku. Niech ich prędkość względem ośrodka wynosi v

Częstość mierzona przez obserwatora jest wynikiem złożenia dwóch efektów Dopplera:

Częstość się nie zmienia, ale zmienia się czas miedzy wysłaniem a rejestrają impulsu:

Ruch ośrodka powoduje przesunięcie w fazie rejestrowanego dźwięku.

Przypadek ogólny

Zarówno źródło jak i obserwator poruszają się względem ośrodka.

Przypadek ogólny efektu Dopplera

Jeśli znamy ruch źródła i obserwatora w układzie związanym z ośrodkiem:

To możemy wyznaczyć czas t' w jakim sygnał wyemitowany w chwili t dotrze do obserwatora. Zadany jest on przez warunek:

Jeśli równanie to można jednoznacznie rozwiązać to efekt Dopplera daje się wyrazić bardzo prostą zależnością:

Przykład

Wirujący głośnik

Droga sygnału wyemitowanego w czasie t:

Dla :

Oczekiwana zależność od czasu amplitudy dźwięku rejestrowanego przez źródło i obserwatora

Choć średnia częstość mierzona przez obserwatora jest równa częstości źródła widoczna jest wyraźna modulacja częstości…


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyklad04, kinematyka, opis ruchu
00502 Kinematyka D part 2 2008 teoria opis ruchu, prędkość w ruchu prostoliniowym(1)
19 Pojecie i opis ruchu falowego (2)
Fizyka 1 3 opis ruchu pochodne
FW2a opis ruchu 07
Opis ruchu
mega sciaga na egzamin, sciaga harmon, Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (bądź układ za
Fizyka 1 3 opis ruchu pochodne
FM2 opis ruchu
05 Opis ruchu & Rownanie energi Nieznany (2)
Pełny klasyczny i kwantowy opis ruchu w wirującej pułapce harmonicznej
FM2 opis ruchu
02 - Opis ruchu, Politechnika Lubelska, Studia, Studia, FIZA
Wykl Mechanika Budowli 15 Opis Ruchu Drgania Wlasne Tlumione
FM2 opis ruchu(1)
f1 opis ruchu fo RBU4AC5YJVXTPTII7P6QAO633K7EHOVWYYLNBAQ
07 Kinematyka i dynamika ruchu obr (2)

więcej podobnych podstron