Równania konstytutywne
(równania materiałowe, związki fizyczne, związki fizykalne)
 definicje idealnych ośrodków ciągłych, postulowane na podstawie
teoretycznych analiz, weryfikowane doświadczalnie.
Z zestawu równań podstawowych Teorii Sprężystości równania te,
jako jedyne, definiują materiał  opis stanu geometrycznego i stanu
naprężenia jest jednakowy dla wszystkich ośrodków ciągłych.
Zależność stanu naprężenia w danej chwili od historii obciążenia 
tzw. materiały z pamięcią.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 1
Przykład: plastyczne płynięcie dla danej wartości � nie może
znalez
ć odpowiadającej (jednoznacznej) wartości � .
Klasa materiałów bez pamięci  materiały sprężyste.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 2
OŚRODEK (MATERIAA
) SPR
ŻYSTY
Tensor naprężenia w ośrodku sprężystym zależy tylko od
aktualnego stanu odkształcenia, nie zależy od historii odkształcenia
(materiał sprężysty - bez pamięci)
�ij = f eij eij = g �ij , eij  ogólnie: tensor odkształcenia
( ), ( )

f i g - funkcje tensorowe, wzajemnie odwracalne na ogół

nieliniowe
Ośrodek (materiał) liniowo sprężysty, małe odkształcenia:
�ij = Cijkl�kl
� a" �ij  tensor naprężeń Cauchy

� a" �kl  tensor małych odkształceń

Zapis absolutny: � = Ci� (działanie: zwężeniae pełne, brak

analogii w rachunku macierzowym)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 3
C a" Cijkl  tensor stałych sprężystych - tensor IV walencji,

ogólnie 81 składowych
Z symetrii tensorów � i � (�ij = � , �kl = �lk ) wynikają
ji

tożsamości
Cijkl = Cjikl = Cjilk ,
pozostaje więc 36 niezależnych współrzędnych C

Związek konstytutywny �ij = Cijkl�kl , obejmujący 36 stałych
sprężystych, to tzw. uogólnione prawo Hooke a dla ciał
anizotropowych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 4
Przykład  efekt anizotropii (poza kursem WM)
Odkształcenie postaciowe  w tensorze odkształceń � niezerowa

jedynie składowa �12
Obecność w tensorze C niezerowej składowej C1112 powoduje, że

�11 = C1112�12 `" 0
Efekt ten nie jest możliwy w ośrodku izotropowym (w każdym
kierunku własności materiału identyczne)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 5
Notacja alternatywna (stany naprężenia i odkształcenia  wektory):
�1 a" �11 �4 a" �23 = �32 �1 a" �11 �4 a" �23 = �32
�2 a" �22 �5 a" �31 = �13 �2 a" �22 �5 a" �31 = �13
�3 a" �33 �6 a" �12 = �21 �3 a" �33 �6 a" �12 = �21
W takiej postaci związki konstytutywne można podać w formie
macierzowej :
�K = CKL�L `" 0, K, L = 1,...,6
Macierz C = CKL zawiera 36 stałych sprężystych.

Istnieje funkcja zwana potencjałem sprężystym Ś (inaczej energią
właściwą odkształcenia sprężystego), w najprostszej postaci
wyrażona formą kwadratową
1
Ś= CKL�K�L
2
Z istnienia tej funkcji wynika CKL = CLK ,
tylko 21 niezależnych stałych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 6
Symetrie i wynikające z nich uproszczenia:
Trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny symetrii w każdym
punkcie  ośrodek ortotropowy, macierz stałych sprężystych w
postaci
C11 C12 C13 0 0 0
Ą#ń#
ó#C C22 C23 0 0 0 Ą#
21
ó#Ą#
C31 C32 C33 0 0 0
ó#Ą#
C
ó#Ą#
0 0 0 C44 0 0
ó#Ą#
ó# 0 0 0 0 C55 0 Ą#
ó#
0 0 0 0 0 C66 Ą#
Ł#Ś#
12 niezależnych stałych, warunek CKL = CLK  9 stałych
Przykładowo: drewno o idealnej strukturze włóknistej.
Symetria obrotowa względem jednej osi (np. x3)  izotropia
poprzeczna, pozostaje 5 stałych sprężystych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 7
Pełna izotropia
 izotropowy tensor stałych sprężystych
Możliwa postać:
Cijkl = �ij�kl + b�ik� + c�il�jk
jl
 trzy stałe sprężyste
Uogólnione prawo Hooke a dla ciał izotropowych:
�ij = Cijkl�kl = �ij�kl + b�ik� + c�il� �kl = �ij�kk + b�ij + c� =
()
jl jk ji
= �ij�kk + b + c �ij = �ij�kk + 2��ij
( )
lub � = Itr� + 2��

Liniowosprężyste prawo konstytutywne, ośrodek izotropowy 
dwie stałe sprężyste, tzw. stałe Lame  i �  postać � = f �
( )

Zależności odwrotne � = g �
( )

Relacja pomocnicza: tr� "! tr� :

�ii = 3�kk + 2��ii = 3 + 2� �kk
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 8
1
Stąd �kk = �ii
3 + 2�
1  1
Zatem �ij = �ij - �ij�kk
2� 2� 3 + 2�
Zależności między stałymi Lame  i � a stałymi technicznymi
E i � .
Zapis wskaz
nikowy związków konstytutywnych:
1
�11 = Ą# -� �22 +�33 ń#
()Ś#
11
Ł#�
E
...
1+�
�12 = �21 �12
E
...
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 9
Zapis łączony:
1+� �
�ij = �ij - �ij�kk
E E
Zależności
1 1+� E
=�! � = = G
2� E 2 1+�
( )
 1 � E�
= �!  =
2� 3 + 2� E 1+� 1- 2�
( )( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 10
Bilans równań i niewiadomych zadania teorii sprężystości
(podstawa sformułowania ogólnego problemu TS !!!!!)
Niewiadome:
symetryczny tensor naprężeń Cauchy � a" �ij  6 składowych

symetryczny tensor małych odkształceń � a" �ij  6 składowych

wektor przemieszczeń u a" uk  3 składowe

razem 15 składowych
Zależności:
równania równowagi div� + �b = 0  3 równania
1
związki geometryczne � = "u + "uT  6 równań
()

2
prawa konstytutywne � = Itr� + 2��  6 równań

razem 15 równań
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 04  str. 11