Blok I: Wyrażenia algebraiczne
Zapisać liczby w postaci
I.1.
7 6 121 1
a) dziesiętnej: , , , ;
4 7 111 250
b*) wymiernej: 0.(7) = 0.777..., 3.14(5), 0.7(35);
1 1
c) wymiernej: ,
1 1
1 + 1 +
1 1
1 + 2 +
1 1
1 + 3 +
2 4
Nie wykonując dzielenia, ocenić, która z liczb ma skończoną (nieokresową) reprezentację dziesiętną:
I.2.
3 3 1 507 1 57
" "
, , , , .
3
8 24 60 320
1+ 2 3 64
Uszeregować liczby w porządku rosnącym (nie używając kalkularora)
I.3.
"
37 1 1
"
a) , , , 2 - 6;
72 Ä„-3
2
" "
3 3
70 3
"
b) 30, Ä„, , , 2 7;
21
3-1
Przekształcić liczby do prostszej postaci
I.4.
2
" "
a) 2 + 3 + 2 - 3 ;
" "
( 24 + 36)2
"
b) ;
16 - 2 12
" " "
c) 6 + 24 - 54
" "
5 - 1 5 + 1
" "
d) + ;
5 + 1 5 - 1
e) (250.75 + 6250.25)(0.2-3/2 - 250.5);


"
1 -1
f) 3431/3 - 7 7 + 71.5 ;
7
"

" " " "
1 - 2

"
g) |2 - 3 3| + |3 - 2 3| , |4 - 7| - |1 - 3 7| , ;

4 - 3 2

" " "
h*) 6 + 4 2, 19 + 8 3, 7 - 2 10;

" " " " " "
i*) 6 - 2 5 + 14 - 6 5, 11 - 4 7 - 29 - 4 7, 8 - 2 15 - 57 - 12 15;

"
3
3 9
6
"
Zapisać liczby za pomocą pojedynczego symbolu pierwiastka z liczby wymiernej, np. = .
I.5.
8
2
" "
5
a) 5 2 ;
" "
3
2 3
"
b) ;
4
5
" "
3
3 18
"
c) ;
6
6
" "
1/3
3
3( 52)2
"
d) ;
5
6
Wykazać, że zachodzą równości
I.6*.

" "
a) 9 - 4 5 + 14 - 6 5 = 1;

" "
b) 11 - 4 7 + 16 - 6 7 = 1;

" "
c) 19 - 8 3 - 7 - 4 3 = 2;

" "
d) 18 - 8 2 - 6 - 4 2 = 2;
Oblicz sumy
I.7*.
1 1 1
" " " " " "
a) + + ;
1 + 2 2 + 3 3 + 4
1 1 1
" " " " " "
b) + + · · · + ;
1 + 2 2 + 3 99 + 100
1 1 1
"
c) " " " " " " " "
+ + · · · + ;
3 3 3 3 3 3
3 3 3
12 + 1 · 2 + 22 22 + 2 · 3 + 32 92 + 9 · 10 + 102
Wykonaj potęgowania
I.8.
"
a) (2x - 3y)2 ;
" "
3
b) (a + a + a)2 ;
"
c) (x + 2 2)3 ;
d) (a + b - 1)3 ;
4

"
e) p + p + p ;
2
"
1
f) a + + a ;
a
Rozłóż podane wyrażenia na czynniki
I.9.
a) 4x2 - 1 ;
b) 9 - 2x2 ;
" "
3 3
c) 2x3 - 3 4x2 + 3 2x - 1 ;
d) a4 - b4 ;
e) x3 + x2 - x - 1 ;
f) x3 - 24 ;
g) a3 + 125b3 ;
h) a2 + b2 - c2 - 2ab ;
i*) x4 + y4 ;
Uprościć podane wyrażenia
I.10.
a) (x + 3y)2 - (x - 3y)2 ;
" "
b) (a - 2 7)(a2 + 28)(a + 2 7) ;
c) (x + 1)3 - (x - 1)3 ;
k - 1 2k
d) · ;
k2 + k k2 - 1
2x 2x - 10
e) + ;
x + 5 x2 - 25
a b
f) + ;
a - b b - a
x + 8 x + 5
g) - ;
x x - 3
h) (x - p)-1 - (x + p)-1 ;
x3 + 3x2 - 2x - 6
i) ;
x2 - 2
1 + x + x2 + x3 + x4
j) ;
1 - x
"
x2 + 1 - x 1
k) - "
;
2
x2 + 1 + x
x2 + 4x + 3
l) ;
x3 + 1
x2 - 1
m) ;
|x + 1|

n) (x + y)2 - 4xy ;

1 - x 3x - 1
o) + . Sprawdzić czy uzyskane wyrażenie jest zgodne z pierwotnym dla x = -0.5.
1 + x 1 - x
Zapisać wyrażenie kwadratowe w postaci kanonicznej
I.11.
a) x2 - 6x + 1 ;
b) 3x2 + 9x ;
c) 10 - 4x - x2 ;
d) 1 + x + x2 ;
e) 6x - x2 ;
f) 2x2 - 7x - 1 ;
g) ax2 + bx + c ;
Zapisać w postaci ułamków prostych
I.12.
x + 1
a) ;
(x + 2)(x + 3)
x
b) ;
1 - x2
3x2 - 2
c) ;
x(x + 1)(x + 2)
2x - 1
d) ;
(x - 2)2
x - 3
e) ;
x2 - x - 6
1
f) ;
(x2 - 1)(x + 1)
2x + 1
g*) ;
(x + 2)3
1
h*) ;
x(x2 + x + 1)
x - 5
i*) ;
(x2 + 1)2
Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną x i doprowadzić wynik do prostszej postaci
I.13.
a) x2 - 2x, x := t + 1 ;
1 2u
b) , x := ;
x + 1 1 - u
x + 1 t
c) , x := ;
x - 2 3t + 1
2x + 3 5y + 3
d) , x := ;
x - 5 y - 2
3 - x 3 - u
e) , x := ;
2x + 1 2u + 1
x + 1 s
"
f) , x := ;
x2 - 4
s + 1
Przekształcić wyrażenia
I.14.
" "
a) ( x2 - 3 - x + 3)2 ;

2x(x2 + 1)-2 x2 + 1

b) · ;
1-x2
x2 - 1
1 -
1+x2

1 x
"
c) 1 - "
;
1 + (x - 1 + x2)2 1 + x2
"
x2
"
1 + 1 + x2 -
1
1+x2
d) · ;
2 2
"
"x
1 + 1 + 1 + x2
1+ 1+x2
" "
"
5 7
x x - 3 x2 + x x3
e) " ;
3
x x
" "
3 4
x - x2 + x x3
f) " " ;
3
x + x x
8


"
g) 1 + 1 + 1 + 1 + x ;
ëÅ‚ öÅ‚3
ìÅ‚ ÷Å‚
1
ìÅ‚ ÷Å‚
h) ;
íÅ‚ 1 Å‚Å‚
1 +
1
"
1+
3
x
Podstawić wskazane wyrażenie za zmienną x i doprowadzić wynik do prostszej postaci
I.15.

"
1 1
a) x2 + 1 , x := t - ;
2 t
"
t2 - 3t + 1
b) 2x2 + 3x + 1 , x := ;
2 - t2
c) x-1/2(1 + x1/4)1/3 , x := (u3 - 1)4 ;
"
4
d) 1 + x5 , x := (t4 - 1)1/5 ;

"

2x2 + 2x x2 + 1 + 1 t

"
e) , x := ;
x2 + 1
1 - t2
Uzasadnij że dla każdej liczby -1 x 5 wyrażenie
I.16.
" "
4x2 + 12x + 9 + 2 x2 - 12x + 36
ma stałą wartość.
W każdym z niżej podanych przykładów znalez
ć takie wyrażenie Ć(t), że po jego podstawieniu w
I.17.
miejsce zmiennej x pozbędziemy się wszystkich pierwiastków, np.
" "
x := t6
3
x + x - t3 + t2 .
" "
4
x x - x
"
a) ;
"
3
x2 + 2 x + 1
" "
5
x + 2 - 3 x2 + 4x + 4
"
b) ;
3
x x + 2 - 1

"
1
3
c) x2 + x2 - 2 - ;
x2 - 2

x x - 2
4

d) + ;
x
x + 1
1 +
x+1

2x + 3 4x - 5
3
e) + ;
4x - 5 2x + 3

"
3
x2 + x2 + 1 - 2
"
f) ;
x2 + 1
Usuń niewymierności z mianownika następujących ułamków
I.18.
1
"
a) ;
5 - 1
"
2
" "
b) ;
3 + 5
" "
3 2 - 7
" "
c) ;
7 - 2
1
"
d) ;
3
5 + 2
7
" "
e) ;
3 3
9 - 6 6 + 36

" "
5 + 3

f*) ;
" "
5 - 3
1
" "
g*) ;
1 + 2 + 3
4
" "
h*) ;
1 + 3 - 5
1
" " "
i*) ;
3 3 3
4 + 6 + 9
Obliczyć
I.19.
3 · 3 · 3 · 3
a)
9 · 9 · 9 · 9
4
1
Odpowiedz
:
3
64
b)
32
Odpowiedz
: 24 · 32
1 1

1 -
x y
x-y
c) 7 dla xy = 1
1
Odpowiedz
:
7
"
x 2
7
(( ) )
"
11
7
( )
d)
7x
711
Odpowiedz
: 711/2
e) Jeśli x = 1014, y = 100.7 i xz = y3 to ile wynosi z?
Odpowiedz
: z = 3/2
Uprościć wyrażenia
I.20.
48x12
a) dla x = 0

16x4
Odpowiedz
: 3x8
x (x5)2
b) dla x = 0

x4
Odpowiedz
: x7
x (x2)4
c) dla x = 0

(x3)3
Odpowiedz
: 1
-3
45x-4y2
d) dla xyz = 0

9z-8
1
Odpowiedz
: · x12y-6z-24
125
Uprościć wyrażenia. Założyć, że wszystkie wykładniki są całkowite, wszystkie mianowniki są różne od
I.21.
zera i że zero nie jest podnoszone do niedodatniej potęgi
a) (xt · x3t)2
Odpowiedz
: x8t
b) (xy · x-y)3
Odpowiedz
: 1
(32x5y3)-2
c)
x4y-6
1
Odpowiedz
:
81x14
d) (ta+x · tx-a)4
Odpowiedz
: t8x
x x
e) mx-b · nx+b mbn-b
2
Odpowiedz
: (m · n)x
2
(3xayb)3
f)
(-3xayb)2
Odpowiedz
: 9x2ay2b
îÅ‚ 2 -2Å‚Å‚-3
xr x2r
ðÅ‚ ûÅ‚
g)
yt y4t
x6t
Odpowiedz
:
y18t
Uprość wyrażenia
I.22.
a) 25/3/47/3
b) 3-8/11(1/9)-4/11
c) 122/3 · 182/3
d) 207/2 · 5-7/2
e) (x3/2 + x5/2)x-3/2
8/3
f) x3/4
g) x5/2(x-3/2 + 2x1/2 + 3x7/2)
"
h) y1/2(1/y + 2 y + y-1/3)
Obliczyć
I.23.
a) |8 · (-3)|
b) |(-2) · (-3)|
c) (-4) · (-5) + 7 · (-2)
Korzystając z wartości bezwzględnej znalez
ć odległości między liczbami a i b na osi liczbowej gdy
I.24.
a) a = -5 i b = -7
Odpowiedz
: 2
b) a = -2 i b = 3
Odpowiedz
: 5
c) a = 8, b = 15
Odpowiedz
: 7
Rozwiąż równania z wartościami bezwzględnymi (modułami):
I.25.
a) |x + 2| = 6 - 2x
Odpowiedz
: x = 4/3
b) |3x - 2| + x = 11
Odpowiedz
: x " {-9/2, 13/4}
c) |x| - |x - 2| = 2
Odpowiedz
: x 2
d) 2|x| - |x + 1| = 2
Odpowiedz
: x " {-1, 3}
e) x2 + |x - 1| = 1
Odpowiedz
: x " {0, 1}
5x + 16
f) |x2 + 4x + 2| =
3
Odpowiedz
: x " {-2, 1}
5
g) |x2 - 6x + 7| = x - 3
3
Odpowiedz
: x " {3, 6}
h) |x + 1| - |x2 - 1| = 0
Odpowiedz
: x " {-1, 0, 2}
i) |x2 - 1| + |x2 - x| = x
" "
Odpowiedz
: x = 2/2 lub x = (1 + 3)/2
j) 2|x + 6| + |x - 6| - |x| = 18
Odpowiedz
: x = -12 lub 0 x 6


k) |x + 1| - 2 = x - 1

Odpowiedz
: x 1
Rozwiąż nierówności z wartościami bezwzględnymi (modułami). Zapisz rozwiązania w formie sumy
I.26.
przedziałów.
a) |5 - 2x| < 1
Odpowiedz
: 2 < x < 3
b) |2x - 4| < x - 1
Odpowiedz
: 5/3 < x < 3
c) x2 - 5|x| + 6 < 0
Odpowiedz
: -3 < x < -2 lub 2 < x < 3
3
d) |x + 2| - |x - 1| x -
2
Odpowiedz
: x 9/2
e) |x2 - 2x| < x
Odpowiedz
: 1 < x < 3
f) |x - 6| > |x2 - 5x + 9|
Odpowiedz
: 1 < x < 3
g) |x - 2| - |x - 1| |x + 1| - 5
Odpowiedz
: -7 x 3
h) |x3 - 1| < x2 + x + 1
Odpowiedz
: 0 < x < 2


1 2

i) <

x + 2 x - 1
Odpowiedz
: x < -5 lub -1 < x < 1 lub x > 1

- 3

5x

j) < 2

2x + 7
Odpowiedz
: -11/9 < x < 17
2 2
x + |x| x - |x|
Udowodnić, że + = x2
I.27.
2 2
Udowodnić, że poniższe nierówności są prawdziwe dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y
I.28.
a) |x + y| |x| + |y|
b) |x - y| |x| - |y|


c) |x| - |y| |x Ä… y| |x| + |y|

Masa neutronu wynosi około 0.00000000000000000000000000167 kg. Zapisać ją w notacji wykładniczej
I.29.
Odpowiedz
: m = 1.67 · 10-27kg
Przepisać z notacji wykładniczej do dziesiętnej
I.30.
a) 7.632 × 10-4
Odpowiedz
: 0.0007632
b) 9.4 × 105
Odpowiedz
: 940000
Najbliższa gwiadza Alfa Centauri znajduje się w odległości około 4.34 roku świetlnego od Ziemi. Rok
I.31.
świetlny to jednostka astronomiczna długości równa odległości jaką przebywa światło w próżni w ciągu
jednego roku zwrotnikowego i wynosi 9.4605 × 1012km. W jakiej odlegÅ‚oÅ›ci od Ziemi liczonej w km i
m znajduje się ta gwiazda. Użyć notacji wykładniczej.
Odpowiedz
: 4.106 · 1013km = 4.106 · 1016m
Odległość Ziemi od Słońca definiuje jednostkę astronomiczną oznaczaną AU i wynosi ona 149 597
I.32.
870 691 ą 30 m. Odległość Plutona od Słońca wynosi 3.95 AU. Wyrazić tę odległość w metrach i
kilometrach.
Odpowiedz
: 5.91 · 1012m = 5.91 · 109km
Jeżeli a jest dokładną wartością a x przybliżoną wartością obliczanej wielkości, to " = |x - a| nazywa
I.33.
siÄ™ bÅ‚Ä™dem bezwzglÄ™dnym a ´ = "/|a| bÅ‚Ä™dem wzglÄ™dnym mierzonej wielkoÅ›ci. Przy pomiarze dÅ‚ugoÅ›ci
10 cm błąd bezwzględny wyniósł 0.5mm, a przy pomiarze odległości 500 km  200 m. Który pomiar
był dokładniejszy? Mówi się, że wielkość x jest wyznaczona z dokłądnością do n cyfr znaczących (i
n-ta cyfra znaczÄ…ca jest rzÄ™du 10k), jeÅ›li bÅ‚Ä…d bezwzglÄ™dny tej wielkoÅ›ci nie przekracza 5 · 10k-1.
Obliczyć ile cyfr znaczących ma wielkość x = 2.3752, jeśli błąd względny tej wielkości wynosi 1%?
I.34.
Wielkość x = 12.125 ma trzy cyfry znaczące. Obliczyć błąd względny x.
I.35.
Boki prostokąta są równe x = 2.50 ą 0.01, y = 4.00 ą 0.02. W jakim przedziale zawiera się pole
I.36.
prostokata? Jaki jest błąd bezwzględny i względny tego pola, jeśli za boki prostokąta przyjąć wartości
średnie?
Masa ciała wynosi m = 12.59 ą 0.01 g a jego objętość jest równa V = 3.2 ą 0.2. Obliczyć gęstość ciała
I.37.
i oszacować błąd względny i bezwzględny, biorąc średnie wartości masy i objętości.
Promień koła wynosi r = 7.2 ą 0.1. Z jakim najmniejszym błędem względnym można obliczyć pole
I.38.
koła jeśli przyjąć Ą = 3.14?
Z jakim błędem bezwzględnym należy zmierzyć boki kwadratu x, gdzie 2m < x < 3m aby mieć
I.39.
możliwość obliczenia pola z dokładnością do 0.001m2?
Oszacować ilość czÄ…steczek powietrza wypeÅ‚niajÄ…cego salÄ™ o wymiarach 5 × 10 × 3 m3. Przyjąć gÄ™stość
I.40.
powietrza 1.3 kg/m3, jego masa czÄ…steczkowa 29 g/mol.
Oszacować ilość czÄ…steczek wody w basenie 25 × 10 × 2 m3. GÄ™stość wody 1 g/cm3, masa czÄ…steczkowa
I.41.
wody 18 g/mol.
Oszacować grubość d kartki papieru trzymanej w rękach książki, której grubość D jest równa 4.4 cm
I.42.
a liczba N zawartych w niej stron wynosi 790.
Oszacować liczbę oddechów i uderzeń serca człowieka w ciągu 70 lat życia. Przyjąć, że częstotliwość
I.43.
oddechów wynosi 16 oddechów na minutę a częstotliwość bicia serca  70 uderzeń na minutę.
Oszacować liczbę atomów w 1 m3 ciała stałego przyjmując, że średnica atomu jest rzędu 10-10 m.
I.44.