Pękanie - uzupełnienie
Metoda Williamsa (1952)
Rozkład naprężeń dookoła karbu (nacięcia)
n +1
Ś r,Ń =
( )
"r fn (Ń)
n
Parametr (n +1) określa się na podstawie warunków brzegowych
Funkcja fn - będzie określona na podstawie obciążenia
Wstawiając funkcje Ś r,Ń do równań
( )
1 "Åš 1 "2Åš
Ãr = +
r "r r2 "Ń2
"2Åš
ÃŃ =
"r2
1 "Åš 1 "2Åš " 1 "Åš
ëÅ‚ öÅ‚
ÄrŃ = -= -
ìÅ‚ ÷Å‚
r2 "Ń r "r"Ń "r r "Ń
íÅ‚ Å‚Å‚
Otrzymamy:
n -1
Ãr =
"r îÅ‚ fn2 2 (Ń) +(n +1) fn (Ń)ûÅ‚
ðÅ‚Å‚Å‚
n
n -1
ÃŃ =
"r îÅ‚n (n +1) fn (Ń)ûÅ‚
ðÅ‚Å‚Å‚
n
n -1
ÄrŃ = - n fn Ń
"r 2 ( )
n
Zapiszemy poszczególne składowe
1 "2 2
n -3
Ãr +ÃŃ =
( )
"r îÅ‚ fnIV +(n +1) fn2 2 Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
r2 "Ń2
n
1 " 2
n -3
Ãr +ÃŃ =
( )
"r (n -1)îÅ‚ fn2 2 +(n +1) fn Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
r2 "r
n
"2 2
n -3
Ãr +ÃŃ =
( )
"r (n -1)(n - 2)îÅ‚ fn2 2 +(n +1) fn Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
"r2
n
i porządkując wyraazy sprawdzimy, że:
"2 Ãr +ÃŃ =
( )
22 2
n -3
îÅ‚
2 2 2 2 Å‚Å‚
= n îÅ‚
( -1 fn + n +1 fn Å‚Å‚ + fnIV + n +1 fn ûÅ‚ = 0
) ( ) ( )
"r { }
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚
n
Możemy zapisać, że wyrażenie w nawiasie musi się zerować:
2 2 22
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
2 2
fnIV + n -1 + n +1 fn + n -1 n +1 fn = 0
( ) ( ) ( ) ( )
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 1
Można uzasadnić, że warunek będzie spełniony dla następującej funkcji trygonometrycznej
fn Ń = An cos n +1 Ń + Bn cos n -1 Ń +
( ) ( ) ( )
+ Cn sin n +1 Ń + Dn sin n -1 Ń
( ) ( )
gdzie pierwsze dwa składniki opisują zniszczenie I typu (Mode I)
a pozostałe dwa składniki zniszczenie II typu (Mode II)
Wyznaczenie stałych
ÃŃ Ä…Ä…)
= 0
(
ÄrŃ Ä…Ä…)
= 0
(
lub
fn Ä…Ä…)
= 0
(
2
fn Ä…Ä…)
= 0
(
An cos n +1 + Bn cos n -1 Ä…
( )Ä… ( )Ä…
Ä…Cn sin n +1 Ä… Dn sin n -1 = 0
( )Ä… ( )Ä…
Ä…An n +1 sin n +1 Ä… Bn n -1 sin n -1 +
( ) ( )Ä… ( ) ( )Ä…
+Cn n +1 cos n +1 + Dn n -1 cos n -1 = 0
( ) ( )Ä… ( ) ( )Ä…
Możemy rozdzielić równania:
An cos n +1 + Bn cos n -1 = 0
( )Ä… ( )Ä…
An n +1 sin n +1 + Bn n -1 sin n -1 = 0
( ) ( )Ä… ( ) ( )Ä…
Cn sin n +1 + Dn sin n -1 = 0
( )Ä… ( )Ä…
Cn n +1 cos n +1 + Dn n -1 cos n -1 = 0
( ) ( )Ä… ( ) ( )Ä…
i wyznaczyć stałe
Ogólna postać (Nemitz 1998)
n="
KÄ…
(n)
Ãij = fij(1)Ä… ( )
Ń + r(n-2)/2 fij(n)ą ( )
Ń
"CÄ…
2Ä„ r
n=2
gdzie
 funkcja fij(n)ą jest uniwersalną funkcja kąta niezależną ani od geometrii próbki, ani od zewnętrznego obciążenia,
 indeksy i, j = 1, 2, 3, wskazują na odpowiednią składową wielkości tensorowej lub wektorowej w układzie
współrzędnych {xi} ,
 indeks ą = I, II, III oznacza sposób obciążenia próbki, r jest odległością od wierzchołka szczeliny,
(
 współczynniki Ka i Cąn) zależą od geometrii próbki oraz od zewnętrznego obciążenia.
W powyższym wyrażeniu pierwszy człon staje się dominującym ze względu na swój osobliwy charakter, gdy
zbliżamy się do wierzchołka szczeliny.
Drugi człon nie zależy od od1egłości, pozostałe zaś maleją do zera, gdy r 0 . Zazwyczaj w mechanice pękania
pozostawia się jedynie dwa pierwsze człony w rozwinięciu.
Najczęściej jednak analizę prowadzi się z wykorzystaniem jedynie członu pierwszego, zapisując wyrażenie dla
określenia naprężeń przed wierzchołkiem szczeliny w postaci
KÄ… Ä…
Ãij = fij Ń + ... + O r0
( )
( )
2Ä„ r
skalarny współczynnik Ka ( KI , KII , KIII ), jest zwany współczynnikiem intensywności naprężeń.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 2
Wymiar ten zależy nie tylko od ksztaÅ‚tu tarczy i rysy, ale także od ciÄ…gliwoÅ›ci (ductility) czyli stosunku KIC / ÃP
materiału, z którego wykonana jest tarcza.
à a
Warunek = 1- oddziela zniszczenie plastyczne od kruchego pęknięcia (czarna linia na rysunku).
à h
P
Przykład tarczy z rysą
Powyżej s = s0 ;ð 0.54 nie ma kruchego pÄ™kania
Przykład belki z karbem
Inne porównanie dla belki z karbem i różnych wysokości belki i karbu
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 4
Porównanie współczynnika intensywności naprężeń dla różnych materiałów
Table 20.1
Strength Toughness Brittlenes
à (MN / m2 ) KIC (MN / m3/2 ) ÃP / KIC (m-1/2 )
P
Concrete 3.57 1.96 1.8
Aluminium 500 100 5
Plexiglass 33 5.5 6
Glass 170 0.25 680
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 5
Uplastycznienie wierzchołka rysy (Irwin, 1960)
Naprężenia
KI ŃŃ
ëÅ‚1+ öÅ‚
Ã1 = cos sin
ìÅ‚÷Å‚
22
2Ä„ r íÅ‚Å‚Å‚
KI Ń
ëÅ‚1- Ń
öÅ‚
Ã2 = cos sin
ìÅ‚÷Å‚
22
2Ä„ r íÅ‚Å‚Å‚
Wstawiamy do kryterium Misesa (H-M-H)
222
2
Ã1
( -Ã2 + Ã2 -Ã1 + Ã3 -Ã1 = 2Ã
) ( ) ( )
p
Otrzymamy promień strefy plastycznej
 dla PSN:
2
ëÅ‚
1 KI öÅ‚ 3
ëÅ‚öÅ‚
rp Ń = sin2 Ń +1+ cosŃ
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4Ä„ Ã 2
íÅ‚Å‚Å‚
p
íÅ‚ Å‚Å‚
 dla PSO:
2
ëÅ‚
1 KI öÅ‚ 3 2
îÅ‚
rp Ń =
( ) ( ) ( )Å‚Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚2 sin2 Ń + 1- 2½ 1+ cosŃ śł
ìÅ‚ ÷Å‚
4Ä„ Ã
ðÅ‚ûÅ‚
p
íÅ‚ Å‚Å‚
Zasięg strefy wzdłuż rysy wyniesie:
 dla PSN:
2
ëÅ‚
1 KI öÅ‚
rp Ń =
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
4Ä„ Ã
p
íÅ‚ Å‚Å‚
 dla PSO:
2
ëÅ‚
1 KI öÅ‚
rp Ń = dla ½ = 1/ 3
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
ìÅ‚ ÷Å‚
18Ä„ Ã
p
íÅ‚ Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 6
Kształt stref plastycznych
Materiał zachowuje się inaczej w przypadku PSN i PSO:
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 7
Wyznaczenie warunków kruchego pękania:
2
KI KIC 1 KIC
ÃP = rPC =
à =
y
2
2Ä„ ÃP
2Ä„ r 2Ä„ rP
Porównując zakreskowane pola otrzymamy rozmiar uplastycznienia w chwili propagacji rysy
2
1 KIC
aPC =
2
Ä„ ÃP
Kruche pÄ™kanie nastÄ…pi gdy aPC =ð a oraz aPC =ð h
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 10  str. 8