WYKA
AD 1
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
Mechanika ciała stałego
Mechanika ośrodków ciągłych
Porównanie TSiP z Mechanika budowli i wytrzymałością mat.
1. Mechanika budowli (kurs MO i MB)  elementy prętowe
Zadanie: siły wewnętrzne M, T, N w elementach (przekrój
poprzeczny jako punkt osi pręta; w nim określone są siły
wewnętrzne
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 1
2. Wytrzymałość materiałów  elementy prętowe
Zadanie: rozkład naprężeń w przekrojach elementów prętowych.
Naprężenie  wielkość zdefiniowana w punkcie obiektu,
odniesiona do określonego w tym punkcie przekroju zadana
płaszczyzna (wektor normalny)
3. Teoria sprężystości i plastyczności  obiekty 2D i 3D
określone: kształt (geometria) i parametry materiałowe, zadane
obciążenie
zadanie: w każdym punkcie określić
" wielkości statyczne  naprężenia [jedn. siły/ jedn. pow.]
" wielkości geometryczne  przemieszczenia i odkształcenia
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 2
Dwa podejście do problemu:
" rozwiązanie analityczne  właściwy kurs TSiP;
T
wynik: funkcje położenia punktu  współrzędnych x = x1 x2 x3
{ }
%ð
pola w 3D: naprężeń , przemieszczeń odkształceń);
ujęcie analityczne, ciągłe (kontynualne);
narzędzie: podstawowe równani TS  równanie różniczkowe
czÄ…stkowe.
" rozwiązanie numeryczne  dyskretyzacja (podział na elementy,
siatki węzłów)
wynik: w zadanych węzłach wartości (pomiędzy węzłami
interpolacja)  zbiór wartości naprężeń, przemieszczeń,
odkształceń;
ujecie numeryczne, dyskretne (dyskretyzowane)
narzędzie: metody rachunku macierzowego, rozwiązywanie
układu równań:
grupa metod; najbardziej powszechna Metoda Elementów
Skończonych
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 3
Kurs TSiP  jedynie ujęcie analityczne
Część wykładowa  analiza 2D i 3D, ogólne prawa mechaniki
" opis stanu geometrycznego (przemieszczenia, odkształcenia)
" opis stanu naprężenia
" związki pomiędzy stanami naprężenia i odkształcenia.
Część ćwiczeniowa  analiza 2D  dz
wigary powierzchniowe
(tarcze, płyty), stany PSO
W kursie WM naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia
obliczane są w sposób uproszczony, inżynierski (są wielkościami
tensorowymi).
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 4
TENSOR
 ogólna matematyczna kategoria, grupująca zarówno wielkości
skalarne, wektorowe jak i bardziej złożone, o większej liczbie
składowych.
Założenie: przestrzeń euklidesowa z kartezjańskim układem
T
współrzędnych (bazą) x = x1 x2 x3 = xi , i = 1, 2, 3
{ } { }
%ð
RzÄ…d tensora (walencja)  liczba wskaz
ników (indeksów)
swobodnych, definiująca dana wielkość  liczbę jej składowych
Tensor walencji 0  skalar  jedna liczba (np. masa, temperatura,
gęstość)
Tensor walencji 1  wektor  w danym układzie współrzędnych
T
trzy składowe (np. wektor
u = u1 u2 u3 = ui , i = 1, 2, 3
{ } { }
%ð
położenia punktu, wektor prędkości, wektor przyspieszenia, wektor
przemieszczenia)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 5
Tensor walencji 2  w danym układzie współrzędnych macierz
A11 A12 A13
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚A A22 A23 śł
A a" Aij =21 i, j = 1, 2, 3 9 składowych
ïłśł
%ð
A32 A33 ûÅ‚
ïłśł
ðÅ‚A31
Tensor walencji n  zawiera 3n składowych (przestrzeń
trójwymiarowa)
Dwojaki zapis (notacja) wielkości tensorowych:
" zapis wskaz
nikowy (indeksowy)  liczba wskaz
ników
swobodnych (wolnych) równa jest walencji tensora np.
wektora ai , tensora drugiej walencji Bjk
" zapis absolutny  wymaga określenia walencji tensora liczba
wskaz
ników: a , B
%ð %ð
dla odróżnienia: wektory oznaczamy małą literą, tensor wyższej
walencji  wielkÄ… litera.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 6
Zachodzi równoważność:
T
a a" a1 a2 a3 = ai = aj , i = 1, 2, 3; j = 1,2,3
{ }
%ð
B11 B12 B13
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚B B22 B23 śł
B a"= Bjk = Bmn i, j,mn = 1, 2, 3
,
21
ïłśł
%ð
B32 B33 ûÅ‚
ïłśł
ðÅ‚B31
Reguła sumacyjna Einsteina
gdy w wyrażeniu jednowymiarowym wskaz
nik występuje
dwukrotnie, względem niego, w zakresie od 1 do 3 następuje
sumowanie (jest to tzw. wskaz
nik nemy  nie występujący w
wyrażeniu wynikowym
Przykłady:
3
" abi a"i = ab1 + a2b2 + a3b3 = c
i "abi 1
i=1
 iloczyn skalarny wektorów; wynik  skalar (liczba)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 7
Przypadek szczególny  kwadrat długości wektora
3
2
2 2 2
aai a" = a1 + a2 + a3 = a
i "aai
i
i=1
3
"
Abj a" = Ab1 + Ai2b2 + Ai3b3 = di
ij "Abi i1
ij
j=1
 wektor (trzy składowe względem i)
3 3
"
Aijuuj a" uuj = A11uu1 + A12uu2 +... = k
i ""Aij i 1 1
i=1 j=1
 liczba (tensor walencji 0, skalar)
 jest to forma kwadratowa tensora (macierzy) A a" Aij względem
%ð
wektora u a" uk
%ð
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 8
" wyrażenie pi = Kilql Można zastąpić np. pm = Kmlql
rozwinięcie  układ równań liniowych:
i = 1: p1 = K1lql = K11q1 + K12q2 + K13q3
i = 2: p2 = K2lql = K21q1 + K22q2 + K23q3
i = 3: p3 = K3lql = K31q1 + K32q2 + K33q3
W zapisie absolutnym p = Kq
%ð
%ð %ð
Uwaga: działanie  mnożenia ma zastosowanie także do tensorów
wyższych rzędów (tzw. kontrakcja, nasunięcie proste);
w odniesieniu do tensorów walencji 1 i 2  interpretacja
macierzowa.
3
" Tii = =T11 + T22 + T33 = trT
"Tii
%ð
i=1
ślad tensora walencji 2 (macierzy)  liczba
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 9
Można użyć tzw. symbolu Kroneckera
1 gdy i = k
Å„Å‚
´ik =
òÅ‚0 gdy i `" k
ół
w zapisie absolutnym ´ik = I
%ð
(9 składowych, tylko 3 niezerowe)
" uvjwkµijk = b
i
wynik jest liczbÄ…, wszystkie wskaz
niki nieme
symbol permutacji Ricci:
1 - permutacja parzysta (123, 231, 312)
Å„Å‚
ôÅ‚
µijk = - permutacja nieparzysta (132, 213, 321)
òÅ‚-1
ôÅ‚
0 - którekolwiek wska wspólne
z
niki
ół
W rozwinięciu 27 wyrazów, tylko 6 niezerowych
b = uv2w3 + u2v3w1 + uvw2 - uv3w2 - u2vw3 - uv2w1
1 3 1 1 1 3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 10
" ABij = Cij
ij
wynik  tensor walencji 2 (i, j  wskaz
niki swobodne,
j  niemy)
zapis absolutny AB = C
%ð %ð %ð
działania tensorowe  kontrakcja, nasunięcie proste w
odniesieniu do tensorów walencji 2,
interpretacja  mnożenie macierzy
jeden z wyrazów C11 = A11B11 + A12B21 + A13B31
rozpisanie
A11 A12 A13 B11 B12 B13 C11 C12 C13
îÅ‚ Å‚Å‚îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śłïÅ‚B B22 B23śł = ïÅ‚C C22 C23śł
śł
21 21
ïÅ‚A21 A22 A23 śłïÅ‚ śł ïÅ‚
A32 A33 ûÅ‚ðÅ‚B31 B32 B33 ûÅ‚ ðÅ‚C31 C32 C33 ûÅ‚
ïÅ‚ śłïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ðÅ‚A31
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 11
Tensory ortogonalne
Obrót układu współrzędnych (bazy)
Ox1x2x3 - układ pierwotny
2 2 2
Ox1x2x3 - po transformacji
2
DefiniujÄ…c kÄ…ty obrotu Ä…ij = Sð xi , xj
( )
îÅ‚ 2
OkreÅ›la siÄ™ macierz transformacji îÅ‚cosÄ…ij Å‚Å‚ =
Aij =
( )Å‚Å‚
ðÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚cos xi , xj ûÅ‚
2
np. A12 = cos x1, x2
( )
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 12
W układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne
T
x = xj = x1 x2 x3 w nowym układzie ten sam punkt ma
{ }
%ð
T
2 2 2 2 2
współrzędne x = xj = x1 x2 x3 .
{ }
%ð
Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem WSP. Wektora
wodzÄ…cego tego punktu)
2
xT = Ax lub xi = Aij xj
%ð %ð %ð
2
x1 = A11x1 + A12x2 + A13x3
2
x2 = A21x1 + A22x2 + A23x3
2
x3 = A31x1 + A32x2 + A33x3
2 2
gdzie Aij = cos xi , xj , np. A12 = cos x1, x2
( )
( )
Własności macierzy transformacji
2
 długości wektorów wodzących x i x punktu P w obu układach są
%ð %ð
jednakowe, stad:
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 13
2
x = xT x = xk xk = ´ xj xk
jk
%ð %ð %ð
2
2 2 T 2 2 2
x = x x = xi xi = Aij xj Aik xk = Aij Aik xj xk
( )
( )
%ð %ð %ð
DÅ‚ugość wektora jest staÅ‚a: Aij Aik -´ik xj xk = 0 dla każdego x
( )
%ð
StÄ…d Aij Aik = ´ik lub AT A = I wiÄ™c AT = A-1
%ð %ð %ð %ð %ð
A a" Aik  tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)
%ð
2
Wyznacznik det AT A = det AT det A = det A = 1
( ) ( )
( ) ( )
%ð %ð%ð %ð%ð
więc det A = ą1
%ð
Macierz (tensory) o powyższych własnościach
 grupa ortogonalna  obroty i przekształcenia (odbicia) układów
współrzędnych ~
Gdy det A = 1 grupa obrotów SO(3) specjalna, ortogonalna, w
%ð
przestrzeni trójwymiarowej
Gdy det A = -1 odbicia (nie tworzÄ… grupy),
%ð
A
ączne działania  grupa ortogonalna O(3).
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 14
Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa  transformacja wektorów bazowych:
2 2
e = Ae (ei = Aijej )
%ð %ð %ð
2 2
Współrzędne dowolnego wektora: u = Au (ui = Aijuj )
%ð %ð %ð
2 2
Współrzędne tensora 2 walencji: T = ATAT (Tij = Aij AjlTkl )
%ð %ð %ð%ð
Współrzędne tensora dowolnej walencji:
Tijk..... = AipAjqAkm....Tpqm....
Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1  wektor  składowe w danej bazie
e = ei = e1 e2 e3
{%ð } {%ð %ð %ð }
%ð
2 2
u a" uei = ukek , u a" uei
i i
%ð %ð %ð %ð %ð
Tensor walencji 2  składowe w 9-wymiarowej poliazie ei " ej
%ð %ð
(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wekorów
bazowych
2 2 2
T a" Tklek " el = Tklek " el
%ð %ð %ð %ð %ð
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG 15