Pękanie  zastosowanie funkcji Airy
Historia (przykłady):
Statki  Liberty wybudowane w okresie 2. Wojny Światowej. Z 5000 jednostek zniszczeniu uległo 1/5.
Point Pleasant Bridge West Virginia, 1967.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 1
Materiał plastyczny i kruchy  rozciąganie i udarność
Wpływ temperatury na energię pękania
Zwykła stal Szkło
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 2
Efekt skali:
1  Zachowanie kruche
2  Zachowanie plastyczno  kruche
3  plastyczne
Rozciąganie  materiał kruchy  osłabienie
Energia pękania  wielkość obiektywna
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 3
Mechanika pękania
 rozwój (propagacja) istniejącej rysy
Kirsch (1898) Inglis (1913)
Griffith, A.A. (1921)  The phenomena of rupture and flow in solids , Philosophical Transactions oft/se Royal
Society of London A221, 163  198
 If the strength of this glass, as ordinarily interpreted, is not constant, on what does it depend? What is the greatest
possible strength, and can this strength be made for technical purposes by appropriate treatment of the material?
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 4
Rodzaje rys:
I typ otwarcia (opening mode)
II typ ścinania (sliding mode)
III typ rozrywania (tearing mode)
Pojęcia:
 wytrzymałość materiału,
 plastyczność,
 kruchość,
 energia pękania.
Czy plastyczność może być własnością materiału skoro zależy od wymiarów próbki ?
Zasadnicze pytania mechaniki pękania
" Jaka jest nośność konstrukcji po ujawnieniu rysy danej wielkości?
" Jaka maksymalna wielkość rysy jest dopuszczalna poddanym obciążeniem?
" Jaka liczba cykli jest konieczna do wzrostu rysy od wielkości początkowej (np. minimalnej wykrywalnej) do
wielkości końcowej (krytycznej)?
" Jaki jest maksymalny dopuszczalny przedział czasowy pomiędzy inspekcjami zapewniający, że maksymalna nie
wykryta rysa nie wzrośnie do wartości krytycznej?
Wzory mechaniki pękania
Westergaard (1939)
Muskhelishvili (1933)
Metoda Westergaarda (1939)
Funkcja Airy Åš= U1 + xU2 + yU3
Musi spełniać równanie "4Ś= 0
Poszczególne składniki:
Dla kolejnych składników:
"4U1 = "2 "2U1 = "2 0 = 0
( )
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 6
ëÅ‚öÅ‚
"2 "2
"2 xU2 = + xU2
( ) ( )
ìÅ‚
"x2 "y2 ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
"2 " "
îÅ‚
xU2 = =+ x = 2 + x
( ) ( )Å‚Å‚ " îÅ‚U "U2 Å‚Å‚ "U2 "2U2
2
ïÅ‚"x xU2 śł ïÅ‚ śł
"x2 "x "x "x "x "x2
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
"2 "2U2
xU2 = x
( )
"y2 "y2
"2U2
"2 xU2 = 2 + x"2U2
( )
"x
Funkcja U2 jest funkcją harmoniczną, a więc
"2U2
"2 xU2 = 2
( )
"x
WykorzystujÄ…c operator Laplaca:
"U2 "
"2 xU2 = "2 ëÅ‚2 öÅ‚ = 2 "2U2 = 0
( )
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
"x "x
íÅ‚ Å‚Å‚
W podobny sposób można wykazać, że
"4 yU3 = 0
( )
Wprowadzamy funkcję Z z o następujących własnościach
( )
(oryginalne oznaczenia Westergaarda)
dZ dZ dZ
2
= Z, = Z, = Z
dz dz dz
dZ dZ "z
= = Z
dx dz "x
Na tej podstawie definiujemy odpowiednio części rzeczywiste
i urojone funkcji
dZ dZ "z
= = iZ
dy dz "y
""Z
Re Z = Re = Re Z
dx "x
""Z
Re Z = Re = - Im Z
dy "y
""Z
Im Z = Im = Im Z
dx "x
""Z
Im Z = Im = Re Z
dy "y
Ostatecznie zdefinujemy następującą funcję Airy (pierwsza hipoteza Westergaarda):
1
ÅšI = Re ZI + y Im ZI + B y2 - x2
( )
2
Oznaczenie I  rozwiązanie jest symetryczne względem osi x, wszystkie składniki są hormoniczne
Kolejno wyznaczymy:
"ÅšI
= Re ZI + y Im ZI - Bx
"x
"ÅšI
= y Re ZI + By
"y
Wtedy naprężenia:
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 7
limà = Ã
y
z"
limÄ = 0
xy
z"
B = Ã k -1 / 2
( )
Ostatecznie otrzymamy:
KI = Ã Ä„ a
Współczynnik zależy od naprężeń w nieskończoności prostopadłych do pęknięcia w połowie długości pęknięcia.
WprowadzajÄ…c
à x,0 = à k -1 for - a < x < a
( ) ( )
x
Uzyskamy bardziej ogólną postać współczynnika:
1 2
Ä„ a
ëÅ‚sec öÅ‚
KI = Ã Ä„ a
ìÅ‚ ÷Å‚
2h
íÅ‚ Å‚Å‚
Informacje o warukach brzegowych wystepują wyłącznie we współczynniku intensywności naprężenia.
Przykładowo dla rozciąganego pręta:
Pl a
ëÅ‚ öÅ‚
KI = f
÷Å‚
th3 2 ìÅ‚ h
íÅ‚ Å‚Å‚
A dla belki z nacieciem:
3 2 5 2 7 2 9 2
a1 2 aaaa
a
ëÅ‚ öÅ‚
f = 2.9ëÅ‚ öÅ‚ - 4.6ëÅ‚ öÅ‚ + 21.8ëÅ‚ öÅ‚ - 37.6ëÅ‚ öÅ‚ + 38.7ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
h h hhhh
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Crack opening displacement COD (szerokość rozwarcia rysy)
"Å 1
µ = = à -½Ã
( )
y
"y Ey x
1 ½
2 2
Å = dy =
y
+"µ E +"(Re ZI + y Im ZI - B)dy - E +"(Re ZI - y Im ZI + B)dy
21+½ 1+½
Å = Im ZI - y Re ZI - By
EE E
KI
ZI = 2Â1 2 + BÂ + C
2Ä„
2KI Ń Ń
öÅ‚
ZI = r1 2 ëÅ‚cos + isin + Br cosŃ + isinŃ + C
( )
ìÅ‚÷Å‚
2 2
2Ä„ íÅ‚Å‚Å‚
1 2
2 KI
Å Ń = Ä„ = 2ëÅ‚ öÅ‚ r1 2
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ E
íÅ‚ Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 10
1 2
2 KI
Å Ń = -Ä„ = -2ëÅ‚ öÅ‚ r1 2
( )
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ E
íÅ‚ Å‚Å‚
1 2
2 KI
COD = Å Ä„ -Å = 4ëÅ‚ öÅ‚ r1 2
( ) (-Ä„
)
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„ E
íÅ‚ Å‚Å‚
Rozwarcie rysy jest proporcjonalne do obciążenia i warunków brzegowych, a odwrotnie proporcjonalne do
współczynnika E.
Na brzegu rysy jest równe zero.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 08 " 11