26) TSiP Wyklad 08 pekanie


Pękanie  zastosowanie funkcji Airy
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 1
Pękanie powierzchniowe (surface/map/mud cracking)
Callister W.D. Materials science and engineering. John Wiley&Sons 2000
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 2
Kruche pękanie  nagłe zniszczenie bez wcześniejszego
odkształcenia plastycznego, propagujące się z dużą prędkością
(w stali 2000 m/s)
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 3
Historia (przykłady):
Statki  Liberty wybudowane w okresie 2. Wojny Światowej. Z
5000 jednostek zniszczeniu uległo 1/5.
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 4
Comet - pierwsze pasażerskie samoloty z napędem odrzutowym
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 5
Elba, Neapol - 1954
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 6
Point Pleasant Bridge West Virginia, 1967.
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 7
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 8
Materiał plastyczny i kruchy  rozciąganie i udarność
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 9
Wpływ temperatury na energię pękania
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 10
Zwykła stal Szkło
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 11
Efekt skali:
1  Zachowanie kruche
2  Zachowanie plastyczno  kruche
3  plastyczne
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 12
Rozciąganie  materiał kruchy  osłabienie
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 13
Energia pękania  wielkość obiektywna
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 14
Mechanika pękania
 rozwój (propagacja) istniejącej rysy
Kirsch (1898) Inglis (1913)
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 15
Griffith, A.A. (1921)  The phenomena of rupture and flow in
solids , Philosophical Transactions oft/se Royal Society of London
A221, 163  198
 If the strength of this glass, as ordinarily interpreted, is not
constant, on what does it depend? What is the greatest possible
strength, and can this strength be made for technical purposes by
appropriate treatment of the material?
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 16
2
s
We = p a2 Ws = 4ag
E
dWe dWs
ł
da da
2
s 2g E
2p a ł 4g s ł
E p a
2g E GICE
s ł s ł
p a p a
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 17
1 GICE
a0 =
2
p s
p
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 18
Pękanie  rozwój istniejącej rysy
Rodzaje rys:
I - otwieranie (opening mode)
II - ścinanie (sliding mode)
III - rozrywanie (tearing mode)
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 19
Pojęcia:
 wytrzymałość materiału,
 plastyczność,
 kruchość,
 energia pękania.
Czy plastyczność może być własnością materiału skoro zależy od
wymiarów próbki ?
Zasadnicze pytania mechaniki pękania
" Jaka jest nośność konstrukcji po ujawnieniu rysy danej wielkości?
" Jaka maksymalna wielkość rysy jest dopuszczalna poddanym
obciążeniem?
" Jaka liczba cykli jest konieczna do wzrostu rysy od wielkości
początkowej (np. minimalnej wykrywalnej) do wielkości końcowej
(krytycznej)?
" Jaki jest maksymalny dopuszczalny przedział czasowy pomiędzy
inspekcjami zapewniający, że maksymalna nie wykryta rysa nie
wzrośnie do wartości krytycznej?
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 20
Wzory mechaniki pękania
Westergaard (1939)
Muskhelishvili (1933)
Metoda Westergaarda (1939)
Funkcja Airy F = U1 + xU2 + yU3
Musi spełniać równanie Ń4F= 0
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 21
Poszczególne składniki:
Dla kolejnych składników:
Ń4U1 = Ń2 Ń2U1 = Ń2 0 = 0
( )
( )
ć ś2 ś2
Ń2 xU2 = + xU2
( )śx2 śy2
( )

Łł
ś2 ś ś

xU2 == = 2 + x
+ x
( ) ( )ł ś U śU2 ł śU2 ś2U2
2
ęśx xU2 ś ę ś
śx2 śx śx śx śx śx2

ś2
xU2 = x
( )ś2U2
śy2 śy2
Ń2 xU2 = 2 + xŃ2U2
( )ś2U2
śx
Funkcja U2 jest funkcją harmoniczną, a więc
Ń2 xU2 = 2
( )ś2U2
śx
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 22
Wykorzystując operator Laplaca:
śU2 ś
Ń2 xU2 = Ń2 ć2 = 2 Ń2U2 = 0
( )
()

śx śx
Łł
W podobny sposób można wykazać, że
Ń4 yU3 = 0
( )
Wprowadzamy fukcję Z z o następujących własnościach
( )
(oryginalne oznaczenia Westergaarda)
dZ dZ dZ
ó
= Z, = Z, = Z
dz dz dz
dZ dZ śz
== Z
dx dz śx
Na tej podstawie definiujemy odpowiednio części rzeczywiste
i urojone funkcji
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 23
dZ dZ śz
== iZ
dy dz śy
śśZ
Re Z = Re = Re Z
dx śx
śśZ
Re Z = Re = - Im Z
dy śy
śśZ
Im Z = Im = Im Z
dx śx
śśZ
Im Z = Im = Re Z
dy śy
Ostatecznie definiujemy następującą funkcję Airy (pierwsza
hipoteza Westergaarda):
1
FI = Re ZI + y Im ZI + B y2 - x2
()
2
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 24
Oznaczenie I  rozwiązanie jest symetryczne względem osi x,
wszystkie składniki są harmoniczne
Kolejno wyznaczymy:
śFI
= Re ZI + y Im ZI - Bx
śx
śFI
= y Re ZI + By
śy
Wtedy naprężenia:
ś2FI
ó
s == Re ZI - y Im ZI + B
x
śy
ś2FI
ó
s == Re ZI + y Im ZI - B
y
śx2
ś2FI
ó
t =- =- y Re ZI
xy
śxśy
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 25
Przypadek szczególny:
Warunki brzegowe:
s x,0 =t x,0 = 0 for - a < x < a
( ) ( )
yxy
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 26
Przyjmujemy następującą postać funkcji (druga hipoteza
Westergaarda):
g z
( )
ZI =+ B, "z C
1 2
z + a z - a
( )( )ł

Na narożach nacięcia będziemy mieli:
s x,0 = 2B for - a < x < a
( )
x
Wprowadzamy zmienną
z = V + a
i otrzymamy
1 2
g V + a V + 2a
( ) ( )
ZI =+ B
V1 2
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 27
W otoczeniu wierzchołka nacięcia możemy przyjąć:
g a 2a
( )
ZI =+ B
V1 2
Wprowadzając oznaczenie
g a
( ) KI
=
a p
KI stress-intensity factor  współczynnik intensywności
naprężeń
Otrzymamy
KI
ZI =+ B
2pV
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 28
Wprowadzamy układ biegunowy:
V = reiJ = r cosJ + i sinJ
( )
1 1 1 1
- - - iJ -
ćcosJ isin J
2 2 2 2
V = r e = r -

22
Łł
3 3 3 3
- - - iJ -
ćcos 3J - isin 3J
2 2 2 2
V = r e = r

22
Łł
J J
y = rsinJ = 2rsin cos
2 2
otrzymamy
KI ćcosJ J

ZI =+ isin + B

22
2p r Łł
3
-
KI ć 1 KI ćcos 3 3

2
ó
ZI =- V = J - isin J

22 2
2p Ł ł 2p r3 2 Ł ł
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 29
Naprężenia:
KI J J J KI 3
s = cos - 2rsin cos sin J + 2B
x
22 2
2p r 2 2p r3 2
( )2
KI J J J KI 3
s = cos + 2rsin cos sin J
y
22 2
2p r 2 2p r3 2
( )2
J J KI 3
ć
txy =-2rsin cos - cos J

2 2 2
2 2p r3 2
Łł
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 30
Porządkując składniki:
KI J J
ć1- sin sin 3
s = cos J + 2B
x
22 2
2p r Łł
KI J J
ć1+ sin sin 3
s = cos J
y
22 2
2p r Łł
KI J J 3
txy = sin cos cos J
2 2 2
2p r
Wnioski:
r w mianowniku oznacza nieskończone naprężenia w
wierzchołku rysy bez względu na warunki brzegowe,
Przebieg naprężeń zależy jedynie od kształtu rysy, a nie
warunków naprężeń na brzegach (w nieskończoności),
Naprężenia w otoczeniu rysy zależą jedynie od
współczynnika intensywności naprężeń KI , który zależy
wyłącznie od warunków naprężeń na brzegach,
Jednostką współczynnika intensywności jest [F][L]-3/2
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 31
Współczynnik intensywności naprężeń decyduje o efekcie skali
zarówno w przypadku pękania jak i klasycznych warunków
wytrzymałościowych.
Określenie współczynnika intensywności naprężeń.
Trzecia hipoteza Westergaarda: funkcja g z zależy od warunków
( )
naprężenia w nieskończoności,
W naszym przypadku g z = s z
( )
s z
ZI =+ B, "z C
1 2
z + a z - a
( )( )ł

lims = s + 2B
x
zĄ
lims = s
y
zĄ
limtxy = 0
zĄ
B = s k -1 / 2
( )
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 32
Ostatecznie otrzymamy:
KI = s p a
Współczynnik zależy od naprężeń w nieskończoności prostopadłych
do pęknięcia w połowie długości pęknięcia.
Wprowadzając
s x,0 = s k -1 for - a < x < a
( ) ( )
x
Uzyskamy bardziej ogólną postać współczynnika:
1 2
ćsec p a
KI = s p a

2h
Łł
Informacje o warunkach brzegowych występują wyłącznie we
współczynniku intensywności naprężenia.
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 33
Przykładowo dla rozciąganego pręta:
Pl a
ć
KI = f

th3 2 h
Ł ł
A dla belki z nacięciem:
3 2 5 2 7 2 9 2
a1 2 aaaa
a
ć
f = 2.9ć - 4.6ć + 21.8ć - 37.6ć + 38.7ć

h h hhhh
Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł Ł ł
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 34
Crack opening displacement COD (szerokość rozwarcia rysy)
śu 1
e = = s -s
()
yy x
śy E
1
óó
u = dy =
y
e E (Re ZI + y Im ZI - B)dy - (Re ZI - y Im ZI + B)dy
E
21+ 1+
u = Im ZI - y Re ZI - By
EE E
KI 2
ZI = 2V1 + BV + C
2p
2KI 2 ćcosJ J
ZI =+ isin + Br cosJ + isinJ + C
r1
()

22
2p Łł
1 2
2 KI 2
u J = p = 2ć r1
()p E

Ł ł
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 35
1 2
2 KI 2
u J =-p =-2ć r1
()p E

Ł ł
1 2
2 KI 2
COD = u p -u -p = 4ć r1
( ) ( )

p E
Ł ł
Rozwarcie rysy jest proporcjonalne do obciążenia i warunków
brzegowych, a odwrotnie proporcjonalne do współczynnika E.
Na brzegu rysy jest równe zero.
J. Górski, M. Skowronek, V. Konopińska, K. Winkelmann WILiŚ PG Teoria sprężystości i plastyczności Wykład 08 36


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
6) TSiP Wyklad
7) TSiP Wyklad 2013
5) TSiP wyklad Holzapfel
13) TSiP Wyklad 2013
39) TSiP Wyklad powloki
26 Analiza wykładu Jana Ryla z Tychów
33) TSiP Wyklad
Wyklad pekanie notatki
32) TSiP Wyklad plastycznosc
Wyklad? pekanie plastycznosc
TSiP Wyklada
14) TSiP Wyklad 2013
TSiP Wykladnotatki

więcej podobnych podstron