WYKA
AD 1
TEORIA SPR
ŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI
Mechanika Ciała Stałego
Mechanika Ośrodków Ciągłych
Porównanie TS z Mechaniką Budowli i Wytrzymałością Materiałów
1. Mechanika budowli (kurs MO i MB)  elementy prętowe
Zadanie: siły wewnętrzne M, T, N w elementach (przekrój
poprzeczny jako punkt osi pręta; w nim określone są siły
wewnętrzne
1
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
2. Wytrzymałość materiałów  elementy prętowe
Zadanie: rozkład naprężeń w przekrojach elementów prętowych.
Naprężenie  wielkość zdefiniowana w punkcie obiektu,
odniesiona do określonego w tym punkcie przekroju zadaną
płaszczyzną (wektor normalny)
3. Teoria Sprężystości i Plastyczności  obiekty 2D i 3D
określone: kształt (geometria) i parametry materiałowe, zadane
obciążenie
zadanie: w każdym punkcie określić
" wielkości statyczne  naprężenia [jedn. siły/ jedn. pow.]
" wielkości geometryczne  przemieszczenia i odkształcenia
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Dwa podejście do problemu:
" rozwiązanie analityczne  właściwy kurs TSiP;
wynik: funkcje położenia punktu  współrzędnych x = x1 x2 x3 T
{}

pola w 3D: naprężeń , przemieszczeń odkształceń);
ujęcie analityczne, ciągłe (kontynualne);
narzędzie: podstawowe równania TS  równania różniczkowe
cząstkowe.
" rozwiązanie numeryczne  dyskretyzacja (podział na elementy,
siatki węzłów)
wynik: w zadanych węzłach wartości (pomiędzy węzłami
interpolacja)  zbiór wartości naprężeń, przemieszczeń,
odkształceń;
ujecie numeryczne, dyskretne (dyskretyzowane)
narzędzie: metody rachunku macierzowego, rozwiązywanie
układu równań:
grupa metod; najbardziej powszechna Metoda Elementów
Skończonych
3
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Kurs TSiP  jedynie ujęcie analityczne
Część wykładowa  analiza 2D i 3D, ogólne prawa mechaniki
" opis stanu geometrycznego (przemieszczenia, odkształcenia)
" opis stanu naprężenia
" związki pomiędzy stanami naprężenia i odkształcenia.
Część ćwiczeniowa  analiza 2D  dz
wigary powierzchniowe
(tarcze, płyty), stany PSO
W kursie WM naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia
obliczane są w sposób uproszczony, inżynierski
(faktycznie są one wielkościami tensorowymi).
4
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
TENSOR (wielkość tensorowa)
 ogólna matematyczna kategoria, grupująca zarówno wielkości
skalarne, wektorowe jak i bardziej złożone, o większej liczbie
składowych.
Założenie: przestrzeń euklidesowa z kartezjańskim układem
współrzędnych (bazą) x = x1 x2 x3 T = xi , i = 1, 2, 3
{ } { }

Rząd tensora (walencja)  liczba wskaz
ników (indeksów)
swobodnych, definiująca dana wielkość  liczbę jej składowych
Tensor walencji 0  skalar  jedna liczba (np. masa, temperatura,
gęstość)
Tensor walencji 1  wektor  w danym układzie współrzędnych
trzy składowe u = u1 u2 u3 T = ui , i = 1, 2, 3 (np. wektor
{ } { }

położenia punktu, wektor prędkości, wektor przyspieszenia, wektor
przemieszczenia)
5
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Tensor walencji 2  w danym układzie współrzędnych macierz
A11 A12 A13
Ą#ń#
ó#A A22 A23 Ą#
A a" Aij =21 i, j = 1, 2, 3 9 składowych
ó#Ą#

A32 A33 Ś#
ó#Ą#
Ł#A31
Tensor walencji n  zawiera 3n składowych (przestrzeń
trójwymiarowa)
Dwojaki zapis (notacja) wielkości tensorowych:
" zapis wskaz
nikowy (indeksowy)  liczba wskaz
ników
swobodnych (wolnych) równa jest walencji tensora np.
wektora ai , tensora drugiej walencji Bjk
" zapis absolutny  wymaga określenia walencji tensora (liczby
wskaz
ników): a , B

dla odróżnienia (umowa): wektory oznaczać będziemy małymi
literami, tensory wyższej walencji  wielkimi literami.
6
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Zachodzi równoważność:
a a" a1 a2 a3 T = ai = aj , i = 1, 2, 3; j = 1,2,3
{}

B11 B12 B13
Ą#ń#
ó#B B22 B23 Ą#
B a"= Bjk = Bmn i, j,m,n = 1, 2, 3
21
ó#Ą#

B32 B33 Ś#
ó#Ą#
Ł#B31
Reguła sumacyjna Einsteina
gdy w wyrażeniu jednomianowym wskaz
nik występuje dwukrotnie,
względem niego, w zakresie od 1 do 3 następuje sumowanie (jest to
tzw. wskaz
nik niemy  niewystępujący w wyrażeniu wynikowym
7
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Przykłady:
3
" abi a"= ab1 + a2b2 + a3b3 = c
i "abi 1
i
i=1
 iloczyn skalarny wektorów; wynik  skalar (liczba)
Przypadek szczególny  kwadrat długości wektora
3
2
2 2 2
aai a"= a1 + a2 + a3 = a
i "aai
i
i=1
3
" Aijbj a" Aijbi = Ai1b1 + Ai2b2 + Ai3b3 = di
"
j=1
 wektor (trzy składowe względem i)
3 3
" Aijuuj a" Aijuuj = A11uu1 + A12uu2 +... = k
i "" i 1 1
i=1 j=1
 liczba (tensor walencji 0, skalar)  jest to forma kwadratowa
tensora (macierzy) A a" Aij względem wektora u a" uk

8
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
" wyrażenie pi = Kilql , można zastąpić np. formą pm = Kmlql
rozwinięcie  układ równań liniowych:
i = 1: p1 = K1lql = K11q1 + K12q2 + K13q3
i = 2: p2 = K2lql = K21q1 + K22q2 + K23q3
i = 3: p3 = K3lql = K31q1 + K32q2 + K33q3
W zapisie absolutnym p = Kq


Uwaga: działanie  mnożenia ma zastosowanie także do tensorów
wyższych rzędów (tzw. kontrakcja, nasunięcie proste);
w odniesieniu do tensorów walencji 1 i 2  interpretacja
macierzowa.
9
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
3
" Tii ==T11 + T22 + T33 = trT
"Tii

i=1
ślad tensora walencji 2 (macierzy)  liczba
Można użyć tzw. symbolu Kroneckera
1 gdy i = k
ż#
�ik =
�#0 gdy i `" k
�#
w zapisie absolutnym �ik = I (9 składowych, tylko 3 niezerowe)

" uvjwk�ijk = b
i
wynik jest liczbą, wszystkie wskaz
niki nieme
symbol permutacji Ricci:
1 - permutacjaparzysta (123, 231, 312)
ż#
�#
�ijk = - permutacjanieparzysta (132, 213, 321)
�#-1
�#
0 - którekolwiek wskaz
niki wspólne
�#
W rozwinięciu 27 wyrazów, tylko 6 niezerowych
b = u1v2w3 + u2v3w1 + u3v1w2 - u1v3w2 - u2v1w3 - u3v2w1
10
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
" AijBjk = Cik
wynik  tensor walencji 2 (i, k  wskaz
niki swobodne,
j  wskaz
nik niemy)
zapis absolutny AB = C

działania tensorowe  kontrakcja, nasunięcie proste w
odniesieniu do tensorów walencji 2,
interpretacja  mnożenie macierzy
jeden z wyrazów C11 = A11B11 + A12B21 + A13B31
rozpisanie
A11 A12 A13 B11 B12 B13 C11 C12 C13
Ą#ń# Ą#ń# Ą# ń#
ó#A A22 A23 Ą# ó#B B22 B23 Ą# ó#C C22 C23 Ą#
=
21 21 21
ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#
A32 A33 Ś# Ł#B31 B32 B33 Ś# Ł#C31 C32 C33 Ś#
ó#Ą# ó#Ą# ó# Ą#
Ł#A31
11
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Tensory ortogonalne
Obrót układu współrzędnych (bazy)
Ox1x2x3 - układ pierwotny
2 2 2
Ox1x2x3 - po transformacji
2
Definiując kąty obrotu ąij = xi , xj
( )
Ą#
Określa się macierz transformacji Aij = Ą#cosąij ń# =
( )ń#
Ł#Ś#
Ł#cos xi2 , xj Ś#
2
np. A12 = cos x1, x2
()
12
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
W układzie pierwotnym dowolny punkt P ma współrzędne
x = xj = x1 x2 x3 T ,
{}

w nowym układzie ten sam punkt ma współrzędne
2 2 2 2 2
x = xj = x1 x2 x3 T .
{}

Transformacja współrzędnych punktu P (zarazem współrzędnych
wektora wodzącego tego punktu)
2
xT = Ax lub xi = Aij xj

2
x1 = A11x1 + A12x2 + A13x3
2
x2 = A21x1 + A22x2 + A23x3
2
x3 = A31x1 + A32x2 + A33x3
2 2
gdzie Aij = cos xi , xj , np. A12 = cos x1, x2
( )
()
13
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Własności macierzy transformacji
2
 długości wektorów wodzących x i x punktu P w obu układach są

jednakowe, stad:
2
x = xT x = xk xk = � xj xk
jk

2
2 2 T 2 2 2
x = x x = xi xi = Aij xj Aik xk = Aij Aik xj xk
( )
( )

Długość wektora jest stała: Aij Aik -�ik xj xk = 0 dla każdego x
( )

Stąd Aij Aik = �ik lub AT A = I więc AT = A-1

A a" Aik  tensor ortogonalny (reprezentacja: macierz ortogonalna)

2
Wyznacznik det AT A = det AT det A = det A = 1
( ) ( )
( ) ( )

więc det A =ą1

14
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Macierz (tensory) o powyższych własnościach
 grupa ortogonalna  obroty i przekształcenia (odbicia)
układów współrzędnych
Gdy det A = 1 grupa obrotów SO(3) specjalna, ortogonalna,

w przestrzeni trójwymiarowej
Gdy det A =-1 odbicia (nie tworzą grupy),

A
ączne działania  grupa ortogonalna O(3).
Transformacja wielkości tensorowych
Podstawa  transformacja wektorów bazowych:
2 2
e = Ae (ei = Aijej )

2 2
Współrzędne dowolnego wektora: u = Au (ui = Aijuj )

2 2
Współrzędne tensora 2 walencji: T = ATAT (Tij = Aij AjlTkl )

Współrzędne tensora dowolnej walencji:
Tijk..... = AipAjqAkm....Tpqm....
15
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG
Formalna reprezentacja wielkości tensorowych
Tensor walencji 1  wektor  składowe w danej bazie
e = ei = e1 e2 e3
{ } { }

2 2
u a" uiei = ukek , u a" uiei

Tensor walencji 2  składowe w 9-wymiarowej polibazie ei " ej

(działanie mnożenia tensorowego) utworzonej z par wektorów
bazowych
2 2 2
T a" Tklek " el = Tklek " el

16
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " Teoria sprężystości i plastyczności  Wykład. 1 " KMBiM WILiŚ PG