Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
ĆWICZENIE NR ...
DRGANIA GI
TNE BELEK
(DRGANIA UKA
ADÓW O CI
GA
YM ROZKA
ADZIE MASY)
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest obserwacja drgań układów o ciągłym rozkładzie parametrów,
pomiar częstości drgań swobodnych poprzez pomiar częstości rezonansowych oraz
porównanie wyników pomiarów z wynikami obliczeń dla modeli belek.
2. Opis stanowiska
Rysunek 1 przedstawia układ pomiarowy, w którym drgania są wymuszone
kinematycznie poprzez ruch podpory. Ruch wymuszajÄ…cy jest realizowany przez
wzbudnik drgań sterowny generatorem drgań harmonicznych.
b x h
l
Wzbudnik
drgań
Wzmacniacz
Generator
Rys. 1. Schemat układu pomiarowego do badania drgań giętnych belek
Laboratorium Drgań Mechanicznych
Bielsko-Biała 2013
oprracowałł Arrkadiiussz Trrąbka
opracował Arkadiusz Trąbka
op acowa A kad u z T Ä…bka
2
DRGANIA UKA
ADÓW O CI
GA
YM ROZKA
ADZIE MASY
Przy częstościach wymuszeń odpowiadających częstościom drgań własnych,
dominować będą odkształcenia belki odpowiadające poszczególnym postaciom
drgań. Pomiar częstotliwości rezonansowych oraz obserwacja postaci drgań pozwala
na wnioski odnośnie drgań swobodnych układu.
3. Zależności obliczeniowe
Rys. 2. Szkic belki wykonującej drgania giętne
Równanie drgań giętych belki o stałym przekroju (rys. 2) ma postać:
EI
Å›ð4 y(x,t) Å›ð2 y(x,t)
c2 =ð
c2 +ð =ð 0
, (1)
rðF
Å›ðx4 Å›ðx2
Stosując metodę Fouriera zakłada się rozwiązania w postaci:
Y(x,t) = Y(x)·T(t) (2)
Po wstawieniu (1) do (2) otrzymuje się układ równań różniczkowych zwyczajnych:
&ð
yIV -ð lð4Y =ð 0
T&ð+ðwð2T =ð 0
(3)
Gdzie:
EI
wð2 =ð lð4
rðF
Rozwiązanie pierwszego z równań (3) ma postać:
Y(x) = A1sinx + A2sinx + A3sinhx + A4coshx (4)
Uwzględniając warunki brzegowe (5) dla belki jednostronnie utwierdzonej (rys. 1):
Y(0) = 0
Y (0) = 0
Y  (1) = 0
Y   (1) = 0 (5)
Laboratorium Drgań Mechanicznych
3
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
otrzymuje się układ równań liniowych, jednorodnych z niewiadomymi A1, A2:
(sinl + sinhl)A1 + (cosl + coshl)A2 = 0
(cosl + coshl)A1 + (sinl - sinhl)A2 = 0 (6)
Warunkiem istnienia niezerowych rozwiązań równań (6) jest zerowanie się
wyznacznika głównego:
(sinl + sinhl) (cosl + coshl)
= 0 (7)
(cosl + coshl) (sinl - sinhl)
Po rozwinięciu wyznacznika (7) otrzymuje się równanie częstości w postaci:
1
coslðl =ð
(8)
coshlðl
którego pierwiastkami są:
1,875 4,694
2n -ð1
lð1 =ð lð2 =ð lðn @ð pð
, , dla n>2
l l 2l
Wartościom n odpowiadają częstości drgań swobodnych:
EI
wðn =ð lð2
n
(9)
rðF
Dla belki o przekroju prostokÄ…tnym mamy:
bh3
I =ð
F =ð bh
,
12
StÄ…d:
Eh2
wðn =ð lð2
n
(10)
12rð
Każdej wartości n odpowiada postać drgań Yn(x):
Yn(x) = A[sinhnx - sinnx - an(coshnx - cosnx)] (11)
gdzie:
sinh lðnl +ð sin lðnl
an =ð
(12)
coshlðnl +ð coslðnl
Laboratorium Drgań Mechanicznych
4
DRGANIA UKA
ADÓW O CI
GA
YM ROZKA
ADZIE MASY
Wykresy pierwszych czterech postaci drgań przedstawiono na rys. 3 (długość l
przyjęto równą 1). Drgania wymuszone ruchami harmonicznymi podpór analizuje się
przyjmując rozwiązania równania (1) jako sumę dwóch funkcji:
y(x,t) = y1(x,t) + y2(x,t) (13)
przy czym rozwiązanie y2(x,t) należy tak dobrać, aby funkcja y1(x,t) spełniała
jednorodne (zerowe) warunki brzegowe. W przypadku harmonicznego ruchu podpory
belki utwierdzonej, funkcję y2(x,t) należy przyjąć w postaci:
y2(x,t) = a sin Ét (14)
Podstawiając rozwiązanie (13) do równania (1) otrzymuje się równanie opisujące
drgania wymuszone ruchem brzegu:
Å›ð4 y1(x,t) Å›ð2 y1(x,t)
2
c2 +ð =ð avð sinvðt
(15)
Å›ðx4 Å›ðt2
Rys. 3. Schemat belki oraz wykresy postaci drgań
RozwiÄ…zania y1(x,t) poszukujemy w postaci szeregu:
Ä„ð
y1(x,t) =ð (t)Yn (x)
(16)
åðxðn
n=ð1
Laboratorium Drgań Mechanicznych
5
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
Prawą stronę równania (15) rozwijamy w szereg funkcji własnych:
Ä„ð
2
q(x,t) =ð (t)Yn (x) =ð avð sinvðt
(17)
åðqn
n=ð1
Po pomnożeniu obu stron równania (17) przez Ym(x) i scałkowaniu w granicach od 0
do 1 oraz wykorzystaniu warunków ortogonalności w postaci:
1
(18)
n
òðY (x)Ym (x)dx =ð 0 dla n Ä…ð m
0
otrzymuje się współczynniki rozwinięcia funkcji q(x,t):
1
2
avð sinvðt (x)dx
n
òðY
0
qn (t) =ð
1
(19)
2
n
òð[ðY (x)]ð dx
0
Podstawiając rozwiązania (16) wraz z rozwinięciem (17) do równań (15) oraz
uwzględniając powtórne warunki ortogonalizacji (18) otrzymuje się układ równań
różniczkowych pozwalajÄ…cy wyznaczyć funkcjÄ™ ¾n(t).
1 1 1
Ä„ð Ä„ð Ä„ð
2
(t)Yn (x)Ym (x)dx +ð xðn (t)Yn (x)Ym (x)dx =ð (t)Yn (x)Ym (x)dx
(20)
åðxðn åðvð n åðqn
òð òð òð
n=ð1 n=ð1 n=ð1
0 0 0
co po uwzględnieniu (18) prowadzi do równań:
2
&ð
xð&ðn (t) +ðwðnxðn (t) =ð qn (t) n =ð1,2,...
(21)
gdzie:
2
wðn =ð c2lð2
n
OznaczajÄ…c:
1
Yn (x)dx
òð
0
Fn =ð
1
[Yn (x)]2 dx
òð
0
można równanie (21) zapisać w postaci:
2
&ð
xð&ðn (t) +ðwðnxð&ðn (t) =ð Fnawð2 sinwðt
(22)
Laboratorium Drgań Mechanicznych
6
DRGANIA UKA
ADÓW O CI
GA
YM ROZKA
ADZIE MASY
którego rozwiązaniem są funkcje:
Fnawð2
xðn (t) =ð sinwðt
(23)
2
wðn -ðwð2
co pozwala wyznaczyć rozwiązanie y1(x,t):
Ä„ð
Fnawð2
y1(x,t) =ð (x)
åðY wðn -ðwð2 sinwðt
n (24)
2
n=ð1
Pełne rozwiązanie równania (15) wynosi:
Ä„ð
Fnawð2
y(x,t) =ð y1(x,t) +ð y2(x,t) =ð (x) sinwðt +ð asinwðt
(25)
åðYn
2
wðn -ðwð2
n=ð1
Z postaci rozwiÄ…zania (25) wynika, że w przypadku gdy czÄ™stość wymuszajÄ…ca ÉH"
Én, współczynnik przy postaci Yn(x) osiÄ…ga wartość zmierzajÄ…cÄ… do ", czyli w
rozwiązaniu będzie dominować postać drgań Yn(x).
Rozważany model belki nie uwzględnia tłumienia. Uwzględnienie tłumienia prowadzi
do jakościowo podobnych zależności, jednak wartości odpowiednich amplitud są
skończone.
4. Przebieg ćwiczenia
·ð Trzykrotnie zmierzyć i zanotować wymiar l przedstawiony na rys. 1;
·ð W trzech równomiernie od siebie oddalonych miejscach trzykrotnie zmierzyć i
zanotować wymiary b oraz h przedstawione na rys. 1 (b jest szerokością, h jest
wysokością belki);
·ð Obliczyć pierwsze cztery czÄ™stoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych belki (na podstawie
zależności 9 lub 10);
·ð Wyznaczyć wartoÅ›ci czÄ™stotliwoÅ›ci drgaÅ„ odpowiadajÄ…ce obliczonym
częstościom;
·ð Obliczyć współrzÄ™dne wÄ™złów dla każdej z czterech postaci drgaÅ„ belki (zgodnie
z zależnościami zamieszczonymi na rys. 3);
·ð ZmieniajÄ…c pokrÄ™tÅ‚em generatora czÄ™stotliwość wymuszenia harmonicznego,
odczytać wartości częstotliwości rezonansowych, przy których dominują postacie
odkształceń przedstawione na rys. 3.
UWAGA - Wartości amplitud sygnału z generatora oraz wzmocnienie
wzmacniacza dobrać tak, aby postacie drgań były dobrze widoczne,
natomiast wzbudnik drgań nie powinien być nadmiernie obciążony.
Laboratorium Drgań Mechanicznych
7
Instrukcje do ćwiczeń laboratoryjnych z Drgań Mechanicznych
Obserwacje pierwszej postaci prowadzić przy najmniejszym wzmocnieniu i
stopniowo je zwiększać przy kolejnych postaciach drgań.
·ð Zanotować czÄ™stotliwoÅ›ci rezonansowe oraz wykreÅ›lić zaobserwowane postacie
drgań. Zmierzyć odległości punktów węzłowych.
·ð Porównać otrzymane wyniki doÅ›wiadczalne z wynikami teoretycznymi
(częstotliwości drgań oraz współrzędne węzłów).
5. Zawartość sprawozdania
·ð Cel ćwiczenia;
·ð Przebieg ćwiczenia (w punktach);
·ð Schemat stanowiska laboratoryjnego (z opisem);
·ð Dane wejÅ›ciowe do przeprowadzanego ćwiczenia;
·ð Zestawienie wyników pomiarów;
·ð PrzykÅ‚adowe obliczenia z podaniem wzorów oraz podstawieÅ„ do wzorów;
·ð Zestawienie wyników obliczeÅ„;
·ð Porównanie wyników;
·ð SporzÄ…dzony w trakcie ćwiczeÅ„ protokół;
·ð Wnioski, spostrzeżenia i uwagi.
Laboratorium Drgań Mechanicznych