Zagadnienie brzegowe klasycznej teorii sprężystości
Możliwe sformułowania  ze względu na wielkości zadane na
powierzchni ograniczającej dany obiekt:
1) zadane przemieszczenia  przemieszczeniowe warunki
brzegowe,
2) zadane naprężenia  naprężeniowe warunki brzegowe,
3) zadane przemieszczenia i naprężenia  mieszane warunki
brzegowe.
Przypadek przemieszczeniowych warunków brzegowych  znanych
funkcji ui = ui x1, x2, x3 na brzegu danego obiektu
()
Komplet równań podstawowych Teorii Sprężystości sprowadzony
do układu równań z niewiadomymi przemieszczeniowymi
ui = ui x1, x2, x3  równaniami Naviera - Cauchy.
()
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 1
Punkt wyjścia: równania konstytutywne liniowosprężyste:
�ij = �ij�kk + 2��ij
Podstawienie: związki geometryczne
1
�ij = ui, j + uj,i , �kk = uk ,k
()
2
Otrzymujemy:
�ij = �ijuk ,k + � ui, j + uj,i
()
Obliczenie:
�ij, j = �ijuk ,kj + � ui, jj + uj, ji = uk ,ki + � ui, jj + uj, ji =
( ) ( )
= �ui, jj +  + � uj, ji
()
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 2
 Podstawienie do równania równowagi:
�ij, j + �bi = 0
daje
�ui, jj +  + � uj, ji + �bi = 0
()
 trzy równania różniczkowe cząstkowe z niewiadomymi funkcjami
ui x1, x2, x3
()
Zapis absolutny
�"u +  + � grad divu + �b = 0
()

"2ui "2ui "2ui
gdzie "u = "2u = ui, jj = ui,11 + ui,22 + ui,33 = + + = ai
222
"x1 "x2 "x3
 wektor
 liczba
divu = uj, j = u1,1 + u2,2 + u3,3

grad divu = uj, ji = u1,1i + u2,2i + u3,3i = ci  wektor

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 3
TEORIA PA
YT CIENKICH
Powierzchnie ograniczające  górna i dolna,
Powierzchnia środkowa  równoległa do obu
Płyta  obciążenie q x1, x2 zawsze prostopadłe do powierzchni
( )

środkowej.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 4
L
Płyta cienka: warunek h L (h < )
5
h  wysokość płyty
L  mniejszy wymiar charakterystyczny w planie
Założenie małych przemieszczeń ui x1, x2, x3 h, i = 1,2,3
( )
Praktycznie spełnione w zagadnieniach inżynierii lądowej
Założenia w teorii płyt cienkich:
1) założenie kinematyczne Kirchhoffa, odpowiednik założenia
Bernoulliego w teorii belek: punkty leżące na prostej
prostopadłej do powierzchni środkowej, po odkształceniu
znajdują się na prostej prostopadłej do ugiętej powierzchni
płyty (ściśle: na prostopadłej do płaszczyzny stycznej)
2) założenie o stanie naprężenia: w równaniach konstytutywnych
materiału płyty przyjmujemy warunki PSN, tj. �i3 = 0 w
hh
całym obszarze - d" x3 d" .
22
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 5
Oznaczenia przemieszczeń punktów powierzchni środkowej płyty
u1 x1, x2,0 a" u x1, x2 �#
() ( )- stan tarczowy
u2 x1, x2,0 a" v x1, x2 Ź#
() ( )
�#
 przemieszczenia pomijane w teorii płyt
u3 x1, x2,0 a" w x1, x2  ugięcie płyty  podstawowa niewiadoma
() ( )
teorii płyt
Zadaniem jest wyprowadzenie równania różniczkowego płyty z
niewiadomą funkcją ugięcia w x1, x2 .
( )
Równanie to ma wiązać ze sobą relacje konstytutywne, związki
geometryczne i równania równowagi.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 6
Składowe wektora przemieszczenia u a" ui x1, x2, x3 dowolnego
( )

punktu płyty:
"w
ż#u x1, x2, x3 = u x1, x2 x3 x1, x2
() ( )-
( )
1
�#
"x1
�#
"w
�#u x1, x2, x3 = v x1, x2 x3 x1, x2
() ( )-
( )
�#
2
"x2
�#
�#u3 x1, x2, x3 = w x1, x2
() ( )
�#
�#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 7
Związki geometryczne w płaskim stanie naprężenia:
ż#
"u1 "u "2w
�#�11 = = - x3 2 = u,1 - x3w,11 H" -x3w,11
"x1 "x1 "x1
�#
�#
"u2 "v "2w
�#
�#� = = - x3 2 = v,2 - x3w,22 H" -x3w,22
22
"x2 "x2 "x2
�#
�#
�#ś#
1 "u1 "u2 1
�# = u,2 + v,1 - x3w,12 H" -x3w,12
�12 =+
()
ś#
2 "x2 "x1 ź# 2
�#
�# #
�#
(u, v  przemieszczenia stanu tarczowego)
u,i H" 0, v,i H" 0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 8
Równania konstytutywne  materiał sprężysty, jednorodny,
izotropowy, stałe E , �
EE
ż#
x3 w,11 +� w,22
()
()
2
�#�11 = 2 �11 +��22 = -
1-� 1-�
�#
EE
�#
x3 w,22 +� w,11
()
()
�#� = 2 �22 +��11 = -
22
2
1-� 1-�
�#
EE
�#
�#�12 = �12 = - x3w,12
1+� 1+�
�#
Równania równowagi
�ij, j + �bi = 0
jak dla stanu przestrzennego
w płytach wielkości �i3 (i = 1,2,3) są o kilka rzędów mniejsze niż
składowe �ij (i, j = 1,2),
pochodne wszystkich składowych są jednak ze sobą porównywalne.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 9
Zestawienie powyższych związków: równanie różniczkowe płyty
(niewiadoma funkcja w)
q x1, x2
"4w "4w "4w ( )
+ 2 + =
42 2 4
"x1 "x1 "x2 "x2D
q x1, x2
( )
w,1111 + 2w,1122 + w,2222 =
D
Eh3
D =  sztywność płytowa
2
12 1-�
()
Zapis operatorowy
q
"4w= " "w =
( )D
q
inaczej "G = , G = "w
D
Definicje sił przekrojowych w płytach (siły wewnętrzne na
jednostkę długości)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 10
" momenty zginające i skręcające
�#ś#
"2w "2w
M11 =-Dś# 2 +� =-D w,11 +� w,22
()
2
"x1 "x2 ź#
�# #
�#ś#
"2w "2w
M22 =-Dś# 2 +� =-D w,22 +� w,11
()
2
"x2 "x1 ź#
�# #
"2w
M12 = M21 = -( )
1-� D = -( )
1-� Dw,12
"x1"x2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 11
" Siły tnące (poprzeczne)
"
Q1 =-D "w
( )
"x1
"
Q2 =-D "w
( )
"x2
można także zapisać
"M11 "M12
Q1 =+, itd.
"x1 "x1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 12
" Siły normalne i styczne [kN/m]
 charakterystyczne dla stanu tarczowego
Matematyczne definicje sil przekrojowych (jako wypadkowe
naprężeń)
" momenty płytowe  zginające i skręcające  z definicji
(porównanie - zginanie belek M = zdA )
+"�
A
h/2
Mą� x1, x2 = �ą� x3dx3 a"M�ą ( )
x1, x2
( )
+"
-h/2
 z symetrii tensora naprężeń (ą, � = 1, 2)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 13
" Siły tnące płytowe
h/2
x1, x2 = �ą 3dx3
Qą ( )
+"
-h/2
" Siły normalne i styczne
h/2
Ną� x1, x2 = �ą� dx3 = N�ą ( )
x1, x2
( )
+"
-h/2
Obciążenie można wyrazić równaniem
q = �33 x3 = h / 2
()-�33 x3 = -h / 2
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 14
Paraboliczny przebieg naprężeń stycznych �ą 3 = 1,2 :
(ą
)
3 Q1 3 Q2
max�13 = , max�23 =
2 h 2 h
 równanie równowagi:
�11,1 +�21,1 +�31,3 = 0 (brak sił masowych)
stąd
�31,3 =-�11,1 -�21,1
(prawa strona jest liniowa funkcją zmiennej x3),
Przez całkowanie �31 jako funkcja zmiennej x3 stopnia
drugiego
Zachodzi zależność:
�i3 �ą� , i = 1,2,3, ą = 1,2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 15
Warunki brzegowe:
Siły brzegowe: przemieszczenia brzegowe:
moment zginający Mnn ugięcie w
kąt obrotu �n
moment skręcający Mns
siła poprzeczna Qn
Pięć niewidomych równania płyt,
rząd równania różniczkowego  czwarty
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 16
Warunki brzegowe mogą zawierać cztery niezależne wielkości 
dwie geometryczne, dwie statyczne.
Redukcja sił brzegowych do dwóch  zastępcza siła poprzeczna
na brzegu
"Mns
Vn = Qn +
"s
Uzasadnienie (brzeg prostoliniowy).
Siła poprzeczna, równoważna działaniu momentu skręcającego
M12 obliczona na jednostkę długości brzegu wynosi "M12 / "x2 .
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 17
Stąd całkowita zastępcza siła poprzeczna
(łączne działanie siły Q1 i momentu skręcającego M12 )
"M12
V1 = Q1 +
"x2
Uwaga: w narożu prostokątnym występuje reakcja
R = 2M12 [kN / m]
(płyty żelbetowe krzyżowo zbrojone  dodatkowe zbrojenie
dwukierunkowe w narożu)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 18
Sposób podparcia płyt (warunki brzegowe)  układ kartezjański
Swobodne podparcie Utwierdzenie Swobodny brzeg
w = 0
M11 = 0
ż#
ż#
x1 = 0:�#w = 0 x1 = 0: �#
w = 0
ż#
v1 = 0
�#
x1 = 0:�#M = 0 �! w,11 = 0 �# ,1
11
�#
w = 0 M22 = 0
ż# ż#
x2 = 0:�#w = 0 x1 = 0: v2 = 0
�#
w = 0
ż#
�#
x2 = 0:�#M = 0 �! w,22 = 0�# ,2
22
�#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 19
RÓWNANIA TEORII PA
YT W UKA
ADZIE BIEGUNOWYM
Siły wewnętrzne płytowe w układzie biegunowym są
wypadkowymi naprężeń:
�rr,��� , �r� = ��r,�3r ,�3�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 20
Siły wewnętrzne w układzie biegunowym:
Mrr  moment zginający radialny (promieniowy)
M��  moment zginający obwodowy
Mr� = M�r  momenty skręcające
Qr, Q�  siły tnące (poprzeczne)
Siły wewnętrzne wyrażone poprzez ugięcie:
w r, � = w x1, x2 , � x1, x2
Ą#ń#
( )Ł#r ( ) ( )Ś#
Przyjmując kierunek radialny � = 0 pokrywający się z osią x1,
( )
mamy
Ą#"2w 1 "w 1 "2w ń#
�#ś#
Mrr = M11 � =0 = -D w,11 +� w,22 � =0 = -D +� +
()"r12 ś# r "r r2 "�2 ź#Ą#
ó#
�# #
Ł# Ś#
Ą# ń#
M�� = M22 � =0 = -D w,22 +� w,11 � =0 = -D + +�
()1 "w 1 "2w "2w
ó#
r "r r2 "�2 "r2 Ą#
Ł# Ś#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 21
" �# 1 "w ś#
Mr� = M�r = M12 � =0 = -D 1-� w,12 � =0 = -D 1-�
( ) ( )
ś# ź#
"r r "�
�# #
" "2w 1 "w 1 "2w
Qr =-D "w gdzie "w = + +
( )
"r "r2 r "r r2 "�2
1 "
Q� =-D "w
( )
r "�
Równanie płyty
( )
" "w r, � =
( )q r, �
()
D
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 22
PA
YTY  PRZYPADEK OBROTOWOSYMETRYCZNY
Gdy własności geometryczne, obciążenie i warunki brzegowe płyty
spełniają warunek obrotowej symetrii, równanie różniczkowe płyty
staje się równaniem różniczkowym zwyczajnym względem
zmiennej r
q r
( )
"4w r = " "w r =
( ) ( )
()
D
"2w 1 "w 1 " "w
�# ś#
"w = + = r
ś# ź#
"r2 r "r r "r "r
�# #
Siły wewnętrzne:
�#ś#
"2w 1 "w
Mrr =-Dś# +�
ź#
"r2 r "r
�# #
�#ś#
1 "w "2w
M�� =-Dś# +�
r "r "r2 ź#
�# #
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 23
 Mr� = M�r = 0
�#ś#
"" "2w 1 "w
Qr =-D "w =-D +
( )
ś#ź#
"r "r "r2 r "r
�# #
Q� = 0
Zastępcza siła poprzeczna Vr jest zawsze równa sile Qr
Przekształcenie równania różniczkowego płyty:
q r
( ) 1 " "i
�#r ś#
" i =
" "w r = ,
( ) ( )
()
ś# ź#
D r "r "r
�# #
�#ś# q r
1 " " 1 " "w ( )
Ą#ń#
�# ś#
rr =
ś# ś# ź#Ą# ź#
ó#
r "r "r r "r "rŚ# D
�# #
Ł#
�# #
Inna forma
1 " "w
�#r ś#
gdzie G ="w =
"G = 0 ,
ś# ź#
r "r "r
�# #
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 05  str. 24