Tematy przygotowawcze do egzaminu z Algebry Liniowej z Geometrią , I rok FTIMS Informatyka
Liczby zespolone.
Podstawowe struktury algebraiczne: grupy, ciała. Przykłady.
Macierze. Działania na macierzach. Macierz transponowana.
Operacje elementarne na wierszach (kolumnach) macierzy; wierszowa (kolumnowa) równoważność macierzy. Macierze elementarne.
Metoda eliminacji Gaussa. Macierze wierszowo (kolumnowo) zredukowane.
Macierze odwracalne.
Układy równań liniowych. Równania macierzowe AX = B.
Przestrzeń liniowa nad ciałem. Przykłady. Pojęcie podprzestrzeni. Generowanie przestrzeni; liniowa kombinacja wektorów.
Liniowa zależność i niezależność wektorów w przestrzeni liniowej. Baza i wymiar przestrzeni liniowej.
Liniowa zależność i niezależność kolumn macierzy A; związek z układami równań liniowych.
Rząd macierzy.
Homomorfizmy przestrzeni liniowych. Przestrzen Hom(V,V'). Jądro i obraz homomorfizmu. Izomorfizm przestrzeni wektorowych.
Macierz homomorfizmu.
Macierz zmiany bazy. Transformacja macierzy homomorfizmu przy zmianie baz przestrzeni wektorowych.
Macierz złożenia homomorfizmów. Macierze izomorfizmów.
Układy równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capelliego. Fundamentalny układ rozwiązań układu AX = B.
Definicja i podstawowe własności wyznacznika macierzy. Wyznacznik iloczynu macierzy.
Zastosowanie wyznaczników (Macierze odwrotne, twierdzenie Cramera)
Suma i suma prosta podprzestrzeni przestrzeni liniowej.
Twierdzenie o wymiarze sumy.
Rzuty.
Wartości własne i wektory własne macierzy i operatorów liniowych..
Wielomian charakterystyczny macierzy i operatora.
Diagonalizacja macierzy i operatorów liniowych.
Przestrzenie unitarne. Iloczyn skalarny. Ortogonalność.
Rzut ortogonalny.
Ortonormalna baza przestrzeni unitarnej. Ortogonalizacja Grama-Schmidta.
Operatory na przestrzeniach unitarnych. Operator sprzężony.
Operatory hermitowskie (twierdzenie spektralne; diagonalizacja).