Powłoki
Powłoki  dz
wigary powierzchniowe, których powierzchnia
środkowa jest zakrzywiona pojedynczo lub podwójnie.
Nie można oddzielić zagadnienia zginania od zagadnienia
tarczowego, dlatego też obliczenie powłok jest bardziej
skomplikowane aniżeli obliczenie płaskich dz
wigarów
powierzchniowych.
Rozpatrzymy tylko powłoki cienkie.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 1
Praktyczne obliczenie powłok opiera się na następujących
założeniach:
a) grubość powłoki jest mała w porównaniu z jej pozostałymi
wymiarami;
b) ugięcia powłoki są małe w stosunku do jej grubości;
c) punkty, które przed odkształceniem leżały na prostej prostopadłej
do powierzchni środkowej, również po odkształceniu znajdują się
na prostej, prostopadłej do odkształconej powierzchni środkowej;
d) naprężenia normalne, działające prostopadle do powierzchni
środkowej, są znikomo małe.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 2
Siły i momenty przekrojowe
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 3
Składowe naprężenia na jednostkę długości przekroju łączymy w
siły i momenty przekrojowe.
z
Ponieważ szerokość powierzchni bocznych elementu zależy od , a
z = 0
szerokości równej jedności przy odpowiada na wysokości z
x = const.
y x
szerokość (r + z) / ry lub (r + z) / rx w przekrojach ,
y = const., więc siły i momenty przekrojowe określone są
następującymi zależnościami:
h h
�#ś#
�#ś#
z z
nx = � ny = �
ś#1+ ź#dz
x , y ś#1+ rx ź#dz
+" +"
ś#
ry ź#
�# #
-h -h
�# #
h h
�#ś#
�#ś#
z z
nxy = nyx =
xy , yx ś#1+ rx ź#dz
+"� ś#1+ ry ź#dz �# #
+"�
ś#ź#
-h -h
�# #
h h
�#ś#
�#ś#
z z
mx =- � zdzy ś#1+ rx ź#
my =- � zdz
ś#1+ ź#
x ,
+" +"
ś#
ry ź#
�# #
-h -h
�# #
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 4
h h
�#ś#
�#ś#
z z
mxy =- myx =- zdz
xy , yx ś#1+ rx ź#
+"� ś#1+ ry ź# zdz �# #
+"�
ś#ź#
-h -h
�# #
h h
�#ś#
�#ś#
z z
qx =- qy =-
xy , yz ś#1+ rx ź#dz
+"� ś#1+ ry ź#dz �# #
+"�
ś#ź#
-h -h
�# #
Ponieważ powierzchnie boczne elementu powłoki są do siebie
prostopadłe, więc
� = �
xy yx
xy yx xy yx
Siły styczne n i n lub momenty skręcające m i m mają
x
jednak, jednakową wielkość tylko w przypadku r = ry .
Skoro szerokości powierzchni bocznych elementu płyty zależą od
z
współrzędnej , także składowe naprężenia, działające równolegle
do powierzchni środkowej nie mogą być rozłożone na grubości
powłoki liniowo.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 5
Np. również w pręcie zakrzywionym przy przekrojach, które
pozostają płaskie, nie otrzymujemy liniowego rozkładu naprężeń od
zginania).
x y
Wpływ składników, które w mianowniku zawierają r albo r
(wyrazy uwzględniające krzywiznę), jest jednak bardzo mały,
ponieważ h a tym samym również z jest bardzo małe w porównaniu
z promieniami krzywizny.
Jeżeli na podstawie sił i momentów przekrojowych obliczamy
naprężenia, to można rozpatrywać powierzchnie przekroju jako
prostokąty, zakładając, że naprężenia normalne jak również
działające równolegle do powierzchni środkowej naprężenia styczne
zmieniają się na grubości powłoki liniowo.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 6
Błonowy stan naprężenia
W wielu przypadkach możemy przyjąć, że naprężenia równoległe
do powierzchni środkowej są rozłożone równomiernie na grubości
powłoki � = 2h i stąd niezależne od z.
W takim razie w równaniach składowe naprężenia możemy wynieść
przed znak całki.
Przy całkowaniu równań człony uwzględniające krzywiznę
odpadają i otrzymamy
nxy = nyx
a dla sił przekrojowych otrzymujemy zależności
ny = � � nxy = nyx =� � =� �
nx = � �
y xy yx
x , ,
oraz
mx = my = mxy = myx = 0
Z powodu równowagi muszą wtedy zniknąć również siły
x y
poprzeczne q i q ,
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 7
Pozostają jedynie siły przekrojowe, które działają równolegle do
powierzchni środkowej.
Ten wolny od zginania stan naprężenia w powłoce określamy jako
błonowy stan naprężenia.
Powierzchnia środkowa powłoki doznaje przy tym w istocie tylko
wydłużeń i odkształceń postaciowych, którym towarzyszyć muszą
zmiany krzywizny.
Odpowiednie naprężenia od zginania mają jednak z reguły tylko
znaczenie naprężeń ubocznych, także najczęściej można je pominąć.
Po zniknięciu momentów i sił poprzecznych z sześciu równań
równowagi przestrzennego układu sił pozostają tylko trzy.
Tyle jest również niewiadomych sił przekrojowych i można je w
przypadku statycznie wyznaczalnego podparcia powłoki obliczyć z
samych tylko równań równowagi.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 8
Stan naprężenia w powłoce można tylko wtedy uważać (w
przybliżeniu) za wolny od zginania, jeżeli spełnione są następujące
założenia:
 powierzchnia środkowa jest w ogólnym przypadku zakrzywiona
w sposób ciągły,
 grubość powłoki nie zmienia się skokami,
 obciążenia powierzchniowe są rozłożone w sposób ciągły i nie
przebiegają zbyt nierównomiernie,
 siły brzegowe są skierowane stycznie do powierzchni środkowej.
 łożyska lub przylegające elementy konstrukcji mogą krępować
odkształcenie powłoki tylko na tyle, ażeby nałożone tym samym
więzy wywoływały znów siły działające tylko stycznie do
powierzchni środkowej.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 9
TEORIA BA
ONOWA POWA
OK OBROTOWYCH
Powłoka obrotowa i jej siły przekrojowe
Punkty powierzchni środkowej ustalone są przez odpowiednią
płaszczyznę południkową o kącie Ń oraz przez kąt � .
Rozpatrzymy element powłoki, którego powierzchnia środkowa
ograniczona jest południkami Ń i Ń + dŃ i równoleżnikami � i
� + d�
między normalnymi.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 10
Powierzchnie boczne są prostopadłe do powierzchni środkowej.
Ń � Ń�
Siły przekrojowe oznaczamy przez n , n , n = n�Ń .
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 11
Warunki równowagi
a) Równanie równowagi w kierunku stycznej do równoleżnika:
" n�Ńr0
( )"Ń"� + nŃ�r1 cos�"Ń"� + Xr0r1"Ń"� = 0 ,
"nŃ
r1"Ń"� +
"Ń "�
b) Równanie równowagi w kierunku stycznej do południka:
" n�Ńr0
"n�
( )"Ń"� +Yr0r1"Ń"� = 0,
r1"Ń"� - nŃr1 cos�"Ń"� +
"Ń "�
c) Równanie równowagi w kierunku normalnej od powierzchni:
nŃr1 sin�"Ń"� + n�r0"Ń"� + Zr0r1"Ń"� = 0
,
przy
r0 = r2 sin�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 12
Ostatecznie otrzymamy
( )
"nŃ " n�Ńr0
r1 ++ n�r1 cos� + Xr0r1 = 0
"Ń "�
" n�r0
"n�
( )
r1 + nŃr1 cos� + +Yr0r1 = 0
"Ń "�
"n�
"nŃ
+ = -Z
r2 r1
OBCI
ŻENlE OBROTOWO-SYMETRYCZNE
Całkowanie warunków równowagi
W danym przypadku stan naprężenia jest niezależny od Ń , a zatem
w równaniach znikają pochodne względem Ń .
X = 0
Zakładamy, że .
Wtedy będzie również
nŃ� = n�Ń = 0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 13
P�
Jeżeli oznacza wypadkową obciążeń działających na część
kopuły położona ponad równoleżnikiem � , to
P�
n� =-
2Ą r0 sin�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 14
Powłoka kulista
Obciążenie ciężarem własnym.
Przyjmijmy stałą grubość � ścianki kopuły.
Na jednostkę powierzchni środkowej działa wówczas niezmienny
ciężar g.
Dla punktu na równoleżniku � obciążenie daje składowe
X = 0, Y = g sin�, Z = g cos�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 15
Powierzchnia części kopuły położonej nad równoleżnikiem ma
wielkość
O� = 2Ąą f = 2Ą a2 1- cos�
( )
Na tę część kopuły przypada obciążenie całkowite
P� = gO� = 2Ą ga2 1- cos�
( )
Ostatecznie otrzymamy
1- cos� ga
n� =-ga =-
sin2 � 1+ cos�
�# 1 ś#
nŃ = gaś#cos� -
ź#
1+ cos�
�# #
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 16
 Obciążenie śniegiem
X = 0, Y = psin� cos�, Z = pcos2 �
pa2Ą sin2 � 1
n� =- =- pa
2Ą asin2 � 2
1
nŃ =- pacos�
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 17
 Powłoka obrotowa hiperboliczna
Równanie powłoki
r02 z2
- = 1
2 b2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 18
ąa2
nŃ =-gą z + n�
r22
1
Ą#
n� =- gr1r2 sin�d� + C0 ń#
+"
Ł#Ś#
r2 sin2 �
0
gdzie C oznacza stałą, którą należy wyznaczyć z warunków
brzegowych.
Przy stałej grubości ścianki
�#ś#
ga2r2 Ą# zr2 1 z r2 ń#
ó#Ą#
ś#ź#
n� =- + ln C +
ś#ź#Ą#
2r02 ó# a2 ą 1+ą) �# a
a ą ( )
1+ą
(
#
Ł#Ś#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 06  str. 19