Wyrażenie miar odkształceń (tensorów odkształceń)
przez przemieszczenia
(I) OPIS MATERIALNY
Wektor przemieszczenia u = x - X

Ą#ń#
"u1 "u1 "u1
ó#"X "X2 "X3 Ą#
1
ó#Ą#
ó#Ą#
"ui "u2 "u2 "u2
"u = =
ó#"X "X2 "X3 Ą#
"X
j 1
ó#Ą#
ó#Ą#
"u3 "u3 "u3
ó#"X "X2 "X3 Ą#
Ł# 1 Ś#
"xi
�#
"x = = F
�#

"X
"u = "x - "X
j
�#

"Xi Ź# "U = F - I stąd F = "U + I
�#
"X = = I

�#
"X
j
�#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 1
Stąd
TT T
Ą#ń# Ą#ń#
C = FT F = "u + I "u + I = I + "u + "uT + "u "u
( ) ( ) ( )
Ł#Ś# Ł#Ś#

11
Ą#"u + "uT + "u T "uń#
E = C - I =
( ) ( )
Ł# Ś#

22
�#
1 "ui "uj "uk "uk ś#
Eij =+ +
ś#ź#
ś#ź#
2 "X "Xi "Xi "X
j j
�# #
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 2
(I) OPIS PRZESTRZENNY
nadal u = x - X

Ą#ń#
"u1 "u1 "u1
ó#
"x1 "x2 "x3 Ą#
ó#Ą#
ó#Ą#
"ui "u2 "u2 "u2
"u = =
"xj ó# "x1 "x2 "x3 Ą#
ó#Ą#
ó#Ą#
"u3 "u3 "u3
ó#
"x1 "x2 "x3 Ą#
Ł#Ś#
"xi
�#
"x = = I
�#

"xj
"u = "x - "X
�#

-1 -1
"Xi -1Ź# "u = I - F stąd F = I - "u
�#
"X = = F

�#
"xj
�#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 3
Stąd
-1 T
-1 -1
Ą#I "u T ń#Ą#I "u T ń#=
c = FFT = F F = -( ) -( )
( ) ( )
Ł# Ś#Ł# Ś#

T
= I - "u - "uT + "u "u
( )

11
e = I - c = -( )
( )Ą#"u + "uT "u T "uń#
Ł#Ś#
22
�#
1 "ui "uj "uk "uk ś#
eij =+ -
ś#ź#
ś#
2 "xj "xi "xi "xj ź#
�# #
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 4
Założenie małych odkształceń
"ui "ui
1, 1
"X "xj
j
�#
1 "ui "uj ś#
E H"+
ś#ź#
ś#

2 "xj "xi ź#
�# #
�#
1 "ui "uj ś#
e H"+
ś#ź#
ś#
2 "xj "xi ź#
�# #
Założenie małych przemieszczeń
0
B = B �! Xi H" xi
Jeżeli przyjmiemy oba powyższe założenia:
1
E = e = "u + "uT = �  tensor małych odkształceń
()
2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 5
Związki znane z kursu wytrzymałości materiałów
�#
1 "ui "uj ś# 1
�ij =+ = ui, j + uj,i  związki geometryczne
ś#ź# ()
ś#
2 "xj "xi ź# 2
�# #
(kinematyczne)
"u "v "u "u
�x = , �x = , ł = +
xy
"x "y "y "x
�#
ł
"u1 "u2 1 "u1 "u2 ś#
xy
�11 = = u1,1 �22 = = u2,2 �12 = �21 = +ź#
ś#
ś#
"x1 "x2 2 "x2 "x1 ź# 2
�# #
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 6
Problem własny tensora małych odkształceń
(odkształcenia główne i ich kierunki)
Poszukiwane są kierunki (wektory) n , dla których istnieją

niezerowe rozwiązania � równania
�n = �n lub � - � I n = 0
( )

Iloczyn macierzy � i wektora n (mnożnik � )

Trzy rozwiązania n(i)  wektory własne macierzy,

odpowiadają im mnożniki �  wartości własne
Warunkiem rozwiązania n `" 0 : det � - � I = 0
( )

 równanie algebraiczne 3-go stopnia względem �
32
Postać: � - I�� + II�� + III� = 0
I� = tr� = �ii

1
2
2
Ą#ń#
II� = tr� - tr�
( )
Ł#Ś#
2
III� = det�

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 7
(1) (2) (3)
Rozwiązanie: trzy wartości (odkształcenia główne) � , � , �
i odpowiadające im wektory (kierunki odkształceń głównych) n(1) ,

n(2) , n(3)

Unormowane wektory własne n(i) ustawione wierszami tworzą
ortogonalną macierz obrotu A.

Wskutek transformacji tensor wyjściowy przyjmuje postać
diagonalną
(1)
Ą#ń#
� 0 0
ó#Ą#
(2)
� ' = 0 � 0
ó#Ą#

(3)
ó#Ą#
0 0 �
Ł#Ś#
Interpretacja: w kartezjańskim układzie kierunków głównych
(wektorów własnych) istnieją jedynie odkształcenia podłużne, brak
odkształceń postaciowych.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 8
W danym stanie odkształcenia 3D dany jest tensor � .

Odkształcenia podłużne w kierunku dowolnego wersora n dane

jest:
(n) (n)
� = nT�n (� = �ijnnj )
i

- forma kwadratowa tensora małych odkształceń �

względem wektora n

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 9
Równania nierozdzielności (ciągłości) w R3
Konsekwencją związków geometrycznych (kinematycznych) są
równania wiążące ze sobą poszczególne składowe tensora małych
odkształceń � = � x1, x2, x3 .
( )

Zapis ogólny:
�ij,kl +�kl,ij -�ik , jl -�il,ik = 0
"2�12
np. �12,13 =
"x1"x3
Ogólnie powinno być 81 równań, tylko 6 niezależnych.
Na płaszczyz
nie jedno:
�11,22 +�22,11 - 2�12,12 = 0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 10
Opis stanu naprężenia
Kurs Wytrzymałości Materiałów: naprężenia �ij (i, j =1,2,3)
"i"  indeks wersora prostopadły do ścianki
" j"  oś równoległa do danej składowej
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 11
W ustalonym układzie współrzędnych Ox1x2x3 można utworzyć
macierz naprężeń Cauchy (reprezentacja tensora naprężeń)
�11 �12 �13 Ą#� � � ń#
Ą#ń#
x xy xz
Ą#
ó#� �22 �23 Ą#
� a" �ij =21 ó#
ó#� yx � y � yz Ą#
ó#Ą#

ó#
�32 �33 Ś#
ó#Ą#
Ł#�31
Ł#� zx � zy � z Ą#
Ś#
Prawo transformacji tensora � (jako tensora II walencji)

2 2 2
z układu Ox1x2x3 do układu Ox1x2x3:
2
� a" A� A

gdzie
Ą#
2 2
A a" ąij =  ortogonalna macierz transformacji
( )ń#
Ł#cos xi , xj Ś#

(tensor obrotu)
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 12
Zależność między wektorem naprężenia a tensorem naprężenia
Wektor naprężenia t(1) w płaszczyz
nie o normalnej

T
n(1) = 1 0 0 (wersor osi x1) obliczamy z zależności
[]

T
t(1) a" � n(1)

- jest to działanie tensorowe  kontrakcja, zwężenie proste,
interpretacja macierzowa
�11 �12 �13 1 �11
Ą#ń# ż# �# ż# �#
�#0�# �# �#
ó#� �22 �23 Ą#
== t(1)
�# Ź# �#� Ź#
21 12
ó#Ą#

�# �# �# �#
�32 �33 Ś# �#0�# �#�13 �#
ó#Ą#
Ł#�31
Analogiczne wzory zapisać można dla ścianek o normalnych
n(2) i n(3) a

T
W ogólnym przypadku równanie t(1) a" � n(1) obowiązuje w danym

stanie naprężenia (tensor � ) dla dowolnie zorientowanej

płaszczyzny, określonej wersorem n .

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 13
Jest to tzw. postulat Cauchy, wiążący wektor naprężenia t w

przekroju o normalnej n z tensorem � .

Zapis wskaz
nikowy
ti = �ijnj
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 14
Równania równowagi ośrodka ciągłego
V  objętość obszaru B w konfiguracji aktualnej
 odkształconej [m3]
A  pole powierzchni ograniczającej obszar B [m2]
b a" bi  wektor sił masowych [kN/kg]

f a" fi  wektor sił powierzchniowych [kN/m2]

�  gęstość ośrodka [kN/m3]
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 15
Założenia podstawowe:
" Materia wypełnia objętość V w sposób ciągły, ciągłość w sensie
matematycznym  pola gęstości, sił masowych i
powierzchniowych, naprężeń, itp. składają się z funkcji ciągłych
odpowiedniej klasy (C0, C1, ....) zmiennych x1, x2, x3 i czasu t .
" ośrodek jest jednorodny (własności niezależne od punktu) i
izotropowy (własności niezależne od kierunku)
Równowaga obszaru B (suma rzutów sił)
�#ś#
�bdV = 0 �bdV = 0ź#
ii
+"+"tdS + +"+"+" +"+"t dS + +"+"+"
ś# #

SV �# SV
Postulat Cauchy t = � n ti = �ijnj
( )

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 16
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego (o dywergencji)
�#ś#
TT
ś#
ji ji, j
+"+"� ndS = +"+"+"div� dV �#+"+"� njdS = +"+"+"� dV = 0ź#

SV SV #
 równanie równowagi globalnej obszaru B o objętości V
Równanie to musi być spełnione lokalnie w każdym punkcie, stad
T
div� + �b = 0 � + �bi = 0
( )
ji, j
Równowaga sumy momentów  rezultat, lokalnie w każdym
punkcie
T
� = � �ij = �ij lub �ij�ijk =0
( )

Zagadnienia teorii sprężystości są na ogół statycznie
niewyznaczalne  z samych równań równowagi nie możemy
wyznaczyć niewiadomych tensora naprężeń �

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 17
Naprężenia główne i ich kierunki.
Niezmienniki tensora naprężeń.
W dowolnym stanie naprężenia szukamy w przestrzeni takich
kierunków n , by wektory t i n były współliniowe

(�  współczynnik liczbowy, długość wektora t )

Szukane kierunki n to tzw. kierunki główne (osie główne) danego
tensora naprężeń �

Warunek analityczny
t = � n = � n �! � -� I n = 0 �ij -��ij nj = 0
( )
( )

Po rozpisaniu: równanie algebraiczne III stopnia względem
niewiadomej �
32
� - I�� + II�� - III� = 0
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 18
gdzie
I� = tr� = �ii

11
2
2
Ą#ń#
II� = tr� - tr� = Ą#�ii� -�ij� ń#
( )
jj ji
Ł# Ś#
Ł#Ś#

22
III� = det� = �ijk�1i�2 j�3k

Rozwiązanie:
(1) (2) (3)
trzy wartości własne  naprężenia główne � , � , �
i odpowiadające im wektory własne (kierunki główne)
n(1) , n(2) , n(3)
.

J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 19
Unormowane wektory n(1) , n(2) , n(3) tworzą macierz

transformacji A, po transformacji do bazy wektorów własnych

(kierunków głównych) tensor naprężeń ma postać diagonalną
(1)
Ą#ń#
� 0 0
ó#Ą#
(2)
� ' = 0 � 0
ó#Ą#

(3)
ó#Ą#
0 0 �
Ł#Ś#
stąd wartości niezmienników tensora naprężeń
(1) (2) (3)
I� = � +� +�
(1) (2) (2) (3) (1) (3)
II� = � � +� � +� �
(1) (2) (3)
III� = � � �
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 20
Rozkład tensora (macierzy) naprężeń na tensor kulisty i
deviator
� = � I + S �ij = �m�ij + Sij
( )
M

Pierwszy składnik  tensor kulisty
� 0 0
Ą#ń#
M
ó#Ą#11
� I = 0 � 0 � = tr� = tr�ii
MM M
ó#Ą#33

0 0 �
ó#Ą#
Ł# M Ś#
(wszechstronne rozciąganie lub ściskanie naprężeniem o jednej
wartości, w każdym kierunku takiej samej)
drugi składnik  dewiator
S11 S12 S13 �11 -��12 �13
Ą#ń# Ą# ń#
M
ó#S S22 S23 Ą# ó#
S == �21 �22 -��23 Ą#
21 M
ó#Ą# ó# Ą#

S32 S33 Ś# Ł# �31 �32 �22 -�
ó#Ą# ó# Ą#
Ł#S31 M Ś#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 21
Niezmienniki dewiatora
IS = trS = 0

11
IIS =- trS2 =- SijSij

22
można wyrazić w zależności od �ij
Wykazać, że dewiator tensora naprężeń jest równoważny pięciu
niezależnym stanom czystego ścinania
Czyste ścinanie  uwagi ogólne
Przypadek czystego ścinania w płaszczyz
nie Ox1x2
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 22
0 �12 0
Ą#ń#
(1) (2) (3)
ó#� 0 0Ą# � = -�12 � = 0, � = �12
� = , ,
12
ó#Ą#

0 0 0Ś#
ó#Ą#
Ł#
Stąd stanem równoważnym jest rozciąganie i ściskanie w układzie
os głównych
0 �12 0 �12 0 0
Ą#ń# Ą# ń#
ó#� 0 0Ą# 2 ó#
� =�! � = 0 -�12 0Ą#
12
ó#Ą# ó# Ą#

0 0 0Ś# Ł# 0 0 0Ś#
ó#Ą# ó# Ą#
Ł#
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 23
Dewiator stanu naprężenia można więc rozłożyć w następujący
sposób:
0 S12 0 0 0 S13 0 0 0
Ą#ń# Ą#ń# Ą#ń#
ó#S 0 0Ą# + ó#Ą# ó#0 0 S23 Ą#
S = 0 0 0 ++
12
ó#Ą# ó#Ą# ó#Ą#

0 0 0Ś# Ł#S13 0 0
ó#Ą# ó#Ą# ó#Ś#
Ł# Ś# Ł#0 S23 0 Ą#
S11 0 0 0 0 0
Ą#ń# Ą# ń#
ó# ó#0 Ą#
+ 0 -S11 0Ą# + -S33 0
ó#Ą# ó# Ą#
0 0 0Ś# Ł#0 0 S33 Ś#
ó#Ą# ó# Ą#
Ł#
z warunku trS = S11 + S22 + S33 = 0 wynika S22 = -S11 - S23

Dewiator stanu naprężenia jest więc równoważny stanowi czystego
ścinania.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 24