Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Elementy teorii plastyczności
WYKA
AD 17
części: A, B, C
Literatura
Rozdz. XIV, str. 227, BIELEWICZ E.: Wytrzymałość materiałów. PG, Gdańsk 1992 (lub inne wydania).
str. 25, CHRÓŚCIELEWSKI J.: Materiały pomocnicze do wykładu z Wytrzymałości Materiałów.
Wersja elektroniczna, http://www.okno.pg.gda.pl.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/1
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Elementy teorii plastyczności
Istota zachowania plastycznego:
" niezależność od czasu � `" f (t), �`" f (t),
" nieodwracalność deformacji plastycznej � ,
pl
" niejednoznaczność opisu
 inny opis obciążenia i odciążenia.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/2
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Krzywa rozciągania (� - � )  podstawa modeli teoretycznych ciała (materiałów)
zakresy:
" liniowo sprężysty ( E , RH =� ),
prop
nieliniowo sprężysty,
" plastyczny  płynięcie ( Rpl =�0a"� ),
pl
wzmocnienie ( EW ),
" utrata stateczności materiału ( Rr =� ),
max
złom,
odkształcenia:
" trwałe  plastyczne � ,
pl
" odwracalne sprężyste �s ;
stany:
" obciążenia materiału,
" odciążenia materiału
w zakresie sprężystym i plastycznym.
Teoretyczne modele ciał (1D), polegają na przybliżeniu rzeczywistej krzywej rozciągania.
Istnieje wiele różnych modeli opisujących zjawisko zachodzące w materiale.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/3
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Model ciała liniowo sprężysty (L S)
krzywa rozciągania model schemat mechaniczny
� = E� sprężyna P =ku
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/4
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Model ciała sztywno  plastyczny (Sz P)
krzywa rozciągania model schemat mechaniczny
Model, dwie fazy: 1. � = 0 dla � < �0a"� (brak odkształceń, materiał sztywny),
pl
2. � > 0 dla � = �0a"� (płynięcie, nieograniczone deformacje),
pl pl
Schemat  ciało sztywne Q na płaszczyz
nie, tarcie Coulomba T = źQ,
dwie fazy: 1. P < T spoczynek,
2. P = T ruch nieograniczony.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/5
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Model ciała idealnie sprężysto  plastyczny (IS P)
krzywa rozciągania model schemat mechaniczny
Model, dwie fazy: 1. � = E� dla � < �0a"� �! �0=� /E (liniowo sprężyste),
pl 0
2. � =�0+� dla � = �0a"� (płynięcie, nieograniczone deformacje),
pl pl
Schemat  sprężyna ( P =ku , P < T ) połączona szeregowo
z ciałem sztywnym na płaszczyz
nie ( P = T ruch nieograniczony).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/6
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Model ciała idealnie sprężysto  plastyczny ze wzmocnieniem
(IS PW)
krzywa rozciągania model schemat mechaniczny
Model: 1. � = E� dla � < � �! �0=� /E (liniowo sprężyste),
0 0
2. obciążenie - � =�0+� i � =�0+ EW(�-�0) � > � ograniczone płynięcie ze wzmocnieniem EW ),
pl 0
3. odciążenie - liniowo sprężyste po położeniu na � a"� ,
0
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/7
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Model ciała idealnie sprężysto  plastyczny ze wzmocnieniem
(IS PW)
krzywa rozciągania model schemat mechaniczny
Schemat  sprężyna ( P =ksus , P < T ) połączona szeregowo z układem równoległym
w postaci: sprężyna kW + ciało sztywne T
P P P
(u = us+uW , P =kzu , = +
kz ks kW
sprężyna kW aktywna przy obciążeniu P > T , dla odciążenia kładzie się T a" P).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/8
Wytrzymałość Materiałów założenia i modele plastyczności
Istnieje wiele innych modeli opisujących zjawisko zachodzące w materiale, np:
krzywa rozciągania model 3 liniowy
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17A/9
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Nośność graniczna
Nośność graniczna przekroju (wielkość lokalna) `
maksymalna siła wewnętrzna (przekrojowa), jaką jest w stanie przenieść przekrój
(osiągnięcie jej wyczerpuje nośność przekroju, następuje nieograniczone płynięcie przekroju).
Nośność graniczna konstrukcji (wielkość globalna)
maksymalne obciążenie zewnętrzne powodujące zniszczenie (katastrofę)
całej konstrukcji lub części konstrukcji (konstrukcja zmienia się w mechanizm,
łańcuch kinematyczny).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/1
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Zniszczenie konstrukcji
statycznie wyznaczalnych �!
nośność graniczna konstrukcji = nośność graniczna przekroju.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/2
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Zniszczenie konstrukcji
statycznie niewyznaczalnych �!
układ zamienia się w łańcuch kinematyczny (mechanizm)
w następstwie przekroczenia nośności granicznej przekroju
w kilku następujących po sobie miejscach.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/3
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Nośność graniczna przekroju
Założenie: ogranicza się do stanów wytężenia tylko z � `" 0 (normalne).
rozciąganie/ściskanie osiowe i mimośrodowe, zginanie proste.
Nośność graniczna przekroju (wielkość lokalna)
maksymalna siła przekrojowa wyznaczana w ramach
modelu materiału idealnie sprężysto plastycznego (IS P).
model IS P schemat mechaniczny
Schemat  sprężyna ( P =ku , P < T ) połączona szeregowo
z ciałem sztywnym na płaszczyz
nie
( P = T ruch nieograniczony).
Model, dwie fazy: 1. � = E� dla � < �0a"� �! �0=� /E (liniowo sprężyste),
pl 0
2. � =�0+� dla � = �0a"� (płynięcie, nieograniczone deformacje).
pl pl
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/4
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Rozciąganie/ściskanie ( N `" 0):
" pręt jednorodny o przekroju A, � = const na A:
Ngr = Nmax = � A
pl
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/5
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Rozciąganie/ściskanie ( N `" 0):
(s) (b)
" pręt zespolony z dwóch materiałów, np. stal ( As,� ), beton ( Ab,� ):
pl pl
(s) (b)
Ngr = � iAs +� iAb ,
pl pl
dla materiałów tylko w zakresie sprężystym (�spr ), było:
�bs Es
�
�b = a" �s = a" � , n = , Ac = Ab + nAs ,
Eb Es Eb
N = �b Ab+� As = Eb Ab� +Es As� = Eb� (Ab + nAs) = �b Ac .
s
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/6
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Rozciąganie/ściskanie ( N `" 0):
Przykład, określić graniczną siłę normalną zespolonego przekroju,
(s) (b)
przyjmując: � = 25MNm-2, � = 2MNm-2 :
pl pl
(s) (b)
Ngr = � iAs + � iAb
pl pl
= 25i5i10-4+ 2i100i10-4 = 32.5 kN
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/7
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Zginanie czyste (tylko M `" 0)
x
nośność graniczna przekroju (całe A "! � ) = przegub plastyczny
pl
materiał o jednakowej wytrzymałości na ściskanie i rozciąganie
mechanizm uplastycznienia przekroju
w stanie równowagi granicznej obowiązuje:
" w strefie ściskanej As,-� ,
pl
" w strefie rozciąganej Ar ,+� ;
pl
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/8
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Zginanie czyste (tylko M `" 0), przegub plastyczny
x
z definicji:
A
N a" � dA = 0 �! -� As+� Ar = 0 �! As=Ar = ,
pl pl
+"
A
2
M
A
gr
s r
1
M a" � ydA = -� As(-cs) +� Arcr = A� (cs+cr ) �! Wpl = = (cs+cr ) = Sx +Sx ,
grpl pl 2 pl
+"
A
� 2
pl
s r
Wpl = Sx +Sx - plastyczny wskaz
nik wytrzymałości,
s r
Sx = Ascs i Sx = Arcr -statyczne momenty pól As i Ar względem osi obojętnej w stanie równowagi granicznej.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/9
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Zginanie czyste (tylko M `" 0), porównanie wskaz
ników wytrzymałości W i Wpl
x
M Wpl
gr
max
równoważne porównaniu Mspr = � W i M = � Wpl �! =
pl gr pl
max
Mspr W
" prostokąt (b� h):
bh2
W = ,
6
A h bh h bh2
Wpl = (c1+c2) c1= c2 = , Wpl = 2� i = ,
2 4 2 4 4
Wpl
=1.5,
W
" koło (r):
Ą r3
W = ,
4
A 4r Ą r2 4r 4
Wpl = (c1+c2), c1 = c2 = , Wpl = 2� i = r3,
2 3Ą 2 3Ą 3
Wpl 16
= =1.7 ,
W 3Ą
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/10
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Zginanie czyste (tylko M `" 0), porównanie wskaz
ników wytrzymałości W i Wpl :
x
" dwuteownik idealny (pasy) " rura cienkościenna (r,� )
Wpl /W =1
Wpl /W =1.27
" dwuteownik " ceownik
Wpl|x /Wx =1.1�1.2, Wpl|y /Wy =1.6 �1.7
Wpl|x /Wx =1.1�1.2, Wpl|y /Wy E" 1.8
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/11
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Rozciąganie/ściskanie ( N `" 0):
M Wpl
gr
Przykład, obliczyć = dla cienkościennego przekroju skrzynkowego:
max
Mspr W
A
Wpl = (c1 + c2) = Ac,
2
A = 4� 0.2i10 = 8cm2,
1
(
2
Sx przekroju) 0.2i10i5 + 2� 0.2i5i2.5
c == = 3.75cm,
1
2
A( przekroju)0.2i10 + 2� 0.2i5
Wpl = 8i3.75 = 30cm3,
1
Jx 2� (0.2i10i52 + 0.2i103) 80
12
W == = cm3;
ymax 53
MWpl 3i30 90
gr
= = = = 1.125.
max
Mspr W 80 80
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/12
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Obszar uplastycznienia belki
1
 przykład, belka swobodnie podparta: L, A = b� h , siła skupiona P w L
2
rozwiązanie:
układ statycznie wyznaczalny, stąd
1 1 1
a) M (z) = Pz , 0 d" z d" L, Mmax = PL ;
2 2 4
b) nośność przekroju a"
nośność konstrukcji,
maksymalny moment sprężysty
S
1
Mmax = � W = � bh2 ,
pl pl
6
bh2 L bh2
siła graniczna z warunku: M =� a" Mmax = Pgr �! Pgr =� ,
gr pl
44pl L
z 2z
równanie zmienności momentu M (z) = Pgr = M ,
gr
2 L
2z
S
1
strefa sprężysta z warunku M (z) = M d" Mmax �! z d" L;
gr
3
L
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/13
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Obszar uplastycznienia belki
S
1
strefa plastyczna z e" L, tutaj Mmaxd" M (z) d" M ;
gr
3
zakres sprężysta po h0(z) d" h, M (z) M �! h0(z) 0,
gr
z warunku
1
2
M (z) = M - 2כ# 1 h0 ś# �# 1 h0 ś#b = M - � h0b,
�
ś#ź#iś# ź#
gr gr pl
pl
12
3 2
�# 2 2 # �# #


wypadkowa z " ramię z "
12 M - M (z)
( )
2z
gr ś#
wynika h0(z) == h 3�#1- ,
ś#ź#
� bL
�# #
pl
2z bh2
gdzie M (z) = M i M =� .
gr gr pl
L 4
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/14
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Materiały o różnej granicy plastyczności
r s
na rozciąganie (� ) i ściskanie (� ), np. beton, cegła, kamień, szkło
pl pl
Przykład stan graniczny przekroju prostokątnego (b� h)
charakteryzują parametry:
s
" w strefie ściskanej -� , As= b� hs ,
pl
r
" w strefie rozciąganej � , Ar = b� hr ,
pl
przy czym h = hs+ hr , A = As+ Ar ;
sr
z warunku: N a" � dA = 0 �! -� bhs+� bhr = 0 �!
pl pl
+"
A
-1 -1
r sr s r
�#ś# �#ś# �#ś# �#ś#
�� � �
hs � pl
pl pl
= �! h = hs+ hr = hs ś#1+ pl ź# = hr ś#1+ pl ź# �! hs = hś#1+ , hr = hś#1+ ,
s rs r s
ś#ź# ś#ź# ś#ź# ś#ź#
ź# ź#
hr � �� � �
pl pl pl pl pl
�# # �# # �# # �# #
-1
s
�#ś#
�
1
sr s r s
z definicji: M a" � ydA = � Ss+� Sr = � bhs i1 (hs+h ) = � bhr i1 (hs+h ) = � bh2 ś#1+ pl ź# ,
gr pl pl pl 22 pl
pl
r
+"
A ś#ź#
r r

2 �
pl
�# #
wz osi zerowej stanu gr. wz środka ciężkości pola Ar wz środka ciężkości pola As
2
11 11
gdzie Ss= Ashs= bhs , Sr = Arhr = bhr2 , momenty statyczne pól As , Ar wz osi obojętnej w stanie granicznym.
22 22
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/15
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Przekrój zespolony z dwóch różnych materiałów ((B)) i ((S))
Przykład, stan graniczny przekroju prostokątnego (b� h), materiały symetryczne w ściskaniu i rozciąganiu
(B) (B)r (B)s (S ) (S )r (S )s (B) (S )
� a"� =� , � a"� =� i � < � ;
pl pl pl pl pl pl pl pl
pola z materiału:
(B) A(B)= bh(B) ,
h(B) > h(S ) ,
(S) A(S )= bh(S ) ;
(B) (B) (B) (B) (S ) (B)
z warunku: N a" � dA = 0 �! -� As +� Ar +� A(S )= 0 �! hs i hr(B) , stad
pl pl pl
+"
A
(B) (B) (B) (B) (S )
z definicji: M a" � ydA = � Ss +� Sr +� S(S ) ,
gr pl pl pl
+"
A
(B) (B) (B) (B) (B) (B)
11 11
gdzie Ss = Ashs = b(hs )2, Sr = Arhr = b(hr )2 i S(S )= A(S )i(hr(B)+1 h(S ))
22 22 2
momentami statycznymi odpowiednich pól względem osi obojętnej w stanie granicznym.
Uwaga. W przypadku materiałów symetrycznych, tj. o tych samych własnościach na ściskanie i rozciąganie,
graniczna nośność zespolonego przekroju zginanego M nie zależy od zwrotu momentu ąM .
gr
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/16
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Przekrój zespolony z dwóch różnych materiałów ((B)) i ((S))
rs
niesymetrycznych (� `" � )
pl pl
Przykład, stan graniczny żelbetowego przekroju prostokątnego (b� h),
(B)r (B)s (S )
(B)  beton niesymetryczny � `" � , (S)  stal symetryczna, � ;
pl pl pl
(B)r
założenie: w stanie granicznym beton nie pracuje na rozciąganie (� =0, zarysowanie);
pl
pola z materiału:
(B) (B)
(B) As = bhs ,
(B)
hs < h,
(S) A(S ) ;
(B)s (B) (S ) (B) (B)
z warunku: N a" � dA = 0 �! -� bhs +� A(S ) = 0 �! hs i c(S ) = h - hs - c(t),
pl pl
+"
A
(B)s (B) (S ) (B) (B) (B)
11
z definicji: M a" � ydA = � Ss +� A(S )c(S ), gdzie Ss = Ashs = b(hs )2.
gr pl pl 22
+"
A
Uwaga. W przypadku materiałów niesymetrycznych, tj. o różnej odporności na ściskanie i rozciąganie,
graniczna nośność zespolonego przekroju zginanego M zależy oczywiście od tego czy dany
gr
materiał jest ściskany czy rozciągany (tj. od zwrotu ąM ).
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/17
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
rs
Materiały o silnie zróżnicowanych granicach plastyczności (� <<� )
pl pl
r
i ograniczonych odkształceniach (�gra"�gr )
Praca betonu w konstrukcji żelbetowej wskazuje, że w przypadku rzeczywistych materiałów, w których jest
rs
duże zróżnicowanie � <<� może pojawić się konieczność ograniczenia odkształceń przy rozciąganiu do
pl pl
r
pewnej wartości �gra"�gr , która decydować będzie o nośności granicznej przekroju.
Przykład stan graniczny przekroju prostokątnego (b� h)
" strefa ściskana
s
-� , As= b� hs ,
pl
" strefa rozciągana
r r
� , � d" �gra"�gr ,
pl
Ar =bhr =b(h - hs);
" przyjmując współrzędną y od osi obojętnej w stanie granicznym w dół (tj. �|y=h =�maxa"�gr ),
r
y hs hs
" na podstawie hipotezy Bernoulliego odkształcenia wyniosą: � (y) = �gr , �|y=h = �min = -�gr = -�gr ;
s
hr hr h - hs
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/18
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Przykład cd.
rs
" zakładając dla przypadku � <<� uproszczony model rozkładu naprężeń w stanie granicznym, obowiązuje:
pl pl
y
w strefie ściskanej liniowa sprężystość � (y) = E� ( y) = E�gr , hs d" y d" 0
h - hs
r
uplastycznienie całej strefy rozciąganej � (y)=� =const , 0 d" y d" hr , hr = h - hs ;
pl
hs 1
r
z warunku: N a" � dA = 0 �! -bE�gr hs + b� (h - hs ) = 0 �!
pl
+"
A
h - hs 2
rr
� - � E�gr/ 2
pl pl
rr r
hs2(� - E�gr/ 2) - hs 2� h +� h2=0 �! hs = h.
pl pl pl
r
� - E�gr/ 2
pl
rr
2 1 1
z definicji: M a" � ydA = b� (h - hs)i[1 (h - hs) + hs] = b� hr (h + hs ),
grpl 23 2 3
pl
+"
A
(wz pkt. wypadkowej ze strefy ściskanej);
r
1
dla betonu lub cegły przyjmuje się w przybliżeniu M E" � bh2 .
gr 4 pl
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/19
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
 stan złożony siła normalna N i moment zginający M
Założenia:
" przekrój o pionowej osi symetrii w płaszczyz
nie zginania (b = b(y)),
" materiał o jednakowej granicy plastyczności � na ściskanie i rozciąganie,
pl
" przyjmuje się nowy układ (x, y) pokrywa się z osią symetrii i osią obojętną stanu granicznego czystego zginania
s r
(tj. M `" 0 i N = 0, As=Ar = A/ 2 �! położenie oś x , cs=2Sx/ A i cr =2Sx/ A),
" transformacja M = M + Na , w nowym (x, y) siła N `" 0 działa na mimośrodzie a = yC ,
x
" � jest przesunięciem osi obojętnej stanu granicznego rozciągania mimośrodowego (M , N`"0) w nowym (x, y),
x
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/20
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
z warunków:
�
� dA a" N �! 2� b(y)dy = N ,
pl
+" +"
A 0
y� dA a" M = M + Na �!
x
+"
A
�
1
�! � A(cs+cr ) - 2� yib(y)dy = M + Na,
2 pl pl
+"
0
1
dzieląc przez Ngr =� A lub M = � Wpl = � A(cs + cr ),
pl gr pl pl
2
�
N 2
otrzymuje się: = bdy ,
+"
0
Ngr A
� � N
�# ś#
M 2 Na M 2
=1- yibdy - =1- (y + a)ibdy =1- f
�!
ś# ź#
+" +"
Ngr
M Wpl 0 � WplMWpl 0
gr pl gr �# #
N N � �
�# ś# �# ś#
M 2
ostatecznie: + f =1, gdzie f = (y + a)ibdy, N = 2� bdy, Ngr =� A;
ś# ź# ś# ź# pl pl
+" +"
0 0
Ngr Ngr Wpl
M
gr �# # �# #
funkcja f (N / Ngr ) zależy od kształtu przekroju, pośrednio wymagane jest wyznaczenie � .
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/21
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
Przykład, wyznaczyć funkcję f (N / Ngr ), prostokąt (b� h) (przekrój bisymetryczny),
1 1 1
�! A = bh, | cr | = | cs | = h, Wpl = A(cs+cr ) = 2� (1 bhi1 h) = bh2
4 22 4 4
2
2
�# ś#
�
N 22 � � 1 N
�# ś#
= bdy = b� = 2 = ,
�!
ś# ź#
ś# ź#
+"
0 ś#
Ngr A bh h h 4 Ngr ź#
�# #
�# #
2
2
�# ś#
�
MN
22 �
2
a = 0, =1- (y + a)bdy = 1- i1 b� = 1- 4 =1-
�!
ś# ź#
+"
1
ś# ź#
MWpl 0 bh2 2 h2 Ngr
gr 4
�# #
2 2
�# ś# �# ś#
MN N
prostokąt (b� h) + = 1, f = .
ś# ź# (N / Ngr ) ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
MNgr Ngr
gr
�# # �# #
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/22
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
Przykład, wyznaczyć funkcję f (N / Ngr ), dwuteownik idealny (pasy bez środnika, przekrój bisymetryczny),
1 1
niech grubość t �! A = 2bt , |cr| = |cs| = h, W =Wpl = A(cs+cr)=2� (bti1 h)=tbh
2 22
�
N 22 �
1
= bdy = b� = , gdzie � "[1 (h - t), (h + t)],
22
+"
0
Ngr A 2bt t
1
wobec a = 0 i przybliżenia y = h,
2
�
M 22 N
�
=1- (y + a)bdy =1- i(1 h)b� =1- = 1- �! .
2
+"
M Wpl 0 tbh Ngr
t
gr
M N N
dwuteownik idealny +=1, f = .
(N / Ngr )
M Ngr Ngr
gr
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/23
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
N
�# ś#
M
warunek na nośność graniczną + f =1 zależy od kształtu przekroju, np:
ś# ź#
Ngr
M
gr �# #
1. prostokąt,
2. dwuteownik,
3. dwuteownik idealny.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/24
Wytrzymałość Materiałów nośność graniczna przekroju
Mimośrodowe rozciąganie/ściskanie
Przykład, zbadać czy przekrój prostokątny b = 2cm, h = 20cm, � = 250MPa ,
pl
przeniesie obciążenie M = 40kNm i N = 300kN ;
2 2
�# ś# �# ś#
MN N
prostokąt (b� h) + = 1, f =
ś# ź# (N / Ngr ) ś# ź#
ś# ź# ś# ź#
MNgr Ngr
gr
�# # �# #
1 1 1
�! A = bh, | cr | = | cs | = h, Wpl = A(cs+cr ) = 2�(1 bhi1 h) = bh2
4 22 4 4
Ngr =� A = 250i0.02i0.2 =1MN =1000kN ,
pl
M = � Wpl = 250i1i0.02i(0.2)2 = 0.05MNm = 50kNm
gr pl 4
2
�# ś#
MN
stąd + = 1 �!
ś# ź#
ś# ź#
MNgr
gr
�# #
2
�# ś#
MN40 3002
+ = + = 0.8 + 0.09 <1 �! przeniesie.
ś# ź#
ś# ź#
MNgr 50 10002
gr
�# #
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17B/25
Wytrzymałość Materiałów złożone stany naprężenia
Złożone stany naprężeń (PSN, PSO, symetria osiowa, przestrzenny stan naprężenia),
Uogólnione
pojęcie granicy plastyczności � z jednoosiowego stanu naprężenia zostaje uogólnione
pl
na stan przestrzenny przez
hipotezy wytrzymałościowe
w postaci
warunku uplastycznienia
na podstawie którego budowana
jest teoria plastyczności.
" W przypadku hipotezy Hubera Misesa Hencky ego (HMH) warunek plastyczności w PSN ma postać
2 2 2 2
� +� -� � + 3� =� ,
x y x y xy pl
interpretuje on, występujący po lewej stronie równości,
złożony stan naprężenia (� ,� ,� ) w terminach
x y xy
jednoosiowego stanu naprężenia (� , granicy plastyczności),
pl
występującym po stronie prawej.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17C/1
Wytrzymałość Materiałów złożone stany naprężenia
Koncepcje
kolejne założenia, różnicujące teorię plastyczności na dwie grupy,
dotyczą opisu zachowania się materiału po przejściu w stan plastyczny, wyróżniamy tu:
odkształceniowa teoria plastyczności
formułującą (plastyczne) prawa konstytutywne (fizyczne) pomiędzy
całkowitymi naprężeniami i całkowitymi odkształceniami,
tak jak w sprężystości (teoria ta jest istotnie ograniczona, ma raczej znaczenie historyczne, wykorzystywana jest
w rozwiązaniach analitycznych),
teoria plastycznego płynięcia
przyjmującą (plastyczne) prawa konstytutywne (fizyczne) pomiędzy
prędkościami (przyrostami) naprężeń i prędkościami (przyrostami) odkształceń.
" Badania nośności konstrukcji w złożonych stanach naprężenia, ze względu na ich wysoki stopień
skomplikowania powodowany nieliniowością (fizyczną) problemu, należą do jednych z trudniejszych zadań
mechaniki ośrodków ciągłych i w ogólnym przypadku wymagają stosowania metod numerycznych.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17C/2
Wytrzymałość Materiałów złożone stany naprężenia
1
2 2 2 2
Skręcanie swobodne � = � = 0, � =� `" 0, � +� -� � + 3� = � �! � = �
x y xy x y x y xy pl pl pl
3
Przykłady, pełnościenny przekrój kołowy (r),
Ms
max
zakres sprężysty � (�) = �, �max =�|� = r =� , maksymalny moment skręcający Ms spr=� i1 Ą r3=� iWs ,
pl pl pl
2
J0
r 2Ą
stan graniczny dMs gr=� � dA, dA= �d�dĆ, Ms gr= dMs gr =� i �2d� d� =� i2Ą r3=� iWs pl ,
pl pl pl 3 pl
+" +" +"
A 00
2 1 1
uwaga Ms gr=� Ą r3 = 2(1 Ą r2 pl ) = 2( )=2V ; gdzie V = Ah jest objętością stożka
Ah
pl 33 ir� 3 3

A
V
h
o podstawie pola przekroju poprzecznego A = Ą r2 i wysokości h = r tg� ,
tutaj tg� =� , � jest kątem nachylenia tworzącej do podstawy stożka;
pl
Ms gr Ws pl 4
== =1.(3).
max
Ms spr Ws 3
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17C/3
Wytrzymałość Materiałów złożone stany naprężenia
Skręcanie swobodne � `" 0, � = � / 3
pl pl
Przykłady, przekrój kwadratowy (a � a).
max
zakres sprężysty Ms spr=� iWs=� i0.208a3 ,
pl pl
1
stan graniczny Ms gr=2iV = � a3=� iWs pl , gdzie
pl pl
3
11
V = Ah = � a3 objętość ostrosłupa o nachyleniu ściany tg� =� ,
pl
36 pl
11 1
stąd wysokości h = a tg� = a � i podstawie A = a2 zatem, Ws pl = a3;
pl
22 3
Ms gr Ws pl 1/3
== E" 1.60.
max
Ms spr Ws 0.208
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17C/4
Wytrzymałość Materiałów złożone stany naprężenia
Skręcanie swobodne � `" 0, � = � / 3
pl pl
Przykłady, wąski przekrój prostokątny (h״ , h>>� , A= h� , grubość � a" b );
2
1
zakres sprężysty Ws= h� ,
3
11 11
stan graniczny h = � tg� = � � �! V E" Ah = � a3,
pl pl
22 24
2
1
stąd Ws pl = h� ;
2
Ws pl
=1.5.
Ws
Przykłady, cienkościenny przekrój zamknięty o stałej grubości � = const ,
max
uwaga: Ms gr= Ms spr
bowiem � jest stałe na grubości ścianki
i dla � = const w całym przekroju, stąd
Ws pl
=1.
Ws
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów W17C/5
Wytrzymałość Materiałów Budownictwo, Rok II, Semestr III
Dziękuję za uwagę
cdn.
WILiŚ Politechnika Gdańska
Jacek Chróścielewski, Katedra Mechaniki Budowli i Mostów