Wyrażenie miar odkształceń (tensorów odkształceń)
przez przemieszczenia
(I) OPIS MATERIALNY
Wektor przemieszczenia u = x - X
%� %� %�
�łłł
"u1 "u1 "u1
�ł"X "X2 "X3 śł
1
�łśł
�łśł
"ui "u2 "u2 "u2
"u = =
�ł"X "X2 "X3 śł
%� "X
j 1
�łśł
�łśł
"u3 "u3 "u3
�ł"X "X2 "X3 śł
�ł 1 �ł
"xi
�ł
"x = = F
�ł
%� "X %�
"u ="x -"X
j
�ł
%� %� %�
"Xi żł F "UU FI- I st = " +
=
�łąd
"X = = I%� %� %� %� %� %�
%�%� �ł
"X
j
�ł
Stąd
TT T
�łłł �łłł
C = FT F = "u + I "u + I = I +"u +"uT + "u "u
( ) ( ) ( )
�ł�ł �ł�ł
%� %� %� %� %� %� %� %� %� %� %� %�
11 T
�ł"u
E = C - I = +"uT + "u "ułł
( ) ( )
�ł�ł
%� %� %�
22 %� %� %� %�
�ł
1 "ui "uj "uk "uk �ł
Eij = + +
�ł�ł
�ł�ł
2 "X "Xi "Xi "X
j j
�łłł
(I) OPIS PRZESTRZENNY
nadal u = x - X
%� %� %�
�łłł
"u1 "u1 "u1
�ł
"x1 "x2 "x3 śł
�łśł
�łśł
"ui "u2 "u2 "u2
"u = =
%� "xj �ł "x1 "x2 "x3 śł
�łśł
�łśł
"u3 "u3 "u3
�ł
"x1 "x2 "x3 śł
�ł�ł
"xi
�ł
"x = = I
%�
%� "xj �ł "u ="x -"X
�ł
%� %� %�
-1 -1
"Xi ądżł F "u = Iu- F st = -"
I
-1
�ł
"X = = F
%� %� %� %� %� %�
%�%� �ł
"xj �ł
Stąd
-1 T
-1 -1
�łI "u T łł �łI "u T łł
c = FFT = F F = -( ) -( )
=
( ) ( )
�ł%� %� �ł �ł%� %� �ł
%� %� %� %� %�
T
= I -"u -"uT + "u "u
( )
%� %� %� %� %�
11 T
�ł"u "u "ułł
e = I - c = +"uT -( )
(%� )
�ł�ł
%� 2 %� 2 %� %� %� %�
�ł
1 "ui "uj "uk "uk �ł
eij = + -
�ł�ł
�ł
2 "xj "xi "xi "xj �ł
�łłł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 1
Wskutek transformacji tensor wyjściowy przyjmuje postać diagonalną
(1)
�łłł
� 0 0
�łśł
(2)
� ' = 0 � 0
�łśł
%�
(3)
�łśł
0 0 �
�ł�ł
Interpretacja: w kartezjańskim układzie kierunków głównych (wektorów własnych) istnieją jedynie odkształcenia
podłużne, brak odkształceń postaciowych.
W danym stanie odkształcenia 3D dany jest tensor � .
%�
Odkształcenia podłużne w kierunku dowolnego wersora n dane jest:
%�
(n) (n)
� = nT�n (� = �ijnnj )
i
%� %�%�
Równania nierozdzielności (ciągłości) w R3
Konsekwencją związków geometrycznych (kinematycznych) są równania wiążące ze sobą poszczególne składowe
tensora małych odkształceń � = � x1, x2, x3 .
( )
%� %�
Zapis ogólny:
�ij,kl + �kl,ij - �ik , jl - �il,ik = 0
"2�12
np. �12,13 =
"x1"x3
Ogólnie powinno być 81 równań, tylko 6 niezależnych.
Na płaszczyz
nie jedno:
�11,22 + �22,11 - 2�12,12 = 0
Opis stanu naprężenia
Kurs Wytrzymałości Materiałów: naprężenia �ij (i, j = 1,2,3)
"i"  indeks wersora prostopadły do ścianki
" j"  oś równoległa do danej składowej
W ustalonym układzie współrzędnych Ox1x2x3 można utworzyć macierz naprężeń Cauchy (reprezentacje tensora
naprężeń)
�11 �12 �13 �ł� � � łł
�łłł
x xy xz
�ł� śł
� a" �ij = �22 �23 śł �łśł
21
�ł� yx � y � yz śł
�ł
%�
�ł�ł
�ł�31 �32 �33 śł
�ł�ł
�ł�zx � zy � z śł
2 2 2
Prawo transformacji tensora � (jako tensora II walencji) z układu Ox1x2x3 do układu Ox1x2x3 :
%�
2
� a" A� A
%� %� %� %�
gdzie
�ł 2 2  ortogonalna macierz transformacji (tensor obrotu)
A a" ąij =
( )łł
�łcosS� xi, xj �ł
%�
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 3
T
div� + �b = 0 � + �bi = 0
( )
ji, j
%� %� %�
Równowaga sumy momentów  rezultat, lokalnie w każdym punkcie
T
� = � �ij = �ij lub �ij�ijk=0
( )
%� %�
Zagadnienia teorii sprężystości są na ogół statycznie niewyznaczalne  z samych równań równowagi nie możemy
wyznaczyć niewiadomych tensora naprężeń �
%�
Naprężenia główne i ich kierunki. Niezmienniki tensora naprężeń.
W dowolnym stanie naprężenia szukamy w przestrzeni takich kierunków n , by wektory t i n były współliniowe
%� %� %�
(�  współczynnik liczbowy, długość wektora t )
%�
Szukane kierunki n to tzw. kierunki główne (osie główne) danego tensora naprężeń �
%� %�
Warunek analityczny
t = � n = � n �! � -� I n = 0 �ij -��ij nj = 0
( )
( )
%� %� %� %� %� %� %� %�
Po rozpisaniu: równanie algebraiczne III stopnia względem niewiadomej �
3 2
� - I�� + II�� - III� = 0
gdzie
I� = tr� = �ii
%�
11
2
2
�łłł
II� = tr� - tr� = �ł�ii� -�ij� łł
( )
jj ji
�ł�ł
�ł�ł
2 %� %� 2
III� = det� = �ijk�1i�2 j�3k
%�
(1) (2) (3)
Rozwiązanie: trzy wartości własne  naprężenia główne � , � , � i odpowiadające im wektory własne
(kierunki główne) n(1) , n(2) , n(3)
%� %� %�
Unormowane wektory n(1) , n(2) , n(3) tworzą macierz
%� %� %�
transformacji A , po transformacji do bazy wektorów własnych (kierunków głównych) tensor naprężeń ma postać
%�
diagonalną
(1)
�łłł
� 0 0
�łśł
(2)
� ' = 0 � 0
�łśł
%�
(3)
�łśł
0 0 �
�ł�ł
stąd wartości niezmienników tensora naprężeń
(1) (2) (3)
I� = � +� +�
(1) (2) (2) (3) (1) (3)
II� = � � +� � +� �
(1) (2) (3)
III� = � � �
Rozkład tensora (macierzy) naprężeń na tensor kulisty i deviator
� = � I + S �ij = �m�ij + Sij
( )
M
%� %� %�
Pierwszy składnik  tensor kulisty
� 0 0
�łłł
M
1 1
�łśł
� I = 0 � 0 � = tr� = tr�ii
MM M
�łśł
%� 3 %� 3
�ł 0 0 � śł
�ł M �ł
(wszechstronne rozciąganie lub ściskanie naprężeniem o jednej wartości, w każdym kierunku takiej samej)
drugi składnik  dewiator
S11 S12 S13 �11 -� �12 �13
�ł łł �ł łł
M
�ł �ł
S = S22 S23 śł = �21 �22 -� �23 śł
M
�łS21 śł �ł śł
%�
�łS31 S32 S33 śł �ł �31 �32 �22 -� śł
�ł �ł �ł M �ł
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 5
Niezmienniki dewiatora
IS = trS = 0
%�
11
IIS = - trS2 = - SijSij
2 %� 2
można wyrazić w zależności od �ij
Wykazać, że dewiator tensora naprężeń jest równoważny pięciu niezależnym stanom czystego ścinania
Czyste ścinanie  uwagi ogólne
Przypadek czystego ścinania w płaszczyz
nie Ox1x2
0 �12 0
�łłł
�ł� 0 0śł (1) (2) (3)
� = � = -�12 , � = 0 , � = �12 ,
12
�łśł
%�
�ł 0 0 0śł
�ł�ł
Stąd stanem równoważnym jest rozciąganie i ściskanie w układzie os głównych
0 �12 0 �12 0 0
�łłł �ł łł
�ł� 0 0śł �! � 2 �ł
= 0 -�12 0śł
� =
12
�łśł �ł śł
%�%�
�ł 0 0 0śł �ł 0 0 0śł
�ł�ł �ł �ł
Dewiator stanu naprężenia można więc rozłożyć w następujący sposób:
0 S12 0 0 0 S13 0 0 0
�ł łł �ł łł �ł łł
�łS 0 0śł + �ł śł �ł0
S = 0 0 0 + 0 S23 śł +
12
�ł śł �ł śł �ł śł
%�
�ł 0 0 0śł �łS13 0 0 śł �ł0 S23 0 śł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł
S11 0 0 0 0 0
�ł łł �ł łł
�ł �ł0 śł
+ 0 -S11 0śł + -S33 0
�ł śł �ł śł
�ł 0 0 0śł �ł0 0 S33 śł
�ł �ł �ł �ł
z warunku trS = S11 + S22 + S33 = 0 wynika S22 = -S11 - S23
%�
Dewiator stanu naprężenia jest więc równoważny stanowi czystego ścinania.
J. Górski, M. Skowronek, M. Gołota, K. Winkelmann " WILiŚ PG " Teoria sprężystości i plastyczności " Wykład 03  str. 6