2011-09-27
DR ZYGMUNT KASPERSKI
Katedra Matematyki i Zastosowao Informatyki
ALGEBRA Z GEOMETRI
2 godz. wykładów +2godz. ćwiczeń + EGZAMIN
LITERATURA
1. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa I. Definicje,
twierdzenia, wzory, Matematyka dla studentów politechnik, Oficyna
Wydawnicza GiS, Wrocław 2007.
2. T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa I. Przykłady i zadania,
Matematyka dla studentów politechnik, Oficyna Wydawnicza GiS,
Wrocław 2007.
3. M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych, SUPREMUM
2002,
4. R. Grzymkowski, Matematyka dla studentów wyższych uczelni
technicznych, Gliwice 1999,
5. R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej dla studiów
technicznych, WNT Warszawa,1990
6. ----------------------------------------------.
Z. KASPERSKI - t.1 1
ELEMENTY LOGIKI
Def.1. Zdaniem w sensie logiki nazywamy wypowiedz, która jest prawdziwa
albo fałszywa.
Wartości logiczne zdao:
1- wartość prawdziwa
0 -wartość fałszywa
PRZYKAADY:
SPÓJNIKI (OPERATORY) LOGICZNE:
Def.2. Negacją (zaprzeczeniem) zdania p nazywamy zdanie Nie p
lub Nieprawda, że p , co zapisujemy symbolicznie .
Wartość logiczna negacji:
p
p
0 1
1 0
Z. KASPERSKI - t.1 2
1
2011-09-27
Def.3. Koniunkcją(iloczynem logicznym) zdań p oraz q nazywamy zdanie p i
" p Ł q"
q , co zapisujemy symbolicznie .
Wartość logiczna koniunkcji:
p Ł q
p q
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Z. KASPERSKI - t.1 3
Def.4. Alternatywą (sumą logiczną) zdań p oraz q nazywamy zdanie p
" p q"
lub q , co zapisujemy symbolicznie .
Wartość logiczna alternatywy:
p q
p q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
Z. KASPERSKI - t.1 4
2
2011-09-27
Def.5. Alternatywą wykluczającą zdań p oraz q nazywamy zdanie p albo
" p q"
q , co zapisujemy symbolicznie .
Wartość logiczna alternatywy wykluczającej:
p q
p q
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Z. KASPERSKI - t.1 5
Def.6. Implikacją nazywamy zdanie postaci Jeżeli p, to q , co
" p q"
zapisujemy symbolicznie .
Wartość logiczna implikacji:
p q
p q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Z. KASPERSKI - t.1 6
3
2011-09-27
Def.7. Równoważnością zdań p oraz q nazywamy zdanie p wtedy i tylko wtedy, gdy q ,
" p q" " p q"
co symbolicznie zapisujemy lub .
Wartość logiczna równoważności:
p q
p q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Z. KASPERSKI - t.1 7
Def.8. Nazwę (literę) w miejsce której możemy podstawić dowolne zdanie nazywamy
zmienną zdaniową, a wyrażenie zbudowane ze zmiennych zdaniowych i spójników
logicznych nazywamy formułą rachunku zdań.
KOLEJNOŚĆ DZIAAANIA OPERATORÓW LOGICZNYCH:
1.
2. Ł
3. oraz
- ( kolejność ustalają nawiasy)
4.
5.
Def.9. Formułę rachunku zdań, która staje się zdaniem prawdziwym, niezależnie od
tego jakie zdania, prawdziwe czy fałszywe podstawimy za zmienne zdaniowe
nazywamy tautologią lub prawem rachunku zdań.
Z. KASPERSKI - t.1 8
4
2011-09-27
NAJWAŻNIEJSZE TAUTOLOGIE RACHUNKU ZDAC:
(p) p
1. podwójna negacja
p Ł q q Ł p
2. przemienność koniunkcji
p q q p
3. przemienność alternatywy
( p Ł q) (p q)
4. zaprz.koniunkcji prawo de Morgana
( p q) (p Ł q)
5. zaprz.alternatywy prawo de Morgana
( p q) ( p Ł q)
6. zaprzeczenie implikacji
[( p q) Ł (q r)] ( p r)
7. przechodniośc implikacji
[( p q) Ł (q p)] ( p q)
8. związek implikacji z równoważnością
DOWÓD ( SPRAWDZENIE ZEROJEDYNKOWE )
Z. KASPERSKI - t.1 9
Def.10. Zmienną nazywamy dowolną nazwę, np. x, w miejsce której możemy wstawić
dowolny element danego zbioru, np. zbioru D, który nazywamy dziedziną albo
zakresem zmiennej x. Piszemy x D.
Def.11. Warunkiem albo formą zdaniową zmiennej x D nazywamy wypowiedz p(x) ze
zmienną x, która staje się zdaniem, jeżeli w miejsce x wstawimy dowolny element z
dziedziny D.
x1 D1, x2 D2,..., xn Dn
Def.12. Warunkiem (formą zdaniową) wielu zmiennych
p(x1, x2,..., xn )
nazywamy wypowiedz zawierające te zmienne, która staje się
zdaniem jeżeli w miejsce każdej zmiennej wstawimy dowolny element z jej dziedziny.
MAKSYMALNA DOMYŚLNA DZIEDZINA.
Z. KASPERSKI - t.1 10
5
2011-09-27
Zbiór prawdziwości warunku p(x), xD zbiór tych x, które wstawione do p(x) dają
zdania prawdziwe, czyli spełniają warunek.
Zbiór ten zapisujemy na jeden z dwóch sposobów:
{x D : p(x)}
1. czytamy Zbiór xD takich, że p(x) ,
{x : p(x), x D}
2. czytamy Zbiór x takich, że p(x), gdzie x D .
ANALOGICZNIE DLA FORMY ZDANIOWEJ WIELU ZMIENNYCH.
Z. KASPERSKI - t.1 11
KWANTYFIKATORY
"x D
1. Kwantyfikator ogólny: dla każdego x D lub dla dowolnego xD ;
2. Kwantyfikator szczegółowy: $x D istnieje x D ;
$1x D
istnieje dokładnie jeden xD .
ZDANIA ZAPISANE Z POMOC KWANTYFIKATORÓW:
"x D; p(x)
- Dla każdego x D, p(x) (przy dziedzinie domyślnej
"x; p(x)
) ;
$x D; p(x) - Istnieje x D takie, że p(x) (przy dziedzinie domyślnej
$x; p(x)
) ;
PRZYKAADY:
Z. KASPERSKI - t.1 12
6
2011-09-27
Prawa de Morgana dla kwantyfikatorów:
["x D; p(x)] [$x D;p(x)]
1. ;
[$x D; p(x)] ["x D;p(x)]
2. .
PRZYKAADY
Z. KASPERSKI - t.1 13
Zdania zbudowane za pomocą dwóch kwantyfikatorów:
"x"y; x + 3y = 0 - zdanie fałszywe;
1.
"y"x; x + 3y = 0 - zdanie fałszywe;
2.
"x$y; x + 3y = 0 - zdanie prawdziwe;
3.
$y"x; x + 3y = 0 - zdanie fałszywe.
4.
UWAGA: Zmiana kolejności kwantyfikatorów tego samego rodzaju nie zmienia
wartości logicznej zdania.
Można skracać zapisy:
"x Dx"y Dy; p(x, y) "x Dx, y Dy; p(x, y)
$xDx$yDy; p(x, y) $xDx, yDy; p(x, y)
Z. KASPERSKI - t.1 14
7
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykład 5 Elementy logiki i metodologii nauk pdfDr Janusz Maciaszek Elementy Logiki [do egzaminu]elementy bioinformatyki wyklad4Elementy logiki 2 W BuszkowskiFilozofia z Elementami logiki ĆWFilozofia z elementami logikiElementy logikiWyklad ElementyProg 12 08Wykład 8 Elementy diagnostyki technicznejWykład 2 Wybrane zagadnienia dotyczące powierzchnii elementów maszynWM wyklad Elementy plastycznoscKmita Jerzy Wykłady z logiki i metodologi naukwięcej podobnych podstron