Algebra z geometriÄ…
Struktury algebraiczne
4.10.2010
Algebra z geometriÄ…
Kontakt
Szymon Drgas
Pracownia Układów Elektronicznych i Przetwarzania Sygnałów
pokój: 429 BM
email: [e-mail]
Algebra z geometriÄ…
Plan zajęć
1
Struktury algebraiczne
2
Liczby zespolone
3
Działania na macierzach, wznacznik
4
Własności wyznacznika, rozwinięcie Laplace a, odwracanie
macierzy
5
Układy równań
6
Przestrzeń wektorowa, przekszałcenie liniowe
7
Geometria
Algebra z geometriÄ…
Zaliczenie
1
obecność
2
kolokwia
3
aktywność na zajęciach
Algebra z geometriÄ…
Algebra
Algebra jest naukÄ… o strukturach algebraicznych, tzn. o zbiorach
elementów i działaniach zdefiniowanych na tych elementach.
Algebra z geometriÄ…
Pytania dotyczÄ…ce struktur algebraicznych
1
Zbiór liczb zespolonych tworzymy przez rozszerzenie zbioru
liczb rzeczywistych o element spełniający i2 = -1. Które
reguły działań są zachowane w zbiorze liczb zespolonych?
2
Co to jest arytmetyka modularna? Czym właściwie są obiekty i
w jaki sposób są na nich zdefiniowane operacje?
3
Czym są wielomiany? Czy spełniają prawa działań? Co z
macierzami?
4
Czy suma i iloczyn zbiorów zachowują się tak samo suma i
iloczyn liczb?
Algebra z geometriÄ…
Iloczyn kartezjański
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B jest zbiór wszystkich
uporządkowanych par (a, b), w których a " A, b " B. Iloczyn
kartezjaÅ„ski oznacza siÄ™ symbolem A × B:
A × B = {(a, b) : a " A '" b " B} (1)
Algebra z geometriÄ…
Iloczyn kartezjański
Dane sÄ… zbiory zbiory: A = {1, 2, 3, 4} i B = {a, b, c}. Wypisz
elementy zbiorów:
A × A
A × B
Czy A × B = B × A?
Algebra z geometriÄ…
Funkcje
Funkcja f : A B jest podzbiorem f Ä…" A × B takim, że (a, b) i
(a, b ) implikuje b = b . Zbiór A jest nazywany domeną funkcji a B
przeciwdomenÄ….
Funkcja nazywana jest iniekcją (różnowartościową) jeśli a i a są
różnymi od siebie elementami zbioru A i f (a) = f (a ).

Funkcja f nazywana jest suriekcją jeśli f (A) = B, tj. każdy
element b " B odpowiada f (a) dla pewnego a " A.
Funkcja f jest bijekcją jeśli jest równocześnie iniekcją i suriekcją.
Algebra z geometriÄ…
Działanie
Działaniem dwuargumentowym na zbiorze A nazywamy funkcję
ć% : A × A A.
Działanie nazywamy łącznym jeśli:
"a, b, c " A (a ć% b) ć% c = a ć% (b ć% c)
Działanie nazywamy przemiennym jeśli:
"a, b " A a ć% b = b ć% a
Algebra z geometriÄ…
Dodawanie modulo
Dodawanie modulo polega na obliczaniu reszty z dzielenia sumy
liczb.
0 + 1 a" 1(mod5)
2 + 3 a" 0(mod5)
4 + 4 a" 3(mod5)
Algebra z geometriÄ…
Struktury algebraiczne
1
półgrupy
2
grupy
3
pierścienie
4
ciała
5
moduły
6
przestrzenie wektorowe
7
algebry
Algebra z geometriÄ…
Grupa
Para (G, ć%) nazywana jest grupą jeśli spełnione są następujące
aksjomaty:
1
G jest zbiorem a ć% jest działaniem dwuargumentowym.
2
Istnieje element neutralny e " G taki, że e ć% x = x ć% e = x dla
każdego x " G.
3
Działanie ć% jest łączne.
4
Dla każdego x " G istnieje element odwrotny y " G taki, że
x ć% y = y ć% x = e.
Algebra z geometriÄ…
Grupa
Wykaż, że element neutralny e jest określony jednoznacznie oraz,
że dla każdego x " G element odwrotny y jest również określony
jednoznacznie.
Algebra z geometriÄ…
Grupa
Przypuśćmy, że istnieją dwa elementy neutralne: e1 i e2. Co
oznacza, że "a a ć% e1 = e1 ć% a = a oraz
"a a ć% e2 = e2 ć% a = a wtedy:
e1 = e1 ć% e2 = e2.
Przypuśćmy, że y i z są elementami odwrotnymi elementu x
(x ć% y = y ć% x = e oraz x ć% z = z ć% x = e). Wtedy:
y = y ć% e = y ć% (x ć% z) = (y ć% x) ć% z = e ć% z = z
Algebra z geometriÄ…
Grupa
Udowodnij, że grupa G spełnia następujące prawa:
"a, b, c " G b ć% a = c ć% a Ò! b = c oraz
"a, b, c " G a ć% b = a ć% c Ò! b = c
Algebra z geometriÄ…
Grupa
b ć% a = c ć% a
(b ć% a) ć% a-1 = (c ć% a) ć% a-1
b ć% (a ć% a-1) = c ć% (a ć% a-1)
b ć% e = c ć% e
b = c
Algebra z geometriÄ…
Grupa
Pokaż, że w grupie:
-1 -1
(x1 ć% x2)-1 = x2 ć% x1
Algebra z geometriÄ…
Grupa
-1 -1
(x1 ć% x2)-1 = x2 ć% x1
-1 -1
(x1 ć% x2)-1 ć% (x1 ć% x2) = (x2 ć% x1 ) ć% (x1 ć% x2)
-1 -1
e = x2 ć% (x1 ć% x1) ć% x2
-1
e = x2 ć% e ć% x2
-1
e = x2 ć% x2
e = e
Algebra z geometriÄ…
Permutacje
Wzajemnie jednoznaczne odwzorowanie zbioru A = {a1, a2, . . . an}
na siebie p : A A, nazywa siÄ™ permutacjÄ… p tego zbioru.
PermutacjÄ™ przyporzÄ…dkowujÄ…cÄ… elementowi ak, k = 1, . . . , n
element aik, ik = 1, . . . , n co zapisujemy aik = p(ak) oznaczamy
symbolicznie:

a1 a2 . . . an
ai1 ai2 . . . ain

a1 a2 . . . an
i1 i2 . . . in

i1 i2 . . . in
Algebra z geometriÄ…
Mnożenie permutacji
(3, 1, 4, 2) ć% (1, 4, 3, 2) drugi argument działania określa pozycję
liczby z pierwszego zbioru
(3, 1, 4, 2) ć% (1, 4, 3, 2) = (3, 2, 4, 1)
Algebra z geometriÄ…
Mnożenie permutacji
Jaki jest element neutralny dla permutacji 4 elementowych?
Znajdz
element odwrotny dla: (3, 1, 4, 2).
Algebra z geometriÄ…