Wyrażenie miar odkształceń (tensorów odkształceń)
przez przemieszczenia
(I) OPIS MATERIALNY
Wektor przemieszczenia u = x - X
%ð %ð %ð
îÅ‚Å‚Å‚
"u1 "u1 "u1
ïÅ‚"X "X2 "X3 śł
1
ïłśł
ïłśł
"ui "u2 "u2 "u2
"u = =
ïÅ‚"X "X2 "X3 śł
%ð "X
j 1
ïłśł
ïłśł
"u3 "u3 "u3
ïÅ‚"X "X2 "X3 śł
ðÅ‚ 1 ûÅ‚
"xi
üÅ‚
"x = = F
ôÅ‚
%ð "X %ð
"u ="x -"X
j
ôÅ‚
%ð %ð %ð
"Xi żł F "UU FI- I st = " +
=
ôÅ‚Ä…d
"X = = I%ð %ð %ð %ð %ð %ð
%ð%ð ôÅ‚
"X
j
þÅ‚
StÄ…d
TT T
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚Å‚Å‚
C = FT F = "u + I "u + I = I +"u +"uT + "u "u
( ) ( ) ( )
ðÅ‚ûÅ‚ ðÅ‚ûÅ‚
%ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð
11 T
îÅ‚"u
E = C - I = +"uT + "u "ułł
( ) ( )
ðÅ‚ûÅ‚
%ð %ð %ð
22 %ð %ð %ð %ð
ëÅ‚
1 "ui "uj "uk "uk öÅ‚
Eij = + +
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚÷Å‚
2 "X "Xi "Xi "X
j j
íÅ‚Å‚Å‚
(I) OPIS PRZESTRZENNY
nadal u = x - X
%ð %ð %ð
îÅ‚Å‚Å‚
"u1 "u1 "u1
ïÅ‚
"x1 "x2 "x3 śł
ïłśł
ïłśł
"ui "u2 "u2 "u2
"u = =
%ð "xj ïÅ‚ "x1 "x2 "x3 śł
ïłśł
ïłśł
"u3 "u3 "u3
ïÅ‚
"x1 "x2 "x3 śł
ðÅ‚ûÅ‚
"xi
üÅ‚
"x = = I
%ð
%ð "xj ôÅ‚ "u ="x -"X
ôÅ‚
%ð %ð %ð
-1 -1
"Xi ądżł F "u = Iu- F st = -"
I
-1
ôÅ‚
"X = = F
%ð %ð %ð %ð %ð %ð
%ð%ð ôÅ‚
"xj þÅ‚
StÄ…d
-1 T
-1 -1
îÅ‚I "u T Å‚Å‚ îÅ‚I "u T Å‚Å‚
c = FFT = F F = -( ) -( )
=
( ) ( )
ðÅ‚%ð %ð ûÅ‚ ðÅ‚%ð %ð ûÅ‚
%ð %ð %ð %ð %ð
T
= I -"u -"uT + "u "u
( )
%ð %ð %ð %ð %ð
11 T
îÅ‚"u "u "uÅ‚Å‚
e = I - c = +"uT -( )
(%ð )
ðÅ‚ûÅ‚
%ð 2 %ð 2 %ð %ð %ð %ð
ëÅ‚
1 "ui "uj "uk "uk öÅ‚
eij = + -
ìÅ‚÷Å‚
ìÅ‚
2 "xj "xi "xi "xj ÷Å‚
íÅ‚Å‚Å‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 1
Wskutek transformacji tensor wyjściowy przyjmuje postać diagonalną
(1)
îÅ‚Å‚Å‚
µ 0 0
ïłśł
(2)
µ ' = 0 µ 0
ïłśł
%ð
(3)
ïłśł
0 0 µ
ðÅ‚ûÅ‚
Interpretacja: w kartezjańskim układzie kierunków głównych (wektorów własnych) istnieją jedynie odkształcenia
podłużne, brak odkształceń postaciowych.
W danym stanie odksztaÅ‚cenia 3D dany jest tensor µ .
%ð
Odkształcenia podłużne w kierunku dowolnego wersora n dane jest:
%ð
(n) (n)
µ = nTµn (µ = µijnnj )
i
%ð %ð%ð
Równania nierozdzielności (ciągłości) w R3
Konsekwencją związków geometrycznych (kinematycznych) są równania wiążące ze sobą poszczególne składowe
tensora maÅ‚ych odksztaÅ‚ceÅ„ µ = µ x1, x2, x3 .
( )
%ð %ð
Zapis ogólny:
µij,kl + µkl,ij - µik , jl - µil,ik = 0
"2µ12
np. µ12,13 =
"x1"x3
Ogólnie powinno być 81 równań, tylko 6 niezależnych.
Na płaszczyz
nie jedno:
µ11,22 + µ22,11 - 2µ12,12 = 0
Opis stanu naprężenia
Kurs WytrzymaÅ‚oÅ›ci Materiałów: naprężenia Ãij (i, j = 1,2,3)
"i"  indeks wersora prostopadły do ścianki
" j"  oś równoległa do danej składowej
W ustalonym układzie współrzędnych Ox1x2x3 można utworzyć macierz naprężeń Cauchy (reprezentacje tensora
naprężeń)
Ã11 Ã12 Ã13 îÅ‚Ã Ä Ä Å‚Å‚
îÅ‚Å‚Å‚
x xy xz
ïÅ‚Ã śł
à a" Ãij = Ã22 Ã23 śł ïłśł
21
ïÅ‚Ä yx à y Ä yz śł
ïÅ‚
%ð
ïÅ‚ûÅ‚
ïÅ‚Ã31 Ã32 Ã33 śł
ðÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚Äzx Ä zy à z śł
2 2 2
Prawo transformacji tensora à (jako tensora II walencji) z układu Ox1x2x3 do układu Ox1x2x3 :
%ð
2
à a" Aà A
%ð %ð %ð %ð
gdzie
îÅ‚ 2 2  ortogonalna macierz transformacji (tensor obrotu)
A a" Ä…ij =
( )Å‚Å‚
ðÅ‚cosSð xi, xj ûÅ‚
%ð
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 3
T
divà + Áb = 0 à + Ábi = 0
( )
ji, j
%ð %ð %ð
Równowaga sumy momentów  rezultat, lokalnie w każdym punkcie
T
à = à Ãij = Ãij lub Ãijµijk=0
( )
%ð %ð
Zagadnienia teorii sprężystości są na ogół statycznie niewyznaczalne  z samych równań równowagi nie możemy
wyznaczyć niewiadomych tensora naprężeÅ„ Ã
%ð
Naprężenia główne i ich kierunki. Niezmienniki tensora naprężeń.
W dowolnym stanie naprężenia szukamy w przestrzeni takich kierunków n , by wektory t i n były współliniowe
%ð %ð %ð
(à  współczynnik liczbowy, dÅ‚ugość wektora t )
%ð
Szukane kierunki n to tzw. kierunki główne (osie główne) danego tensora naprężeÅ„ Ã
%ð %ð
Warunek analityczny
t = à n = à n Ò! à -à I n = 0 Ãij -ôij nj = 0
( )
( )
%ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð %ð
Po rozpisaniu: równanie algebraiczne III stopnia wzglÄ™dem niewiadomej Ã
3 2
à - IÃà + IIÃà - IIIà = 0
gdzie
Ià = trà = Ãii
%ð
11
2
2
îÅ‚Å‚Å‚
IIà = trà - trà = îÅ‚Ãiià -Ãijà łł
( )
jj ji
ðÅ‚ûÅ‚
ðÅ‚ûÅ‚
2 %ð %ð 2
IIIà = detà = µijkÃ1iÃ2 jÃ3k
%ð
(1) (2) (3)
RozwiÄ…zanie: trzy wartoÅ›ci wÅ‚asne  naprężenia główne à , à , à i odpowiadajÄ…ce im wektory wÅ‚asne
(kierunki główne) n(1) , n(2) , n(3)
%ð %ð %ð
Unormowane wektory n(1) , n(2) , n(3) tworzÄ… macierz
%ð %ð %ð
transformacji A , po transformacji do bazy wektorów własnych (kierunków głównych) tensor naprężeń ma postać
%ð
diagonalnÄ…
(1)
îÅ‚Å‚Å‚
à 0 0
ïłśł
(2)
à ' = 0 à 0
ïłśł
%ð
(3)
ïłśł
0 0 Ã
ðÅ‚ûÅ‚
stąd wartości niezmienników tensora naprężeń
(1) (2) (3)
IÃ = Ã +Ã +Ã
(1) (2) (2) (3) (1) (3)
IIÃ = Ã Ã +Ã Ã +Ã Ã
(1) (2) (3)
IIIÃ = Ã Ã Ã
Rozkład tensora (macierzy) naprężeń na tensor kulisty i deviator
à = à I + S Ãij = Ãm´ij + Sij
( )
M
%ð %ð %ð
Pierwszy składnik  tensor kulisty
à 0 0
îÅ‚Å‚Å‚
M
1 1
ïłśł
à I = 0 à 0 à = trà = trÃii
MM M
ïłśł
%ð 3 %ð 3
ïÅ‚ 0 0 à śł
ðÅ‚ M ûÅ‚
(wszechstronne rozciąganie lub ściskanie naprężeniem o jednej wartości, w każdym kierunku takiej samej)
drugi składnik  dewiator
S11 S12 S13 Ã11 -Ã Ã12 Ã13
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
M
ïÅ‚ ïÅ‚
S = S22 S23 śł = Ã21 Ã22 -Ã Ã23 śł
M
ïÅ‚S21 śł ïÅ‚ śł
%ð
ïÅ‚S31 S32 S33 śł ïÅ‚ Ã31 Ã32 Ã22 -à śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ M ûÅ‚
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 5
Niezmienniki dewiatora
IS = trS = 0
%ð
11
IIS = - trS2 = - SijSij
2 %ð 2
można wyrazić w zależnoÅ›ci od Ãij
Wykazać, że dewiator tensora naprężeń jest równoważny pięciu niezależnym stanom czystego ścinania
Czyste ścinanie  uwagi ogólne
Przypadek czystego ścinania w płaszczyz
nie Ox1x2
0 Ã12 0
îÅ‚Å‚Å‚
ïÅ‚Ã 0 0śł (1) (2) (3)
à = à = -Ã12 , à = 0 , à = Ã12 ,
12
ïłśł
%ð
ïÅ‚ 0 0 0śł
ðÅ‚ûÅ‚
Stąd stanem równoważnym jest rozciąganie i ściskanie w układzie os głównych
0 Ã12 0 Ã12 0 0
îÅ‚Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚Ã 0 0śł Ò! à 2 ïÅ‚
= 0 -Ã12 0śł
à =
12
ïłśł ïÅ‚ śł
%ð%ð
ïÅ‚ 0 0 0śł ïÅ‚ 0 0 0śł
ðÅ‚ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
Dewiator stanu naprężenia można więc rozłożyć w następujący sposób:
0 S12 0 0 0 S13 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚S 0 0śł + ïÅ‚ śł ïÅ‚0
S = 0 0 0 + 0 S23 śł +
12
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
%ð
ïÅ‚ 0 0 0śł ïÅ‚S13 0 0 śł ïÅ‚0 S23 0 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
S11 0 0 0 0 0
îÅ‚ Å‚Å‚ îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ ïÅ‚0 śł
+ 0 -S11 0śł + -S33 0
ïÅ‚ śł ïÅ‚ śł
ïÅ‚ 0 0 0śł ïÅ‚0 0 S33 śł
ðÅ‚ ûÅ‚ ðÅ‚ ûÅ‚
z warunku trS = S11 + S22 + S33 = 0 wynika S22 = -S11 - S23
%ð
Dewiator stanu naprężenia jest więc równoważny stanowi czystego ścinania.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 6